ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά δένδρα του γράφου είναι ο Κ,6 και ο P 7.. Σ/Λ Έχει μόνο ένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο.. Σ/Λ Ο αλγόριθμος του Pr με αρχική κορυφή την Α θα κατασκευάσει ένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο μία από τις ακμές του οποίου θα είναι η Δ, Ε.. Σ/Λ Ο αλγόριθμος του Djkstra για την εύρεση των συντομότερων μονοπατιών από την κορυφή Α προς όλες τις άλλες θα κατασκευάσει το ίδιο δένδρο με τον αλγόριθμο του Pr με αρχική κορυφή την A.. Σωστό Ένα συνδετικό δένδρο του γράφου είναι το αστέρι το Κ,6 με κεντρική κορυφή την Δ και περιφερειακές τις υπόλοιπες. Ένα άλλο συνδετικό δένδρο του γράφου είναι το μονοπάτι ο P 7, π.χ Α,Β,Ε,Η,Ζ,Γ,Δ.. Σωστό Έχει μόνο ένα ελάχιστο συνδετικό δένδρο διότι όλα τα βάρη στις ακμές είναι διαφορετικά.. Λάθος Ο αλγόριθμος του Pr με αρχική κορυφή την Α θα προσθέσει στο δένδρο με την σειρά τις ακμές ΑΒ, ΒΔ, ΒΕ, ΔΓ, ΓΖ, ΖΗ. Μετά την προσθήκη των ακμών ΒΔ, ΒΕ και επομένως των κορυφών Δ,Ε στο δένδρο, ο αλγόριθμος δεν λαμβάνει υπόψη την ΔΕ αφού συνδέει κορυφές που ήδη είναι στο δένδρο και επομένως θα δημιουργούσε κύκλο. Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Λάθος Ο αλγόριθμος του Djkstra για την εύρεση των συντομότερων μονοπατιών από την κορυφή Α προς όλες τις άλλες θα κατασκευάσει το παρακάτω δένδρο ελάχιστων μονοπατιών από την Α προς όλες τις άλλες κορυφές.
Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η ΑΣΚΗΣΗ Στα δένδρα, διακρίνουμε τις κορυφές σε εσωτερικές και φύλλα που επίσης ονομάζονται και μενταγιόν, τόμος Β, σελ.. Έστω -αδικό δένδρο του οποίου κάθε εσωτερική κορυφή έχει ακριβώς παιδιά στη βιβλιογραφία αναφέρεται συνήθως ως πλήρες. Το δένδρο έχει n κορυφές, εκ των οποίων n k είναι φύλλα και n εσωτερικές. Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι εξής εξισώσεις n n nk n n k n Με χρήση του, να αποφανθείτε αν υπάρχει >0, τέτοιο ώστε να υπάρχει πλήρες -αδικό δένδρο όπως το ορίσαμε παραπάνω με n k = 8 φύλλα και ύψος. Απάντηση: a Γνωρίζουμε ότι n = n + n k. Εφόσον κάθε κορυφή είναι παιδί κάποιας εσωτερικής κορυφής, εκτός της ρίζας αφού δεν έχει πατέρα, και κάθε εσωτερική κορυφή έχει παιδιά έχουμε n = n +. b Από τις. και. έχουμε n + = n + n k => - n = n k => n = n k -/-.
c Από την. έχουμε ότι n = n-/, και αντικαταστώντας στην. θα έχουμε n = n-/ + n k => n k = [ n- + ] / Έστω πως υπάρχει τέτοιο δένδρο. Από τον δεύτερο τύπο του θα έπρεπε να έχει 8/- εσωτερικούς κόμβους. Γιά να είναι ο αριθμός αυτός ακέραιος, πρέπει ο - να διαιρεί τον 8 ο οποίος είναι πρώτος. Άρα = ή =8. Στην πρώτη περίπτωση μπορούμε να έχουμε το πολύ 5 κορυφές με ύψος, άρα αδύνατο. Στη δεύτερη περίπτωση, ο αριθμός των εσωτερικών κορυφών πάλι από τον δεύτερο τύπο του θα είναι, άρα μόνο η ρίζα είναι εσωτερικός κόμβος, άρα το ύψος είναι έλεγξε, αδύνατον. ΑΣΚΗΣΗ Για το γράφημα του διπλανού σχήματος, ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες όχι; Για τις προτάσεις και, να θεωρήσετε ότι ο αλγόριθμος του Pr ξεκινά από την κορυφή s. s 9 6 5 7 6 7 6 7 5 7 7 5 8 8 6 9 9 0. Σ/Λ Υπάρχει Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο που περιέχει όλες τις ακμές βάρους.. Σ/Λ Υπάρχει Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο που περιέχει όλες τις ακμές βάρους.. Σ/Λ Η δεύτερη ακμή που θα προστεθεί στο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο από τον αλγόριθμο του Pr είναι η ακμή s,.. Σ/Λ Η ακμή, θα προστεθεί στο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο από τον αλγόριθμο του Pr πριν από την ακμή 6,. ΑΠΑΝΤΗΣΗ.. Λάθος Υπάρχει Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο που περιέχει όλες τις ακμές βάρους. [λάθος διότι σχηματίζεται κύκλος]. Σωστό Υπάρχει Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο που περιέχει όλες τις ακμές βάρους.
. Λάθος Η δεύτερη ακμή που θα προστεθεί στο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο από τον αλγόριθμο του Pr είναι η ακμή s,. [λάθος διότι η δεύτερη θα είναι μία από τις γειτονικές της 8 με βάρος ]. Λάθος Η ακμή, θα προστεθεί στο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο από τον αλγόριθμο του Pr πριν από την ακμή 6,.[λάθος διότι την 6 ο αλγόριθμος θα την βρει επεξεργαστεί πριν από την ή την ] ΑΣΚΗΣΗ Έστω Τ γεννητορικό δένδρο ενός συνδεδεμένου γράφου, που έχει παραχθεί με τον αλγόριθμο DFS κατά βάθος διάσχισης και κορυφή r η ρίζα του. Να αποδειχθεί ότι η κορυφή r είναι κορυφή κοπής για τον γράφο εάνν έχει τουλάχιστον δύο παιδιά στο. έστω ότι η κορυφή r είναι κορυφή κοπής στο γράφο, και άς υποθέσουμε ότι έχει μόνο ένα παιδί στο δένδρο, την κορυφή t. Τότε το δένδρο με κορυφή t είναι γεννητορικό για τον γράφο \r άρα και ο γράφος \r θα είναι συνδεόμενος, άτοπο. έστω ότι η κορυφή r έχει δύο παιδιά στο, τις κορυφές t και s όπου ο αλγόριθμος DFS επισκέφτηκε πρώτα την t άρα είναι και το αριστερό παιδί της r, και, τα αντίστοιχα υποδένδρα με αυτές τις κορυφές ώς ρίζες. t s Θέλουμε να δείξουμε ότι δεν υπάρχει ακμή e, w E τέτοια ώστε t, w s. Εάν υπήρχε τότε ο αλγόριθμος DFS θα είχε επισκεφτεί την w πρίν την s και θα είχαμε ότι w, άτοπο. Άρα κάθε μονοπάτι μεταξύ δύο κορυφών από το και πρέπει να περάσει από την κορυφή r, πράγμα που σημαίνει ότι είναι κορυφή κοπής. t t s ΑΣΚΗΣΗ 5. Έστω δένδρο όπου, E q και έστω ότι θέτουμε με αριθμός κορυφών βαθμού για,,...,. όπου ο μέγιστος βαθμός του δένδρου. Δείξτε ότι ισχύει 5
ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Από τον ορισμό των μπορούμε να συμπεράνουμε ότι Γνωρίζουμε από το ο θεώρημα της θεωρίας γράφων ότι E d για κάθε γράφο, ενώ παρατηρούμε ότι στην περίπτωση του δένδρου λόγω του ορισμού των θα μπορούσαμε να γράψουμε d Συνδυάζοντας τώρα τις σχέσεις και έχουμε q E Αλλά εφόσον το είναι δένδρο θα έχουμε ότι E q οπότε η σχέση καταλήγει να είναι χρησιμοποιώντας και την για την δεύτερη ισότητα. Αναπτύσοντας και απλοποιώντας θα έχουμε λοιπόν 5 ΑΣΚΗΣΗ 6 Αποδείξτε το αληθές ή το ψευδές των παρακάτω προτάσεων: Εάν το, E γράφος με κύκλους συνολικά, τότε E. Εάν το δένδρο με κορυφές βαθμού, 7 κορυφές βαθμού, κορυφές βαθμού και τότε το έχει κορυφές βαθμού. Ένα δένδρο με έχει περισσότερα σημεία κοπής από ότι γέφυρες. Υπάρχουν δένδρα όπου όλες οι κορυφές τους είναι σημεία κοπής. 5 Υπάρχουν ακριβώς δύο r κανονικά δένδρα για οποιοδήποτε ακέραιο r.
ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Ψευδές Το γράφημα Είναι ένα αντιπαράδειγμα εφόσον έχει κύκλους και 5 E 6 Αληθές εδώ πρόκειται για μία άμεση εφαρμογή του ερωτήματος, με, 7, όπου και θα έχουμε Ψευδές Τα δένδρα της μορφής αποτελούνε αντιπαράδειγμα. Ψευδές Σημεία κοπής είναι εκείνες οι κορυφές, των οποίων η διαγραφή αυξάνει τον αριθμό των συνεκτικών συνιστώσων του γράφου. Δηλαδή η κορυφή είναι σημείο κοπής εάν k { } k, όπου με {} αναφερόμαστε στο γράφο που διαγράψαμε την κορυφή και όλες τις ακμές που την περιέχουν. Καταρχήν θα δείξουμε ότι Κάθε δένδρο περιέχει κορυφές βαθμού Έστω ότι P μέγιστο μονοπάτι σε κάποιο δένδρο μεταξύ των κορυφών 0 και, και έστω ότι d 0 ή αντίστοιχα d. Προκύπτει ότι θα υπάρχει κορυφή τέτοια ώστε 0, E και έχουμε δύο πιθανές περιπτώσεις: Α είτε P όπου τότε θα έχουμε κύκλο 0 άρα άτοπο Β είτε P όπου τότε το μονοπάτι P δεν θα είναι μέγιστο, εφόσον υπάρχει μεγαλύτερο σε μήκος μονοπάτι, 0,...,, δηλαδή άτοπο. Τα παραπάνω επίσης ισχύουν και για d, οπότε συμπεράνουμε ότι d 0 d εφόσον το είναι δένδρο, δηλαδή συνδεόμενο γράφημα. Αλλά τότε θα έχουμε
k { 0} k { } k και βρήκαμε δύο τουλάχιστον κορυφές που δεν είναι σημεία κοπής σε οποιοδήποτε δένδρο. 5 Αληθές r -κανονικός γράφος είναι εκείνος ο γράφος όπου όλες του οι κορυφές έχουμε βαθμό r. Γνωρίζουμε ότι για r-κανονικό δένδρο θα έχουμε Α E d r Β E Οπότε για q E, από το Α και Β έχουμε r r r Η παραπάνω σχέση ικανοποιείται για r 0, και r,, ενώ για r το δεν ορίζεται εφόσον πρέπει να είναι θετικός ακέραιος. Αλλά τα μόνα δένδρα με, είναι