ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ Ν Ν s Πηγή Ρυθμός αφίξεων λ τ Ν q W q Server 1 Server 2... Server 3 Ουρά W W s Εξυπηρέτηση
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ Ν q : ο αριθμός των πελατών στην ουρά Ν S : ο αριθμός των πελατών που εξυπηρετούνται Ν : ο συνολικός αριθμός πελατών μέσα στο σύστημα W q : μέσος χρόνος αναμονής ενός πελάτη μέσα στην ουρά W S : μέσος χρόνος εξυπηρέτησης W : ο συνολικός χρόνος αναμονής τ : χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ ΠΗΓΗ : πεπερασμένη ή άπειρη ΠΡΟΤΥΠΟ ΑΦΙΞΕΩΝ: ικανότητα εξυπηρέτησης δεν εξαρτάται μόνο από τον ρυθμό άφιξης λ αλλά και από τον χρόνο μεταξύ των αφίξεων τ Poisson (τ : εκθετική κατανομή ) Άλλες: σταθερή, γενική, υπεργεωμετρική, k- erlang ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ : συνήθως εκθετική κατανομή παραμέτρου μ, η οποία εκφράζει τον ρυθμό εξυπηρέτησης Άλλες: σταθερή, γενική, υπεργεωμετρική, k- erlang ΜΈΓΙΣΤΗ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ : ή 0 ή k Μέγιστο αριθμό πελατών k Αν ο αριθμός πελατών μεγαλύτερος από kτότε οι υπόλοιποί χάνονται
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΤΩΝ (servers): Single-server system Multiserver system ( c ίδιους servers) Infinite-server system (κάθε πελάτης που φτάνει εξυπηρετείται αμέσως) ΚΑΝΟΝΑΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ : FIFO LIFO RSS-SIRO (Random selection for Service-Service in Random Order) Όλοι οι πελάτες έχουν την ίδια πιθανότητα να εξυπηρετηθούν PRI (Priority Service) Οι πελάτες χωρίζονται σε ομάδες προτεραιότητας με προνομιακή μεταχείριση
ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ KENDAL Ένα σύστημα ουράς περιγράφεται ως Α/Β/c/k/m/Z A η κατανομή του χρόνου μεταξύ 2 διαδοχικών αφίξεων Β η κατανομή του χρόνου εξυπηρέτησης c ο αριθμός των servers k ο μέγιστος αριθμός πελατών στο σύστημα m το πλήθος της πηγής Ζ τον κανόνα εξυπηρέτησης
ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ {Ν(t), t 0} Συμβολίζουμε με: t n την χρονική στιγμή της n-οστής άφιξης στο σύστημα τ n την χρονική στιγμή της n-οστής αναχώρησης πελάτη από το σύστημα N(t) 3 2 1 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 τ 1 τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 t
ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΜΟΝΗΣ {Ν(t), t 0} Στις περισσότερες περιπτώσεις η διαδικασία {Ν(t), t 0} είναι η πιο χρήσιμη στοχαστική διαδικασία για την περιγραφή και την μελέτη της στοχαστικής συμπεριφοράς του συστήματος αναμονής. Επομένως, ενδιαφερόμαστε για τον προσδιορισμό της αντίστοιχης μεταβατικής κατανομής, δηλαδή για την εύρεση των πιθανοτήτων p j (t ) Pr ύπαρξης j πελατών στο σύστημα, ως συναρτήσεων του χρόνου t. N(t ) Συχνά όμως αυτό είναι δύσκολο να γίνει ειδικά με αναλυτική μορφή. Επίσης η {Ν(t), t 0} μετά από παρέλευση μικρού χρόνου παύει να έχει μεταβατική συμπεριφορά και φτάνει σε μια κατάσταση ισορροπίας και κατά συνέπεια το ενδιαφέρον μας επικεντρώνεται στον προσδιορισμό της αντίστοιχης οριακής κατανομής p j j lim p t j (t )
ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Ένα σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας όταν η συμπεριφορά του δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες που υπάρχουν κατά την έναρξη της λειτουργίας του. Ένα σύστημα φτάνει σε κατάσταση ισορροπίας όταν παρέλθει ένα εύλογο χρονικό διάστημα από την εκκίνηση του. Κατά το χρονικό αυτό διάστημα εξαλείφεται σταδιακά η επίδραση των συνθηκών κατά την εκκίνηση στην συμπεριφορά του συστήματος. Σε αυτήν την περίπτωση, οι δείκτες μέτρα απόδοσης του συστήματος δεν εξαρτώνται από τον χρόνο.
ΜΕΤΡΑ ΑΠΟΔΟΣΗΣ Αφού περιγράψουμε ένα σύστημα, το πρόβλημα είναι να προβλέψουμε την συμπεριφορά του. Κλασσικά ερωτήματα που μας ενδιαφέρουν είναι: Πόσοι πελάτες θα βρίσκονται στο σύστημα κατά μέσο όρο σε μια τυχαία χρονική στιγμή Πόσο χρόνο θα περάσει στο σύστημα κατά μέσο όρο ένας πελάτης; Ποιο ποσοστό του χρόνου του θα βρίσκεται απασχολημένος ένας server; Για να απαντήσουμε σε τέτοιου είδους ερωτήματα χρησιμοποιούμε τα παρακάτω μέτρα Πυκνότητα κίνησης E[ S] u E[ ] Ε[S] : μέσος χρόνος εξυπηρέτησης ανά server Ε[τ]: μέσος χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων για όλους του πελάτες που μπαίνουν στο σύστημα
ΜΕΤΡΑ ΑΠΟΔΟΣΗΣ Χρήση server (server utilization) (Παράδειγμα) Η πιθανότητα ένας server να είναι κατειλημμένος u c c Άλλα χρήσιμα μέτρα (για στάσιμες καταστάσεις): W μέσος χρόνος αναμονής στο σύστημα W q μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά L μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα L q μέσος αριθμός πελατών στην ουρά L s μέσος αριθμός πελατών που εξυπηρετούνται p n πιθανότητα να υπάρχουν n πελάτες στο σύστημα
ΙΔΙΟΤΗΤΑ PASA Poisson Arrival See ime Averages Σε ένα σύστημα εξυπηρέτησης στο οποίο οι πελάτες έρχονται σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson ( δηλαδή οι ενδιάμεσοι χρόνοι μεταξύ των αφίξεων είναι ανεξάρτητοι και ακολουθούν εκθετική κατανομή ) η οριακή κατανομή στις στιγμές αφίξεων ταυτίζεται με αυτή στον συνεχή χρόνο. Αυτό σημαίνει ότι ένας πελάτης που καταφτάνει στο σύστημα, βλέπει το σύστημα όπως θα το έβλεπε αν ερχόταν οποιαδήποτε τυχαία χρονική στιγμή (παρόλο που η άφιξη τους επηρεάζει το σύστημα)
ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LILE Σε συστήματα αναμονής που παρουσιάζουν μεγάλο μέσο μήκος ουράς αναμένουμε διαισθητικά ότι και ο μέσος χρόνος παραμονής θα είναι μεγάλος και αντίστροφα. Γενικά, ισχύει η προφανής σχέση: N t N0 At Dt t 0 όπου Α(t) και D(t) είναι οι αριθμοί των αφίξεων και αναχωρήσεων αντίστοιχα στο [0,t]. Παρακάτω φαίνονται δύο πραγματοποιήσεις των στοχαστικών διαδικασιών {Α(t), t 0}, {D(t), t 0}
ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LILE 6 5 Α(t) N(t) D(t) 4 3 2 1 0
ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LILE Υποθέτουμε για ευκολία ότι Ν(0)=0 Έστω λ Τ ο ρυθμός αφίξεων για το χρονικό διάστημα [0,], δηλαδή: A και έστω ακόμα Γ(t) ο συνολικός χρόνος που έχει δαπανηθεί στο σύστημα από όλους τους πελάτες μέχρι την χρονική στιγμή Τ. Η ποσότητα Γ(t) είναι ίση με το εμβαδόν μεταξύ των δύο γραμμών. W μέσος χρόνος αναμονής στο σύστημα W n χρόνος αναμονής στο σύστημα του n-οστού πελάτη L μέσος αριθμός πελατών στο σύστημα
Τότε και ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LILE L W 1 N( u )du A( u )du 0 0 0 1 A( A( ) A( Όπου ε(τ) είναι το άθροισμα όλων των υπολειπόμενων χρόνων παραμονής στο σύστημα την χρονική στιγμή Τ, των παρόντων πελατών στο σύστημα σ αυτή τη χρονική στιγμή ) A( ) n1 W n ) 1 1 A( ) ( ) D( u )du
ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LILE Προκύπτει από τις προηγούμενες σχέσεις L A A W A W και αν υποθέσουμε ότι υπάρχουν τα όρια τότε θα υπάρχει και το όριο και επομένως lim L W lim L L W lim W
ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ LILE ΑΡΑ: Ο νόμος του Little είναι ένα πολύ γενικό αποτέλεσμα που συνδέει το μέσο αριθμό πελατών στο σύστημα L, τον ρυθμό αφίξεων λ και το μέσο χρόνο παραμονής ενός πελάτη στο σύστημα W. Επίσης συνδέει τον μέσο αριθμό πελατών στην ουρά L q με το μέσο χρόνο αναμονής στην ουρά W q L W L q W q
Άσκηση Σε ένα σύστημα αναμονής με Poisson (λ=5) διαδικασία αφίξεων και πεπερασμένη χωρητικότητα k, είναι p k =0.2 και Ε(Ν)=4. Βρείτε τον οριακό μέσο χρόνο παραμονής στο σύστημα των αποδεκτών πελατών.
ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ-ΘΑΝΑΤΩΝ Μια διαδικασία γεννήσεων-θανάτων αποτελεί μια ειδική περίπτωση ενός μοντέλου Markov, στο οποίο μεταβάσεις γίνονται μονάχα μεταξύ γειτονικών καταστάσεων ΓΕΝΝΗΣΗ = άφιξη πελάτη στο σύστημα ΘΑΝΑΤΟΣ = αναχώρηση πελάτη από το σύστημα μετά από εξυπηρέτηση Εισάγουμε τις παραμέτρους λ n και μ n, οι οποίες αντιπροσωπεύουν τον ρυθμό γεννήσεων και τον ρυθμό θανάτων αντίστοιχα όταν η διαδικασία βρίσκεται στην κατάσταση n. Οι ρυθμοί λ n και μ n είναι ανεξάρτητοι του χρόνου, άρα η αλυσίδα Markov είναι ομογενής. Θα ισχύει:
ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ-ΘΑΝΑΤΩΝ Η μεταβατική κατανομή είναι: p n t PrX ( t) n ne και προκύπτει σαν λύση των διαφορικών εξισώσεων: dp n dt t p t p t p t ne n n n n1 n1 n1 n1 και ne p n t 1 και τις κατάλληλες αρχικές συνθήκες p n 0 ne
ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΕΝΝΗΣΕΩΝ-ΘΑΝΑΤΩΝ Η αντίστοιχη μοναδική οριακή κατανομή p υπάρχει αν και μόνο αν n lim p t n t ne και είναι της μορφής ne... 0 n1... 1 1 2 n p n (Παράδειγμα) ne 1 01... n... n 01...... 1 1 2 1 2 n1 n n E