Ε Μ Π Η Μ Π Σ Σ Ε Μ Φ Ε. Φοιτήτρια: Π Χ. Καθηγητής: Χ Κ

Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Η Μ Π Σ Φοιτήτρια: Π Χ Καθηγητής: Χ Κ Αθήνα, Οκτώβρης 214

2

Περιεχόμενα 1 Χώροι Sobolev 5 1.1 Χώροι Banach......................... 5 1.2 Χώροι Hilbert.......................... 5 1.3 Χώροι Hölder.......................... 11 1.4 Χώροι Sobolev......................... 12 1.4.1 Ασθενής παράγωγος.................. 12 1.5 Προσεγγίσεις σε χώρους Sobolev............... 17 1.6 Επέκταση............................ 23 1.7 Ίχνος............................... 26 1.8 Βασικές Ανισότητες...................... 29 1.9 Ανισότητες Sobolev....................... 31 1.9.1 Ανισότητα Gagliardo-Nirenberg-Sobolev...... 32 1.9.2 Ανισότητα Morrey................... 35 1.9.3 Γενικές ανισότητες Sobolev.............. 38 1.1 Συμπάγεια........................... 4 1.11 Περισσότερες Ανισότητες................... 42 1.12 Υπόλοιπα Διαφορών...................... 44 1.13 Διαφορισιμότητα - Μετασχηματισμός Fourier....... 48 1.14 Λοιποί χώροι συναρτήσεων.................. 51 2 Παραβολικές εξισώσεις δεύτερης τάξης 59 2.1 Ορισμοί............................. 59 2.1.1 Παραβολικές Εξισώσεις................ 59 2.1.2 Ασθενείς Λύσεις.................... 6 2.2 Ύπαρξη Ασθενών Λύσεων................... 62 2.2.1 Προσεγγίσεις Galerkin................. 62 2.2.2 Ενεργειακές Εκτιμήσεις................ 64 2.2.3 Ύπαρξη και Μοναδικότητα.............. 67 2.2.4 Ομαλότητα....................... 69 2.3 Θεωρία Ημιομάδων...................... 73 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 Η κλασική μέθοδος Galerkin 77 3.1 Διακριτοποίηση......................... 79 3.2 Άλλοι τρόποι διακριτοποίησης ως προς τη μεταβλητή του χρόνου.............................. 86 3.2.1 Euler-Galerkin Μέθοδος................ 86 4 Στοχαστικές Διαφορικές Εξισώσεις 89 4.1 Εισαγωγή............................ 89 4.2 Βασικές έννοιες και ορισμοί................. 9 4.3 Η στοχαστική ανέλιξη της Κίνησης Brown......... 91 4.4 Στοχαστικό Ολοκλήρωμα Ito................. 96 4.5 Στοχαστικές Ανελίξεις Ito................... 98 4.6 Στοχαστική διαφορική εξίσωση................ 1 5 Ημιδιακριτή προσέγγιση Galerkin 13 5.1 Στοχαστικό Ολοκλήρωμα Ito και χώροι Hilbert...... 13 5.1.1 Ημιδιακριτή προσέγγιση Galerkin για μία γραμμική στοχαστική παραβολική μερική διαφορική εξίσωση........................... 16 6 Βιβλιογραφία 111

Κεφάλαιο 1 Χώροι Sobolev 1.1 Χώροι Banach Ορισμός 1.1. Έστω Χ διανυσματικός χώρος. Μια απεικόνιση : X R λέγεται νόρμα αν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) x για κάθε x ϵ X (ii) x = x = (iii) λx = λ x για κάθε x ϵ X και λ ϵ R. (iv) x + y x + y για κάθε x, y ϵ X (τριγωνική ανισότητα). Ορισμός 1.2. Ένας χώρος με νόρμα (X, ) λέγεται χώρος Banach αν είναι πλήρης ως προς τη μετρική που ορίζει η νόρμα. (Δηλαδή αν κάθε ακολουθία Cauchy στον X συγκλίνει σε κάποιο στοιχείο του X.) 1.2 Χώροι Hilbert Ορισμός 1.3. Έστω V ένας μιγαδικός διανυσματικός χώρος. Εσωτερικό γινόμενο στον V είναι μια απεικόνιση, : V V C τέτοια ώστε για κάθε x, y, z ϵ V και για κάθε λ ϵ C να ισχύουν: (i) x + y, z = x, z + y, z (ii) λx, y = λ x, y 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV (iii) x, y = y, x (iv) x, x και αν x, x = τότε x =. Ένας διανυσματικός χώρος V μαζί με ένα εσωτερικό γινόμενο, λέγεται διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Cauchy-Schwarz. Έστω (V,, ) διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Τότε, για κάθε x, y ϵ V ισχύει x, y 2 x, x y, y Πόρισμα 1.1. Έστω (V,, ) διανυσματικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο. Τότε η συνάρτηση : V R +, x = x, x 1/2 ορίζει μια νόρμα στον V, ισοδύναμα για κάθε x, y ϵ V και για κάθε λ ϵ C ισχύει: (i) x + y x + y (ii) λx = λ x (iii) x = x =. Ορισμός 1.4. Ένας διανυσματικός χώρος (V,, ) με εσωτερικό γινόμενο ονομάζεται χώρος Hilbert αν είναι πλήρης ως προς τη νόρμα (μετρική) που ορίζει το εσωτερικό γινόμενο. Ορισμός 1.5. Έστω H ένας χώρος Hilbert και S γραμμικό υποσύνολο του H τέτοιο ώστε το S να είναι κλειστό στον H. Τότε, το S ονομάζεται υπόχωρος του H. Ορισμός 1.6. Έστω (H,, ) ένας χώρος Hilbert και M H ένα υποσύνολό του. Ορίζουμε το ορθογώνιο συμπλήρωμα του Μ ως το σύνολο M := {v ϵ H : v, x =, x ϵ M}. Θεώρημα 1.1. Έστω (H,, ) ένας χώρος Hilbert και M H ένα υποσύνολό του. Τότε, το σύνολο M είναι υπόχωρος του Hilbert.

1.2. ΧΩΡΟΙ HILBERT 7 Απόδειξη. Έστω v 1, v 2 ϵ M και λ ϵ R. Τότε (i), x =, x ϵ M. (ii) v 1 + v 2, x = v 1, x + v 2, x = + =, x ϵ M. (iii) λv 1, x = λ v 1, x = λ =, x ϵ M. Άρα ο M είναι υπόχωρος του H. Πόρισμα 1.2. Έστω H χώρος Hilbert. (i) Για κάθε υποσύνολα M, N H, M N = N M (ii) Για κάθε υποσύνολο Μ του Η το οποίο περιέχει το ισχύει ότι M M = {}. (iii) {} = H. (iv) H = {}. Απόδειξη. (i) Έστω v ϵ N. Τότε, v, x =, x ϵ N = v, x =, x ϵ M = v ϵ M. (ii) Έστω v ϵ M M. Τότε, v ϵ M και vϵm. Άρα, v, x =, x ϵ M = v, v = = v =. (iii) Ισχύει ότι, x =, x ϵ H. Άρα, από τον ορισμό ισχύει ότι {} = H. (iv) Αφού ισχύει ότι H H, και έχουμε ότι H H = {}, συνεπάγεται ότι H = {}. Θεώρημα 1.2. Έστω (H,, ) χώρος Hilbert και η επαγόμενη νόρμα από το εσωτερικό γινόμενο. Τότε, για κάθε u, v ϵ H έχουμε u + v 2 + u v 2 = 2( u 2 + v 2 ).

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Απόδειξη. u + v 2 + u v 2 = u + v, u + v + u v, u v = u, u + 2 u, v + u, u + v, v 2 u, v + v, v = 2( u 2 + v 2 ). Θεώρημα 1.3. Έστω Μ υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H. Έστω v ϵ H\M και ορίζουμε δ := inf{ v w : w ϵ M}. Τότε, υπάρχει w o ϵ M τέτοιο ώστε: (i) v w o = δ. (ii) v w o ϵ M. Απόδειξη. (i) Έστω {w n } μια ακολουθία τέτοια ώστε lim k v w n = δ. Θα δείξουμε ότι η ακολουθία {w n } είναι ακολουθία Cauchy. Από τον κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε ότι (w n v) + (w m v) 2 + (w n v) (w m v) 2 = 2( w n v 2 + w m v 2 ). Ισχύει ότι w n w m 2 = 2( w n v 2 + w m v 2 ) 4 1 2 (w n w m ) v 2. Αφού ο Μ είναι υπόχωρος, ισχύει ότι 1 2 (w n + w m ) ϵ M, έχουμε Άρα, 1 2 (w n + w m v) δ. w n w m 2 2( w n v 2 + w m v 2 ) 4δ 2. Για m, n έχουμε ότι 2 w n v 2 + 2 w m v 2 4δ 2δ 2 + 2δ 2 4δ 2 =. Συνεπώς, w n w m, και έτσι η {w n } είναι Cauchy. Άρα, υπάρχει w o ϵ M = M τέτοιο ώστε w n w o. Λόγω συνέχειας της νόρμας έχουμε ότι w o v = δ.

1.2. ΧΩΡΟΙ HILBERT 9 (ii) Έστω z = w o v, με z = δ. Θα αποδείξουμε ότι z M. Έστω w ϵ M και λ ϵ R. Τότε, w o + λw ϵ M και η ποσότητα έχει ελάχιστο για λ =. Άρα, Άρα, για κάθε w ϵ M ισχύει ότι z λw 2 = v (w o + λw) 2 = d dλ z λw 2 λ= = 2 z, w. v w o, w = z, w =. που σημαίνει ότι το v w o M ή v w o ϵ M. Θεώρημα 1.4. Έστω M υπόχωρος ενός χώρου Hilbert H και v ϵ H. Τότε, ισχύει ότι H = M M Απόδειξη. Έστω x ϵ H. Αν y είναι το μοναδικό σημείο του που είναι το πιο κοντινό στο x, τότε έχουμε ότι y = x y ϵ M. Άρα, x = y + y, όπου y ϵ M και y ϵ M. Επιπλέον, έχει δειχθεί ότι M M = {}, το οποίο συνεπάγεται το ζητούμενο. Ορισμός 1.7. Ένας τελεστής P πάνω σε ένα γραμμικό χώρο V ονομάζεται προβολή αν P 2 = P. Παρατήρηση 1.1. Παρατηρούμε ότι αν H χώρος Hilbert και M ένας υπόχωρός του, τότε υπάρχει P : H M με P x = y, για κάθε x ϵ H, όπου x = y +y με y ϵ M και y ϵ M.(Συμβολίζουμε την προβολή αυτή με P M ) Θεώρημα 1.5. Έστω H χώρος Hilbert και u ϵ H. Θεωρούμε την απεικόνιση L u : H R με L u (v) = u, v. Τότε, η L u είναι γραμμική και συνεχής. Απόδειξη. Λόγω της γραμμικότητας και συνέχειας του εσωτερικού γινομένου, ισχύει ότι η L u είναι γραμμική και συνεχής.

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Θεώρημα 1.6. Θεώρημα αναπάραστασης του Riesz. Κάθε συνέχης γραμμική συνάρτηση L σε ένα χώρο Hilbert H μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως L(v) = u, v για κάποιο u ϵ H. Επιπλέον, έχουμε ότι L u H = u H. Απόδειξη. Έστω M := v ϵ H : L(v) =. Παρατηρούμε ότι το M είναι υπόχωρος του H λόγω της γραμμικότητας και της συνέχειας της L. Συνεπώς, H = M M. (i) Αν M = {} τότε M = H και αυτό συνεπάγεται ότι L, συνεπώς ισχύει για u =. (ii) Αν M {} συνεπώς ένα z ϵ M, με z. Τότε, L(z), διότι αν L(z) = z ϵ M M = {}. Για v ϵ H και β ϵ L(v)/L(z) έχουμε ότι L(v βz) = L(v) βl(z) =. Άρα, v βz ϵ M, δηλαδή v βz = P M v και συνεπώς βz = P M v. Συγκεκριμένα, αν v ϵ M, τότε v βz = ή v = βz το οποίο έπεται ότι ο M είναι μονοδιάστατος. Επιλέγουμε u := L(z) z. z 2 H Παρατηρούμε ότι u ϵ M. Όποτε, έχουμε u, v = u, (v βz) + βz = u, v βz + u, βz = u, βz = β L(z) z, z z 2 H = βl(z) = L(v). Για την μοναδικότητα, έστω u 1, u 2 δύο στοιχεία τέτοια. Τότε, = L(u 1 u 2 ) L(u 1 u 2 ) = u 1, u 1 u 2 u 2 u 1 u 2 = u 1 u 2, u 1 u 2 το οποίο συνεπάγεται ότι u 1 = u 2.

1.3. ΧΩΡΟΙ HÖLDER 11 Τέλος, απομένει να αποδειχθεί ότι L H = u H. Παρατηρούμε πρώτα ότι u H = L(z) z H. Από τον ορισμό της δυικής νόρμας συνεπάγεται ότι L H = u, v = sup v ϵ H v H L(v) sup v ϵ H v H u H Συνεπώς, L H = u H. = L(z) z H L H. 1.3 Χώροι Hölder Θεωρούμε U R ένα ανοιχτό σύνολο και γ ϵ (, 1]. Ορισμός 1.8. Οι συναρτήσεις u : U R που ικανοποιούν την σχέση u(x) u(y) C x y γ για κάποιο γ ϵ (, 1] λέγονται Hölder συνεχείς με εκθέτη γ. Ορισμός 1.9. i) Εάν η συνάρτηση u : U R είναι φραγμένη και συνεχής, η νόρμα στο C(U) είναι u C(U) := sup u(x). x ϵ U ii) Η γ th - Hölder ημινόρμα της u : U R είναι η { u(x) u(y) [u] C,γ (U) := x y γ sup x,y ϵ U,x y iii) Ο Hölder χώρος C k,γ (U) αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις u ϵ C k (U) με την νόρμα να είναι πεπερασμένη και ορισμένη ως εξής u C k,γ(u) := D a u C(U) + [D a u] C,γ (U). a k a =k }.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Επομένως ο χώρος C k,γ (U) αποτελείται από αυτές τις συναρτήσεις u που είναι k-φορές συνεχώς παραγωγίσιμες και των οποίων η k th -μερική παράγωγος είναι φραγμένη και Hölder συνεχής με εκθέτη γ. Παρατήρηση 1.2. Οι Hölder χώροι δεν είναι συχνά κατάλληλοι για την στοιχείωση και την μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων, διότι δεν ξέρουμε πάντα αν οι λύσεις των μερικών διαφορικών εξισώσεων ανήκουν στον Hölder χώρο. Απεναντίας χρειαζόμαστε χώρους που έχουν λιγότερες λείες συναρτήσεις. Μια περίπτωση αυτών των χώρων είναι οι χώροι Sobolev. Θεώρημα 1.7. O χώρος των συναρτήσεων C k,γ (U) είναι χώρος Banach. 1.4 Χώροι Sobolev 1.4.1 Ασθενής παράγωγος Ορισμός 1.1. Έστω ο Cc (U) ο χώρος των απείρως παραγωγίσιμων σναρτήσεων ϕ : U R των οποίων το στήριγμα είναι συμπαγές υποσύνολο του U. Το στήριγμα μιας συνεχούς συνάρτησης είναι το σύνολο (ή η κλειστότητα αυτού) πάνω στο οποίο η συνάρτηση δεν μηδενίζεται. Μια συνάρτηση ϕ που ανήκει στο Cc (U) συνήθως καλείται συνήθως δοκιμαστική συνάρτηση. Ορισμός 1.11. Έστω u, v ϵ L 1 loc (U) και α είναι ένα διάνυσμα. Λέμε ότι το v είναι η α th ασθενής μερική παράγωγος της u, και συμβολίζουμε με D α u = v, αν ισχύει ud α ϕdx = ( 1) a vϕdx U για όλες τις δοκιμαστικές συναρτήσεις ϕ ϵ C oo c (U). Θεώρημα 1.8. Η α-ασθενής μερική παράγωγος της u, αν υπάρχει, είναι μοναδικά ορισμένη σχεδόν παντού στο L 1 loc (U). Απόδειξη. Έστω ότι υπάρχουν δύο συναρτήσεις v, v ϵ L 1 loc (U) τέτοιες ώστε ud α ϕdx = ( 1) a vϕdx = ( 1) a vϕdx ϕ ϵ Cc oo (U). U Συνεπώς v = v σχεδόν παντού στο L 1 loc (U). U U U

1.4. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV 13 Ορισμός 1.12. Ο χώρος Sobolev W k,p (U), με k ϵ N {} και 1 p απαρτίζεται από όλες τις τοπικά αθροίσιμες συναρτήσεις u : U R τέτοιες ώστε για κάθε διάνυσμα α με α k, υπάρχει η α-ασθενής μερική παράγωγος D a u και ανήκει στον L p (U). Παρατήρηση 1.3. Στον παραπάνω ορισμό, αν p = 2 τότε γράφουμε H k (U) = W k,2 (U). Αν επιπλέον k =, τότε H o (U) = L 2 (U). Ορισμός 1.13. Αν u ϵ W k,p (U), ορίζουμε τη νόρμα ( 1/p U Da u dx) p, 1 p < α k u W k,p (U) := ess sup U D a u, p = α k Ορισμός 1.14. Εστω και δύο χώροι Banach με νόρμες X, Y και X Y. Θα λέμε ότι ο είναι συμπαγώς ενσωματωμένος στον (X Y ), αν x Y C x X (x ϵ X) για κάποια σταθερά C, και κάθε ακολουθία σε κάθε φραγμένο υποσύνολο του έχει υπακολουθία που είναι Cauchy ως προς τη νόρμα Y. Ορισμός 1.15. Έστω {u m } m=1 και u ϵ W k,p (U). Θα λέμε ότι η u m συγκλίνει στο u στο W k,p (U) και γράφουμε u m u στο W k,p (U), αν lim u m u W m k,p (U) = Γράφουμε u m u στο W k,p loc (U), αν u m u στο W k,p (V ) για κάθε V U. Ορισμός 1.16. Συμβολίζουμε με Wo k,p (U) την πλήρωση (κλειστότητα) του Cc (U) ως προς η νόρμα W (U). k,p Σημείωση 1.1. Γράφουμε Ho k (U) = Wo k,2 (U).

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Θεώρημα 1.9. Ασθενής Παράγωγος. Έστω u, v ϵ W k,p (U) a k. Τότε (i) D a u ϵ W K a,p (U) και D β(dα u) = D α (D βu ) = D α+β u για κάθε διάνυσμα α και β με α + β k. (ii) Για κάθε λ, µ ϵ R, λu+µv ϵ W k,p (U) και D α (λu+µv) = λd α u+µd α v, α k. (iii) Αν V είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του U, τότε u ϵ W k,p (V ). (iv) Αν ζ ϵ C c (U), τότε ζu ϵ W k,p (U) και D α (ζu) = ( ) α D b ζd α β u (Leibniz formula) β β α όπου ( ) α β = α!. β!(α β)! Απόδειξη. (i) Έστω ϕ ϵ Cc (U). Τότε D β ϕ ϵ Cc (U), και συνεπώς D α ud β ϕdx = ( 1) α ud α+β ϕdx U = ( 1) α ( 1) α+β U D α+β uϕdx = ( 1) β Άρα D β (D α u) = (D α+β )u υπό ασθενή έννοια. U D α+β uϕdx. (ii), (iii) Οι αποδείξεις των (ii),(iii) είναι απλές εφαρμογές των ιδιοτήτων του ολοκληρώματος Lebesque. (iv) Θα δουλέψουμε με επαγωγή ως προς το α. Για α = 1 έχουμε ζud α ϕdx = ud α (ζϕ)dx uϕd α ζdx = (ζd α u + ud α ζ)ϕdx. U Επιπλέον, D α (ζu) = ζd α u + ud α ζ άρα ισχύει. Έστω l < k και ότι ισχύει για όλα τα α l και όλες τις συναρτήσεις ζ. Τότε για α = l + 1, υπάρχουν διανύσματα U

1.4. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV 15 β, γ τέτοια ώστε α = β + γ, β = l και γ = 1. Τότε, για κάποιο ϕ ϵ Cc (U) έχουμε ζud α ϕdx = ζud β (D γ ϕ)dx = ( 1) α U = ( 1) β U σ β,ρ=σ+γ U σ β U ( ) α D σ ζd β σ ud γ ϕdx σ ( ) β [D ρ ζd α ρ u + D σ ζd α σ u]ϕdx σ αφού = ( 1) α = U [ σ α ( ) β + σ γ ( α ) σ D σ ζd α σ u ] ϕdx, ( ) β = σ ( ) α. σ Θεώρημα 1.1. Οι χώροι Sobolev ως χώροι συναρτήσεων. Για κάθε k = 1, 2,... και 1 p, οι χώροι Sobolev W k,p (U) είναι χώροι Banach. Απόδειξη. Αρχικά θα αποδείξουμε ότι η W k,p (U) είναι νόρμα. Εύκολα αποδεικνύεται ότι και ότι λu W k,p (U) = λ u W k,p (U) u W k,p (U) = u = σχεδόν παντού. Έστω u, v ϵ W k,p (U). Τότε αν 1 p < από την ανισότητα Minkowski έχουμε ότι ( ) u + v W k,p (U) = D α u + D α v p 1/p L p (U) α k

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV ( ( D α u L p (U) + D α p ) 1/p v L (U)) p α k ( ( D α u p L p (U) α k ) 1/p ( + ( D α v p L p (U) α k ) 1/p = u Wk,p (U) + v Wk,p (U). Μένει να αποδείξουμε ότι ο W k,p (U) είναι πλήρης ως προς τη νόρμα Wk,p (U). Έστω {u n } n=1 ακολουθία Cauchy στον W k,p (U). Τότε, για κάθε α k, {D α u n } n=1 είναι Cauchy ακολουθία στον L p (U). Αφού ο L p (U) είναι πλήρης, υπάρχουν συναρτήσεις u α ϵ L p (U) τέτοιες ώστε για κάθε Συγκεκριμένα, D α u n u α στον L p (U) α k. u n u (,,...,) := u στον L p (U). Ισχυριζόμαστε ότι u ϵ W k,p (U) και D α u = u α όπου α k. Πράγματι, έστω ϕ ϵ Cc (U). Τότε ud α ϕdx = lim u m D U m U α ϕdx = lim ( 1) α D m U α u m ϕdx = ( 1) α U u α ϕdx Ο ισχυρισμός που έγινε επαληθεύτηκε και άρα αφού D α u m D α u στον L p (U) για κάθε α k, συνεπάγεται ότι u m u στον W k,p (U), το οποίο είναι το ζητούμενο.

1.5. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ SOBOLEV 17 1.5 Προσεγγίσεις σε χώρους Sobolev Σημείωση 1.2. U ε := {x ϵ U : dist(x, U) > ε}. Ορισμός 1.17. (i) Ορίζουμε η ϵ C (R n ) με η(x) := {Ce 1 x 2 1, x < 1, x 1 με C > σταθερά τέτοια ώστε R n ηdx = 1 (ii) Για κάθε ε >, ορίζουμε τη συνάρτηση Standard Mollifier ως η ε (x) := 1 ε n η( x ε ). Η συνάρτηση η ε είναι C (U ε ) και ισχύει R η εdx = 1, supp(η ε ) B(, ε). Ορισμός 1.18. Αν η συνάρτηση f : U R είναι τοπικά ολοκληρώσιμη, τότε ορίζουμε τη συνάρτηση Mollifier της f ως f ε := η ε f, στο U ε με τύπο f ε (x) = η ε (x y)f(y)dy = η ε (y)f(x y)dy, U B(,ε) για x ϵ U ε. Θεώρημα 1.11. Ιδιότητες συναρτήσεων mollif ier (i) f ε ϵ C (U ε ) (ii) f ε f σχεδόν παντού, καθώς ε (iii) Αν f ϵ C(U), τότε f ε f ομοιόμορφα σε συμπαγή υποσύνολα του U. (iv) Αν 1 p < και f ϵ L p loc (U), τότε f ε f στο L p loc (U). Απόδειξη.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV (i) Έστω x ϵ U ε, i ϵ {1,..., n}, και h αρκετά μικρό ώστε x + he i ϵ U ε. Τότε = 1 ε n f ε (x + he i ) f ε (x) h U 1 h [ η( x+he i y ε ) η( x y ) ] f(y)dy ε = f ε (x + he i ) f ε (x) h = 1 ε n V 1 h [ η( x+he i y ε ) η( x y ) ] f(y)dy ε για κάποιο ανοιχτό σύνολο V U. Αφού = 1 h [ η( x+he i y ε ) η( x y ) ] 1 η ε ε ( x y ) x i ε ομοιόμορφα στο V, το f ε x i (x) υπάρχει και είναι ίσο με f ε η ε (x) = (x y)f(y)dy. x i x i U Παρόμοια αποδεικνύεται ότι το D α f ε (x) υπάρχει και είναι ίσο με D α f ε (x) = D α η ε (x y)f(y)dy, με x ϵ U ε, για κάθε διάνυσμα α. U (ii) Σύμφωνα με το θεώρημα διαφορισιμότητας του Lebesque, αφού η f είναι τοπικά διαφορίσιμη συνάρτηση f : R n R, ισχύει ότι lim f(y) f(x) dy = r B(x,r) σχεδόν παντού στο U. Έστω x ϵ U. Τότε f ε (x) f(x) = η ε (x y)[f(y) f(x)]dy C 1 ε n B(x,ε) B(x,ε) B(x,ε) η( x y ) f(y) f(x) dy ε f(y) f(x) dy, καθώς ε

1.5. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ SOBOLEV 19 (iii) Έστω ότι f ϵ C(u). Δοθέντος V U επιλέγουμε V W U και παρατηρούμε ότι η f είναι ομοιόμορφα συνεχής στο W. Επιπλέον, f ε f ισχύει ομοιόμορφα για κάθε x ϵ V, άρα f ε f ομοιόμορφα στο V. (iv) Έστω 1 p < και f ϵ L p loc (U). Επιλέγουμε ένα ανοιχτό υποσύνολο V U και ένα ανοιχτό σύνολο W τέτοιο ώστε V W U. Ισχυριζόμαστε ότι για αρκετά μικρό ε > f ε L p (V ) f L p (W ). Πράγματι, αν 1 < p < και x ϵ V, f ε (x) = η B(x,ε) ε(x y)f(y)dy B(x,ε) η1 1 p (x y)η 1 p (x y) f(y) dy ( ) 1 1 ( η p ) 1 B(x,ε) ε(x y)dy η B(x,ε) ε(x y) f(y) p p dy. Όμως, η B(x,ε) ε(x y)dy = 1, άρα έχουμε ( η B(x,ε) ε(x y) f(y) dy) p f ε p dx V V ( ) W f(y) p η B(x,ε) ε(x y)dx dy = W f(y) p dy, δοθέντος ε > αρκετά μικρό. Έστω δ >. Επιλέγουμε g ϵ C(W ) τέτοιο ώστε Τότε f g L p (W ) < δ f ε f L p (V ) f ε g ε L p (V ) + g ε g L p (V ) + g f L p (V ) 2 g f L p (W ) + g ε g L p (V ) 2δ + g ε g L p (V ) Όμως, ισχύει g ε g ομοιόμορφα στο V, άρα έχουμε ότι lim sup f ε f L p (V ) 2δ. ε

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Θεώρημα 1.12. Τοπική προσέγγιση από ομαλές συναρτήσεις. Έστω u ϵ W k,p (U) για κάποιο 1 p <, k > και θέτουμε u ε = η ε u στο U ε. Τότε: (i) u ε ϵ C (U ε ), για κάθε ε > και (ii) u ε u στο W k,p loc (U), καθώς ε Απόδειξη. i Η απόδειξη της (i) έχει γίνει στο θεώρημα (1.11) ii Ισχυριζόμαστε ότι D α u ε = η ε D α u στο U ε με α k. Πράγματι, έστω x ϵ U ε. Τότε D α u ε (x) = D α U η ε(x y)u(y)dy = U Dα xη ε (x y)u(y)dy = ( 1) a U Dα y η ε (x y)dy Για σταθερό x ϵ U ϵ η συνάρτηση ϕ(y) := η ϵ (x y) ανήκει στο Cc (U). Συνεπώς, από τον ορισμό της ασθενής παραγώγου, έχουμε ότι U Dα y η ε (x y)u(y)dy = ( 1) α η U ε(x y)d α u(y)dy. Άρα D α u ε (x) = ( 1) α η U ε(x y)d α u(y)dy =[η ε D α u](x). Επιλέγουμε ένα ανοιχτό σύνολο V U. Από το θεώρημα (1.11) έχουμε ότι D α u ε D α u στο L p (V ) καθώς ε, για κάθε α k. Συνεπώς u ε u p W k,p (V ) = α k καθώς ε. Αυτό αποδεικνύει το (ii) D α u ε D α u p L Lp (V )

1.5. ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΣΕ ΧΩΡΟΥΣ SOBOLEV 21 Θεώρημα 1.13. Ολική προσέγγιση από ομαλές συναρτήσεις. Έστω U είναι φραγμένο και έστω ότι u ϵ W k,p (U) για κάποιο 1 p <. Τότε υπάρχουν συναρτήσεις u m ϵ C (U) W k,p (U) τέτοιες ώστε u m u στο W k,p (U). Απόδειξη. Έχουμε ότι U = i=1u i, όπου για i = 1, 2,... και ορίζουμε U i := {x ϵ U dist(x, U) > 1 i } V i := U i+3 Ūi+1. Επιλέγουμε κάποιο ανοιχτό σύνολο V o U τέτοιο ώστε U = i=v i. Έστω τώρα είναι οικογένεια ομαλών διαμερίσεων της μονάδος {ζ} i= τέτοιες ώστε ζ i 1, ζ i ϵ Cc (V i ) ζ i = 1, στο U i= Έστω u ϵ W k,p (U). Τότε, ισχύει ότι ζ i u ϵ W k,p (U) και supp(ζ i u) V i. Έστω δ >. Επιλέγουμε ε > αρκετά μικρό ώστε u i := η εi (ζ i u) να ικανοποιεί τη σχέση { u i ζ i u W k,p (U) δ για i =, 1,... 2 i+1 supp(u i ) W i για i = 1,... με W i := U i+4 Ūi V i, i = 1,... Ορίζουμε v := u i. Η συνάρτηση αυτή είναι C (U), αφού για κάθε i= ανοιχτό σύνολο V U το άθροισμα έχει το πολύ αριθμήσιμες το πολύ μη αρνητικές τιμές. Αφού u = ζ i u, έχουμε ότι για κάθε V U i= v u W k,p (V ) u i ζ i u W k,p (U) δ i= i= 1 = δ 2 i+1

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Παίρνοντας το supremum στα σύνολα V U καταλήγουμε ότι v u W k,p (U) δ Θεώρημα 1.14. Ολική προσέγγιση μέσω ομαλών συναρτήσεων μέχρι το σύνορο. Έστω U φραγμένο σύνολο και U είναι C 1. Αν u ϵ W k,p (U) για κάποιο 1 p <, τότε υπάρχουν συναρτήσεις u m ϵ C (Ū) τέτοιες ώστε u m u στο W k,p (U). Απόδειξη. Έστω x ϵ U. Αφού το σύνορο U είναι C 1, υπάρχει μια ακτίνα r > και μια C 1 συνάρτηση γ : R n 1 R τέτοια ώστε Ορίζουμε U B(x o, r) = {x ϵ B(x, r) : x n > γ(x 1,..., x n 1 )}. V := U B(x o, r 2 ). Επιπλέον, ορίζουμε το μετατοπισμένο σημείο x ε := x + λεe n με x ϵ V και ε, λ > και παρατηρούμε ότι για κάποιο λ > αρκετά μεγάλο, η μπάλα B(x ε, ε) ανήκει στο U B(x o, r) για όλα τα x ϵ V και όλα τα μικρά ε >. Επιπλέον, ορίζουμε u ε (x) = u(x ε ), x ϵ V και v ε = η ε u ε. Προφανώς, ισχύει ότι v ε ϵ C ( V ). Ισχυριζόμαστε ότι u ε u στο W k,p (V ). Πράγματι, έστω α ένα οποιοδήποτε διάνυσμα με α k D α u ε D α u L p (V ) D α u ε D α u ε L p (V ) + D α u ε D α u L p (V ) Επιλέγουμε δ >. Αφού το U είναι συμπαγές, μπορούμε να βρούμε πεπερασμένα το πλήθος σημεία x o i ϵ U, ακτίνες r i >, σύνολα V i = U B(x o i, r i 2 ) και συναρτήσεις v i ϵ C ( V i ), i =, 1,...N, τέτοια ώστε και U N i=1b o (x o i, r i 2 ) v o v W k,p (V o) δ Έστω {ζ i } N i= μια οικογένεια από ομαλές διαμερίσεις της μονάδας που ορίζονται στα ανοιχτά σύνολα {V i } N i= του U. Ορίζουμε v := N ζ i v i. Τότε προφανώς v ϵ C (Ū) και για κάθε α k ισχύει i=

1.6. ΕΠΕΚΤΑΣΗ 23 D α v D α u L p (U) N D α (ζ i v i ) D α (ζ i u) L p (V i ) i= C N v i u W k,p (V i ) = CNδ i= 1.6 Επέκταση Θεώρημα 1.15. Θεώρημα Επέκτασης Έστω U ένα φραγμένο σύνολο και U είναι C 1. Επιλέγουμε ένα ανοιχτό φραγμένο σύνολο V τέτοιο ώστε V U. Τότε υπάρχει ένας φραγμένος γραμμικός τελεστής E : W 1,p (U) W 1,p (R n ) όπου 1 p, τέτοιος ώστε για κάθε u ϵ W 1,p (U) να ισχύει: (i) Eu = u σχεδόν παντού στο U (ii) supp(eu) V (iii) Eu W 1,p (R n ) C u W 1,p (U) με σταθερά C η οποία εξαρτάται από τα p, U και V. Θεώρημα 1.16. Η συνάρτηση Eu καλείται επέκταση της u στον R n. Απόδειξη. Έστω x ϵ U και υποθέτουμε ότι το U είναι επίπεδο {x n = }. Τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι υπάρχει μια ανοιχτή μπάλα B, με κέντρο x και ακτίνα r, τέτοια ώστε { B + := B {x n } Ū B := B {x n } R n U Προσωρινά υποθέτουμε ότι C (Ū). Ορίζουμε { u(x) xϵb + ū(x) := 3u(x 1,..., x n 1, x n ) + 4u(x 1,..., x n 1, x n 2 ) xϵb Η συνάρτηση αυτή καλείται η ανώτερης τάξης αντανάκλαση του u από την B + στην B. Ισχυριζόμαστε ότι ū ϵ C 1 (B). Για να δείξουμε αυτό, ορίζουμε u := u B, u + := u B +. Θα δείξουμε πρώτα ότι u x n = u + x n στο {x n = }. Πράγματι

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV και έτσι u x n (x) = 3 u x n (x 1,.., x n 1, x n ) 2 u x n (x 1,.., x n 1, xn 2 ) u x n {xn=} = u + x n {xn=}. Τώρα, αφού u + = u στο {x n = }, εύκολα βλέπουμε ότι για i = 1,.., n 1. Άρα και u x i {xn =} = u + x i {xn =} D α u {xn =} = D α u + {xn =} για κάθε α 1 και έτσι έχουμε ότι u ϵ C 1 (B). Παρατηρούμε επίσης ότι ū W 1,p (B) C u W 1,p (B + ) με C σταθερά ανεξάρτητη από το u. Θεωρούμε τώρα ότι το U δεν είναι κατανάγκη επίπεδο κοντά στο x o. Τότε μπορούμε να βρούμε μια C 1 απεικόνιση Φ, με αντίστροφη Ψ, τέτοια ώστε η Φ να μετατρέπει σε επίπεδο το U κοντά στο x o. Γράφουμε y = Φ(x), x = Ψ(y)u (y) := u(ψ(y)). Επιλέγουμε μια μικρή μπάλα B όπως πριν. Τότε λειτουργώντας όπως πριν επεκτείνουμε την συνάρτηση u από το B + σε μια συνάρτηση ū που ορίζεται σε όλο το B, τέτοια ώστε ū = C 1 και έχουμε την εκτίμηση ū W1,p (B) C u W 1,p (B + ). θέτουμε W := Ψ(B). Τότε μετατρέποντας ξανά σε x-συντεταγμένες, παίρνουμε την επέκταση ū του u στο W, με ū W 1,p (W ) C u W 1,p (U). Αφού το U είναι συμπαγές, υπάρχουν πεπερασμένα το πλήθος σημεία x i ϵ U, ανοιχτά σύνολα W i και επεκτάσεις ū i του u στο W i, τέτοια ώστε Γ N i=1w i. Επιλέγουμε W U τέτοιο ώστε U N i=1w i και έστω {ζ i } N i= μια διαμέριση της μονάδας. Γράφουμε ū := N i= ζ iū i, όπου ū o = u. Τότε έχουμε την ανισότητα ū W 1,p (R n ) C u W 1,p (U) Με C σταθερά που είναι ανεξάρτητη από το u. Επιπλέον, μπορούμε το υποστήριγμα του ū να το κανονίσουμε να βρίσκεται εντός του V U. Ορίζουμε Eu := ū και παρατηρούμε ότι η απεικόνιση u Eu είναι γραμμική. Υποθέτουμε τώρα ότι u ϵ W 1,p (U) και επιλέγουμε u m ϵ C (Ū) ώστε να συγκλίνουν στο u στο W 1,p (U). Άρα έχουμε ότι

1.6. ΕΠΕΚΤΑΣΗ 25 Eu m Eu l W 1,p (R n ) C u m u l W 1,p (U). Συνεπώς, {Eu m } m=1 είναι ακολουθία Cauchy και έτσι συγκλίνει στο ū := Eu. Αυτή η επέκταση, η οποία δεν εξαρτάται από την επιλογή της ακολουθίας των προσεγγιστικών συναρτήσεων {u m } m=1, είναι η ζητούμενη. Παρατηρήσεις (i) Έστω ότι το U είναι C 2. Τότε ο τελεστής επέκτασης που κατασκευάστηκε παραπάνω είναι επίσης φραγμένος γραμμικός τελεστής από το W 2,p (U) στο W 2,p (R n ). Για την απόδειξή του παρατηρούμε ότι μπορεί το ū να μην ανήκει γενικότερα στο C 2 αλλά ανήκει στο W 2,p (B). Επίσης, έχουμε την ανισότητα ū W 2,p (B) C u W 2,p (B + ) και όπως πριν έχουμε την εκτίμηση Eu W 2,p (R n ) C u W 2,p (U), όπου C σταθερά που εξαρτάται μόνο από τα U, V, n και p. (ii) Η παραπάνω κατασκευή δεν μας δίνει την επέκταση για χώρους Sobolev W k,p, αν k > 2.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV 1.7 Ίχνος Θεώρημα 1.17. Θεώρημα ίχνους. Έστω U είναι ένα φραγμένο σύνολο με U να είναι C 1. Τότε υπάρχει φραγμένος γραμμικός τελεστής με 1 p <, τέτοιος ώστε: T : W 1,p (U) L p ( U) (i) T u = u U, αν u ϵ W 1,p (U) C(Ū) και (ii) T u L p ( U) C u W 1,p (U) για κάθε u ϵ W 1,p (U), με σταθερό C που εξαρτάται μόνο από τα p και U. Θεώρημα 1.18. Η συνάρτηση T u καλείται το ίχνος της u στο U. Aπόδειξη. Έστω ότι u ϵ C 1 (Ū). Υποθέτουμε ότι x ϵ U είναι επίπεδο κοντά στο x και βρίσκεται στο επίπεδο {x n = }. Επιλέγουμε μια ανοιχτή μπάλα B όπως στην προηγούμενη απόδειξη και έστω ότι με B συμβολίζουμε την ομόκεντρη μπάλα με ακτίνα r/2. Επιλέγουμε ζ ϵ Cc (B), με ζ στην B, ζ = 1 στην B. Συμβολίζουμε με γ το κομμάτι του U που ανήκει στην B. Θέτουμε x = (x 1,..., x n 1 ) ϵ R n 1 {x n = }. Τότε Γ u p dx {x n =} ζ u p dx = B + (ζ u p ) xn dx B + u p ζ xn + p u p 1 (sgn(u))u xn ζdx C B + u p + Du p dx. Αν x ϵ U δεν είναι επίπεδο κοντά στο x,λειτουργώντας ανάλογα με την παραπάνω απόδειξη κάνουμε επίπεδο το σύνορο κοντά στο x για να πάρουμε το παραπάνω αποτέλεσμα. Εφαρμόζοντας την παραπάνω ανισότητα και με αλλαγή μεταβλητών, παίρνουμε την ανισότητα Γ u p ds C U u p + Du p dx, όπου Γ είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του U που περιέχει το x. Αφού το U είναι συμπαγές, υπάρχουν πεπερασμένα το πλήθος σημεία x i ϵ U και ανοικτά υποσύνολα Γ i ϵ U, i = 1,..., N τέτοια ώστε U = N i=1γ i και u L p (Γ i ) C u W 1,p (U), i = 1,..., N

1.7. ΙΧΝΟΣ 27 Συνεπώς γράφουμε T u := u U, τότε T u L p ( U) C u 1,p W (U) για κάποια κατάλληλη σταθερά C ανεξάρτητη από το u. Η παραπάνω ανισότητα ισχύει για u ϵ C 1 (Ū). Έστω ότι u ϵ W 1,p (U). Τότε υπάρχουν συναρτήσεις u m ϵ C (Ū) που να συγκλίνουν στο u στον W 1,p (U). Τότε ισχύει T u m T u l L p ( ) C u m u l W 1,p (U), και έτσι η {T u m } m=1 είναι ακολουθία Cauchy στον L p ( U). Ορίζουμε T u := lim m T u m, πάνω στο U. Παρατηρούμε ότι ο ορισμός δεν εξαρτάται από την επιλογή των ομαλών συναρτήσεων που προσεγγίζουν την u. Οπότε, αν u ϵ W 1,p (U) C(Ū) τότε οι συναρτήσεις u m ϵ C (Ū) συγκλίνουν ομοιόμορφα στο u στο Ū. Συνεπώς, T u = u U. Θεώρημα 1.19. Συναρτήσεις μηδενικού ίχνους στον W 1,p (U). Έστω U ένα φραγμένο σύνολο με σύνορο U να είναι C 1. Υποθέτουμε επίσης ότι u ϵ W 1,p (U). Τότε u ϵ Wo 1,p (U) αν και μόνο αν T u = στο U. Απόδειξη. Έστω u ϵ Wo 1,p (U). Τότε, εξ ορισμού υπάρχουν συναρτήσεις u m ϵ Cc (U) τέτοιες ώστε u m u στο W 1,p (U) Αφού T u m = στο U, m = 1,..., n και T : W 1,p (U) L p ( U) είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής, συνεπάγεται ότι T u = στο U. Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι T u = στο U. Χρησιμοποιώντας διαμερίσεις της μονάδας και κάνοντας επίπεδο το U όπως πριν, μπορούμε να υποθέσουμε ότι { u ϵ W 1,p (R n +), το u έχει συμπαγές υποστήριγμα στο R n + T u = στο R n + = R n 1. Τότε, αφού T u = στο R n 1, υπάρχουν συναρτήσεις u m ϵ C 1 ( R n +) τέτοιες ώστε

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV και Αν x ϵ R n 1, x n, έχουμε Συνεπώς, u m u στο W 1,p (R n +) T u m = u m R n 1 στον L P (R n 1 ) u m (x, x n ) u m (x, ) + x n u m,xn (x, t)dt. R n 1 u m (x, x n ) p dx C ( u R n 1 m (x, ) p dx + x p 1 xn n R n 1 Du m (x, t) p dx dt ). Για m η παραπάνω ανισότητα παίρνει τη μορφή u(x, x R n 1 n ) p Cx p 1 xn n Du p dx dt. R n 1 για σχεδόν όλα τα x n >. Έστω τώρα ότι ζ ϵ C (R) τέτοια ώστε ζ = 1 στο [, 1], ζ = στο R [, 2], ζ 1, και γράφουμε Τότε { m(x) := ζ(mx n ), x ϵ R n + w m := u(x)(1 ζ m ). { w m,xn = u xn (1 ζ m ) muζ D x w m = D x u(1 ζ m ). Συνεπώς, Όμως, R n + Dw m Du p dx C ζ R n m p Du p dx dt := A + B + A καθώς m, αφού ζ m αν x n 2. Για τον υπολογισμό του έχουμε m ( B Cm p 2 ) ( m t p 1 2 ) m dt Du R p dx dx n 1 n

1.8. ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 29 2 m R n 1 Du p dx dx n καθώς m Συνεπώς, συμπεραίνουμε ότι Du m Du στον L p (R n +). Και αφού φανερά ισχύει ότι w m u στον L p (R n +), καταλήγουμε στο ότι u m u στον W 1,p (R n +). Όμως, w m = αν < x n < 1. Έτσι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε m μια συνάρτηση μαλάκωσης στην w m για να παράγουμε συναρτήσεις u m ϵ Cc (R n +) τέτοιες ώστε u m u στον W 1,p (R n +). Άρα u ϵ Wo 1,p (R n +). 1.8 Βασικές Ανισότητες Θεώρημα 1.2. Ανισότητα Cauchy. Για κάθε α, β ϵ R ισχύει ότι αβ α2 2 + β2 2. Απόδειξη. (α β) 2 = α 2 2αβ + β 2 Θεώρημα 1.21. Ανισότητα Cauchy με ε. Για κάθε α, β > και ε > ισχύει αβ εα 2 + β2 4ε Απόδειξη. Γράφουμε αβ = ((2ε) 1 2 α)( ) και εφαρμόζουμε την παραπάνω ανισότητα Cauchy. β (2ε) 1 2 Θεώρημα 1.22. Ανισότητα Y oung. Έστω 1 < p, q < με p να είναι το συζυγές του q. Τότε, για α, β > ισχύει αβ αp p + βq q Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι η απεικόνιση x e x είναι κυρτή, και συνεπώς έχουμε αβ = e logα+logβ = e 1 p logαp + 1 q logβq

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV 1 p elogαp + 1 q elogβq α p p + βq q. Θεώρημα 1.23. Ανισότητα Y oung με ε. Έστω 1 < p, q < με p συζυγές του q. Τότε, για α, β > και για ε > ισχύει όπου C(ε) = (εp) q p q 1. αβ εα p + C(ε)β q, Απόδειξη. Γράφουμε αβ = (εp) 1 p α)( β ) και εφαρμόζουμε την παραπάνω ανισότητα. εp) 1 p Θεώρημα 1.24. Ανισότητα Η οlder. Υποθέτουμε ότι 1 p, q, με 1 p + 1 q = 1. Τότε, αν u ϵ Lp (U), v ϵ L q (U), έχουμε ότι U u v dx u L p (U) v L q (U) Απόδειξη. Χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι u L p (U) = v L q (U) = 1. Τότε, για 1 < p, q < η ανισότητα Young συνεπάγεται ότι u v dx 1 U p U u p dx + 1 q U v q dx = 1 p + 1 q = 1 = u L p (U) = v L q (U) Θεώρημα 1.25. Ανισότητα Minkowski. Υποθέτουμε ότι 1 p και u, v ϵ L p (U). Τότε Απόδειξη. u + v L p (U) u L p (U) + v L p (U). u + v p L p (U) = U u + v p dx u + U v p 1 ( u + v )dx ( ) ( ) u + U v p dx) p 1 p ( u p ) 1 p + ( v p ) 1 p

1.9. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ SOBOLEV 31 = u + v p 1 L p (U) ( u L p (U) v L p (U)) Θεώρημα 1.26. Γενικευμένη Ανισότητα Hölder. Έστω 1 p 1,..., p m με 1 p 1 + + 1 p m = 1, και έστω ότι u k ϵ L p k (U) για k = 1,..., n. Τότε U u 1... u m dx m u i L p k (U) Απόδειξη. Με επαγωγή από την ανισότητα Hölder έπεται το ζητούμενο του θεωρήματος αυτού. Θεώρημα 1.27. Ανισότητα παρεμβολής για L p -νόρμες. Υποθέτουμε ότι 1 s r t και k=1 1 = θ + 1 θ. r s t Υποθέτουμε επίσης ότι u ϵ L s (U) L t (U). Τότε, u ϵ L r (U), και Απόδειξη. u L r (U) u θ L s (U) u 1 θ L t (U). U u r dx = U u θr u (1 θ)r dx ( U u θr s rθ dx ) rθ s ( u (1 θ)r t ) (1 θ) r t (1 θ)r dx. Εδώ έγινε χρήση της ανισότητας Hölder, η οποία μπορεί να εφαρμοστεί αφού θr s + r(1 θ) t = 1. 1.9 Ανισότητες Sobolev Ορισμός 1.19. Αν 1 p < n, τότε ο Sobolev συζυγής του p είναι Ισοδύναμα, ισχύει ότι 1 p = 1 p 1 n p := np n p., με p > p.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV 1.9.1 Ανισότητα Gagliardo-Nirenberg-Sobolev Θεώρημα 1.28. Ανισότητα Gagliardo N irenberg Sobolev. Εστω 1 p < n. Τότε, υπάρχει σταθερά C που εξαρτάται από το p και το n τέτοια ώστε για όλες τις u ϵ C c (R n ). u L p (R n ) C Du L p (R n ), Απόδειξη. Θεωρούμε πρώτα ότι p = 1. Αφού το u έχει συμπαγές υποστήριγμα, για κάθε i = 1,..., n και x ϵ R n έχουμε και έτσι u(x) = x i u x i (x 1,.., x i 1, y i, x i+1,..., x n )dy i με i = 1,..., n. Συνεπώς u(x) n n 1 u(x) Du(x 1,.., x i 1, y i, x i+1,..., x n ) dy i n i=1 Ολοκληρώνοντας ως προς x 1, έχουμε = ( ) 1 Du(x n 1 1,.., x i 1, y i, x i+1,..., x n ) dy i u n n 1 dx1 n i=1 ( ) 1 Du dy n 1 1 ( ) 1 Du dy n 1 i dx 1 n i=2 ( ) 1 Du dy n 1 i dx 1 ( ) ( 1 Du dy n 1 n ) 1 1 Du dx n 1 1dy i. i=2 Ολοκληρώνουμε τώρα ως προς x 2 : ( u n ) 1 n 1 Du dx n 1 1dy 2 n i=1,i 2 I 1 n 1 i dx 2 όπου I 1 := Du dy 1, και I i := Du dx 1dy i, i = 3,..., n. Με εφαρμογή της γενικευμένης ανισότητας Hölder, έχουμε u n n 1 dx1 dx 2

1.9. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ SOBOLEV 33 ( ) 1 ( Du dx n 1 1dy 2 ) 1 Du dy n 1 1dx 2 = ( R n Du dx ) n n 1. n i=3 ( ) 1 Du dx n 1 1dx 2 dy i. Τώρα για 1 < p < n εφαρμόζουμε την παραπάνω σχέση για u γ κατάλληλο γ > 1. Τότε με γ Επιλέγουμε το γ έτσι ώστε Λύνοντας, βρίσκουμε ( ) u γn n 1 n R n n 1 dx ( R n Du γ dx ) = γ R n u γ 1 Du dx ( R n u (γ 1) p p 1 dx ) p 1 p ( nγ n 1 p = (γ 1) p 1. R n Du p) 1 p. γ = p(n 1) n p > 1 για το οποίο έχουμε ότι γn n 1 p = (γ 1) p 1 = np n p = p. Συνεπώς, έχουμε από την παραπάνω σχέση με αντικατάσταση ότι (R n u p dx ) 1 p C ( R n Du p dx ) 1 p. Θεώρημα 1.29. Εκτίμηση στον W 1,p (U), 1 p < n. Εστω U ένα φραγμένο, ανοιχτό υποσύνολο του R n και έστω ότι το σύνορο U είναι C 1. Έστω 1 p < n και u ϵ W 1,p (U). Tότε u ϵ L p (U) με την εκτίμηση u L p (U) C u W 1,p (U), όπου η σταθερά C εξαρτάται από τα p, n και U.

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Απόδειξη. Αφού το U είναι C 1,υπάρχει μια επέκταση Eu = ū ϵ W 1,p (R n ) τέτοια ώστε { ū = u στο U, το ū έχει συμπαγές υποστήριγμα, και (1.1) ū W 1,p (R n ) C u W 1,p (U). Αφού το ū έχει συμπαγές υποστήριγμα, υπάρχουν συναρτήσεις u m ϵ C c (R n ), m = 1, 2,.. τέτοιες ώστε u m u στο W 1,p (R n ) Σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, ισχύει ότι Συνεπώς, u m u l L p (R n ) C Du m Du l L p (R n ) για όλα τα l, m 1. u m ū στον L p (R n ). Επίσης, από το προηγούμενο θεώρημα συνεπάγεται ότι άρα έχουμε και για το όριο ότι u m L p (R n ) C Du m L p (R n ), ū L p (R n ) C Dū m L p (R n ) Από την παραπάνω ανισότητα και την (1.1) έχουμε το ζητούμενο. Θεώρημα 1.3. Εκτίμηση στον W 1,p (U), 1 p < n. Έστω U ένα φραγμένο, ανοικτό υποσύνολο του R n. Υποθέτουμε ότι uϵw 1,p (U) για κάποιο 1 < n. Τότε έχουμε την εκτίμηση u L q (U) C Du L p (U) για κάθε q ϵ [1, p ], με σταθερά C που εξαρτάται από τα p, q, n και U. Απόδειξη. Αφού το u ϵ W 1,p (U), υπάρχουν συναρτήσεις u m ϵ C c (U), m = 1, 2,.. που συγκλίνουν στο u στον W 1,p (U). Επεκτείνουμε κάθε συνάρτηση u m έτσι ώστε να είναι στο R n U και με εφαρμογή προηγούμενου θεωρήματος εκτίμησης, έχουμε ότι Αφού το U <, έχουμε ότι u L p (U) C Du L p (U). για 1 q p. u L q (U) C Du L p (U)

1.9. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ SOBOLEV 35 1.9.2 Ανισότητα Morrey Θεώρημα 1.31. Ανισότητα Morrey. Έστω υπάρχει μια σταθερά C που εξαρτάται από τα p και n, τέτοια ώστε u C o,γ (R n ) C u W 1,p (R n ) για όλες τις u ϵ C 1 (R n ), όπου γ := 1 n p. Απόδειξη. Επιλέγουμε μια μπάλα B(x, r) R n. Ισχυριζόμαστε ότι υπάρχει σταθερά C, που εξαρτάται μόνο από το n, τέτοια ώστε B(x,r) u(y) u(x) dy C B(x,r) Πράγματι, έστω w ϵ B(x, r). Τότε, αν < s < r, Ως εκ τούτου, u(x + sw) u(x) = s s Du(x + tw)wdt Du(x + tw)dt. B(,1) u(x + sw) u(x) ds s Du(y) y x n 1 dy. d u(x + tw)dt dt B(,1) = s tn 1 Du(x + tw) dsdt. B(,1) t n 1 Du(x + tw) dsdt Έστω y = x + tw, έτσι ώστε t = x y. Τότε μετασχηματίζοντας από πολικές συντεταγμένες έχουμε B(,1) u(x + sw) u(x) ds B(x,s) B(x,r) Du(y) x y n 1 dy. du(y) x y n 1 dy Πολλαπλασιάζοντας με s n 1 και ολοκληρώνοντας από το ως r ως προς το s έχουμε B(x,r) u(y) u(x) dy rn n B(x,r) Du(y) x y n 1 dy, το οποίο αποδεικνύει τον ισχυρισμό. Έστω x ϵ R n. Τότε u(x) B(x,1) u(x) u(y) dy + B(x,1) u(y) dy C B(x,1) Du(y) x y n 1 dy + C u L p (B(x,1))

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV C ( R n Du p dy ) 1 p ( B(x,1) dy x y (n 1) p p 1 ) p 1 p + C u L p (R n ) C u W 1,p (R n ). Η τελευταία ανισότητα ισχύει αφού το p > n συνεπάγεται ότι (n 1) p < n. Έτσι, p 1 1 B(x,1) x y v (n 1) p p 1 dy <. Αφού το x ϵ R n είναι τυχαίο, η παραπάνω ανισότητα συνεπάγεται ότι sup u C u W 1,p (R n ). (1.2) R n Επιλέγουμε δύο σημεία x, y ϵ R n W := B(x, r) B(y, r). Τότε και γράφουμε r := x y. Έστω u(x) u(y) u(x) u(z) dz + u(y) u(z) dz. W W Όμως έχουμε και την εκτίμηση u(x) u(z) dz C u(x) u(z) dz W B(x,r) Ομοίως, ( ) ( 1 C B(x,r) Du p p dz B(x,r) Αντικαθιστώντας έχουμε ότι dz x y (n 1) p p 1 C(r n (n 1) p p 1 ) p 1 p Du L p (R n ) = Cr 1 n p Du L p (R n ). W u(y) u(z) dz Cr1 n p Du L p (R n ). u(x) u(y) Cr 1 n p Du L p (R n ). ) p 1 p Συνεπώς, { [u],1 np = sup C (R n ) x y u(x) u(y) x y 1 n p } C Du L p (R n ).

1.9. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ SOBOLEV 37 Η παραπάνω ανισότητα μαζί με την (1.2) ολοκληρώνει την απόδειξη. Παρατήρηση 1.4. Με μια μικρή διαφοροποίηση του παραπάνω θεωρήματος έχουμε την ανισότητα u(y) u(x) Cr 1 n p ( B(x,2r) Du(z) p dz) 1 p για όλες τις u ϵ C 1 (B(x, 2r)), y ϵ B(x, r) και n < p <. Με μια προσέγγιση, η ίδια ανίσωση ισχύει και για u ϵ W 1,p (B(x, 2r)), n < p <. Ορισμός 1.2. Θα λέμε ότι η συνάρτηση u συνάρτησης u αν ισχύει είναι μια έκδοση μιας u = u, σχεδόν παντού. Θεώρημα 1.32. Εκτίμηση στον W 1,p, n < p. Έστω U ένα φραγμένο, ανοιχτό υποσύνολο του R n, και έστω ότι το σύνορο U ϵ C 1. Έστω n < p και u ϵ W 1,p (U). Τότε η u έχει μια έκδοση u ϵ C,γ (Ū), για γ = 1 n με εκτίμηση p u C,γ (Ū) C u W 1,p (U), όπου C σταθερά που εξαρτάται από τα p, n και U. Απόδειξη. Αφού το U είναι C 1 έχουμε ότι υπάρχει μια επέκταση Eu = ū ϵ W 1,p (R n ) τέτοια ώστε ū = u στο U, ū έχει συμπαγές υποστήριγμα, και (1.3) ū W 1,p (R n ) C u W 1,p (U). Αφού το ū έχει συμπαγές υποστήριγμα, έχουμε ότι υπάρχουν συναρτήσεις u m ϵ Cc (R n ) τέτοιες ώστε u m ū στο W 1,p (R n ). Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα έχουμε ότι u m u l C,1 np (R n ) C u m u l W 1,p (R n ) για όλα τα l, m 1. Συνεπώς, υπάρχει μια συνάρτηση u ϵ C,1 n p (R n ) τέτοια ώστε

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV u m u στο C,1 n p (R n ) Άρα παρατηρούμε ότι u = u σχεδόν παντού στo U και έτσι η u αποτελεί εκδοχή της u. Επίσης, από το προηγούμενο θεώρημα συνεπάγεται ότι u C,1 np (R n ) C ū W 1,p (R n ). Από την παραπάνω ανισότητα και την (1.3) αποδεικνύεται το ζητούμενο. 1.9.3 Γενικές ανισότητες Sobolev Θεώρημα 1.33. Γενικές ανισότητες Sobolev. Έστω U ένα φραγμένο, ανοικτό υποσύνολο του R n, με σύνορο U ϵ C 1 και u ϵ W k,p (U). (i) Αν k < n, τότε u ϵ p Lq (U), όπου 1 = 1 k. Επιπλέον, έχουμε την q p n εκτίμηση u L q (U) C u W k,p (U), με σταθερά C που εξαρτάται από τα k, p, n και U. (ii) Αν k > n p, τότε u ϵ n Ck [ ] 1 p (Ū), όπου { [ n p γ = ] + 1 n, p οποιοσδήποτε θετικός αριθμός < 1 αν n p αν n p δεν είναι ακέραιος είναι ακέραιος. Επιπλέον, έχουμε την εκτίμηση u C k [ n p ] 1,γ (Ū) C u W k,p (U), με σταθερό C που εξαρτάται από τα k, p, n, γ και U. Απόδειξη. (i) Έστω k < n p. Τότε, αφού Dα u ϵ L p (U) για όλα τα α = k, η ανισότητα Sobolev N irenberg Gagliardo συνεπάγεται ότι D β u L p (U) C u W k,p (U),

1.9. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ SOBOLEV 39 αν β = k 1 και έτσι u ϵ W k 1,p (U). Ομοίως, βρίσκουμε ότι u ϵ W k 2,p (U), όπου 1 p = 1 p 1 n = 1 p 2 n. Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο, βρίσκουμε ότι μετά από k βήματα u ϵ W,q (U), για 1 q = 1 p k n. Συνεπώς αφού β =. D β u L q (U) = u L q (U) C u W k,p (U), (ii) Έστω k > n p και n p δεν είναι ακέραιος. Τότε, όπως παραπάνω έχουμε u ϵ W k l,r (U) για 1 r = 1 p l n, με lp < n. Επιλέγουμε ακέραιο l τέτοιο ώστε l < n l + 1. Αυτός p είναι ο l = [ n ]. Συνεπώς, r = pn. Άρα, από την ανισότητα Morrey p n pl έχουμε ότι D α u ϵ C,1 n r (Ū) για όλα τα α k l 1. Παρατηρούμε επίσης ότι 1 n r = 1 n p + l n p. Συνεπώς, u ϵ C k [ n p ] 1,[ n p ]+1 n p ( Ū) και ακολούθως ισχύει η εκτίμηση. Τέλος, υποθέτουμε ότι k > n και n είναι ακέραιος. Θέτουμε p p l = [ n p ] 1 = n p 1. Συνεπώς, όπως παραπάνω έχουμε u ϵ W k 1,r (U) για r = pn n pl = n. Συνεπώς, η ανισότητα Sobolev N irenberg Gagliardo δίνει ότι D α u ϵ L q (U) για όλα τα n q < και όλα τα α k l 1 = k [ n p ]. Επιπλέον, από την ανισότητα M orrey συνεπάγεται ότι D α u ϵ C,1 n p ( Ū) για όλα τα n < q < και όλα τα α k [ n p ] 1. Συνεπώς, u ϵ C k [ n ] 1,γ p (Ū) για κάθε < γ < 1. Ακολούθως, όπως πριν, ισχύει η εκτίμηση.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV 1.1 Συμπάγεια Θεώρημα 1.34. Θεώρημα συμπάγειας Rellich Kondrachov. Έστω U ένα φραγμένο ανοικτό υποσύνολο του R n με σύνορο U να είναι C 1. Έστω επίσης 1 p < n. Τότε για κάθε 1 p < p. W 1,p (U) L q (U) Απόδειξη. Έστω 1 p < n. Αφού το U είναι φραγμένο έχουμε ότι W 1,p (U) L q (U), u L q (U) u W 1,p (U). Συνεπώς, αρκεί να αποδείξουμε ότι αν {u m } m=1 είναι φραγμένη ακολουθία στον W 1,p (U), τότε υπάρχει μια υπακολουθία {u mj } j=1 η οποία συγκλίνει στον L q (U). Μπορούμε να υποθέσουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι U = R n και ότι οι συναρτήσεις {u m } m=1 έχουν συμπαγές υποστήριγμα σε κάποιο φραγμένο ανοικτό σύνολο V R n. (Λόγω του θεωρήματος Επέκτασης). Επίσης μπορούμε να υποθέσουμε ότι sup u m W 1,p (V ) <. m Αρχικά θα δούμε τις ομαλές συναρτήσεις u ε m := η ε u m, ε >, m = 1, 2,... όπου με η ε συμβολίζουμε την συνάρτηση Standard Mollifier. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι συναρτήσεις {u ε m} m=1 έχουν υποστήριγμα στο V. Ισχυριζόμαστε ότι u ε m u m στον L q (V ), καθώς ε ομοιόμορφα για m. Αν η u m είναι ομαλή, τότε Συνεπώς u ε m(x) u m (x) = B(,1) η(y)(u m(x εy) u m (x))dy = B(,1) η(y) 1 d (u dt m(x εty))dtdy = ε B(,1) η(y) 1 Du m(x εty)ydtdy. V uε m(x) u m (x) dx B(,1) η(y) 1 V Du m(x εty) dxdydt

1.1. ΣΥΜΠΑΓΕΙΑ 41 ε V Du m(z) dz. Η ανισότητα αυτή ισχύει και για u m ϵ W 1,p (V ) όπου θα γίνει η προσέγγισή τους από ομαλές συναρτήσεις. Άρα u ε m u m L 1 ε Du m L 1 (V ) εc Du m L p (V ), αφού το V είναι φραγμένο. Συνεπώς, από την παραπάνω ανισότητα και την σχέση sup u m W 1,p (V ) < έχουμε ότι m u ε m u m στον L 1 (V ) ομοιόμορφα για m. Αλλά τότε, αφού 1 q < p με χρήση της ανισότητας παρεμβολής για L p -νόρμες έχουμε ότι u ε m u m L q (V ) u ε m u m θ L 1 u ε m u m L p (V ) όπου 1 = θ + 1 θ < θ < 1. Συνεπώς, από την ανισότητα Gagliardoq p Nirenberg-Sobolev, έχουμε u ε m u m L q (V ) C u ε m u m θ L 1 (V ). Έπειτα ισχυριζόμαστε ότι για κάθε ε >, η ακολουθία {u ε m} m=1 είναι ομοιόμορφα φραγμένη και ισοσυνεχής. Πράγματι, αν x ϵ R n τότε u ε m(x) B(x,ε) η ε(x y) u m (y) dy για m = 1, 2,... Ομοίως η ε L (R n ) u m L 1 (V ) C ε n < Du ε m(x) B(x,ε) η ε(x y) u m (y) dy Dη ε L (R n ) u m L 1 (V ) C ε n+1 < για m=1,2,.... Ο ισχυρισμός έπεται από τις δύο παραπάνω ανισότητες. Έστω τώρα δ >. Θα δείξουμε ότι υπάρχει μια υπακολουθία {u mj } j=1 {u m } m=1 τέτοια ώστε lim sup u mj u mk L q (V ) δ. j,k

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Επιλέγουμε ε > μικρό τέτοιο ώστε για m = 1, 2,.... u ε m u m L q (V ) δ 2 Παρατηρούμε ότι αφου οι συναρτήσεις {u m } m=1 και συνεπώς και οι {u ε m} m=1, έχουν υποστήριγμα σε κάποιο φραγμένο σύνολο V R n, από το κριτήριο συμπάγειας Arzela-Ascoli μπορούμε να βρούμε μια υπακολουθία {u ε m j } j=1 {u ε m} m=1 που να συγκλίνει ομοιόμορφα στο V. Πιο συγκεκριμένα, να ισχύει lim sup u ε m j u ε m k L q (V ) =. j,k Ομοίως, η παραπάνω συνεπάγεται ότι lim sup u mj u mk L q (V ) δ j,k Κάνοντας χρήση της παραπάνω ανισότητας για δ = 1, 1, 1,... και χρησιμοποιώντας το διαγώνιο επιχείρημα εξάγουμε μια υπακολουθία {u ml } m=1 2 3 {u m } m=1 που να ικανοποιεί την lim sup u ml u mk L q (V ) =. l,k Παρατήρηση 1.5. Παρατηρούμε ότι p > p και p καθώς p n, έχουμε ότι W 1,p (U) L p (U) για όλα τα 1 p. (Παρατηρούμε ότι αν n < p, αυτό έπεται από την ανισότητα Morrey και το κριτήριο συμπάγειας Arzela-Ascoli.) Επίσης, Wo 1,p (U) L p (U) ακόμα και αν δεν θεωρήσουμε ότι το U είναι C 1. 1.11 Περισσότερες Ανισότητες Σημείωση 1.3. Ορίζουμε ως (u) U = udy τη μέση τιμή του u στο U. U

1.11. ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 43 Ανισότητα Poincare Θεώρημα 1.35. Ανισότητα Poincare. Έστω U ένα φραγμένο, συνεκτικό ανοικτό υποσύνολο του R n, με C 1 σύνορο U. Έστω 1 p. Τότε, υπάρχει σταθερά C, που εξαρτάται μόνο από τα n, p και U, τέτοια ώστε για κάθε u ϵ W 1,p (U). u (u) U L p (U) C Du L p (U) Απόδειξη. Θα αποδειχθεί με εις άτοπο απαγωγή. Έστω ότι υπάρχει για κάθε ακέραιο k = 1, 2,... μια συνάρτηση u k ϵ W 1,p (U) τέτοια ώστε Ορίζουμε u k (u k ) U L p (U) > k Du k L p (U). Τότε u k := u k (u k ) U u k (u k ) L p (U) για k = 1, 2,... (u k ) U =, u k L p (U) = 1 και Du k L p (U) < 1 k. Άρα οι συναρτήσεις {u k } k=1 είναι φραγμένες στον W 1,p (U). Με βάση την παραπάνω παρατήρηση, υπάρχει υπακολουθία {u kj } j=1 {u k } k=1 και μια συνάρτηση v ϵ L p (U) τέτοια ώστε u kj u στον L p (U). Επίσης, για την u ισχύει ότι (u) U =, u L p (U) = 1. Από την άλλη έχουμε ότι για κάθε i = 1, 2,..., n και ϕ ϵ Cc (U) ότι uϕ U x i dx = lim u k j ϕ xi dx = lim u k j k j U k j,m i ϕdx =. Συνεπώς, u ϵ W 1,p (U) με Du = σχεδόν παντού. Συνεπώς η u είναι σταθερή, αφού το U είναι συνεκτικό. Έτσι, καταλήγουμε σε άτοπο, διότι αφού η u είναι σταθερή και (u) U =, πρέπει να ισχύει ότι u =, το οποίο αντιτίθεται στο ότι u L p (U) = 1. Σημείωση 1.4. Ορίζουμε ως (u) x,r = B(x,r) udy τη μέση τιμή της u στην μπάλα B(x, r).

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Θεώρημα 1.36. Ανισότητα Poincare σε μπάλα. Έστω 1 p. Τότε υπάρχει σταθερά C, που εξαρτάται από τα n και p, τέτοια ώστε u (u) x,r L p (B(x,r)) Cr Du L p ((B(x,r)) για κάθε μπάλα B(x, r) R n και κάθε συνάρτηση u ϵ W 1,p (B o (x, r)). Απόδειξη. Σε περίπτωση που U = B O (x, r) ισχύει από το προηγούμενο θεώρημα. Γενικα, αν u ϵ W 1,p (B o (, 1)) και έχουμε ότι u (u) U L p (B(,1)) C Du L p (B(,1)). Με αλλαγή μεταβλητών καταλήγουμε στο ζητούμενο. Παρατήρηση 1.6. Έστω u ϵ W 1,n (R n ) L 1 (R n ), και έστω B(x, r) μια μπάλα. Τότε το προηγούμενο θεώρημα για p = 1 συνεπάγεται ότι B(x,r) u (u) x,r dy Cr B(x,r) Du dy ( ) 1/n Cr B(x,r) Du n C ( R n Du n dy ) 1/n. Συνεπώς u ϵ BMO(R n ), τον χώρο των συναρτήσεων φραγμένης μέσης κύμανσης στον R n, με την ημινόρμα { [u] BMO(R n ) := u (u) B(x,r) x,r dy}. sup B(x,r) R n 1.12 Υπόλοιπα Διαφορών Ορισμός 1.21. Έστω u : U R μια τοπικά αθροιστική συνάρτηση και V U. (i) Το i-οστό υπόλοιπο διαφορών μεγέθους h είναι Di h u(x) = u(x+he i) u(x), i = 1,.., n h για x ϵ V και h ϵ R, < h < dist(v, U). (ii) D h u := (D h 1u,..., D h n(u)).

1.12. ΥΠΟΛΟΙΠΑ ΔΙΑΦΟΡΩΝ 45 Θεώρημα 1.37. Υπόλοιπα διαφορών και ασθενείς παράγωγοι. Έστω u : U R μια τοπικά αθροιστική συνάρτηση και V U. Τότε (i) Έστω 1 p < και u ϵ W 1,p (U). Τότε για κάθε V U έχουμε D h u L p (V ) C Du L p (U) για κάποια σταθερά C και για όλα τα < h < 1 dist(v, U). 2 (ii) Έστω 1 < p <, u ϵ L p (V ), και υπάρχει σταθερά C τέτοια ώστε D h u L p (V ) C για όλα τα < h < 1 dist(v, U). Τότε 2 u ϵ W 1,p (V ), με Du L p (V ) C. Παρατήρηση 1.7. Η υπόθεση (ii) του θεωρήματος δεν ισχύει για p = 1. Απόδειξη. (i) Έστω 1 p < και προσωρινά υποθέτουμε ότι η u είναι ομαλή. Τότε για κάθε x ϵ V, i = 1,..., n και < h < 1 dist(v, U) έχουμε 2 και έτσι Συνεπώς u(x + he i ) u(x) = 1 u x i (x + the i )dt he i u(x + he i ) u(x) h 1 Du(x + the i) dt. V Dh u p dx C n V i=1 1 Du(x + the i) p dtdx = C n i=1 1 V Du(x + the i) p dxdt. Έτσι V Dh u p dx C U Du p dx.

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV Η εκτίμηση αυτή ισχύει για ομαλές συναρτήσεις και συνεπώς και για τυχαίες u ϵ W 1,p (U) με προσέγγιση από ομαλές συναρτήσεις. (ii) Έστω ότι ισχύει D h u L p (U) C για όλα τα < h < 1 dist(v, U) και κάποια σταθερά C. Επιλέγουμε i = 1,..., n ϕ ϵ Cc (V ) και παρατηρούμε ότι για αρκετά 2 μικρό h έχουμε V [ ϕ(x+hei ) ϕ(x) το οποίο δίνει τη σχέση Από υπόθεση έχουμε h ] dx = V [ u(x) u(x hei ) V u(dh i ϕ)dx = V (D h i u)ϕdx sup D h i u L p (V ) <. h h ] ϕ(x)dx και συνεπώς, αφού 1 < p <, υπάρχει μια συνάρτηση u i ϵl p (V ) και μια υπακολουθία h k τέτοια ώστε D h k i u u i ασθενώς στον L P (V ). Όμως, τότε V uϕ x i dx = U uϕ x i dx = lim hk U udh k i ϕdx = lim hk V D h k i uϕdx = V v iϕdx = U v iϕdx.

1.12. ΥΠΟΛΟΙΠΑ ΔΙΑΦΟΡΩΝ 47 Συνεπώς, v i = u xi υπό ασθενή έννοια, i = 1,.., n και έτσι Du ϵ L p (V ). Τέλος, αφού u ϵ L p (V ) καταλήγουμε στο ότι u ϵ W 1,p (V ). Παρατήρηση 1.8. Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να ισχύει ακόμα και αν δεν έχουμε την υπόθεση οτι V U. Για παράδειγμα, αν το U είναι η ανοιχτή ημιμπάλα έχουμε την ανισότητα B o (, 1) {x n > }, V = B o (, 1 2 ) {x n > }, V Dh i u p dx U u x i p dx για i = 1,..., n 1. Η απόδειξή του είναι παρόμοια με αυτή του προηγούμενου θεωρήματος. Θεώρημα 1.38. Χαρακτηρισμός του W 1,. Έστω U ένα ανοικτό, φραγμένο υποσύνολο του R n με σύνορο U στο C 1. Τότε u : U R είναι Lipschitz συνεχής αν και μόνο αν u ϵ W 1, (U). Απόδειξη. (Αντίστροφο) Υποθέτουμε ότι U = R n και η u έχει συμπαγές υποστήριγμα. Υποθέτουμε επίσης ότι u ϵ W 1, (R n ). Τότε u ε := η ε u, όπου η ε είναι η συνάρτηση standard mollifier, είναι ομαλή και ικανοποιεί τις σχέσεις { u ε u ομοιόμορφα καθώς ε, Du ε L (R n ) Du L (R n ). Έστω δύο σημεία x, y ϵ R n με x y. Έχουμε και έτσι Για ε, έχουμε ότι u ε (x) u ε (y) = 1 d dt uε (tx + (1 t)y)dt = 1 Duε (tx + (1 t)y)dt (x y), u ε (x) u ε (y) Du ε L (R n ) x y Du L (R n ) x y. u(x) u(y) Du L (R n ) x y,

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΧΩΡΟΙ SOBOLEV και συνεπώς η u είναι Lipschitz συνεχής. (Ευθύ) Έστω τώρα ότι η u είναι Lipschitz συνεχής. Θα δείξουμε ότι η u έχει φραγμένη ασθενή πρώτη παράγωγο. Από τη στιγμή που η u είναι Lipschitz συνεχής, βλέπουμε ότι D h i u L (R n ) Lip(u) και συνεπώς υπάρχει μια συνάρτηση v i ϵ L (R n ) και μια υπακολουθία h k τέτοια ώστε Άρα D h k i u v i, ασθενώς στον L 2 loc (Rn ). R n uϕ xi dx = lim hk = lim hk D h k R n i ud h k R n i uϕdx ϕdx = R n v i ϕdx. Η παραπάνω ισότητα ισχύει για όλα τα ϕ ϵ Cc (R n ), και έτσι v i = u xi υπό ασθενή έννοια, i = 1,..., n. Συνεπώς, u ϵ W 1, (R n ). Στην γενική περίπτωση που το U είναι φραγμένο, με U κλάσης C 1, επεκτείνουμε την u στην Eu = ū και εφαρμόζουμε το παραπάνω επιχείρημα. Παρατήρηση 1.9. Από το παραπάνω θεώρημα εξάγεται εύκολα ότι σε οποιοδήποτε ανοικτό σύνολο U, u ϵ W 1,p loc (U) αν και μόνο αν η u είναι τοπικά Lipschitz συνεχής στο U. Όμως, δεν υπάρχει αντίστοιχος χαρακτηρισμός για τους χώρους W 1,p για 1 p <. Αν n < p <, τότε κάθε συνάρτηση u ϵ W 1,p ανήκει στον C,1 n p, αλλά από την άλλη μια συνάρτηση Hölder συνεχής με εκθέτη μικρότερο της μονάδας δεν ανήκει απαραίτητα σε κάποιο χώρο Sobolev W 1,p. 1.13 Διαφορισιμότητα - Μετασχηματισμός Fourier Ορισμός 1.22. Μια συνάρτηση u : U R είναι παραγωγίσιμη στο x ϵ U αν υπάρχει α ϵ R n τέτοιο ώστε Με άλλα λόγια u(y) = u(x) + α(y x) + o( y x ), καθώς y x.

1.13. ΔΙΑΦΟΡΙΣΙΜΟΤΗΤΑ - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER 49 u(y) u(x) α(y x) lim =. y x y x Σημείωση 1.5. Εύκολα αποδεικνύεται ότι αν το α υπάρχει, τότε είναι και μοναδικό. Οπότε γράφουμε grad(u(x)) αντί για α και ονομάζουμε το grad(u(x)) ως η κλήση (gradient) της u. Θεώρημα 1.39. Διαφορισιμότητα σχεδόν παντού. Έστω u ϵ W 1,p loc (U) για κάποιο n < p. Τότε η u είναι διαφορίσιμη σχεδόν παντού στο U και η κλήση της είναι ίση με την ασθενή παράγωγο σχεδόν παντού. Απόδειξη. Έστω n < p <. Από την ανισότητα Morrey έχουμε ότι ( v(y) v(x) Cr 1 n p dz) Dv(z) B(x,2r) p, όπου y ϵ B(x, r), που ισχύει για κάθε C 1 συνάρτηση, επομένως και για v ϵ W 1,p, με προσέγγιση. Επιλέγουμε u ϵ W 1,p loc (U). Τώρα, σχεδόν για όλα τα x ϵ U, μια εκδοχή του διαφορικού θεωρήματος του Lebesque συνεπάγεται ότι Du(x) Du(z) B(x,r) p dz καθώς r. Έστω x ϵ U και θέτουμε v(y) := u(y) u(x) grad(u(x))(y x) στην ανισότητα Morrey, όπου r = x y. Τότε έχουμε ( u(y) u(x) grad(u(x))(y x) Cr 1 n p dz) Du(x) B(x,2r) Du(z) p Cr ( B(x,2r) Du(x) Du(z) p dz) 1/n = o(r) = o( x y ). Συνεπώς, η u είναι διαφορίσιμη στο x και η κλίση της είναι ίση με την ασθενή παράγωγο στο x. Στην περίπτωση που p =, έχουμε ότι W 1, 1,p loc (U) Wloc (U) για όλα τα 1 p < και εφαρμόζουμε το ως άνω εγχείρημα. Θεώρημα 1.4. Θεώρημα Rademacher. Έστω u μια τοπικά Lipschitz συνεχής συνάρτηση στο U. Τότε η u είναι διαφορίσιμη σχεδόν παντού στο U. Απόδειξη. Αποτελεί άμεση συνέπεια του προηγούμενου θεωρήματος.