ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Στα προβλήματα ατού το κεφαλαίο, το πρώτο πο πρέπει να διακρίνομε είναι αν έχομε ισορροπία, μόνο στροφική κίνηση (δηλαδή γύρω από σταθερό άξονα περιστροφής) ή σύνθετη κίνηση μεταφορική και στροφική (δηλαδή γύρω από μη σταθερό άξονα περιστροφής). 1. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ (π.χ. ράβδος, δοκός κ.α.) σχεδιάζομε όλες τις δνάμεις πο ενεργούν στο στερεό. εφαρμόζομε τη σνθήκη Στ = 0 ως προς σημείο από το οποίο διέρχονται οι φορείς άγνωστων και μη ζητούμενων δνάμεων. αν η προηγούμενη σνθήκη δεν λύνει το πρόβλημα, εφαρμόζομε μία ή και τις δύο άλλες σνθήκες ισορροπίας ΣFx = 0 και ΣFy = 0, ανάλογα με τος αγνώστος πο εμφανίζονται στο πρόβλημα. Σε κάθε περίπτωση (πιθανόν και με μία ακόμη σχέση, π.χ. Τ = μν ) δημιοργείται, από μαθηματική άποψη, ένα σύστημα εξισώσεων πο λύνεται εύκολα. (Ασκήσεις: 4.42, 4.43, προβλήματα: 4.56, 4.57, φλλαδίο: 3, 4, 5, 6, 7, 9) 2. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΓΥΡΩ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΑΞΟΝΑ εφαρμόζομε το θεώρημα Steiner αν ο άξονας δεν περνάει από το κέντρο μάζας, εκτός αν η ροπή αδράνειας δίνεται ως προς τον άξονα περιστροφής το προβλήματος. εφαρμόζομε τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης (ΘΝΣ): Στ = Ι α γων. πιθανό να ζητούνται μεγέθη όπως διάστημα ή χρόνος, οπότε χρησιμοποιούμε και τις κατάλληλες σχέσεις της κινηματικής το στερεού σώματος. (Ασκήσεις: 4.32, 4.33, 4.34, 4.36, φλλαδίο: 1, 2, 10, 11, 14) Προβλήματα με τροχαλίες: Εφαρμόζομε τον θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης (ΘΝΣ), αλλά πρέπει επιπλέον να έ- χομε πόψη μας και τα εξής: όσο είναι το μήκος το σχοινιού πο ξετλίγεται (ή τλίγεται) από την τροχαλία τόση είναι και η μετατόπιση το σώματος πο είναι δεμένο στο άκρο το, και τόσο το μήκος το τόξο πο διαγράφει οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειας της τροχαλίας. Γι ατό ισχύον οι επόμενες σχέσεις: Χ = S = Rθ (μετατόπιση σώματος = μήκος τόξο),

άρα: = ωr (ταχύτητα σώματος = γραμμική ταχύτητα σημείων περιφέρειας τροχαλίας), άρα: α = α ε = α γ R (επιτάχνση σώματος = επιτρόχιος ή γραμμική επιτάχνση σημείων περιφέρειας τροχαλίας). (Προβλήματα: 4.63, 4.66, φλλαδίο: 11, 13, 14, 21, 29) 3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Α. Είναι σνήθως κύλιση σε οριζόντιο ή κεκλιμένο επίπεδο, χωρίς ολίσθηση. Εδώ εμφανίζεται στατική τριβή. Σε όσα ζητούνται (ή δίνονται) επιταχύνσεις ή χρόνοι κίνησης απαιτείται εφαρμογή ΘΝΣ. Τα πόλοιπα λύνονται και με ΘΝΣ, αλλά -με ελάχιστες εξαιρέσεις- εκολότερα με θεώρημα διατήρησης μηχανικής ενέργειας (ΘΔΜΕ) ή με θεώρημα έργο ενέργειας, πο αναφέρεται και ως θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας (ΘΜΚΕ). Εφαρμόζομε σνήθως το ΘΔΜΕ όταν ένα σώμα κινείται κατακόρφα ή πλάγια, ή γενικότερα όταν κατά την κίνησή το αλλάζει το ύψος το κέντρο μάζας το, όχι όμως αν πάρχει νήμα τλιγμένο στην περιφέρειά το, μέσω το οποίο ασκούμε μη σντηρητική δύναμη F στο στερεό. Τότε εφαρμόζομε ΘΝΣ κινηματική, ή ΘΜΚΕ. (Πρόβλημα φλλαδίο: 31) Με ΘΝΣ ακολοθούμε τα παρακάτω βήματα: σχεδιάζομε τις δνάμεις πο ασκούνται στο στερεό σε μία τχαία θέση της κίνησή το. εφαρμόζομε ΘΝΣ για τη στροφική κίνηση γύρω από άξονα πο περνάει από το κέντρο μάζας το Στ = Ι α γ και ΘΝΜ για τον άξονα της κίνησης ΣFx = m α. χρησιμοποιούμε τις σχέσεις = ωr και α = α γ R πο ισχύον κατά την κύλιση. αν ζητούνται τα μεγέθη διάστημα, μήκος τόξο, γωνία ή χρόνος, χρησιμοποιούμε όποιος από τος σχετικούς τύπος της κινηματικής για τη μεταφορική ή τη στροφική κίνηση χρειάζονται: ω = ω 0 ± α γ t, θ = ω 0 t ± 1 α 2 γt 2, = 0 ± α t, s = 0 t ± 1 α 2 t 2, S = Rθ πιθανό σε ορισμένα προβλήματα να χρειαστεί και η σχέση της οριακής τριβής Τ = μ Ν πο θα σνδαστεί με τη σχέση ΣFy = 0. 2

Η σχέση Τ = μ Ν δίνει και την τριβή ολίσθησης. Η σνθήκη πο πρέπει να ικανοποιείται για να μην πάρχει ολίσθηση είναι Τ = Τ στατική μ Ν. Για στερεό όπως τροχό, σφαίρα ή κύλινδρο πο αφήνεται από την κορφή κεκλιμένο επιπέδο, η ύπαρξη ή όχι ολίσθησης εξαρτάται από τη σχέση το σντελεστή οριακής τριβής μ με τη γωνία κλίσης φ, τη μάζα m, την ακτίνα R και τη ροπή αδράνειας Ι το στερεού. Αποδεικνύεται ότι το στερεό θα κλίεται χωρίς ολίσθηση αν μ>. (Πρόβλημα: 4.67, φλλαδίο: 15) 2 Ιεφφ Ι+mR Κριτήριο ολίσθησης σε κάθε περίπτωση -και αν η ύπαρξή της δεν προκύπτει από άλλα δεδομένα το προβλήματος- αποτελεί η σχέση μεταξύ της ταχύτητας το κέντρο μάζας ( ) και της γραμμικής ταχύτητας των σημείων της περιφέρειας ( ωr ). (Σχετικά δύσκολα προβλήματα). αν = ωr, δεν πάρχει ολίσθηση, αλλά μόνο κύλιση. αν > ωr, πάρχει ολίσθηση και κύλιση. Η τριβή ολίσθησης είναι αντίρροπη της αν < ωr, πάρχει ολίσθηση και κύλιση. Η τριβή ολίσθησης είναι ομόρροπη της Η φορά της στατικής τριβής κατά την κύλιση.. Κατά την κύλιση σε οριζόντιο επίπεδο μπορεί να πάρχει στατική τριβή μπορεί και όχι. Εφαρμόζοντας τις σχέσεις Στ = Ι α γ και ΣFx = m α βρίσκομε αν πάρχει τριβή (π.χ αν το στερεό κλίεται οριζόντια, χωρίς να ασκείται πάνω το καμία οριζόντια δύναμη, τότε δεν πάρχει τριβή και η κίνηση είναι σύνθετη εθύγραμμη ομαλή και ομαλή στροφική). (Πρόβλημα φλλαδίο: 20) Κατά την κύλιση σε κεκλιμένο επίπεδο πάρχει πάντα στατική τριβή. Η φορά της θα προκύψει από την εφαρμογή των σχέσεων Στ = Ι α γ και ΣFx = m α, αν και, σε πολλά προβλήματα προσδιορίζεται εύκολα με βάση τη φορά της γωνιακής επιτάχνσης (ή επιβράδνσης) πο προκαλεί. (Προβλήματα: 4.61, 4.62, φλλαδίο: 17, 19) Παρατηρήσεις σχετικά με το έργο της στατικής τριβής Όταν ένα στερεό (π.χ. τροχός, σφαίρα, κύλινδρος) κλίεται χωρίς τατόχρονα να ολισθαίνει και επιταχύν ε- ται με την επίδραση κάποιας δύναμης F σε κεκλιμένο ή οριζόντιο επίπεδο, η στατική τριβή πο ασκεί το επίπεδο στο στερεό, παράγει θετικό έργο στη στροφική κίνηση το σώματος (W Tστατ,στροφικής = +T στατ Rθ = +T στατ S) και αρνητικό έργο στη μεταφορική κίνηση (W Tστατ, μεταφορικής = -T στατ S). Στη σνολική σύνθετη κίνηση, από τις παραπάνω σχέσεις, προκύπτει ότι το έργο της στατικής τριβής είναι ίσο με μηδέν. Ατό σημαίνει ότι η στατική τριβή μετατρέπει μεταφορική κινητική ενέργεια σε στροφική κινητική ε- νέργεια. 3

Αν δεν πήρχε στατική τριβή, δεν θα πήρχε στροφική κίνηση, ούτε φσικά και έργο τριβής στη στροφική κίνηση. Άρα, τότε, η ενέργεια πο θα μετέφερε η δύναμη στο σώμα πο είναι ίση με το έργο της δύναμης F θα μετατρεπόταν όλη σε μεταφορική κινητική ενέργεια το σώματος. Στην περίπτωση της ολίσθησης, πάρχει τριβή ολίσθησης, η οποία μετατρέπει κινητική ενέργεια σε θερμότητα. Τέλος στην περίπτωση κύλισης με τατόχρονη ολίσθηση, η τριβή (ολίσθησης) μετατρέπει μεταφορική κινητική ενέργεια σε στροφική κινητική ενέργεια και σε θερμότητα. Επομένως, σε προβλήματα κύλισης χωρίς ολίσθηση: α) μπορεί να εφαρμοστεί το ΘΜΚΕ για τη σύνθετη κίνηση, αγνοώντας το έργο της (στατικής) τριβής, αφού όπως είδαμε είναι σνολικά μηδέν, ή επίσης β) μπορεί να εφαρμοστεί το ΘΜΚΕ μόνο για τη στροφική κίνηση, όπο παράγει (θετικό) έργο η στατική τριβή, ή επίσης γ) μπορεί να εφαρμοστεί το ΘΜΚΕ μόνο για την μεταφορική κίνηση, όπο επίσης παράγει (αρνητικό) έργο η στατική τριβή. Σνήθως όμως εφαρμόζομε το ΘΔΜΕ όπως σημεώνεται στην επόμενη παρατήρηση. Με ΘΔΜΕ ακολοθούμε τα παρακάτω βήματα: Εφαρμόζομε το ΘΔΜΕ για δύο θέσεις της κίνησης - σνήθως αρχική και τελική ή όποια άλλη τχόν απαιτείται - ως εξής: Κ μεταφορική(1) + Κ περιστροφής(1) + U 1 = Κ μεταφορική(2) + Κ περιστροφής(2) + U 2 Εφαρμόζομε σνήθως το ΘΔΜΕ (με Κ ολ = Κ μετ + Κ στρ ) αντί το γενικότερο ΘΜΚΕ, σε προβλήματα κύλισης ή γενικότερα όταν δεν πάρχει ολίσθηση και αλλάζει το ύψος πο βρίσκεται το σώμα στη διάρκεια το φαινομένο (π.χ. κύλιση σε κεκλιμένο επίπεδο, γιο-γιό, περιστροφές ράβδων κ.α. βλ.άσκηση: 4.55, προβλήματα: 4.61, 4.68, 4.69, φλλαδίο: 26, 27, 36, 37, 40, 41), αλλά όχι όταν ασκούνται μη σντηρητικές δνάμεις πο παράγον έργο (βλ. πρόβλημα φλλαδίο: 34) Β. Σε όσα προβλήματα στροφικής ή σύνθετης κίνησης πάρχει τριβή ολίσθησης δεν ισχύει το ΘΔΜΕ. Στη θέση το μπορεί να εφαρμοστεί το ΘΜΚΕ: Αν η κίνηση είναι μόνο στροφική, με τη μορφή τ θ = 1 Ι 2 ω 2 2-1 Ι 2 ω 2 1. Αν η κίνηση είναι σύνθετη (στροφική και μεταφορική) και πάρχει τριβή ολίσθησης, με τη μορφή: 4

1 m 2 2 1 + 1 Ι 2 ω 2 1 + W F + W Tολίσθησης, μεταφορικής κίνησης + W Tολίσθησης, στροφικής κίνησης = 1 m 2 2 2 + 1 Ι 2 2 2 4. H ΙΣΧΥΣ ω (Ασκήσεις: 4.53, 4,54, προβλήματα: 4.64, 4.66, φλλαδίο: 39) Διακρίνεται σε στιγμιαία και μέση. Υπολογίζονται με εντελώς διαφορετικό τρόπο, γι ατό πρέπει να προσέχομε ποια από τις δύο ζητείται. Η στιγμιαία ισχύς στη στροφική κίνηση δίνεται από τη σχέση P = τω και στη μεταφορική P = F, ενώ η μέση W P =. Δt Αν τ: σταθερή και ω: σταθερή, τότε μέση και στιγμιαία ισχύς τατίζονται P = το έργο στη στροφική κίνηση W = τθ ισχύει μόνο αν τ: σταθερή. (Ασκήσεις: 4.53, 4,54) P. Επίσης η σχέση 5. ΣΤΙΓΜΙΑΙΟΣ ΑΞΟΝΑΣ Μπορεί η σύνθετη κίνηση κατά την κύλιση ενός στερεού να θεωρηθεί ως καθαρά στροφική, αν ως άξονας περιστροφής θεωρηθεί ο στιγμιαίος άξονας πο διέρχεται από το εκάστοτε σημείο επαφής το στερεού με το επίπεδο και είναι παράλληλος προς τον άξονα πο διέρχεται από το κέντρο μάζας. Τότε η κινητική ενέργεια είναι μόνο περιστροφής και δίνεται από τη σχέση Κ = 1 Ι 2 ω, όπο 2 Ι = Ι + Md 2 (Steiner). Αντίστοιχα, το ΘΜΚΕ δεν χρειάζεται να εφαρμοστεί και για τη μεταφορική κίνηση αλλά μόνο για τη στροφική ως προς τον στιγμιαίο άξονα περιστροφής. (Πρόβλημα: 4.62) 6. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Έχομε δύο κατηγορίες: ατά πο μεταβάλλεται η στροφορμή ενός στερεού και ατά πο διατηρείται η στροφορμή ενός σστήματος σωμάτων. Όταν μεταβάλλεται η στροφορμή ενός στερεού εφαρμόζομε τη γενικότερη έκφραση το ΘΝΣ: Στ = dl, τον ΘΝΜ: ΣF = mα και πιθανόν σνθήκες κύλισης = ωr και α = α γ R ή ακόμη dt α ε = α γ R αν χρειαστεί. (Προβλήματα: 4.65, 4.68, φλλαδίο: 23, 24) Η αρχή διατήρησης της στροφορμής (ΑΔΣ) εφαρμόζεται σε σύστημα σωμάτων αν οι ροπές των εξωτερικών δνάμεων είναι μηδέν. Τότε L ΟΛΙΚΗ = σταθερή, άρα L L. Σνήθως η σχέση ατή παίρνει τη μορφή Ι 1 ω 1 = Ι 2 ω 2. (Ασκήσεις: 4.49, προβλήματα: 4.64, 4.71, φλλαδίο: 30, 31, 32) ΟΛ (ΑΡΧ) ΟΛ (ΤΕΛ) 5

o Οι δνάμεις παγκόσμιας έλξης πο ασκούνται σε οράνια σώματα όπως πλανήτες και δορφόρος (φσικούς ή τεχνητούς), δεν δημιοργούν ροπές ως προς τος άξονες περιστροφής τος ε- πειδή οι φορείς ατών των δνάμεων διέρχονται είτε από το κέντρο μάζας των σωμάτων στην περίπτωση της ιδιοπεριστροφής, είτε από το κέντρο μάζας το σστήματος από το οποίο διέρχεται και ο άξονας περιστροφής στην περίπτωση της περιφοράς. Έτσι, ανεξάρτητα από το είδος της τροχιάς πο ακολοθούν ατά τα σώματα (κκλική ή ελλειπτική), η στροφορμή τος -είτε λόγω περιφοράς, είτε λόγω ιδιοπεριστροφής (spin)- δεν μεταβάλλεται. 7. ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (Ασκήσεις φλλαδίο: 44, 45) 8. ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΡΟΥ ΚΑΙ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (Πρόβλημα: 4.70, Άκηση φλλαδίο: 43) 9. ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Δνάμεις και ροπές (σνθήκες) Είδος κίνησης ηρεμία ( = 0, ω = 0 ) ΣF = 0 και Στ = 0 εθύγραμμη ομαλή μεταφορική ( ομαλή στροφική ( = σταθ., ω = 0 ) = 0, ω = σταθ.) σύνθετη, ομαλή μεταφορική και στροφική ( Αν 0 = σταθ., ω = σταθ.) ω = 0, μεταβαλλόμενη μεταφορική ( σταθ., ω = 0) ΣF 0 και Στ = 0 Αν ω 0 0, μεταβαλλόμενη μεταφορική και ομαλή στροφική Αν ( σταθ., ω = σταθ.) (0) = 0, μεταβαλλόμενη στροφική ( = 0, ω σταθ.) ΣF = 0 και Στ 0 Αν (0) 0, μεταβαλλόμενη στροφική και ομαλή μεταφορική ( = σταθ., ω σταθ.) ΣF 0 και Στ 0 μεταβαλλόμενη μεταφορική και στροφική ( σταθ., ω σταθ.) 6

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΡΟΥΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΤΕΡΕΟΥ Εφαρμόζομε την αρχή διατήρησης της στροφορμής (Α.Δ.Σ.) για το σύστημα, πο σνήθως αποτελείται από ένα στερεό (π.χ. μία ράβδο) και ένα λικό σημείο (π.χ. βλήμα) πο σγκρούονται (ελαστικά ή ανελαστικά). Οι δνάμεις της κρούσης είναι εσωτερικές, γι ατό οι ροπές τος ως προς τον άξονα περιστροφής έχον αλγεβρικό άθροισμα μηδέν (Στ = 0). Άρα ισχύει η Α.Δ.Σ: L ΟΛ (ΠΡΙΝ) = L ΟΛ (ΜΕΤΑ). Μπορεί να χρειαστεί και η αρχή διατήρησης της ορμής (Α.Δ.Ο.) για το σύστημα, εφαρμοζόμενη στη μεταφορική κίνηση. Παρατήρηση: το λικό σημείο μπορεί να μην εκτελεί κκλική κίνηση πριν ή μετά την κρούση, θεωρούμε όμως ότι ακριβώς πριν ή μετά την κρούση έχει στροφορμή, αφού στιγμιαία απέχει κάποια απόσταση r από τον άξονα περιστροφής και οριακά εκτελεί κκλική κίνηση, έστω και στιγμιαία για χρόνο dt πριν ή μετά την κρούση. Άρα έχει «γραμμική» ταχύτητα κινούμενο σε επίπεδο κάθετο ως προς τον άξονα περιστροφής, επομένως έχει και στροφορμή (λικού σημείο) L = p r = mr. (Πρόβλημα φλλαδίο: 12) 7