ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Χρήστος Π. Μουρατίδης Αθήνα Δεκέμβριος 005

Ο κόπος αυτός αφιερώνεται στη σύζυγό μου Ελένη.

ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ του Χρήστου Π. Μουρατίδη Επιβλέπων Καθηγητής: Ν. Παπαδάτος Τμήμα Μαθηματικών Περίληψη Στην Εργασία παρουσιάζονται γενικά ταυτότητες πολυδιάστατων μεταβλητών, και δίνονται μερικές εφαρμογές. Με αφετηρία την ταυτότητα του Segel για την Κανονική Κατανομή, δίνονται επεκτάσεις και σε άλλες κατανομές. Παρουσιάζονται αποδείξεις και γενικεύσεις της ταυτότητας αυτής, σε σχέση με την ταυτότητα του Ste, από τους Lu, Aderso, Rott και Samuel-Cah. Δίνονται εφαρμογές σε εκθετικές οικογένειες και παρουσιάζονται κάποιοι χαρακτηρισμοί. Επιπλέον βρίσκονται κάτω και άνω φράγματα διασποράς για γραμμικούς εκτιμητές, που βασίζονται πάνω σε κανονικά διατεταγμένα δείγματα, μέσα από τις εφαρμογές των Houdrè, Παπαδάτου και Παπαθανασίου. v

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΠΟΛΥΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ... ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ... v ΕΙΣΑΓΩΓΗ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ... 3 Η Ταυτότητα του Segel... 3 Εισαγωγικά Στοιχεία Επεξηγήσεις... 4 Απόδειξη... 4 Λήμμα. : Για =.... 4 Λήμμα. : Για Χ, σταθερές.... 6 Λήμμα.3 : Για Χ κανονική πολυδιάστατη μεταβλητή.... 8 Λήμμα.4 : Σε μορφή πινάκων.... 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ... 3 Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel... 3 Αποτελέσματα του Segel και ταυτότητες του Ste... 3 από τον Lu J. (994).... 3. Ο Τύπος του Segel από τις ταυτότητες του Ste.... 3 Λήμμα.... 3. Μια απλή απόδειξη της γενίκευσης της σχέσης του Segel.... 4 Εισαγωγικά Στοιχεία Επεξηγήσεις... 4 Θεώρημα.... 5 Απόδειξη... 5 Σχόλιο... 5 Πόρισμα.... 6 3. Γενικεύσεις σε άλλες κατανομές... 6 Posso (λ)... 6 Πόρισμα.... 6 Απόδειξη... 7 Studet t ν... 7 Πόρισμα.3... 7 Γενίκευση σε διατεταγμένες παρατηρήσεις... 8 Απόδειξη... 8 Εκθετική (θ )... 8 Πόρισμα.4... 8 Απόδειξη... 9 Γενίκευση του Aderso C.L. (993)... 9 Θεώρημα.... 9 Σχόλια:... 9 Απόδειξη... 0 Συνδιασπορά μεταξύ μεταβλητών και διατεταγμένων παρατηρήσεων για πολυδιάστατες κανονικές μεταβλητές... των Rott Y. και Samuel-Cah E. (994)... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3... 3 Ταυτότητες Συνδιακύμανσης Πολυδιάστατων Μεταβλητών σε Εκθετικές Οικογένειες... 3 v

Εισαγωγικά Στοιχεία Επεξηγήσεις... 3 Ταυτότητα του Chou (988)... 4 Απόδειξη... 4 Βήμα ο : Hudso (978)... 4 Θεώρημα 3.... 4 Απόδειξη... 4 Βήμα ο : Για ταυτοτική... 5 Βήμα 3 ο : Γενίκευση Μορφή Πινάκων... 5 Άνω φράγμα Brascam & Leb (976)... 6 Λήμμα 3.... 6 Απόδειξη... 7 Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή... 7 Εισαγωγικά Στοιχεία Επεξηγήσεις... 7 Θεώρημα 3.... 8 Απόδειξη... 9 Θεώρημα 3.3... 30 Απόδειξη... 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4... 33 Εφαρμογές στον τύπο του Segel... 33. Μια εφαρμογή του Chrsta Houdré (995)... 33 Περιγραφή - Εισαγωγή... 33 Εισαγωγικά στοιχεία - Επεξηγήσεις... 35 Ανισότητα Cheroff (98)... 37 Ανάπτυξη... 37 Πρόταση 4..... 38 Απόδειξη... 38 Πρόταση 4..... 40 Απόδειξη... 40 Πρόταση 4..3... 4 Απόδειξη... 4 Πρόταση 4..4... 4 Απόδειξη... 43 Συμπέρασμα Εφαρμογής Houdré... 46. Μια εφαρμογή των Ν. Παπαδάτου και... 47 Β. Παπαθανασίου (003)... 47 Σε διατεταγμένα δείγματα... 47 Κανονική κατανομή... 48 Κατανομή Drchlet... 48 Πολυδιάστατη κανονική κατανομή... 49 Άνω και κάτω φράγματα της διασποράς... 49 Ειδικές Περιπτώσεις... 50 Για μια διατεταγμένη τ.μ. πολυδιάστατης κανονικής.... 50 Για τυχαίο δείγμα..d. μεταβλητών κανονικής κατανομής.... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5... 53 Συμπερασματικές Παρατηρήσεις... 53 Διακριτό Ανάλογο Cacoullos & Paathaasou (99)... 53 Θεώρημα 5.... 55 Θεώρημα 5.... 55 Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α... 56 v

. The Momets of the Maxmum of Correlated Normal ad t- varates... 56 By By Afoa (97)... 56 Εισαγωγικά Στοιχεία Επεξηγήσεις... 56 Θεώρημα Π... 57. Segel s formula va Ste s dettes... 59 By Ju S. Lu (994)... 59 Θεώρημα Π... 59 Απόδειξη... 59 Πίνακας... 60 Β Ι Β Λ Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α... 6 v

Ταυτότητες Συνδιακύμανσης Πολυδιάστατων Μεταβλητών Χρήστος Π. Μουρατίδης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην Εργασία αυτή, και με αφετηρία την ταυτότητα του Segel (993), στο Κεφάλαιο παρουσιάζεται βήμα προς βήμα η απόδειξή της, για μια πολυδιάστατη μεταβλητή, με κανονική κατανομή. Στο Κεφάλαιο γενικεύονται τα αποτελέσματα του Segel σύμφωνα με τους Aderso (993), Rott και Samuel-Cah (994), ενώ παρουσιάζεται μια άλλη απόδειξη της γενίκευσης της παραπάνω ταυτότητας από τον Lu (994), έχοντας όμως αφετηρία μια πολυμεταβλητή εκδοχή της ταυτότητας του Ste (97). Ακόμα δίνονται γενικεύσεις της σε άλλες κατανομές, όπως Posso (λ), Studet t ν, και βέβαια σε διατεταγμένα δείγματα (order statstcs). Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται εφαρμογή των προηγουμένων, όταν το τυχαίο διάνυσμα Χ ανήκει σε -διάστατη εκθετική οικογένεια, αποδεικνύεται η ταυτότητα του Chou (988), ενώ για το άνω φράγμα των Brascam & Leb (976) της διακύμανσης της g() όταν η πυκνότητα f της Χ είναι λογαριθμικά-κοίλη, δίνεται αντίστοιχη ταυτότητα συνδιακύμανσης από τους Paadatos & Paathaasou (003) και γενικεύεται για πολυδιάστατη κανονική κατανομή. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται δύο εφαρμογές. Στην πρώτη, του Houdré (995), γίνεται εκτίμηση της διασποράς ή συνδιασποράς συναρτήσεων με κανονική πολυδιάστατη μεταβλητή, και πώς με τη μέθοδό του μπορεί να παραχθεί ο τύπος της συνδιασποράς του Segel (993). Συγκριτικά στοιχεία του φράγματος Cheroff (98) και του Paathaasou (988), για μονοδιάστατη τυποποιημένη κανονική μεταβλητή, βρίσκονται στον Πίνακα του Παραρτήματος. Στη δεύτερη εφαρμογή, των Paadatos & Paathaasou (003), εφαρμόζονται οι ταυτότητες του Κεφαλαίου 3 σε διατεταγμένα δείγματα (order statstcs), σε κανονική κατανομή, σε κατανομή Drchlet και σε

Ταυτότητες Συνδιακύμανσης Πολυδιάστατων Μεταβλητών Χρήστος Π. Μουρατίδης πολυδιάστατη κανονική κατανομή. Παρουσιάζονται επίσης δύο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις, άνω και κάτω φράγματος διασποράς. Στο Κεφάλαιο 5 δίνεται το διακριτό ανάλογο των Cacoullos & Paathaasou (99) με τη βοήθεια δύο θεωρημάτων, ανάλογων αυτών του Κεφαλαίου 3. Τέλος στο Παράρτημα, παρουσιάζεται η έκφραση για τη διασπορά του Afoa (97), που είναι μια πιο σύνθετη μορφή αυτής του Houdré (995) και η εφαρμογή του τύπου του Ste για την κατανομή Studet t v, από τον Lu (994).

Κεφάλαιο Η Ταυτότητα του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ Έστω Η Ταυτότητα του Segel,..., ένα τυχαίο πολυδιάστατο διάνυσμα που ακολουθεί κανονική κατανομή με αυθαίρετο διάνυσμα μέσων και αυθαίρετο πίνακα διασπορών ακόμα και ιδιάζων, με τον όρο ότι οι μεταβλητές είναι διακεκριμένες με πιθανότητα. Σ αυτήν την περίπτωση ο Segel (993) απέδειξε την εξής ταυτότητα συνδιακύμανσης: ( ) cov é ë,m,..., ù= û å cov[, ] P[ = m(,..., )] () = του πρώτου, με το μικρότερο στοιχείο ενός πολυδιάστατου κανονικού τυχαίου διανύσματος. Αυτή η συνδιακύμανση είναι ο σταθμικός μέσος των συνδιακυμάνσεων του πρώτου με το στοιχείο του διανύσματος, σταθμισμένο ανάλογα με την πιθανότητα ότι το στοιχείο είναι το ελάχιστο. Η γεωμετρική ερμηνεία σε ένα -διάστατο χώρο είναι ότι αν και το διάνυσμα των συνδυακυμάνσεων του Χ με το m(χ,χ, Χ η ) είναι γενικά διαφορετικό από το διάνυσμα των δεσμευμένων μαθηματικών ελπίδων, αυτά τα διανύσματα έχουν πάντα την ίδια προβολή πάνω στο διάνυσμα των πιθανοτήτων ότι το Χ είναι το μικρότερο, =,,,. Η ταυτότητα εμφανίζεται στην ανάλυση μελλοντικών συμβολαίων προϊόντων και χρηματοοικονομικών. Πιο συγκεκριμένα, είναι ο αριθμητής του λόγου αντασφάλισης R m cov,m,, var m,, ο οποίος υποδεικνύει πόσα μελλοντικά συμβόλαια πρέπει κανείς να αγοράσει ή πουλήσει, ώστε να μειώσει τον κίνδυνο ρίσκο μιας χρηματοοικονομικής του επένδυσης, στο χαμηλότερο επίπεδο., 3

Κεφάλαιο Η Ταυτότητα του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης Η μείωση του κινδύνου αντασφάλιση επένδυσης, συνήθως είναι πρόβλημα παλινδρόμησης, διότι ο αντικειμενικός σκοπός της ελαχιστοποίησης του κινδύνου, επιτυγχάνεται κάνοντας τα υπόλοιπα της διασποράς του μελλοντικού κέρδους, όσο το δυνατόν μικρότερα. Εισαγωγικά Στοιχεία Επεξηγήσεις Συμβολίζουμε τους μέσους με E var και τις συνδιασπορές με cov, cov,m,...,, τις διασπορές με. Ακόμα με, οπότε το αριστερό μέρος της ταυτότητας γράφεται. Έστω επίσης ο συντελεστής της συνήθους πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης του Χ όταν εκτιμάται από τις υπόλοιπες τυχαίες μεταβλητές (Χ,, Χ -, +,, ) περιέχοντας ένα σταθερό όρο, και έστω τα υπόλοιπα διασποράς αυτής της παλινδρόμησης. Τότε αρκεί να δείξουμε ότι : P m,...,. Απόδειξη Λήμμα. : Για =. Αποδεικνύουμε το θεώρημα για την ειδική περίπτωση με = και Χ =0 εκτιμώντας κατευθείαν την συνδιασπορά. Έστω, κανονικής κατανομής με μέσο μ και διασπορά σ. Τότε θα δείξουμε ότι : Έτσι έχουμε: cov, m,0 P m,0. (.) cov, m,0 E m(,0) E( ) E m(,0) Για την περίπτωση σ=0 προφανώς ισχύει (τετριμμένη περίπτωση), 4

Κεφάλαιο Η Ταυτότητα του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης διότι το δεύτερο μέλος της (.) θα ισούται προφανώς με μηδέν, ενώ για το πρώτο μέλος θα έχουμε: αν 0 τότε m(,0) και cov, m,0 E m(,0) E( ) E m(,0) E E E E E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 αν 0 τότε m(,0) 0 και cov, m,0 E m(,0) E( ) E m(,0) E( 0) E( ) E(0) 0 Ας δεχτούμε ότι σ>0. Θεωρούμε την τυποποιημένη κανονική τυχαία μεταβλητή Z 0,, και αντικαθιστώντας το Χ με Ζσ + μ, η συνδιασπορά στην παραπάνω σχέση γίνεται : Z Z Z cov,m(,0) cov,m(,0) cov,m(,0) Z Z Z Z cov, m,0 cov,m,0 0,. έτσι έχουμε : cov, m,0 cov Z,m Z,0 m Z,0 ( ) m Z,0 Z 0, άρα Ε(Ζ)=0 5

Κεφάλαιο Η Ταυτότητα του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης m Z,0 zm z,0 ( z) dz zz () z dz0 PZ P 0 P m,0. Σημειώνεται ότι για την ταυτότητα χρησιμοποιήθηκαν τα εξής: z z z dz P Z και ( x), Z m Z,0, 0 0, e x η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τυποποιημένης κανονικής, οπότε d( x) x ( x) dx και με ολοκλήρωση κατά παράγοντες προέκυψε η παραπάνω σχέση. Λήμμα. : Για Χ, σταθερές. Έστω τώρα, 3,..., σταθερές ( διασπορά, δηλαδή, Τότε θα δείξουμε ότι :. 0 ) και Χ κανονική με cov,m,,..., P m,,..., (.) Έστω ξ = m(χ, Χ 3,, Χ ) η μικρότερη από αυτές τις σταθερές, 6

Κεφάλαιο Η Ταυτότητα του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης τότε m,,, παίρνουμε τα ίδια αποτελέσματα με το μετασχηματισμό : m,0, 0 και όπως παρατηρούμε,, 0 Χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό αυτό, επαναϋπολογίζουμε τη συνδιασπορά στη σχέση (.) και έχουμε : cov,m, cov, m,0 cov, cov,m,0 cov,m,0. cov, 0 0. αφού E E Από την άλλη, αν εφαρμόσουμε το μετασχηματισμό Χ = Χ ξ στη σχέση (.) έχουμε : E E E m,0 m,0 m,0 m,0 m,0 m,0 cov,m,0 m,0 m,0 E E E E E E E E E cov,m,0. αφού ξ σταθερό. Άρα από (Ι) και (ΙΙ) και τη σχέση (.) έχουμε : m,0 m,0 m, m,,,. cov,m, cov,m,0 cov,m,0 P P P P 7

Κεφάλαιο Η Ταυτότητα του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης Λήμμα.3 : Για Χ κανονική πολυδιάστατη μεταβλητή. Έστω,..., κανονική πολυμεταβλητή. Υπενθυμίζουμε ότι συμβολίζουμε με E, τις διασπορές με var συνδιασπορές με cov,. Ακόμα με cov,m,..., Έστω επίσης και τις ο συντελεστής της συνήθους πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης του Χ όταν εκτιμάται από τις υπόλοιπες τυχαίες μεταβλητές (Χ,, Χ -, +,, ) περιέχοντας ένα σταθερό όρο, και έστω τα υπόλοιπα διασποράς αυτής της παλινδρόμησης. Τότε το λ συνδέεται με τα υπόλοιπα λ ως ακολούθως : m,..., P (.3) a... Καθορίζουμε την προσαρμοσμένη τιμή από τη συνήθη πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση για την εκτίμηση του Χ από τα Χ,,Χ με ένα σταθερό όρο. Προσθέτουμε και αφαιρούμε το, που είναι σταθερό δοθέντων των Χ, Χ 3,, Χ και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι βρίσκουμε : cov, 0, cov,m,,..., cov,m,..., cov,m,,..., διότι : cov,m,,..., 8

Κεφάλαιο Η Ταυτότητα του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης cov,m,,..., cov,m,,..., cov,m,,..., cov,m,,...,. αφού m,,, m,,. Επίσης είναι : cov,m,,..., cov...,m,,..., cov,m,,..., cov,m,,...,... cov,m,,..., cov,m,,...,... cov,m,,...,.... Για την πρώτη συνδιασπορά της σχέσης αυτής εφαρμόσαμε την (.), σημειώνοντας ότι το είναι ανεξάρτητο των Χ, Χ 3,, Χ όπως προκύπτει από το θεώρημα Basu και τις ιδιότητες της κανονικής, και ότι το είναι σταθερό δοθέντων των Χ, Χ 3,, Χ. Για την τελευταία συνδιασπορά της σχέσης, αντικαταστήσαμε τον ορισμό του και έτσι προέκυψε ότι : Pm,..., Pm(,..., ). Εφαρμόζοντας την (.3) για κάθε λ με αντίστοιχη αντικατάσταση του Χ με Χ παίρνουμε το ακόλουθο γενικό αποτέλεσμα : 9

Κεφάλαιο Η Ταυτότητα του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης P m,..., για =,,. (.4) Λήμμα.4 : Σε μορφή πινάκων. Σε μορφή πινάκων η σχέση (.4) τροποποιείται ελαφρά : P m,, 3 3 3 3 3P 3 m,, 3 3 P m,, 3 P m,, (.5) Ο αντίστροφος του πίνακα που πρέπει να λύσουμε είναι : (.6) Ας ονομάσουμε Β και C τους πίνακες της σχέσης (.6), τότε ζητάμε να δείξουμε ότι Β - =C, άρα αρκεί να δείξουμε ότι ΒC=I. Θα δείξουμε ότι (ΒC) = και (BC) =0. Παρόμοια επιχειρήματα εφαρμόζονται γενικά για τα διαγώνια και μη στοιχεία. BC Πρώτα εξετάζουμε ένα διαγώνιο στοιχείο : 0

Κεφάλαιο Η Ταυτότητα του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης Χρησιμοποιώντας τη θεωρία τυπικής παλινδρόμησης για κατανομές υπό συνθήκες στην αντικατάσταση των β, (βλέπε για παράδειγμα, Aderso 984,.35) μπορούμε να υπολογίσουμε ως ακολούθως : BC 3 3 3 3 3 3 3 Κατόπιν εξετάζουμε ένα μη διαγώνιο στοιχείο του πίνακα ΒC, το οποίο αποδεικνύεται ότι είναι 0. BC 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 Επανερχόμαστε στη σχέση (.5) και λύνουμε ως προς λ χρησιμοποιώντας την πρώτη γραμμή του αντίστροφου πίνακα, που υπολογίσαμε παραπάνω, οπότε έχουμε :

Κεφάλαιο Η Ταυτότητα του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης P m,, P m,, P m,, P m,, 3 3 3 3 Ο πολλαπλασιασμός αυτός συμπληρώνει την απόδειξη της ταυτότητας.

Κεφάλαιο Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Αποτελέσματα του Segel και ταυτότητες του Ste από τον Lu J. (994). Ο Lu (994), χρησιμοποιώντας μια πολυμεταβλητή εκδοχή της ταυτότητας του Ste, πέτυχε τη γενίκευση του τύπου του Segel τόσο σε διατεταγμένα δείγματα, όσο και σε άλλες κατανομές.. Ο Τύπος του Segel από τις ταυτότητες του Ste. Από το θεώρημα του Segel (993), για μια πολυδιάστατη κανονική μεταβλητή,...,, με διακεκριμένες μεταβλητές Χ, αυθαίρετο μέσο και αυθαίρετο πίνακα διασπορών, έχουμε: cov,m,..., cov, P m,...,. (.) Από την άλλη ο Ste (97) παρατηρεί ότι για Z, και για κάθε συνάρτηση f τέτοια ώστε E fz ισχύει: ( ) ( ) E Z f Z E f Z. (.) Επίσης υπάρχει μια εκδοχή της ταυτότητας του Ste, για πολυδιάστατη μεταβλητή όπως περιγράφει το παρακάτω Λήμμα: Λήμμα. Έστω,..., πολυδιάστατη μεταβλητή με κανονική κατανομή και αυθαίρετο μέσο διάνυσμα μ και πίνακα συνδιασπορών Σ. 3

Κεφάλαιο Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης Για κάθε συνάρτηση hx (,..., x ), τέτοια ώστε οι h/ x να είναι σχεδόν παντού συνεχείς και h ( ) E,,..., γράφοντας δε x h ( ) h ( ) h ( ),...,, έχουμε την παρακάτω ταυτότητα: x x Ειδικότερα: h E h cov, ( ) ( ). (.3) cov, h,..., cov, E h,..., x (.4). Μια απλή απόδειξη της γενίκευσης της σχέσης του Segel. Ο Lu παρατήρησε ότι το θεώρημα του Segel συνδέεται πολύ με τις ταυτότητες του Ste και θα μπορούσε να γενικευθεί στις συνδιασπορές της Χ με άλλες διατεταγμένες παρατηρήσεις, άλλες συναρτησιακές σχέσεις και άλλες κατανομές. Εισαγωγικά Στοιχεία Επεξηγήσεις Έστω ( ) m, fu z z u. Τότε η u συνάρτηση του z. Ως εκ τούτου για, μπορεί να εφαρμοστεί και να πάρουμε : u u Zu f είναι κατά τμήματα γραμμική Z, η ταυτότητα του Ste cov, ( ) m, Z f Z Ef Z E I PZ Z u, το οποίο εύκολα οδηγεί στο Λήμμα. και.3 του Segel (993). 4

Κεφάλαιο Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης Στη συνέχεια, χρησιμοποιούνται από το Segel ακόμα μερικές ιδιότητες της κανονικής κατανομής, για την απόδειξη του θεωρήματός του. Όμως ο Lu βρήκε ότι είναι πιο κατάλληλο βολικό να χρησιμοποιήσει μια πολυμεταβλητή εκδοχή της ταυτότητας του Ste κατευθείαν, για να αποδείξει τη γενίκευση της σχέσης του Segel, όπως ακολουθεί: Θεώρημα. Έστω,..., μια πολυδιάστατη κανονική μεταβλητή, με διακεκριμένες μεταβλητές Χ, αυθαίρετο μέσο και πίνακα διασπορών. Έστω η -οστή μεγαλύτερη μεταξύ των,..., τότε: cov, cov, P. (.5) ( ) ( ) Απόδειξη Ορίζουμε hx (,..., x) x ( ). Τότε η h είναι κατά τμήματα γραμμική και ως εκ τούτου σχεδόν παντού παραγωγίσιμη. Επίσης σημειώνουμε ότι,... x, x x h x x 0, x x. Οπότε με εφαρμογή της ταυτότητας (.4), παίρνουμε το αποτέλεσμα. Σχόλιο Για ένα τυχαίο πολυδιάστατο διάνυσμα με κανονική κατανομή, η συνδιασπορά του Χ με το m,..., υπολογισθεί., μπορεί επίσης, ομοίως να Ορίζουμε (,..., ) m,..., hx x x x, τότε h x x, 0 x u, u x 0, 0, x u 5

Κεφάλαιο Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης όπου m k, u k. Κατόπιν τούτων η ταυτότητα (.4) του Ste οδηγεί στο επόμενο Πόρισμα. Πόρισμα. Έστω m,..., Y, όπου,..., μια πολυδιάστατη κανονική μεταβλητή, με αυθαίρετο μέσο και πίνακα διασπορών. Τότε: Y P Y P Y cov, cov,, 0, 0 Όταν τα,..., έχουν μέσο μηδέν, η παραπάνω συνδιασπορά ισούται με μηδέν. 3. Γενικεύσεις σε άλλες κατανομές Οι ταυτότητες του Ste (97) για άλλες κατανομές, μπορούν να χρησιμοποιηθούν ώστε να πάρουμε παρόμοια αποτελέσματα. Posso (λ) Αν Z Posso, τότε αναφέρεται στον Ste (97) ότι: E Z f Z Ef Z f Z. Έτσι με παρόμοια διαδικασία μπορεί να προκύψει η πρόταση: Πόρισμα. Αν Posso, είναι ανεξάρτητη των,...,, τότε ισχύει: cov, m,..., P,. 6

Κεφάλαιο Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης Απόδειξη Θεωρούμε ( ) m, f x x u. Τότε εφαρμόζοντας την ταυτότητα του u Ste για κατανομή Posso έχουμε: cov, fu Efu fu P u και ως εκ τούτου δεσμεύοντας cov, f ( ),..., P m,...,,..., u. Επειδή είναι: cov UV, E cov UV, W cov EU W, EV W και η είναι ανεξάρτητη των,, έπεται το ζητούμενο συμπέρασμα. Studet t ν Αν 0, Z t, για παράδειγμα Z Y W / όπου 0, Y και W, τότε αποδεικνύει ο Lu (994) [βλέπε Παράρτημα ()] ότι ισχύει: όπου, Z t. EZf Z E f Z, Με παρόμοια διαδικασία προκύπτει η πρόταση: Πόρισμα.3 Αν 0, τότε ισχύει: t είναι ανεξάρτητη των,..., και, t, 7

Κεφάλαιο Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης cov, m,..., P m,...,, Γενίκευση σε διατεταγμένες παρατηρήσεις Αν είναι η -οστή διατεταγμένη παρατήρηση, τότε ακόμα πιο γενικά ισχύει: cov, P. Απόδειξη Η απόδειξη γίνεται με χρήση της ταυτότητας του Ste για t-κατανομή. Εκθετική (θ ) Πολύ γενικότερα ο Morrs (983) αποδεικνύει ταυτότητες τύπου Ste, για φυσικές εκθετικές οικογένειες (NEF) με διτετράγωνη συνάρτηση διασποράς (NEF-QVF). Έτσι, για ανεξάρτητες Y Exoetal( ), με ταυτότητα του Ste παίρνει τη μορφή: οπότε προκύπτει η πρόταση: ( ) και var( ) η EY cov Y, f Y EY fy Y Πόρισμα.4 Αν Y Exoetal( ) ανεξάρτητες, με ( ) και var( ) τότε: EY Y cov Y,m Y,..., Y. 8

Κεφάλαιο Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης Απόδειξη Θεωρούμε fu ( x) m x, u, τότε cov Y, fu ( Y) E YI Y u Θέτοντας U m Y,..., Y Exoetal., τότε έχουμε: cov Y,m Y,..., Y E E YI U Y U = EYPU Y Y Γενίκευση του Aderso C.L. (993) Αναφέρει ο Aderso (993) πως, υπάρχει σχέση μεταξύ της συνδιασποράς, που υπολόγισε ο Segel (993) και της κλασσικής ταυτότητας του Ste (98). Τα παρακάτω αποτελέσματα γενικεύουν και τα δύο. Θεώρημα. Έστω,,..., πολυδιάστατη μεταβλητή με κανονική κατανομή, και έστω Μ μια συνάρτηση του Χ σχεδόν παραγωγίσιμη με την έννοια του Ste (98), και έστω Υ μια γραμμική συνάρτηση του Χ. Τότε ισχύει: cov, M Y M cov Y, E Σχόλια: Σχεδόν παραγωγίσιμη σημαίνει ότι υπάρχει ουσιαστικά ένα βαθμωτό διάνυσμα M, του οποίου οι συντεταγμένες εδώ συμβολίζονται ως M, τέτοιο ώστε οι μεταβολές του Μ να παίρνονται 9

Κεφάλαιο Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης με ολοκλήρωση του M d. Ο Segel (993) παρουσίασε την περίπτωση: Y M, m(,..., ), στην περίπτωση που το M είναι η δείκτρια του ενδεχομένου M και έτσι η υποδεικνυόμενη Μαθηματική Ελπίδα να μπορεί να παριστάνεται ως Πιθανότητα. Η ταυτότητα του Ste (98), από την άλλη, είναι ουσιαστικά η περίπτωση της μονοδιάστατης μεταβλητής. Το Θεώρημα που αναφέραμε παραπάνω, μπορεί να προκύψει από την ταυτότητα του Ste, χρησιμοποιώντας τον κανόνα της αλυσίδας. Έτσι, υποθέτοντας ότι Z,..., Z k είναι..d. τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές τέτοιες, ώστε κάθε να είναι γραμμική συνάρτηση του Z. Τότε η ταυτότητα του Ste, λέει πως η συνδιασπορά μεταξύ των Z και Μ είναι ίση με την μαθηματική ελπίδα των μερικών παραγώγων του Μ ως προς Z. Απόδειξη Σύμφωνα με τα παραπάνω, έχουμε: M M cov YM, cov YZ, E Ecov YZ, Z Z M = cov YZ, cov, ZE M = cov Y, E. 0

Κεφάλαιο Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης Συνδιασπορά μεταξύ μεταβλητών και διατεταγμένων παρατηρήσεων για πολυδιάστατες κανονικές μεταβλητές των Rott Y. και Samuel-Cah E. (994) Στο ίδιο πνεύμα με τον Lu (994) και περίπου στο ίδιο χρονικό διάστημα, οι Rott Y. και Samuel-Cah E. (994) δούλεψαν πάνω στην ταυτότητα του Segel (993), για πολυδιάστατη κανονική μεταβλητή και διατεταγμένες παρατηρήσεις, αποδεικνύοντας στην ουσία το ίδιο θεώρημα, που αναφέραμε παραπάνω [θεώρημα (.), σχέση (.5)] αποδεδειγμένο από τον Lu (994). Οι Rott Y. και Samuel-Cah E. δίνουν στην εργασία τους, μια άλλη απόδειξη, πολύ πιο κοντά σ αυτήν του Segel, παρατηρώντας μάλιστα ότι, ο λόγος που ο Segel ονόμασε την ταυτότητα :,, Cov Cov P surrsg roerty απροσδόκητη ιδιότητα είναι, διότι αν κάποιος γράψει I, όπου Ι η δείκτρια συνάρτηση, τότε η διαισθητική αιτιολόγηση-εξήγηση ότι η ίση με τη περίπτωση όπου τα Cov, I θα είναι Cov, P, είναι λάθος ακόμα και στην είναι ανεξάρτητα. Η σχέση,, r r Cov Cov P, για r,..., και r να δηλώνει την r-οστή διατεταγμένη παρατήρηση, δεν είναι τετριμμένη ακόμα και αν τα είναι..d. Για κανονικές..d. μεταβλητές, η παραπάνω σχέση δίνει r Cov, /, (Johso & Kotz, 970, σσ.53, ή Johso, 994) αν και μόνο αν οι..d. τυχαίες μεταβλητές είναι κανονικές.

Κεφάλαιο Γενίκευση της Ταυτότητας του Segel Χρήστος Π. Μουρατίδης Για παράδειγμα, αν τα [0, ], μπορεί κανείς να δείξει ότι: είναι..d. με Ομοιόμορφη κατανομή στο Cov 6,. Άλλες ταυτότητες συνδιακύμανσης ή/και ανισότητες διακύμανσης όμοιες με αυτή του Ste μπορούν να βρεθούν, για παράδειγμα στον Hudso (978), στον Morrs (98), και Vtale (996), μεταξύ άλλων. Επιπλέον οι Wag, Sarkar και Ba (996) επεκτείνανε τον παραπάνω τύπο () για πίνακες συνδιακύμανσης μεταξύ ενός τυχαίου διανύσματος και των διατεταγμένων συνιστωσών του, σε μια περισσότερο γενική σύνθεση πολυδιάστατης μεταβλητής (συμπεριλαμβανομένης μιας πολυδιάστατης κατανομής t). Σε αυτή την περίπτωση έχουν παρατηρηθεί μερικές γενικές ταυτότητες συνδιακύμανσης πολυδιάστατων μεταβλητών. Χρησιμοποιώντας αυτές τις ταυτότητες, επεκτείνουμε τα αποτελέσματα του Wag (996) σε μια ευρύτερη τάξη κατανομών. Κάποια χαρακτηριστικά των κατανομών έχουν αποδειχθεί (εξασφαλιστεί) μέσω αυτών των ταυτοτήτων και παρακάτω παρουσιάζουμε μια εφαρμογή στα διατεταγμένα δείγματα (Κεφάλαιο 4.).

Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε Εκθετικές Οικογένειες Χρήστος Π. Μουρατίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ταυτότητες Συνδιακύμανσης Πολυδιάστατων Μεταβλητών σε Εκθετικές Οικογένειες Εισαγωγικά Στοιχεία Επεξηγήσεις,... ένα τυχαίο διάνυσμα που ανήκει σε μια συνεχή Έστω -διάστατη εκθετική οικογένεια, με πυκνότητα του τύπου: f k x = C( θ)ex{ θx- x } ( xe), x = (x,...,x ) (3.) όπου θ = ( q,..., q) είναι η φυσική παράμετρος της οικογένειας, Ε μια πεπερασμένη ένωση από ανοικτά συνεκτικά σύνολα στο k ( x ) έχει συνεχείς μερικές παραγώγους:, και η ( x),,,..., k k ( x ) = = x Η κατανομή του λέγεται ότι ανήκει στην οικογένεια F 0, αν εκτός από τη (3.) η f ( x ) τείνει στο μηδέν μονότονα, καθώς το x πλησιάζει κάποιο συνοριακό σημείο του Ε κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων. Έστω, λοιπόν Î F0 και θεωρούμε ότι g : είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα του g g =, για όλα τα =,,...,. Αν, επιπροσθέτως, x η συνάρτηση g ικανοποιεί τις συνθήκες: ( ), E k ( ) Eg < ( q) g( ) - <, για =,,..., (3.) τότε ο Chou (988) απέδειξε την ταυτότητα : 3

Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε Εκθετικές Οικογένειες Χρήστος Π. Μουρατίδης Ταυτότητα του Chou (988) Απόδειξη E k g E g. (3.3) Βήμα ο : Hudso (978) Ξεκινώντας από τον Hudso (978) έχουμε μια φυσική απλή ταυτότητα για μια μονοδιάστατη εκθετική οικογένεια : Θεώρημα 3. Έστω Χ μια συνεχής τυχαία μεταβλητή με εκθετική πυκνότητα f () x ex x () k() x, στο (, ), και έστω πιθανότητας k( ) t( ). Τότε εφαρμόζεται μια απλή ταυτότητα για κάθε k( ) απολύτως συνεχή συνάρτηση g στο έτσι ώστε Eg( ) ( ) ( ) ( ) <, δηλαδή : E t g E g. (3.3.) Απόδειξη x() x() ( ) () () ( ) () () E g g xe kxdx g e kxk x dx E t( ) g( ) Η δεύτερη ισότητα προκύπτει με ολοκλήρωση κατά παράγοντες, αφού η ποσότητα ( ) Eg <. g xe x( ) () kx () μηδενίζεται όταν x εάν Επιλέγοντας g έχουμε ότι η t() είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του θ, και αφού η εκθετική οικογένεια είναι πλήρης, αυτό υποδεικνύει 4

Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε Εκθετικές Οικογένειες Χρήστος Π. Μουρατίδης ότι η t() είναι η αμερόληπτη εκτιμήτρια ελάχιστης διασποράς για το θ. (MVUE). Αν τώρα το στήριγμα (suort) της Χ είναι ένα διάστημα (c, d), τότε είναι απαραίτητο να επιβάλουμε μια συνθήκη στον τύπο της πυκνότητας fθ(.) στα άκρα c, d, αν πρόκειται να διατηρήσουμε την ταυτότητα (3.3.) και δεν χρειαζόμαστε πλέον τη g παρά του ότι ( ) Eg <. (Ισοδύναμα, η συνθήκη αυτή ικανοποιείται αν η t() είναι αμερόληπτη εκτιμήτρια του θ). Η συνθήκη που απαιτείται είναι : x e k() x 0, όταν x c ή x d αυτόματα ικανοποιείται αν c=- ή d=.. Η αναγκαία αυτή συνθήκη Βήμα ο : Για ταυτοτική Εφαρμόζοντας τη (3.3) για την ταυτοτική συνάρτηση g( ) º, έπεται ότι: διότι : E k ( =,,..., ) E ( ) k g E g ( ) E k ( ) 0 E k ( ). Βήμα 3 ο : Γενίκευση Μορφή Πινάκων Άρα για αυθαίρετη g με,,... g g g g που ικανοποιεί τη σχέση (3.), ο τύπος (3.3) μπορεί να ξαναγραφεί σε μορφή πινάκων ως όπου (,,... ) k = k k k διότι:, Cov k g E g. (3.4) 5

Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε Εκθετικές Οικογένειες Χρήστος Π. Μουρατίδης ( ) ( ) k g Eg E k g E g E k ( ) g( ) E g( ) E g ( ) E k( ) g( ) E k( ) E g( ) E g( ) cov ( ), ( ) ( ) με =,,. Άνω φράγμα Brascam & Leb (976) Σε διαφορετικό γενικό πλαίσιο, οι Brascam και Leb (976) έδωσαν ένα άνω φράγμα για τη διακύμανση της g ( ), όταν η πυκνότητα f της είναι λογαριθμικά-κοίλη, και συγκεκριμένα, log f Var g E g g. (3.5) Αυτή η ανισότητα, είναι άμεσα συνδεδεμένη με την αντίστοιχη ταυτότητα συνδιακύμανσης, που δίνεται από το ακόλουθο λήμμα: Λήμμα 3. Αν το τυχαίο διάνυσμα έχει λογαριθμικά-κοίλη πυκνότητα f, τότε log, Cov f g E g, (3.6) για οποιαδήποτε συνάρτηση g( x ) τέτοια ώστε: E g και log f E g (,,..., ) =. 6

Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε Εκθετικές Οικογένειες Χρήστος Π. Μουρατίδης Απόδειξη Ολοκληρώνοντας κατά παράγοντες και χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Fub, έχουμε: f f x x g x ( ) f x dx f xgx dx dx... dx dx... dx f xg x dx dx... dx dx... dx f x g x dx που επάγει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Πολυδιάστατη Κανονική Κατανομή Εισαγωγικά Στοιχεία Επεξηγήσεις Ερχόμενοι τώρα στην ειδική περίπτωση όπου το τυχαίο διάνυσμα ακολουθεί την πολυδιάστατη κανονική κατανομή με μέση τιμή [ ] E = μ και θετικά ορισμένο πίνακα διασπορών Σ, χρησιμοποιώντας τη σχέση (3.4) και την (3.6), καταλήγουμε στη γνωστή ταυτότητα: Cov, g ΣE g, η οποία αποτελεί το πολυδιάστατο ανάλογο της ταυτότητας του Ste (Cacoullos & Paathaasou, 99). Ορίζουμε με F την οικογένεια των τυχαίων διανυσμάτων με λογαριθμικά-κοίλες συναρτήσεις πυκνότητας που ικανοποιούν την ταυτότητα (3.6). 7

Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε Εκθετικές Οικογένειες Χρήστος Π. Μουρατίδης Μπορούμε τώρα να παρουσιάσουμε τις παραπάνω ταυτότητες σε μία ενοποιημένη μορφή. Έστω ένα τυχαίο διάνυσμα με πυκνότητα f ( x ), όπου κάθε, =,,...,, ορίζεται πάνω σε ένα ανοικτό διάστημα ( a, b ) με τα άκρα να μπορούν να γίνουν μη πεπερασμένα αλλά εξαρτώμενα από τα x,..., x -, x +,..., x. Με άλλα λόγια, το πεδίο ορισμού του υποθέτουμε ότι είναι ένα κυρτό ανοικτό υποσύνολο Τότε, για κάθε συντεταγμένη h ( ) C του. x της συνάρτησης με ( ) hx ( ) = h ( x), h ( x),..., h ( x ) : C E ( ) E h ( ) h = å <, = ορίζουμε τη συνάρτηση z ( ) x x από τη σχέση: (,, ) (,, ) ( ) ( ) = é ( ) ù ò ê ú- ( ) z f E h h t f t dt x x ë û u v u v, Î C a Όπου u = (,..., ), = ( x +, x+..., x) x x x - v ( =,,..., ) και z : C με z( x) = z ( x), z ( x),..., z ( x ) ( ) x, Επιπλέον, υποθέτουμε ότι: z ( ) f ( ) 0 άκρα του διαστήματος (, ) a b. Τότε, καταλήγουμε στο επόμενο θεώρημα: x x καθώς το x τείνει στα Θεώρημα 3. Υπό τις παραπάνω υποθέσεις, εάν g ( x ) είναι ένα αόριστο ολοκλήρωμα των μερικών της παραγώγων 8

Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε Εκθετικές Οικογένειες Χρήστος Π. Μουρατίδης g g x = (,,..., ) =, τότε é ( ), ( ) ù = é ( ) ( ) ù êë úû êë úû (,,..., ) Cov h g E z g =, (3.7) ( é ù) ( ) δοθέντος ότι E h ( )- E h ( ) g <, ( ) ( ) για όλα τα =,,...,. êë úû Ez é g ù êë úû < Απόδειξη Η απόδειξη του θεωρήματος προκύπτει εύκολα παρατηρώντας ότι που δίνει: - ( z ( x) f ( x) ) = ( h ( ) -Eéh ( ) ù) f ( ) x ê ë ú û x, ( ) ( ( )) ( ( )) é êë ( ), ( ) ù= úû ( ) ( ) - (Ι) Cov h g E h g E h E g Από την άλλη είναι : ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) Eh é - Eh é ù g ù= Eh é g ( )-Eh é ù g ( ) ù = ëê ëê ûú úû êë êë úû úû Eh é ( ) g ( ) ù EE é ( éh( ) ù g ( ) ù Eh é ( ) g ( ) ù Eh é ( ) ù êë úû - ê êë úû ú= êë úû - êë úû Eg [ ( ). ] ë û (ΙΙ) Από τις (Ι) και (ΙΙ) έχουμε : é( ( )) ( ) ù é êë ( ), ( ) ù= úû ê ( ) - ( ) ú= ë û Cov h g E h E h g h x - E h g( x) f( x) dx= - z ( x) f( x) g( x) dx= ( ( ) ( ( ) )) ò ò - ( ) ( ) x æ b ö -( z ( x) f ( x) ) g( x) dx dxdx - dx + dx = ç è a ø ò ò 9

Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε Εκθετικές Οικογένειες Χρήστος Π. Μουρατίδης - æ b ö z ( x) f ( x) g ( x) dx dxdx - dx + dx = ç è a ø ò ò ò z ( ) g( ) f( x) dx= Eéz ( ) g( ) ù ê ë ú û διότι : b b b gx () z () x f() x g() x dx z () x f()() x g x dx z () x f() x dx x x a a a b 0 z ( x) f( x) g ( x) dx a. Επίσης μπορεί να δειχθεί ότι για δεδομένη συνάρτηση h, η ταυτότητα (3.7) χαρακτηρίζει τη συνάρτηση πυκνότητας f μέσω της συνάρτησης z. Πράγματι, το αντίστροφο του θεωρήματος 3. ισχύει, οπότε έχουμε το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 3.3 Έστω : C h μια αυθαίρετη συνάρτηση με E h ( ) <. Εάν η ταυτότητα (3.7) ισχύει για κάθε g ÎG, όπου η οικογένεια G περιέχει τις φραγμένες συναρτήσεις g: C, οι οποίες είναι αόριστα ολοκληρώματα των μερικών τους παραγώγων και για όλα τα =,,..., έχουμε b a ( Eh é ( ) ù- h( )) f( ) dx = 0 ò êë ú û x, τότε η συνάρτηση πυκνότητας f του και η συνάρτηση z συνδέονται μέσω της σχέσης 30

Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε Εκθετικές Οικογένειες Χρήστος Π. Μουρατίδης x (,, ) (,, ) ( ) ( ) = é ( ) ù ò ê ú- ( ) z E h h t f t dt x f x ë û u v u v, a με την προϋπόθεση ότι για όλα τα =,,..., ισχύει C x a ( ( ) (,, ) ) (,, ) ( ) ( ) Eh é òò êë ù- úû h u t v f u t v dt- z x f x dx <. (3.8) Απόδειξη Για οποιαδήποτε φραγμένη συνάρτηση g ÎG έχουμε: Cov êë h é ù = ( ), g( ) úû é b x ù = g ( ) ( Eh é ù ò ò x ò êë úû -h( u, t, v ) ) f( u, t, v ) dtdx du dv. - ê a a ú ë û Από την άλλη é ( ), ( ) ù = é ( ) ( ) ù êë úû êë úû. Cov h g E z g Οπότε αν θέσουμε αρχικά g ( x) = cos( t x ) και έπειτα g ( x) = s( ) t x, με t = ένα αυθαίρετο διάνυσμα του ( t, t,..., t ), τότε η απόδειξη προκύπτει από τη μοναδικότητα του μετασχηματισμού Fourer. Οφείλεται να σημειωθεί ότι, κάτω από τις γενικές υποθέσεις του θεωρήματος 3., η συνάρτηση hx ( ) =-log f ( ) x έχει ως αποτέλεσμα οι συντεταγμένες της συνάρτησης z να παίρνουν την τιμή, δηλαδή να ισχύει z ( ) º x για όλα τα =,,...,. Με άλλα λόγια, ο ισχυρισμός του θεωρήματος 3. συνεπάγεται το αποτέλεσμα του Λήμματος 3.. 3

Κεφάλαιο 3 Εφαρμογές σε Εκθετικές Οικογένειες Χρήστος Π. Μουρατίδης Επιπλέον, εάν θεωρήσουμε ( ) ( ) - hx= qx= Σ x, τότε η αντίστοιχη συνάρτηση z ( μετασχηματισμός ) είναι η πολυδιάστατη συνάρτηση w όπου οι συντεταγμένες της w δίνονται από τις σχέσεις x ( ) ( ) = ò ( m - (,, )) (,, ) x x u v u v (,,..., ) w f q t f t dt a =, όπου q ( x ) είναι η -οστή συντεταγμένη του διανύσματος ( ) ( q ( ), q ( ),..., q - qx= x x ( x) ) = Σ x και m = Eq é ( ) ù ê ë ú û. Με αυτόν τον τρόπο η γνωστή ταυτότητα ( βλέπε Cacoullos & Paathaasou, 99) é ù é ù êë úû êë úû ( ), ( ) = ( ) ( ) (,,..., ) Cov q g E w g =, (3.9) αποτελεί ειδική περίπτωση του θεωρήματος 3.. 3

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Εφαρμογές στον τύπο του Segel. Μια εφαρμογή του Chrsta Houdré (995) Περιγραφή - Εισαγωγή Με αφορμή την ανάλυση μελλοντικών συμβολαίων ο Segel διατύπωσε τη σχέση για τη συνδιασπορά cov, m,...,, που αναφέραμε παραπάνω, για κανονική πολυδιάστατη μεταβλητή. Αυτή η συνδιασπορά είναι ο αριθμητής του κλάσματος-λόγου αντασφάλισης κερδοσκοπικής επένδυσης : R m cov,m,, var m,,, ο οποίος καθορίζει το ποσόν που θα διαπραγματευθεί συναλλαχθεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί το οικονομικό ρίσκο. Εκτός από τα αποτελέσματα του Segel, η πρόταση του Houdré αναδεικνύει ένα απλό άνω φράγμα για τη διασπορά var m,, ένα κάτω φράγμα για την απόλυτη τιμή του R m., και κατά συνέπεια Αν και μια ακριβή έκφραση για τη διασπορά var m,, ήταν γνωστή από τον Afoa (97) [βλέπε Παράρτημα, ()], ήταν δύσκολο να χρησιμοποιηθεί λόγω της πολύ σύνθετης μορφής της. Επίσης ο Paathaasou (988), με τη βοήθεια της ανισότητας των Mohr και Noll (95), ως επέκταση της ανισότητας του Schwarz για διαστήματα, παρήγαγε μια κλάση από φράγματα διασπορών, για κάθε απολύτως συνεχή τυχαία μεταβλητή Χ, με πυκνότητα f και πεπερασμένη ροπή τάξης +, και κάθε πραγματική συνάρτηση g με πεπερασμένη διασπορά ορισμένη σε r, s : essf, esssu ελάχιστο ανοικτό διάστημα που περιέχει τη Χ, με τη σχέση: 33, το

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης Sm Varg Sm, (4.) όπου m ή m, και k 0 k k S ak() t g () t dt k! k! (4.) (με την προϋπόθεση ότι τα διαστήματα είναι πεπερασμένα), k k k k k k k a ( t) ( t) I ( t) ( t) I ( t), k 0,,...,, (4.3) t k ( t) E t, I ( t) xt f( x) dx (4.4) k Η ισότητα στην (4.) ισχύει μόνο όταν η συνάρτηση πολυωνυμική κατάλληλου βαθμού. k k g είναι Έκτοτε ο ακριβής υπολογισμός της ποσότητας ak () t είναι σημαντικός για τη χρήση εφαρμογή του φράγματος (4.). Ας σημειωθεί ότι με t E ( ), είναι a t 0( ) x f( x) dx. Ο Paathaasou (988) ανακοίνωσε ακριβείς τύπους της ak () t για Κανονική και Γάμμα Κατανομές. k Για παράδειγμα, αν N, τότε k a () t k! f() t και ( ) k ( ) S E g (4.5) k k k 0 k! το οποίο γίνεται ίσο με Varg( ), μόνο όταν η g είναι πολυωνυμική, βαθμού το πολύ. Εδώ θα πρέπει να σημειώσουμε ότι οι Houdré και Kaga (995), με διαφορετικό πνεύμα και χρησιμοποιώντας μια τελείως διαφορετική μέθοδο, βασισμένη σε τριγωνομετρική προσέγγιση πολυωνύμων, επαναϋπολογίζουν ανεξάρτητα το φράγμα (4.5) για Κανονική κατανομή. 34

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης Αν και η μέθοδός τους είναι ικανή να επαληθεύσει την (4.5) για σύνθετες συναρτήσεις g, η τεχνική της προσέγγισής τους όμως δεν πετυχαίνει τις συνθήκες για ισότητα. Έτσι ο Houdré (995), έχοντας σαν αφετηρία τη σύνθετη μορφή που έδωσε ο Afoa (97), καταφέρνει να δώσει μια έκφραση του άνω φράγματος, που είναι πιο απλή και παρέχει μια χρήσιμη-πρακτική εκτίμησή του. Ένα άλλο πλεονέκτημα της δικής του προσέγγισης προέρχεται από τη γενίκευσή της, αφού εφαρμόζεται όχι μόνο για το ελάχιστο, αλλά και σε οποιοδήποτε διατεταγμένο δείγμα, όπως για παράδειγμα, σε ταυτότητες που εμπλέκουν τη διάμεσο τιμή σε μελλοντικά συμβόλαια ή εκτιμήσεις του λόγου R med cov, med,, var med,,. Επιπλέον δίνει μια πλεονεκτική εκτίμηση για τη διασπορά των order statstcs ενός πολυδιάστατου κανονικού διανύσματος (Χ,,Χ ), η οποία φαίνεται χρήσιμη σε άλλες περιοχές της Στατιστικής. Ο Houdré εστιάζει την προσοχή του στην πιο σπουδαία κατανομή, και έτσι μελετά εδώ μόνο κανονικές μεταβλητές. Παρόμοια όμως αποτελέσματα υπάρχουν για την κατανομή Posso ή την Ομοιόμορφη. Εισαγωγικά στοιχεία - Επεξηγήσεις,..., (, ) ένα -διάστατο πραγματικό κανονικό Έστω διάνυσμα με διασπορά πίνακα,,=,,. Έστω Φ, Ψ : R R με ικανό αριθμό τετραγωνικά-ολοκληρώσιμων παραγώγων (σχετικά με το μέτρο Gauss της συνδιασποράς Σ) και έστω ( ), ( ) cov ( ), ( ) COV,=,,,, ο πίνακας των συνδιασπορών της Φ(Χ) = (φ (Χ),, φ (Χ)) και της 35

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης Ψ(Χ) = (ψ (Χ),, ψ (Χ)). ( Στο εξής θα συμβολίζουμε με COV και VAR για τους πίνακες και cov, var για μονόμετρα μεγέθη). Επίσης αν φ : R R, τότε θα συμβολίζουμε ως συνήθως με,...,, ενώ για τη Φ = (φ,,φ ) : R x x R, θα συμβολίζουμε με,, '. Τέλος για k, ας είναι το k επαναλαμβανόμενο βαθμωτό ανάδελτα τέτοιο ώστε για φ : R R, το k να είναι το k διάνυσμα γραμμή, δηλαδή k k k,...,, ενώ για τη Φ = (φ,, φ ) : x x R R, το k k,..., k '. k θα είναι ο x k πίνακας, δηλαδή Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω συμβολισμό, οι Houdré και Pérez- Abreu (995) έδειξαν ότι : k N k ( ) k k k COV ( ), ( ) E ( ) ( ) RN, N k! (4.6) όπου Ε η μαθηματική ελπίδα και Σ k το k-οστό γινόμενο του Kroecker του Σ με τον εαυτό του. Ο όρος R N της σχέσης (4.6) δεν είναι σημαντικός για τη δική μας μελέτη, και ας πούμε ότι είναι μια έκφραση που εμπλέκει τα βαθμωτά διατεταγμένα τάξεως Ν+. Ειδικότερα από την (4.6) για Φ = Ψ παίρνουμε τις παρακάτω ανισότητες: N k k k! k E k k k k ( ) ( ) ' VAR ( ) N k k k E ( ) ( ) '. k! (4.7) 36

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης (Συγκρίνοντας x πίνακες, η σχέση Α Β θα σημαίνει ότι η διαφορά Β-Α είναι ένας θετικά ημιορισμένος πίνακας). Οι ανισότητες (4.7) ίσχυαν ήδη στην περίπτωση της μονοδιάστατης μεταβλητής από τους Houdré και Kaga (995), λαμβανομένου δε υπόψη ότι το δεύτερο μέλος της ανισότητας (4.7) και για Ν=, μπορεί να βρεθεί για παράδειγμα στην εργασία του Cheroff (98) για μονοδιάστατες μεταβλητές, όπως περιγράφεται αμέσως παρακάτω: Ανισότητα Cheroff (98) Έστω Χ μεταβλητή με κανονική κατανομή και πυκνότητα πιθανότητας φ(x), μέσο 0 και διασπορά. Αν η συνάρτηση g είναι απολύτως συνεχής και η g() έχει πεπερασμένη διασπορά, τότε ισχύει : ( ) ( ) Var g E g (4.8) με την ισότητα να ισχύει αν και μόνο αν η g() είναι γραμμική συνάρτηση του Χ. Ανάπτυξη Η ανισότητα (4.6) είναι μια συνέπεια της (4.7) για Ν=. Πριν προχωρήσουμε, θα πρέπει να σχολιάσουμε και να δεχθούμε μια συνθήκη. Σε ό,τι ακολουθεί το μέγιστο είναι a.s. διαφορίσιμο από Lschtz, αλλά μια χονδρική εκτίμηση θα δώσει το δεξιό μέλος της (4.7), για Ν= και για συναρτήσεις Lschtz. Ακόμα ας δεχτούμε ότι η Χ, =,,, είναι διακεκριμένη. Αν κάτι τέτοιο δεν είναι στην υπόθεσή μας, τότε η Ρ{max= } θα πρέπει να έχει διαιρεθεί από τον αριθμό των στοιχείων διαφόρων διακεκριμένων κλάσεων. 37

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης Πρόταση 4.. Ας είναι Τότε:,, (, ) με Σ=(σ ),=,,. var max var P max max var. (4.9) Απόδειξη Για να αποδείξουμε το αριστερό μέλος της ανισότητας, εφαρμόζουμε την ανισότητα (4.7) για τη συνάρτηση Φ : R R ορισμένη από τη σχέση : Φ(x,, x ) = max (x,, x ). I Έτσι, για max,, A A x x x και, max( x,..., x) x ( x), θα είναι: 0, max( x,..., x) x x x xa x A A max,..., ( ) οπότε ( ) ( ),..., ( ) A A. x I ( x)... x I ( x ), με x=(x,, x ), Έτσι από το δεύτερο μέλος της (4.7) με Ν= έχουμε : A A A A var max E ( ),..., ( ) ( ),..., ( ) ( ) A ( ) A ( ) A E A( ),..., ( ) A E A( )... A ( ),..., ( )... ( ) A A A A A A A A A A ( ) ( ) ( ) E ( ) ( )... ( ) ( )... ( ) ( )... ( ) ( ) E A ( ) ( ) A E A ( ) ( ) max. A P 38 A A A

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης Το δεύτερο μέλος της ανισότητας (4.9) είναι προφανές, διότι var( ) P var( ) P... var( ) P max var( ), επειδή 0Ρ,,Ρ και Ρ + +Ρ =, ενώ η ανισότητα max var var max, είναι γνωστή από το 976 όπως κανείς μπορεί να βρει, για παράδειγμα στους Crel so, Ibragmov και Sudakov (976). Μόνο το πρώτο μέλος είναι κάτι καινούργιο και παρουσιάστηκε με την εργασία του αυτή. Οι εκτιμήσεις που πετυχαίνουμε με την (4.9), έχουν κυρίως ενδιαφέρον για εξαρτημένες μεταβλητές, και εκτείνονται στο σύστημα Gauss, όπου Τ ένας μετρικός χώρος με ένα μετρήσιμο πυκνό T υποσύνολο. Οι εκτιμήσεις του τύπου (4.9) συνεχίζουν να ισχύουν για κάθε πολυμεταβλητό διάνυσμα Χ, για το οποίο ισχύει : CE var ( ) ( ) ( ) ', για κάποια σταθερά C ανεξάρτητη της Φ : R R. Οι ανισότητες που αναφέραμε, αναδεικνύουν επίσης ένα «νόμο μεγάλων αριθμών» για το μέγιστο κανονικών μεταβλητών. Αν N είναι μια ακολουθία από μονοδιάστατες κανονικές μεταβλητές τέτοιες ώστε : P lm var max 0, τότε lm max Emax 0 κατά πιθανότητα. Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται προφανώς αν: lm max var 0. Αν αντικαταστήσουμε τα Χ με Χ, που στην υπόθεσή μας δεχτήκαμε ότι είναι διακεκριμένα, τότε προκύπτει η παρακάτω ανισότητα. 39

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης Πρόταση 4.. Έστω (, ). Τότε ισχύει : var max var P max max var. (4.0) Απόδειξη Επειδή είναι max, 0 max max ( ) ( ), όπου C και C max, 0,,,...,, έχουμε max ( ) ( ),..., ( ) ( C C ) Από τη (4.7) έπεται ότι :. E B C x B C var max ( ) ( ) ( ) ( ) E ( ) ( ) P max maxvar. B C Φυσικά, αν L : R R είναι ένας συνήθης γραμμικός μετασχηματισμός, τότε είναι L N(Lμ, LΣL ) και τότε έχουμε : var max L var L P max L L max var L. (4.) Ιδιαίτερα, αν S k και S S,..., S τότε : k S SP S S S var max var max max var. (4.) Αντίθετα με την κανονική κατανομή, η κατανομή Posso δεν διατηρείται κάτω από ένα γραμμικό μετασχηματισμό. Όμως ανισότητες παραπλήσιες της (4.) συνεχίζουν να ισχύουν και μπορεί να 40

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης αποδειχθούν απευθείας με εφαρμογή των μεθόδων που χρησιμοποιήθηκαν στην απόδειξη των ανισοτήτων (4.6) και (4.7) σε συνδυασμό με την μορφή της (4.7) για Posso μεταβλητές, όπως δείχθηκε από τους Houdré και Pérez-Abreu (995). Επίσης η (4.7) είναι πιθανόν χρήσιμη για εκτιμήσεις διασποράς σε μη γραμμικούς μετασχηματισμούς κανονικών πολυμεταβλητών, όπως για παράδειγμα για τη διάμεσο σε διατεταγμένα δείγματα. Πράγματι, έστω, όπου η -οστή διατεταγμένη παρατήρηση ενός τυχαίου δείγματος,,...,. Ας δεχτούμε ότι το είναι περιττό και έστω med. Τότε προκύπτουν τα παρακάτω : / var var med P med (4.3) Για την απόδειξη αυτής της ανισότητας, αρκεί να γράψουμε το med με τη μορφή : med med και να προχωρήσουμε όπως στις αποδείξεις των ανισοτήτων (4.6) και (4.7). Ακόμα, μπορούμε να πάρουμε και πιο εξειδικευμένες ανισότητες, υποθέτοντας ακόμα, ότι οι Χ είναι διακεκριμένες, όπως παρακάτω. Πρόταση 4..3 Έστω N0,. Τότε ισχύει : var arcs. (4.4) Απόδειξη και ως εκ τούτου, προκύπτει ότι Είναι I 0 I 0 4

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης ( ) I I,..., I I και τότε : 0 0 0 0 var 0 0 0 0 E I I I I 0 0 0 0 I 0I 0 I 0 I 0 E I I I I EI 0I 0 EI 0I 0 arcs arcs (4.5) arcs όπου στο δεύτερο μέλος της ισότητας της (4.5) χρησιμοποιήσαμε τoν τύπο της ονομαζόμενης πιθανότητας ογδοημορίου ή orthat πιθανότητας (βλέπε για παράδειγμα, στους Johso και Kotz 97, σσ.93-95). Μέχρι στιγμής, έχουμε διαπραγματευθεί μόνο για την απλούστερη περίπτωση της ανισότητας (4.7), δηλαδή με μία παράγωγο και την εκτίμηση του άνω φράγματος. Τώρα θα παρουσιάσουμε μια ταυτότητα, λίγο πιο σύνθετη από την (4.6). Σε ό,τι ακολουθεί, υποθέτουμε ξανά ότι οι Χ, =,, είναι διακεκριμένες και ότι το είναι περιττό. Ακόμη πρέπει να σημειώσουμε ότι η διάμεσος είναι μια συνάρτηση Lschtz. Πρόταση 4..4 Έστω N,. Τότε ισχύει : cov, med Pmed (4.6) 4

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης Απόδειξη Επειδή είναι και ( ) med med είναι μια συνάρτηση του Lschtz, έχουμε : ( ),..., και med med ( ),...,. Ως εκ τούτου, εφαρμόζοντας την (4.6) και λαμβάνοντας υπόψη ότι οι ανώτερες παράγωγοι της Φ, είναι μηδέν, παίρνουμε : E cov ( ), ( ) ( ) ( ) ' E P med med. (4.7) Όπως ήδη έχει παρατηρηθεί από τους Houdré και Perez-Abreu (995), η μορφή που χρησιμοποιήθηκε στην ταυτότητα (4.7), είναι η ταυτότητα του Ste. Από την άλλη, εφαρμόζοντας τη μέθοδο αυτή για Φ(Χ) = Χ και ( ) m, προκύπτουν τα αποτελέσματα του Segel (993), δηλαδή η ταυτότητα : cov,m Pm. Επιπλέον, λαμβάνοντας υπόψη τη μέθοδο απόδειξης της ανισότητας (4.6), παίρνουμε : R m cov,m var m P P m m. (4.8) Έτσι τώρα, γίνεται φανερό ότι εκτιμήσεις παραπλήσιες αυτών της σχέσης (4.8), ισχύουν ακόμη και όταν το ελάχιστο αντικατασταθεί από οποιαδήποτε διατεταγμένη παρατήρηση, ή από κάποιες συγκεκριμένες συναρτήσεις των διατεταγμένων παρατηρήσεων. 43

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης Για παράδειγμα, για περιττό και για διάμεσο τέτοια που περιγράφηκε παραπάνω, έχουμε : R med cov, med var med P P med med. (4.9) Για την περίπτωση που το είναι άρτιο, έχουμε : med. Τότε η med δεν είναι πια μια διατεταγμένη παρατήρηση αλλά βεβαίως μια συνάρτηση από διατεταγμένες παρατηρήσεις. Εν τούτοις γράφοντας ( ) med I I / /, παίρνουμε ( ) I I,..., I I, / / / / το οποίο μέσω της εξίσωσης (4.6) γίνεται : cov, med P P / / τη (4.7) παίρνουμε :, και από R med cov, med var med P / P / D (4.0) Όπου ο παρονομαστής D είναι ίσος με την ποσότητα : D P P / /, P, / /. 44

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης Συμπερασματικά για περιττό ή άρτιο, έχουμε : R med Pmed, cov med, Pmed var med P / P /, D Γίνεται επίσης φανερό ότι εκφράσεις όπως η (4.0) συνεχίζουν να ισχύουν και για το διάστημα-εύρος max m max m μεσοδιάστημα ενός τυχαίου δείγματος., ή για το Παρακάτω παρουσιάζουμε μερικούς υπολογισμούς στην απλούστερη περίπτωση της ανισότητας (4.7). Ο Πίνακας παρουσιάζει μια λίστα από συναρτήσεις f : και άνω φράγματα για τις διασπορές αυτών των συναρτήσεων, όταν η Χ είναι μονοδιάστατη τυποποιημένη κανονική μεταβλητή. Ο πίνακας συγκρίνει επίσης, εκτιμήσεις για την ποσότητα E f '( ) και την N k k k E f ( ). k! Σε γενικές γραμμές η δεύτερη εκτίμηση δίνει ένα πιο αξιόπιστο άνω φράγμα. Φυσικά για πολυώνυμα και αρκετά μεγάλο Ν, η διασπορά μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς. Ο προγραμματισμός και η εκτέλεση έγινε με το Mathematca 5.0. 45

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή του C. Houdré Χρήστος Π. Μουρατίδης Συμπέρασμα Εφαρμογής Houdré Με την εργασία του αυτή, ο Houdré παρουσίασε μια μέθοδο για να εκτιμάται η διασπορά ή συνδιασπορά συναρτήσεων με κανονική πολυδιάστατη μεταβλητή, και βέβαια απλές εκτιμήσεις για διασπορές των order statstcs. Και σαν παράδειγμα είδαμε πώς η μέθοδός του, παράγει τον τύπο της συνδιασποράς του Segel (993). 46

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή των Ν. Παπαδάτου & Β. Παπαθανασίου Χρ. Π. Μουρατίδης. Μια εφαρμογή των Ν. Παπαδάτου και Β. Παπαθανασίου (003) Σε διατεταγμένα δείγματα Έστω ένα τυχαίο διάνυσμα με πυκνότητα f Î F. Θεωρούμε το τυχαίο διάνυσμα log f Y, και έστω ( ) η -οστή διατεταγμένη συντεταγμένη του τυχαίου διανύσματος. Τότε, από τη σχέση (3.6) παίρνουμε Cov, Y E. (4.) ( ) Αφού ( ) ( ) = έπεται ότι: = å I =,, δεδομένου ότι οι τυχαίες μεταβλητές είναι διακεκριμένες με πιθανότητα. Εφαρμόζοντας τώρα την ταυτότητα διακύμανσης (4.) έπεται ότι: Cov Y, E P, (4.) η οποία σε μορφή πινάκων μπορεί να γραφεί ως Cov, Y P, (4.3) 47

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή των Ν. Παπαδάτου & Β. Παπαθανασίου Χρ. Π. Μουρατίδης (,,..., ) = το αντίστοιχο διατεταγμένο διάνυσμα του όπου () () () ( ), με =( -log f ( )) Y και = ( ) = P é ù ê = ë ( ) úû. P ο πίνακας με στοιχεία Κανονική κατανομή Προφανώς, εάν το τυχαίο διάνυσμα είναι κανονικά κατανεμημένο με διάνυσμα μέσων μ και θετικά ορισμένο πίνακα διασποράς Σ, τότε ( ) - Y= Σ -μ, και η (4.3) είναι μια περίπτωση των αποτελεσμάτων των Wag et al (996). Επιπλέον, η (4.3) δίνει γενικότερα αποτελέσματα για μια αυθαίρετη πυκνότητα f Î F. Κατανομή Drchlet Στην περίπτωση που το διάνυσμα ακολουθεί κατανομή Drchlet με παραμέτρους a 0 > και a > (,,..., ) =, δηλαδή a f x x x 0 a a 0 0 a, ì ü για x Î C, όπου C = ï íx Î : x > 0, =,,...,, x < ï ý å, ï î = ïþ τότε η (4.3) ισχύει με Y a0 a, (,,..., ) =. 48

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή των Ν. Παπαδάτου & Β. Παπαθανασίου Χρ. Π. Μουρατίδης Πολυδιάστατη κανονική κατανομή Επιπλέον, για τη -διάστατη κανονική κατανομή N ( μ, Σ ), μπορούν να προκύψουν ορισμένα ενδιαφέροντα άνω και κάτω φράγματα για τη διακύμανση της ( ) k ( k) g = å a, όταν οι συντελεστές a k είναι k= αυθαίρετοι και ( ) < ( ) <... < ( ) οι αντίστοιχες διατεταγμένες τυχαίες μεταβλητές, δεδομένου ότι οι μεταβλητές είναι διακεκριμένες με πιθανότητα. Πράγματι, αρκεί να παρατηρήσουμε ότι å å ( ) ( ) = ki = ( k) g a, = = που δίνει g g å a ( ) ( ) = ( ) = I = ( ) k k k = Τότε, έπεται ότι και ( ) Eg é êë ù= úû å ap = ( ) ( ) k k k= é ë ( ) ( ) ù= û då k ( = ( )) + ( - d) k s ( ( ), k å = k = ( s) ), Eg g ap aap k= k, s= k¹ s όπου d, το δέλτα του Kroecker. Άνω και κάτω φράγματα της διασποράς Εργαζόμενοι όπως στο Houdré (995) και χρησιμοποιώντας τις ανισότητες διασποράς E g Σ E g Var g E g Σ g, 49

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή των Ν. Παπαδάτου & Β. Παπαθανασίου Χρ. Π. Μουρατίδης όπου το άνω φράγμα οφείλεται στον Che (99) ( και είναι πράγματι ειδική περίπτωση της (3.5) εφαρμοσμένη για την κανονική κατανομή ), ενώ το κάτω φράγμα οφείλεται στον Cacoullos (98), παίρνουμε τελικά: s aapé k s ù ( ) Pé ù é ù åå åå ê = = k ( s) Var a k ( k) ë úû êë úû êå ú = = k= s= ë k= û s ap k ( ( )) s aap k s ( ), k k ( s) = k=, = k, s= ¹ k¹ s ( ) å å å å (4.4) = + = = με s = s. Ακολούθως σημειώνουμε δύο ενδιαφέρουσες ειδικές περιπτώσεις που έπονται άμεσα από την ανισότητα (4.4): Ειδικές Περιπτώσεις Για μια διατεταγμένη τ.μ. πολυδιάστατης κανονικής. Για κάθε διατεταγμένη τυχαία μεταβλητή ( k) από την πολυδιάστατη κανονική με αυθαίρετη μέση τιμή και πίνακα διασπορώνσυνδιακύμανσης τέτοια ώστε οι μεταβλητές να είναι διακεκριμένες με πιθανότητα, προκύπτει η ανισότητα ù k = k k é ù ê ( k) ú s k = Var é ë û Σ Var ë û å, όπου ( ) ( ) ( ( k ) ( ( k) ) ( ( k) )) =,,..., = P =, P =,..., P = k k k k, από την οποία έπεται ότι για όλα τα k =,,...,, 50

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή των Ν. Παπαδάτου & Β. Παπαθανασίου Χρ. Π. Μουρατίδης ( Σ ) Σ max, (4.5) k Var k με l ( Σ ) να είναι η ελάχιστη ιδιοτιμή του πίνακα Σ, ( σημειώνεται ότι για το κάτω φράγμα χρησιμοποιήσαμε τη γνωστή xx Σ xσx για όλα τα σχέση ( ) ( ) l æ ö ç å k = çè ø k k ³ = ). x Î, και την ανισότητα Η παραπάνω άνω εκτίμηση δίνεται επίσης από τον Houdré (995), ενώ, εάν ο πίνακας Σ είναι διαγώνιος, όπως όταν θεωρήσουμε τυχαίο δείγμα μεγέθους από κανονική κατανομή, τότε από την (4.5) παίρνουμε την ακόλουθη ανισότητα m m max max Var Var. Για τυχαίο δείγμα..d. μεταβλητών κανονικής κατανομής. Μία άλλη ενδιαφέρουσα εφαρμογή των αποτελεσμάτων της (4.4) προκύπτει αν υποθέσουμε ότι οι,,..., αποτελούν τυχαίο δείγμα ( ισόνομων τυχ. μεταβλητών..d. ) που ακολουθούν τη (, ) N ms με s > 0. Σε αυτή την περίπτωση, η διακύμανση οποιουδήποτε γραμμικού εκτιμητή ( ) k ( k) L = å a k=, βασισμένου στο διατεταγμένο δείγμα, είναι φραγμένη από όρους εξαρτώμενους από τη διασπορά s και τους συντελεστές a k δηλαδή 5

Κεφάλαιο 4 Εφαρμογή των Ν. Παπαδάτου & Β. Παπαθανασίου Χρ. Π. Μουρατίδης ak Var L ak k k. (4.6) Πράγματι, η (4.6) προκύπτει από τη (4.4) αρκεί να παρατηρήσει κανείς ότι s = s, s = 0 για ¹ και λόγω συμμετρίας = = και P = ( ), k = ( s) = - ( ( k) ) P και k ¹ s. ( ) ( ) για όλα τα ¹ Οφείλεται να σημειωθεί ότι η ταυτότητα συνδιακύμανσης (4.3) ισχύει επίσης για το τυχαίο διάνυσμα Y=k( ) ( βλέπε τη (3.) ), υποθέτοντας ότι η κατανομή του ανήκει στην οικογένεια F 0. Αυτό μπορεί να προκύψει χρησιμοποιώντας τη (3.4) αντί της (3.6). 5

Κεφάλαιο 5 Συμπερασματικές Παρατηρήσεις Χρήστος Π. Μουρατίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Συμπερασματικές Παρατηρήσεις Διακριτό Ανάλογο Cacoullos & Paathaasou (99) Το διακριτό ανάλογο της σχέσης (3.9) έχει δειχθεί από τους Cacoullos ad Paathaasou (99). Συγκεκριμένα, για ένα διακριτό τυχαίο δείγμα αυτοί απέδειξαν την ταυτότητα é ( ), ( ) ù = é ( ) D ( ) ù êë úû êë úû, (5.) Cov q g E w g όπου ( ) D x αποτελεί τη -οστή προς τα εμπρος διαφορά της g συναρτήσεως g, δηλαδή ( ) (,...,,..., ) ( ) D g x = g x x + x -g x, και οι συναρτήσεις w ορίζονται από την ακόλουθη σχέση x ( x) ( x) = å( é ( ) ù ê ú- ( u,, v ) ) ( u,, v ) w f E ë q û q k f k k = 0 qx x x x, ενώ τα u και ( ) και ( ) = q ( ), q ( ),..., q ( ) v ορίζονται όπως και στη συνεχή περίπτωση ( σημειώνεται ότι εδώ δεν χρειάζεται να υποτεθεί ότι το ανήκει στην οικογένεια των PSDs ). Τα παραπάνω αποτελέσματα μπορούν να επεκταθούν θεωρώντας την ακόλουθη περίπτωση: Θεωρούμε ένα διακριτό τυχαίο δείγμα με συνάρτηση πιθανότητας f ( x ), ορισμένη σε ένα κυρτό υποσύνολο C του 53

Κεφάλαιο 5 Συμπερασματικές Παρατηρήσεις Χρήστος Π. Μουρατίδης { 0,,... }, με ( ) 0 = 0,0,...,0 ÎC. Με τον όρο κυρτό εννοούμε ότι εάν x Î C τότε ( y, y,..., y) C Î για όλα τα y { 0,,..., } x Î, =,,...,. Για x Î C, ορίζουμε τη συνάρτηση z = ( z, z,..., z ) από τις σχέσεις: x ( ) ( ) = å( é ( ) ù ê ú- (,, ) ) (,, ) z f E ë h û h k f k x x u v u v (,,..., ) k = 0 =, hx x x x είναι ένα διάνυσμα από συναρτήσεις ( ) όπου ( ) = h ( ), h ( ),..., h ( ) με πεδίο ορισμού το C και πραγματικές τιμές, οι οποίες ικανοποιούν ακόμη τη συνθήκη ( ) ( ), ( ),..., ( ) E h = E h h h <. Επιπροσθέτως, υποθέτουμε ότι για όλα τα ισχύει ( ) ( ) 0 z f = x x, για x = b. (5.) όπου b = su { x : ÎC} x το άνω άκρο του πεδίου ορισμού της, δοθέντος ότι = x,..., -= x-, + = x+,..., = x. Παρατηρούμε ότι το b μπορεί να εξαρτάται από τα x,..., x-, x+,..., x, και μπορεί και να γίνεται άπειρο. Στην τελευταία περίπτωση, η παραπάνω υπόθεση (5.) ερμηνεύεται ως ( ) f ( ) lm z x x = 0. x + 54

Κεφάλαιο 5 Συμπερασματικές Παρατηρήσεις Χρήστος Π. Μουρατίδης Τέλος, μπορούμε να διατυπώσουμε τα ακόλουθα θεωρήματα που αποτελούν το διακριτό ανάλογο των θεωρημάτων 3. και 3.3, ενώ οι αποδείξεις τους παραλείπονται καθώς είναι όμοιες με αυτές των θεωρημάτων 3. και 3.3. Επομένως, έχουμε Θεώρημα 5. Υπό τις παραπάνω υποθέσεις, é ù é ù êë úû êë úû ( ), ( ) = ( ) D ( ) (,,..., ) Cov h g E z g =, (5.3) δεδομένου ότι η g ικανοποιεί τις συνθήκες ( ( ) é ( ) ù) ( ) E h - E ëêh úû g <, και ( =,,..., ) Ez ( ) g( ) D <. Αντιστρόφως, μπορεί να δειχθεί εύκολα το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 5. Εάν η ταυτότητα (5.3) ισχύει για όλες τις φραγμένες συναρτήσεις g C, τότε οι συναρτήσεις z, h και η συνάρτηση πιθανότητας f : συνδέεται μέσω της ακόλουθης σχέσης: x ( ) ( ) = å( é ù ê ú- (,, ) ) (,, ) z x f x E ë h û h u k v f u k v. (5.4) k = 0 55

Παράρτημα Χρήστος Π. Μουρατίδης Π Α Ρ Α Ρ Τ Η Μ Α. The Momets of the Maxmum of Correlated Normal ad t-varates By By Afoa (97) Εισαγωγικά Στοιχεία Επεξηγήσεις Θεωρούμε τους παρακάτω συμβολισμούς: k x,, d.. f. μιας k-διάστατης τυχαίας μεταβλητής x μέσο θ και διασπορά πίνακα, και Ευκλείδειος χώρος. zr, η τυποποιημένη της k,,, br zr dz zr dz. k k k b bk b z zkz, Rdz,,,...,, ka, E k με k E είναι k-διάστατος x k x,,, με z και. k, με a var x x,,, και, k, όπου r,,, R r είναι η συσχέτιση μεταξύ των x x και x x r, corrx, x x. δηλαδή Υποθέτουμε ακόμα ότι τα Σ και R είναι θετικά ορισμένα, ώστε να εξασφαλίζεται η ιδιότητα.d.f. στον Ε k και ότι η r-οστή περιθώρια ροπή του x υπάρχει. Τέλος έστω y max x,..., x max x θεώρημα. τότε έχουμε το παρακάτω k 56

Παράρτημα Χρήστος Π. Μουρατίδης Θεώρημα Π Έχοντας υπόψη όλα τα παραπάνω, η r-οστή ροπή της y ως προς την αρχή δίνεται από τη σχέση: k k r r ( y) z z, R dz z r r r k a 0 Έτσι για Κανονική Κατανομή, έχουμε για το μέσο της y = max(x): k ( y) k a, R a, k a,, R, όπου, a a, δηλαδή χωρίς την -οστή γραμμή, και R r R ο πίνακας συσχέτισης της y, χωρίς την -οστή,, γραμμή και στήλη. Επίσης,,, R, r, qs. a a,, με a, a a r,,, r, και r μερική συσχέτιση μεταξύ των x x και x x qs,. Ακόμη a. q s τυποποιημένη κανονική.d.f. εκτιμώντας την α για k= θέτοντας 0.;.. Για τη διασπορά της y = max(x): k ( y) r a r a a ; R,,,, k,, a k, r, ; r, k 3 a, ; R, r, r, r, a, και θέτοντας.;. 0 όταν k=, προκύπτει άμεσα η var( y ). Για παράδειγμα, όταν όλοι οι μέσοι, διασπορές και συνδιασπορές είναι ίσα, έχουμε: 57

Παράρτημα Χρήστος Π. Μουρατίδης ( y) kk k 0; Rr 3 kk k k3 0; Rr 4 3 4 η οποία για θ = 0 και σ =, δίνει: ( y) a a, όπου k3 a k k k 0; Rr 4 3 4. 58

Παράρτημα Χρήστος Π. Μουρατίδης. Segel s formula va Ste s dettes By Ju S. Lu (994) Θεώρημα Π Αν 0, Z t, για παράδειγμα Z Y W / όπου 0, Y και W, τότε: Z t. όπου, EZf Z E f Z, Απόδειξη Αποδεικνύουμε την παραπάνω ταυτότητα με ολοκλήρωση κατά παράγοντες, για την περίπτωση που σ =. / / ( ) z EZfZzfz dz / / / z / f z dz / / z fz E f Z dz Η περίπτωση σ > 0, ανάγεται στην παραπάνω θέτοντας z z/. 59

Παράρτημα Χρήστος Π. Μουρατίδης Πίνακας MesTm@a_, + HD@a,8x, <D^ H Sqrt@ PDLEx@-Hx^LDLβ x _D:=ΰ- kd <E L^Hk + LMesTm@a, AoFragma@a_, _D:= SumAH-,8k,, - k! D< Pakas@a_, _D:=8a, MesTm@a, D,HN@MesTm@a, DL, AoFragma@a, D, N@AoFragma@a, TableFormA8Pakas@x^3, 3D, Pakas@x^5, 3D, Pakas@S@xD, 3D, Pakas@Cos@xD, 3D, Pakas@Ex@xD, 3D, Pakas@Ex@- xd, 3D<, TableHeadgs 9Automatc,9StyleForm@"fHxL", FotSze, FotWeght BoldD, TableAlgmets Ceter, StyleFormA"EHf'HxL ", FotSze, FotWeght BoldE, StyleForm@"H@L", FotSze, FotWeght BoldD, 3<E StyleForm@"ΑΝΩ ΦΡΑΓΜΑ", FotSze, FotWeght BoldD, StyleForm@"H@L", FotSze, FotWeght BoldD=, TableSacg 8, fhxl H@L = EHf'HxL ΑΝΩ ΦΡΑΓΜΑ x 3 7 7. 5 5. x 5 65 65. 45 45. +γ 3 S@xD M 0.567668 - γ - 4γ +γ 7I+γ + 0.4463 γ - +γ 4 Cos@xD 7I- +γ +γ 0.4333-0.0554 γ γ 4γ 5 γ x γ γ 7.38906 3 4.9604 6 γ - x γ γ 7.38906 3 4.9604 = 3 fhxl EHf'HxL ΑΝΩ ΦΡΑΓΜΑ H@L x 3 7 7. 5 5. x 5 65 65. 945 945. +γ 3 S@xD M 0.567668-3I- +γ 47I+γ + 0.4389 γ 48 γ 80 γ - +γ 4 Cos@xD 47I- +γ 3I+γ 0.4333-0.00504 γ 80 γ 48 γ 5 γ x γ 7.38906 9 γ 30 4.67974 6 γ - x γ 7.38906 9 γ 30 4.67974 H@L H@L 60

Ταυτότητες Συνδιακύμανσης Πολυδιάστατων Μεταβλητών Χρήστος Π. Μουρατίδης Β Ι Β Λ Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Α AFONJA, B. (97). The momets of the Maxmum of correlated ormal ad t- Varates. Joural of the Royal Statstcal Socety, Ser.B, 34, 5-6. ANDERSON, T.W. (984). A Itroducto to Multvarate Statstcal Aalyss ( d ed.), New York: Joh Wley. ANDERSON, C.L. (993). Exteso of surrsg covaraces. J. Amer. Statst. Assoc., 88, 478. BRASCAMP, H.J. και LIEB, E.H. (976). O exteso of the Bru-Mkowsk ad Prekoa-Ledler theorems, cludg equaltes for log cocave fuctos, ad wth a alcato to the dffuso equato. J. Fuctoal Aal.,, 366-389. CACOULLOS, T. (98). O uer ad lower bouds for the varace of a fucto of a radom varable. A. Probab., 0, 799-809. CACOULLOS, T. και PAPATHANASIOU, V. (99). Lower varace bouds ad a ew roof of the cetral lmt theorem. J. Multvarate Aal., 43, 73-84. CHEN, L.H.Y. (98). A equalty for the multvarate ormal dstrbuto. J.Mult varate Aal.,, 306-35. CHERNOFF, H. (98). A ote o a equalty volvg the ormal dstrbuto. The Aals of Probablty, 9, 533-535. CHOU, J.P. (988). A detty for multdemesoal cotuous exoetal famles ad ts alcatos. J. Multvarate Aal., 4, 9-4. CIREL SON, B. S., IBRAGIMOV, I. A., και SUDAKOV, V. N. (976). Norms of Gaussa samle fuctos. I Proceedgs of the 3 rd Jaa-USSR Symosum o Probablty Theory, Lecture Notes Mathematcs 550, New York: Srger-Verlag, σσ. 0-4. HOUDRE, C. και KAGAN, A.(995). Varace Iequaltes for fuctos of Gaussa Varables. The Joural of Theoretcal Probablty, 8, 3-30. HOUDRE, C., και PEREZ-ABREU, V. (995). Covarace dettes ad equaltes for fuctoals o Weer ad Posso Saces. The Aals of Probablty, 3, 400-49. HOUDRE, C. (995). Some alcatos of covarace dettes ad equaltes to fuctos of multvarate ormal varables. J. Amer. Statst. Assoc., 90, 965-968. HUDSON, H.M. (978). A atural detty for exoetal famles wth alcatos to multarameter estmato. A. Statst., 6, 473-484. JONSON, N. και KOTZ, S. (970). Cotuous Uvarate Dstrbutos, Vol., Hughto Mffl Comay, Bosto. JONSON, N. και KOTZ, S. (97). Dstrbutos Statstcs: Cotuous Multvarate Dstrbutos, Vol., d. New York: Joh Wley. LIU, J.S. (994). Segel s formula va Ste s dettes. Statst. Probab.,, 47-5. MOHR, E. και NOLL, W. (95). Ee Bemerkug zur Schwarzsche Uglechhet. Math. Nachr., 7, 55-59. MORRIS, C.N. (98). Natural exoetal famles wth quadratc varace fuctos. A. Statst., 0, 65-80. MORRIS, C.N. (983). Natural exoetal famles wth quadratc varace fuctos: statstcal theory. A. Statst.,, 55-59. 6

Ταυτότητες Συνδιακύμανσης Πολυδιάστατων Μεταβλητών Χρήστος Π. Μουρατίδης PAPADATOS, N. και PAPATHANASIOU, V. (000). Multvarate covarace dettes wth a alcato to order statstcs. Sakhya, The Ida Joural of Statstcs, 65, 307-36. PAPATHANASIOU, V. (988). Varace bouds by a geeralzato of the Cauchy-Schwarz equalty. Statst. Probab. Lett., 7, 9-33. RINOTT, Y. και SAMUEL-CAHN, E. (994). Covarace betwee varables ad ther order statstcs for multvarate ormal varables. Statst. Probab. Lett.,, 53-55. SIEGEL, A.F. (993). A surrsg covarace volvg the mmum of multvarate ormal varables, J. Amer. Statst. Assoc., 88, 77-80. STEIN, C.M. (97). A boud for the error the dstrbuto of a sum of deedet radom varables. Proc. 6 th Berkeley Sym. Math. Statst. Probab., 583-60. STEIN, C.M. (98). Estmato of the Mea of a multvarate ormal dstrbuto. The Aals of Statstcs, 9, 35-5. WANG, W., SARKAR, S. και BAI, Z. (996). Some ew results o covaraces volvg order statstcs from deedet radom varables. J. Multvarate Aal., 59, 308-36. 6