Μελέτη της συνάρτησης ψ = α χ Η γραφική της παράσταση είναι μια καμπύλη που λέγεται παραβολή. Ανάλογα με το πρόσημο του α έχω και τα αντίστοιχα συμπεράσματα. αν α > 0 1) Η γραφική της παράσταση είναι πάνω από τον άξονα χ χ ) Είναι άρτια δηλαδή έχει άξονα συμμετρίας το ψ ψ 3) Παρουσιάζει ελάχιστο το 0 για χ = 0 4) Το χαμηλότερο σημείο είναι η αρχή των αξόνων ( 0, 0 ) και λέγεται κορυφή της παραβολής. 5) Όσο μεγαλώνει το α τόσο κλείνει η παραβολή ενώ όσο μικραίνει τόσο ανοίγει. 6) Η γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, σχεδιάζεται βρίσκοντας μερικά σημεία της παραβολής,δίνοντας στο χ μερικές θετικές και μερικές αρνητικές τιμές. αν α < 0 1)Η γραφική της παράσταση είναι κάνω από τον άξονα χ χ )Είναι άρτια δηλαδή έχει άξονα συμμετρίας το ψ ψ 3)Παρουσιάζει μέγιστο το 0 για χ = 0 4)Το ψηλότερο σημείο είναι η αρχή των αξόνων ( 0, 0 ) και λέγεται κορυφή της παραβολής. 5)Όσο μικραίνει το α τόσο κλείνει η παραβολή ενώ όσο μεγαλώνει τόσο ανοίγει 6)Η γραφική παράσταση που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, σχεδιάζεται βρίσκοντας μερικά σημεία της παραβολής,δίνοντας στο χ μερικές θετικές και μερικές αρνητικές τιμές. Παρατήρηση : Αν σχεδιάσουμε τις δύο παραπάνω παραβολές στο ίδιο σύστημα αξόνων τότε θα είναι συμμετρικές ως προς χ χ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 1
Παραδείγματα 1) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων α) ψ = χ β) ψ = - χ γ ) ψ = 5 χ δ) ψ = -5 χ και έπειτα να τις τοποθετήσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων. α) Είναι της μορφής ψ= α χ με α > 0. Θα φτιάξουμε ένα πίνακα τιμών της συνάρτησης χ - -1 0 1 ψ 8 0 8 Η γραφική παράσταση είναι η εξής β) Είναι της μορφής ψ= α χ με α < 0. Θα φτιάξουμε ένα πίνακα τιμών της συνάρτησης χ - -1 0 1 ψ -8-0 - -8 Η γραφική παράσταση είναι η εξής Επιμέλεια : Άρης Αεράκης
γ) Με όμοιο τρόπο έχουμε την εξής γραφική παράταση δ) Με όμοιο τρόπο έχουμε την εξής γραφική παράταση Αν τις τοποθετήσουμε στο ίδιο σύστημα έχουμε ) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο (, 8 ) Αφού είναι παραβολή που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής ψ = α χ. Αρκεί να βρούμε το α. Αφού διέρχεται από το σημείο (,8 ) έχουμε ότι 8 = α δηλαδή 8 = 4 α δηλαδή α =. Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι ψ = χ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 3
3) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής ψ= χ και της ευθείας ψ =5χ-6 Η τετμημένη του σημείου τομής είναι η λύση της εξίσωσης χ = 5χ 6 Είναι χ -5χ +6 =0 που αν τη λύσουμε θα βρούμε χ = ή χ=3. Επομένως έχουμε δύο σημεία τομής.αντικαθιστούμε τις τιμές του χ που βρήκαμε σε μια από τις δύο εξισώσεις για να βρούμε και τις τεταγμένες των σημείων τομής. Για χ = έχουμε ψ = = 4 και για χ=3 έχουμε ψ=3 = 9 Τελικά τα σημεία τομής είναι τα (,4 ) και ( 3,9 ). 4) Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σημείο ( -1, 3 ).Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση όταν -3 < χ < 3.Να σχεδιάσετε τη συμμετρική της ως προς τον άξονα χ χ και να βρείτε την εξίσωσή της. Αφού είναι παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων θα έχει εξίσωση της μορφής. Αρκεί να βρούμε το α. Αφού διέρχεται από το σημείο ( -1, 3 ) θα πρέπει οι συντεταγμένες του σημείου να επαληθεύουν την εξίσωση της παραβολής, δηλαδή 3 ( 1) δηλαδή α =3.Η εξίσωση λοιπόν της παραβολής είναι 3. Θα κάνουμε έναν πίνακα τιμών βάζοντας τιμές στο χ που να ανήκουν στο δοσμένο διάστημα χ -3 - -1 0 1 3 ψ 7 1 3 0 3 1 7 Η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα βάζοντας κυκλάκια στα σημεία με τετμημένες -3 και 3 μιας και το χ δεν μπορεί να πάρει τις τιμές αυτές. Στο ίδιο σχήμα έχουμε κάνει και τη συμμετρική της ως προς χ χ. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 4
Η 3 είναι η παραβολή που είναι πάνω από το χ χ. Η συμμετρική της είναι αυτή που είναι κάτω από το χ χ. Δύο τέτοιες παραβολές είναι συμμετρικές ως προς χ χ, όταν έχουν αντίθετα α.συνεπώς η συμμετρική της έχει εξίσωση 3. 5) Να βρείτε τη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα., 1 f ( ) 3, 1 Εύρεση α : Διέρχεται από το ( -1, 1 ). Συνεπώς είναι 1 ( 1) 1 1 1 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 5
Μελέτη της συνάρτησης Η γραφική της παράσταση λέγεται υπερβολή. Αποτελείται από δύο καμπύλες που λέγονται κλάδοι της υπερβολής Αν α>0 οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται στο 1 ο και 3 ο Αν α<0 οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται στο ο και 4 ο τεταρτημόριο. τεταρτημόριο. Η συνάρτηση δεν ορίζεται για χ = 0 και επομένως δεν τέμνει το ψ ψ Για ψ = 0 η εξίσωση 0 δίνει 0χ = α που είναι αδύνατη ( αφού α 0 ) και συνεπώς δεν τέμνει ούτε το χ χ. Επειδή η υπερβολή πλησιάζει όλο και περισσότερο τους άξονες αλλά ποτέ δεν τους τέμνει, οι άξονες λέγονται ασύμπτωτες της υπερβολής. Η υπερβολή είναι περιττή δηλαδή έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Για να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση δίνουμε μερικές θετικές και μερικές αρνητικές τιμές στο χ ώστε να βρούμε μερικά σημεία της και τα ενώνουμε.η μορφή της υπερβολής ανάλογα με το πρόσημο του α φαίνεται παρακάτω. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 6
Παραδείγματα 1) Να γίνει η γραφική παράσταση της από το σημείο (, 3 ). αν είναι γνωστό ότι διέρχεται Αφού διέρχεται από το σημείο (, 3 ) έχουμε ότι 3 δηλαδή α = 6. Θα φτιάξουμε έναν πίνακα τιμών Για χ=1 έχουμε ψ = 6 6 1. Για χ= -1 έχουμε ψ = 6 6 1 Για χ= έχουμε ψ = 6 3. Για χ=- έχουμε ψ = 6 3 Για χ=3 έχουμε ψ = 6 3. Για χ= -3 έχουμε ψ = 6 3 1 ) Να βρείτε τα σημεία τομής της υπερβολής και α) της ευθείας ψ = χ β) της παραβολής α) Οι τετμημένες των σημείων τομής είναι οι λύσεις της εξίσωσης 1 1 1 0 ( 1)( 1) 0 1 1 Για χ=1 έχουμε ψ = 1 και για χ = -1 έχουμε ψ = -1 Επομένως έχουμε δύο σημεία τομής τα ( 1, 1 ) και ( - 1, -1 ) Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 7
β) Οι τετμημένες των σημείων τομής είναι οι λύσεις της εξίσωσης 1 3 3 1 1 0 ( 1) 1 0 ( 1)( 1) 0 ( 1)(1 )(1 ) 0 χ = 1 ή χ = 1 ή χ = -1 Για χ = 1 έχουμε ψ = 1 1 =. Για χ = -1 έχουμε 1 1 1 1 Για χ =1 έχουμε 1 Επομένως έχουμε τρία σημεία τομής τα ( 1 1, ), ( -1, -1 ), ( 1,1 ) 4 3) Δίνεται η εξίσωση της υπερβολής. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες οι κλάδοι της υπερβολής βρίσκονται στο ο και 4 ο τεταρτημόριο.να βρείτε το α αν η υπερβολή διέρχεται από το 1 σημείο (, 4 ).Για τη τιμή του α που θα βρείτε να βρείτε τα σημεία τομής υπερβολής μα τη παραβολή ψ = 1. Για να βρίσκονται οι κλάδοι της υπερβολής στο ο και 4 ο τεταρτημόριο πρέπει ο αριθμητής της εξίσωσης να είναι αρνητικός, δηλαδή πρέπει - α -4<0 δηλαδή - α < 4 δηλαδή α > -. Αφού διέρχεται από αυτό το σημείο, οι συντεταγμένες του επαληθεύουν τον τύπο, 4 1 δηλαδή 4 4 4( ) 4 -α= α = -1. 1 Για τη τιμή του α που βρήκαμε η υπερβολή γίνεται. Θέλουμε να βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της υπερβολής και της παραβολής ψ= 1.Οι τετμημένες των σημείων τομής είναι οι λύσεις της εξίσωσης 1=.Είναι 1= 3 3 ( 1) 0 ( ) ( ) 0 ( )( 1) 0 ( )( 1)( 1) 0 χ-=0 ή χ-1 =0 ή χ+1=0 χ = ή χ =1 ή χ = -1. Με αντικατάσταση των τιμών που βρήκαμε σε μια από τις δύο συναρτήσεις έχουμε τελικά ότι τα σημεία τομής είναι τα (, -1 ), ( 1, - ), ( -1, ). Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 8
4) Να αντιστοιχίσετε τις παρακάτω συναρτήσεις με την αντίστοιχη γραφική της παράσταση. i) f ( x) x 3 4, ii) g( x) x 3, iii) h( x) x 4, iv) ( x) x 3 x, v) p( x) 9 x Εκείνο που θα μας βοηθήσει να βρούμε σωστά τις αντιστοιχίες είναι Το πεδίο ορισμού της κάθε συνάρτησης Αν είναι άρτια ή περιττή. Γιατί αν είναι άρτια θα έχει άξονα συμμετρίας τον ψψ, αν είναι περιττή θα έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Η μονοτονία της, τα ακρότατα, το σύνολο τιμών της κ.τ.λ. ( Εδώ δεν θα μας βοηθήσουν τέτοιες περιπτώσεις) i) f ( x) x Πεδίο ορισμού της f είναι το Α = R. παρατηρούμε επίσης ότι η συνάρτηση είναι περιττή γιατί για κάθε χα ισχύει: -χα και f(-χ) = (-χ) 3 = -χ 3 = -f(χ), άρα η γραφική παράσταση της f έχει κέντρο συμμετρίας το Ο. Σχήματα με πεδίο ορισμού το R και συμμετρικά ως προς το Ο υπάρχουν μόνο στο σχήμα. Επομένως τη συνάρτηση i) f ( x) x αντιστοιχούμε στο σχήμα. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 9
ii) g( x) x 3. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης. Έχουμε χ -3 0 χ 3 οπότε Α = [3, +). Γραφικές παραστάσεις με πεδίο ορισμού Α = [3, +) υπάρχουν μόνο στο σχήμα 1, επομένως στη συνάρτηση ii) g( x) x 3 αντιστοιχούμε το σχήμα 1. iii) h( x) x 4. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης. Έχουμε χ - 4 0 χ 4 x 4 x x ή x Οπότε Α = (-, -][, +). Γραφικές παραστάσεις με πεδίο ορισμού Α = (-, -][, +) υπάρχουν μόνο στο σχήμα 5, επομένως στη συνάρτηση iii) h( x) x 4 αντιστοιχούμε το σχήμα 5. 4 iv) ( x) x 3 x έχει πεδίο ορισμού το Α = R. Σχήματα με πεδίο ορισμού όλο το R είναι τα και 4. Παρατηρούμε επιπλέον ότι η συνάρτηση φ είναι άρτια [ φ(-χ) = φ(χ) ] οπότε έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα ψψ. Από τα σχήματα και 4 μόνο το 4 έχει γραφική παράσταση με άξονα συμμετρίας τον ψψ. Έτσι στη συνάρτηση φ(χ) αντιστοιχούμε το σχήμα 4. v) p( x) 9 x. Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης. Έχουμε 9 x 0 x 9 x 9 x 3 3 x 3.Οπότε Α = [-3, 3]. Γραφικές παραστάσεις πεδίο ορισμού Α = [-3, 3] υπάρχουν μόνο στο σχήμα 3, επομένως στη συνάρτηση p( x) 9 x αντιστοιχούμε το σχήμα 3. 5) α) Αν η f(χ) = (λ -4)χ είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (-, 0], τότε να βρείτε τις τιμές του λ. β) Αν η f(χ) = 3 είναι γνησίως x αύξουσα στο (-, 0), τότε να βρείτε τις τιμές του λ. α) Η συνάρτηση f(χ) = (λ -4)χ είναι της μορφής f(χ) = αχ. Για τη συνάρτηση αυτή ισχύει (θεωρία): Αν α > 0, είναι γνησίως φθίνουσα στο (-, 0] και γνησίως αύξουσα στο (0, +) Αν α < 0, είναι γνησίως αύξουσα στο (-, 0] και γνησίως φθίνουσα στο (0, +) Οπότε για να είναι η συνάρτηση f(χ) = (λ -4)χ γνησίως φθίνουσα στο (-,0], πρέπει να είναι λ -4 > 0 λ > 4 > 4 > λ <- ή λ > β) Η f είναι της μορφής f(χ) = x (υπερβολή) και όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία μία τέτοια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (-, 0), όταν είναι α < 0. Οπότε έχουμε λ -3 < 0 λ < 3 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 10
Μελέτη και γραφική παράσταση της f ( ) αχ +βχ +γ, α 0. Δεδομένου τώρα ότι μετά από πράξεις έχουμε : f ( ) αχ +βχ +γ = ( ) 4 συμπεραίνουμε ότι η γραφική παράσταση της f ( ) αχ +βχ +γ προκύπτει από τη γνωστή μας παραβολή αχ μετατοπισμένη οριζόντια κατά μονάδες και κατακόρυφα κατά μονάδες. 4 Συνεπώς η γραφική παράσταση της f ( ) αχ +βχ +γ, α 0 έχει τα εξής χαρακτηριστικά Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή αντίστοιχη με αυτή της ψ = αχ, μόνο που δεν έχει κορυφή την αρχή των αξόνων. Η τετμημένη της κορυφής είναι και η τεταγμένη είναι και είναι η τιμή που βρίσκουμε αν 4 αντικαταστήσουμε στην εξίσωση το χ με δηλαδή f ( ) 4 Για να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση δίνουμε κάποιες τιμές στο χ ώστε να βρούμε μερικά σημεία της. Αν α>0 είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], γνησίως αύξουσα στο [, ) και παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με την τεταγμένη της κορυφής δηλ. 4 Αν α<0 είναι γνησίως αύξουσα στο (, ], γνησίως φθίνουσα στο [, ) και παρουσιάζει μέγιστο ίσο με την τεταγμένη της κορυφής δηλ. 4 Έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία που είναι παράλληλη στο ψ ψ και περνάει από τη κορυφή της δηλαδή την ευθεία χ = Για χ =0 έχουμε ψ = γ δηλαδή τέμνει το ψ ψ στο σημείο (0, γ ) Για ψ = 0 έχουμε αχ + βχ + γ = 0 που είναι μια εξίσωση ου βαθμού που λύνεται κανονικά με τη χρήση της διακρίνουσας. α) αν Δ<0 η εξίσωση είναι αδύνατη και επομένως δεν τέμνει το χ χ β) αν Δ=0 έχει μια λύση τη χ = και επομένως έχει ένα σημείο τομής με το χ χ που είναι η κορυφή της. Λέμε τότε ότι ο άξονας χ χ εφάπτεται στη παραβολή. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 11
γ) αν Δ>0 τότε έχει δύο λύσεις τις γνωστές μας 1 και επομένως έχει και δύο σημεία τομής με τον χ χ που είναι τα ( χ 1, 0 ) και ( χ, 0 ). Παρουσιάζουμε παρακάτω τη μορφή που θα έχει η παραβολή f ( ) αχ + βχ + γ ανάλογα με το πρόσημο του α και της Δ. Παραδείγματα 1) Δίνεται η συνάρτηση ψ = χ 4χ + 3. α) Βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής β) Εξετάστε αν έχει μέγιστο ή ελάχιστο το οποίο και να βρείτε γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής με τους άξονες δ) Να βρείτε την εξίσωση του άξονα συμμετρίας της ε)να σχεδιάσετε την παραβολή αυτή 1) αν χ πραγματικός και ) αν -3<χ<3 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 1
4 α) Η τετμημένη της παραβολής είναι χ = 1 Για χ = έχουμε ψ = 4 3 4 8 3 1 Συνεπώς οι συντεταγμένες της παραβολής είναι (, -1 ) β) Επειδή α = 1>0 η παραβολή παρουσιάζει ελάχιστο που είναι η τεταγμένη της παραβολής δηλαδή -1. γ) Τέμνει το ψ ψ στο σημείο ( 0, γ ) δηλαδή στο σημείο ( 0, 3) Είναι Δ = ( 4) 413 16 1 4 ( 4) 4 4 1, δηλαδή χ 1 = 3 και χ = 1 1 Επομένως τέμνει το χ χ σε δύο σημεία τα ( 3, 0 ) και ( 1, 0 ) 4 δ) Έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία χ = = 1 ε) Θα φτιάξουμε έναν πίνακα τιμών της συνάρτησης χ - 3 - -1 0 1 3 ψ 4 15 8 3 0-1 0 Οι γραφικές παραστάσεις στις περιπτώσεις 1) και ) φαίνονται παρακάτω ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση f(χ) = (λ -4).χ +3λχ +7 έχει μέγιστο Η συνάρτηση f(χ) = (λ -4).χ +3λχ +7 έχει μέγιστο όταν είναι α < 0 δηλαδή λ -4 < 0 λ < 4 4 Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 13
3) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε η ευθεία ψ = λχ +3 να διέρχεται από την κορυφή της παραβολής f(χ) = 4χ -4χ +5 Η κορυφή της παραβολής f(χ) = 4χ -4χ +5 έχει τετμημένη - 4 1. 4 τεταγμένη ( 4) 4. 4. 5 64 4 δηλαδή είναι το σημείο ( 1 4 4. 4 16, 4). Επειδή η ευθεία ψ = λχ +3 διέρχεται από την κορυφή της παραβολής οι συντεταγμένες της κορυφής την επαληθεύουν, έτσι έχουμε 4 = λ. 1 +3 8 = λ +6 λ = και 4) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση f(χ) = (λ +1)χ -(λ -3)χ + 7 έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία χ = Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(χ) = αχ +βχ +γ, α 0 έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία με εξίσωση χ = οπότε εδώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(χ) = (λ +1)χ -(λ -3)χ + 7 έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία χ = ( 3) 3 ή χ = Δίνεται όμως ότι ο άξονας συμμετρίας της παραπάνω ( 1) 1 συνάρτησης είναι η ευθεία χ = οπότε έχουμε 3 1 = (λ+1) = λ -3 4λ + = λ -3 3λ = -5 λ = 5 3 5) Να βρείτε για ποιες τιμές του κ η συνάρτηση f(χ) = (κ +4)χ -(κ +1)χ +1 να εφάπτεται στον άξονα χχ Η παραβολή f(χ) = (κ +4)χ -(κ +1)χ +1 εφάπτεται στον άξονα χχ όταν είναι Δ = 0. Έτσι έχουμε Δ = 0 (κ +1) - 4(κ +4).1 = 0 κ +κ +1-4κ -16 = 0 κ -κ -15 = 0. Η τελευταία εξίσωση είναι δευτεροβάθμια με ρίζες τους αριθμούς 5 και -3. Δηλαδή για να εφάπτεται η f στον άξονα χχ πρέπει να είναι κ = 5 ή κ = -3 6) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η συνάρτηση f (χ) = [(λ -)χ] +3χ +λ-1 παρουσιάζει ελάχιστο Η συνάρτηση f(χ) = [(λ -)χ] +3χ +λ-1 γίνεται f(χ) = (λ -) χ +3χ +λ-1 δηλαδή είναι της μορφής f(χ) = αχ +βχ +γ με α = (λ -) Η f παρουσιάζει ελάχιστο όταν είναι α > 0 ή (λ -) > 0. Η τελευταία ανίσωση ισχύει για κάθε λ Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 14
7) Αν η συνάρτηση f(χ) = αχ +βχ +γ, α 0 είναι άρτια τότε να δείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κορυφή το σημείο (0, γ). Για να είναι μια συνάρτηση άρτια πρέπει να έχει άξονα συμμετρία τον ψψ δηλαδή την ευθεία με εξίσωση χ = 0. Δεδομένου ότι η συνάρτηση f(χ) = αχ +βχ +γ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία χ =, συμπεραίνουμε ότι θα πρέπει = 0. Δηλαδή η τετμημένη της κορυφής είναι 0 και αν αντικαταστήσουμε στον τύπο της συνάρτησης βρίσκουμε ότι η τεταγμένη είναι γ. Πράγματι λοιπόν η κορυφή της είναι το σημείο ( 0, γ ). 8) Αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g και h παρουσιάζονται στο διπλανό σχήμα, τότε να βρείτε πως συνδέονται οι τύποι των g και h με τον τύπο της f Παρατηρούμε ότι η γραφική παράσταση της g προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά άρα θα είναι g(χ) = f(χ -3). Επίσης η γραφική παράσταση της h προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά και στη συνέχεια μιας κατακόρυφης κατά μία μονάδα προς τα κάτω άρα ο τύπος της h θα είναι h(χ) = f(χ -3) -1. 9) Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 15
f(χ) = αχ +βχ +γ, α 0 α) Να προσδιορίσετε τα πρόσημα των α, β, Δ β) Να βρείτε πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών γ) Να βρείτε τις τιμές των α, β, γ α)από τη γραφική παράσταση φαίνεται ότι η συνάρτηση f έχει ελάχιστο, άρα α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει κορυφή το σημείο (-1, -) δηλαδή είναι 1 και αφού δείξαμε ότι α > 0 θα είναι και β > 0. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον χχ σε δύο σημεία οπότε Δ>0 β) Η συνάρτηση f(χ) = αχ +βχ +γ, α 0 ορίζεται σε όλο το R. Από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f προκύπτει ότι η μικρότερη τιμή της είναι το - και δέχεται όλες τις τιμές που είναι - οπότε το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [-, + ) γ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο (0, -1) οπότε οι συντεταγμένες αυτού του σημείου επαληθεύουν την εξίσωσή της δηλαδή ισχύει -1 = α.0 +β.0 +γ -1 = γ γ = -1 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει κορυφή το σημείο (-1, -) δηλαδή είναι 1 (1) και 0 8 4 8 4 4 8 4 4 0 4 ( 1) 0 1 4 1 οπότε από την (1) έχουμε ότι β =. 10) Στο παρακάτω τετρασέλιδο είναι σχεδιασμένες με διαφορετική σειρά οι γραφικές παραστάσεις τεσσάρων συναρτήσεων με εξισώσεις Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 16
i) f(χ) = κχ +3χ +1, ii) g(χ) = χ -χ +3 iii) h(χ) = 4χ +4χ +1 iv) t(χ) = χ +4χ +6. Από τις παραπάνω εξισώσεις ζητείται να κυκλώσετε εκείνη της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται στην τέταρτη σελίδα, δηλαδή στη σελίδα που δεν φαίνεται. Παρατηρούμε ότι η παραβολή της σελίδας 1 εφάπτεται στον άξονα χχ, άρα έχει Δ = 0. Από τις συναρτήσεις που μας έχουν δοθεί μόνο η iii) h(χ) = 4χ +4χ +1 έχει Δ = 0 οπότε η iii) έχει γραφική παράσταση το σχήμα της σελίδας 1. Η παραβολή της σελίδας τέμνει τον άξονα ψψ στο 1, άρα ο σταθερός της όρος είναι το 1. Από τις συναρτήσεις που μας έχουν δοθεί μόνο η i) f(χ) = κχ +3χ +1 και η iii) h(χ) = 4χ +4χ +1 έχουν σταθερό όρο 1 Την iii) όμως αντιστοιχίσαμε στο σχήμα της σελίδας 1 οπότε μένει η i) f(χ) = κχ +3χ +1 την οποία αντιστοιχούμε στο σχήμα Η παραβολή της σελίδας 3 έχει κορυφή το σημείο (1, ). Από τις εξισώσεις των παραβολών που έχουν απομείνει ( ii και iv) μόνο η ii) g(χ) = χ -χ +3 έχει κορυφή το σημείο (1, ) αφού 1 και 4 ( ) 4. 1. 3 4 1. 1 4 4 4. 1 4 Άρα στην γραφική παράσταση της τέταρτης σελίδας αντιστοιχεί η συνάρτηση που έχει απομείνει τελικά, δηλαδή η iv) t(χ) = χ +4χ +6 την οποία κυκλώνουμε. 11) Αν ο πίνακας που ακολουθεί είναι ο πίνακας μεταβολών μιας συνάρτησης της Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 17
μορφής f(χ) = αχ +βχ +γ, τότε να βρείτε ποιος από τους παρακάτω είναι ο τύπος της f i) f(χ) = χ -4χ +, ii) f(χ) = 1 χ -χ +, iii) f(χ) = 1 4 χ -χ +, iv) f(χ) = χ -8χ + 3 Από τον πίνακα μεταβολών της συνάρτησης f(χ) = αχ +βχ +γ, α 0 προκύπτει ότι η f στο διάστημα (-, ] είναι γνησίως φθίνουσα ενώ στο διάστημα [, +) είναι γνησίως αύξουσα. Έχει ελάχιστο το 1 και το δέχεται όταν είναι χ =. Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι από τις συναρτήσεις που μας έχουν δοθεί μόνο η iii) f(χ) = 1 4 χ -χ + έχει ελάχιστο 4 4 4 ( 1) 4. 1. 4 4. 1 4 1 1 1 και το δέχεται όταν είναι χ = 1 1 1 1. 4. Άρα σωστή είναι απάντηση iii) f(χ) = 1 4 χ -χ + 1) Να βρείτε δύο αριθμούς με άθροισμα 8 ώστε το γινόμενό τους να είναι μέγιστο. Ποιο είναι το μέγιστο γινόμενό τους ; Έστω ότι οι αριθμοί είναι οι κ, λ τότε θα είναι κ +λ = 8 κ = 8 -λ, οπότε το γινόμενό τους θα είναι κ.λ = (8 -λ).λ = -λ +8λ δηλαδή το γινόμενο κ.λ γράφεται συναρτήσει του λ ως εξής: κ.λ = f(λ) = -λ +8λ Η συνάρτηση f(λ) = -λ +8λ είναι της μορφής f(λ) = αλ +βλ +γ, α 0 με α = -1, β = 8, γ = 0. Επειδή είναι α = -1 < 0 η συνάρτηση f(λ) = -λ +8λ έχει 4 8 4.( 1). 0 64 μέγιστο το 16 4 4 4.( 1) 4 δηλαδή το μέγιστο γινόμενο είναι το 16 και αυτό συμβαίνει όταν 8 4 οπότε και κ = 8-4 = 4. 1 Τελικά οι ζητούμενοι αριθμοί είναι ίση με 4 και το μέγιστο γινόμενο 16. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 18
13) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε το σημείο Α(λ, λ+) να απέχει την μικρότερη απόσταση από το σημείο Β(1,) Η απόσταση των σημείων Α(λ, λ+) και Β(1,) είναι (ΑΒ) = ( 1 ) ( ) = 1 4 4 = 5 4 1 Η απόσταση (ΑΒ) γίνεται ελάχιστη όταν γίνει ελάχιστο το υπόριζο 5λ -4λ +1 Το υπόριζο όμως είναι της μορφής f(λ) = αλ +βλ +γ με α = 5 > 0, άρα έχει ελάχιστο όταν είναι λ = 4 4 0, 4. 5 10 14) Ο στίβος του κλασσικού αθλητισμού αποτελείται από ένα ορθογώνιο μήκους χ και δύο ημικύκλια ακτίνας ψ το καθένα και έχει συνολική περίμετρο 400 μέτρα. Να βρείτε τις διαστάσεις χ, ψ ώστε το ορθογώνιο να έχει μέγιστο εμβαδόν. Η περίμετρος Π του στίβου αποτελείται από δύο ευθύγραμμα τμήματα μήκους χ το καθένα και δύο ημικύκλια μήκους πψ το καθένα. Συνεπώς Π = χ+πψ οπότε χ + πψ = 400 χ+πψ = 00 χ = 00 πψ (1). Το ορθογώνιο έχει διαστάσεις χ, ψ οπότε το εμβαδόν του είναι Ε = χψ που βάση της (1) γίνεται ( ) (00 ) 400 400 () Το ο μέλος () είναι τριώνυμο ως προς ψ με α = -π < 0 και άρα παρουσιάζει 400 100 μέγιστο για μέτρα οπότε από την (1) έχουμε ότι: 4 100 00 100 μέτρα. Τελικά για να είναι μέγιστο το εμβαδόν του ορθογωνίου οι διαστάσεις του στίβου πρέπει να είναι χ = 100 μέτρα και ψ = 100 μέτρα. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 19
15) Στα παρακάτω να ενώσετε με μια γραμμή τον τύπο της συνάρτησης με την αντίστοιχη γραφική της παράσταση ii) g(χ) = -(χ-) i) h(χ) = (χ -) iii) f(χ) = χ iv) t(χ) = h(χ) + 1 v) p(χ) = h(χ+1) - Η γραφική παράσταση της συνάρτησης i) h(χ) = (χ -) προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της f κατά μονάδες προς τα δεξιά, οπότε στη συνάρτηση h αντιστοιχούμε το σχήμα 4. Η συνάρτηση ii) g(χ) = -(χ-) είναι αντίθετη της i) h(χ) = (χ -) αφού για κάθε χr ισχύει g(χ) = - h(χ) Σε αυτή τη περίπτωση οι γραφικές τους παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα χχ, οπότε στη συνάρτηση g αντιστοιχούμε το σχήμα 3. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης iv) t(χ) = h(χ) + 1 προκύπτει από μία κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της h κατά 1 μονάδα προς τα πάνω, οπότε στη συνάρτηση t αντιστοιχούμε το σχήμα. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης v) p(χ) = h(χ+1) - προκύπτει από μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της h κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά και στη συνέχεια μιας κατακόρυφης κατά μονάδες προς τα κάτω, οπότε στη συνάρτηση p αντιστοιχούμε το σχήμα 1. Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 0
16) Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των παραβολών με εξισώσεις ψ = λ χ -χ +5 και ψ = 3χ -λχ +4 Τα κοινά σημεία των δύο παραβολών έχουν συντεταγμένες οι οποίες επαληθεύουν τις x x 5 εξισώσεις τους, δηλαδή είναι λύση του συστήματος. 3x x 4 Για να βρούμε το πλήθος των λύσεων του τελευταίου συστήματος εργαζόμαστε ως εξής: Τα πρώτα μέλη των εξισώσεων του συστήματος είναι ίσα,άρα και τα δεύτερα, έτσι έχουμε λ χ -χ +5 = 3χ -λχ +4 (λ -3)χ -(λ -1)χ +1 = 0 (1) Ανάλογα με το πλήθος των ριζών τις τελευταίας εξίσωσης είναι και το πλήθος των λύσεων του παραπάνω συστήματος αφού σε κάθε χ αντιστοιχεί ένα ψ το οποίο βρίσκουμε αντικαθιστώντας το χ σε μία από τις εξισώσεις ψ = λ χ -χ +5, ψ = 3χ -λχ +4 Για να βρούμε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης (1) διακρίνουμε περιπτώσεις. Αν λ -3 = 0 λ = 3 λ = 3 τότε η (1) γίνεται πρωτοβάθμια και έχει μία μόνο ρίζα, άρα οι παραβολές τέμνονται σε ένα σημείο. Αν λ -3 0 λ 3 λ 3 τότε η εξίσωση (1) είναι δευτεροβάθμια οπότε το πλήθος των ριζών της εξαρτάται από την διακρίνουσά της, έτσι έχουμε Δ = (λ -1) - 4(λ -3).1 = 4(λ -λ +1) -4λ +1 = 4λ -8λ +4-4λ +1 = -8λ +16 Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις Αν Δ = 0-8λ +16 = 0 λ = τότε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή ρίζα. Σε αυτή την περίπτωση οι δύο παραβολές εφάπτονται. Πράγματι όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα, όταν οι δύο παραβολές απομακρύνονται η μία από την άλλη, τα σημεία τομής τους Α, Β πλησιάζουν το ένα το άλλο. Όταν τα σημεία Α, Β ταυτιστούν τότε οι παραβολές εφάπτονται Αν Δ > 0-8λ +16 > 0 λ < και με την προϋπόθεση ότι είναι λ 3 η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες διαφορετικές, οπότε οι παραβολές τέμνονται σε δύο σημεία. Αν Δ < 0-8λ +16 < 0 λ > τότε η εξίσωση (1) δεν έχει πραγματικές ρίζες, οπότε οι παραβολές δεν έχουν κανένα κοινό σημείο. Μετά από τα παραπάνω συμπληρώνουμε τα κενά ως εξής: ii) εφάπτονται όταν είναι λ = Επιμέλεια : Άρης Αεράκης 1