Είδη Διορθωτών: Υπάρχουν πολλών ειδών διορθωτές. Μία βασική ταξινόμησή τους είναι οι «Ειδικοί Διορθωτές» και οι «Κλασσικοί Διορθωτές».

ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΑΕ

Είδη Διορθωτών: Οι Διορθωτές έχουν την δική τους (Σ.Μ). Ενσωματώνονται στον βρόχο του ΣΑΕ και δρουν πάνω στην αρχική Σ.Μ κατά τρόπο ώστε να της προσδώσουν την επιθυμητή συμπεριφορά, την οποία αρχικά δεν έχει, δηλαδή να την διορθώσουν.

Είδη Διορθωτών: Υπάρχουν πολλών ειδών διορθωτές. Μία βασική ταξινόμησή τους είναι οι «Ειδικοί Διορθωτές» και οι «Κλασσικοί Διορθωτές».

ΣΑΕ με διορθωτή PID

Με την χρήση αλγορίθμων, μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές των συντελεστών PID για την εφαρμογή του σε συγκεκριμένο ΣΑΕ, οι οποίοι όμως, πρέπει να σημειώσουμε, δεν οδηγούν απαραίτητα στον βέλτιστο έλεγχο. Η επίδοση του διορθωτή συνίσταται στην ικανότητά του να αποκρίνεται στο σφάλμα, στην υπερύψωση της απόκρισης και στις ταλαντώσεις της.

Ο διορθωτής PID μπορεί να είναι, κατά περίπτωση, διορθωτής PI, PD, P ή I. Σε μερικά ΣΑΕ είναι απαραίτητη η χρήση μόνο δύο όρων (από τους τρεις). Ο διορθωτής PI είναι πιο εύχρηστος, καθώς η διαφορική επενέργεια είναι ευαίσθητη στον θόρυβο ενώ η παρουσία της ολοκληρωτικής επενέργειας βοηθάει στον μηδενισμό του τελικού σφάλματος.

Περιγραφή της βασικής λειτουργίας PID Έστω ότι θέλουμε να ρυθμίσουμε την θερμοκρασία του νερού σ ένα δοχείο, όπου τρέχουν δύο βρύσες (ζεστό κρύο). Αυτό θα γίνει με την σωστή ανάμειξη ζεστού-κρύου, δηλαδή ανοιγοκλείνοντας τις βρύσες και δοκιμάζοντας την τρέχουσα θερμοκρασία, ή μετρώντας την.

Περιγραφή της βασικής λειτουργίας PID Η ανιχνευόμενη θερμοκρασία είναι Μεταβλητή της Διαδικασίας (Proce Value (PV). Η επιθυμητή θερμοκρασία ονομάζεται Επιθυμητή Τιμή (Set Point (SP). Η είσοδος για τη διαδικασία (η ροή του νερού στο ντεπόζιτο δηλαδή) είναι η άμεσα ρυθμιζόμενη μεταβλητή και λέγεται «χειραγωγούμενη» μεταβλητή (Manipulated Variable (MV).

Περιγραφή της βασικής λειτουργίας PID Η διαφορά μεταξύ της πραγματικής και της επιθυμητής τιμής της θερμοκρασίας είναι το Σφάλμα (e) και δείχνει αν το νερό είναι πολύ ζεστό ή πολύ κρύο και κατά πόσο. Μετρώντας την θερμοκρασία (PV) και στη συνέχεια υπολογίζοντας το σφάλμα, ο διορθωτής αποφασίζει αν πρέπει να αλλάξει το άνοιγμα της βάνας (MV) και κατά πόσο.

Περιγραφή της βασικής λειτουργίας PID Όταν ο διορθωτής ανοίγει αρχικά την βάνα, μπορεί να την ανοίξει ελαφρώς, αν επιθυμούμε ζεστό νερό, ή μπορεί να την ανοίξει πλήρως, αν επιθυμούμε πολύ ζεστό νερό. Αυτό είναι ένα απλό παράδειγμα Αναλογικού ελέγχου (Proportional).

Περιγραφή της βασικής λειτουργίας PID Εάν δώσουμε εντολή, για μια μεγάλη αλλαγή, όταν το σφάλμα είναι μικρό, αυτό σημαίνει μεγάλη ενίσχυση στον διορθωτή, πράγμα που θα οδηγήσει σε υπερύψωση στην απόκριση. Αν ο διορθωτής είναι να κάνει επανειλημμένες μεγάλες αλλαγές που επανειλημμένα θα υπερβαίνουν την επιθυμητή τιμή, τότε η έξοδος θα ταλαντούται γύρω από την επιθυμητή τιμή με: σταθερή, αυξανόμενη ή αποσβούμενη ημιτονοειδή μορφή. Αντίστοιχα τότε το σύστημα θα είναι στην αυτοταλάντωση, στην αστάθεια, ή θα είναι ευσταθές.

Περιγραφή της βασικής λειτουργίας PID Αν ο διορθωτής ξεκινά από μια κατάσταση με μηδενικό σφάλμα (PV = SP), τότε περαιτέρω αλλαγές θα γίνουν για να ανταποκριθεί σε ενδεχόμενες αλλαγές πέραν των επιθυμητώνπου επηρεάζουν τη διαδικασία, και ως εκ τούτου, και την PV. Οι μεταβλητές που επηρεάζουν τη διαδικασία, εκτός από την MV είναι γνωστές ως διαταραχές.

Περιγραφή της βασικής λειτουργίας PID Γενικά οι διορθωτές δρουν έτσι ώστε να ακυρώνουν τις αλλαγές που οφείλονται σε διαταραχές και / ή να εφαρμόζουν μόνο τις επιθυμητές αλλαγές εισόδου. Οι αλλαγές στη θερμοκρασία του νερού της τροφοδοσίας, αποτελούν μια τέτοια διαταραχή.

Περιγραφή της βασικής λειτουργίας PID Θεωρητικά, ένας διορθωτής, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο κάθε διαδικασίας η οποία έχει μία μετρήσιμη έξοδο (PV) και μια γνωστή επιθυμητή τιμή (SP), μια είσοδο στην διαδικασία (MV) που επιδρά στην PV. Οι διορθωτές χρησιμοποιούνται στην βιομηχανία για τον έλεγχο της θερμοκρασίας, της πίεσης, της ροής, της ταχύτητας και γενικά για κάθε μετρούμενη φυσική μεταβλητή.

Μαθηματική περιγραφή της λειτουργίας PID Η επενέργεια του διορθωτή PID συναποτελείται από το άθροισμα των τριών επί μέρους επενεργειών το οποίο αποτελεί και την ονομαζόμενη χειραγωγούμενη μεταβλητή (MV). Η θα είναι: e c έξοδος του διορθωτή, t = et + et dt + et p i τ 0 d d dt

e c Μαθηματική περιγραφή της λειτουργίας PID t = et + et dt + et p i dt Όπου: p : P ενίσχυση, ρυθμιζόμενη παράμετρος i : I ενίσχυση, ρυθμιζόμενη παράμετρος d : D ενίσχυση, ρυθμιζόμενη παράμετρος e(t) : Σφάλμα = SP-PV e c (t) : Διορθωμένο σήμα του σφάλματος τ : Χρόνος ολοκλήρωσης, από 0 μέχρι το πέρας της ολοκλήρωσης τ 0 d d

Ο Αναλογικός όρος (P) Μια υψηλή τιμή της αναλογικής ενίσχυσης p προκαλεί μεγάλες αλλαγές στην έξοδο ακόμα και για μικρές τιμές του σφάλματος. Εάν δε η ενίσχυση είναι πολύ μεγάλη, αυτό μπορεί να οδηγήσει το σύστημα σε αστάθεια. Αντιθέτως, μια μικρή τιμή της ενίσχυσης p, καθιστά το σύστημα πιο «αναίσθητο» στις αλλαγές της εισόδου (επιθυμητές αλλαγές) αλλά και αδύναμο να ακυρώσει τις διαταράξεις (ανεπιθύμητες αλλαγές).

Ο Αναλογικός όρος (P) Η πρακτική στον αυτόματο έλεγχο υπαγορεύει πως η αναλογική ενίσχυση πρέπει να μεταφέρει επαρκώς τις αλλαγές στο σύστημα, δηλαδή να έχει ενδιάμεσες τιμές.

Ο Αναλογικός όρος (P) Απόκριση ΣΑΕ για διαφορετικές τιμές του p (ενώ τα i και d είναι σταθερά)

Ο Ολοκληρωτικός όρος (Ι) Η συνεισφορά του ολοκληρωτικού όρου είναι ανάλογη και του σφάλματος, αλλά και της διάρκειάς του. Αποτελείται από το άθροισμα των στιγμιαίων τιμών του σφάλματος στην διάρκεια του χρόνου (ολοκλήρωμα) πολλαπλασιασμένο με την ενίσχυση i. Ο όρος δίνει στην έξοδό του: I out et dt i 0

Ο Ολοκληρωτικός όρος (Ι) Ο ολοκληρωτικός όρος επιταχύνει την πορεία του ΣΑΕ προς την επιθυμητή τιμή και εξαφανίζει το στατικό σφάλμα που προκύπτει από μια διόρθωση, μόνον αναλογική. Καθώς όμως ο ολοκληρωτικός όρος εμπεριέχει το συσσωρευμένο σφάλμα από το «παρελθόν», μπορεί να οδηγήσει το σύστημα σε υπερύψωση της εξόδου.

Ο Ολοκληρωτικός όρος (Ι) Απόκριση ΣΑΕ για διαφορετικές τιμές του i (ενώ τα p και d είναι σταθερά)

Ο Διαφορικός όρος (D) Ο διαφορικός όρος υπολογίζεται από την κλίση του σφάλματος στην διάρκεια του χρόνου, πολλαπλασιασμένου με την σταθερά της διαφορικής ενίσχυσης d. Ο όρος δίδεται από την σχέση: D out d d et dt

Ο Διαφορικός όρος (D) Η διαφορική επενέργεια «προβλέπει» την συμπεριφορά του συστήματος, πράγμα που βελτιώνει τον χρόνο αποκατάστασης και την ευστάθεια του συστήματος. Παρ όλα αυτά, η διαφορική επενέργεια, σπάνια χρησιμοποιείται, καθώς είναι ευαίσθητη στον θόρυβο. Εάν ο θόρυβος είναι ισχυρός, η διαφορική επενέργεια δημιουργεί σφάλματα και μειώνει τις επιδόσεις του ΣΑΕ.

Ο Διαφορικός όρος (D) Απότομες και σχετικά μεγάλες αλλαγές στο σφάλμα (που προκύπτουν όταν αλλάζει η επιθυμητή τιμή), δημιουργούν απότομες και μεγάλες δράσεις διόρθωσης που απορρέουν από τον διαφορικό όρο. Αυτό το φαινόμενο μπορεί να περιορισθεί, εν μέρει, αν το σφάλμα περάσει από ένα φίλτρο χαμηλής διέλευσης.

Ο Διαφορικός όρος (D)

Καθορισμός των παραμέτρων του PID Η ρύθμιση του ΣΑΕ συνίσταται κυρίως στην επιλογή των τριών επενεργειών PID (ή στον συνδυασμό τους) και στον καθορισμό των τιμών των συντελεστών τους, για να επιτευχθεί η βέλτιστη δυνατή απόκριση.

Καθορισμός των παραμέτρων του PID Η ρύθμιση του PID είναι ένα σχετικά δύσκολο πρόβλημα, αν και οι παράμετροι προς ρύθμιση είναι μόνο οι τρεις τιμές των συντελεστών i, p και d. Εν τούτοις έχει σύνθετα κριτήρια και περιορισμούς που τίθενται από την φύση και τα όρια του διορθωτή PID.

Εμπειρική μέθοδος Υπάρχουν διάφορες μέθοδοι ρύθμισης και προχωρημένες τεχνικές. Θα περιγράψουμε τις κλασσικές που είναι και οι πιο βασικές. Μία μέθοδος για την ρύθμιση των συντελεστών PID είναι να χρησιμοποιήσουμε ένα μοντέλο του ΣΑΕ σε εξομοίωση και στην συνέχεια να δώσουμε τις τιμές στους συντελεστές του PID στο πραγματικό σύστημα.

Εμπειρική μέθοδος Αν πρέπει το σύστημα να είναι σε λειτουργία, πρέπει οι συντελεστές i και d να είναι 0. Ανεβάζουμε τον p μέχρι που η έξοδος να αρχίσει να ταλαντούται και στην συνέχεια την μειώνουμε στο μισό της τιμής ταλάντωσης. Κατόπιν αυξάνουμε τον i μέχρι που το ενδεχόμενο τελικό σφάλμα να μηδενιστεί Συνεχίζουμε αυξάνοντας τώρα τον d μέχρι που το σύστημα να έχει ικανοποιητικά γρήγορη απόκριση.

Εμπειρική μέθοδος Συντελεστής Χρόνος ανόδου Υπερύψωση Χρόνος Αποκατάστασης Τελικό σφάλμα Ευστάθεια i, Μείωση Αύξηση Μικρή Μείωση Χειρότερη p Μείωση Αύξηση Αύξηση Μηδενισμός Χειρότερη d Ασήμαντη Μείωση Μείωση Καμία Βελτίωση αν το d είναι μικρό Η επίδραση της αύξησης των συντελεστών i, p και d

Η μέθοδος Ziegler Nichol Οι συντελεστές αρχικά τίθενται στο 0. Εν συνεχεία, ο p αυξάνεται μέχρι το σημείο u ώσπου να αρχίσουν οι ταλαντώσεις. Στην συνέχεια, οι τιμές του u και της περιόδου των ταλαντώσεων Τ u χρησιμοποιούνται όπως ορίζεται στον Πίνακα. Τύπος Διόρθωσης p i, d P 0,5 u - - PI 0,45 u 1,2 ( p /T u ) - PID 0,6 u 2 ( p /T u ) ( p T u )/8

Λογισμικά υπολογισμού του PID Σήμερα οι σύγχρονες βιομηχανικές εφαρμογές δεν χρησιμοποιούν πια τις εμπειρικές μεθόδους που παρουσιάσαμε πιο πάνω. Υπάρχουν λογισμικά με τα οποία υπολογίζονται οι συντελεστές του διορθωτή PID. Τα λογισμικά αυτά συγκεντρώνουν δεδομένα και φτιάχνουν μοντέλα με τα οποία υπολογίζουν στην συνέχεια τον PID.

Λογισμικά υπολογισμού του PID Μερικά λογισμικά κάνουν τους υπολογισμούς από συλλογή δεδομένων στις αλλαγές εισόδου. Εφαρμόζουν έναν στιγμιαίο παλμό στην είσοδο του συστήματος και χρησιμοποιούν την συχνοτική απόκριση του συστήματος για τον σχεδιασμό του PID.

Λογισμικά υπολογισμού του PID Υπάρχουν και άλλοι αλγόριθμοι υπολογισμού, που έχουν να κάνουν ανάλογα και με τα κριτήρια επίδοσης. Πολλοί διορθωτές εμπεριέχουν τα δικά τους λογισμικά υπολογισμού. Ακόμα πιο προχωρημένα λογισμικά δίνουν την δυνατότητα αυτορρύθμισης, ακόμα κι όταν το σύστημα βρίσκεται σε λειτουργία, μοντελοποιώντας την δυναμική συμπεριφορά του ΣΑΕ στις διαταράξεις και υπολογίζοντας τις παραμέτρους του PID εν συνεχεία.

Ο διορθωτής PID σε μορφή Συνάρτησης Μεταφοράς κατά Laplace Εάν την σχέση του διορθωτή PID την μετασχηματίσουμε κατά Laplace, τότε θα έχουμε: D E E E E E E E E t e dt d dt+ t e + t e = t e i p d d i p c d i p c d i p c d τ i p c L L 2 0

Ο διορθωτής PID σε μορφή Συνάρτησης Μεταφοράς κατά Laplace Υπ αυτή την μορφή, ο διορθωτής μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την ακύρωση πόλων και μηδενικών. Εάν δηλαδή έχουμε να διορθώσουμε μια Σ.Μ. 2 ου βαθμού της γενικής μορφής: F 2 2 2 1 n n

Ο διορθωτής PID σε μορφή Συνάρτησης Μεταφοράς κατά Laplace Ο διορθωτής μπορεί να γραφεί υπό την κατωτέρω μορφή: D d i d p d i p d 2 2

F Ο διορθωτής PID σε μορφή Συνάρτησης Μεταφοράς κατά Laplace Εάν θέσουμε τις τιμές των συντελεστών του διορθωτή έτσι ώστε να είναι: p d 2 i 2 n n d Η Σ.Μ. του διορθωμένου συστήματος θα είναι: c F D 2 2 2 1 2n n 2 d 2 n n d Δηλαδή έχουμε την μετατροπή της αρχικής Σ.Μ. σε 1 ου βαθμού, που είναι πιο εύκολα ελέγξιμη.

Υπάρχουν και άλλες παραλλαγές του διορθωτή PID. Η πιο γνωστή είναι αυτή που χρησιμοποιεί ένα φίλτρο χαμηλής διέλευσης ενσωματωμένο στην διαφορική επενέργεια. Οι δύο αυτοί διορθωτές ονομάζονται PDF και PIDF αντίστοιχα. Οι Συναρτήσεις τους έχουν ως εξής: PDF p T f d 1 PIDF p i T f d 1