Μ. Σφακιωτάκης Χειµερινό εξάµηνο Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος

Transcript

1 7. ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ PID ΕΛΕΓΧΟΣ Μ. Σφακιωτάκης Βασικές Αρχιτεκτονικές στη "Κλασσική" Σχεδίαση Ελεγκτών Έλεγχος on-off Ελεγκτές που συνδυάζουν όρους αναλογικού κέρδους, ολοκλήρωσης και διαφόρισης P PI PD PID Ελεγκτές αντιστάθµισης φάσης Phae Lea (Προήγησης Φάσης) Phae Lag (Καθυστέρησης Φάσης) Phae Lea-lag (Προήγησης Καθυστέρησης Φάσης) Όλοι οι ελεγκτές αυτοί εισάγουν πόλους ή/και µηδενικά στη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος ανοιχτού βρόχου Χειµερινό εξάµηνο 7-8 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος Αναλογικός Ολοκληρωτικός - Διαφορικός Ελεγκτής - PΙD Αναλογικός Όρος Ελέγχου - P Prooronal conrol: u () e() U () E() r () e () Inegral conrol: u () e() U () E() G C () + + b () Dfferenal conrol: u () e() R () B () E () U () Y () G () U() U () E() U( ) U () D () Ελεγκτής τριών όρων (PID) N () Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 3 Δίνει στην έξοδο σήµα ανάλογο του σφάλµατος που δέχεται στην είσοδο. U () e () E () Πρόκειται ουσιαστικά για διάταξη ενίσχυσης του σήµατος σφάλµατος µε (µεταβλητό) κέρδος. e () e () Στη πράξη, το κέρδος πρέπει να κυµαίνεται εντός της περιοχής γραµµικής λειτουργίας της ενισχυτικής βαθµίδας. Παρατηρούµε ότι για µηδενικό σφάλµα e(), η έξοδος του ελεγκτή (που είναι και το σήµα ελέγχου της διεργασίας) γίνεται u(). Ο αναλογικός όρος ελέγχου αυξάνει την ταχύτητα απόκρισης του συστήµατος, ενδέχεται όµως να δηµιουργεί σφάλµα µόνιµης κατάστασης (ανάλογα µε τον τύπο του συστήµατος). Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 4

2 Αναλογικός Έλεγχος Διεργασίας Πρώτης Τάξης Αναλογικός Έλεγχος Διεργασίας Πρώτης Τάξης r () e () A + a G () y () r () e () y () A + a G () e a + A Συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου: Y () G() A R() + G() + a + A Ο πόλος του συστήµατος µετατοπίζεται στο - (a+α ) Για µοναδιαία βηµατική είσοδο r() (>) το σφάλµα µόνιµης κατάστασης είναι: A A e lm a A a + + a + A + A Εποµένως, το σφάλµα µόνιµης κατάστασης µειώνεται καθώς αυξάνουµε το κέρδος του αναλογικού όρου. Στη πράξη, το κέρδος δεν µπορεί να αυξηθεί απεριόριστα, καθώς πρέπει να κυµαίνεται εντός της περιοχής γραµµικής συµπεριφοράς της ενισχυτικής βαθµίδας. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 5 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 6 Αναλογικός Έλεγχος Διεργασίας Δεύτερης Τάξης Αναλογικός Έλεγχος Διεργασίας Δεύτερης Τάξης r () e () A y () + a + b G () Συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου: Y () G() R () + G () + a + b + A ζωn A ( ) ω n r () A + a + b + A ( ) Για βηµατική είσοδο A lm A + a + b + A ( ) b + A Εποµένως, καθώς αυξάνεται το κέρδος : Η φυσική συχνότητα ω n του συστήµατος κλειστού βρόχου αυξάνεται (ταχύτερη απόκριση) Εφόσον το γινόµενο ζω n παραµένει σταθερό, ο συντελεστής απόσβεσης ζ του συστήµατος κλειστού βρόχου µειώνεται, οπότε αναµένεται αύξηση της υπερύψωσης στην βηµατική απόκριση. Το σφάλµα µόνιµης κατάστασης µειώνεται e y () r () e () A y () + a + b G () Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 7 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 8

3 Αναλογικός Έλεγχος Διεργασίας Δεύτερης Τάξης r () e () y () G () 3 3 Για r ( ), > e 5 + ( /5) 5 + Ολοκληρωτικός Όρος Ελέγχου - Ι r () e () Δίνει στην έξοδο σήµα ανάλογο του ολοκληρώµατος του σφάλµατος: U () u() e() E () b () Η παράµετρος έχει µονάδες ec - και συχνά αναφέρεται ως συντελεστής ολοκλήρωσης. e () e() Για βηµατική διέγερση, η έξοδος του ολοκληρωτικού όρου έχει την µορφή ράµπας, είναι δηλ. λιγότερο "άµεση" και απαιτείται χρόνος ίσος µε / για να "πιάσει" την είσοδο. Σηµειώνεται επίσης ότι όταν το σφάλµα µηδενίζεται (δηλ για e()), η έξοδος u() του ελεγκτή (που είναι και το σήµα ελέγχου της διεργασίας) παραµένει σταθερή. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 9 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος Ολοκληρωτικός Έλεγχος Διεργασίας Πρώτης Τάξης r () e () A y () + a G () Το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι πλέον δεύτερης τάξης, µε συνάρτηση µεταφοράς: Y () GG () () c R () + GG () c() + α + A Ο συντελεστής καθορίζει άµεσα τη φυσική συχνότητα ω n του συστήµατος. Καθώς αυξάνεται ο, δεδοµένου ότι το γινόµενο ζω n α παραµένει σταθερό, ο συντελεστής απόσβεσης του συστήµατος µειώνεται, οπότε αναµένεται αύξηση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων. A ζωn ω n Ολοκληρωτικός Έλεγχος Διεργασίας Πρώτης Τάξης.5.5 r () e () + a C () G () y () Με την εισαγωγή του όρου ολοκλήρωσης το σύστηµα G c ()G() είναι τύπου-, οπότε µηδενίζεται το µόνιµο σφάλµα για βηµατική είσοδο. e lm e + GG () c() A A A a ( + a) ( + a) Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος

4 Αναλογικός - Ολοκληρωτικός Ελεγκτής - PΙ Αναλογικός - Ολοκληρωτικός Ελεγκτής - PΙ Παραγοντική συνδεσµολογία ελεγκτή PI r () e () Παραγοντική Συνδεσµολογία Ελεγκτή PI b () Παράλληλη Συνδεσµολογία Ελεγκτή PI r () e () Συνδυάζει αθροιστικά αναλογικό και ολοκληρωτικό έλεγχο. Η χρήση του όρου ολοκλήρωσης αποσκοπεί στην απαλοιφή του σφάλµατος µόνιµης κατάστασης (για e-on ρύθµιση), ενώ ο αναλογικός όρος αυξάνει την ταχύτητα απόκρισης και βελτιώνει την ευστάθεια του συστήµατος. r () e () + T Νόµος ελέγχου και συνάρτηση µεταφοράς για ελεγκτή PI: ( / ) U () + e () + e () + E () εισάγεται ένας πόλος στο και ένα µηδενικό στο - / ενώ ο συντελεστής µεταβάλλει το κέρδος-dc του συστήµατος U () e () + e () T + E() T Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 3 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 4 Αναλογικός - Ολοκληρωτικός Ελεγκτής - PΙ r () e () + T U () e () + e () T + E() T Ο χρόνος επαναφοράς (ree me) T ισούται µε το χρόνο που χρειάζεται ο I-όρος για να δώσει έξοδο ίση µε την έξοδο του P-όρου. e () Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 5 T P+I I P PI Έλεγχος Διεργασίας Πρώτης Τάξης r () e () + Y () G() G () A ( + ) R + G G + a + A + A c () c() () ( ) ζωn A + a G () Aύξηση του συντελεστή οδηγεί σε αύξηση της φυσικής ιδιοσυχνότητας ω n του συστήµατος. Aύξηση του συντελεστή, οδηγεί σε αύξηση του γινοµένου ζω n και κατά συνέπεια του συντελεστή απόσβεσης του συστήµατος. Η ακριβής επίδραση του ελεγκτή PI στην µεταβατική απόκριση του συστήµατος εξαρτάται και από το µηδενικό που εισάγεται (στο - / ). Με την εισαγωγή του όρου ολοκλήρωσης το σύστηµα G c ()G() είναι τύπου-, οπότε το σφάλµα µόνιµης κατάστασης για βηµατική είσοδο R()/, γίνεται ίσο µε µηδέν. ω n y () r () A ( + ) + ( a + A ) + A Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 6 y ()

5 PΙ Έλεγχος Αντιµετώπιση Διαταραχών Ο PI έλεγχος αντιµετωπίζει επίσης την εµφάνιση σφαλµάτων στην έξοδο της διεργασίας προερχόµενα από σήµατα διαταραχής. D () YD () G () G () D () + GG () C() R () E () U () Y () ( J + b) ED() G () ED() YD() D () + GG () () G ( ) (P έλεγχος) C ED() G () - D () + G() J + b + D - D για D () ED() J + b + D D e lm ED( ) lm J + b + D D e Μη-µηδενικό σφάλµα µόνιµης κατάστασης, το οποίο µπορεί να περιοριστεί αυξάνοντας το C GC( ) + (PI έλεγχος) ED() G () - D () + GG () () J + b C D - D για D () ED() 3 J + b + + D - D e lm ED( ) lm 3 J + b + + e Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 7 D Ο Ι-όρος του ελεγκτή µηδενίζει το οφειλόµενο στη βηµατική διαταραχή σφάλµα µόνιµης κατάστασης PΙ Έλεγχος Αντιµετώπιση Διαταραχών - Παράδειγµα G () J, b.8,,.5 H G() είναι τύπου- ως προς την είσοδο αναφοράς, οπότε, απουσία διαταραχών, το µόνιµο σφάλµα του συστήµατος κλειστού βρόχου είναι µηδέν H διαταραχή οδηγεί σε σφάλµα µόνιµης κατάστασης, το οποίο αδυνατεί να εξουδετερώσει πλήρως ο P-ελεγκτής Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 8 Είσοδος αναφοράς r() διαταραχή () O Ι-όρος του PI ελεγκτή µηδενίζει το σφάλµα µόνιµης κατάστασης που οφείλεται στη διαταραχή O Ι-όρος του PI ελεγκτή υποβαθµίζει όµως τη µεταβατική απόκριση του συστήµατος Διαφορικός Όρος Ελέγχου - D Αναλογικός Διαφορικός Ελεγκτής - PD r () e () b () Η παράµετρος ονοµάζεται συντελεστής διαφόρισης. Δίνει στην έξοδο σήµα ανάλογο της µεταβολής του σφάλµατος, συναρτήσει του χρόνου: e() U() E() r () e () b () Παράλληλη Συνδεσµολογία Ελεγκτή PD Όταν το e() έχει τη µορφή βηµατικής διέγερσης, η έξοδος του διαφορικού όρου ελέγχου είναι η κρουστική συνάρτηση, µε άπειρο (θεωρητικά) πλάτος για. Σηµαντική παρατήρηση: όταν το σφάλµα e() είναι σταθερό, η έξοδος του D-όρου είναι µηδενική! Στην πράξη, δεν χρησιµοποιούνται ποτέ ελεγκτές που να χρησιµοποιούν αποκλειστικά διαφορικό έλεγχο. u ( ) e () Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 9 e () Ο ελεγκτής PD συνδυάζει αθροιστικά τον αναλογικό όρο (P) µε τον διαφορικό όρο (D) ελέγχου: e() U() e () + + εισάγεται ένα µηδενικό E() στο - / e () T P+D P D χρόνος διαφόρισης (χρόνος προπορείας) T Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος

6 Αναλογικός - Διαφορικός Ελεγκτής - PD Παραγοντική Συνδεσµολογία Ελεγκτή PD r () e () r () e () + Αναλογικός Διαφορικός Ελεγκτής - PD Αυξάνει την απόσβεση του συστήµατος και περιορίζει την υπερύψωση (βελτίωση της σχετικής ευστάθειας του συστήµατος) Παρότι ο PD έλεγχος δεν µειώνει άµεσα το µόνιµο σφάλµα, η αυξηµένη απόσβεση του συστήµατος (απόρροια της χρήσης του διαφορικού όρου D), επιτρέπει την αύξηση του αναλογικού κέρδους, βελτιώνοντας έτσι το µόνιµο σφάλµα (και αυξάνοντας την ταχύτητα απόκρισης). Στη πράξη, ο PD έλεγχος εµφανίζει το πρόβληµα ότι ο D-όρος ενισχύει τον υψίσυχνο θόρυβο ο οποίος συχνά εµφανίζεται στο σήµα της εξόδου της υπό έλεγχο διεργασίας (προερχόµενος, π.χ., από µη-ιδανικά αισθητήρια). e() U() e () T E() χρόνος διαφόρισης T ( ) Επιπλέον, όταν το σήµα αναφοράς r() παρουσιάζει απότοµες αλλαγές (π.χ. βηµατικής µορφής), ο D-όρος παράγει κρουστικής µορφής έξοδο (το φαινόµενο είναι γνωστό ως ervave c), που ενδέχεται να δηµιουργήσει προβλήµατα. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος PD Έλεγχος Διεργασίας Δεύτερης Τάξης r () e () + A + a + b G () Συνάρτηση µεταφοράς κλειστού βρόχου: Y () G () G () A ( + ) R G G a A b A C () + C() () + ( + ) + ( + ) ζωn ω n y () r () A ( + ) + a + A + b + A ( ) ( ) Για βηµατική είσοδο GC () G () lm + GC () G () A... e + A + b / Αύξηση του οδηγεί σε ταχύτερη απόκριση του συστήµατος (αυξάνεται η φυσική συχνότητα ω n του συστήµατος κλειστού βρόχου). Αύξηση του οδηγεί σε αύξηση του γινόµενου ζω n, οπότε αυξάνεται ο συντελεστής απόσβεσης του συστήµατος, και αναµένεται µείωση της υπερύψωσης και των ταλαντώσεων. Ο συντελεστής δεν έχει καµιά επίδραση στο σφάλµα µόνιµης κατάστασης. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 3 e y () Αναλογικός Ολοκληρωτικός - Διαφορικός Ελεγκτής - PΙD Ο ελεγκτής PID συνδυάζει αθροιστικά την επίδραση των 3 όρων ελέγχου: Παράλληλη Συνδεσµολογία Ελεγκτή PID R () B () E () U () Y () G () D () + + GC() + + GC() Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 4 N () Ο (ιδανικός) ελεγκτής PID εισάγει εποµένως στο σύστηµα ανοιχτού βρόχου έναν πόλο στην αρχή των αξόνων και δύο µηδενικά.

7 Αναλογικός Ολοκληρωτικός - Διαφορικός Ελεγκτής - PΙD Παράδειγµα PID Ελέγχου Διεργασίας Δεύτερης Τάξης Συχνά ο ελεγκτής PID υλοποιείται µε την παρακάτω (ισοδύναµη) παραγοντική συνδεσµολογία: D () R () E () U () Y () G () T P - ΕΛΕΓΚΤΗΣ R () Y () R () + + ( + ) G () c + + G () 3 Y () B () T N () Ο αναλογικός έλεγχος µειώνει το σφάλµα µόνιµης κατάστασης και αυξάνει την ταχύτητα απόκρισης. Δηµιουργεί όµως σηµαντική υπερύψωση και ταλαντώσεις G () GC( ) + + GC() + + T T Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 5 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 6 Παράδειγµα PID Ελέγχου Διεργασίας Δεύτερης Τάξης Παράδειγµα PID Ελέγχου Διεργασίας Δεύτερης Τάξης PD - ΕΛΕΓΚΤΗΣ R () ( + ) Y () R () ( ) ( ) + G () c + + G () Y () 3, PΙ - ΕΛΕΓΚΤΗΣ R () ( + ) Y () R () ( ) + G () c + + G () 3, 7 Y () Η χρήση του όρου διαφόρισης περιορίζει την υπερύψωση και το χρόνο αποκατάστασης, χωρίς υποβάθµιση του χρόνου ανόδου, έχει όµως µικρή επίδραση στο σφάλµα µόνιµης κατάστασης (σηµείωση: η τιµή του Κ δεν έχει µεταβληθεί) G () Η χρήση του όρου ολοκλήρωσης δίνει µηδενικό σφάλµα µόνιµης κατάστασης και µειώνει την ταχύτητα απόκρισης. Σηµειώνεται ότι, στην περίπτωση αυτή η τιµή του Κ έχει µειωθεί, δεδοµένου ότι ο αναλογικός και ο ολοκληρωτικός όρος έχουν παρόµοια δράση, σε ότι αφορά την ταχύτητα απόκρισης και την υπερύψωση του συστήµατος. G () Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 7 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 8

8 Παράδειγµα PID Ελέγχου Διεργασίας Δεύτερης Τάξης Παράδειγµα PID Ελέγχου Διεργασίας Δεύτερης Τάξης PΙD - ΕΛΕΓΚΤΗΣ R () G () c G () Y () P PD ( + + ) Y () R () ( ) ( ) 35, 3, 5 Ο PID ελεγκτής έχει την καλύτερη συνολικά απόδοση, καθώς το σύστηµα εµφανίζει ταχεία απόκριση, µηδενική υπερύψωση και µηδενικό σφάλµα µόνιµης κατάστασης G () PI PID Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 9 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 3 Έλεγχος PID Σύνοψη της Επίδρασης των Επιµέρους Όρων Έλεγχος PID Συνοπτική Θεώρηση Ο παρακάτω πίνακας πρέπει να θεωρηθεί ως ενδεικτικός για την επίδραση των συντελεστών, και, δεδοµένου ότι υπάρχει εξάρτηση µεταξύ τους. Χρόνος Χρόνος Σφάλµα Υπερύψωση Ανύψωσης Αποκατάστασης µόνιµης κατάστασης µικρή επίδραση µικρή επίδραση µηδενισµός µικρή επίδραση Στον PID έλεγχο: Ο αναλογικός όρος (P) αντιδρά άµεσα στην ύπαρξη σφάλµατος. Όµως αδυνατεί να εξαλείψει τελείως το σφάλµα µόνιµης κατάστασης, ενώ συνήθως απαιτούνται µη-ρεαλιστικά υψηλές τιµές κέρδους για την σηµαντική µείωση του σφάλµατος µόνιµης κατάστασης. Ο ολοκληρωτικός όρος (I) εξαλείφει το σφάλµα µόνιµης κατάστασης για σταθερή είσοδο αναφοράς. Επιπρόσθετα, αντιµετωπίζει µε επιτυχία αποκλίσεις που προκαλούνται από διαταραχές του συστήµατος. Τέλος, ο διαφορικός όρος (D) περιορίζει το σφάλµα κατά τη διάρκεια της µεταβατικής απόκρισης του συστήµατος. Η συνδυασµένη δράση των τριών αυτών όρων καθιστά τον PID έλεγχο µία αποτελεσµατική στρατηγική ελέγχου για πολλές από τις διεργασίες που απαντώνται στην πράξη. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 3 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 3

9 Έλεγχος PID Μια Εναλλακτική Θεώρηση Στον PID έλεγχο: Το τµήµα του σήµατος ελέγχου το οποίο παρέχεται από τον αναλογικό όρο (P) εξαρτάται από την τρέχουσα τιµή του σφάλµατος (γενικότερα, από την τρέχουσα κατάσταση του συστήµατος) Αντίστοιχα, η έξοδος του ολοκληρωτικού όρου (I) εξαρτάται από την "προϊστορία" του συστήµατος. Τέλος, ο διαφορικός όρος εξαρτάται από τον ρυθµό µεταβολής του σήµατος εισόδου, και, κατά µία έννοια, µπορεί να θεωρηθεί ως στοιχείο "πρόβλεψης" της επερχόµενης κατάστασης του συστήµατος Εποµένως, η έξοδος ενός ελεγκτή PID µπορεί να θεωρηθεί ότι είναι συνάρτηση της προηγούµενης, της τρέχουσας και της "µελλοντικής" κατάστασης του συστήµατος. Σχεδίαση Ελεγκτών PID R () PID C() ελεγκτής Διεργασία P I D Η επιλογή των κατάλληλων τιµών για τις τρεις παραµέτρους του PID ελεγκτή (οι συντελεστές, και, ή ισοδύναµα οι συντελεστές, Τ και Τ ) µπορεί να γίνει µε µία σειρά από αναλυτικές µεθόδους, που έχουν αναπτυχθεί για το σκοπό αυτό, όταν είναι γνωστό το µοντέλο της υπό έλεγχο διεργασίας. Η ανάπτυξη των διάφορων υπολογιστικών εργαλείων (π.χ. Malab) επιτρέπει επίσης την εύρεση των βέλτιστων (ως προς κάποια συγκεκριµένα κριτήρια) τιµών για τις παραµέτρους αυτές, µέσω παραµετρικών διερευνήσεων. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 33 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 34 Παράδειγµα Αναλυτικής Σχεδίασης R () Να σχεδιαστεί ο ελεγκτής PID προκειµένου η βηµατική απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου να παρουσιάζει: µηδενικό µόνιµο σφάλµα χρόνο αποκατάστασης ec µέγιστη υπερύψωση M 5% Το σύστηµα κλειστού βρόχου, µε τη χρήση του PID ελεγκτή, είναι 3 ης τάξης (και τύπου-, οπότε εξασφαλίζεται το µηδενικό µόνιµο σφάλµα για βηµατική είσοδο αναφοράς). Η σχεδίαση που περιγράφεται στη συνέχεια έγκειται στην επιλογή των παραµέτρων, και προκειµένου το σύστηµα κλειστού βρόχου να έχει ένα ζεύγος από επικρατούντες συζυγείς µιγαδικούς πόλους και έναν πραγµατικό πόλο, η επίδραση του οποίου στη δυναµική του συστήµατος θα είναι περιορισµένη. Με βάση τις προδιαγραφές σχεδίασης, θα έχουµε: M.5 e πζ/ ζ πζ G () c + + ζ.996 ζ.69! 4 4 ω ζω n ζω n ra/ec n G () Επιθυµητοί επικρατούντες πόλοι: ζω ± jω ζ Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 35,, n Y () n, δηλαδή: ± j5.8 (.69) 4 ± j4. Παράδειγµα Αναλυτικής Σχεδίασης R () G () c + + Εποµένως, ο παρανοµαστής της συνάρτησης µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου T() επιδιώκεται να είναι της ακόλουθης µορφής: ( )( )( ) ( )( + 4 j4.)( j4.) όπου ο τρίτος πόλος του συστήµατος, ο οποίος επιλέγεται ως (λαµβάνεται αρνητικός για να εξασφαλίζεται η ευστάθεια του συστήµατος, και τοποθετείται σε απόσταση πλάσια του πραγµατικού µέρους των συζυγών µιγαδικών πόλων του συστήµατος, προκειµένου αυτές να αποτελούν τους επικρατούντες πόλους της T()). Δηλαδή, ο παρανοµαστής της T() θα πρέπει να είναι της µορφής: ( )( + 4 j4.)( j4.) ( + 4)( ) G () Y () R () Y () T () Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 36

10 Παράδειγµα Αναλυτικής Σχεδίασης Παράδειγµα Αναλυτικής Σχεδίασης R () G () c G () Y () R () Y () T () R () G () c G () Y () R () Y () T () Η αναλυτική έκφραση για τη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου είναι: Y () GG () () 5 c + + T () R () + GG () c() (5 + 8 ) + ( + 8 ) ( ) + 8( + + ) Εποµένως, θα πρέπει να ισχύει: (5 + 8 ) + ( + 8 ) , 8.53, Οπότε, η ακριβής µορφή του PID ελεγκτή θα είναι: () Gc Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 37 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 38 Παράδειγµα Αναλυτικής Σχεδίασης R () G () G () c Επαλήθευση της σχεδίασης µέσω Malab βηµατική απόκριση της T () βηµατική απόκριση της G () Y () G f([8],[ 5 ]); Gc f([ ],[ ]); T feebac(g*gc,); e(g,t); Gc( ) R () Y () T () Παρατηρούµε ότι το αντισταθµισµένο σύστηµα ικανοποιεί τις προδιαγραφές που είχαν τεθεί. Σηµειώνεται όµως ότι τα µηδενικά που εισάγει ο ελεγκτής στο αντισταθµισµένο σύστηµα ενδέχεται να διαφοροποιούν την απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου από αυτήν που προβλέπει η αναλυτική σχεδίαση µε βάση τους πόλους. Σε τέτοια περίπτωση απαιτείται περαιτέρω διερεύνηση (π.χ. µέσω roo locu), ή χρήση ενός φίλτρου εισόδου (nu fler) Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 39 Πρακτική Εφαρµογή PID Ελέγχου Ο PID έλεγχος είναι η πιο διαδεδοµένη τεχνική ελέγχου σε βιοµηχανικές και άλλες πρακτικές εφαρµογές. Εκτιµάται ότι πάνω από το 9% των βρόχων ελέγχου σε βιοµηχανικές διεργασίες χρησιµοποιούν κάποια από τις παραλλαγές του PID, κατά κύριο λόγο έλεγχο PI. Για τον έλεγχο ηλεκτροµηχανικών συστηµάτων, συνηθέστερη είναι η χρήση PD ελέγχου (και παραλλαγές αυτού). Σηµαντικό στοιχείο για την ευρεία διάδοση του PID ελέγχου αποτελεί το γεγονός ότι δεν απαιτείται ιδιαίτερο µαθηµατικό υπόβαθρο προκειµένου να επιτευχθεί από τον χειριστή ικανοποιητική απόδοση του συστήµατος. Για την πρακτική εφαρµογή του PID ελέγχου έχουν αναπτυχθεί: Μια σειρά από "εµπειρικές" µεθοδολογίες για τη ρύθµιση (unng) των παραµέτρων του PID (δηλ. των, και ), οι οποίες χρησιµοποιούνται κυρίως όταν δεν υπάρχει άµεσα διαθέσιµο κάποιο µαθηµατικό µοντέλο της υπό-έλεγχο διεργασίας. Παραλλαγές στη δοµή του PID ελεγκτή, προκειµένου να αντιµετωπιστούν διάφοροι περιορισµοί (π.χ. θόρυβος αισθητηρίων, µηιδανικοί επενεργητές κ.ο.κ.) που καθιστούν προβληµατική την απ' ευθείας εφαρµογή της θεωρητικά µελετώµενης µορφής του PID. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 4

11 Πρακτική Εφαρµογή PID Ελέγχου Εµπειρική Μεθοδολογία Ρύθµισης PID Ελεγκτή Παραδείγµατα εµπορικά διαθέσιµων ελεγκτών PID. Μία αρκετά διαδεδοµένη εµπειρική µεθοδολογία "χειροκίνητης" ρύθµισης των παραµέτρων του PID ελέγχου, που µπορεί να χρησιµοποιηθεί όταν υπάρχει ευχέρεια πειραµατισµών, είναι η ακόλουθη (µετά από κάθε µεταβολή των παραµέτρων του ελεγκτή πρέπει να ελέγχεται και να αξιολογείται κατάλληλα η βηµατική απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου):. Αρχικά, µε απενεργοποιηµένους τους Ι- και D- όρους, αυξάνεται σταδιακά ο P-όρος ελέγχου, µέχρι του σηµείου εµφάνισης % υπερύψωσης στην απόκριση του συστήµατος κλειστού βρόχου.!!. Στη συνέχεια, αυξάνεται σταδιακά ο Ι-όρος ελέγχου, προκειµένου να έχουµε µηδενισµό του σφάλµατος µόνιµης κατάστασης, µεταβάλλοντας παράλληλα τον P-όρο ώστε να µην αυξηθεί περαιτέρω η υπερύψωση. 3. Τέλος, αυξάνεται σταδιακά ο D-όρος ελέγχου, προκειµένου να επιταχυνθεί η µεταβατική απόκριση του συστήµατος, µεταβάλλοντας παράλληλα τον P-όρο ώστε να µην αυξηθεί περαιτέρω η υπερύψωση. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 4 Ρύθµιση Ελεγκτών PID µέσω των Μεθόδων Zegler-Nchol Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 4 Ρύθµιση PID Μέσω των Μεθόδων Zegler-Nchol Το 94, οι Zegler και Nchol, εργαζόµενοι στην εταιρεία Taylor Inrumen, ανέπτυξαν δύο γενικής χρήσης µεθόδους για την ρύθµιση (unng) των παραµέτρων των PID ελεγκτών. Σύστηµα κλειστού βρόχου µε έλεγχο PID: R() η Μέθοδος Ζ-Ν: Proce reacon meho Gc () Διεργασία C( ) η Μέθοδος Ζ-Ν: Suane ocllaon meho Οι µέθοδοι αυτοί (καθώς επίσης και µία σειρά από παραλλαγές τους) έχουν καθιερωθεί στη βιοµηχανία ως συνήθης πρακτική για τη ρύθµιση των PID ελεγκτών. Λαµβάνεται η παραγοντική µορφή του PID ελεγκτή, όπου: Βασίζονται στην βηµατική απόκριση της υπό έλεγχο διεργασίας και η εφαρµογή τους γίνεται συνήθως σε συνθήκες πραγµατικής λειτουργίας. Υιοθετούν συγκεκριµένες προσεγγιστικές παραδοχές για το µοντέλο της υπό έλεγχο διεργασίας, χωρίς όµως να απαιτούν γνώση των συγκεκριµένων παραµέτρων του µοντέλου. Όντας γενικής χρήσης, η απόδοση που επιτυγχάνεται µε τη χρήση τους σπάνια είναι και η βέλτιστη δυνατή. Αποτελούν όµως ένα ικανοποιητικό αρχικό σηµείο για την ρύθµιση των παραµέτρων του ελεγκτή. Εάν υπάρχει το µαθηµατικό µοντέλο της διεργασίας, οι µέθοδοι µπορούν να εφαρµοστούν σε αυτό για τη ρύθµιση του PID. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 43 Gc () + + T T Οι δύο µέθοδοι Z-N αποσκοπούν στην επιλογή των κατάλληλων τιµών για τις παραµέτρους, Τ και Τ του PID ελεγκτή, προκειµένου η µέγιστη υπερύψωση της εξόδου της διεργασίας για βηµατική είσοδο να µην υπερβαίνει το 5%. Στη πράξη, η µέγιστη υπερύψωση που παίρνουµε είναι %-6%. Σε κάθε περίπτωση, οι τιµές των παραµέτρων που προκύπτουν από την µέθοδο Z-N, µπορούν να ρυθµιστούν περαιτέρω για να βελτιωθεί ακόµα περισσότερο η απόκριση του συστήµατος. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 44

12 η Μέθοδος Zegler-Nchol Η πρώτη µέθοδος Z-N (roce reacon meho) εφαρµόζεται σε διεργασίες η βηµατική απόκριση των οποίων έχει τη µορφή καµπύλης σχήµατος-s, όπως φαίνεται παρακάτω: A u() y () η Μέθοδος Zegler-Nchol Σύµφωνα µε την η µέθοδο Ζ-Ν, η διεργασία προσεγγίζεται από ένα σύστηµα πρώτης τάξης µε χρονική καθυστέρηση, η συνάρτηση µεταφοράς του οποίου είναι: G () e K τ + : χρονική καθυστέρηση τ: σταθερά χρόνου Κ: σταθερά κέρδους Οι παράµ ετροι αυτοί εκτιµώνται από την απόκριση της διεργασίας για βηµατικής διέγερση u ( )A όπως φαίνεται στο σχήµα: Διεργασία y () y.63y y K A Σηµειώνεται ότι η βηµατική απόκριση ενός συστήµατος έχει τέτοια χαρακτηριστικά όταν το σύστηµα δεν περιλαµβάνει όρους ολοκλήρωσης (πόλους στο ), και όταν το σύστηµα δεν έχει (επικρατούντες) συζυγείς µιγαδικούς πόλους y () Eφαπτοµένη στο σηµείο καµπής της y(). Το σηµείο τοµής της µε τον άξονα του χρόνου αντιστοιχεί στη χρονική καθυστέρηση Η παραπάνω βηµατική απόκριση µπορεί να έχει προκύψει είτε από πειραµατικά δεδοµένα της διεργασίας, είτε από κάποιο διαθέσιµο µοντέλο αυτής (ενδεχοµένως αυξηµένης πολυπλοκότητας). τ Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 45 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 46 η Μέθοδος Zegler-Nchol (µοναδιαία) βηµατική είσοδος η Μέθοδος Zegler-Nchol Παρατηρούµε ότι, για την υλοποίησης PID ελέγχου, η συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή, όπως προκύπτει από την πρώτη µέθοδο Z-N, θα έχει τη µορφή: απόκριση διεργασίας προσεγγιστικό µοντέλο K G () e τ + P PI PID T T τ.9 τ.3. τ / απόκριση διεργασίας µε PID έλεγχο (Z-N ρύθµιση) Αφού εκτιµηθούν οι τιµές των K, L και T από τη βηµατική απόκριση (ανοιχτού βρόχου) της διεργασίας, οι τιµές των συντελεστών για τις παραµέτρους, Τ και Τ του PID ελεγκτή υπολογίζονται από τον παρακάτω πίνακα: GC() + + T T Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 47 P PI PID T T τ.9 τ.3. τ / GC() + + T T τ τ απόκριση διεργασίας (χωρίς έλεγχο κλειστού βρόχου) Δηλαδή, ο PID ελεγκτής που προκύπτει από την µέθοδο Z-N έχει έναν πόλο στο και ένα διπλό µηδενικό στο -/ Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 48

13 η Μέθοδος Zegler-Nchol Εφαρµόζεται σε διεργασίες οι οποίες είναι ευσταθείς σε λειτουργία ανοιχτού βρόχου, και µπορούν να οδηγηθούν σε αστάθεια, µέσω αύξησης της ενίσχυσης σε λειτουργία κλειστού βρόχου. R () C () Διεργασία Παρατήρηση: Εποµένως, προκειµένου να µπορεί να εφαρµοστεί η η µέθοδος Z-N θα πρέπει η διεργασία να έχει n-m 3 (n: πλήθος των πόλων του συστήµατος, m: πλήθος των µηδενικών του συστήµατος). η Μέθοδος Zegler-Nchol R () C () Διεργασία Η διαδικασία πρακτικής εφαρµογής της µεθόδου είναι η εξής:. Με απενεργοποιηµένα τα Ι και D, εφαρµόζεται ο αναλογικός µόνο όρος P του ελεγκτή στην διεργασία, ξεκινώντας από µία µικρή τιµή του.. Παρατηρώντας την έξοδο του συστήµατος, αυξάνουµε σταδιακά την τιµή του, µέχρι του σηµείου όπου η έξοδος της διεργασίας παρουσιάζει σταθερές ταλαντώσεις (uane ocllaon), βρίσκεται δηλ. στο όριο της αστάθειας. 3. Καταγράφουµε την κρίσιµη αυτή τιµή K cr για το, και µετράµε την περίοδο P cr των ταλαντώσεων στην έξοδο της διεργασίας. 4. Στη συνέχεια, οι τιµές των παραµέτρων για τους αντίστοιχους ελεγκτές υπολογίζονται µε βάση ένα πίνακα (βλ. συνέχεια), συναρτήσει των K cr και P cr. K G () τ + K G () K G () ( τ + ) ( τ + )( τ + )( τ 3 + ) Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 49 Σηµείωση: Σε περίπτωση που το µοντέλο της υπό έλεγχο διεργασίας είναι διαθέσιµο, οι τιµές των K cr και P cr µπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά, αξιοποιώντας, για παράδειγµα, εργαλεία όπως το διάγραµµα του γεωµετρικού τόπου ριζών του συστήµατος. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 5 η Μέθοδος Zegler-Nchol c () P cr Στη συνέχεια, οι τιµές των παραµέτρων για τους αντίστοιχους ελεγκτές υπολογίζονται µε βάση τον παραπάνω πίνακα, συναρτήσει των K cr και P cr. Παρατηρούµε ότι, επιλέγοντας PID έλεγχο, η συνάρτηση µεταφοράς του ελεγκτή θα είναι: GC ( ) + + T.6Kcr + +.5P cr T Pcr P PI PID T T.5 Kcr.45 Kcr Pcr..6 K P / cr cr P cr /8 4 + Pcr GC ( ).75 KcrP cr Δηλαδή, ο ελεγκτής PID που προκύπτει από αυτή τη διαδικασία, έχει έναν πόλο στο και ένα διπλό µηδενικό στο -4/P cr η Μέθοδος Zegler-Nchol - Παρατηρήσεις Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι σε περιπτώσεις που δεν υπάρχει κάποιο µαθηµατικό µοντέλο της διεργασίας, η εξαγωγή των K cr και P cr πρέπει να γίνει µέσω πειραµάτων κατά τη διάρκεια λειτουργίας του συστήµατος. Σε αυτήν τη περίπτωση, η µέθοδος ενδέχεται να απαιτεί αρκετό χρόνο, ειδικά αν η δυναµική του συστήµατος είναι αργή και αν απαιτούνται αρκετές επαναληπτικές δοκιµές για τον τελικό καθορισµό των παραµέτρων. Εάν η υπό έλεγχο διεργασία αποτελεί, π.χ., τµήµα κάποιας βιοµηχανικής γραµµής, η µεγάλη διάρκεια των πειραµατικών ελέγχων µπορεί να οδηγήσει σε µειωµένη παραγωγή ή σε χαµηλή ποιότητα προϊόντος. Επιπρόσθετα, σε πολλές εφαρµογές, δεν είναι επιτρεπτή η ταλάντωση που παρατηρείται στην περίπτωση της οριακής ευστάθειας, επειδή η διεργασία ωθείται στα όρια της ευσταθούς συµπεριφοράς και αν παρουσιαστούν εξωτερικές διαταραχές ή αλλαγές στην διεργασία κατά την διάρκεια του ελέγχου, είναι πιθανό να προκύψει ασταθής ή και επικίνδυνη λειτουργία (π.χ. να βγει εκτός ελέγχου µια χηµική διεργασία). Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 5 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 5

14 Κορεσµός Στοιχείων Ρύθµισης Ένα από τα συνηθέστερα προβλήµατα πρακτικής εφαρµογής του PID (ή PI) ελέγχου, αφορά στη χρήση στοιχείων ρύθµισης της υπό έλεγχο διεργασίας, οι οποίοι παρουσιάζουν κορεσµό (auraon) στην έξοδό τους (π.χ. τελείως ανοιχτή ή τελείως κλειστή βαλβίδα παροχής, µέγιστο ρεύµα εξόδου ενισχυτικής βαθµίδας,...). Συχνά τέτοιοι περιορισµοί εµφανίζονται και από την ευρύτερη δοµή του υπό έλεγχο συστήµατος (για παράδειγµα, τα πτερύγια ελέγχου σε ένα αεροσκάφος συνήθως παρουσιάζουν περιορισµένο εύρος κίνησης, π.χ. ±3 ) Παράδειγµα Επίδραση Κορεσµένης Λειτουργίας Στοιχείου Ρύθµισης όρια κορεσµού: ± Στην περίπτωση αυτή, ο κορεσµός της εξόδου του στοιχείου ρύθµισης οδηγεί σε αύξηση της εξόδου του I-όρου του ελεγκτή (και κατά συνέπεια του σήµατος ελέγχου), στην οποία όµως το στοιχείο ρύθµισης αδυνατεί να ανταποκριθεί. Το φαινόµενο, γνωστό ως ολοκληρωτικός κορεσµός (negraor wnu), υποβαθµίζει την απόδοση του συστήµατος ελέγχου (µειωµένη ταχύτητα απόκρισης, αυξηµένες ταλαντώσεις) και ενδέχεται να δηµιουργήσει προβλήµατα ευστάθειας. σήµα ελέγχου ιδανική περίπτωση (χωρίς κορεσµό) παρουσία κορεσµού έξοδος συστήµατος y () ο κορεσµός του σήµατος ελέγχου περιορίζει την ταχύτητα απόκρισης και αυξάνει την υπερύψωση Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 53 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 54 Παράδειγµα Επίδραση Κορεσµένης Λειτουργίας Στοιχείου Ρύθµισης Παράδειγµα Επίδραση Κορεσµένης Λειτουργίας Στοιχείου Ρύθµισης χωρίς κορεσµό όρια κορεσµού: ± ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΓΙΑ ΙΔΑΝΙΚΟ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΡΥΘΜΙΣΗΣ (ΧΩΡΙΣ ΚΟΡΕΣΜΟ) Ολοκληρωτικός κορεσµός: Για όσο χρόνο η έξοδος u() παραµένει κορεσµένη, ο όρος ολοκλήρωσης u () (άρα και η έξοδος u () του ελεγκτή) αυξάνεται, συσσωρεύοντας το σφάλµα e(). Έτσι, παρότι µετά τη χρονική στιγµή το σφάλµα έχει µειωθεί επαρκώς, η έξοδος u () βρίσκεται στη ζώνη κορεσµού, και καθυστερεί να επανέλθει στην περιοχή γραµµικής λειτουργίας (αυτό συµβαίνει τελικά για ec) Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 55 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 56

15 Τεχνικές An-Wnu Για την αντιµετώπιση του φαινοµένου, έχουν αναπτυχθεί µία σειρά από an-wnu τεχνικές, οι οποίες βασίζονται στην απενεργοποίηση του I-όρου όταν παρουσιαστεί κορεσµός στο στοιχείο ρύθµισης. Ένα παράδειγµα τεχνικής an-wnu φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, όπου: ο κορεσµός στο σήµα ελέγχου ανιχνεύεται συγκρίνοντας την επιθυµητή µε την πραγµατική έξοδο του στοιχείου ρύθµισης (η µέθοδος απαιτεί την ύπαρξη κατάλληλου αισθητηρίου µέτρησης της εξόδου του στοιχείου ρύθµισης) το σήµα a() χρησιµοποιείται στη συνέχεια για να απενεργοποιήσει τη λειτουργία του I-όρου στον ελεγκτή PI, όταν υπάρχει κορεσµός (δηλ. όταν a() ) στοιχείο ρύθµισης Παράδειγµα Εφαρµογή Τεχνικής An-Wnu όρια κορεσµού: ± u () y () r () e () T u () G () y () e () εάν a () εάν a () T a () η στρατηγική του an-wnu περιορίζει σηµαντικά τα προβλήµατα του ολοκληρωτικού κορεσµού, καθώς δεν παρουσιάζεται υπερύψωση και µειωνεται ο χρόνος αποκατάστασης Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 57 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 58 Υλοποίηση Ελεγκτών PID µε Αναλογικά Ηλεκτρονικά Οι τελεστικοί ενισχυτές θεωρούνται ιδανικοί Z () Z () R Z 3 () R R 3 Z 4 () R 4 P-ελεγκτής Υλοποίηση Ελεγκτών PID µε Αναλογικά Ηλεκτρονικά Οι τελεστικοί ενισχυτές θεωρούνται ιδανικοί Z () Z () R Z 3 () C R 3 PD-ελεγκτής Z 4 () R 4 V n () V () V o R V n () V () V o Η τάση εισόδου αντιπροσωπεύει το σήµα σφάλµατος του συστήµατος V () Z() V () Z () n Vou() Z4() V () Z() 3 Vou() Z () Z () R R RR Vn() Z() Z() R R RR Η τάση εξόδου αντιπροσωπεύει το σήµα ελέγχου του συστήµατος Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 59 R Z () R // Z () R Z () R Z () R C RC + Vou() Z() Z4() R( RC + ) R 4 RR 4 RRC 4 + Vn() Z() Z3() R R3 RR 3 R3 Παρατήρηση: Όπως συµβαίνει γενικά µε τη σχεδίαση ενεργών φίλτρων, η πρακτική υλοποίηση της συνάρτησης µεταφοράς του ελεγκτή γίνεται µε αντιστάσεις και πυκνωτές, ενώ αποφεύγεται η χρήση πηνίων. Αυτό συµβαίνει επειδή, για χαµηλές συχνότητες λειτουργίας των φίλτρων, τα πηνία είναι αρκετά ογκώδη (και βαριά) και αποκλίνουν σηµαντικά από την ιδανική συµπεριφορά. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 6

16 Υλοποίηση Ελεγκτών PID µε Αναλογικά Ηλεκτρονικά Υλοποίηση Ελεγκτών PID µε Αναλογικά Ηλεκτρονικά Οι τελεστικοί ενισχυτές θεωρούνται ιδανικοί Z () Z () R C Z 3 () Z 4 () R 4 PI-ελεγκτής Οι τελεστικοί ενισχυτές θεωρούνται ιδανικοί Z () C R Z () C Z 3 () PID-ελεγκτής Z 4 () R 4 R R 3 R 3 R V n () V () V o V n () V () V o Z () R Z () R + RC+ Z () R Z () R C C Vou() Z() Z4() RR 4 RC + RR 4 R4 + Vn() Z() Z3() RR 3 RC RR 3 RRC 3 Z () R // R Z () R + RC+ Z () R Z () R C RC + C C Vou() Z () Z () R RC + RC+ Vn() Z() Z3() R3 C R 4 4 ( RC+ )( RC + ) R ( RC + RC ) + + RR RC RRC RRC R RR 4 4 R4 RRC Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 6 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 6 Παραλλαγές Ελεγκτών PID: Eπίδραση του D - Όρου Η χρήση του όρου διαφόρισης στους ελεγκτές D, PD και PID δηµιουργεί αρκετά συχνά προβλήµατα, ειδικά σε συστήµατα που υπόκεινται σε απότοµες µεταβολές του σήµατος αναφοράς, σε διαταραχές και σε θόρυβο. R () E () U () Y () G () T B () T D () GC() + + T T διαταραχές N () θόρυβος µέτρησης Αυτό συµβαίνει διότι ό όρος διαφόρισης του E() λαµβάνει πολύ µεγάλες τιµές στιγµιαία. Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 63 Παραλλαγές Ελεγκτών PID: Ελεγκτής PI-D Αντιµετώπιση της Ενίσχυσης Θορύβου: Ο D-όρος προκαλεί ανεπιθύµητη ενίσχυση τυχόν υψίσυχνου θορύβου ο οποίος υπεισέρχεται στη µέτρηση της εξόδου της διεργασίας. Για το λόγο αυτό, στη πράξη χρησιµοποιείται µία φιλτραρισµένη εκδοχή του όρου διαφόρισης, η οποία περιορίζει (αλλά δεν εξαλείφει πλήρως) το πρόβληµα και η οποία υλοποιείται ως: T όπου συνήθως 5 N ( T/ N ) + Μπορεί να θεωρηθεί ότι το σήµα περνάει από ένα χαµηλοδιαβατό φίλτρο πριν την εφαρµογή του όρου διαφόρισης, µε συχνότητα αποκοπής ίση µε Ν/Τ ra/ec T ( T / N+ ) Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 64

17 Παράδειγµα Επίδραση Θορύβου Μέτρησης Παράδειγµα Επίδραση Θορύβου Μέτρησης r PID (χωρίς φίλτρο διαφόρισης) u r PIDF (PID µε φίλτρο διαφόρισης) u /.5.6 r() e() u() 5+ y() Se Inegraor /T K Proce y /.5.6 r() e() u() 5+ y() Se Inegraor /T K Proce y b Dervave.8 T Noe b.8.8/5+ Flere ervave Noe Σηµαντική παρουσία θορύβου στο σήµα ελέγχου Το φίλτρο περιορίζει δραστικά το θόρυβο στο σήµα ελέγχου Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 65 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 66 Παραλλαγές Ελεγκτών PID: Ελεγκτής PI-D Αντιµετώπιση του Dervave Kc: Για να περιοριστούν οι πολύ απότοµες µεταβολές του σήµατος ελέγχου u(), όταν το σήµα αναφοράς r() παρουσιάζει απότοµες (π.χ. βηµατικές) µεταβολές, συχνά ο D-όρος εφαρµόζεται στην µέτρηση της εξόδου της υπό έλεγχο διεργασίας (και όχι στο σφάλµα e()). Ο ελεγκτής αυτός ονοµάζεται PI-D (εάν απουσιάζει ο όρος ολοκλήρωσης, ο ελεγκτής καλείται P-D). D () Παράδειγµα Έλεγχος Διεργασίας ης Τάξης µε PI-D Έλεγχο /.5.6 r() e() u() 5+ y() Se Inegraor /T K Proce b r b() PI-DF (PI-D µε φίλτρο διαφόρισης).8.8/5+ Flere ervave u y Noe R () E () T T U () Y () G () εξαλείφεται το «καρφί» στο σήµα ελέγχου η έξοδος παραµένει πρακτικά η ίδια B () N () U () + R () + + T B () + E () T B () T T T Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 67 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 68

18 Παραλλαγές Ελεγκτών PID: Ελεγκτής I-PD Αντιµετώπιση του Proorοnal Kc: Οι απότοµες µεταβολές του σήµατος ελέγχου u(), όταν το σήµα αναφοράς r() παρουσιάζει βηµατικές µεταβολές, µπορούν να περιοριστούν περαιτέρω, εφαρµόζοντας τον αναλογικό P-όρο ελέγχου στην µέτρηση της εξόδου της υπό έλεγχο διεργασίας (και όχι στο σφάλµα e()) Παραλλαγές Ελεγκτών PID: Ελεγκτής I-PD Ο ελεγκτής αυτός ονοµάζεται I-PD D () I-PD R () E () T U () Y () G () B () T N () δραστική µείωση της µέγιστης τιµής και οµαλή µεταβολή του σήµατος ελέγχου µείωση της ταχύτητας απόκρισης του συστήµατος U () () () () ( ) R + + T B E + T B () T T T Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 69 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 7 Βιβλιογραφία Σηµειώσεις Π. Ν. Παρασκευόπουλος, "Εισαγωγή στον Αυτόµατο Έλεγχο Τόµος Α: Θεωρία", Αθήνα. [Κεφάλαιο 9] R.C. Dorf, R.H. Bho, "Σύγχρονα Συστήµατα Αυτόµατου Ελέγχου", 9 η έκδοση, Εκδόσεις Τζιόλα, 3. [Κεφάλαιο ] K. Ogaa, "Moern Conrol Engneerng", 3 η έκδοση, Εκδόσεις Prence-Hall. [Κεφάλαια 5,] Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 7 Μ. Σφακιωτάκης ΣΑΕ ΙΙ [7] - PID Έλεγχος 7