.3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι οι, +, + 4, + 6, + 8, +0 Η µέση τιµή τους είναι = + + + + 4+ + 6+ + 8+ + 0 6 90= 6+ 30 6= 60 = 0 Άρα οι αριθµοί είναι οι 0,, 4, 6, 8, 0 Επειδή το πλήθος των αριθµών είναι άρτιος αριθµός (6) και έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, διάµεσος αυτών είναι το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων. 4+ 6 ηλαδή δ = =
. Έχουµε ένα δείγµα ν = 0 παρατηρήσεων, όπου κάθε µία µπορεί να πάρει κάποια από τις τιµές ή ή 3. Είναι δυνατόν η µέση τιµή να είναι 4 γ),8 ; Αν όλες οι παρατηρήσεις είναι ίσες µε τότε η µέση τιµή τους θα είναι Όπως είναι φανερό η µέση τιµή των παρατηρήσεων είναι µεγαλύτερη ή ίση της µικρότερης παρατήρησης και µικρότερη ή ίση της µεγαλύτερης παρατήρησης. Άρα 4 δεν µπορεί να είναι. γ) Έστω ν, ν, ν 3 οι συχνότητες των τιµών,, 3 αντίστοιχα. Θα πρέπει ν +ν +ν3 3,8 = και ν + ν + ν 3 = 0 0 8 = ν + ν + 3ν 3 και ν = 0 ν ν 3 8 = 0 ν ν 3 +ν + 3ν 3 και ν + ν + ν 3 = 0 8 = ν + ν 3 και ν + ν + ν 3 = 0 Για ν περιττό, από την εξίσωση 8 = ν + ν 3 έχουµε άτοπο, αφού δίνει µη ακέραια τιµή για το ν 3. Για ν άρτιο, δίνουµε τιµές στο ν και βρίσκουµε τους ν 3, ν. ν = 0 τότε ν 3 = 4 και ν = 6. Οι παρατηρήσεις θα είναι,,,,,, 3, 3, 3, 3 ν = κ.λ.π. Σηµείωση. Με τον ίδιο τρόπο µπορούµε να αντιµετωπίσουµε και το 3. Ένας επενδυτής επένδυσε το ίδιο ποσό χρηµάτων σε 8 διαφορετικές µετοχές του χρηµατιστηρίου. Κατά τη διάρκεια του προηγούµενου έτους οι µετοχές είχαν τις παρακάτω εκατοστιαίες µεταβολές στην αξία τους :, 6, 0, 0, 7, 4, 0, 34. Να βρεθεί η µέση εκατοστιαία απόδοση της επένδυσης. Είναι φανερό ότι η µέση εκατοστιαία απόδοση της επένδυσης ισούται µε την µέση τιµή των παραπάνω µεταβολών. Οπότε = + 6 0+ 0+ 7+ 4 0+ 34 = 66 = 8,% 8 8
3 4. Το µέσο ύψος 9 καλαθοσφαιριστών µιας οµάδας είναι 0 cm Για να ψηλώσει την οµάδα ο προπονητής πήρε ακόµα έναν παίκτη µε ύψος 6 cm. Ποιο είναι το µέσο ύψος της οµάδας τώρα; Αν ήθελε να ψηλώσει την οµάδα στα 08 cm, πόσο ύψος έπρεπε να έχει ο καλαθοσφαιριστής που πήρε ; Αν,,..., 9 είναι τα ύψη των 9 καλαθοσφαιριστών τότε, από την + +... + 9 υπόθεση έχουµε 0 = (). 9 Μετά την πρόσληψη του νέου παίχτη η µέση τιµή του ύψους είναι + +... + 3 + 6 = () 0 Όµως από την σχέση () έχουµε + +... + 9 = 0 9 = 84 Οπότε η σχέση () γίνεται = 84+ 6 = 06, cm 0 Αν 0 είναι το ύψος του νέου παίκτη τότε πρέπει να ισχύει + +... + 9 + 0 84+ 08 = 0 08 = 0 0 84+ 0 = 080 0 = 080 84 0 = 3
4. Η µέση ηλικία 8 αγοριών και κοριτσιών είναι,4 έτη. Εάν η µέση ηλικία των αγοριών είναι,8 έτη, να βρείτε την µέση ηλικία των κοριτσιών. Έστω,,..., 8 οι ηλικίες των αγοριών και ψ, ψ,..., ψ οι ηλικίες των κοριτσιών. + +... + 8 +ψ +ψ +... +ψ Τότε,4 = 30,4. 30 = + +... + 8 + ψ + ψ +... + ψ 46 = + +... + 8 + +... + 8 και,8 = 8,8. 8 = + +... + 8 () 84,4 = + +... + 8 () () 46 = 84,4 + ψ + ψ +... + ψ + ψ + ψ +... + ψ () ψ + ψ +... + ψ = 46 84,4 = 77,6 ψ +ψ +... +ψ = 77,6 = 4,8. Άρα η µέση ηλικία των κοριτσιών είναι 4,8 έτη.
6. Σε µία κάλπη υπάρχουν άσπρες, µαύρες, κόκκινες και πράσινες µπάλες σε αναλογία 0%, 0%, 30% και 40% αντίστοιχα. Μία άσπρη µπάλα ζυγίζει 0 gr, µία µαύρη gr, µία κόκκινη gr και µία πράσινη 3 gr. Να βρείτε τη µέση τιµή, και τη διάµεσο του βάρους για όλες τις µπάλες, αν ξέρουµε ότι µέσα στην κάλπη υπάρχουν 0 µπάλες, 0 µπάλες, γ) δε γνωρίζουµε πόσες µπάλες υπάρχουν στην κάλπη Όταν στην κάλπη υπάρχουν συνολικά 0 µπάλες, τότε µε βάση τις δοσµένες αναλογίες θα υπάρχουν 0 0 00 = άσπρη, 0 0 00 = µαύρες 30 0 3 00 = κόκκινες, 40 0 4 00 = πράσινες Με βάση τα δοσµένα βάρη για κάθε µπάλα, η µέση τιµή του βάρους είναι 0 3 4 3 0 α = + + + = = gr 0 0 Οι παρατηρήσεις διατεταγµένες σε αύξουσα σειρά είναι οι 0,,,,,, 3, 3, 3, 3 Επειδή το πλήθος τους είναι άρτιος αριθµός, η διάµεσός τους δ α θα είναι ίση µε το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή της ης και της 6 ης. η η Άρα +6 δ = = + α = gr Όταν οι µπάλες είναι 0, τότε εργαζόµενοι όπως προηγουµένως βρίσκουµε ότι στην κάλπη υπάρχουν άσπρες, 4 µαύρες, 6 κόκκινες και 8 πράσινες µπάλες, οπότε η µέση τιµή του βάρους είναι 0 4 6 83 40 β = + + + = = gr. 0 0 Οι παρατηρήσεις είναι οι 0, 0,,,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 η διάµεσος δ είναι ίση µε το ηµιάθροισµα των 0 ης και ης παρατηρήσεων, β δηλαδή 0 η + η + δ β = = = gr γ) Αφού δεν ξέρουµε πόσες συνολικά µπάλες είναι στην κάλπη αλλά ξέρουµε τα ποσοστά τους δηλαδή της σχετικές συχνότητες του κάθε είδους, θα βρούµε την µέση τιµή από τον τύπο µε τα f. Οι σχετικές συχνότητες των µπαλών µε βάση τα δοσµένα ποσοστά είναι οι f α = 0,0, f µ = 0,0, f κ = 0,30, f π = 0,40 Άρα η µέση τιµή του βάρους είναι η γ = 0 0,0 + 0, + 0,3 + 3 0,4 = +, + 3,6 +, = gr ιατάσσοντας τις µπάλες σε αύξουσα σειρά βάρους µε βάση τα δοσµένα ποσοστά, παρατηρούµε ότι το 0% έχουν βάρος µικρότερο ή ίσο των gr και το άλλο 0% έχουν βάρος µεγαλύτερο ή ίσο των gr. Άρα η διάµεσος και σ αυτή την περίπτωση είναι δ = gr γ
6 7. Η επίδοση ενός µαθητή σε πέντε µαθήµατα είναι, 0, 6, 8, 4 Να βρείτε την µέση επίδοση Αν τα µαθήµατα είχαν συντελεστές στάθµισης, 3,, και 3, ποια θα ήταν η µέση επίδοση; Σε ποια µαθήµατα θα έπρεπε να δώσει ιδιαίτερη προσοχή ο µαθητής; Η µέση επίδοση είναι + 0 + 6 + 8 + = 4 = 70 = 4 Η µέση επίδοση σ αυτή την περίπτωση είναι ίση µε το σταθµικό µέσο των δοσµένων τιµών. Οπότε = + 30 + 6 + 8 + 34 = 30 = 3 + 3+ + + 3 0 Είναι φανερό ότι, για να µεγαλώσει ο σταθµικός µέσος, ο µαθητής θα πρέπει να προσέξει τα µαθήµατα που έχουν µεγάλο συντελεστή βαρύτητας, δηλαδή αυτά που έχουν συντελεστή βαρύτητας 3. 8. Μία εταιρεία απασχολεί υπαλλήλους στο τµήµα Α µε µέσο µηνιαίο µισθό 49 ευρώ, 6 υπαλλήλους στο τµήµα Β µε µέσο µηνιαίο µισθό 80 ευρώ και 4 υπαλλήλους στο τµήµα Γ µε µέσο µηνιαίο µισθό 360 ευρώ. Ποιος είναι ο µέσος µηνιαίος µισθός όλων των υπαλλήλων ; Έστω,,, οι µισθοί των υπαλλήλων του τµήµατος Α. Τότε + +... + 49 = + + + = 49 = 64 () Έστω ψ, ψ,, ψ 6 οι µισθοί των υπαλλήλων του τµήµατος Β. Τότε ψ +ψ +... +ψ6 80 = ψ + ψ + + ψ 6 = 80 6 = 7680 () 6 Έστω ζ, ζ, ζ 3, ζ 4 οι µισθοί των υπαλλήλων του τµήµατος Γ. Τότε ζ 360 = +ζ +ζ 3 +ζ 4 ζ + ζ + ζ 3 + ζ 4 = 360 4 = 440 (3) 4 Αν είναι η µέση τιµή του µισθού όλων των υπαλλήλων, τότε ( ),( ),( 3 ) + +... + + ψ +ψ +... + ψ 6 + ζ +ζ +ζ 3 +ζ4 = = 64 + 7680 + 440 = 936 = 9 Άρα ο µέσος µηνιαίος µισθός όλων των υπαλλήλων είναι 9ευρώ.
7 9. Η µέση τιµή και η διάµεσος πέντε αριθµών είναι 6. Οι τρεις από τους αριθµούς είναι οι, 8, 9. Να βρείτε τους άλλους δύο. Αφού το πλήθος των αριθµών είναι περιττό, η διάµεσος 6 θα είναι o µεσαίος. Οπότε ένας από τους αριθµούς που αναζητάµε είναι ο 6. Αν τώρα είναι ο άλλος αριθµός τότε 6 = +8+9+6+ 30 = 8 + = 0. Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι τιµές µιας µεταβλητής Χ µε τις αντίστοιχες συχνότητές τους. Η πέµπτη συχνότητα χάθηκε! Μπορείτε να την ανακαλύψετε εάν γνωρίζετε ότι Η µέση τιµή είναι 4,4 Η διάµεσος είναι το 4,.+ 3.3+.4+. +ν.6+.7 Θα είναι 4,4 = + 3+ + +ν + 4, 4= + 9+ 4+ 0+ 6ν + 7 8+ν ν 3 3 4 6 7 4,4(8 + ν ) = 3 + 6ν 3,+ 4, 4ν = 3+ 6ν 3,,6ν = 3, ν = =,6 Αφού η διάµεσος είναι 4, και δεν ισούται µε κάποια παρατήρηση, το πλήθος των παρατηρήσεων θα πρέπει να είναι άρτιος αριθµός. Οι τιµές σε αύξουσα σειρά είναι, 3, 3, 3, 4,,, 6,, 7 4+ Παρατηρούµε ότι 4, =, άρα οι δύο µεσαίες παρατηρήσεις πρέπει να είναι το 4 και το πρώτο. Συνεπώς όσες τιµές είναι αριστερά του 4 τόσες θα πρέπει να είναι και δεξιά από το πρώτο. Αριστερά από το 4 είναι 4 τιµές συνεπώς και δεξιά από το πρώτο θα πρέπει επίσης να είναι 4 τιµές. Για να συµβαίνει αυτό θα πρέπει το πλήθος των 6 να είναι άρα ν =.
8. Για την κατανοµή του βαθµού των Μαθηµατικών Απόσπασµα του πίνακα 4 της Β τάξης των 40 µαθητών και µαθητριών της Γ Λυκείου του πίνακα 4 της σελίδας 64, να βρείτε : τη µέση τιµή τη διάµεσο Για να βρούµε την µέση τιµή συµπληρώνουµε τον παραπάνω πίνακα µε την στήλη των ν. ν = = ν = 68 =,4 40 Βαθµός Συχν ν 0 4 3 4 8 6 6 7 4 8 3 9 0 Βαθµος Συχνοτ ν ν 0 0 4 48 3 6 4 70 8 0 6 6 96 7 4 68 8 3 4 9 9 0 0 Σύνολο 40 68 Αφού το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 40 (άρτιος), η διάµεσος θα ισούται µε το ηµιάθροισµα των 0 ης και ης παρατηρήσεων. Από τον πίνακα συχνοτήτων διαπιστώνουµε ότι η 0 η και η η παρατηρήσεις έχουν τιµή ίση µε άρα δ + = =
9. επισκέψεις Συχνότητα [0, ) 8-4 4-6 0 6-8 6 8-0 4 Ο διπλανός πίνακας δίνει τον αριθµό των επι σκέψεων 40 µαθητών σε διάφορα µουσεία της χώρας κατά την διάρκεια ενός έτους. Να βρείτε τη µέση τιµή τη διάµεσο Συµπληρώνουµε τον πίνακα µε τη στήλη της κεντρικής τιµής, του γινοµένου ν, της f % και της F %. Επισκέψεις Συχν Κεντρική ν f % F % [, ) ν Τιµή 0 8 8 0 0 4 3 36 30 0 4 6 0 0 7 6 8 6 7 4 90 8 0 4 9 36 0 00 Σύνολο 40 ------ 7 00 ------- = ν = 7 = 4,3 ν = 40 Κατασκευάζουµε το πολύγωνο των F% και βλέπουµε ότι η τιµή που αντιστοιχεί στο 0% των παρατηρήσεων είναι ίση µε 4, άρα δ = 4. F % 00 80 60 0 40 0 0 4 6 8 0
0 3. Το µέσο ύψος των 30 µαθητών και µαθητριών µιας τάξης είναι 70 cm. Ποιο θα είναι το µέσο ύψος της τάξης : αν φύγει ένας µαθητής µε ύψος 80 cm αν έρθει µία νέα µαθήτρια µε ύψος 70 cm γ) αν φύγει ένας µαθητής µε ύψος 80 cm και έρθει µία µαθήτρια µε ύψος 70 ; Αν,,, 30 είναι τα ύψη των παιδιών της τάξης, θα έχουµε + +... + 30 70 = + + + 30 = 70 30 = 00 () 30 Μετά την αποχώρηση του µαθητή το συνολικό ύψος θα µειωθεί κατά 80 και το πλήθος των παιδιών της τάξης θα είναι 9, άρα ( ) + +,,, + 30 80 = = 00 80 = 69,66 cm περίπου 9 9 Όταν έρθει στην τάξη µία νέα µαθήτρια µε ύψος 70, το συνολικό ύψος θα αυξηθεί κατά 70 και το πλήθος των παιδιών της τάξης θα είναι 3, οπότε + +... + 30+ 70 00+ 70 = = = 70 cm 3 3 γ) Τέλος όταν φύγει ένας µαθητής µε ύψος 80 και έρθει µία µαθήτρια µε ύψος 70, το συνολικό ύψος θα ελαττωθεί κατά 0 ενώ το πλήθος των παιδιών της τάξης θα είναι πάλι 30, άρα + +... + 30 0 00 0 = = = 69,67 cm περίπου 30 30 4. Καθεµία από τις παρακάτω λίστες δεδοµένων έχει µέση τιµή 0. Σε ποια λίστα υπάρχει () µεγαλύτερη () µικρότερη διασπορά παρατηρήσεων; (Να µη γίνουν οι πράξεις) 0, 0, 40, 0, 60, 80, 00 0, 48, 49, 0,,, 00 0,,, 0, 98, 99, 00 Μπορεί να χρησιµοποιηθεί για σύγκριση των δεδοµένων αυτών το εύρος ; Στη δεύτερη λίστα δεδοµένων οι αποκλίσεις των τιµών από την µέση τιµή είναι η ποιο µικρές, άρα η δεύτερη λίστα θα παρουσιάζει την ποιο µικρή διασπορά. Ενώ η τρίτη λίστα θα παρουσιάζει την ποιο µεγάλη, αφού οι αποκλίσεις των τιµών από την µέση τιµή είναι οι ποιο µεγάλες. Όχι γιατί όλες οι λίστες έχουν το ίδιο εύρος.
. Η βαθµολογία δέκα µαθητών σε ένα διαγώνισµα ήταν 7,, 0, 3,, 3,,, 4, 4. Να υπολογίσετε Τη µέση τιµή και τη διάµεσο. Το εύρος την τυπική απόκλιση και τον συντελεστή µεταβολής Οι τιµές της βαθµολογίας σε αύξουσα σειρά είναι 3, 4, 7, 0,,,, 3 4, Η µέση τιµή είναι 3+ 4+ 7+ 0+ + + 3+ 4+ 00 = = = 0. 0 0 Αφού το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιος αριθµός, η διάµεσος θα ισούται µε το ηµιάθροισµα των δύο µεσαίων παρατηρήσεων, δηλαδή δ = + = (3 0) + (4 0) +... + ( 0) Η διακύµανση είναι ίση µε S = 0 = 49 + 36 +... + = 0 = 0 0 οπότε η τυπική απόκλιση S είναι S = = 3,87 περίπου 3,87 και ο συντελεστής µεταβολής cv = S = = 0,387= 38,7% 0
6. Να υπολογιστεί η τυπική απόκλιση των δεδοµένων της άσκησης. επισκέψεις συχνότητα [ 0, ) 8 [, 4) [4, 6) 0 [6, 8) 6 [8, 0) 4 σύνολο 40 Συµπληρώσαµε τον πίνακα. Επισκέ- Συχνότ. Κεντρ. ν ν ψεις ν τιµή [0, ) 8 8 8 [, 4) 3 36 08 [4, 6) 0 0 0 [6, 8) 6 7 4 94 [8, 0) 4 9 36 34 Σύνολο 40 -------- 7 984 Οπότε S ν = = ν ν = ν = 40 { 984 984 40 } = 40 984 7 40 = 44, 4 = 6, S = 6, =, 47 40
3 7. Ο µέσος χρόνος που χρειάζονται οι µαθητές ενός σχολείου να πάνε το πρωί από το σπίτι τους στο σχολείο είναι 0 λεπτά µε τυπική απόκλιση λεπτά. Υποθέτοντας ότι έχουµε περίπου κανονική κατανοµή, να βρείτε κατά προσέγγιση το ποσοστό των µαθητών που χρειάζονται: κάτω από 8 λεπτά γ) το πολύ 0 λεπτά πάνω από 4 λεπτά δ) από 6 έως λεπτά για να πάνε στο σχολείο τους Η κατανοµή του προβλήµατος έχει µέση τιµή 0 και τυπική απόκλιση άρα η καµπύλη της κανονικής κατανοµής και τα γνωστά ποσοστά για το πρόβληµα αυτό είναι 4 6 8 0 4 6 Κάτω από 8 λεπτά χρειάζονται το 0 34 = 6% Πάνω από 4 λεπτά χρειάζονται το,3 + 0, =,% γ) Το πολύ 0 λεπτά χρειάζονται το 0% δ) Από 6 έως λεπτά χρειάζονται το 3, + 34 + 34 = 8,%
4 8. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή και τη διάµεσο για τα παρακάτω δείγµατα δεδοµένων, και να σχολιάσετε τα αποτελέσµατα. 6 4 γ) 6 δ) 4 = + + 6 3 = 3 και δ = Αν είναι οι τιµές του πρώτου δείγµατος και ψ οι τιµές του δεύτερου, τότε παρατηρούµε ότι ψ =. Άρα, από γνωστή εφαρµογή, έχουµε ότι ψ = = 3 = 6 και δ = = 4 γ) Αν ζ είναι οι τιµές του τρίτου δείγµατος παρατηρούµε ότι αυτές προκύπτουν από τις τιµές του πρώτου δείγµατος αν προσθέσουµε σ αυτές το 0, δηλαδή ζ = + 0. Άρα πάλι από τη γνωστή εφαρµογή έχουµε ζ = + 0 = 3+ 0 = 3 και δ = + 0 = δ) Αν ω είναι οι τιµές του τέταρτου δείγµατος παρατηρούµε ότι οι τιµές προκύπτουν από τις τιµές του πρώτου δείγµατος πολλαπλασιάζοντας µε το και προσθέτοντας 0 δηλαδή ω = + 0, άρα ω = + 0 = 3+ 0 = 6 και δ = + 0 = 4
9. Να υπολογίσετε την διακύµανση και την τυπική απόκλιση για κάθε µία από τις παρακάτω λίστες δεδοµένων. Συγκρίνοντας τα δεδοµένα και τα αποτελέσµατα τι συµπέρασµα βγάζετε;, 3, 4,, 7 3, 9,,, γ) 6, 8, 9, 0, δ), 3, 4,, 7 α = + 3 + 4 + + 7 = 0 = 4, οπότε ( 4) + (3 4) + (4 4) + ( 4) + (7 4) S α = άρα Sα = 4 = 3 9 60 β = + + + + = =, οπότε (3 ) (9 ) ( ) ( ) ( ) Sβ = + + + + άρα Sβ = 36 = 6 = 9 + + 0 + + 9 = 4 = 8+ 9+ 0+ 9+ 8 = 36 γ) 6+ 8+ 9+ 0+ 4 γ = = = 9, οπότε (6 9) + (8 9) + (9 9) + (0 9) + ( 9) S γ = = 9 + + 0 + + 9 άρα Sγ = 4= = 4 δ) 3 4 7 δ = = 4, οπότε ( 4) ( 3 4) ( 4 4) ( 4) ( 7 4) Sδ = + + + + + + + + + = 9 + + 0 + + 9 = 4 άρα S δ = 4= Αν α είναι οι τιµές του πρώτου δείγµατος, β οι τιµές του δεύτερου, γ οι τιµές του τρίτου και δ οι τιµές του τέταρτου, τότε παρατηρούµε ότι β = 3 α οπότε, από γνωστή εφαρµογή, S β = 3S α = 3 = 6 γ = α + οπότε S γ = S α = δ = α οπότε S δ = S α = S α =
6 0. Οι µαθητές του Γ τµήµατος ξόδεψαν ετησίως κατά µέσο όρο 6 ευρώ αγοράζοντας διάφορα τρόφιµα από το κυλικείο του σχολείου τους. Εάν ο συντελεστής µεταβολής είναι 7,%, να βρείτε την τυπική απόκλιση. Εάν επί πλέον γνωρίζουµε ότι = 746700, πόσοι είναι οι µαθητές του Γ ; Από τα δεδοµένα έχουµε ότι = 6 και CV = 7,%. Αποσοστοποιώντας τον CV έχουµε ότι CV = 0,7 Άρα S = S 0, 7 = 0, 7 S= 6 0,7 S = 70 ευρώ. 6 Γνωρίζουµε ότι S k k = = ν = ν = { } ν Σ ν 70 = ν (746700 ν 6 ) ν 70 = 746700 ν 6 ν 70 + ν 6 = 746700 ν ( 70 + ν = 6 ) = 746700 746700 70 + 6 ν = 8
7 Β ΟΜΑ ΑΣ. Η βαθµολογία 0 µαθητών στην ιστορία κυµαίνεται από 0 µέχρι 0 (κανένας δεν είναι κάτω από τη βάση). Γνωρίζουµε επίσης ότι µαθητές έχουν βαθµό κάτω από, δεκαπέντε κάτω από 4, πέντε µεγαλύτερο ή ίσο του 8 και δεκαπέντε µεγαλύτερο ή ίσο του 6. Να παρασταθούν τα δεδοµένα µ έναν πίνακα συχνοτήτων. Να υπολογίσετε : ) τη µέση τιµή, ) την διάµεσο. γ) Αν στο % των µαθητών µε την καλύτερη επίδοση δοθεί έπαινος, πόσο βαθµό πρέπει να έχει κάποιος µαθητής για να πάρει έπαινο ; Είναι προφανές ότι, αφού δεν ξέρουµε τις συχνότητες των βαθµών θα πρέπει να κάνουµε οµαδοποίηση των δεδοµένων. Το εύρος της κατανοµής είναι R = 0 0 =0 και οι κλάσεις προφανώς. Άρα το πλάτος κάθε κλάσης είναι c = R κ = 0 = Η συχνότητα της κλάσης [0, ) είναι. Αφού µαθητές έχουν βαθµό κάτω από 4 και οι από αυτούς βρίσκονται στην κλάση [0, ), οι υπόλοιποι 0 θα βρίσκονται στην κλάση [, 4). Οπότε η συχνότητα της κλάσης [, 4) θα είναι 0. Η συχνότητα της κλάσης [8, 0) είναι, και βαθµό µεγαλύτερο ή ίσο του 6 έχουν µαθητές, άρα οι 0 από αυτούς θα βρίσκονται στην κλάση [6, 8). Οπότε η συχνότητα της κλάσης [6, 8) θα είναι 0. Το σύνολο των µαθητών είναι 0 και µε βάση τα προηγούµενα έχουν κατανεµηθεί 30 µαθητές, οπότε οι υπόλοιποι 0 θα βρίσκονται στην κλάση [4, 6) Άρα η συχνότητα της κλάσης [4, 6) θα είναι 0. Εποµένως ο πίνακας συχνοτήτων, συµπληρωµένος και µε τις στήλες ν και f %, F % είναι Κλάσεις [, ) Κεντ. Τιµή Συχνότ. ν ν Σχετ. συχν f % Αθρ. Σχετ. συχν F % [0, ) 0 0 [, 4) 3 0 30 0 30 [4, 6) 0 300 40 70 [6, 8) 7 0 70 0 90 [ 8, 0) 9 9 0 00 Σύνολο -------- 0 70 00 --------- 70 =. ν = 0
8 Για να βρούµε την διάµεσο θα σχεδιάσουµε το πολύγωνο που αντιστοιχεί στο ιστόγραµµα των F%. F% 00 80 60 0 40 0 0 0 4 6 8 0 βαθµός Από το πολύγωνο βλέπουµε ότι ο βαθµός που αντιστοιχεί στο 0% των παρατηρήσεων είναι το, άρα δ =. γ) Επειδή η σχετική συχνότητα της τελευταίας κλάσης είναι 0% και θα πάρει έπαινο µόνο το %, αυτό σηµαίνει ότι θα πάρουν έπαινο οι µισοί από τους µαθητές της τελευταίας κλάσης και λόγω του ότι οι µαθητές είναι ισοκατανεµηµένοι σε κάθε κλάση οι µισοί µαθητές της τελευταίας κλάσης θα έχουν βαθµό από 9 και πάνω άρα θα πάρουν έπαινο όσοι µαθητές έχουν βαθµό πάνω από 9.
9. Η µέση τιµή και η διακύµανση των τιµών ενός δείγµατος είναι = 4 και S =0. Εάν για τις τέσσερις τιµές ισχύει 4 ( ) 4 =, να βρεθεί η πέµπτη τιµή. = Αν,, 3, 4, είναι οι τιµές, τότε + + 3 + 4 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S = (). 4 Όµως από την υπόθεση έχουµε ( ) = 4. = Αυτό σηµαίνει ότι ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 4 () 4+ ( ) S = 4+ ( 4) 0 = 0 = 4+ 8 + 6 3 4 8 0= 0 Λύνοντας την εξίσωση αυτή βρίσκουµε ότι = ή = 0
0 3. Ένας µαθητής αγόρασε 0 βιβλία που κόστιζαν χωρίς ΦΠΑ, 9, 6, 8,, 6, 8, 7, 9, ευρώ αντίστοιχα. Ποια είναι η µέση και η διάµεση αξία (τιµή) των βιβλίων; Πως µεταβάλλονται οι απαντήσεις του ερωτήµατος (, αν προσθέσουµε και το ΦΠΑ που είναι 8% ; γ) Αν ο µαθητής πληρώσει επί πλέον 0,3 ευρώ ( χωρίς ΦΠΑ) για το ντύσιµο κάθε βιβλίου, πως διαµορφώνονται τώρα οι απαντήσεις στο ερώτηµα ( ; Τοποθετώντας σε αύξουσα σειρά τις τιµές των βιβλίων έχουµε 6, 6, 9, 9, 9,,, 8,, 7 Επειδή το πλήθος των παρατηρήσεων είναι 0, η διάµεσος δ είναι ίση µε το ηµιάθροισµα των ης και 6 ης των παρατηρήσεων. Άρα δ = 9+ = 0, ευρώ. Μέση τιµή : = 6+ 6+ 9+ 9+ 9+ + + 8+ + 7 = 3 = 3, ευρώ. 0 0 Μετά την πρόσθεση σε κάθε τιµή του ΦΠΑ που είναι 8%, η νέα τιµή ψ θα είναι ψ = + 8 ψ = +0,8 ψ =,8. 00 Οπότε, από γνωστή εφαρµογή, θα είναι ψ =,8 ψ =,8 3, ψ =,76 ψ +ψ 6,8 +,86 9,8+,8 ιάµεσος δ = = = =,39 ευρώ γ) Μετά την πληρωµή και των 0,3 ευρώ για το ντύσιµο του κάθε βιβλίου, αν ζ είναι οι νέες τιµές, θα έχουµε ζ = ψ + 0,3 οπότε ζ = ψ + 0,3 ζ =,76 + 0,3 =,876 ιάµεσος δ = δ + 0,3 =,39 + 0,3 =,69 ευρώ
4. Να δείξετε ότι, εάν από όλες τις τιµές 0,, 4, 6, 8, 0 και ενός δείγµατος, αφαιρέσουµε την µέση τιµή τους και διαιρέσουµε µε την τυπική τους απόκλιση τότε οι τιµές που θα προκύψουν θα έχουν µέση τιµή 0 και διασπορά. Είναι = 0+ + 4+ 6+ 8+ 0+ = 6 7 (0 6) + ( 6) + (4 6) +... + ( 6) και S = 7 = 36+ 6+ 4 +... + 36 = 6 7 Άρα η τυπική απόκλιση είναι S = 4. Αν τώρα από κάθε τιµή αφαιρέσουµε την µέση τιµή και διαιρέσουµε µε την τυπική απόκλιση οι νέες τιµές θα είναι οι : 6, 4,, 0,, 4, 6 4 4 4 4 4 4 4 Η µέση τιµή των νέων τιµών είναι η,,, 0,, 0, 0,,,,, 0,+ 0+ 0,+ +, = = 0 7 (,) + ( ) + ( 0,) + (0) + (0,) + () + (,) 7 και η διασπορά S = = = 7 7 Παρατήρηση : Θα αποδείξουµε γενικά ότι, αν από τις τιµές µιας µεταβλητής Χ αφαιρέσουµε την µέση τιµή τους και διαιρέσουµε µε την τυπική τους απόκλιση S, τότε οι νέες τιµές ψ θα έχουν µέση τιµή 0 και διασπορά. Πράγµατι. Αν είναι οι τιµές της µεταβλητής Χ µε µέση τιµή και τυπική απόκλιση S τότε ψ = ψ = S S S Οπότε από την γνωστή εφαρµογή έχουµε ψ = = = 0 και S S S S S = S S S = ψ S = (αφού S > 0) Επειδή S ψ =, προφανώς και S ψ =, άρα οι νέες τιµές έχουν διασπορά.
. Στο διπλανό σχήµα φαίνονται τα ύψη των πωλήσεων σε χιλιάδες ευρώ που έγιναν από τους πωλητές µιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Πόσοι είναι οι πωλητές; Πόσοι πωλητές έκαναν πωλήσεις πάνω από χιλιάδες ευρώ; γ) Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και να βρείτε τη µέση τιµή και τη διακύµανση. αριθµός πωλητών 4 0 8 6 4 0 4 6 8 0 4 πωλήσεις σε χιλ. ευρώ Επειδή το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο µε την συχνότητα της κάθε κλάσης, το πλήθος των πωλητών είναι ίσο µε το άθροισµα των υψών όλων των ορθογωνίων. Οπότε το πλήθος των πωλητών είναι + 8 + 4 + 0 + 8 + + 3 = 60. Οι πωλητές που έκαναν πωλήσεις πάνω από χιλιάδες ευρώ είναι : οι µισοί της κλάσης [4, 6) και όλοι όσοι βρίσκονται στις δεξιά από αυτήν κλάσεις, δηλαδή 7 + 0 + 8 + + 3 = 33. γ) Ο πίνακας συχνοτήτων συµπληρωµένος και µε τις κατάλληλες στήλες για να βρούµε την µέση τιµή και την διακύµανση είναι Κλάσεις Κεντρ. Τιµή Συχνότητα ν ν [, ) ν [0,) [,4) 3 8 4 7 [4, 6) 4 70 30 [6,8) 7 0 70 490 [8,0) 9 8 7 648 [0,) 60 [,4) 3 3 39 07 Σύνολο --------- 60 34 684 Η µέση τιµή είναι 7 = ν ν Η διακύµανση είναι S = = = = 34 =,7 χιλ. ευρώ = 700 ευρώ 60 7 ν ν = 684 34 60 60 7 ν = ν =,4 (χιλ. ευρώ) = 40 (ευρώ )
3 6. Στο διπλανό πίνακα δίνεται η κατανοµή της ηλικίας των ατόµων µιας πόλης. Να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση και το συντελεστή µεταβολής. Συµπληρώνουµε τον παραπάνω πίνακα µε τις κατάλληλες στήλες για να βρούµε την τυπική απόκλιση. Ηλικία (σε έτη) 0-0 0-40 40-60 60-80 80-00 Συχνότητα (σε χιλιάδες) 4 0 0 4 Κλάσεις Κεντρ.τιµή Συχνότητα ν ν [, ) ν [0, 0) 0 0 00 [0, 40) 30 4 40 600 [40, 60) 0 0 000 0000 [60, 80) 70 0 700 49000 [80, 00) 90 4 360 3400 Σύνολο -------- 60 600 400 Η διακύµανση είναι S = ν ν = ν = ν = 600 60 60 400 = 4, Άρα η τυπική απόκλιση είναι S= 4, = 3,9 έτη. Οπότε ο συντελεστής µεταβολής είναι S 3,9 CV = = = 0,37 = 3,7% 43,33 ( δείγµα ανοµοιογενές )
4 7. Από την στατιστική της Φυσικής Κίνησης Πληθυσµού της Ελλάδας οι θάνατοι λόγω υπερτασικής νόσου το 99 δίνονται στον παρακάτω πίνακα. Να κατασκευάσετε στο ίδιο σχήµα τα πολύγωνα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων για την ηλικία ανδρών και γυναικών, αντίστοιχα, που πέθαναν από υπερτασική νόσο το 99, και στη συνέχεια να τα συγκρίνετε. Επειδή όπως δίνονται οι οµάδες των ηλικιών δεν Ηλικία Θάνατοι Άντρες γυναίκες 0-4 0 7-9 0 4 60-64 7 6-69 36 7 70-74 44 6 7-79 73 09 80-84 7 6 8-89 3 9 είναι βολικές για την οµαδοποίηση, δεδοµένου ότι οι δεξιά τιµές των κλάσεων δεν ανήκουν σε καµία κλάση, γι αυτό παίρνουµε σαν ελάχιστη ηλικία την 49, και πλάτος κλάσεων το και στην συνέχεια συµπληρώνουµε τον παραπάνω πίνακα µε τις κατάλληλες στήλες για να µπορέσουµε να βρούµε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες F %. Μετά από αυτά έχουµε Κλάσεις Κεν. τιµ Ανδρες ν f % Γυναίκες F % ν f % F % [49,-4,) 0,3,3 7,, [4,-9,) 7 0,3 4,6 4 0,7,8 [9,-64,) 6 7 4,0 8,6 3,4, [64,-69,0 67 36 8,4 7,0 7 9, 4,4 [69,-74,) 7 44 0, 7, 6 9,9 4,3 [74,-79,) 77 73 7,0 44, 09 7,7 4,0 [79,-84,) 8 7 7, 7,4 6 6,3 68,3 [84,-89,) 87 3 8,6 00,0 9 3,7 00,0 Σύνολο -------- 430 00 ----- 66 00 ------ Κατασκευάζουµε τα πολύγωνα που αντιστοιχούν στα ιστογράµµατα των σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Παρατηρούµε ότι σε όλες τις ηλικίες τα ποσοστά των ανδρών που πέθαναν από υπερτασική νόσο ήταν µεγαλύτερα από τα ποσοστά των γυναικών. Ακόµα παρατηρούµε ότι το 0% και των ανδρών και των γυναικών που πέθαναν ήταν πάνω από 80 χρονών περίπου. F % 00 90 80 70 60 0 40 30 0 0 0 49, Άνδρες Γυναίκες 79, 89,