Ανάλυση του Βασικού Προβλήµατος

Ανάλυση του Βασικού Προβλήµατος 1.1 Ορισµός του Προβλήµατος Υποθέτουµε ότι έχουµε 1000 δοχεία τα οποία περιέχουν κόκκινες και µαύρες µπάλες µε συγκεκριµένους συνδυασµούς. Ονοµάζουµε: α) τα δοχεία που περιέχουν 4 κόκκινες και 6 µαύρες µπάλες. β) τα δοχεία που περιέχουν 9 κόκκινες και 1 µαύρη µπάλα. Έστω ότι διαλέγουµε ένα δοχείο στην τύχη µε την ίδια πιθανότητα να επιλέξουµε το οποιοδήποτε. Αν µαντέψουµε τι τύπος είναι το δοχείο ( ή ) κερδίζουµε κάποια χρήµατα αλλιώς χάνουµε κάποια. Οι επιλογές που έχουµε είναι 3: : µαντεύουµε ότι το δοχείο είναι τύπου. : µαντεύουµε ότι το δοχείο είναι τύπου. α 3 : αρνούµαστε να παίξουµε. Όσον αφορά τις πληρωµές έχουµε τις παρακάτω περιπτώσεις: Αν διαλέξουµε, τότε κερδίζουµε 40 αν το δοχείο είναι ενώ χάνουµε 20 αν το δοχείο είναι. Αν διαλέξουµε, τότε κερδίζουµε 100 αν το δοχείο είναι ενώ χάνουµε 5 αν το δοχείο είναι. Μπορούµε να λάβουµε πρόσθετη πληροφόρηση, που θα βοηθήσει την επιλογή µας (,, α 3 ) διαλέγοντας µία µόνο από τις επόµενες εναλλακτικές πληροφορίες. ε 1 : πληρώνοντας 8 µπορούµε να δούµε 1 µπάλα από το δοχείο. ε 2 : πληρώνοντας 12 µπορούµε να δούµε 2 µπάλες από το δοχείο. ε 3 : πληρώνοντας 9 µπορούµε να δούµε 1 µπάλα από το δοχείο και να αποφασίσουµε αν θα δούµε ή όχι µια δεύτερη µπάλα πληρώνοντας 4.5 επιπλέον. Έχουµε το προνόµιο να αποφασίσουµε αν θα επανατοποθετήσουµε ή όχι την πρώτη µπάλα στο δοχείο πριν δούµε τη δεύτερη. ε 0 : δεν βλέπουµε καµία µπάλα από το δοχείο και δεν πληρώνουµε τίποτα. Αν όµως έχουµε οποιαδήποτε από αυτές τις πληροφορίες θα πρέπει να επιλέξουµε κάποιον τύπο δοχείου, δηλαδή δεν θα µπορούµε να αρνηθούµε να παίξουµε πλέον. Η τελευταία σηµαντική πληροφορία που έχουµε είναι ότι τα 800 δοχεία είναι τύπου και τα υπόλοιπα 200 τύπου. 1.2 Αναµενόµενη Χρηµατική Αξία (Expected Monetary Value, EMV) Αρχικά λοιπόν πρέπει να απαντήσουµε αν θα παίξουµε ή όχι. Πολλοί θα απαντούσαν ότι δεν παίζουν γιατί στην καλύτερη περίπτωση θα έχαναν 5. Όµως υπάρχουν άνθρωποι οι οποίοι θα ήταν διατεθειµένοι να πληρώσουν 10 για µια πιθανότητα 50-50 να κερδίσουν 100 ή τίποτα. Είναι παράλογο να υποθέσουµε ότι όλοι οι άνθρωποι σκέπτονται µε τον ίδιο τρόπο, ακόµα και όταν τα δεδοµένα είναι αντικειµενικά και καθόλου διφορούµενα, όπως στο πρόβληµά µας. Εµείς θα αναλύσουµε το πρόβληµα και θα προσπαθήσουµε να βρούµε τη βέλτιστη λύση υπολογίζοντας τη µεγαλύτερη χρηµατική αξία (EMV). Η EMV ενός προβλήµατος µε πολλά πιθανά αποτελέσµατα υπολογίζεται αν πολλαπλασιάσουµε την πιθανότητα της κάθε αποτελέσµατος µε την αξία του και αθροίσουµε όλα τα εξαγόµενα. Για παράδειγµα οι EMV του προβλήµατος χωρίς επιπλέον πειραµατισµό είναι:

EMV ( ) = 0.8*40 + 0.2*(-20) = 28 EMV ( ) = 0.8*(-5) + 0.2*100 = 16 Βλέποντας τις τιµές των EMV παρατηρούµε ότι η EMV( ) > EMV( ) και εποµένως επιλέγουµε. Γενικότερα, το κριτήριο αυτό σηµαίνει ότι αν η ίδια ακριβώς περίπτωση απόφασης επαναλαµβανόταν πάρα πολλές φορές και ο λήπτης απόφασης έπαιρνε πάντα την ίδια απόφαση, τότε ο µέσος όρος των της χρηµατικής αξίας που θα εισέπραττε θα ήταν η µέγιστη EMV που επιλέγεται και όχι ότι µε µια µόνο επιλογή θα έχουµε κέρδος ίσο µε την EMV. 1.3 Το έντρο Απόφασης του Προβλήµατος Έχοντας ορίσει το πρόβληµα είµαστε έτοιµοι να ασχοληθούµε µε τη λύση του, την οποία θα αναζητήσουµε χρησιµοποιώντας τη µέθοδο των δέντρων απόφασης. Θα αναπαραστήσουµε τη δοµή του προβλήµατος σαν µια χρονολογική σειρά επιλογών που γίνονται από τον λήπτη της απόφασης και από αυτών που καθορίζονται από την τύχη. Αρχικά έχουµε να επιλέξουµε αν θα παίξουµε ή όχι. Επιλογή δοχείου Παίζουµε εν παίζουµε Εικόν.1: έντρο απόφασης για την αρχική επιλογή Αν αποφασίσουµε να παίξουµε πρέπει να αποφασίσουµε αν θα συλλέξουµε επιπλέον πληροφορίες, δηλαδή αν: ε 0 : δεν βλέπουµε καµία µπάλα από το δοχείο. ε 1 : βλέπουµε µία µπάλα από το δοχείο. ε 2 : βλέπουµε δύο µπάλες από το δοχείο. ε 3 : διεξάγουµε µια διαδοχική διαδικασία. εν παίζουµε Επιλογή δοχείου ε 0 Παίζουµε ε 1 ε 2 ε 3 Εικόν.2: έντρο απόφασης µε τις επιλογές για πληροφορίες

Αν υποθέσουµε ότι δεν βλέπουµε καµιά µπάλα από το δοχείο τότε το µόνο που έχουµε να κάνουµε είναι να επιλέξουµε τον τύπο του δοχείου, Είναι δηλαδή µια απόφαση του λήπτη απόφασης, ενώ η τύχη θα καθορίσει αν επιλέξαµε σωστά ή όχι. ε 0 Εικόν.3: έντρο απόφασης για την επιλογή ε 0 Ας υποθέσουµε ότι επιλέγουµε την ε 1. Πληρώνοντας 8 θα δούµε µια κόκκινη (K) ή µια µαύρη (M) µπάλα. Αυτή δεν είναι δική µας επιλογή αλλά τυχαίο ενδεχόµενο. Αν υποθέσουµε ότι η µπάλα που είδαµε είναι κόκκινη. Γνωρίζοντας αυτό, µπορούµε να επιλέξουµε τον τύπο του δοχείου ή. Έστω ότι επιλέγουµε. Και τώρα βασιζόµαστε στη τύχη η οποία θα καθορίσει αν το δοχείο είναι ή. Αυτά είναι και τα τελικά αποτελέσµατα, οπότε δεν έχουµε περαιτέρω ανάλυση σε αυτόν τον κόµβο. Με την ίδια λογική σχεδιάζω και τα υπόλοιπα κλαδιά και κόµβους δεδοµένου ότι η επιλογή µας είναι η ε 1 Κ ε 1 Μ Εικόν.4: έντρο απόφασης για την επιλογή ε 1 Αν επιλέξουµε την ε 2 η κατασκευή του δέντρου ακολουθεί την ίδια σχεδόν διαδικασία. Η διαφορά της µε την ε 1 είναι ότι αφού βλέπουµε την πρώτη µπάλα και το οποίο είναι ένα τυχαίο ενδεχόµενο, βλέπουµε και µια δεύτερη µπάλα, κάτι που επίσης είναι τυχαίο. ηλαδή εισάγονται δύο ενδιάµεσοι κόµβοι τύχης µετά το ενδεχόµενο που βλέπουµε µια

µπάλα και της απόφασής µας για τον τύπο του δοχείου, δηµιουργώντας φυσικά και την ανάλογη υπόλοιπη διαδικασία. ΚΚ ε 2 ΚΜ ή ΜΚ ΜΜ Εικόν.5: έντρο απόφασης για την επιλογή ε 2 Αν επιλέξουµε την ε 3 πληροφορία υπάρχουν και πάλι δυο τυχαία ενδεχόµενα. Να δούµε κόκκινη ή µαύρη µπάλα. Τώρα όµως µπορούµε να επιλέξουµε αν θα δούµε και µια δεύτερη ή θα µαντέψουµε τον τύπο του δοχείου. Η ανάλυση της περίπτωσης της επιλογής του τύπου του δοχείου χωρίς να δούµε και µια δεύτερη µπάλα είναι η ίδια περίπτωση µε την ε 1, οπότε και το δέντρο απόφασης αναλύεται µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Αν αποφασίσουµε να δούµε και µια δεύτερη µπάλα, πρέπει να αποφασίσουµε αν θα επανατοποθετήσουµε την προηγούµενη µπάλα που είδαµε στο δοχείο ή όχι. Αν όχι, τότε η ανάλυση του προβλήµατος είναι ίδια µε την περίπτωση της ε 2 και αναλύεται παρόµοια. Αν επανατοποθετήσουµε την µπάλα στο δοχείο, η συνέχεια του δέντρου είναι ίδια µε την περίπτωση ε 1.

Κ Επανατοποθέτηση Συνεχίζουµε Μ Κ Όχι επανατοποθέτηση Κ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΚΚ Μ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΚΜ Σταµατάµε Ίδιο µε µονοπάτι ε 1 Κ Κ ε 3 Επανατοποθέτηση Συνεχίζουµε Μ Μ Όχι επανατοποθέτηση Κ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΜΚ Μ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΜΜ Σταµατάµε Ίδιο µε µονοπάτι ε 1 Μ Εικόν.6: έντρο απόφασης για την επιλογή ε 3 1.4 Υπολογισµός Πιθανοτήτων Βλέποντας την εξέλιξη των δέντρων απόφασης, παρατηρούµε ότι πρέπει να υπολογίσουµε κάποιες πιθανότητες για να µπορέσουµε να λύσουµε το δέντρο Αυτές είναι: 1. Η πιθανότητα να επιλέξουµε δεδοµένου ότι η µπάλα που είδαµε είναι κόκκινη: P( K) 2. Η πιθανότητα να επιλέξουµε δεδοµένου ότι η µπάλα που είδαµε είναι κόκκινη: P( K) 3. Η πιθανότητα να επιλέξουµε δεδοµένου ότι η µπάλα που είδαµε είναι µαύρη: P( Β)

4. Η πιθανότητα να επιλέξουµε δεδοµένου ότι η µπάλα που είδαµε είναι µαύρη: P( Β) 5. Η πιθανότητα να δούµε µια κόκκινη µπάλα: P(K) 6. Η πιθανότητα να δούµε µια µαύρη µπάλα: P(Β) Οι 6 αυτές πιθανότητες φαίνονται στην επόµενη εικόνα. Οι πιθανότητες αντιστοιχήθηκαν στα κλαδιά από το (α) ως το (ζ). Κ (ε) (α) (β) Μ (ζ) (γ) (δ) Εικόν.7: Οι άγνωστες πιθανότητες στο δέντρο απόφασης Τι ξέρουµε όµως που µπορεί να µας βοηθήσει για να υπολογίσουµε αυτές τις πιθανότητες; 1. Η πιθανότητα να επιλέξουµε ένα δοχείο ( πριν δούµε οποιαδήποτε µπάλα είναι P( )=0.8 2. Η πιθανότητα να επιλέξουµε ένα δοχείο πριν δούµε οποιαδήποτε µπάλα είναι P( )=0.2 3. Η πιθανότητα να δούµε κόκκινη µπάλα αν τη διαλέξουµε από δοχείο ( είναι P(K )=0.4 4. Η πιθανότητα να δούµε µαύρη µπάλα αν τη διαλέξουµε από δοχείο ( είναι P(Β )=0.6 5. Η πιθανότητα να δούµε κόκκινη µπάλα αν τη διαλέξουµε από δοχείο είναι P(K )=0.9 6. Η πιθανότητα να δούµε µαύρη µπάλα αν τη διαλέξουµε από δοχείο είναι P(Β )=0.1 Αυτές οι 6 γνωστές πιθανότητες αναγράφονται στα κλαδιά του δέντρου της επόµενης εικόνας. Η πιθανότητα να ακολουθήσουµε το µονοπάτι και K είναι 0.8*0.4= 0.32. Οµοίως υπολογίζουµε την πιθανότητα για τα υπόλοιπα. Οι πιθανότητες να ακολουθήσουµε ένα οποιοδήποτε µονοπάτι φαίνονται στην εικόνα 9.8 (πιθανότητες µονοπατιών). Ας επιστρέψουµε τώρα όµως στην πρώτη εικόνα της ενότητας, όπου είναι σχεδιασµένα τα ενδεχόµενα µε τη σωστή χρονολογική σειρά. Το µονοπάτι K και του πρώτου δέντρου είναι το ίδιο µε το µονοπάτι και K του δεύτερου. Οµοίως αντιστοιχούνται και τα υπόλοιπα µονοπάτια. Έτσι η πιθανότητα (ε) που αντιστοιχεί στο να δούµε µια κόκκινη µπάλα (K) πρέπει να είναι 0.32+0.18=0.5. Οµοίως για το (ζ) θα έχουµε 0.48+0.02=0.5. Έχοντας υπολογίσει αυτές τις δύο πιθανότητες µπορούµε να υπολογίσουµε και τα (α), (β), (γ) και (δ). Για παράδειγµα γνωρίζοντας ότι η πιθανότητα του µονοπατιού K και είναι 0.32 το οποίο είναι ίσο µε το γινόµενο (ε)*(α) και ότι (ε)=0.5 τότε (α)=0.32/0.5=0.64. Οµοίως (β)=0.18/0.5=0.36, (γ)=0.48/0.5=0.96 και (δ)=0.02/0.5=0.04. Οι πιθανότητες αυτές φαίνονται και στην εικόνα 9.9.

Κ Πιθανότητες µονοπατιών Μ Κ Μ Σύνολο: 1.00 Εικόν.8: Πιθανότητες των µονοπατιών Εικόνα 9.9: Οι πιθανότητες στο δέντρο απόφασης Ένας άλλος τρόπος υπολογισµού των άγνωστων πιθανοτήτων είναι χρησιµοποιώντας τύπους πιθανοτήτων είναι: Η πιθανότητα να δούµε µια κόκκινη µπάλα από ένα δοχείο είναι ίση µε: P(K και ) = P(K )*P( ) = 0.4*0.8 = 0.32 Η πιθανότητα να δούµε µια κόκκινη µπάλα από ένα δοχείο είναι ίση µε: P(K και ) = P(K )*P( ) = 0.9*0.2 = 0.18 Η πιθανότητα να δούµε µια µαύρη µπάλα από ένα δοχείο είναι ίση µε: P(Β και ) = P(Β )*P( ) = 0.6*0.8 = 0.48 Η πιθανότητα να δούµε µια µαύρη µπάλα από ένα δοχείο είναι ίση µε: P(Β και ) = P(Β )*P( ) = 0.1*0.2 = 0.02 Η ολική πιθανότητα να δούµε µια κόκκινη ή µια µαύρη µπάλα είναι: P(K) = P(K και ) + P(K και ) = 0.32 + 0.18 = 0.5 P(Β) = P(Β και ) + P(Β και ) = 0.48 + 0.02 = 0.5 Η πιθανότητα να επιλέξουµε δεδοµένου ότι η µπάλα που είδαµε είναι κόκκινη: P( K) = P(K και )/P(K) = 0.32/0.5 = 0.64 Η πιθανότητα να επιλέξουµε δεδοµένου ότι η µπάλα που είδαµε είναι µαύρη:

P( Β) = P(M και )/P(M) = 0.48/0.5 = 0.96 Η πιθανότητα να επιλέξουµε δεδοµένου ότι η µπάλα που είδαµε είναι κόκκινη: P( K) = P(K και )/P(K) = 0.18/0.5 = 0.36 Η πιθανότητα να επιλέξουµε δεδοµένου ότι η µπάλα που είδαµε είναι µαύρη: P( Β) = P(M και )/P(M) = 0.02/0.5 = 0.04 1.5 Αναµενόµενο Κέρδος και Επιλογή Βέλτιστου (Averaging out and folding back) Έχοντας υπολογίσει όλες τις πιθανότητες των δυνατών αποτελεσµάτων µπορούµε πλέον να υπολογίσουµε τις αναµενόµενες τιµές όλων των κόµβων του δέντρου και να το λύσουµε. Ας υποθέσουµε ότι εξετάζουµε την επιλογή (ε 0, ) και η τύχη είναι αυτή που θα µας οδηγήσει στο µονοπάτι του ή του. Αν είµαστε τυχεροί θα εισπράξουµε 40 αν το δοχείο είναι τύπου, αλλά αν η τύχη δεν µας βοηθήσει και το δοχείο είναι τύπου θα πληρώσουµε 20. Επειδή όµως το κριτήριο µε το οποίο επιλέγουµε είναι η αναµενόµενη χρηµατική αξία (EMV), αυτή είναι ίση µε: 0.8*40 + 0.2*(-20) = 28 Συµβολικά γράφουµε: EMV (ε 0, ) = 28 Οµοίως: EMV (ε 0, ) = 0.8*(-5) + 0.2*100 = 16 Γυρίζουµε πίσω στο ε 0 και εξετάζουµε τις επιλογές να επιλέξουµε ή. Βλέπουµε ότι η είναι µια ριψοκίνδυνη επιλογή µε αξί8. Αντίστοιχα για την η αξία είναι 16. Αφού η λύση που επιλέγουµε είναι αυτή µε την µεγαλύτερη τιµή EMV, η επιλογή µας θα είναι η και θα µπλοκάρουµε την, κάτι που στο δέντρο απόφασης φαίνεται µε τις διπλές κάθετες γραµµές στο κλαδί αυτό. Τον τρόπο επίλυσης ενός δέντρου απόφασης τον έχουµε περιγράψει και εξηγήσει σε προηγούµενη ενότητα και γι αυτό το λόγο δεν θα αναλύσουµε και τη λύση του δέντρου αυτού του προβλήµατος. Να αναφέρουµε κάποιες παρατηρήσεις πριν παρουσιάσουµε τα επιµέρους δέντρα απόφασης του προβλήµατος. Η αναµενόµενη χρηµατική αξία (EMV) και η τιµή που αναγράφεται σε κάθε κόµβο τύχης του δέντρου είναι ίση, αφού αν προσέξουµε τη σχέση µε την οποία υπολογίζονται αυτές οι δύο τιµές θα παρατηρήσουµε ότι είναι η ίδια. Το κόστος της πληροφορίας έχει εισαχθεί στις τελικές αποπληρωµές. Μπορούµε βέβαια να υπολογίσουµε τις αναµενόµενες τιµές χωρίς να έχουµε µπει σε αυτή τη διαδικασία και να αφαιρέσουµε το κόστος της πληροφορίας όταν φτάναµε στο αντίστοιχο κλαδί, δηλαδή να κάναµε µια και όχι πολλές αφαιρέσεις. Επειδή όµως στο πρόγραµµα που χρησιµοποιούµε δεν γίνεται αυτό, αφαιρούµε από τις τελικές τιµές το κόστος της πληροφόρησης, κάτι που φαίνεται και στα δέντρα απόφασης. Ο υπολογισµός κάποιων πιθανοτήτων που αναγράφονται στα δέντρα δεν αναλύεται στην ενότητα αυτή αλλά στο παράρτηµα του βιβλίου, γιατί οι υπολογισµοί αυτοί είναι πολλοί και σύνθετοι.

ε 0 α1 : 28.00 Εικόν.10: Το δέντρο απόφασης για την επιλογή ε 0 : 32.80 ε 1 Κόστος=8.00 : 37.60 Εικόν.11: Το δέντρο απόφασης για την επιλογή ε 1

ΚΚ : 58.00 ε 2 Κόστος=12.00 ΚΜ ή ΜΚ : 34.86 ΜΜ : 40.00 Εικόν.12: Το δέντρο απόφασης για την επιλογή ε 2

Κ : 53.66 Μ : 34.86 Εικόν.13: Τα δέντρα απόφασης µε την επανατοποθέτηση της κόκκινης µπάλας στην επιλογή ε 3 Κ : 34.86 Μ : 39.59 Εικόν.14: Τα δέντρα απόφασης µε την επανατοποθέτηση της µαύρης µπάλας στην επιλογή ε 3

Επανατοποθέτηση 45.76 (Εικόνα 9.13) Κ Συνεχίζουµε Κόστος=4.5 Συνεχίζουµε: 42.70 Όχι επανατοποθέτηση: 47.20 Όχι επανατοποθέτηση Κ Μ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΚΚ=58.00, Ρ=0.267 Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΚΜ=34.86, Ρ=0.233 Σταµατάµε Ίδιο µε µονοπάτι ε 1 Κ=32.80 ε 3 Κόστος=9.0 Επανατοποθέτηση 40.15 37.60 (Εικόνα 9.14) Μ Συνεχίζουµε Κόστος=4.5 Σταµατάµε: 37.60 Όχι επανατοποθέτηση: 47.20 Όχι επανατοποθέτηση Κ Μ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΜΚ=34.86 Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΜΜ=40.00 Σταµατάµε Ίδιο µε µονοπάτι ε 1 Μ=37.60, Ρ=0.500 Εικόν.15: Το δέντρο απόφασης για την επιλογή ε 3

εν παίζουµε Παίζουµε: 31.15 Παίζουµε ε 3 : 31.15 ε 0 28.00 ε 0 27.20 ε 0 30.40 ε 0 31.15 Εικόν.16: Το δέντρο απόφασης µε τις επιλογές για πληροφορίες 1.6 Αναµενόµενη Αξία Τέλειας Πληροφορίας - Απώλεια Ευκαιρίας (Expected value of perfect information and opportunity loss) Ας υποθέσουµε ότι στο παραπάνω πρόβληµα µας προτείνουν να πληρώσουµε 100 για µια τέλεια πληροφορία και 150 για µια δειγµατοληπτική πληροφορία. Προφανώς δεν αξίζει να πληρώσουµε για τη δειγµατοληπτική πληροφορία. Αξίζει όµως η τέλεια πληροφορία τα λεφτά αυτά ή όχι; Και αν όχι πόσα αξίζει; Θα εξετάσουµε το ζήτηµα αυτό προσεγγίζοντάς το κάτω από τρεις διαφορετικούς τρόπους. 1) Ο πίνακας αποπληρωµών του προβλήµατός µας, χωρίς να κάνουµε κάποιο πείραµα προηγουµένως, φαίνεται στον επόµενο πίνακα. Η έχει τη µεγαλύτερη EMV και άρα την επιλέγουµε. Ας υποθέσουµε ότι θα µπορούσαµε πληρώνοντας 15 να καθορίσουµε µε βεβαιότητα τον τύπο του δοχείου, θα άξιζε να δώσουµε αυτά τα χρήµατα ή είναι περισσότερα από αυτά που πραγµατικά αξίζει αυτή η πληροφορία; Πίνακας 1.1 Οι αποπληρωµές του βασικού προβλήµατος Επιλογή Κατάσταση α 3 Πιθανότητα 40-5 0 0.8-20 100 0 0.2 EMV 28 16 0 1 ίνοντας τ5 γνωρίζουµε τον τύπο του δοχείο και αποκλείουµε κάθε περίπτωση αβεβαιότητας. Έτσι αν το δοχείο είναι τύπου επιλέγουµε και κερδίζουµε 40, ενώ στην περίπτωση όπου το δοχείο είναι επιλέγουµε και κερδίζουµε 100. Αν υποθέσουµε ότι πριν την πληροφορία είχαµε επιλέξει ενώ το δοχείο είναι τύπου και αλλάξουµε την επιλογή µας σε, τότε αντί να χάσουµε 20 κερδίζουµε 100, άρα το ουσιαστικό κέρδος είναι 120. Λαµβάνοντας υπόψη όµως και τις πιθανότητες προκύπτει το ερώτηµα αν αξίζει να πληρώσουµε τ5 για να κερδίσουµε 120, κάτι που συµβαίνει αν το δοχείο είναι τύπου και η πιθανότητα αυτή είναι 0.2, ή να κερδίσουµε 0 αν το δοχείο είναι µε πιθανότητα 0.8. Για να δούµε αν η τέλεια πληροφορία αξίζει, θα υπολογίσουµε την αναµενόµενη χρηµατική της αξία, η οποία είναι 0.2*120+0.8*0 = 24, δηλαδή µεγαλύτερη

από τ5 που µας ζητήθηκαν. Άρα µας συµφέρει να δώσουµε τ5 για να αγοράσουµε την τέλεια πληροφορία. 2) Σύµφωνα µε µια άλλη προσέγγιση, αν το δοχείο είναι και εµείς επιλέξουµε δεν έχουµε απώλεια ευκαιρίας (opportunity loss) ή αποπληρωµής. Υπάρχει όµως απώλεια ευκαιρίας αν επιλέξουµε ή α 3. Στον επόµενο πίνακα αναγράφονται οι απώλειες ευκαιρίας για κάθε περίπτωση. Αν για παράδειγµα το δοχείο είναι η απώλεια ευκαιρίας αν επιλέγαµε θα ήταν 40-(-5)=45 µονάδες και 40 µονάδες αν επιλέγαµε την α 3. Αντίστοιχα υπολογίζονται και οι τιµές αν το δοχείο ήταν τύπου. Πίνακας 1.2 : Απώλεια ευκαιρίας Επιλογή Κατάσταση α 3 Πιθανότητα 0 45 40 0.8 120 0 100 0.2 Αναµενόµενη απώλεια ευκαιρίας 24 36 52 1 Η αναµενόµενη απώλεια ευκαιρίας (expected opportunity loss, EOL) µιας επιλογής υπολογίζεται όπως ακριβώς και η EMV, αλλά µε τις τιµές του ανάλογου πίνακα φυσικά. ηλαδή η EOL της είναι 0.8*0+0.2*120 = 24. Θα µπορούσαµε να πούµε ότι η EOL είναι η σχετική ζηµιά, η οποία είναι το αποτέλεσµα µιας επιλογής όταν συµβεί µια κατάσταση, σε σχέση µε την καλύτερη επιλογή που θα ήταν δυνατή για την κατάσταση αυτή. Ας δούµε όµως ένα ενδιαφέρον στοιχείο που προκύπτει από τις τιµές EMV και EOL της κάθε επιλογής και το οποίο φαίνεται στον επόµενο πίνακα. Πίνακας 1.3: EMV και EOL για κάθε επιλογή Επιλογή α 3 EMV 28 16 0 EOL 24 36 52 Άθροισµα 52 52 52 Παρατηρούµε ότι το άθροισµα της EMV και της EOL είναι το ίδιο για όλες τις επιλογές που έχουµε. Βλέπουµε ότι η επιλογή έχει τη µέγιστη EMV και την ελάχιστη EOL. Η ελάχιστη EOL ονοµάζεται και αναµενόµενη αξία της τέλειας πληροφορίας (expected value of perfect information, EVPI). 3) Ας εξετάσουµε τώρα το πρόβληµα διαφορετικά. Χωρίς τέλεια πληροφορία η EMV είναι 28. Ποιο θα ήταν η EMV αφού γνωρίζαµε την τέλεια πληροφορία; Η ανταµοιβή που θα είχαµε σε αυτήν την περίπτωση είναι ίση µε 0.8*40+0.2*100=52 (που είναι και το άθροισµα της EMV και EOL). ηλαδή η EMV αυξήθηκε από 28 σε 52. Εποµένως η τέλεια πληροφορία αξίζει 52-28=24. Από τους παραπάνω υπολογισµούς βρήκαµε την αξία της τέλειας πληροφορίας. Αν υποθέσουµε ότι η αξία της ήταν πολύ µικρότερη από ότι είναι πραγµατικά, δηλαδή έστω ότι ήταν 6, τότε σίγουρα δεν θα πληρώναµε 8 ή περισσότερα για µια δειγµατοληπτική πληροφορία και το πρόβληµά µας θα ήταν πολύ πιο απλό, αφού δεν θα αναλύαµε το δέντρο

για την ε 1. Άρα, υπολογίζοντας την τιµή της EVPI µπορούµε να δούµε αν µας συµφέρει η αγορά δειγµατοληπτικών πληροφοριών. Στο πρόβληµά µας η δειγµατοληπτική πληροφορία κοστίζει λιγότερο από την τέλεια, εποµένως δεν είναι σαφές αν µας συµφέρει η λήψη της δειγµατοληπτικής πληροφορίας. Υπάρχει όµως και ένα άλλο ζήτηµα που έχει σχέση µε την απόκτηση της τέλειας πληροφορίας. Αν είχαµε ήδη πληρώσει 8 και είχαµε τραβήξει µια κόκκινη µπάλα, θα άξιζε να πληρώσουµε 24 για την τέλεια πληροφορία; Βλέποντας µια κόκκινη µπάλα οι πιθανότητες δεν είναι οι ίδιες όπως στην αρχική περίπτωση ενώ οι αποπληρωµές και το κόστος ευκαιρίας παραµένουν τα ίδια για κάθε επιλογή. Στον επόµενο πίνακα υπολογίζονται οι EMV και EOL κάθε περίπτωσης, χωρίς να έχουµε συµπεριλάβει στις αποπληρωµές το κόστος αγοράς της δειγµατοληπτικής πληροφορίας, δηλαδή τα 8. Ο υπολογισµός των πιθανοτήτων έχει αναλυθεί σε προηγούµενη ενότητα και δεν αναλύεται και στη παρούσα φάση. Πίνακας 1.4: EMV και EOL βλέποντας µια κόκκινη µπάλα Αποπληρωµές Πιθανότητες Κόστος ευκαιρίας Επιλογή αφού είδαµε µια Επιλογή κόκκινη µπάλα Θ 1 40-5 0.64 0 45 Θ 2-20 100 0.36 120 0 EMV 18.4 32.8 1 43.2 28.8 EOL Παρατηρούµε ότι η EMV της είναι 32.8 και είναι µεγαλύτερη από την EMV της, οπότε τώρα επιλέγουµε την. Αυτό φαίνεται και στο δέντρο απόφασης της ε 1. Ας δούµε όµως πως µπορούµε να υπολογίσουµε της αξία της EVPI: Η EMV γνωρίζοντας την τέλεια πληροφορία είναι 40*0.64+100*0.36 = 61.6. Η EMV όµως τώρα είναι 32.8, εποµένως EVPI = 61.6-32.8 = 28.8 Ξέρουµε ότι EVPI = mineol. Άρα EVPI = 28.8 Συγκρίνοντας την EVPI πριν και µετά τη δειγµατοληπτική πληροφορία, βλέπουµε ότι αυτή αξίζει περισσότερο τώρα από ότι πριν δούµε την κόκκινη µπάλα. Αυτό που συνέβηκε είναι ότι η δειγµατοληπτική πληροφορία αύξησε την EMV και την EVPI. Ας εξετάσουµε όµως τι συµβαίνει στην περίπτωση όπου θα δούµε µια µαύρη µπάλα. Στον πίνακα 9.5 υπολογίζονται οι EMV και EOL κάθε περίπτωσης. Όπως και προηγουµένως δεν έχουµε συµπεριλάβει στις αποπληρωµές το κόστος αγοράς της δειγµατοληπτικής πληροφορίας, δηλαδή τα 8. Ενώ και ο υπολογισµός των πιθανοτήτων έχει αναλυθεί σε προηγούµενη ενότητα. H EVPI υπολογίζεται µε τους εξής τρόπους: Η EMV γνωρίζοντας την τέλεια πληροφορία είναι 40*0.96+100*0.04 = 42.4. Η EMV όµως τώρα είναι 37.6, εποµένως EVPI = 42.4-37.6 = 4.8 Ξέρουµε ότι EVPI = mineol. Άρα EVPI = 4.8

Πίνακας 1.4: EMV και EOL βλέποντας µια µαύρη µπάλα Αποπληρωµές Πιθανότητες Κόστος ευκαιρίας Επιλογή αφού είδαµε µια Επιλογή α µαύρη µπάλα 1 40-5 0.96 0 45-20 100 0.04 120 0 EMV 37.6-0.8 1 4.8 43.2 EOL Βλέπουµε ότι σε αυτή την περίπτωση η EVPI µειώνεται αντί να αυξάνεται όπως έγινε όταν η µπάλα που είδαµε ήταν κόκκινη. Αυτό οφείλεται στο ότι οι πιθανότητες έχοντας δει µια µπάλα έχουν αλλάξει. Πριν δούµε µια µπάλα από το άγνωστο δοχείο η πιθανότητα αυτό να ήταν τύπου ήταν 0.8, ενώ η πιθανότητα να ήταν τύπου ήταν 0.2. Αφού είδαµε µια κόκκινη µπάλα, είναι πιο πιθανό αυτή να προήλθε από ένα δοχείο, εποµένως οι πιθανότητες να έχουµε διαλέξει ένα δοχείο αυξάνονται. Γι αυτό και η πιθανότητα του από 0.2 αυξάνεται σε 0.36, ενώ αντίστοιχα η πιθανότητα του µειώνεται από 0.8 σε 0.64, κάτι που αυξάνει την αβεβαιότητα για το ποιο δοχείο έχουµε µπροστά µας. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα την αύξηση της αξία της τέλειας πληροφορίας. Το αντίθετο συµβαίνει όταν η µπάλα που τραβήξουµε από το δοχείο είναι µαύρη, οπότε και η αξία τέλειας πληροφορίας µειώνεται. Έχοντας υπολογίσει την EVPΙ για τις δυο περιπτώσεις, προκύπτει η ερώτηση για ποια είναι τελικά η τιµή της EVPI για την οποία θα άξιζε να πληρώσουµε αν υποθέσουµε ότι µπορούσαµε να δούµε µια µπάλα χωρίς κόστος. Τώρα θα πρέπει να αποφασίσουµε ποια θα είναι η EVPI πριν δούµε µια µπάλα. Έχουµε υπολογίσει σε προηγούµενη ενότητα ότι η πιθανότητα να τραβήξουµε από ένα δοχείο είτε µια κόκκινη είτε µια µαύρη µπάλα είναι 0.5. Άρα: EVPI = 0.5*28.8 + 0.5*4.8 = 16.8 Η τιµή αυτή καλείται ως η προσδοκώµενη EVPI αφού προηγηθεί το πείραµα ε 1. Συνοψίζοντας, βλέπουµε ότι η τέλεια πληροφορία αξίζει 24 αν δεν δούµε καµία µπάλα, ενώ αν δούµε µια µπάλα αξίζει 16.8. Το αποτέλεσµα της αφαίρεσης 24-16.8 = 7.2 µπορεί να θεωρηθεί ως η αναµενόµενη αξία της δειγµατοληπτικής πληροφόρησης. Η τιµή αυτή προκύπτει και από το δέντρο απόφασης, αν στον κόµβο της ε 1 της οποίας η τιµή 27.2 προσθέσουµε το κόστος της πληροφορίας σύµφωνα µε το πρόβληµα που είναι 8 και στη συνέχεια αφαιρέσουµε την τιµή του κόµβου ε 0, δηλαδή (27.2+8)-28 = 7.2. 2. Αβέβαιες Αποπληρωµές και Μεροληπτικές Καταµετρήσεις (UNCERTAIN PAYOFFS AND BIASED MEASUREMENTS) Το πρόβληµα που αναλύσαµε στην προηγούµενη ήταν απλό. Υποθέσαµε ότι δεν υπήρχαν αµφιβολίες για τις αποπληρωµές ή την εγκυρότητα των δειγµατοληπτικών πληροφοριών. ηλαδή αφ ενός τα ποσά που θα κερδίζαµε ή θα χάναµε από το αν µαντεύαµε σωστά ή λάθος τον τύπο του δοχείο ήταν συγκεκριµένα, αφ ετέρου όταν είχαµε πρόσθετη πληροφόρηση και βλέπαµε µια µπάλα ήµασταν βέβαιοι για το χρώµα της. Στη συνέχεια θα προσπαθήσουµε να εισάγουµε στο πρόβληµά µας αυτές τις αµφιβολίες και πιο συγκεκριµένα θα: 1. Έχουµε αβέβαιες αποπληρωµές. 2. εν θα γνωρίζουµε το κόστος των δειγµάτων.

3. Οι πληροφορίες από τους πειραµατισµούς δεν είναι τέλειες (ίσως ένα κανάλι επικοινωνίας δεν παρέχει σαφείς πληροφορίες). 10.1 Αβέβαιες Αποπληρωµές και Κόστος ειγµάτων (Uncertain payoffs and sampling costs) Ας υποθέσουµε ότι αν διαλέξουµε και αποδειχτεί ότι το δοχείο είναι αντί να κερδίσουµε 40 θα κερδίσουµε 30 ή 50 παίζοντας κορώνα γράµµατα. Σε µια τέτοια περίπτωση αντικαθιστούµε όλους τους τελικούς κόµβους όπου η αποπληρωµή είναι 40, κάνοντάς τους κόµβους τύχης, οι οποίοι διακλαδίζονται σε δύο τελικούς κόµβους, η αξία των οποίων είναι 30 και 50 µε πιθανότητες 0.5 έκαστος. Το υπο-δένδρο αυτό φαίνεται στο επόµενο σχήµα. Κορώνα Γράµµατα Εικόν.1: Αβέβαιες αποπληρωµές παίζοντας κορώνα - γράµµατα Αν υπολογίσουµε την αναµενόµενη τιµή του υπο-δένδρου αυτού, θα δούµε ότι η EMV του κόµβου είναι 40 και εποµένως ο η λύση του δέντρου θα δώσει ακριβώς τα ίδια αποτελέσµατα όπως και προηγουµένως. Ας εξετάσουµε το ενδεχόµενο να µην είναι σταθερό το κόστος δείγµατος για µια µπάλα. Αντί να πληρώσουµε 8 και να δούµε µια µπάλα από ένα δοχείο θα πληρώσουµε 3 ή 9, το οποίο εξαρτάται από το αν το άθροισµα δύο ζαριών είναι 7 ή όχι. Έτσι, στο δέντρο απόφασης αν ακολουθήσουµε την περίπτωση ε 1, αυτή διακλαδίζεται στις δύο τυχαίες περιπτώσεις αν φέρουµε ή όχι άθροισµα 7 στα δύο ζάρια. Η ανάλυση του δέντρου είναι η ίδια όπως ήταν και προηγουµένως για την περίπτωση του ε 1. Η EMV του κόµβου ε 1 είναι τώρα ίση µε 35.2 (1/6*3 + 5/6*9) = 27.2. -3-9 Εικόν.2: Η περίπτωση ε 1 ανάλογα µε άθροισµα των ζαριών Το συµπέρασµα που προκύπτει από την ανάλυση των δύο αυτών περιπτώσεων αβεβαιότητας είναι ότι και οι δύο περιπτώσεις αντιµετωπίζονται µε την εισαγωγή ενός επιπλέον τυχαίου ενδεχοµένου. Στην πράξη, οι µεγαλύτερες δυσκολίες είναι στον υπολογισµό των πιθανοτήτων. Σκεφτείτε για παράδειγµα ότι αντί η αποπληρωµή να ήταν 40 να ήταν 40 συν το πενταπλάσιο της διαφοράς του δείκτη του χρηµατιστηρίου χτες µε την τιµή του σήµερα.

Σε κάποια πραγµατικά προβλήµατα το κόστος δειγµάτων εξαρτάται από το αποτέλεσµα του δείγµατος. Ας δούµε τι συµβαίνει στον κόµβο ε 2 όταν το κόστος δείγµατος δεν είναι 12 αλλά 10 συν 2 για κάθε κόκκινη µπάλα που βλέπουµε. Σε µια τέτοια περίπτωση το δέντρο απόφασης στον κόµβο ε 2 γίνεται όπως φαίνεται στην εικόν0.3. -14-12 -10 Εικόν.3: Η περίπτωση ε 2 µε µεταβλητό κόστος δείγµατος 10.2 Η Αξία της Πληροφορίας σε Σχέση µε τις Αποπληρωµές Στην προηγούµενη ενότητα υποθέσαµε ότι η αποπληρωµή των 40 είχε αλλάξει σε αποπληρωµές των 30 ή 50, µε πιθανότητες 0.5 για κάθε περίπτωση. Αν τώρα σε αυτήν την περίπτωση µας ρωτούσε κάποιος αν θα πληρώναµε 2 για να µάθουµε αν η αποπληρωµή ήταν 30 ή 50, πριν αποφασίσουµε αν ή όχι συµµετάσχουµε στο πείραµα, τι θα αποφασίζαµε; Επειδή όµως η στρατηγική που θα ακολουθήσουµε δεν αλλάζει από το αν η αποπληρωµή είναι πάντα 40 ή µεταβάλλεται σε 30 ή 50, η πληροφορία αυτή φαίνεται άχρηστη. Αν όµως οι αβέβαιες αποπληρωµές αλλάξουν και γίνουν 100 µε πιθανότητα 0.4 και 0 µε πιθανότητα 0.6, τότε η πληροφορία αυτή γίνεται χρήσιµη. Εµείς όµως θα υποθέσουµε ότι οι αποπληρωµές είναι 30 ή 50. Αξίζει αυτή η πληροφορία το ποσό αυτό, είναι µεγαλύτερο από ότι πραγµατικά αξίζει και µέχρι πόσα αξίζει να πληρώσουµε γι αυτή; Και σε αυτήν την περίπτωση το πρόβληµα λύνεται µε την προσθήκη κόµβων τύχης. Έτσι, η αρχή του δέντρου αλλάζει και η πρώτη µας επιλογή είναι αν θα αγοράσουµε ή όχι την πληροφορία, όπως φαίνεται στην επόµενη εικόνα. Όχι αγορά πληροφορίας Α Αγορά πληροφορίας Αποπληρωµή 50 Κόστος=2 Αποπληρωµή 30 Β Γ Εικόν.4: Η αρχή του δέντρου απόφασης µε ενδεχόµενη πληροφορία για τις αποπληρωµές Στους τελικούς κόµβους της εικόνας συµβολίζουµε µε Α, Β, Γ τη συνέχεια του δέντρου. Στο Α, το δέντρο είναι ίδιο µε το αρχικό πρόβληµα έχοντας αντί για σταθερή αποπληρωµή 40 τα ενδεχόµενα να έχουµε 30 ή 50, κάνουµε τις απαραίτητες αλλαγές που αναλύσαµε προηγουµένως, και η αναµενόµενη τιµή του προβλήµατος είναι πάλι 31.15. Στα

σηµεία Β και Γ, αντικαθιστούµε όλες τις αποπληρωµές των 40 µε 50 ή 30 αντίστοιχα. Λύνοντας το δέντρο απόφασης και για αυτές τις περιπτώσεις βρίσκουµε ότι Β = 38.08 και Γ = 24.22. Και σε αυτές τις περιπτώσεις η βέλτιστη λύση είναι η ε 3. Εποµένως η αναµενόµενη τιµή αγοράζοντας την πληροφορία είναι: [(38.08*0.5)+(24.22*0.5)]-2 = 31.15 Βλέπουµε δηλαδή ότι δεν υπάρχει διαφορά στην EMV του προβλήµατος αγοράζοντας την πληροφορία και άρα δεν αξίζει να την αγοράσουµε οποιαδήποτε και αν είναι η τιµή της. 10.3 Μεροληπτικές Καταµετρήσεις Στην αρχή του κεφαλαίου αυτού αναφέρθηκε ότι υπάρχει η πιθανότητα οι πληροφορίες που λαµβάνουµε να µην είναι τέλειες, κάτι που µπορεί να οφείλεται στο κανάλι επικοινωνίας µεταξύ του λήπτη απόφασης και του περιβάλλοντος. Στο πρόβληµά µας αυτό µπορεί να γίνει αφήνοντας κάποιον άλλο να βλέπει τις µπάλες αντί εµείς. Ας υποθέσουµε δηλαδή ότι τον δειγµατοληπτικό έλεγχο τον κάνει κάποιος άλλος, ο Κώστας, ο οποίος πάσχει από δυσχρωµατοψία. Υπάρχουν όµως κάποια στατιστικά στοιχεία που µπορούν να µας βοηθήσουν σχετικά µε την ασθένεια του Κώστα. Αν έχει να διαλέξει ανάµεσα σε µια κόκκινη ή µαύρη µπάλα θα αναγνωρίσει την κόκκινη µπάλα σωστά στο 80% των περιπτώσεων και την µαύρη µπάλα στο 70% των περιπτώσεων. Οι πληροφορίες αυτές φαίνονται και στον πίνακ0.1. Να προσθέσουµε ότι αν πάρουµε την πληροφορία αυτή από τον Κώστα πληρώνουµε τα µόνο µισά λεφτά, από αυτά που ζητήθηκαν αρχικά. Αποφάσεις σε τέτοιου είδους αντιστοιχούν σε αποφάσεις πραγµατικών προβληµάτων όπου υπάρχουν οι επιλογές της διενέργειας προσωπικών συνεντεύξεων ή η αποστολή ερωτηµατολογίων ταχυδροµικά για µια δειγµατοληπτική έρευνα, ή στην περίπτωση επιλογής ανάµεσα σε µια φτηνή µέθοδο χωρίς έγκυρα αποτελέσµατα ή σε µια ακριβή και εκτενή έρευνα. Εδώ λοιπόν, ενδιαφερόµαστε στην µεθοδολογία µε την οποία θα πάρουµε τις απαντήσεις και όχι για τις απαντήσεις αυτές καθ αυτές. Πίνακας 2.1: Οι πληροφορίες που δίνει ο Κώστας συναρτήσει της πραγµατικής κατάστασης Πραγµατικό χρώµα Απόφαση του Κώστα Κόκκινο Μαύρο Κόκκινο 0.8 0.2 Μαύρο 0.3 0.7 Ας προσπαθήσουµε να αναλύσουµε την περίπτωση ε 1. Το δέντρο απόφασης φαίνεται στην επόµενη εικόνα.

Λέει Κ Λέει Μ Εικόν.5: Η περίπτωση ε 1 όταν µας δίνει ο Κώστας την πληροφορία Οι πιθανότητες που θέλουµε να υπολογίσουµε είναι: (Λέει K) στο ε 1 στο µονοπάτι (ε 1, λέει K, ) στο µονοπάτι (ε 1, λέει M, ) Για να υπολογίσουµε αυτές τις πιθανότητες ακολουθούµε την ίδια µέθοδο που περιγράψαµε όταν υπολογίσαµε τις πιθανότητες στο βασικό µας πρόβληµα. Έτσι τοποθετούµε τις τα γεγονότα µε τέτοιο τρόπο έτσι ώστε να είµαστε σε θέση να κάνουµε τους υπολογισµούς µας. Για παράδειγµα, η πιθανότητα να είναι το δοχείο, µια µαύρη µπάλα να διαλέξουµε από το δοχείο και ο Κώστας να πει ότι είναι κόκκινη είναι: P( )*P(M αν )*Ρ(Κώστας λέει κόκκινη αν είναι µαύρη) = 0.8*0.6*0.3 = 0.144. Με αυτόν τον τρόπο υπολογίζουµε όλες τις πιθανότητες, οι οποίες αναγράφονται στην επόµενη εικόνα.

Κ Λέει Κ Λέει Μ Πιθανότητες µονοπατιών Μ Λέει Κ Λέει Μ Κ Μ Λέει Κ Λέει Μ Λέει Κ Λέει Μ Σύνολο: 1.000 Εικόν.6: Υπολογισµός πιθανοτήτων για την ε 1 Άρα οι πιθανότητες που θέλουµε να υπολογίσουµε είναι: (Λέει K) = 0.256+0.144+0.144+0.006 = 0.55 Οµοίως υπολογίζουµε για P(Λέει M) = 0.064+0.336+0.036+0.014 = 0.45 Από το δέντρο βλέπουµε ότι: P(Λέει K, ) = P(Λέει K) * P( Λέει K) P( Λέει K) = 0.4/0.55 = 0.727 Με ανάλογο τρόπο υπολογίζουµε όλες τις άγνωστες πιθανότητες για την περίπτωση του ε 1, αλλά και στις περιπτώσεις των επιλογών ε 2 και ε 3. Όσον αφορά την περίπτωση του ε 0, λόγω µη ύπαρξης πληροφορίας, άρα και εµπλοκή του Κώστα στη διαδικασία, τα δεδοµένα παραµένουν τα ίδια, δηλαδή το δέντρο απόφασης είναι ακριβώς ίδιο µε προηγουµένως (εικόνα 9.10), άρα και η EMV(ε 0 ) παραµένει σταθερή, δηλαδή 28. Τα τροποποιηµένα δέντρα απόφασης για τις περιπτώσεις ε 1, ε 2 και ε 3 παρουσιάζονται στη συνέχεια. Οι αλλαγές που υπάρχουν σε αυτά λόγω της παρεµβολής του Κώστα δεν είναι προσθήκη ή αφαίρεση νέων αποφάσεων ή τυχαίων ενδεχοµένων, αλλά η αλλαγή των πιθανοτήτων των τυχαίων ενδεχοµένων, καθώς και αλλαγές στην αναµενόµενη τιµή του λόγω της µείωσης του κόστους πληροφορίας κατά το ήµισυ.

Λέει Κ : 23.62 ε 1 Κόστος=4 Λέει Μ : 33.34 Εικόν.7: Το δέντρο απόφασης για την ε 1 δίνοντας την πληροφορία ο Κώστα Λέει ΚΚ : 33.33 ε 2 Κόστος=6 Λέει ΚΜ ή : 30.64 Λέει ΜΜ : 36.52 Εικόν.8: Το δέντρο απόφασης για την ε 2 δίνοντας την πληροφορία ο Κώστας

Λέει Κ : 32.80 Λέει Μ : 30.52 Εικόν.9: Το δέντρο απόφασης µε επανατοποθέτηση της κόκκινης µπάλας δίνοντας την πληροφορία ο Κώστας Λέει Κ : 30.52 Λέει Μ : 30.64 Εικόν.10: Το δέντρο απόφασης µε επανατοποθέτηση της µαύρης µπάλας δίνοντας την πληροφορία ο Κώστας

Επανατοποθέτηση 31.82 (Εικόν0.9) Συνεχίζουµε Κόστος=2.25 Όχι επανατοποθέτηση: 32.14 Όχι επανατοποθέτηση Λέει Κ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΚΚ=33.33, Ρ=0.306 Λέει Κ Συνεχίζουµε: 29.89 Λέει Μ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΚΜ=30.64, Ρ=0.244 Σταµατάµε Ίδιο µε µονοπάτι ε 1 Κ=23.66 ε 3 Κόστος=4.5 Επανατοποθέτηση 31.41 33.32 (Εικόν0.10) Λέει Μ Συνεχίζουµε Κόστος=2.25 Σταµατάµε: 33.34 Όχι επανατοποθέτηση: 33.34 Όχι επανατοποθέτηση Λέει Κ Λέει Μ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΜΚ=34.86 Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΜΜ=40.00 Σταµατάµε Ίδιο µε µονοπάτι ε 1 Μ=33.34, Ρ=0.450 Εικόν.11: Το δέντρο απόφασης για την ε 3 δίνοντας τις πληροφορίες ο Κώστας

εν παίζουµε 0.00 Παίζουµε: 28.00 Παίζουµε ε0 : 28.00 ε 0 28.00 ε 1 24.02 ε 2 26.68 ε 3 26.91 Εικόν.12: Το δέντρο απόφασης µε τις επιλογές για πληροφορίες

3. Θεωρία Χρησιµότητας 3.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα αναλύσουµε την θεωρία της χρησιµότητας ή µε άλλα λόγια πως να πάρουµε µια απόφαση χωρίς να χρησιµοποιήσουµε ο κριτήριο της αναµενόµενης τιµής. Θα δούµε ότι η θεωρία της χρησιµότητας στηρίζεται σε µεγάλο βαθµό στην κρίση του λήπτη απόφασης, δηλαδή στον υποκειµενικό και όχι στον αντικειµενικό παράγοντα. Έστω ότι ζητήσαµε από δύο άτοµα να µας ορίσουν το ποσό για το οποίο θα πουλούσαν τα δικαιώµατά τους για ένα παιχνίδι λοταρίας, στο οποίο µπορούµε να κερδίσουµε 0 ή 1000 µε πιθανότητες 50-50. και οι οποίοι δεν χρησιµοποιούν το κριτήριο της EMV. Ο πρώτος απάντησε 450 και ο δεύτερος όχι λιγότερα από 50. Τι θα απαντούσαµε εµείς σε µια τέτοια ερώτηση; Θα µπορούσαµε να σχεδιάσουµε το δέντρο απόφασης µε τις αποπληρωµές και τις πιθανότητες. Όµως τώρα δεν αποφασίζουµε βάσει του κριτηρίου EMV και δεν λύνουµε το δέντρο µε τη µέθοδο που περιγράψαµε σε προηγούµενο κεφάλαιο. Ας υποθέσουµε ότι βρισκόµαστε στον κόµβο τύχης (ε 0, ) του βασικού προβλήµατος και τα δεδοµένα ενός παιχνιδιού λοταρίας αυτό που φαίνονται στην επόµενη εικόνα. Εικόνα 3.1: Απλό πρόβληµα της λοταρίας Αν χρησιµοποιούσαµε την EMV θα δεχόµασταν 0.8*40 + 0.2*(-20) = 28 σαν ένα βέβαιο χρηµατικό ισοδύναµο (certainty monetary equivalent, CME) για τη λοταρία αυτή. Επειδή όµως δεν αποφασίζουµε βάσει της EMV θα µπορούσαµε να δεχτούµε να πουλήσουµε τα δικαιώµατά µας για το παιχνίδι και γι0. Ο εύκολος και φυσικός τρόπος να βγούµε από το δίληµµα είναι η κρίση µας, ώστε να εκτιµήσουµε το ποσό για το οποίο θα δεχόµασταν να πουλήσουµε τα δικαιώµατά µας για τη λοταρία και όχι η EMV. 3.2 Η Χρήση του CME στην Ανάλυση Ενός έντρου Απόφασης Για να υπολογίσουµε το CME του προβλήµατος της προηγούµενης ενότητας σχεδιάσαµε το δέντρο απόφασης µε τις αποπληρωµές και τις πιθανότητες και υπολογίσαµε την EMV. Το συγκεκριµένο δέντρο ήταν πολύ απλό. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και σε πιο σύνθετο δέντρο απόφασης το κριτήριο του CME, αντί της EMV.Ο τρόπος είναι απλός. Όπως και προηγουµένως σχεδιάζουµε το δέντρο απόφασης και γράφουµε σε αυτό τις αποπληρωµές και τις πιθανότητες. Σύµφωνα µε την EMV για να λύσουµε το πρόβληµα σε κάθε κόµβο τύχης υπολογίζουµε την EMV. Τώρα αντικαθιστούµε την EMV µε το CME, του οποίου η τιµή εξαρτάται από την κρίση µας. Όµως ο καθορισµός του CME δεν είναι πάντα εύκολη υπόθεση. Μπορεί κάποιοι να θεωρούν εύκολο να το καθορίσουν όταν µε πιθανότητες 50-50 θα έχουµε κέρδος 0 ή 100, αλλά θα δυσκολευτούν αν το πρόβληµα της λοταρίας αλλάξει έτσι ώστε να κερδίσουµε 68 µε πιθανότητα 0.31 και να πληρώσουµε 13 µε πιθανότητα 0.69. Η δυσκολία αυτή είναι

σαφώς µεγαλύτερη αν υποθέσουµε ότι αντί για δύο επιλογές έχουµε περισσότερες, όπως φαίνεται στην επόµενη εικόνα. Εικόνα 3.2: Σύνθετο πρόβληµα λοταρίας Για έναν λήπτη απόφασης που βασίζεται στην EMV θα ίσχυε ότι EMV = CME, που είναι: 0.13*(0.18)+0.27*(-7)+0.23*0.3+0.17*16+0.2*72 = 13.06 Για αυτόν όµως που δεν χρησιµοποιεί την EMV πως θα όριζε το CME; Για το πρόβληµα αυτό θα µπορούσαµε να σχεδιάσουµε τη κατανοµή κέρδοςπιθανότητες, η οποία φαίνεται στην επόµενη εικόνα. Η EMV είναι η µέση τιµή ή αναµενόµενη τιµή της διασποράς του κέρδους. 0.3 0.25 Πιθανότητα 0.2 0.15 0.1 0.05 0-18 -7 3 16 72 Ποσό σε Εικόνα 3.3: Κατανοµή του κέρδους βάσει πιθανοτήτων Για κάποιον που δεν ενδιαφέρεται για την EMV, θα µπορούσαµε να ορίσουµε το CME ως το µέσο του κέρδους, έχοντας κάποια απόκλιση από την πραγµατική µέση τιµή (EMV), της οποία η τιµή είναι λ φορές της σταθερής τιµής απόκλισης, δηλαδή CME = EMV λ x σταθερή απόκλιση

Εκτός του ότι κάτι τέτοιο είναι αυθαίρετο υπάρχει και µεγάλο σφάλµα σε αυτή τη διαδικασία, γιατί αφ ενός είναι εύκολο να δώσουµε δύο παραδείγµατα δύο κατανοµών που έχουν ίδια µέση τιµή και σταθερή απόκλιση αλλά έχουν εντελώς διαφορετικά οικονοµικά συµπεράσµατα, αφ ετέρου ακόµη και αν η κατανοµή είναι συµµετρική ως προς το µέσο το λ εξαρτάται από ολόκληρη την κατανοµή και όχι από µια περιοχή. 3.3 Λοταρίες µε Βασικές Πληροφορίες τα Λαχεία για τα Κέρδη (Lotteries with basic reference lottery tickets as prizes) Στην ενότητα αυτή θα εισάγουµε και θα αναλύσουµε µια νέα προσέγγιση µε την οποία θα µπορούµε να παίρνουµε µια απόφαση χωρίς να χρησιµοποιούµε την EMV. Θα επιλέξουµε ανάµεσα σε δύο λαχεία, κάθε ένα από τα οποία έχει διαφορετικά κέρδη. Τα λαχεία αυτά είναι καθορισµένα µε την εξής έννοια: ξέρουµε εκ των προτέρων ποιο είναι το κέρδος και την πιθανότητα για κάθε µια περίπτωση κέρδους. Σε ένα τέτοιο λαχείο αναγράφεται από την µια µεριά του ένας αριθµός ανάµεσα στο 0 και το 1, έστω δηλαδή ότι γράφει 0.38, και από την άλλη µεριά αναγράφονται τα δικαιώµατα που έχουµε βάσει αυτού του λαχείου, όπως για παράδειγµα το µήνυµα που φαίνεται στην επόµενη εικόνα, το οποίο αναφέρουµε ως λαχείο µε βασικές πληροφορίες (basic reference lottery ticket, BRLT), και για συντοµία 0.38-BRLT. 0.38 Το λαχείο αυτό δίνει στον κάτοχό του 0,38 πιθανότητα για το Κ και το συµπληρωµατικό του για το Μ (πληροφορίες για τα βραβεία Κ και Μ περιγράφονται στη mastercard) Εικόνα 3.4: Οι δύο όψεις του λαχείου Οι πληροφορίες που έχουµε από την Mastercard για τα βραβεία Κ και Μ είναι οι ακόλουθες: Κ: Αµεταβίβαστα δικαιώµατα για τον/την κάτοχο του εισιτηρίου και τον/την σύντροφό του για την απόκτηση των καλύτερων θέσεων σε οποιοδήποτε κοντσέρτο, θέατρο, όπερα, ταινία, αθλητικό γεγονός δωρεάν για ένα χρόνο αρχίζοντας από τώρα. Μπορείτε να πηγαίνετε όσο συχνά θέλετε. Μ: Όπως έχει. Φυσικά προτιµούµε το Κ από το Μ, κάτι που µεταφράζεται στο ότι το 0.40- BRLT είναι καλύτερο από το 0.38-BRLT. Πιο απλά το πρόβληµα µπορούµε να το εξηγήσουµε έχοντας ένα δοχείο το οποίο περιέχει µονίµως 100 µπάλες, από τις οποίες 38 έχουν την ένδειξη Κ και 62 την ένδειξη Μ. Προφανώς, αν έχουµε 40 µπάλες µε την ένδειξη Κ είναι προτιµότερο από το να έχουµε 38. Ας υποθέσουµε ότι έχουµε να επιλέξουµε ανάµεσα στην και την, οπότε θα βρεθούµε αντιµέτωποι µε µια λοταρία της οποίας τα κέρδη είναι βασικές πληροφορίες στα λαχεία. Αν εξετάσουµε την επιλογή. Αν εξετάσουµε το πρόβληµα σαν να είχαµε µπροστά µας δοχεία µε µπάλες, τότε το δοχείο Α θα περιείχε 30 µπάλες µε ένδειξη 0.4, 50 µπάλες µε ένδειξη 0.7 και 20 µπάλες µε ένδειξη 0.5. Αν η µπάλα που τραβήξουµε στην τύχη είναι 0.7

τότε έχουµε 0.7- BRLT. Αυτό σηµαίνει ότι σε ένα άλλο δοχείο Β θα βάλουµε 70 µπάλες µε την ένδειξη Κ και 30 µε την ένδειξη Μ. Η µπάλα που θα τραβήξουµε από το δοχείο Β είναι αυτή που θα καθορίσει αν κερδίσουµε το Κ ή το Μ. Σηµειώστε ότι η σύνθεση του δοχείου Β εξαρτάται από το τι θα δώσει η µπάλα που τραβήξαµε από το Α. Εικόνα 3.5: Επιλογή µπάλας από το δοχείο Α Η αναµενόµενη τιµή του BRLT είναι 0.3*0.4+0.5*0.7+0.2*0.5 = 0.57. Οµοίως υπολογίζουµε για το κλαδί και την βρίσκουµε 0.51-BRLT, οπότε και προτιµούµε την. Γενικότερα θα λέγαµε ότι πρέπει να είµαστε αδιάφορο σε παιχνίδια που δίνουν πιθανότητες: p 1 : πιθανότητα για ένα π 1 -BRLT p 2 : πιθανότητα για ένα π 2 -BRLT... p n : πιθανότητα για ένα π n -BRLT όπου p1 + p2 +... + pn = 1και π BRTL = p1 π1 + p2π 2 +... + p n π n. Επειδή το παιχνίδι θα γίνει µόνο µια φορά, άσχετα µε το αν στηρίζεστε ή όχι στην EMV, αν σας αρέσει ή όχι το ρίσκο, άσχετα µε την τιµή του βέβαιου χρηµατικού ισοδύναµου που θα δίνατε, είναι ορθό το κριτήριό µας να είναι µονάδες BRLT και όχι τα χρήµατα. εν θα µπορούσαµε να ισχυριστούµε το ίδιο αποτέλεσµα σε µια λοταρία που θα είχαµε χρηµατικά βραβεία και όχι µονάδες BRLT. Ένας λήπτης απόφασης δεν θα ήταν απαραίτητα αδιάφορος για µια λοταρία που δίνει p 1 πιθανότητα για κέρδος x 1 και p 2 για κέρδος x 2. Αυτός που χρησιµοποιεί την EMV θα υπολόγιζε την EMV ενώ αυτός που χρησιµοποιεί το κριτήριο του CME θα στηριζόταν στην κατανοµή των χρηµατικών αξιών. 3.4 Θεωρία Αντικατάστασης (Substitutability) Ας υποθέσουµε ότι µας ζητάνε να επιλέξουµε σε ποια λοταρία θα παίξουµε όταν υπάρχουν δύο λοταρίες η Α και η Β, των οποίων τα δύο από τα τρία βραβεία είναι ίδια (Α 2 είναι 50 και Α 3 µια εγκυκλοπαίδεια) και µόνο ένα από τα τρία πιθανά βραβεία είναι διαφορετικό. Οι λοταρίες αυτές φαίνονται στην επόµενη εικόνα.

Α Στερεοφωνικό B 50 50 Συνδροµή στο National Geographic Εγκυκλοπαίδεια Εγκυκλοπαίδεια Εικόνα 3.6: Οι δύο πιθανές λοταρίες Αυτό που θα ουσιαστικά θα κρίνει την απόφασή µας είναι αν προτιµάµε το στερεοφωνικό ή την συνδροµή στο National Geographic, αφού τα άλλα αποτελέσµατα είναι ίδια, ενώ και οι πιθανότητες των αποτελεσµάτων είναι ίδιες και για τις δύο λοταρίες. Για τέτοιες περιπτώσεις υπάρχει µια αρχή που ονοµάζεται η αρχή της αντικατάστασης, σύµφωνα µε την οποία αν σε ένα παιχνίδι αλλάξει µόνο ένα βραβείο µε κάποιο άλλο ενώ οτιδήποτε άλλο παραµείνει ίδιο και είµαστε αδιάφοροι µεταξύ του αρχικού βραβείου και αυτού που το αντικατέστησε, τότε θα πρέπει να είµαστε αδιάφοροι µεταξύ της αρχικής και της τροποποιηµένης λοταρίας. Για να συγκρίνουµε περιπτώσεις όπου τα βραβεία είναι αντικείµενα και όχι ποσά ή µονάδες BRLT, δηλαδή τα τελικά αποτελέσµατα δεν έχουν τιµές, οπότε και εµείς δεν µπορούµε να λύσουµε ένα δέντρο απόφασης που περιέχει τέτοια στοιχεία, χρησιµοποιούµε ένα τέχνασµα. Αντικαθιστάµε τα βραβεία Α 1, Α 2 και Α 3 µε αντισταθµισµένες τιµές BRLT και έτσι απλοποιούµε τις λοταρίες έχοντας πια ως αποτελέσµατα µονάδες BRLT. Ας υποθέσουµε ότι αντιµετωπίζουµε το πρόβληµα επιλογής λοταρίας που φαίνεται στην εικόνα 7. Αν είµαστε αδιάφοροι µεταξύ του Α 3 και του 0.7-BRLT και το αντικαταστήσουµε, τότε η επιλογή του δέντρου θα έχει τιµή BRLT ίση µε 0.3*0.4+0.5*0.7+0.2*0.5=0.57. Αν τώρα υποθέσουµε ότι είµαστε αδιάφοροι ανάµεσα στο Α 2 και στο 0.3-BRLT τότε η θα έχει 0.51-BRLT, αφού 0.6*0.4+0.3*0.8+0.1*0.3=0.51. Έτσι τώρα µπορούµε να συγκρίνουµε τις επιλογές και, προτιµώντας την έχει µεγαλύτερη τιµή BRLT. A3 : Εγκυκλοπαίδεια A 2 : 50 Εικόνα 3.7: Πρόβληµα επιλογής λοταρίας

Πριν συσχετίσουµε όλη αυτή τη µεθοδολογία µε το βασικό µας πρόβληµα, θα αναλύσουµε ένα άλλο πιο απλό πρόβληµα. Υποθέτουµε ότι αντιµετωπίζουµε το πρόβληµα που φαίνεται στην εικόνα 8. Υποθέστε ότι τα αποτελέσµατα C 1, C 2, C 3, C 4 και C 5 είναι κάποια βραβεία, από τα οποία εµείς θεωρούµε ως καλύτερο το C 1 και χειρότερο το C 5. Έτσι, όταν τα αντικαθιστούµε µε τιµές BRLT θα είναι: C 1 -BRLT=1 > C 2 -BRLT > C 3 -BRLT > C 4 -BRLT > C 5 -BRLT=0 Αποφασίζουµε ότι είµαστε αδιάφοροι µεταξύ του C 2 και του 0.8-BRLT, του C 3 και του 0.5- BRLT και τέλος του C 5 και του 0.2-BRLT, όπως φαίνεται και στην εικόνα 3.8. α 3 C 3 ~0.5 C 1 ~1.0 α 4 C 4 ~0.2 C 5 ~0.0 C 3 ~0.5 C 4 ~0.2 C 2 ~0.8 C 4 ~0.2 Εικόνα 3.8: Απλό πρόβληµα αντικατάστασης βραβείων µε τιµές BRLT Το δέντρο λύνεται όπως ακριβώς θα λύναµε και ένα δέντρο όπου τα τελικά αποτελέσµατα θα ήταν αποπληρωµές και οι τιµές των κόµβων EMV. Βλέπουµε δηλαδή ότι το αναµενόµενο κέρδος εξακολουθεί να ισχύει ακόµα και όταν µιλάµε για χρησιµότητα, αλλά υπολογίζουµε πλέον την αναµενόµενη χρησιµότητα και όχι το αναµενόµενο χρηµατικό κέρδος. Ο υπολογισµός της αναµενόµενης χρησιµότητας του προβλήµατος φαίνεται στην εικόνα 3.9.

α 3 α 3 : 0.50 α 4 : 0.47 Εικόνα 3.9: Υπολογισµός αναµενόµενης χρησιµότητας 3.5 Συνάρτηση Χρησιµότητας (π-indifference function for money) Ας επανέλθουµε στο βασικό µας πρόβληµα και ας υποθέσουµε ότι δεν χρησιµοποιούµε το κριτήριο της EMV, αλλά προσπαθούµε να βρούµε την καλύτερη λύση βάσει της BRLT. Αρχικά επιλέγουµε δύο τιµές στο διάστηµα των οποίων υπάρχουν όλες οι τιµές του προβλήµατος. Έστω ότι οι τιµές αυτές είναι τ00 και τα 50, των οποίων οι πιθανότητες είναι π και 1-π αντίστοιχα. Θέτουµε το ερώτηµα στο λήπτη απόφασης ποιο χρηµατικό ποσό x θα αντιστοιχούσε το π-brlt. Για να υπολογίσει την τιµή αυτή θα µπορούσε να σχεδιάσει τη γραφική παράσταση των χρηµάτων σε σχέση µε την BRLT. Για κάποιον που χρησιµοποιεί την EMV αυτή η γραφική παράσταση θα ήταν µια ευθεία που θα συνέδεε τα σηµεία A (x=-50,π=0) και B (x=100,π=1) και θα ήταν: x=π*100+(1-π)*(-50)=- 50+100*π. Ας δούµε τώρα πως θα µπορούσαµε να βρούµε κάποια σηµεία της γραφικής παράστασης και πως θα ήταν αυτή. Ο λήπτης απόφασης θεωρεί ότι είναι αδιάφορος µεταξύ σε 0 κέρδος και σε 0.5-BRLT. Άρα η γραφική παράσταση περνάει από το σηµείο (x=0,π=0.5). Ακόµα τον ρωτήσαµε τι τιµή θα έδινε στο CME αν θεωρούσαµε ότι οι τιµές κυµαίνονταν µεταξύ 0 και 100.και µας είπε ότι θα ήταν ικανοποιηµένος µε 38, όταν η EMV=0.5*0+0.5*100=50. Εποµένως ο λήπτης απόφασης θα ήταν αδιάφορος µεταξύ των 38 και του 0.5*0.5+0.5*1=0.75-BRLT.

Εικόνα 3.10: Υπολογισµός CME και BRLT Επειδή στα σοβαρά ζητήµατα αποφεύγεται το ρίσκο το CME είναι µικρότερο της EMV A +B EMV, δηλαδή C = CME < =, ενώ η τιµή του π στην περίπτωση αυτή είναι 2 2 π( Α) + π( Β) π( C) =. εδοµένου ότι θέλουµε τη γραφική παράσταση να είναι οµαλή 2 βλέποντας την εικόν1, συµπεραίνουµε ότι για να περνάει από τα τρία σηµεία του διαγράµµατος θα πρέπει έχει τη µορφή µια κυρτής καµπύλης. Αν ο λήπτης απόφασης δεν αποφεύγει το ρίσκο αλλά το προτιµάει τότε η καµπύλη είναι κυρτή. Η καµπύλη χρησιµότητας για το βασικό πρόβληµά µας, δεδοµένου των σηµείων (-50,0), (0,0.5), (38,0.75) και (100,1) φαίνεται στην εικόν2. Εικόνα 3.11: Τα σηµεία της γραφικής παράστασης Ας επανέλθουµε στο πρόβληµα λοταρίας που τέθηκε στην δεύτερη ενότητα του κεφαλαίου αυτού και στο οποίο ο λήπτη απόφασης έχει 5 διαφορετικές επιλογές. Αν σχεδιάζαµε την συνάρτηση χρησιµότητας για το πρόβληµα αυτό και βρίσκαµε τις τιµές του π για τα ποσά που έχουµε, τότε το π-brlt θα είναι: 0.13*0.35+0.27*0.45+0.23*0.52+0.17*0.62+0.2*0.89 = 0.57 ηλαδή ο λήπτης απόφασης θα ήταν αδιάφορος ανάµεσα στην λοταρία της εικόνας 2 και σε ένα 0.57-BRLT. Αν είχαµε σχεδιάσει την καµπύλη θα βλέπαµε ότι η αξία που θα αντιστοιχούσε στην τιµή αυτή θα ήταν 11. Η EMV στο πρόβληµα αυτό είναι 13.06. Η διαφορά αυτή θα ήταν µεγαλύτερη αν η καµπύλη είχε µεγαλύτερη κλίση.

π-brlt Ποσό σε Εικόνα 3.12: Συνάρτηση χρησιµότητας αντι-ριψοκίνδυνου -18 ~ 0.35-7 ~ 0.45 3 ~ 0.52 16 ~ 0.62 72 ~ 0.89 Εικόνα 3.13: Το πρόβληµα επιλογής λοταρίας µε τιµές BRLT 3.6 Ανάλυση του Βασικού Προβλήµατος µε Τιµές BRLT Έχοντας σχεδιάσει την καµπύλη χρησιµότητας για το βασικό µας πρόβληµα στην προηγούµενη ενότητα ας λύσουµε τώρα το δέντρο απόφασης µε τιµές BRLT ή αλλιώς υπολογίζοντας την αναµενόµενη χρησιµότητα. Η αλλαγή που κάνουµε τώρα σε σχέση όλες τις προηγούµενες φορές που λύσαµε το δέντρο απόφασης είναι ότι για να χρησιµοποιήσουµε χρησιµότητα πρέπει να αφαιρέσουµε το κόστος της πληροφορίας των περιπτώσεων ε 1, ε 2 και ε 3 από όλες τις αποπληρωµές ανάλογα µε την περίπτωση, έτσι ώστε κάθε αποτέλεσµα να αντιστοιχηθεί µε την ανάλογη τιµή BRLT. Το δέντρο απόφασης σε κάθε περίπτωση φαίνεται στις επόµενες εικόνες.

ε 0 : 0.675 Εικόνα 3.14: Tο δέντρο απόφασης για την επιλογή ε 0 µε χρησιµότητες Κ : 0.599 ε 1 Μ : 0.697 Εικόνα 3.15: Tο δέντρο απόφασης για την επιλογή ε 1 µε χρησιµότητες

ΚΚ : 0.717 ε 2 ΚΜ ή ΜΚ : 0.651 ΜΜ : 0.690 Εικόνα 3.16: Tο δέντρο απόφασης για την επιλογή ε 2 µε χρησιµότητες

Κ : 0.685 Μ : 0.640 Εικόνα 3.17: Το δέντρο απόφασης µε την επανατοποθέτηση της κόκκινης µπάλας στην επιλογή ε 3 µε χρησιµότητες Κ : 0.640 Μ : 0.677 Εικόνα 3.18: Το δέντρο απόφασης µε την επανατοποθέτηση της µαύρης µπάλας στην επιλογή ε 3 µε χρησιµότητες

Επανατοποθέτηση 0.666 (Εικόν1.17) Κ Συνεχίζουµε Συνεχίζουµε: 0.677 Όχι επανατοποθέτηση: 0.677 Όχι επανατοποθέτηση Κ Μ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΚΚ: 0.710, Ρ=0.27 Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΚΜ: 0.640, Ρ=0.23 Σταµατάµε Ίδιο µε µονοπάτι ε 1 Μ: 0.596 Επανατοποθέτηση 0.661 (Εικόν1.18) Συνεχίζουµε Όχι επανατοποθέτηση: 0.661 Κ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΜΚ: 0.640 Όχι επανατοποθέτηση Σταµατάµε: 0.692 Μ Ίδιο µε µονοπάτι ε 2 ΜΜ: 0.680 Σταµατάµε Ίδιο µε µονοπάτι ε 1 Μ: 0.692, Ρ=0.50 Εικόνα 3.19: Το δέντρο απόφασης για την επιλογή ε 3 µε χρησιµότητες

εν παίζουµε 0.500 Παίζουµε: 0.685 Παίζουµε ε 3 : 0.685 ε 0 0.675 ε 1 0.648 ε 2 0.679 ε 3 0.685 Εικόνα 3.20: Το δέντρο απόφασης µε τις επιλογές για πληροφορίες µε χρησιµότητες 3.7 Μεταβατικότητα (Transitivity) Έστω ότι έχουµε να επιλέξουµε µεταξύ των κάποιων τυχερών παιχνιδιών. Στο έχουµε 50-50 πιθανότητες να χάσουµε 50 ή να µην κερδίσουµε τίποτα (0 ), στο χάνουµε σίγουρα 45 και στο α 3 έχουµε 50-50 πιθανότητες να κερδίσουµε 45 ή να χάσουµε 50, πληρώνοντας όµως προηγουµένως 45. Οι επιλογές µας είναι να διαλέξουµε ανάµεσα στην και την ή ανάµεσα στην και την α 3, όπως φαίνεται στην επόµενη εικόνα. Αν είχαµε επιλογή να µην παίξουµε σίγουρα θα ήταν προτιµότερη από όλες αυτές. Κάποιοι θα προτιµούσαν την από την, και την από την α 3. Αν µεταξύ της και της α 3 λέγαµε ότι προτιµούσαµε την α 3, τότε οι προτιµήσεις µας θα έκαναν κύκλο, χωρίς να εµφανίζεται η καλύτερη επιλογή. Αυτές τις προτιµήσεις τις αποκαλούµε αµετάβατες. α 3 Κόστος=45 Εικόνα 3.21: Οι επιλογές του τυχερού παιχνιδιού Για να αποφύγουµε τέτοιες καταστάσεις, ακολουθούµε την αρχή της µεταβατικότητας, σύµφωνα µε την οποία όταν υπάρχουν τρεις επιλογές Α, Β και Γ και

ο λήπτης απόφασης έχει κάποιες προτιµήσεις µεταξύ αυτών, οι προτιµήσεις αυτές θα πρέπει να διέπονται από τις παρακάτω σχέσεις: 1. Αν ο λήπτης απόφασης είναι αδιάφορος µεταξύ των Α και Β και µεταξύ των Β και Γ, τότε είναι αδιάφορος και µεταξύ των Α και Γ. Συµβολικά: Α~Β και Β~Γ => Α~Γ 2. Αν προτιµάει το Α από το Β και το Β από το Γ, τότε θα προτιµάει και το Α από το Γ. Συµβολικά: Α>Β και Β >Γ => Α>Γ 3. αν προτιµάει το Α από το Β και είναι αδιάφορος µεταξύ του Β και του Γ, τότε προτιµάει το Α. Συµβολικά: Α>Β και Β~Γ => Α>Γ Φυσικά πρέπει να είµαστε προσεχτικοί µε την χρήση της αρχής αυτής για να µην οδηγηθούµε σε λάθος συµπεράσµατα, όπως στο επόµενο παράδειγµα. Έστω ότι θέλουµε να πάµε για διακοπές στη Μύκονο και τα χρήµατα που σκοπεύουµε να ξοδέψουµε είναι Χ=1000. Αν το ποσό αυτό αυξηθεί κατά 1 δεν υπάρχει πρόβληµα, δηλαδή µας αφήνει αδιάφορους. Αν αντί γι001 ξοδέψουµε 1002 και πάλι δεν υπάρχει πρόβληµα. Οµοίως µπορούµε να συνεχίσουµε τη λογική αυτή έτσι ώστε συµβολικά να έχουµε: 1000 ~ 1000+1 1001 ~ 1001+1 1002 ~ 1002+1... 1999 ~ 1999+1 ηλαδή, επειδή είµαστε αδιάφοροι µεταξύ στ000 και στ999, µεταξύ των 1999 και των 1998 κ.ο.κ. θα πρέπει να είµαστε αδιάφοροι µεταξύ των 1000 και των 2000, κάτι που φυσικά δεν είναι λογικό µιας και η διαφορά των ποσών αυτών είναι πολύ µεγάλη. 3.8 Μεγιστοποίηση της Αναµενόµενης Χρησιµότητας Ας επανέλθουµε στο βασικό πρόβληµα και ας υποθέσουµε ότι τα χρηµατικά ποσά µε τα οποία καθορίζουµε τ-brlt και 0-BRLT δεν είναι πλέον τ00 και τα 50 αντίστοιχα, αλλά τα 80 και 25. Το ερώτηµα που τίθεται αµέσως είναι αν θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε την συνάρτηση χρησιµότητας που σχεδιάσαµε στην ενότητα 5 ή πρέπει να σχεδιάσουµε µια νέα καµπύλη από την αρχή. Για να απαντήσουµε στην προηγούµενη ερώτηση θα χρησιµοποιήσουµε το παράδειγµα µε την επιλογή µιας από τις 5 λοταρίες που περιγράφηκε στην ενότητα 5. Αν υποθέσουµε ότι οι τιµές BRLT δεν κυµαίνονται από το 0 έως το 1 και κάποιος αφαιρούσε από όλες τις BRLT τιµές του προβλήµατος 3.40 µονάδες, τότε η αναµενόµενη τιµή του προβλήµατος θα ήταν: 0.13*(0.35-3.40) + 0.27*(0.45-3.40) + 0.23*(0.52-3.40) + 0.17*(0.62-3.40) + 0.2*(0.89-3.40) = -2.83 Η τιµή αυτή είναι δηλαδή ίση µε την προηγούµενη αναµενόµενη τιµή του προβλήµατος 0.57 µείον 3.40. ηλαδή προσθέτοντας, αφαιρώντας ή πολλαπλασιάζοντας κάποιον σταθερό αριθµό σε όλες τις π-brlt τιµές, η αλλαγή που έχουµε στην αναµενόµενη τιµή είναι ίση µε την προηγούµενη αναµενόµενη τιµή αθροίζοντας, αφαιρώντας ή πολλαπλασιάζοντας σε αυτήν τον σταθερό αυτόν αριθµό. Από το γεγονός αυτό προκύπτει το συµπέρασµα ότι µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε και άλλα διαστήµατα αριθµών, ή γενικότερα κλίµακες στον κάθετο άξονα, και όχι µόνο το [0,1] για να αντιστοιχήσουµε τα ποσά σε µονάδες