Problee oscilaţii 1. O pendulă bate secunda (ₒ=s). Câte oscilaţii coplete face această pendulă într-o oră?. Perioada de oscilaţie a unui copil care se dă în leagăn este ₒ=3s. Câte oscilaţii coplete efectuează copilul într-un inut? Care este frecvenţa de oscilaţie a copilului din leagăn? 3. De câte ori trebuie să se reducă lungiea unui pendul gravitaţional pentru ca frecvenţa de oscilaţie să se dubleze? 4. Un corp de asă ₁=1kg, prins de un resort elastic ideal oscilează aronic. Ce asă ₂ trebuie să aibă un corp astfel încât, aşezat peste priul, ansablul forat din cele două corpuri să oscileze cu o perioadă de două ori ai are decât perioada cu care oscila corpul ₁ singur? Cu variază frecvenţa de oscilaţie după adăugarea corpului de asă ₂? 5. Un o depărtează din poziţia de echilibru cu un unghi ic o inge de diensiuni neglijabile, legată de tavanul unei săli de sport prin interediul unui fir ideal de lungie l 4şi o eliberează fără a-i ipria o viteză iniţială. De câte ori revine într-un inut ingea în poziţia din care a eliberat-o oul? Se va considera că g. 6. Legea de işcare a unui oscilator liniar aronic este y=1 sin(πt + π )(c). Se cer: 6 a. Aplitudinea de oscilaţie Pulsaţia, perioada şi frecvenţa c. Dependenţele de tip ale vitezei şi acceleraţiei d. Reprezentarea grafică a legii de işcare y=f(t) 7. Un pendul gravitaţional efectuează 3 de oscilaţii coplete într-un inut. Care este lungiea pendulului? (g π²) 8. În tipul oscilaţiilor unui pendul gravitaţional de lungie l=1 acceleraţia axiă este a g. Care este viteza axiă din tipul oscilaţiilor? ax,1 9. Ce energie trebuie să i se iprie unui corp prins de un resort orizontal de constantă elastică k 1 N/ pentru a efectua oscilaţii liniare aronice cu aplitudinea A=1? 1
Y() Y() Y() 1. În graficele de ai jos sunt reprezentate dependenţele de tip ale elongaţiilor unor oscilatori liniari aronici. Pentru fiecare din cele trei situaţii să se deterine: a. Aplitudinea de oscilaţie Perioada de oscilaţie c. Legea de işcare y=f(t) d. Dependenţa de tip a vitezei şi să se reprezinte grafic această dependenţă 3 1.5 1 1.5-1.5 1 1.5.5 3 -.5.5 1 1.5.5 3 - -1-3 t(s) -1.5 t(s) 6 4-1 3 4 5 6-4 -6 t(s) 11. În tabelul de ai jos sunt trecute elongaţiile unui oscilator liniar aronic la diferite oente de tip. y() 4 4 4 4 t (s),5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 Se cer: a. Aplitudinea oscilatorului Perioada şi pulsaţia c. Legea de işcare y=f(t) d. Să se iagineze un exeplu de oscilator care să aibă aceste caracteristici
1. În tabelul de ai jos sunt trecute vitezele unui oscilator liniar aronic la diferite oente de tip. v(/s) t(s) 1 3 4 5 6 7 8 9 1 11 1 13 14 15 16 Se cer: a. Viteza axiă a oscilatorului Perioada şi pulsaţia c. Legea vitezei v=f(t) d. Să se iagineze un exeplu de oscilator care să aibă aceste caracteristici 13. Pulsul unei persoane este de 9 bătăi/in. Să se deterine: a. Frecvenţa de oscilaţie a iniii expriată în hertzi Pulsaţia oscilaţiilor iniii c. Perioada de oscilaţie a iniii 14. Un pendul bate secunda(ₒ=s). Din cauza dilatării lungiea pendulului a crescut cu 1,5%. Care este noua perioadă de oscilaţie? Cu câte procente a crescut această perioadă? 15. Care este perioada de oscilaţie a unui pendul gravitaţional pe Lună, dacă pe Păânt el oscilează cu perioada ₒ=1s. Acceleraţia gravitaţională pe Lună este de 6 ori ai ică decât pe Păânt. ( 6, 45) 16. Cu câte procente este ai are perioada de oscilaţie a unui pendul siplu pe vârful Everest decât la nivelul ării? Acceleraţia gravitaţională pe vârful Everest este de 1,8 ai ică decât la nivelul ării. 17. În cazul general, perioada reală de oscilaţie a unui corp legat de un resort are expresia: r 3, unde este asa corpului suspendat de resort, r este asa resortului, iar k este constanta elastică a resortului. Să se deterine cu câte procente diferă perioada calculată fără a lua în calcul asa resortului decât perioada în cazul în care se ţine cont de asa resortului pentru situaţiile: r a., 5 r 1 3 k
(kg) Dacă perioada de oscilaţie calculată fără a ţine cont de asa resortului este de 1 s, să se deterine perioada reală de oscilaţie pentru abele situaţii. Concluzie. 18. De un resort elastic ideal, a cărui constantă elastică este necunoscută, se agaţă diferite ase şi se ăsoară perioada de oscilaţie, după care se trasează graficul de ai jos, în care pe axa absciselor sunt trecute asele agăţate de resort şi pe axa ordonatelor pătratul perioadelor corespunzătoare. Care este expresia pantei acestui grafic? Să se deterine constanta elastică a resortului, ăsurând panta graficului. 5 15 1 5 4 6 8 1 ²(s²) 19. De un resort de constantă elastică k=1n/ este atârnat în echilibru un taler. Pe taler se aşază uşor un corp de asă =1kg. Care va fi aplitudinea de oscilaţie?. Un resort elastic ideal, de constantă elastică k=4 N/ se află pe o asă orizontală netedă. Un capăt al resortului este fixat, iar celălalt capăt este prins de un corp de asă =1kg. I se ipriă corpului viteza v=, /s în sensul copriării resortului. a. Care va fi aplitudinea de oscilaţie? Care este legea de işcare x=f(t)? 1. Se dă sisteul din figura alaturată. Corpul de asă este deplasat spre dreapta pe o distanţă xₒ=4 c şi apoi este eliberat. Se cunosc k=1 N/, =1kg. a. Care este viteza axiă atinsă de corp? Să se scrie dependenţele de tip ale elongaţiei şi vitezei şi să se reprezinte grafic. 4
. De un resort vertical, nedeforat se agaţă un corp de asă =1kg şi i se dă druul fără a i se ipria o viteză. Să se scrie legea de işcare y=f(t). Se cunoaşte constanta elastică a resortului k=1 N/. 3. Un corp de asă =1kg, prins de un resort elastic de constantă elastică k=1n/ este deplasat din poziţia de echilibru, ca în figură. După cât tip corpul revine în poziţia de echilibru? 4. rei resorturi de lungii nedeforate egale, dar de constante elatice diferite se află în echilibru pe o suprafaţă orizontală netedă, ca în figură. Fiecare din cele trei resorturi are un capăt fixat şi la celălalt capăt are prins un corp care poate aluneca fără frecare pe suprafaţa orizontală. Se depărtează de poziţia de echilibru cele trei corpuri, ca în figură, după care sunt eliberate siultan, fără a li se ipria o viteză iniţială. Între constantele elastice ale resorturilor şi asele corpurilor prinse la capetele lor există relaţiile: ordine revin corpurile în poziţia de echilibru? k k 4 1 3 k1,, k3, 1 1 3. În ce 5. rei pendule gravitaţionale, de lungii diferite l l l sunt deviate cu acelaşi unghi 1 3 6 din poziţia de echilibru, după cu se vede în figură. În ce ordine revin în poziţia de echilibru pendulele şi care este relaţia între vitezele lor? 6. Un pendul gravitaţional este prins de un perete vertical. Se îndepartează pendulul de perete cu un unghi f. ic α(<6 ) şi apoi este eliberat. După cât tip va avea 5
loc pria ciocnire dintre pendul şi perete? Se cunoaşte lungiea pendului: l=1 c şi se va considera că g=1/s². Ciocnirea cu peretele se consideră perfect elastică (nu există pierderi de energie). După cât tip pendulul se întoarce în poziţia iniţială? 7. Un corp de asă =kg, prins de un resort elastic ca în figura alăturată, este deplasat din poziţia de echilibru pe distanţa A=1 şi eliberat. Corpul parcurge distanţa înapoi spre poziţia de echilibru în acelaşi tip în care ar fi parcurs-o dacă se deplasa cu viteza constantă v=1 /s. Care este constanta elastică a resortului? Ce viteză are corpul în oentul trecerii prin poziţia de echilibru? 8. Un corp de asă =5 kg se îndreaptă cu viteza spre un resort ideal de constantă elastică v, s N k, cu este ilustrat în figura alăturată. Să se deterine: a. Copriarea axiă a resortului Cât tip corpul şi resortul se află în contact 9. Se dă sisteul din figura alăturată. Iniţial, corpul de asă =1kg este în echilibru, resortul de constantă elastică k=1 N/ nefiind deforat. La distanţa d=1 de aceasta poziţie a corpului se află un perete. a. Ce viteză axiă i se poate ipria corpului astfel încât acesta să nu ciocnească peretele? Dacă în poziţia iniţială i se ipriă corpului de asă o viteză v=/s spre dreapta, după cât tip va avea loc pria ciocnire între corp şi perete? după 3. Corpul din figură oscilează liniar aronic. Cunoscând: lungiea nedeforată a resortului l₀=1, k=1n/, energia potenţiala elastică axiă E=5J, să se deterine lungiea axiă a resortului în tipul oscliaţiilor. Se neglijează frecarile. 31. Pe o suprafaţă orizontală netedă se află un resort de constantă N elastică k 5, copriat cu l 1c, de care este prins un corp de asă = kg, iniţial blocat, ca în figură. Se eliberează uşor corpul de asă. Se cer: a. Aplitudinea de oscilaţie Viteza axiă atinsă de corp c. Energia cinetică axiă a corpului 6
d. Să se reprezinte grafic dependenţa de tip a elongaţiei 3. Un corp de asă =1kg, suspendat de un resort ideal vertical suficient de lung de constantă elastică k=1 N/ oscilează liniar aronic. Alungirea axiă a resortului în tipul oscilaţiilor este lax 4c. Să se afle aplitudinea. (g=1 /s²) 33. Un corp de asă =1kg este suspendat de un resort ideal vertical suficient de lung de constantă elastică k=1 N/. Se alungeşte resortul cu l 5c, după care este eliberat uşor. Se cer: a. Aplitudinea de oscilaţie Viteza axiă atinsă de corp în tipul oscilaţiilor c. Energia cinetică axiă a corpului 34. Un corp de asă =,4kg este prins de un resort ideal vertical de constantă elastică k=4 N/ şi efectuează oscilaţii aronice cu aplitudinea A 5c. Cunoscând lungiea resortului în stare nedeforată, l c, să se deterine lungiile axiă şi iniă ale resortului în tipul oscilaţiilor. 35. Un corp de asă =1kg se află pe o asă orizontală netedă şi este prins de un resort elastic de constantă elastică k=4 N/, care are celălalt capăt fixat. Resortul se rupe dacă forţa elastică atinge valoarea Fr 4N. Ce viteză axiă i se poate ipria corpului în poziţia de echilibru astfel încât resortul să reziste? 36. Un o de asă =8kg face bungee juping, fiind legat de o coardă elastică care are constanta elastică k=4n/. Moentul iniţial tₒ= se alege când oul se află în poziţia extreă inferioară. Se neglijează frecările. a. De câte ori trece oul prin poziţia extreă inferioară în tipul t=3 in? Dar prin poziţia de echilibru? Cunoscând aplitudinea de oscilaţie A=15, care este viteza axiă atinsă în tipul oscilaţiilor?(expriată în k/h) Dar acceleraţia axiă? c. Să se scrie legile y=f(t) şi v=f(t) d. Care este energia cinetică axiă pe care o are oul? 37. Un corp de asă = kg oscilează liniar aronic pe direcţie verticală, fiind prins de un resort ideal de constantă elastică k=1 N/. Aplitudinea de oscilaţie este A=1. Pentru oentul când corpul se află în poziţia extreă inferioară se cer: energia potenţială a oscilaţiilor şi energia potenţială elastică înagazinată în resort. 38. Un pendul ateatic se află într-un ascensor care coboară accelerat cu acceleraţia a=7,5 /s². Lungiea pendulului este de,5. Care este pulsaţia oscilaţiilor? 7
39. Un pendul ateatic de lungie l= se află într-o cutie care este trasă în sus cu o forţă constantă F=N, ca în figura alăturată. Masa cutiei îpreună cu cea a pendulului este =1 kg. Care este perioada de oscilaţie a pendulului? Se va considera g=1/s². 4. Un pendul ateatic se află într-un ascensor. Dacă ascensorul este în repaus, perioada de oscilaţie a pendulului este ₒ. Ce valoare trebuie să aibă acceleraţia ascensorului şi în ce sens trebuie să fie orientată(sus/jos) pentru ca perioada să scadă de două ori? (g=1 /s²). 41. Un cilindru de len, pluteşte în echilibru în apa dintr-un vas suficient de larg. Cilindrul este scufundat în apă pe distanţa y şi apoi este eliberat uşor. Ştiind că forţa rezultantă care acţionează asupra cilindrului este de fora: F rez g k y, unde k, în care L este densitatea apei, este densitatea lenului din care este confecţionat este asa cilindrului, cilindrul, este lungiea cilindrului, iar g este acceleraţia gravitaţională, să se scrie expresiile pentru: a. Pulsaţia oscilaţiilor Perioada oscilaţiilor c. Frecvenţa oscilaţiilor 4. Un corp de ici diensiuni este prins prin interediul unui fir de tavanul unui vas în care se află apă. Densitatea corpului este ai are decât densitatea apei. Asupra corpului, acţionează în peranenţă, vertical de jos în sus, forţa arhiedică din partea apei, care are valoarea: F, 6 G. Cunoscând lungiea pendulului: l, 4, să se deterine perioada oscilaţiilor corpului. 43. Un corp de ici diensiuni este prins prin interediul unui fir de fundul unui vas în care se află apă. Densitatea corpului este ai ică decât densitatea apei. Asupra corpului, acţionează în peranenţă, vertical de jos în sus, forţa arhiedică din partea apei, care are valoarea: F 1, 5 G. Cunoscând lungiea pendulului: l 1, să se deterine perioada oscilaţiilor corpului. L 44. Un pendul gravitaţional se află într-o aşină care se deplasează orizontal pe o şosea cu acceleraţia constantă a,75 g. Cunoscând lungiea pendulului l 5c, să se afle perioada de oscilaţie a pendulului. 8 A A
45. Să se afle perioada de oscilaţie a corpului din figura, ştiind că în poziţia de echilibru cele două resorturi identice sunt nedeforate. Se cunosc: =1kg, k=5n/. Se neglijează frecarile. 46. Un corp de asă oscilează liniar aronic cu perioada pe o asă netedă, fiind prins de un resort de constantă elastică k= N/. Ce constantă elastică k trebuie să aibă un resort, care, prins de cealaltă parte a corpului de asă să deterine înjuătăţirea perioadei de oscilaţie? ( =/) 47. Un corp de asă este aşezat pe 4 resorturi ideale identice, fiecare de constantă elastică k, după cu se vede în figura alăturată. Greutatea corpului este distribuită unifor pe cele 4 resorturi. Se deplasează corpul din poziţia de echilibru pe direcţie verticală şi apoi este eliberat. Să se deonstreze că işcarea corpului este una oscilatorie aronică şi să se deterine expresia pulsaţiei acestei işcări oscilatorii. 48. Peste corpul de asă M din figura alăturată, aflat iniţial în echilibru, se aşază fără şoc un corp de asă. Să se afle viteza axiă a celor doua corpuri. Se cunosc: k=1 N/, =1kg, M=5,5 kg. 49. Un pendul gravitaţional cu lungiea de 1 este scos din poziţia de echilibru cu un unghi ai ic de 6 şi apoi este eliberat. Când pendulul ajunge în poziţie verticală atinge un cui aflat la 75c de punctul de suspensie, işcarea continuând. În cât tip se realizează o oscilaţie copletă? 5. Două corpuri confecţionate din ateriale diferite, având asele şi se află pe o suprafaţă orizontală şi sunt legate prin 1 interediul unui resort suficient de lung de constantă elastică k. Coeficientul de frecare dintre corpul de asă şi suprafaţa orizontală are valoarea, în tip ce coeficientul de frecare dintre suprafaţa orizontală şi corpul de asă 1 se poate neglija. Ce viteză iniă trebuie să i se iprie corpului de asă 1 pentru a deterina deplasarea corpului de asă? 51. O sanie intră de pe o porţiune netedă pe asfalt, cu viteza /s. Cunoscând lungiea saniei, l 1,5 şi coeficientul de frecare dintre sanie şi asfalt,5, să se deterine pe ce distanţă intră sania pe asfalt. 9
5. Un corp de asă =1kg şi diensiuni neglijabile efectuează oscilaţii în plan vertical, fiind prins de un fir ideal (pendul gravitaţional). Firul se rupe dacă tensiune din el atinge valoarea 11N. Care poate fi aplitudinea unghiulară axiă pentru ca firul să reziste? (Se va considera g 1/s ) r 53. Să se scrie expresiile perioadelor de oscilaţie pentru cele două situaţii reprezentate în figură. În care din cele două cazuri perioada este ai are? 54. Un corp oscilează vertical cu perioada ₒ=s, fiind prins de un resort ideal. Care va fi noua perioadă de oscilaţie dacă juătatea superioară a resortului se blochează? 55. În sisteul din figură pendulul gravitaţional este deplasat cu un unghi α=,1( rad). Se cunosc lungiea pendulului l=1, asa corpurilor =1 kg şi constanta elastică k=16 N/. Care este copriarea axiă a resortului? 56. În sisteul din figură corpul de asă =1kg este deplasat din poziţia de echilibru pe distanţa A=5c. Cunoscând constanta elastică a resortului k=1n/, lungiea pendulului l=1 c, asa pendulului =1kg, acceleraţia gravitaţională g=1 /s², să se afle cu ce unghi axi se depărtează pendulul în ura ciocnirii. 57. Să se afle aplitudinea rezultantă din copunerea oscilaţiilor y1 4sin1 t(c) şi y1 8sin 1 t (c). 3 58. Să se afle aplitudinea rezultantă din copunerea oscilaţiilor y1 5sin 8 t (c) şi 1 y 5 6sin 8 t (c). 1 59. Să se afle aplitudinea şi faza iniţială a oscilaţiei rezultate din copunerea oscilaţiilor y1 4sin t(c) şi y 3sin t (c). 1
6. Să se afle apltudinea şi faza iniţială a oscilaţiei rezultate din copunerea oscilaţiilor y1 4sin t (c) şi y 6sin t (c). 3 61. Să se deterine defazajul dintre două oscilaţii paralele de pulsaţii egale, dacă la oentul iniţial unul din oscilatori este în poziţia de echilibru, iar cel de-al doilea se află în poziţia de elongaţie axiă. Dacă aplitudinea priului oscilator este iar a celui de-al doilea să se scrie expresia aplitudinii rezultante din copunerea celor două oscilaţii. 6. Să se reprezinte grafic, în acelaşi siste de coordonate dependenţele de tip ale elongaţiilor celor două oscilaţii paralele: y1 3sin t (c) şi y 4sin t(c) şi dependenţa de tip a elongaţiei oscilaţiei rezultată din copunerea celor două. 63. Să se deterine perioada bătăilor şi perioada oscilaţiilor rezultate din copunerea oscilaţiilor paralele: y A 1 1sin 41 t şi y A sin 4 t. A 1, A, 64. Să se deterine perioada bătăilor şi perioada oscilaţiilor rezultate din copunerea oscilaţiilor paralele: y1 4sin tşi y 4sin,5 t. 3 65. Să se afle între ce liite variază aplitudinea oscilaţiei rezultate din copunerea oscilaţiilor paralele: y1 7sin 8tşi y 7sin81 t. 66. Să se deterine ecuaţia traiectoriei unui punct aterial y f x perpendiculare: x Asin t şi sin. y A t, supus siultan oscilaţiilor 67. Utilizând un tabel de valori ca cel de ai jos, să se traseze grafic traiectoria y f x obţinută din copunerea oscilaţiilor perpendiculare: x 4sintşi y sin t. t,5 1 1,5,5 3 3,5 4 x y 11
1
1. N=18. N=,,33Hz 3. 4. l1 l 4 3kg 5. N=15 6. a. c. (lungiea trebuie să scadă de 4 ori) A 1c 7. l 1 8. v ax,314 s 9. E 5J 1. 11. 1. 1 s, 1s, 1Hz v, cos t 6 s a 4sin t 6 s A, A 1, A 4 a. 1 3 1 3 1s,,5s, s c. y1 y y3 Răspunsuri sin t, sin 4 t+, 4sin t+ 6 4 cos t, 4 cos 4 t+, 4 cos t+ 6 d. v1 v v3 a. A 4 4s; s y 4sin t c. a. ax v s 1 8s; s 4 1 13
13. c. v cos t 4 s a. 1,5Hz c. 3s 9, 4s,66s 14.,1s ; 5% 15. L, 45s 16. 17.,14% 1 1 a.,83%; r 1, 83s 15, 47%; r 11,547 s N 18. k 1 19. A 1c. a. A 1c 1. x 1sin t c a. ax v 3. t,5s 4 4.,1,3, 4 s x4sin 1t c v,4cos1t s. y 1sin 1t c 5.,1,3; v3 v1 v 6. t 1,157s ; t,314s 14
N 5 ; 1,58 s 7. k vax 8. 9. a. lax 1 c t s 1,57s a. 3. l ax 1,1 31. a. vax 1 s t s 6 ax A 1c v,5 s E, 5J c. cax 3. A 3c 33. d. x1sin 5t c a. A 4c ax v c. cax 4 s E 8J 34. l ax 35c; l in 35. v ax s 5c 36. N ; N 4 a. i e k h s vax 37, 71 ; aax 7,31 y 15sin, 7t c. v1, 47cos,7t s d. cax E 45 J 15
37. E 5J; E 45J 38. 39. posc 1s s 1 s pres 4. a 3 în sus 41. 4. 43. a. g L L g 1 g c. L s 4s 44., 4s 45. s, 68s 5 N 46. k ' 6 47. 4k 48. v ax, 4 s 49. 1,5s g 5. vin k 51. d 1 5. ax,316 rad 53. 1 k ; 1 1 k1 k k1k 1 54. s 1,41s 55. lax, 5 5c 56. ax, 5rad k 16
57. Arez 11 c 58. Arez 91c 59. A 5c; arctg,75 A rez 4 93,56 c; arctg 3 6. rez 61. ; A A A rez 1 6. y 5sin t+arcsin,6c 4 63. b s; s 81 8 64. b 4 s; s 81 A,14 65. 66. 67. x y A t,5 1 1,5,5 3 3,5 4 x 4-4 4-4 y 1 1-1 - -1 17