8 Capitolul OSCILTORUL MECNIC Fenoene periodice. Procese oscilatorii în naturã ºi în tehnicã a b naliza calitativã de tip cauzã-efect a

Transcript

1 Oscilaþii ºi unde ecanice 7 OSCILÞII ªI CPITOLUL 1 UNDE MECNICE T/4 v v λ = V t Sunt convins cã, dacã vreun o de ºtiinþã din orice doeniu ºi-a adjudecat bineeritata recunoaºtere a colectivitãþii uane, acest lucru l-a realizat în are ãsurã aplicând direct binefacerile fizicii ca legitãþi, ca etodologie, ca instruentar de lucru. lfred Kastler preiul Nobel, 1966

2 8 Capitolul OSCILTORUL MECNIC Fenoene periodice. Procese oscilatorii în naturã ºi în tehnicã a b naliza calitativã de tip cauzã-efect a unor oscilaþii ecanice Sisteele scoase din poziþia de echilibru de forþe exterioare executã iºcãri oscilatorii faþã de poziþia de echilibru, atunci când sunt lãsate libere, sub acþiunea: a) forþei elastice din resort; b) coponentei tangenþiale a greutãþii. Oscilaþia este fenoenul fizic în decursul cãruia o ãrie fizicã variazã periodic. proape la tot pasul, întâlni fenoene care se repetã ciclic: vibraþiile unei lae sau corzi de instruent uzical, iºcarea unui balansoar sau a unui pendul, oscilaþiile plantelor sau crengilor poilor, vibraþiile geaurilor sau ale boxelor audio, iºcãrile pistoanelor otoarelor sau ale coloanelor de apã, iºcarea corpurilor care plutesc în apa cu valuri (vezi ). Oscilaþiile atoilor din corpurile cu structurã cristalinã sau deplasãrile electronilor din circuitele de curent alternativ evolueazã periodic între douã stãri extree în care se schibã sensul iºcãrii. Sisteul care efectueazã o iºcare oscilatorie este nuit oscilator. Miºcarea oscilatorului (sisteului oscilant) se reia din poziþia iniþialã dupã o perioadã. Sisteele scoase din poziþia de echilibru de forþe exterioare tind sã revinã, atunci când sunt lãsate libere, în poziþia de echilibru, dupã ce executã iºcãri oscilatorii nuite oscilaþii. Distanþa oscilatorului (notatã cu x sau ) faþã de poziþia de echilibru, la un oent dat, este nuitã elongaþie (vezi ). La oscilatoarele elastice, cu ar fi laa elasticã sau resortul elastic, forþa de revenire este de naturã elasticã. Din punct de vedere energetic, în iºcarea oscilatorie se transforã periodic o forã de energie în altã forã de energie, în od reversibil (în cazul ideal, când energia totalã se conservã) sau nuai parþial reversibil (în cazul real, când intervin pierderi energetice). În cazul oscilaþiilor ecanice ale unui corp faþã de o poziþie de echilibru, energia cineticã se transforã periodic în energie potenþialã ºi invers. nalog se pot explica ºi alte procese oscilatorii din naturã ºi din tehnicã. plitudinea este depãrtarea axiã faþã de poziþia de echilibru. Micºorarea aplitudinii în tip, nuitã aortizare, se produce datoritã pierderilor de energie prin frecare. Dacã oscilatorul este forþat sã oscileze sub acþiunea unor forþe exterioare periodice, aplitudinea poate fi odificatã sau enþinutã constantã. Pentru odelul de oscilator nedisipativ, iºcarea oscilatorie este neaortizatã.

3 Oscilaþii ºi unde ecanice Mãrii caracteristice iºcãrii oscilatorii Perioada T a unei oscilaþii reprezintã intervalul de tip dupã care oscilatorul trece din nou printr-un punct, iºcându-se în acelaºi sens; [T] S.I. = s. Dacã notã cu f (t) ãriea fizicã a unei oscilaþii ºi cu T perioada oscilaþiei, atunci f (t+t)=f (t), adicã ãriea fizicã are aceeaºi valoare la oentele t ºi t + T (vezi ). plitudinea vibraþiei laã elasticã Frecvenþa / este raportul dintre nuãrul n de oscilaþii n 1 efectuate ºi tipul t în care se efectueazã: / ; t T [/] S.I. = s 1 = Hz (Hertz). Elongaþia ãsoarã distanþa oentanã a centrului de asã al oscilatorului faþã de poziþia de echilibru static. Valoarea axiã ax a elongaþiei într-o oscilaþie reprezintã aplitudinea a oscilaþiilor; [] S.I. = [] S.I. =. Sã proiectã iºcarea circularã uniforã a unei bile pe un plan perpendicular pe planul cercului de razã R (vezi ). Sã considerã cã obilul (bila) pleacã dintr-un punct M, care este defazat cu un unghi faþã de axa aleasã (vezi ). Proiecþia vectorului de poziþie, de odul = R, când obilul este în poziþiile M, caracterizate de unghiul fazei, =t +, descrie pe axa O iºcarea oscilatorie de ecuaþie = R sin adicã: = sin(t + ), a b unde ax =, =/ = /T reprezintã pulsaþia, T perioada, iar / = 1/T = / frecvenþa iºcãrii. Viteza de oscilaþie este definitã prin relaþia: v t, unde t. Viteza de oscilaþie se poate obþine prin proiecþia vectorului vitezã v M pe axa O. Obþine: v = v M cos v = cos(t + ), unde v ax = R =. cceleraþia de oscilaþie este definitã prin relaþia: v a, unde t. cceleraþia de oscilaþie se obþine prin t proiecþia vectorului acceleraþie centripetã a M pe axa O: a = a M sin a = sin(t + ), unde a ax = R =. Faza iºcãrii oscilatorii este arguentul funcþiei trigonoetrice: = t +. Dacã la oentul iniþial, t =, oscilatorul nu a fost în poziþia de echilibru, atunci faza iniþialã este (diferitã de sau ), = sin ( ).

4 1 Capitolul 1 F oe Fe Oscilaþiile aronice sunt oscilaþii care se desfãºoarã sub acþiunea unei forþe rezultante de tip elastic F= k, unde elongaþia, k constanta de elasticitate. cceleraþia de oscilaþie este proporþionalã cu elongaþia, dar de sens contrar în orice iºcare oscilatorie liniar aronicã. Mãriile caracteristice se pot expria prin funcþii trigonoetrice (sinus, cosinus). Nivel de echilibru G = sint Pendulul elastic este un odel idealizat pentru sisteele oscilante. Este forat dintr-un resort elastic cu asa neglijabilã, de care este legat un corp cu asa. Forþa elasticã F= k este proporþionalã cu elongaþia, dacã nu se ajunge la liita de elasticitate a resortului (vezi ). Forþele de frecare sunt neglijabile când corpul are diensiuni ici ºi pendulul oscileazã în aer. Un siste fizic izolat, care este pus în oscilaþie printr-un ipuls, efectueazã oscilaþii libere, cu o frecvenþã proprie. v a T/ v = cost T/ T t a = sint T/ T t Tipuri de oscilaþii: oscilaþii ecanice (energia cineticã se transforã în energie potenþialã ºi invers); oscilaþii electroagnetice (energia electricã se transforã în energie agneticã ºi invers); oscilaþii electroecanice (energia ecanicã se transforã în energie electroagneticã ºi invers). Oscilaþiile se nuesc: nedisipative, ideale sau neaortizate dacã energia totalã se conservã; disipative sau aortizate dacã energia se consuã în tip; forþate sau întreþinute dacã se furnizeazã energie din afara sisteului, pentru copensarea energiei consuate. Probleã rezolvatã Oscilaþiile unui pendul elastic au ãriile caracteristice din reprezentarea graficã În ce poziþie, acceleraþia corpului care oscileazã la un capãt al resortului elastic este iniã? Rezolvare: Deoarece acceleraþia de oscilaþie este proporþionalã cu elongaþia, dar de sens contrar în orice iºcarea oscilatorie aronicã a pendul elastic, acceleraþia corpului care oscileazã este iniã atunci când elongaþia este axiã (vezi ).

5 Oscilaþii ºi unde ecanice 11 Problee propuse 1. Legea de oscilaþie în cazul unei oscilaþii aronice (vezi ) este definitã prin relaþia: a) (t) = sint; b) (t) = sint; c) (t) = sin( + t); d) (t) = sin( t).. cceleraþia de oscilaþie este proporþionalã cu elongaþia, dar de sens contrar în orice iºcare oscilatorie aronicã. Dacã = sin(t + ) ºi a = sin(t + ) (vezi ), la oentul iniþial t = faza iniþialã este egalã cu: a) ; b) zero; c) d). 3. În cazul unei oscilaþii aronice, viteza axiã se atinge: a) când corpul trece prin poziþia de echilibru; b) când elongaþia este axiã; c) la o treie din perioadã; d) la juãtate din perioadã. Un corp efectueazã o iºcare oscilatorie cu o perioadã T=4 s. La oentul t =, corpul trece prin poziþia de elongaþie axiã (vezi ). Corpul ajunge în poziþia de elongaþie iniã în tipul ini: a),5 s; b) 1 s; c) s; d) 3 s. a T T/ T/ T T/4 3T/4 T 3T/ t t Rãspunsuri: 1. a.. d. 3. a. 4. c. Observaþie: Siulãrile pe calculator (vezi ne ajutã sã înþelege ai bine ãriile caracteristice ale iºcãrii oscilatorii! sint T/ sin(t + /) = cost T t sin(t + 3/) = cost

6 1 Capitolul Oscilaþii ecanice aortizate G F e v Nivel de echilibru F e F G F e+ F r plitudinea rãâne constantã în cursul oscilaþiilor libere neaortizate, deoarece frecãrile sunt neglijabile. Sisteele oscilante reale sunt supuse unor forþe de frânare. Cauza aortizãrii, adicã a reducerii aplitudinii în cursul oscilaþiilor, este pierderea de energie datoratã frecãrilor care apar în ediile vâscoase (vezi ). cea parte a energiei care se pierde prin frecare se transforã în cãldurã. În condiþiile în care oscilaþiile se aortizeazã într-un interval de tip are, atunci forþele de frecare sunt ici. Oscilaþii se nuesc disipative sau aortizate dacã energia se consuã în tip. Nivelul de echilibru static este definit prin deforaþia = l s a resortului, obþinutã prin proiecþia relaþiei G F (vezi pe direcþia verticalã g k = Rezultã k( + ) + g = a sau k = a, deoarece g k =, k adicã a, unde k. e g k. Forþa rezultantã în tipul oscilaþiilor cu elongaþia faþã de nivelul de echilibru static este: F F G a. k Pulsaþia proprie a oscilaþiilor libere este:. În ajoritatea situaþiilor în care vitezele atinse în iºcãrile oscilatorii sunt ici, se considerã cã forþele de frecare sunt proporþionale cu vitezele de oscilaþie ºi opuse acestora: F f = rv, unde r este factor de proporþionalitate pozitiv care depinde de natura ediului fluid ºi de diensiunile oscilatorului. Ecuaþia iºcãrii oscilatorii aortizate a unui corp, care oscileazã sub acþiunea unei forþe de tip elastic F e întâpinând din partea ediului o forþã de frecare F f (vezi ), se obþine folosind principiul fundaental al ecanicii newtoniene: k rv = a.

7 Oscilaþii ºi unde ecanice 13 Soluþia acestei ecuaþii este elongaþia oscilatorului aortizat: t e sin t a unde r se nueºte coeficient de aortizare. Dacã are valori ici, iºcarea este oscilatorie aortizatã, deoarece aplitudinea oscilaþiilor scade exponenþial în tipul iºcãrii (vezi a). Dacã are valori ari, sisteul revine în poziþia de echilibru fãrã sã efectueze iºcãri oscilatorii, adicã iºcarea oscilatorului devine aperiodicã (vezi b). Se constatã experiental cã perioada de oscilaþie a unui siste în ulei este ai are faþã de perioada de oscilaþie a sisteului în apã. O aplitudine constantã a iºcãrii oscilatorii se poate enþine dacã asupra oscilatorului acþioneazã o forþã exterioarã periodicã, ce efectueazã în fiecare perioadã un lucru ecanic egal cu energia pierdutã datoritã aortizãrii. stfel de iºcãri oscilatorii, în care asupra oscilatorului acþioneazã atât forþele elastice ºi forþele de frânare, cât ºi forþele periodice exterioare, se nuesc întreþinute sau forþate. plitudinea oscilatorului întreþinut depinde de pulsaþia a forþei periodice exterioare, prezentând un axiu pentru valori 1 ale pulsaþiei forþei apropiate de pulsaþia proprie a oscilatorului (vezi ). t b Problee propuse nalizeazã afiraþiile urãtoare ºi rãspunde cu (adevãrat) sau F (fals): 1. Un resort, având capetele fixate pe axa roþii ºi pe ºasiul autoobilului, asigurã atenuarea oscilaþiilor.. ortizoarele pentru autoobile sunt copuse dintr-un cilindru cu ulei în care se aflã un piston. Un aortizor este defect dacã autoobilul efectueazã iºcãri oscilatorii pe verticalã (vezi ). 3. Miºcarea oscilatorie a unui autoobil, produsã de o denivelare a druului, este aperiodicã pe verticalã dacã aortizoarele sunt bune.

8 14 Capitolul *Modelul oscilator aronic Oscilaþiile se nuesc liniar aronice dacã se efectueazã sub acþiunea unor forþe de tip elastic, îndreptate spre poziþia de echilibru static, pentru care este valabilã legea lui Hooke: F e = kx, unde x este elongaþia (depãrtarea faþã de poziþia de echilibru), iar oscilatorul se nueºte aronic (vezi a). Senul inus aratã cã forþa elasticã exercitatã asupra corpului este opusã elongaþiei, notatã cu x sau. Dacã asupra unui oscilator acþioneazã forþe de frecare ici, atunci oscilaþiile sunt slab aortizate (se aortizeazã într-un interval de tip are) ºi pute folosi odelul,,oscilator aronic. Oscilatorul aronic constituie odelul unui proces periodic ideal. a b k ls= F, G Forþa rezultantã în tipul oscilaþiilor pe verticalã este: F F G a. Proiectã relaþia vectorialã pe verticalã ºi obþine: k( + ) + g = a. Deoarece g k =, rezultã: k k = a a. F Considerã cã asupra corpului oscilant de asã acþioneazã o forþã rezultantã elasticã (vezi b) sau cvasielasticã (de naturã neelasticã): a = F e = k, k k deci a, unde. Pulsaþia proprie a iºcãrii depinde de perioada T de oscilaþie:. T Dupã înlocuiri, se obþine expresia perioadei oscilatorului aronic: T. k cceleraþia ºi elongaþia sunt proporþionale, dar de sene opuse. Pendulul elastic este un oscilator liniar aronic. Oscilaþiile pendulului elastic sunt: liniare, deoarece sunt produse de o parte ºi de alta a poziþiei de echilibru static; aronice, deoarece sunt produse sub acþiunea forþelor de tip elastic, iar acceleraþia oentanã este proporþionalã ºi de sen opus cu elongaþia (vezi b). Reþine! Un oscilator executã o iºcare oscilatorie aronicã atunci când asupra acestuia acþioneazã forþe rezultante de tip elastic, iar acceleraþia oentanã este proporþionalã ºi de sen opus cu elongaþia. Elongaþia oscilatorului se expriã prin funcþii trigonoetrice (sinus sau cosinus) cunoscute sub nuele de funcþii aronice.

9 Oscilaþii ºi unde ecanice 15 *Descrierea oscilaþiei aronice utilizând relaþiile dintre ãriile caracteristice (recapitulare) a ªtii cã iºcarea oscilatorie liniar aronicã, caracterizatã de faza = t +, unde reprezintã pulsaþia iºcãrii, coincide cu iºcarea proiecþiei pe diaetrul vertical al punctului M care se roteºte pe un cerc de razã egalã cu aplitudinea oscilaþiei (vezi ). Miºcarea oscilatorie liniar aronicã are legea de iºcare: = sin = sin(t + ). Faza iºcãrii oscilatorii este arguentul funcþiei trigonoetrice. Dacã la oentul iniþial t =, faza iniþialã este (diferitã de sau ), atunci = sin( ), deci oscilatorul nu a fost în poziþia de echilibru când a început cronoetrarea oscilaþiilor. Viteza de oscilaþie este definitã prin relaþia: v = cos(t + ). cceleraþia de oscilaþie este definitã prin relaþia: a sin t. Defazajul iniþial dintre douã ãrii oscilante care au aceeaºi pulsaþie, rãâne constant în tip: = (se calculeazã ca diferenþã de fazã pentru aceeaºi funcþie trigonoetricã). De la trigonoetrie ºti cã: sincos, cos sin. Mãriile fizice expriate prin funcþiile trigonoetrice sinus sau cosinus pot fi reprezentate prin fazori (vezi ). Viteza de oscilaþie ajunge la valorile axie în avans faþã de elongaþie cu un defazaj teporal t = T/4, cãruia îi corespunde un defazaj unghiular = /. Elongaþia, viteza de oscilaþie v ºi acceleraþia de oscilaþie a sunt ãrii oscilante defazate între ele cu v, av ºi a T T T sau teporal cu: tv, ta v ºi t a. 4 4 ω ω a= -ω sinωt T/ =sinωt v= ωcosωt T t ω ω b Interpretarea defazajului O ãrie oscilantã îºi atinge valorile axie, nule, inie sau interediare dupã un interval de tip t în ura altei ãrii oscilante. Dacã o ãrie este în avans faþã de altã ãrie oscilantã T T cu tv, atunci t v. Într-un caz oarecare, poþi folosi regula de trei siplã: T T t... t. Fazorul este un vector care se roteºte în sens trigonoetric cu viteza unghiularã egalã cu pulsaþia ãriii reprezentate, cu odulul egal cu valoarea axiã a acelei ãrii ºi a cãrui poziþie depinde de faza iºcãrii oscilatorii.

10 16 Capitolul 1 *Modelul oscilator aronic în rezolvarea de problee 1. Perioada de oscilaþie a pendulului elastic depinde de asa corpului care oscileazã? Rezolvare: Folosi relaþiile de definiþie ale pulsaþiei: Pentru deviaþii ici, perioada de oscilaþie a unui pendul ateatic este proporþionalã cu radicalul raportului dintre lungiea pendulului ºi acceleraþia gravitaþionalã localã ºi este independentã de asa pendulului. k l Se ipriã iºcãri oscilatorii cu aplitudine icã. α x T α g ω = π/t ºi ω = k. Perioada de oscilaþie a pendulului elastic este direct proporþionalã cu rãdãcina pãtratã din asa corpului care oscileazã: π T = = π. ω k. Pendulul gravitaþional, realizat dintr-un corp punctifor, de asã, care atârnã de un fir inextensibil, cu asa neglijabilã ºi lungiea l, este tot un oscilator aronic (vezi ). Perioada de oscilaþie a pendulului gravitaþional depinde de asa corpului care oscileazã? Rezolvare: Dacã este deviat cu un unghi α ax < 5 faþã de verticala care trece prin poziþia de echilibru ºi este lãsat liber sã oscileze, forþa de revenire G tg nu este de naturã elasticã, dar este proporþionalã cu depãrtarea faþã de poziþia de echilibru ºi îndreptatã în sens opus: g k g Gtg = gsinα = g = k, unde k = ω = =. l l l Perioada de oscilaþie a pendulului ateatic este direct proporþionalã cu rãdãcina pãtratã a raportului dintre lungiea pendulului ºi acceleraþia gravitaþionalã localã: π T = = π ω l. g 3. Cu pute cântãri cu ajutorul oscilaþiilor unui pendulului elastic (vezi )? Rezolvare: În aceastã probleã experientalã, perioadele de oscilaþie ale unui pendulului elastic se pot calcula cu t relaþia Ti = i n T i, unde t i este tipul în care s au produs n i i oscilaþii. Folosind un corp cu asa cunoscutã ºi un corp cu asa necunoscutã x, expriã constanta de elasticitate k pentru fiecare caz: x k = 4π = 4 π. Dacã nuãrã tot atâtea T1 T oscilaþii n, obþie relaþiile pentru calcularea asei necunoscute: T = T x 1 t sau =. t x 1

11 *Situaþii în care se poate aplica odelul,,oscilator aronic Oscilaþii ºi unde ecanice 17 Modelul oscilator aronic este util pentru studiul oscilatorilor ecanici sipli (pendulul elastic, pendulul gravitaþional). k -k Investigaþii experientale 1. Deterinarea acceleraþiei gravitaþionale cu un pendul elastic Dacã lungiea resortului liber este l, prin suspendarea de acesta a corpului cu asa, lungiea resortului devine l ºi alungirea ãsuratã este: = l l (vezi ). În poziþia de echilibru, forþa de greutate este egalã cu forþa elasticã: g = k, de unde rezultã = k g. Înlocui în perioada pendulului elastic ºi obþine: T= = g=. k g T M Mg Modul de lucru: Se scoate corpul din poziþia de echilibru ºi se nuãrã n oscilaþii coplete efectuate în intervalul de tip t, ãsurat cu ajutorul unui ceasornic. Raportul T = t/n reprezintã perioada oscilaþiilor pendulului elastic. Rezultã g n 4. t Se repetã ãsurarea perioadei de câteva ori ºi se calculeazã valoarea edie a acceleraþiei gravitaþionale. Valorile ãsurate se noteazã într-un tabel.. Deterinarea acceleraþiei gravitaþionale cu un pendul gravitaþional Dispozitivul experiental este forat dintr-un stativ pe care se fixeazã un pendul gravitaþional siplu sau bifilar, care îºi conservã planul de oscilaþie (vezi ). Modul de lucru: Se ãsoarã cu rigla lungiea pendulului. Se scoate pendulul din poziþia de echilibru sub un unghi ai ic de 5 grade, se lasã sã oscileze ºi se nuãrã n 5 de oscilaþii coplete în tipul t ãsurat cu cronoetrul. Se repetã experientul de câteva ori, ãrind de fiecare datã lungiea pendulului. Folosi relaþia: l ln g 4 4. T t Valorile ãsurate se noteazã într-un tabel, din care pute deterina erorile. l g g

12 18 Capitolul 1 *Conservarea energiei în oscilaþiile aronice În orice oent din cursul oscilaþiilor, energia ecanicã totalã, W = E t, a oscilatorului aronic este egalã cu sua dintre energia cineticã E c a oscilatorului de asã ºi energia potenþialã E p,e de deforare elasticã: E E t =E c +E p,e, Energii T/ E T E t E p=ep,ax sin t E c=ec,ax cos t t E t Ep( ) =k / Ec() =Et-k / v k unde Ec, Epe,, k =, =/, cu v = cos(t+ ) ºi = sin(t+ ). Dupã înlocuiri, obþine: k Ec = cos t Epe sin t,, k Et cos sin, unde = t +. Deoarece sin + cos = 1, rezultã cã energia totalã a oscilatorului aronic se conservã:, k Et = = = / = const. Pute considera cazul particular al oscilatorului cu faza iniþialã = (vezi ). Curba energiei potenþiale sugereazã interpretarea urãtoare: oscilatorul s-ar iºca într-o groapã de potenþial, având viteza axiã pe fundul gropii ºi schibând sensul de iºcare la arginile gropii. Energia ecanicã a oscilatorului aronic este egalã cu energia cineticã axiã, respectiv cu energia potenþialã elasticã axiã. Energiile cineticã, potenþialã ºi totalã pot fi reprezentate grafic ºi în funcþie de elongaþia [, ]. Când =, energia cineticã este axiã ºi energia potenþialã este nulã, iar când =, energia cineticã este nulã ºi energia potenþialã este axiã (egalã cu E t ). În tipul oscilaþiilor, o forã de energie se transforã în altã forã de energie. Energia cineticã axiã ºi, respectiv, energia potenþialã elasticã axiã sunt egale cu energia totalã: 1 Ec Ep Ec,ax Ep,ax k Et. Problee rezolvate 1. Pute obþine constanta elasticã echivalentã a douã oscilatoare aronice cu constantele elastice k 1 ºi k din conservarea energiei (vezi )? Rezolvare: Energia totalã a douã oscilatoare aronice se conservã: E = E 1 + E. Dacã sunt legate în paralel, obþine: 1 1 kep k k. Deoarece 1 = =, obþine constanta echivalentã a resorturilor legate în paralel: k ep =k 1 + k.

13 Dacã oscilatoarele aronice sunt legate în serie, atunci forþa elasticã are aceeaºi valoare: k 1 1 = k = k es, iar aplitudinea totalã este = 1 +. Din conservarea energiei, obþine constanta echivalentã a resorturilor legate în serie : Oscilaþii ºi unde ecanice 19 k 1 1 k kes k 1 1 k k k 1 k es kes kes 1 kes. k1 k k1 k kes k1 k k k 1 k. Sã deonstrã expresia acceleraþiei de oscilaþie dacã viteza de oscilaþie are expresia v(t) = v ax cos(t + ), unde = /, (/ este frecvenþa), = t+, v ax =. Considerã un interval de tip ic (t ) între douã oente de tip t 1 = t ºi, respectiv, t = t + t Deoarece nu ºti deocadatã liite ºi derivate, vo folosi definiþia v v tt v t acceleraþiei: a t t ab ab cosacosb sin sin. Obþine: t t cos t, ºi relaþia trigonoetricã: cos a vax t t t sint sin v ax. t Înulþi expresia atât la nuãrãtor, cât ºi la nuitor cu G G k 1 k k G G E c E E c E E c E t t sin sin t ºi o aranjã astfel: a vax. t t Deoarece, aproxiã: sin t t. Rezultã expresia: a = sin( t + ) =, unde a = ax. Observaþie: Pentru expresia elongaþiei = sin(t + ), se poate deonstra analog cã pentru un interval de tip ic (t ) se obþine expresia vitezei de oscilaþie: t t t v = cos t +. t t Energia se conservã ºi cazul oscilaþiilor pendului gravitaþional. Pentru pendulul gravitaþional cu asa ºi lungiea l din figura, energia totalã se conservã: E E E E c,ax c p p,ax.

14 Capitolul Copunerea oscilaþiilor paralele. *Copunerea oscilaþiilor perpendiculare Descrierea calitativã a iºcãrii rezultate din copunerea a douã oscilaþii În practicã, întâlni situaþii în care iºcarea unui siste este rezultatul copunerii unor oscilaþii. stfel, un oscilator poate fi supus la douã sau ai ulte oscilaþii aronice paralele, de aceeaºi pulsaþie, sau douã oscilatoare asupra cãrora acþioneazã forþe foreazã îpreunã un oscilator (vezi ). Oscilaþiile pe care le-ar executa oscilatorul echivalent sub acþiunea a douã forþe elastice paralele au aceeaºi pulsaþie, dar aplitudini ºi faze iniþiale diferite. *Descrierea cantitativã a copunerii a douã oscilaþii paralele de frecvenþe egale Un oscilator efectueazã sub acþiunea forþei elastice F 1 o iºcare aronicã descrisã de ecuaþia elongaþiei: 1 = 1 sin(t + 1 ), iar sub acþiunea forþei elastice F (paralelã cu F 1 ) efectueazã o iºcare aronicã descrisã de ecuaþia elongaþiei: = sin(t + ) (vezi ). Dacã aceste douã forþe acþioneazã concoitent asupra oscilatorului considerat, atunci elongaþia va fi egalã cu sua elongaþiilor paralele, la orice oent de tip: = 1 + = sin(t + ), adicã 1 sin(t + 1 ) + sin(t + ) = sin(t + ). Oscilaþiile liniare pot fi obþinute prin proiecþia pe o axã a unui vector al cãrui odul este egal cu aplitudinea oscilaþiei ºi care se roteºte în plan cu viteza unghiularã (proiecþiile vârfului vectorului pe axe au aceeaºi dependenþã de tip ca ºi iºcãrile oscilatorii aronice). ugustin Jean Fresnel ( ), fizician francez, a folosit o reprezentare graficã cunoscutã sub nuele de diagraa fazorialã, în care iºcãrilor oscilatorii aronice le asocie câte un fazor, adicã un vector rotitor, cu ãriea egalã cu aplitudinea oscilaþiei ºi înclinat faþã de direcþia axei Ox cu unghiul fazei iniþiale (vezi ).

15 Copune vectorial aplitudinile 1 ºi ºi obþine: 1 1 cos = + + ϕ, unde ϕ = ϕ = ϕ 1 ϕ. Proiecþia vectorului aplitudine rezultantã este egalã cu sua proiecþiilor celor doi vectori 1 ºi pe aceeaºi axã: sinϕ = 1 sinϕ 1 + sinϕ cosϕ = cosϕ + cosϕ 1 1 Cazuri particulare: a) Dacã ( ) π turã ºi = +. ϕ = Oscilaþii ºi unde ecanice 1 sinϕ + sinϕ 1 1 tg. 1 cosϕ 1 + cosϕ ϕ = n + 1, atunci oscilaþiile sunt în cuadra- 1 b) Dacã ϕ = nπ, atunci oscilaþiile sunt în fazã ºi = 1 +. c) Dacã ϕ = (n + 1)π, atunci oscilaþiile sunt în opoziþie de fazã ºi = 1 (vezi ). d) Bãtãile se obþin din copunerea a douã oscilaþii aronice paralele de frecvenþe diferite, ω 1 ω, dar apropiate ca valoare. Considerã cazul 1 = = (vezi ): ω1 ω ω 1 + ω cos t sin t = cos( ω ) t sin ω t, ω unde a notat 1 ω ω ω = ºi 1 + ω ω =. ω Bãtãile sunt oscilaþii cu pulsaþia 1 + ω ω = ºi aplitu- π 4π dinea variabilã periodic, de perioadã: T bãtãi = =. ω ω1 ω Dacã diferenþa ω a pulsaþiilor este icã, atunci priul factor, cos( ω)t, ºi aplitudinea rezultantã, rez = cos( ω)t, se odificã lent în tip. plitudinea oscilaþiei rezultante trece printr-o valoare axiã ºi apoi iniã, valori care se succed cu frecvenþa: / = / 1 /. Urechile noastre deosebesc bãtãile dacã / < 1 Hz. Reþine! plitudinea rezultantã a douã oscilaþii paralele de frecvenþe egale este: unde ϕ = arctgϕ ; tgϕ = 1 1 cos = + + ϕ, 1 sinϕ 1 + sinϕ cosϕ + cosϕ. 1 1 Bãtãile sunt oscilaþii cu pulsaþia ω + ω periodic, de perioadã: 1 ω = ºi aplitudinea variabilã T bãtãi π 4π = =. ω ω ω 1

16 Capitolul 1 *Descrierea cantitativã a copunerii a douã oscilaþii perpendiculare de frecvenþe egale Considerã un punct aterial de asã, care este solicitat siultan sã oscileze aronic sub acþiunea a douã resorturi elastice identice legate pe douã direcþii perpendiculare, ca în figura. Considerã cazul particular când cele douã iºcãri oscilatorii perpendiculare au frecvenþele egale. Scrie ecuaþiile elongaþiilor pe cele douã direcþii: x = sin( t + ) ; = sin( t + ). 1 1 Eliinã tipul din aceste douã ecuaþii, scrise astfel: x = sin( t + 1)=sin t cos1 cos t sin 1 ; 1 Traiectoria elipticã din figura devine circularã ca în figura dacã aplitudinile oscilaþiilor sunt egale ( 1 = ). Dacã oscilaþiile sunt în fazã: n, sau în opoziþie de fazã: (n 1), atunci obþine ecuaþiile: x x + = 1 1 x x, 1 1 deci traiectoria elipticã devine liniarã. = sin( t + )=sin t cos cos t sin. Înulþi ecuaþiile cu cos ºi, respectiv, cu cos. 1 Dupã aceea, le scãde ºi dã factor coun cost, între terenii din dreapta. Obþine: x cos cos =cos t(sin cos +sin cos ), unde a folosit forula trigonoetricã: sin1cos sincos 1= sin( 1). nalog înulþi ecuaþiile cu sin ºi, respectiv, cu sin 1. Dupã aceea, le scãde ºi dã factor coun sint între terenii din dreapta. Obþine: x sin sin 1=sin t(cos1sin cossin 1), 1 unde a folosit aceeaºi forula trigonoetricã. Ridicã la pãtrat ecuaþiile obþinute ºi, dupã adunarea lor, rezultã: x x + cos( 1)= sin ( 1). 1 1 ceastã ecuaþie este cunoscutã ca ecuaþia generalizatã a elipsei (rotitã faþã de axele de coordonate). Dacã 1 (n 1), atunci: x + =1 (vezi ). 1

17 Teste pentru autoevaluare Oscilaþii ºi unde ecanice 3 Testul 1 I. Probleã experientalã Un pendul elastic cu asa 1 cunoscutã este scos din poziþia de echilibru static ºi lãsat sã oscileze liber (vezi ). Se cronoetreazã tipul t în care se efectueazã N oscilaþii ºi se calculeazã valoarea perioadei T = t/n. Calculeazã valoarea constantei de elasticitate pentru ai ulte corpuri (cu asele, 3, 4, ), valoarea edie ºi erorile. Descoperã expresia de calcul a constantei de elasticitate a resortului cu valorile ãriilor de ai sus. k M -k Mg II. Gãseºte rãspunsul corect la probleele urãtoare: 1. Defazajul între elongaþia ºi acceleraþia de oscilaþie a oscilatorului liniar aronic (vezi ) este: π 3π a) ϕ = ; b) ϕ = ; c) ϕ = π; d) ϕ =.. Valoarea axiã a vitezei oscilatorului aronic este: a) v ax = ω ω ; b) v ax = ω; c) v = ; d) v ax = ω. 3. În punctele în care energia cineticã este egalã cu energia potenþialã elasticã, elongaþia oscilatorului aronic este: a) = ± ; b) = ± ; c) = ± ; d) = ±. 4. În punctele în care elongaþia este juãtate din aplitudine, raportul între energia cineticã ºi cea potenþialã elasticã a oscilatorului aronic este: Ec Ec Ec Ec a) = 1; b) = ; c) = 3 ; d) = 4. E E E E p p p p 5. Oscilaþiile ionilor din reþeaua cristalinã a unui etal sunt oscilaþii ecanice? plitudinea de oscilaþie a ionilor dintro reþea cristalinã depinde de: a) teperatura etalului; b) densitatea etalului; c) asa etalului; d) voluul etalului. Rãspunsuri: I. Din legea perioadei pendulului elastic, obþine expresia de 4π calcul a constantei de elasticitate a resortului: k =. T II. 1. c.. b. 3. d. 4. c. 5. Nu sunt oscilaþii ecanice; a (vezi ).

18 4 Capitolul 1 Testul a b l α T α g Rezolvã probleele urãtoare (grad ic de dificultate): 1. Un corp de asã =,1 kg, fixat de un resort, executã o iºcare oscilatorie aronicã cu frecvenþa /= Hz ºi aplitudinea =,15 (vezi ). Calculeazã elongaþia oscilatorului atunci când energia cineticã este egalã cu energia potenþialã.. Calculeazã lungiea firului de suspensie al unui pendul gravitaþional de perioadã T= s (vezi a). Dacã pendulul executã n = 1 oscilaþii coplete în s, calculeazã valoarea acceleraþiei gravitaþionale în locul unde oscileazã. 3. Un punct aterial oscileazã dupã legea de iºcare t ( )= sin( t+ /4) c. Calculeazã raportul dintre energia cineticã ºi cea potenþialã pentru oentul de tip t = T/4. 4. Ce ãrie rãâne constantã în tip la iºcãrile oscilatorii aronice? Când este axiã energia cineticã? 5. Un oscilator aronic liniar are legea de iºcare t ( )= sin( t+ /6). Cât este valoarea elongaþiei la oentul iniþial? 6. Un pendul elastic cu asa =1 kg are în tipul iºcãrii viteza axiã v ax =,1 /s ºi acceleraþia axiã a ax = /s. Calculeazã constanta elasticã. 7. Dacã legea de iºcare a unui oscilator aronic este t 4 cos 1 c, calculeazã perioada de oscilaþie. Calculeazã valoarea elongaþiei la oentele de tip t = ºi t = T/. 8. Energia potenþialã axiã a oscilatorului aronic depinde de tip? 9. Douã iºcãri oscilatorii aronice paralele cu aceeaºi pulsaþie au ecuaþiile: 1 3sin1t [c] ºi 4cos1t[c]. Gãseºte aplitudinea iºcãrii rezultante. 1. Ce traiectorie descrie spotul luinos pe ecran, dacã cele douã oglinzi oscileazã în jurul unor axe perpendiculare (vezi b)? Rãspunsuri: 1. =,77.. l=1 ; g=9,8 /s. 3. E c / E p =1. 4. Energia totalã; la trecerea oscilatorului liniar aronic prin poziþia de echilibru. 5. =,5. 6. k=4 N/. 7. T=, s. ()=. (T/)=. 8. nu. 9. =5 c. 1. Spotul luinos descrie pe ecran iºcarea rezultatã din copunerea celor douã oscilaþii perpendiculare ale oglinzilor.

19 Testul 3 Rezolvã probleele urãtoare (grad ediu de dificultate): 1. Un pendul elastic are la un oent dat elongaþia 1 ºi viteza v 1 (vezi ). La un alt oent are elongaþia ºi viteza v. plitudinea iºcãrii oscilatorii se deterinã cu relaþia: Oscilaþii ºi unde ecanice 5 a) = 1 + v1 v + v1 v ; b) = 1 v1 v v1 v ; c) = 1 + v1 v v1 v ; d) = 1 v1 v + v1 v.. Douã iºcãri oscilatorii aronice paralele sunt descrise de ecuaþiile elongaþiilor reprezentate în figura. Gãseºte defazajul între elongaþiile acestor iºcãri. 3. Douã resorturi verticale de lungii egale, având constantele elastice k 1 ºi, respectiv, k, sunt fixate de podea. Capetele din partea lor superioarã sunt unite printr-o barã rigidã de greutate neglijabilã, aºa încât sã fie paralele. Sisteul astfel realizat este supus acþiunii unei forþe F, care acþioneazã vertical la ijlocul barei rigide. Constanta elasticã echivalentã a sisteului este: 4k1 k k1 k a) ke = ; b) ke = ; c) ke = k1 + k k + k k + k ; d) = k1 k k. e k + k Un pendul elastic, cu asa =,1 kg, oscileazã liniar aronic cu pulsaþia ω = 3,14 rad/s. Calculeazã constanta elasticã a resortului. 5. Ecuaþia elongaþiei unui oscilator liniar aronic este = 1sin(5 t + π) Care sunt valorile aplitudinii oscilaþiilor ºi fazei iniþiale a oscilaþiilor? 6. Un corp executã iºcarea oscilatorie liniar aronicã descrisã de ecuaþia elongaþiei = sin(3,14 t+ π) flã valorile axie ale vitezei ºi acceleraþiei oscilaþiilor. 7. Legea de oscilaþie a unui punct aterial, de asã = kg, este = 4(sin t + 3cost) [c]. Calculeazã aplitudinea oscilaþiei ºi faza iniþialã a oscilaþiei. Rãspunsuri: 1. b.. ϕ = π /. 3. a. 4. k =,1 N/. 5. =1 ; ϕ =π rad. π 6. v ax = 6,8 /s. a ax = /s. 7. = 8 c, ϕ =. 3 Indicaþie: sin ϕ + cos ϕ = 1; 1 = sinϕ1 v = ωsinϕ ºi v 1 1 = sinϕ = ωsinϕ

20 6 Capitolul 1 Testul 4 *Rezolvã probleele urãtoare (grad ridicat de dificultate): 1. O barã oogenã este plasatã în echilibru pe doi taburi identici, cu axele orizontale ºi la acelaºi nivel. Taburii se rotesc înspre interior la contactul cu bara, în sens invers unul faþã de celãlalt. Distanþa dintre axele taburilor este a, iar coeficientul de frecare între barã ºi taburi este µ. Bara poate efectua ici oscilaþii aronice stânga-dreapta. Perioada acestor oscilaþii este: a a) T = π ; b) T = π µ g 3a ; c) T = π µ g a µ g ; d) T =.. Un taler de asã M este atârnat în capãtul de jos al unui resort de asã neglijabilã ºi constantã de elasticitate k. De la înãlþiea h cade pe acesta o bucatã de plastilinã de asã, sisteul începând sã oscileze. plitudinea oscilaþiilor sisteului este: a) g kh g kh = 1 + ; c) = k M g k Mg ; ( + ) b) g kh = 1 ; d) = g k M g k. ( + ) 3. Pe capãtul superior al unui resort nedeforat, de asã neglijabilã ºi constantã de elasticitate k, este aºezat un corp de asã (vezi ).Calculeazã aplitudinea oscilaþiilor sisteului, considerând cã oscilaþiile libere încep din punctul O de pe nivelul 1, sub acþiunea corpului de asã. 4. Pe capãtul superior al unui resort nedeforat, de asã neglijabilã ºi constantã de elasticitate k, este aºezat un taler de asã M, care este ciocnit plastic de un corp de asã ºi cu viteza v, pe verticalã de sus în jos (vezi ). Notã cu aplitudinea oscilaþiilor ºi cu elongaþia în starea R. În care din stãrile O, N, P, R faþã de cele trei nivele se verificã legea conservãrii energiei? 5. Un resort cu constanta de elasticitate k se taie în n bucãþi de lungie identicã. Cele n resorturi obþinute se leagã în paralel. Constanta elasticã a acestui siste este: a) k e = n k; b) k e = nk; c) k e =,5nk; d) k e = k. Rãspunsuri: 1. a.. a. 3. =g/k. 4. Legea conservãrii energiei se verificã în stãrile O, N, P, R faþã de cele trei nivele. 5. a.

21 Oscilaþii ºi unde ecanice OSCILTORI MECNICI CUPLÞI Oscilaþii ecanice întreþinute. Oscilaþii ecanice forþate Dupã ce un leagãn sau un pendul este îpins cu âna ºi apoi este lãsat liber, oscilaþiile sale se aortizeazã datoritã frecãrilor cu aerul ºi a celor din sisteul de prindere. Oscilaþiile nu se aortizeazã, adicã aplitudinea acestora rãâne constantã dacã sisteul oscilant prieºte din exterior energia pierdutã prin frecãri, la intervale de tip egale cu perioada oscilaþiilor libere. Oscilaþiile unui siste aflat sub acþiunea periodicã a altui siste se nuesc oscilaþii forþate. Dacã transite oricãrui oscilator ipulsuri periodice, la intervale de tip diferite de perioada oscilaþiilor libere, atunci oscilaþiile acestuia sunt forþate, aplitudinile atingând valori ari dacã frecãrile sunt ici (vezi ). La turaþii ici ale volantului, firul antrenat de volant dã ipulsuri periodice resortului dinaoetrului ºi se obþin oscilaþii cu aplitudini coparabile cu raza volantului. La turaþii din ce în ce ai ari ale volantului, se constatã experiental cã aplitudinea ãsuratã devine axiã la o anuitã frecvenþã a acestora, iar la turaþii ºi ai ari, aplitudinea scade. Constatã experiental cã transferul energiei de la un siste oscilator la alt siste oscilator are caracter selectiv ºi este opti dacã perioadele acestora sunt egale sau aproxiativ egale. Explicã ce se va constata dacã oscilatorul se introduce total sau parþial într-un lichid. Oscilaþii forþate întâlnite în practicã sunt: vibraþiile pieselor nefixate în locurile lor, aflate în sistee sau dispozitive în iºcare; oscilaþiile plantelor, ale crengilor sau ale podurilor sub acþiunea vântului; oscilaþiile autovehiculelor pe un dru cu denivelãri. M L Problee propuse 1. Concepe un dipozitiv cu un otoraº electric sau cu un siste de roþi pentru generarea oscilaþiilor forþate (vezi ).. Lansatorul unei bile este aºezat la baza unui plan înclinat de unghi, coeficient de frecare ºi lungie L (vezi ). Câtã energie trebuie sã prieascã bila când revine la baza planului înclinat pentru ca aceasta sã ajungã la aceeaºi înãlþie h? Senzor de relansare L M h

22 8 Capitolul *Rezonanþa i observat cã leagãnele fixate pe acelaºi cadru intrã în oscilaþie atunci când nuai unul este scos din poziþia de ehilibru? Dacã se cupleazã douã pendule de lungii diferite ºi îl scoate din repaus pe unul dintre ele, atunci acesta devine excitator pentru cel rãas în repaus. Dacã lungiea ºi deci frecvenþa oscilaþiilor excitatorului este ult diferitã de cea proprie a oscilatorului aflat în repaus, atunci aplitudinea celui din urã este foarte icã, transferând foarte puþinã energie. Se pune în iºcare pendulul excitator care transite ipulsuri periodice altor pendule prin interediul tijei de care sunt suspendate (vezi ). Dacã pendulele au lungii egale cu cea a pendulului excitator, atunci acestea vor avea aplitudinea axiã. *Transferul de energie între doi oscilatori cuplaþi Sã considerã douã pendule de aceeaºi lungie l ºi de aceeaºi asã, legate printr-un resort sau printr-un cordon elastic (vezi ). Miºcãrile fiind influenþate reciproc, spune cã aceste douã sistee oscilante sunt cuplate. Dacã ipriã unuia dintre pendule o iºcare oscilatorie faþã de poziþia de echilibru, energia iºcãrii se transite integral la celãlalt pendul dupã un interval de tip. Procesul de transfer opti al energiei între oscilatoare cuplate, când frecvenþa oscilatorului excitator este egalã cu frecvenþa oscilatorului excitat, se nueºte rezonanþã. Un oscilator (oscilatorul excitator) îºi pierde treptat energia, icºorându ºi aplitudinea pânã când ajunge în repaus, iar celãlalt (oscilatorul excitat) preia, tot treptat, energia cedatã de priul, aplitudinea sa de oscilaþie devenind din ce în ce ai are ºi atingând valoarea axiã când priul ajunge în repaus. poi rolurile se schibã, cel de-al doilea transferã energie priului pendul. Miºcãrile abelor pendule sunt caracterizate de aplitudini care se odificã ciclic ºi se aortizeazã datoritã frecãrilor. cest proces reprezintã o oscilaþie forþatã pentru oscilatorul excitat, în cazul particular al rezonanþei. Când cuplajul este ai strâns, transferul energetic se face într un tip ai scurt. Pendulul excitator este în avans de fazã cu ϕ = π/ faþã de pendulul rezonator, cu este pendulul excitat în condiþii de rezonanþã.

23

24