x 1 = x x 2 + t, x 2 = 2 x 1 + x 1 + e t, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 1; (c) Să se studieze stabilitatea soluţiei nule pentru sistemul

Transcript

1 Seminar mecanică 1. Să se găsească soluţiile următoarelor probleme Cauchy şi să se indice intervalul maxim de existenţă a soluţiei: (a) x = 1 x, t 0, x(1) = 0; t (b) (1 t x) x = t + x, t R, x(0) = 0; (c) x x + x = e t, t R, x(0) = 0, x (0) = 1; ( ) 1. Fie matricea A =. 1 (a) Să se calculeze e t A ; (b) Să se rezolve problema Cauchy x 1 = x 1 + x + t, x = x 1 + x 1 + e t, x 1 (0) = 1, x (0) = 1; (c) Să se studieze stabilitatea soluţiei nule pentru sistemul x 1 = x 1 + x, x = x 1 + x Să se arate că transformările lui Galilei sunt automorfisme afine bijective pe R R 3 ce păstrează intervalele de timp şi distanţa dintre evenimentele simultane. 4. Mişcarea unui punct material este dată prin x 1 = R cos t, x = R sin t, x 3 = R 3t, t [0, π ], R > 0. Să se determine traiectoria. 5. Un punct material de masă m = 5 se mişcă după legea ( x 1 = sin t + π ), ( 4 x = 4 cos t + π ), t [0, ), 4 x 3 = 6. Să se determine : (a) poziţia punctului la momentul t = 0; (b) viteza şi acceleraţia la momentul t = π; (c) traiectoria. 6. Un punct material P pleacă din poziţia P 0 ( 3,, 1) la momentul t = 0, cu viteza iniţială v 0 = ē 1 + ē + 3ē 3 şi de deplasează cu acceleraţia ā = e t ē cos tē + 8 sin tē 3. Să se determine vectorul viteză şi legea de mişcare. 1

2 7. Un punct material P aflat în poziţia A(1, 0, ) se mişcă cu viteza v = tē 1 + tē + ē 3. Să se determine: (a) legea de mişcare şi poziţia punctului la momentul t = 4; (b) ecuaţia orară a mişcării; (c) versorii triedrului lui Frenet; (d) acceleraţia tangenţială şi normală; (e) curbura traiectoriei. 8. Reperul mobil {O ; f 1, f, f 3 } se mişcă faţă de reperul fix {O; ē 1, ē, ē 3} după legea f 1 = cos tē 1 + sin tē, f = sin tē 1 + cos tē, f 3 = ē 3, r o = tē 3. Un punct material P se mişcă faţă de reperul mobil cu viteza unghiulară constantă ω 0 pe cercul y 1 + y = R, y 3 = 0, la momentul iniţial ocupând poziţia P 0 (y 1 = R, y = 0, y 3 = 0). Să se determine: (a) vectorul rotaţie instantanee; (b) vitezele relativă, de transport şi absolută; (c) acceleraţiile relativă, de transport, Coriolis şi absolută. 9. Un unghi drept ÂOB se roteşte în planul său în jurul vârfului fix O, cu viteza unghiulară ω 0. Punctul P se mişcă uniforma pe latura OA plecând din punctul O. Să se determine legea mişcării absolute, viteza absolută şi acceleraţia absolută şi să se verifice legăturile acestora cu elementele mişcării relative. 10. Să se determine legea de mişcare a unui punct de masă m = 1 dacă asupra sa acţionează forţa: (a) F = 4(x 1 ē 1 + x ē ); (b) F = 4(x ē 1 + x 1 ē ), ştiind că la momentul iniţial (a) r(0) = ē 1, v(0) = ē ; (b) r(0) = ē 1, v(0) = ē. În cazul punctului (a) aflaţi şi traiectoria mişcării. 11. Un glonte de masă m loveşte un perete şi parcurge distanţa l până la oprire. Ştiind că forţa de rezistenţă pe care o opune peretele la înaintarea glontelui are mărimea constantă, să se determine viteza iniţială.

3 1. În vârful unui triunghi dreptunghic isoscel ABC în care ipotenuza AC = a, se află un punct M de masă m fără viteză iniţială. Fiecare dintre cele 3 vârfuri ale triunghiului atrage punctul M cu o forţă a cărei mărime este F = mk d, unde k =constant, d =distanţa de la M la vârful corespunzător. Să se studieze mişcarea şi să se determine traiectoria. 13. Un avion A zburând la înălţimea h trebuie să lovească o ţintă B. De la ce distanţă d, în stânga ţintei, trebuie lansat proiectilul dacă se ştie că avionul zboară orizontal cu viteza constantă v 0 (se neglijează rezistenţa aerului). 14. Să se studieze mişcarea verticală descendentă a unui punct material greu de masă m, presupunând viteza iniţială nulă şi forţa de rezistenţă a aerului este R = mgλ v, λ > Un punct este lansat cu viteza v 0 şi sub un unghi α (0, π ) faţă de orizontală. Presupunem forţa de rezistenţă a aerului R = mgλ v, λ > 0. Să se determine mişcarea. 16. Un punct material e atras spre axa Ox 1 de o forţă perpendiculară pe această axă şi proporţională cu distanţa d(m, Ox 1 ), factorul de proporţionalitate fiind mk. Să se afle traiectoria punctului dacă la momentul iniţial x 1 (0) = 0, x (0) = h, iar viteza iniţială are mărimea v 0 şi e paralelă cu axa Ox 1. În ce puncte ale traiectoriei mărimea vitezei e maximă? 17. Un punct material de masă m se mişcă sub acţiunea unei forţe centrale dată de F = m k k r, k > 0. Ştim că la momentul iniţial r(0) = 0, θ(0) = 0, v(0) =, a 0, iar 3 a măsura unghiului dintre r(0) şi v(0) este π. Să se studieze mişcarea. 18. Să se găsească traiectoria unui punct material de masă m asupra căruia acţionează o forţă de atracţie F = mµ r, µ > 0, ştiind că la momentul iniţial r(0) = a(1 e), θ(0) = 0, r3 µ(1 + e) v(0) = a(1 e), măsura unghiului dintre r(0) şi v(0) este π, e (0, 1). 19. Un satelit de masă m este lansat cu viteza iniţială v 0 faţă de centrul Pământului şi la distanţa D faţă de centrul său, de-a lungul traiectoriei unei staţii spaţiale. Este cunoscut faptul că satelitul este atras de Pământ cu forţa de atracţie F = G mm r, unde G, m şi M sunt constante cunoscute. Să se afle expresia potenţialului şi distanţa maximă dintre satelit şi centrul Pământului. mµ 0. Un punct material de masă m se mişcă sub acţiunea forţei F = r, µ > 0. Ştiind că r3 la momentul iniţial r(0) = 0, θ(0) = 0, măsura unghiului dintre r(0) şi v(0) este π, să se determine viteza iniţială astfel încât traiectoria să fie circulară. 1. Un punct material de masă m = 1 este acţionat de o forţă elastică F = 4 r. Ştiind că poziţia iniţială ocupată de punct este r(0) = ( 5, 0) şi v(0) = (10 3, 0) să se determine: (a) pulsaţia, perioada oscilaţia; 3 r 3

4 (b) ecuaţia de mişcare; (c) primul moment la care r(0) = (0, 0); (d) energia potenţială.. Un punct material greu coboară fără frecare şi fără viteză iniţială pe un plan înclinat de unghi α = 45 0 şi înălţime h = 10. Să se determine momentul când punctul material ajunge la baza planului. 3. Un punct material de masă m se mişcă pe dreapta x 1 = x fiind respins de axa Ox cu o forţă perpendiculară pe ea şi proporţională cu distanţa la această axă. La momentul iniţial x 1 (0) = 1 iar viteza este nulă. Neglijând forţa de greutate, să se găsească legea de mişcare şi forţa de legătură atunci când mişcarea se face cu frecare, coeficientul de frecare fiind f (0, 1). 4. Să se studieze echilibrul unui punct material greu pe un cerc vertical de rază R, în cazurile: (a) echilibrul se face fără frecare; (b) echilibrul se face cu frecare, coeficientul de frecare fiind f = 5. Un cilindru circular drept de rază R = 10 se mişcă în aşa fel încât una din bazele sale rămâne mereu în planul fix x 1 Ox. Mişcarea sistemului de referinţă O y 1 y y 3 solidar cu cilindrul (cu O ales să fie centrul bazei aflată în planul x 1 Ox şi axa Oy 3 să fie paralelă cu generatoarea cilindrului) este descrisă prin x 0 1(t) = t 3 +, x 0 (t) = 1 t 3, x 0 3(t) = 0 şi unghiul de rotaţie θ(t) = π(t t). Să se determine: (a) coordonatele x 1, x, x 3 ale punctelor P 1 (y 1 = 10, y = 0, y 3 = 0) şi P (y 1 = 0, y = 5, y 3 = 0) la momentul t =. b) viteza şi acceleraţia punctului P 3 (y 1 = 1, y = 3, y 3 = 0). 6. Un rigid omogen ocupă domeniul D = {y = (y 1, y, y 3 ) 0 y i a, a > 0, i = 1,, 3} faţă de un reper solidar legat de rigid. Ştiind că rigidul se roteşte în jurul axei fixe Oy 3 cu viteza unghiulară constantă a, să se determine: (a) mişcarea rigidului; (b) v; M; r ; I; H; K0 ; E. 7. Un rigid omogen ocupă domeniul D = {y = (y 1, y, y 3 ) y 1 + y + y 3 R } faţă de un reper solidar legat de rigid. Ştiind că rigidul se roteşte în jurul axei fixe Oy 3 cu viteza unghiulară constantă a, să se determine: (a) mişcarea rigidului; (b) v; M; r ; I; H; K0 ; E; 8. O placă omogenă D se mişcă rămânând mereu într-un plan fix x 1 Ox. Mişcarea unui reper y 1 O y solidar legat de rigid faţă de care D = {(y 1, y ) 0 y 1 1, 0 y 1 y 1 } este dată de legea x 0 1(t) = t + 1, x 0 (t) = t + 1, θ = πt. Să se determine:

5 (a) v; M; r ; (b) I; H; K0 ; E. (c) Momentul cinetic faţă de centrul de masă şi energia cinetică faţă de centrul de masă. 9. Să se studieze mişcarea fără frecare pe un plan orizontal a unei bare rigide, omogene AB, de masă M, de lungime l, ale cărei particule sunt atrase de axa fixă Ox 1, proporţional cu masele şi distanţele respective. 30. O placă dreptunghiulară omogenă ABCD, de latură BC = a, AB = b, de masă M, se roteşte în jurul axei verticale AB. Fiecare element al plăcii suportă rezistenţa aerului, a cărei direcţie este perpendiculară pe planul plăcii, iar mărimea este proporţională cu masa elementară şi pătratul vitezei sale. Factorul de proporţionalitate este k. Să se studieze mişcarea plăcii dacă la momentul iniţial viteza unghiulară θ(0) = ω 0. După cât timp se opreşte placa? 31. Descrierea lagrangiană a unei deformări este dată de x 1 = t + X 1 t X X 3, x = 1 + t X 1 + X + X 3, x 3 = t + X 1 X + X 3, unde X = (X 1, X, X 3 ) B, t [0, ). Să se determine: (a) poziţia la momentul t = 1 a particulei P care iniţial se afla în poziţia P 0 (1,, 1); (b) poziţia la momentul t = 1 a particulei P care iniţial se afla în poziţia P 0(0, 0, 1); (c) distanţa dintre punctele poziţiile iniţiale P 0 şi P 0 şi distanţa dintre poziţiile celor două puncte la momentul t = 1 (după deformarea mediului); (d) traiectoria punctului P ; (e) gradientul material al deformării; (f) descrierea euleriană a deformării şi gradientul spaţial al deformării; (g) vectorul deplasare în descriere materială precum şi în descriere spaţială; (h) tensorii C, c, E, e. 3. Se consideră deplasarea u definită pe D [0, ) prin u 1 = 3t (1 + X 1 X X 3 ), u = t X 1 + 5X X 3 t 3, u 3 = ( t 1)(X 1 + 5X X 3 ), unde X = (X 1, X, X 3 ) D, t [0, ). Să se determine: (a) poziţia la momentul t = 1 a particulei P care în configuraţia de referinţă are coordonatele (0, 1, ); (b) gradientul material al deformării. 33. Să se studieze deformările definite prin 5

6 (a) x 1 = λx 1, x = λx, x 3 = λx 3, λ > 0, (b) x 1 = λx 1, x = X, x 3 = X 3, λ > 0, (c) x 1 = X 1 + kx, x = X, x 3 = X 3, k 0, unde λ şi k sunt constante, iar (X 1, X, X 3 ) D = [0, 1] [0, 1] [0, 1]. 34. Să se determine componentele vectorului deplasare corespunzătoare tensorului deformare dat de ε 11 = νx 1, ε = νx 1, ε 33 = x 1, ε 1 = ε 3 = ε 31 = 0, unde ν este o constantă numită raţia lui Poisson. 35. Să se determine componentele vectorului deplasare corespunzătoare tensorului deformare dat de ε 11 = νx x 3, ε = νx x 3, ε 33 = x x 3, ε 1 = ε 31 = 0, ε 3 = 1 νx 1, unde ν este o constantă numită raţia lui Poisson. 36. Descrierea lagrangiană a unei deformări este: x 1 = X 1 e t, x = X e t, x 3 = X 3. Calculaţi componentele vitezei în descriere materială, precum şi în descriere spaţială. Calculaţi matricea gradientului vitezei. 37. O deformare omogenă de forma x 1 = X 1 + γx, x = X, x 3 = X 3, γ R, este o forfecare simplă (a se vedea seminarul 13). Pentru această deformare, calculaţi: (a) gradientul material şi gradientul spaţial al deformării; (b) tensorii de deformare; (c) lista invarianţilor principali ai tensorilor de deformare; (d) extensiile principale, adică valorile proprii ale lui U, U = C. 6