. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία τράπουλα και σηµειώνουµε το είδος του φύλλου. Ο δειγµατικός χώρος του παραπάνω πειράµατος είναι το σύνολο: {Σπαθί} {Κούπα} {Καρό} {Μπαστούνι} {Σπαθί Κούπα Καρό Μπαστούνι} 4. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρεις φορές και σηµειώνουµε κάθε φορά το αποτέλεσµα. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος.. Από ένα δοχείο µε τρεις κόκκινες, δύο µαύρες και µία άσπρη σφαίρα, διαλέγουµε διαδοχικά τρεις σφαίρες (α) µε επανατοποθέτηση (β) χωρίς επανατοποθέτηση Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω κάθε πειράµατος. 6. ύο παίκτες παίζουν τάβλι µέχρι κάποιος να συµπληρώσει τρεις νίκες. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο κάθε πειράµατος. 7. Ένα ζευγάρι τεκνοποιεί µέχρι να αποκτήσει αγόρι ή να έχει τρία παιδιά. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο. 8. Ενα πρατήριο πουκαµίσων πουλάει χονδρική ή λιανική, πληρώνεται µετρητοίς ή µε επιταγές ενός ή δύο µηνών και έχει µεγέθη : µεσαίο(μ), µεγάλο(l) και πολύ µεγάλο(xl). Θεωρούµε το πείραµα της κωδικοποίησης µιας πώλησης. Να γράψετε το δειγµατικό χώρο του πειράµατος. 9. Από µια τράπουλα τραβάµε διαδοχικά δύο φύλλα. Να βρείτε το ενδεχόµενο : Α:«και τα δύο φύλλα είναι άσσοι». 0. Τοποθετούµε στη σειρά µια κόκκινη, µια πράσινη και µια άσπρη µπάλα. (α) Να βρείτε τα παρακάτω ενδεχόµενα: Α:«η κόκκινη µπάλα είναι πρώτη» Β:«η άσπρη µπάλα είναι δεύτερη». (β) Να βρείτε και να περιγράψετε λεκτικά τα ενδεχόµενα : A B, A B, Α-Β, Α και Α Β. Ένα κατάστηµα έχει πέντε καλές και δύο χαλασµένες λάµπες. Τρεις πελάτες αγοράζουν από µία λάµπα. Να βρείτε τα παρακάτω ενδεχόµενα: Α:«οι δύο πρώτοι αγόρασαν καλές λάµπες» Β:«στο κατάστηµα έµεινε τουλάχιστον µία χαλασµένη λάµπα» Γ:«ο πρώτος πελάτης πήρε µία καλή λάµπα» :«ο τρίτος πελάτης πήρε µία χαλασµένη λάµπα» Και τα ενδεχόµενα: A B, A B, A, A και Γ.. Ρίχνουµε δύο ζάρια και σηµειώνουµε τις ενδείξεις τους. Να γράψετε τα ενδεχόµενα : Α: «το ένα ζάρι έφερε άρτιο» Β:«το δεύτερο ζάρι έφερε έξι» Γ: «το άθροισµά τους είναι 8» Και τα ενδεχόµενα: A B, A B, Α-Β, Γ B, Γ B,και Α Β Γ. Α Β = Α 3. Να αποδείξετε ότι: ( ) Β - -
4. Να γράψετε τα ενδεχόµενα που παριστάνονται στα παρακάτω διαγράµµατα του Venn : (α) Α Β (β) Α Β (γ) Α Β. Να γράψετε δίπλα σε κάθε νούµερο της αριστερής στήλης του παρακάτω πίνακα το γράµµα της δεξιάς στήλης ώστε το λεκτικό του ενδεχοµένου να αντιστοιχεί στο σωστό συµβολισµό: ΛΕΚΤΙΚΟ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΟΥ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ.Πραγµατοποιούνται αµφότερα τα Α και Β Α. Α Β. πραγµατοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α,Β Β. Α Β 3. δεν πραγµατοποιείται το Α ή το Β Γ. Α-Β 4. δεν πραγµατοποιείται ούτε το Α ούτε το Β. Α Β. πραγµατοποιείται το Α αλλά όχι το Β Ε. Α Β ΣΤ. Β-Α 6. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω= {ω,ω,ω 3,ω 4 } µε πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων που ικανοποιούν τις σχέσεις : Ρ(ω )=Ρ(ω ), Ρ(ω 3 )=4Ρ (ω 4 ) και Ρ(ω )+3Ρ(ω 4 )=Ρ(ω 3 ). Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων και την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α={ω,ω 3 }. 7. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω= {ω, ω,ω 3,ω 4,ω } µε πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχοµένων που ικανοποιούν τις σχέσεις :Ρ(ω )= Ρ(ω )=3 Ρ(ω 3 )=4 Ρ(ω 4 )= Ρ(ω ). (α)η πιθανότητα Ρ(ω) ισούται µε : 0 60 37 37 (β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α={ω,ω } 3 8. Έστω ένας δειγµατικός χώρος µε τρία στοιχειώδη ενδεχόµενα µε πιθανότητες p, p και -3ρ. Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό ρ. 9. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω={0,,,,ν} µε ν θετικό ακέραιο. Αν οι πιθανότητες των στοιχειωδών i ενδεχοµένων,,,ν δίνονται από τον τύπο P ( i) = ( ) µε i=,,,ν, τότε : 3 (α) Η πιθανότητα Ρ(0) ισούται µε 0 ( ) v ( + ) 3 ν ν + 3 (β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Α={,3,,.,κ } όπου κ θετικός περιττός µικρότερος του ν. 0. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω={,,,ν} µε ν θετικό ακέραιο. Αν οι πιθανότητες των στοιχειωδών P( ) P() P(3) P(ν ) ενδεχοµένων,,,ν δίνονται από τον τύπο = = =... =, τότε : 3 ν i (α) Να αποδείξετε ότι : P ( i) = για κάθε i=,,,ν. ν ( ν + ) - -
(β) Να αποδείξετε ότι P( i) + P( ν i) = νp() για κάθε i=,,,ν. (γ) Αν P ( ) =, να υπολογίσετε το πλήθος των στοιχείων του δειγµατικού χώρου Ω.. Αν η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο Α είναι 90%, τότε η πιθανότητα να µην πραγµατοποιηθεί το Α είναι 0 0, 0,9 0 P( A ). Αν για το µη κενό ενδεχόµενο Α ισχύει =, τότε να υπολογίσετε την πιθανότητα του Α. P( A) 3 3. Αν για το µη κενό ενδεχόµενο Α ισχύει P( A) = p και P ( A ) = 0, + p, τότε να υπολογίσετε την πιθανότητα του Α. 4. Να αποδείξετε ότι : Ρ(Α)Ρ(Α ) για κάθε ενδεχόµενο Α. Πότε ισχύει το «=»; 4. Έστω τα ενδεχόµενα Α,Β µε Ρ(Α)=0,, Ρ(Β)= και P ( A B) =. Να βρείτε την πιθανότητα να 3 πραγµατοποιηθεί το Α ή το Β. 6. Έστω τα ενδεχόµενα Α,Β µε Ρ(Α)=Ρ(Β)= και P ( A B) =. Να βρείτε την πιθανότητα να 3 πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο : (α)α (β) A B (γ) A B (δ) A B (ε) A B 7 7. Έστω τα ενδεχόµενα Α,Β µε Ρ(Α )=, P ( A B) = και P ( A B) =. Να βρείτε την πιθανότητα 6 3 8 να πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο : (α)α (β)β (γ)ταυτόχρονα τα Α,Β (δ)τουλάχιστον ένα από τα Α,Β (ε)µόνο το Α (στ) µόνο το Β (ζ)ακριβώς ένα από τα Α,Β (η)κανένα από τα Α,Β 8. Να αποδείξετε ότι : P ( A B Γ) = Ρ( Α) Β) Γ) Α Β) Β Γ) Γ Α) Α Β Γ) 9. Έστω τα ενδεχόµενα Α,Β µε P ( A B) =, P ( A B) = και P ( A B) =. Να βρείτε την 9 9 8 πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί το ενδεχόµενο : (α)α (β)β (γ) A B (δ) A B 30. Από τους κατοίκους µιας πόλης το 0% έχει γάτα, το 30% έχει σκύλο και το % έχει σκύλο και γάτα. Επιλέγουµε τυχαία ένα κάτοικο αυτής της πόλης. Ποια η πιθανότητα ο κάτοικος που επιλέχθηκε να (α) έχει σκύλο ή γάτα (β) να έχει µόνο σκύλο (γ)να έχει µόνο γάτα (δ) να έχει µόνο ένα ζώο (ε) να µην έχει κάποιο ζώο. 3. Το 60% των ενηλίκων µιας πόλης δεν χρησιµοποιεί κινητό τηλέφωνο το 70% δεν ξέρει να χρησιµοποιεί ηλεκτρονικό υπολογιστή και το % δεν χρησιµοποιεί κινητό τηλέφωνο ούτε υπολογιστή. Αν επιλέξουµε ένα ενήλικα της πόλης, να βρείτε την πιθανότητα (α) να χρησιµοποιεί κινητό και υπολογιστή (β)να χρησιµοποιεί µόνο ένα από τα δύο (γ)να χρησιµοποιεί τουλάχιστον ένα από τα δύο. 3. Να γράψετε ποια από τα παρακάτω ζευγάρια µη κενών ενδεχοµένων είναι ασυµβίβαστα: (α) το Α µε το Α (β) το Α-Β µε το Β-Α (γ)το Α-Β µε το A B (δ)το Α µε το A B - 3 -
33. Από µια τράπουλα τραβάµε τυχαία ένα φύλλο. Τα ενδεχόµενα «το φύλλο είναι σπαθί» και το «το φύλλο είναι ντάµα» είναι ξένα µεταξύ τους; 34. Έστω τα ενδεχόµενα Α,Β µε Ρ(Α)=0,4,Ρ(Β)=0,3 και P ( A B) = 0, 6. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Α,Β είναι ασυµβίβαστα. 3. Να αποδείξετε ότι τα ενδεχόµενα Α,Β µε Ρ(Α)=0,8,Ρ(Β)=0,3 δεν είναι ασυµβίβαστα. 36. Έστω τα ενδεχόµενα Α,Β µε Ρ(Β)=0,7 και P ( B A) = 0, 7. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Α,Β είναι ασυµβίβαστα. 37. Έστω τα ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α,Β µε Ρ(Α)=0, και P ( A B) = 0, 8. Να βρείτε την Ρ(Β). 38. Να αποδείξετε ότι : + R( A B) Ρ(Α)+Ρ(Β) για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α,Β. 39. Να διατάξετε τους αριθµούς Ρ(Α),Ρ( A B ) και Ρ( A B ) σε αύξουσα σειρά, όταν τα Α,Β δεν είναι τα αδύνατα ενδεχόµενα. 40. Να αποδείξετε ότι : Ρ(Α)+Ρ(Β)- P ( A B) Ρ(Α)+Ρ(Β) για οποιαδήποτε ενδεχόµενα Α,Β. 4. Μια τάξη έχει δέκα αγόρια και δώδεκα κορίτσια. Τα µισά αγόρια και εφτά κορίτσια φοράνε γυαλιά. Αν επιλέξουµε τυχαία ένα µαθητή της τάξης, να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων: Α: «ο µαθητής είναι αγόρι», Β «ο µαθητής φοράει γυαλιά» Γ: «ο µαθητής είναι αγόρι ή φοράει γυαλιά» :«ο µαθητής είναι κορίτσι που δε φοράει γυαλιά» Ε: «ο µαθητής είναι αγόρι µε γυαλιά ή κορίτσι». 4. Τραβάµε στην τύχη ένα φύλλο από µια τράπουλα. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων: (α) Α: «το φύλλο που επιλέχθηκε είναι ντάµα µπαστούνι» (β) Β: «το φύλλο που επιλέχθηκε είναι άσσος» (γ) Γ: «το φύλλο που επιλέχθηκε δεν είναι κούπα» (δ) : «το φύλλο που επιλέχθηκε δεν είναι άσσος» (ε) Ε: «το φύλλο που επιλέχθηκε είναι τρία κούπα ή άσσος σπαθί» (στ) Η: «το φύλλο που επιλέχθηκε είναι σπαθί ή άσσος» (ζ) Ζ: «το φύλλο που επιλέχθηκε δεν είναι ούτε άσσος ούτε κούπα» 43. Τραβάµε µια σφαίρα από ένα δοχείο µε εφτά κόκκινες, δύο µπλε και έξι άσπρες σφαίρες. Να βρείτε την πιθανότητα η σφαίρα που επιλέξαµε να (α) είναι κόκκινη (β) είναι άσπρη (γ) µην είναι µαύρη (δ) µην είναι µπλε (ε)µην είναι κόκκινη ούτε µπλε. 44. Σε ένα ράφι υπάρχουν 8 λάµπες των 30W, 0 των 60W, 0 των 00W και των 0W. Παίρνουµε τυχαία µια λάµπα από το ράφι. (α)να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων: Α: η λάµπα είναι 30W Β: η λάµπα δεν είναι 30W Γ: η λάµπα είναι 30W ή 0W : η λάµπα δεν είναι ούτε των 30W ούτε των 0W Ε: η λάµπα είναι τουλάχιστον 00W (β) Αν η λάµπα που πήραµε τοποθετηθεί σε ένα ντουί που αντέχει έως 60W, να βρείτε την πιθανότητα να καεί το ντουί. - 4 -
4. Από 000 λαχνούς που είναι αριθµηµένοι από το µηδέν έως το 999, διαλέγουµε έναν. (α) Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχοµένων: Α: ο λαχνός έχει το νούµερο. Β: ο λαχνός έχει άρτιο αριθµό Γ: ο αριθµός του λαχνού λήγει σε πέντε : ο λαχνός έχει αριθµό τουλάχιστον 00 Ε: ο αριθµός του λαχνού λήγει σε πέντε ή είναι πολλαπλάσιο του Ζ: τα ψηφία του αριθµού είναι διαδοχικοί αριθµοί. ΣΗΜΕΙΩΣΗ: ο αριθµός του λαχνού γράφεται µε τρία ψηφία (β) Αν κάποιος αγοράσει εκατό λαχνούς, να βρείτε την πιθανότητα να κερδίσει. 46. Ένα τεστ αποτελείται από τέσσερις ερωτήσεις σωστού-λάθους. Κάποιος µαθητής απαντά στην τύχη τις ερωτήσεις του τεστ. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων: Α: όλες οι απαντήσεις είναι σωστές Β: όλες οι απαντήσεις είναι λάθος Γ: τρεις απαντήσεις σωστές : τουλάχιστον µία απάντηση είναι σωστή Ε: το πολύ µία απάντηση να είναι σωστή 47. Θεωρούµε το δειγµατικό χώρο Ω={-,-,0,,} και διαλέγουµε τυχαία ένα αριθµό λ µε λ Ω. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου «η εξίσωση x + ( λ + ) x + = 0 να έχει µια διπλή ρίζα» 48. Έστω το σύνολο Ω={0,,,,ν} όπου ν θετικός ακέραιος. Αν ν το πλήθος των παρατηρήσεων του δείγµατος µε πίνακα κατανοµής τον παρακάτω πίνακα ν i fi ΑΝΤΡΕΣ 6 ΓΥΝΑΙΚΕΣ 0,4 x 4, αν x και η συνάρτηση f ( x) = x 4 a + a, αν x = Αν επιλέξουµε τυχαία ένα αριθµό α Ω, να βρείτε την πιθανότητα να η f να είναι συνεχής. 49. Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω={-,0,,,3,4,} για τον οποίο γνωρίζουµε ότι ισχύει : Ρ(-)=Ρ(0)=Ρ()=Ρ()=Ρ(3)=Ρ(4)=Ρ(). Ορίζουµε τα ενδεχόµενα Α={,3, x x 3 }, Β={,x+,-x+, x + x } όπου x πραγµατικός αριθµός. (α) Να βρεθούν οι πιθανότητες των απλών ενδεχοµένων του Ω. (β) Να βρεθεί η µοναδική τιµή του x για την οποία ισχύει A B = {,3 }. 7 3 (γ) Για x=- να δείξετ ότι: Ρ(Α)=, Ρ(Β)=, Ρ( A B )= και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πιθανότητες Ρ(Α-Β) και Ρ( A B ). ΘΕΜΑ 007 - -