1. Να εξετάσετε αν καθεµία από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις είναι γραφική

Transcript

1 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ 1. Να εξετάσετε αν καθεµία από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις είναι γραφική παράσταση συνάρτησης ή όι. ικαιολογήστε την απάντησή σας. ψ ψ ψ ψ ψ ψ. Στο διπλανό σήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f. Να βρείτε: (α) τις τιµές f(0),f(1) και f(), (β) τις ρίζες της εξίσωσης [f()] =0, (γ) τις τιµές του για τις οποίες f()>0. ψ γραφική παράσταση της f Ο 1 3. Στο διπλανό σήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f. Να βρείτε: (α) το πεδίο ορισµού της f, (β) τις τιµές του για τις οποίες f()<0, (γ) σε ποια σηµεία η f παρουσιάζει τοπικά ακρότατα και να τα προσδιορίσετε. ψ γραφική παράσταση της f (,3) (4,3) (-3,0) (3,) Ο 5 Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 1 από 0

2 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 4. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: 1 4 (α) f()= ηµ (β) f()= (γ) f()=. 5. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: 1 (α) f()= ln ln+ (β) f()= + συν ln 1 (γ) f()= e Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: (α) f()=ln(-)-ln(6- ), 3 (β) f()=, (γ) f()= e. 7. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: (α) f()= 1 1, (β) f()=log(log(log)). 8. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: 1+ ln ln (α) f()=, ln + (β) f()= ln( ). 9. Να προσδιορίσετε τα κοινά σηµεία (αν υπάρουν) των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: + 8 (α) f()= και g()=, 1 (β) f()= -3+ και g()=. x e 10. (α) Αν f()=, R να δείξετε ότι f()+f(-)=1, για κάθε R, x 1+ e 6 ηµ (β) Αν f()= x, R να δείξετε ότι f()-f(-)=ηµ, για κάθε R. 1+e 1 α + β 11. Αν f()= ln( ), -1<<1, να δείξετε ότι: f( ) = αβ για όλα τα α,β (-1,1). f(α )+f( β ), Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. από 0

3 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 1. Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό λ, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3 3 λ ( ) = + 1 f να διέρεται από το σηµείο (1,6). 13. ίνεται η συνάρτηση f()= 3 +α -β+. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α και β έτσι, ώστε τα σηµεία Α(1,4) και Β(-,16) να ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. 14. Στο διπλανό σήµα να εκφράσετε το εµβαδόν του ορθογωνίου ως συνάρτηση της πλευράς του. Για ποιες τιµές ορίζεται αυτή η συνάρτηση; O 15. Στο διπλανό σήµα το ΑΕ Γ είναι τραπέζιο και το Ε ΓΒ είναι τετράγωνο. Αν ΑΒ=3, ΑΓ=7 και Γ =4 να εκφράσετε το εµβαδόν του γραµµοσκιασµένου ωρίου ως συνάρτηση του x=αμ, όταν το Μ κινείται πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ. 16. Αν η συνάρτηση f: R R είναι συνεής στο 1, να δείξετε ότι lim ( + ) f ( ) 3 = f (1) Αν f()= +1, να βρείτε τα όρια: f ( ) f (1) (α) (β) 1 lim 1 f ( ) f () 5 6 lim + f ( h+ 4) h f (4) (γ). lim0 h 18. Να βρείτε τα όρια: (α) 19. Να βρείτε τα όρια: (α) lim + lim (1+ ) 1 3 (β) lim. 0 1 (β). 1 lim 1 Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 3 από 0

4 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 0. Να βρείτε τα όρια: (α) lim (β) lim0 1. ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο: lim 1 (α) να βρείτε το f ( ) (β) +, αν 1 1 f ( ) = λ, αν = 1 να βρείτε την τιµή του πραγµατικού αριθµού λ ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεής στο Να βρείτε τα όρια: (α), 4 lim (β) lim. 4 (1+ ) Να βρείτε το όριο:. lim 0 4. Να βρείτε (µε δύο τρόπους) την παράγωγο της συνάρτησης f()= ++ στο ο =1. 5. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη στο R και συνεής στο µηδέν µε f(0)=0. (α) Να βρείτε το f ( ) (β) lim 0 Αν g(t)= t.f(t), t R, να βρείτε την g (0). 6. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: (α) f()=( +5-3) 10, (β) f ()= + e, (γ) f()=ln ( + 1). 7. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: (α) f()=ηµ 3, (β) f ()=ηµ 3 3, (γ) f()=ηµ (ln). 8. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων: (α) f()=e ηµ, (β) f ()= [ln( +3)], (γ) f()= (ln). Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 4 από 0

5 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας ίνεται η συνάρτηση: f()= R. 3 Να βρεθούν οι τιµές του για τις οποίες: (α) f ()=0 (β) f ()=-6 (α) f ()< ίνεται η συνάρτηση f µε f()= ++1. Να αντιστοιίσετε κάθε τετµηµένη ο (στήλη Α) µε τη γωνία που σηµατίζει η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο ( ο, f( ο )) µε τον άξονα. Στήλη Α ( ο ) Στήλη Β (γωνία) π π π π.. 6 π. 3 3π. 4 5π Να βρείτε πολυώνυµο f() τρίτου βαθµού τέτοιο, ώστε f(0)=004, f (0)=, f (1)=5 και f (1)=6. 3. ίνεται η συνάρτηση f()= Να δειθεί ότι υπάρουν τρία σηµεία της γραφικής παράστασης της f τέτοια, ώστε οι εφαπτοµένες της f να είναι παράλληλες προς τον άξονα. 33. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: f()= και g()= -4+3 στα κοινά τους σηµεία. 34. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()= --6 στα σηµεία όπου αυτή τέµνει τους άξονες. Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 5 από 0

6 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 35. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()= µε συντελεστή διεύθυνσης λ= Να βρεθούν τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()= -5+ στα οποία οι εφαπτοµένες τους διέρονται από το σηµείο (0, -). 37. Να δειθεί ότι η ευθεία ψ=- εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f()= +5+9 και να βρεθεί το σηµείο επαφής. 38. ίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ µε ΑΒ=4cm και ΒΓ= t cm (όπου t είναι ο ρόνος σε sec). Να βρείτε το ρυθµό µεταβολής ως προς το ρόνο: (α) της περιµέτρου του ορθογωνίου, όταν t=4 sec, (β) του εµβαδού του ορθογωνίου, όταν ΒΓ=3cm. 39. Αν f()= + 1, >1, να δείξετε ότι (α) f()= 1 f ( ) και (β) ( -1)f () + f ()=f(), για κάθε > (α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f()=ln στο σηµείο (α,f(α)), α>0. (β) Ποια είναι η εξίσωση της παραπάνω εφαπτοµένης όταν αυτή διέρεται από την αρή των αξόνων; 41. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση: f()= Να µελετηθούν ως προς την µονοτονία οι συναρτήσεις: 1 (α) f ( ) = ln( ) (β) f ( ) = 1 (γ) f ( ) = Για µια συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιµη στο R ισύει: f ()=4(+1)(-) (+3) 3, για κάθε R. (α) Να λύσετε την εξίσωση f ()=0, (β) Να βρείτε τις θέσεις και το είδος των ακροτάτων της f. 44. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α,β ώστε η συνάρτηση f()= +α+β να έει στο ελάιστο το 1. Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 6 από 0

7 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 45. Να βρεθεί το α>0 ώστε η συνάρτηση f()= 3 -α +8 να είναι γνησίως φθίνουσα µόνο στο διάστηµα [0,]. 46. Απ όλους τους θετικούς αριθµούς που έουν σταθερό γινόµενο 64, να βρείτε εκείνους που έουν ελάιστο άθροισµα. 47. Να βρεθούν οι πραγµατικοί αριθµοί α,β,γ (α 0) ώστε η συνάρτηση f()=α -β+4γ να έει ακρότατο στο 1 το 3 και η γραφική της παράσταση να τέµνει τον άξονα ψψ στο σηµείο Α(0,). 48. Να εξετασθεί ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση f()=+e ηµ. 49. Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης: f()= ίνεται η συνάρτηση f()=(ln -5ln+7). (α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f καθώς και η συνάρτηση f (β) Να λύσετε την εξίσωση f ()=0, (γ) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f, (δ) Να βρείτε τα ακρότατα της f. 51. Στο διπλανό σήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραγώγου f µια συνάρτησης f. (α) Να λύσετε την εξίσωση f ()=0, (β) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας της f, (γ) Να βρείτε τις θέσεις και το είδος των ακροτάτων της f. ψ ψ=f () ln 5. ίνεται η συνάρτηση f()=. (α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f καθώς και η συνάρτηση f (β) Να λύσετε την εξίσωση f ()=0, (γ) Να βρείτε τα ακρότατα της f. (δ) Να δείξετε ότι: ln, για κάθε >0. e 53. Απ όλα τα ισοσκελή τρίγωνα που έουν σταθερή περίµετρο 1cm, να βρεθεί εκείνο που έει το µεγαλύτερο εµβαδό. Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 7 από 0

8 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 54. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση: f()=ln(ln) - ln. 55. Ένα εργοστάσιο ζααροπλαστικής παρασκευάζει ταψάκια γαλακτοµπούρεκου. Υπολογίστηκε ότι η παρασκευή ταψιών την εβδοµάδα κοστίζει C()= ευρώ. Η τιµή πώλησης του κάθε ταψιού είναι p()= ευρώ. Πόσα ταψάκια γαλακτοµπούρεκου πρέπει να παράγει την εβδοµάδα το εργοστάσιο ώστε να έει το µεγαλύτερο κέρδος; Ποιο είναι το µέγιστο κέρδος; Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 8 από 0

9 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 56. Στον διπλανό πίνακα δίνονται οι συνότητες των τιµών της µεταβλητής Χ: «αριθµός παιδιών σε µια οικογένεια» για ένα δείγµα 3 οικογενειών. (α) Να συµπληρωθεί ο πίνακας ως προς τις σετικές συνότητες, τις αθροιστικές συνότητες και τις σετικές αθροιστικές συνότητες (β) Να βρείτε πόσες οικογένειες έουν: (i) το πολύ παιδιά, (ii) τουλάιστον παιδιά, (iii) από 1 µέρι και 4 παιδιά (γ) Να βρείτε το ποσοστό των οικογενειών που έουν: (i) τουλάιστον παιδιά, (ii) από 1 µέρι και 4 παιδιά. Αριθµός παιδιών i Συνότητα ν i Σύνολο ίνεται ο διπλανός πίνακας των οµαδοποιηµένων παρατηρήσεων της µεταβλητής Χ: «µέγιστη (σε ο C) θερµοκρασία µια πόλης στη διάρκεια µιας ηµέρας». (α) να βρείτε τα όρια της 5ης κλάσης και την κεντρική τιµή της ης κλάσης,. (β) να συµπληρωθεί ο πίνακας µε τις αθροιστικές συνότητες και τις σετικές αθροιστικές συνότητες, (γ) να σεδιάσετε το ιστόγραµµα συνοτήτων και το πολύγωνο συνοτήτων, (δ) ) να σεδιάσετε το ιστόγραµµα αθροιστικών συνοτήτων και το πολύγωνο αθροιστικών συνοτήτων. Θερµοκρασία Συνότητα ν i [0,) 3 [,4) 9 [4,6) 30 [6,8) 15 [8,30) 3 Σύνολο Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας µε τα στοιεία που λείπουν: Καταστάσεις υγείας Συνότητα Σετική συνότητα ν i f i % άριστη ολύ καλή 8 καλή 13 σεδόν καλή 5 κακή Σύνολο 3 Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 9 από 0

10 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 59. Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας µε τα στοιεία που λείπουν: Κλάσεις i ν i Ν i f i % F i % [1,16) 15 Σύνολο Στο διπλανό πίνακα δίνεται η κατανοµή του αριθµού παιδιών σε ένα δείγµα οικογενειών που πήραµε. Να βρείτε: (α) το µέγεθος του δείγµατος, (β) πόσες οικογένειες έουν: (i) 1 τουλάιστον παιδί, (ii) 6 παιδιά, (iii) πάνω από 3 παιδιά, (iv) το πολύ 6 παιδιά, (v) από 3 έως και 5 παιδιά. Αριθµός παιδιών i Αθροιστική Συνότητα N i Από µια έρευνα που έγινε σε 80 οικογένειες ενός ωριού ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, προέκυψε το διπλανό πολύγωνο συνοτήτων. (α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συνοτήτων, σετικών συνοτήτων, αθροιστικών συνοτήτων και σετικών αθροιστικών συνοτήτων. (β) Να σεδιάσετε το πολύγωνο αθροιστικών συνοτήτων, (γ) Ποιο είναι το ποσοστό των οικογενειών που έουν: (i) παιδιά, (ii) τουλάιστον 3 παιδιά, (iii) από 1 έως και 3 παιδιά. Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 10 από 0

11 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 6. Αν 1,,, ν είναι ένα δείγµα µεγέθους ν µε µέση τιµή τότε να δείξετε ότι ν i= 1 ( ) = 0 i. Ειδικά αν 1 = = = ν =α, τότε να βρεθούν η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση s. 63. Της Μαρίας ο διάµεσος βαθµός σε τρία test είναι 90, ο µέσος βαθµός είναι 9 και το εύρος 6. Ποιοι είναι οι βαθµοί της στα τρία test; 64. Η µέση τιµή επτά αριθµών είναι 5. Οι πέντε από αυτούς τους αριθµούς είναι οι 11,3,6,5,4. Να βρείτε τους άλλους δύο αριθµούς αν είναι γνωστό ότι ο ένας είναι διπλάσιος του άλλου και στην συνέεια να υπολογίσετε την διάµεσο και την επικρατούσα τιµή. 65. Το µέσο ύψος 65 µαθητών µιας τάξης είναι 175cm. Πόσο θα γίνει το µέσο ύψος των µαθητών αν φύγουν µαθητές µε ύψος 190cm ο καθένας και έρθουν τρεις µαθήτριες µε ύψος 180cm η καθεµία; 66. (α) Αν για ένα σύνολο παρατηρήσεων 1,,, ν ισύει: s=, =3 και (β) ν i= 1 i = 55, να υπολογιστεί το ν. Αν για ένα σύνολο παρατηρήσεων 1,,, ν ισύει: =0, cv=10% και i νi = 33, να υπολογιστεί το ν. 67. Αν 1,,, ν είναι οι παρατηρήσεις ενός δείγµατος µε µέση τιµή και τυπική i απόκλιση s, να δείξετε ότι οι τιµές ψ = (i=1,,,ν) έουν µέση τιµή µηδέν και τυπική απόκλιση 1. i 68. (α) Βρείτε τη µέση τιµή των αριθµών: 0,35,50,60,85. (β) Στους παραπάνω πέντε αριθµούς προσθέστε άλλους τέσσερις έτσι, ώστε το νέο σύνολο αριθµών να έει την ίδια µέση τιµή µε τους πέντε αρικούς αριθµούς. s 69. Ο διπλανός πίνακας δείνει την κατανοµή των δωµατίων των σπιτιών µιας πόλης. Αν είναι =,64 τότε να συµπληρωθεί ο πίνακας. Αριθµός δωµατίων Σετ. συνότητα i f i 1 0, ,5 Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 11 από 0

12 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 70. (α) Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας για δύο θετικές µεταβλητές Χ και Υ, σύνολο ψ ψ ψ (β) (γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ελαίστων τετραγώνων της µεταβλητής Υ πάνω στην Χ, Να εκτιµήσετε το ψ, όταν = Για επτά ζεύγη τιµών (,ψ) δύο µεταβλητών Χ και Υ ισύει ότι: =ψ = 4, 7 i= 1 (α) (β) iψ i = 94 και i i= 1 = Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ελαίστων τετραγώνων της µεταβλητής Υ πάνω στην Χ, Αν το σηµείο (5, Λ ψ ) είναι σηµείο της ευθείας ελαίστων τετραγώνων του ερωτήµατος (α), µε πόσο ισούται το ψ; 7. ν ζεύγη παρατηρήσεων ( i,ψ i ) έδωσαν τα εξής αποτελέσµατα: = 10, = 8 ψ, ψ = 7 ν και s x =4, όπου s x η διακύµανση των τιµών i της = 10 µεταβλητής Χ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ελαίστων τετραγώνων της µεταβλητής Υ πάνω στην Χ. Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 1 από 0

13 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ 73.Με τη βοήθεια του διπλανού διαγράµµατος Venn να βρείτε τα ενδεόµενα: Α, Β, Α Β, Α Β και Α-Β. 74.Με τη βοήθεια του διπλανού διαγράµµατος Venn: α) να βρείτε τον δειγµατικό ώρο Ω και τα ενδεόµενα Α, Β και Α Β β) να εξετάσετε αν είναι σωστός ή λανθασµένος ο ισυρισµός: Α Β=. 75. ίνεται ο δειγµατικός ώρος Ω={1,,3,4,5,6,7,8,9} ενός πειράµατος τύης και τα ενδεόµενα Α={,3,4,5} και Β={4,5,7,8}. Να δείξετε ότι Ν(Α)+Ν(Β)=Ν(Α Β)+Ν(Α Β). 76. Ρίνουµε ένα ζάρι µια φορά. Θεωρούµε τα ενδεόµενα: Α= η πλευρά που εµφανίζεται κατά τη ρίψη ικανοποιεί τη σέση 6- >0, Β= η πλευρά που εµφανίζεται κατά τη ρίψη ικανοποιεί τη σέση -5+6=0, Γ= η πλευρά που εµφανίζεται κατά τη ρίψη ικανοποιεί τη σέση >5 Να βρεθούν τα ενδεόµενα Α, Β, Γ και Α Β. 77. (Α)Ρίνουµε πρώτα ένα νόµισµα και έπειτα ένα ζάρι. (α) να βρείτε τον δειγµατικό ώρο Ω του πειράµατος, (β) να βρεθεί το ενδεόµενο Α= να φέρουµε άρτιο αριθµό. (Β)Να απαντήσετε στα παραπάνω ερωτήµατα (α) και (β) στην περίπτωση όπου ρίνουµε πρώτα το ζάρι και έπειτα το νόµισµα. 78. Έουµε δύο κουτιά α και β. Το κουτί α περιέει άσπρες (Α) κόκκινες (Κ) και µαύρες (Μ) µπάλες. Το κουτί β περιέει άσπρες και µαύρες µπάλες. ιαλέγουµε τυαία ένα κουτί και έπειτα τυαία µια µπάλα από αυτό. (i) να γράψετε τον δειγµατικό ώρο Ω του πειράµατος, (ii) να βρείτε το ενδεόµενο Α= η µπάλα να είναι κόκκινη. Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 13 από 0

14 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 79. Ένα ζευγάρι αποφάσισε να αποκτήσει το πολύ 4 παιδιά. Συµφώνησαν όµως να σταµατήσουν όταν αποκτήσουν ένα κορίτσι και ένα αγόρι, ανεξάρτητα από τη σειρά εµφάνισης τους. Να βρείτε τον δειγµατικό ώρο Ω του πειράµατος και το ενδεόµενο Ε= να αποκτήσουν µόνο αγόρια ή µόνο κορίτσια. 80. Έστω ο δειγµατικός ώρος Ω={ω 1,ω,ω 3,ω 4 } (α) αν P(ω 1 )=, P(ω3 )=, P(ω4 )=, να βρείτε την P(ω ) 4 8 (β) αν P(ω 3 )=P(ω 4 )=, P(ω1 )=3 P(ω ), να βρείτε τις P(ω 1 ), P(ω ) (γ) αν Α={ω,ω 3 }, Β={ω,ω 4 }, µε P(Α)=, P(Β)= και P(ω )=, να βρείτε 5 3 την P(ω 1 ). 81. Αν Α,Β δύο ασυµβίβαστα ενδεόµενα ενός δειγµατικού ώρου Ω και ισύουν Α Β=Ω, P(Α)=, P(Β)=3 +, να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό. 8. Αν Α, Β είναι ασυµβίβαστα ενδεόµενα ενός δειγµατικού ώρου Ω και ισύει P(Α)=, P(Β)=4 και P( B) 1 A = 3 ( + ) 8 της στήλης Ι στο ίσο του της στήλης ΙΙ: Στήλη Ι Στήλη ΙΙ P(Α).. 0,5 P(Β).. 0,4 P( A B).. 0,75 P( A B ).. 0,5, να αντιστοιίσετε κάθε στοιείο Ρίνουµε ένα αµερόληπτο νόµισµα στον αέρα τρεις φορές και καταγράφουµε τις ενδείξεις. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεοµένων: A= οι ενδείξεις είναι ίδιες B= το πολύ µια ένδειξη είναι «γράµµατα» Γ= τουλάιστον δύο ενδείξεις είναι «γράµµατα». 84. Οι αριθµοί 1,,,19,0 γράφονται σε οµοιόµορφες κάρτες και έπειτα ανακατεύονται. Μια κάρτα επιλέγεται στην τύη. Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεοµένων: A= ο αριθµός της κάρτας που επιλέξαµε είναι άρτιος B= ο αριθµός της κάρτας που επιλέξαµε είναι περιττός Γ= ο αριθµός της κάρτας που επιλέξαµε είναι τέλειο τετράγωνο Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 14 από 0

15 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας = ο αριθµός της κάρτας που επιλέξαµε είναι άρτιος και τέλειο τετράγωνο Ε= ο αριθµός της κάρτας που επιλέξαµε είναι άρτιος ή περιττός 85. Αν Α είναι ενδεόµενο ενός δειγµατικού ώρου Ω και ισύει: P(Α)+3[P(A )] = 3 5, να βρείτε την πιθανότητα P(Α). 86. Αν Α, Β είναι ενδεόµενα ενός δειγµατικού ώρου Ω µε P(Α)=P(Β ) και P(Β)=3P(Α ), να αποδείξετε ότι: (α) [P(Α)] +[P(Β)] =1, (β) τα Α, Β δεν είναι ασυµβίβαστα, (γ) P( A B) (δ) 5 4, P( A B). 87. Αν Α,Β ενδεόµενα ενός δειγµατικού ώρου Ω µε P(Β )= 1 P( A B) ενδεόµενο Α. 4 = να βρείτε την πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί µόνο το (α)αν Α, Β είναι ασυµβίβαστα ενδεόµενα ενός δειγµατικού ώρου Ω, να δείξετε ότι P(Α) P(Β ), (β) Αν Α, Β είναι δύο ενδεόµενα ενός δειγµατικού ώρου Ω µε B A, να δείξετε ότι P(Α-Β)= P(Α)- P(Β). 89. Ένα κουτί περιέει 1 άσπρες, κόκκινες και ψ µαύρες µπάλες. Παίρνουµε τυαία µια µπάλα. Η πιθανότητα να πάρουµε κόκκινη µπάλα είναι 1/ και η πιθανότητα να πάρουµε µαύρη µπάλα είναι 1/3. Να βρείτε πόσες µπάλες υπάρουν µέσα στο κουτί αρικά. 90. Αν P(Α) είναι η πιθανότητα ενός ενδεοµένου Α ενός δειγµατικού ώρου Ω και ισύει η σέση P(Α)+ -1λ= P(Α)-3-3λ ( λ R), να δείξετε ότι λ Ένα test έει τέσσερις ερωτήσεις και κάθε ερώτηση πρέπει να απαντηθεί ή µε ένα ΝΑΙ ή µε ένα ΟΧΙ. Ένας µαθητής δίνει εντελώς τυαία τις απαντήσεις στις ερωτήσεις. Ποια είναι η πιθανότητα να έει µια τουλάιστον σωστή απάντηση; και Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 15 από 0

16 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 9. Σε έναν αγώνα παίρνουν µέρος τρία αυτοκίνητα. Το 1 ο έει διπλάσια πιθανότητα να κερδίσει απ ότι το ο και το ο έει διπλάσια πιθανότητα να κερδίσει απ ότι το 3 ο. Ποια είναι η πιθανότητα κάθε αυτοκινήτου να κερδίσει τον αγώνα; 93. Μια τάξη έει 1 αγόρια και 16 κορίτσια. Τα µισά αγόρια και τα µισά κορίτσια έουν µαύρα µάτια. Παίρνουµε τυαία ένα άτοµο. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι αγόρι ή να έει µαύρα µάτια. 94. Έστω Ω={0,1,,3,4,5}ένας δειγµατικός ώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεόµενα. Επιλέγουµε τυαία ένα απλό ενδεόµενο ω Ω. Αν f()= 3 -ω +ω +ω+1, να βρείτε την πιθανότητα η γραφική παράσταση της f να έει στο σηµείο Μ(1,f(1)) εφαπτοµένη παράλληλη στην ευθεία ψ= Έστω Ω={0,1,3,4,7,15}ένας δειγµατικός ώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεόµενα. Επιλέγουµε τυαία ένα απλό ενδεόµενο ω Ω. Αν f()= -4+ω, να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση f()=0 (α) (β) να µην έει πραγµατικές ρίζες, να έει µοναδική πραγµατική ρίζα. 96. Έστω Ω={0,1,,3,4,5,6}ένας δειγµατικός ώρος που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεόµενα. Επιλέγουµε τυαία ένα απλό ενδεόµενο ω Ω. Αν f()= 3-3ω +6+ω, να βρείτε την πιθανότητα η συνάρτηση f να µην έει τοπικά ακρότατα στο R. 97. Σε µια έκθεση µεταειρισµένων αυτοκινήτων, το 0% δεν έει µηανή, το 40% δεν έει λάστια και το 15% δεν έει ούτε µηανή ούτε λάστια. Να βρείτε την πιθανότητα ένα τυαίως επιλεγέν αυτοκίνητο της έκθεσης να έει λάστια και µηανή. 98. Σε µια τάξη µε 30 µαθητές, οι 15 έουν ποδήλατο, οι 10 έουν µοτοσικλέτα και 4 έουν και τα δύο. Αν επιλέξουµε τυαία ένα µαθητή της τάξης, να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεοµένων: A= να µην έει ποδήλατο ούτε µοτοσικλέτα B= να έει ποδήλατο αλλά όι µοτοσικλέτα Γ= να έει ποδήλατο ή µοτοσικλέτα ή και τα δύο. Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 16 από 0

17 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας α σ κ ή σ ε ι ς σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή ς 99. (α) Πέντε σηµεία ενός κύκλου πόσα τρίγωνα ορίζουν; (β) Να βρεθεί το πλήθος των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές Πόσους εξαψήφιους αριθµούς πολλαπλάσια του 5 µπορούµε να σηµατίσουµε µε τα ψηφία 1,,3,4,5,6, αν τα ψηφία κάθε αριθµού είναι διαφορετικά µεταξύ τους; 101. Καθένα από τα τετράγωνα της διπλανής ταινίας θα ρωµατιστεί µε ένα από 10 διαφορετικά ρώµατα που έουµε στη διάθεσή µας. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι ρωµατισµού της ταινίας υπάρουν τέτοιοι, ώστε να µην υπάρουν δύο τετράγωνα µε το ίδιο ρώµα; 10. Με πόσους τρόπους τρεις ταξιδιώτες µπορούν να καταλύσουν σε πέντε ξενοδοεία µιας πόλης; 103. Ένας µαθητής πρέπει να απαντήσει στις εξετάσεις της Χηµείας σε 6 από 9 ερωτήσεις. Πόσες επιλογές έει; 104. Πόσους διαφορετικούς 5-ψήφιους αριθµούς µπορούµε να γράψουµε ρησιµοποιώντας τα ψηφία 1 ή ; 105. Έξω από ένα ταυδροµικό κατάστηµα υπάρουν 3 γραµµατοκιβώτια. Κάποιος θα ρίξει 5 επιστολές. Με πόσους τρόπους µπορεί να διανείµει τις επιστολές στα γραµµατοκιβώτια; 106. Σε ένα διαγωνισµό τραγουδιού λαµβάνουν µέρος 0 ώρες. Να βρείτε µε πόσους τρόπους µπορούν να συµπληρωθούν οι τρεις πρώτες θέσεις Σε ένα παινίδι 5 παίκτες σκέπτονται ο καθένας έναν αριθµό από τους 0,1,,3,4,5,6,7,8,9. Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεοµένου δύο τουλάιστον παίκτες να σκέπτονται τον ίδιο αριθµό. Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 17 από 0

18 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 108. Πέντε άτοµα µπαίνουν σε ένα ασανσέρ στο ισόγειο ενός 7-όροφου κτηρίου. Κάθε άτοµο µπορεί να κατέβει σε οποιοδήποτε όροφο, αρής γενοµένης από τον 1ο όροφο. Να βρείτε την πιθανότητα να κατέβουν όλα τα άτοµα σε διαφορετικούς ορόφους Από τις 0 ασφάλειες φώτων αυτοκινήτου που έει ένα συνεργείο, οι 5 είναι ελαττωµατικές. Ένας οδηγός αγοράζει 3 ασφάλειες. Ποια η πιθανότητα να µην αγόρασε καµία ελαττωµατική ασφάλεια; 110. (α) Να βρείτε πόσους αναγραµµατισµούς έει η λέξη «ΠΟΤΑΜΙ» (β) Πόσοι από τους αναγραµµατισµούς αυτούς αρίζουν µε σύµφωνο και τελειώνουν σε φωνήεν; 111. Με τα ψηφία,3,4,5 και 6 φτιάνουµε τριψήφιους αριθµούς τέτοιους, ώστε τα ψηφία τους να είναι διαφορετικά ανά δύο. Να βρείτε πόσοι από τους αριθµούς αυτούς (α) είναι µικρότεροι του 400, (β) είναι άρτιοι. 11. Να βρεθεί πόσους αριθµούς µεταξύ των 3000 και 5000 µπορούµε να σηµατίσουµε από τα ψηφία 0,1,,3,4,8,9 και κάθε ψηφίο να µην επαναλαµβάνεται Αν οι διατάξεις των ν αντικειµένων ανά 4 είναι πενταπλάσιες των διατάξεων των ν αντικειµένων ανά 3, να βρεθεί το ν (α) Αν κ =4 και = 45 4 =4, να βρεθεί το κ. κ ν (β) Αν, να βρεθεί ο φυσικός αριθµός ν (α) Από µια τράπουλα µε 5 αρτιά παίρνουµε τυαία 6 αρτιά. Ποια η πιθανότητα να πάρουµε µαύρα και 4 κόκκινα; (τα µισά αρτιά της τράπουλας είναι µαύρα και τα άλλα µισά κόκκινα) (β) Από µια τράπουλα µε 5 αρτιά παίρνουµε τυαία αρτιά. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και τα δύο αρτιά ντάµες; 116. Σε µια συζήτηση παίρνουν µέρος 3 µαθηµατικοί, 5 ηµικοί και 4 φυσικοί. Με πόσους τρόπους µπορούν να καθίσουν στη σειρά έτσι, ώστε τα µέλη της ίδιας ειδικότητας να κάθονται µαζί; Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 18 από 0

19 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας α σ κ ή σ ε ι ς δ ε σ µ ε υ µ έ ν η ς ι θ α ν ό τ η τ α ς 117. Αν ισύει P(Α Β) 0 και P(Α)> P(Β), να δειθεί ότι P(Α Β)> P(Β Α) Να αποδειθεί ότι αν για ένα ενδεόµενο Α ενός δειγµατικού ώρου Ω ισύει P(Α)>0, τότε: (α) P(Ω Α)=1, (β) αν Α Β τότε P(Β Α)=1, P ( Β) P( Α) (γ) αν Β Α τότε P(Β Α)= (α) Αν για δύο ενδεόµενα Α και Β ενός δειγµατικού ώρου Ω ισύουν P(Α)= 3 1, P(Β)= 5 και P(Α Β)= 5 3 να αποδείξετε ότι τα ενδεόµενα Α και Β είναι ανεξάρτητα. (β) Αν για δύο ανεξάρτητα ενδεόµενα Α και Β ενός δειγµατικού ώρου Ω ισύουν P(Α)= 4 1 και P(Α Β)= 7 1, να βρείτε την πιθανότητα P(Α Β). (γ) Αν για δύο ενδεόµενα Α και Β ενός δειγµατικού ώρου Ω ισύουν 4 1 P(Β Α)=, P(Β Α )= και P(Α)=, να βρείτε τις πιθανότητες P(Β) και P(Α Β). 10. Ένα κουτί περιέει 0 σφαίρες που κάθε µια φέρει έναν αριθµό από το 1 έως και το 0. Παίρνουµε τυαία µια σφαίρα. Αν ο αριθµός της σφαίρας που επιλέξαµε διαιρείται µε το 5, να βρείτε την πιθανότητα ο αριθµός αυτός να είναι άρτιος Έστω Α είναι το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f()= ( )!. Ρίνουµε ένα ζάρι και παρατηρούµε ότι εµφανίζεται ένας αριθµός από το σύνολο Α. Ποια είναι η πιθανότητα να έει εµφανισθεί ο αριθµός 3; Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 19 από 0

20 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας 1. Ένα κουτί έει 14 λάµπες εκ των οποίων οι 5 είναι καµένες. ιαλέγουµε τυαία δύο λάµπες τη µια µετά την άλλη ωρίς επανατοποθέτηση. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεοµένων: Α= και οι δύο λάµπες που πήραµε είναι καµένες Β= καµία λάµπα δεν είναι καµένη Γ= τουλάιστον µια λάµπα είναι καµένη. 13. Ένα αρτί λαµβάνεται τυαίως από µια τράπουλα µε 5 φύλλα. Θεωρούµε τα ενδεόµενα: Α= το αρτί που πήραµε είναι σπαθί Β= το αρτί που πήραµε είναι άσος. Να βρείτε την πιθανότητα P(Α Β). Είναι τα ενδεόµενα Α, Β ανεξάρτητα; 14. Έουµε δύο δοεία 1 και. Το 1 έει 10 άσπρες σφαίρες και 6 µαύρες και το έει 8 άσπρες και 1 µαύρες. Παίρνουµε µια σφαίρα από κάθε δοείο. Να βρεθεί η πιθανότητα των ενδεοµένων: A= και οι δύο σφαίρες είναι άσπρες Β= οι δύο σφαίρες είναι διαφορετικού ρώµατος. 15. Η πιθανότητα να ζει κάποιος µετά 30 έτη είναι 3 ενώ η πιθανότητα να ζει η σύζυγός του µετά 30 έτη είναι 5 3. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεοµένων: Α= να ζουν και οι δύο µετά 30 έτη Β= να ζει µόνο η σύζυγος µετά 30 έτη Γ= να ζει τουλάιστον ένας µετά 30 έτη = να ζει µόνο ο ένας µετά 30 έτη. 16. Μια κάλπη Ι περιέει 3 άσπρα και µαύρα σφαιρίδια ενώ µια άλλη κάλπη ΙΙ περιέει άσπρα και 1 µαύρο σφαιρίδιο. Κάνουµε το εξής πείραµα: ιαλέγουµε τυαία ένα σφαιρίδιο από την κάλπη Ι και το µεταφέρουµε στην κάλπη ΙΙ. Στη συνέεια παίρνουµε τυαία ένα σφαιρίδιο από την κάλπη ΙΙ. Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεοµένου εξαγωγής άσπρου σφαιριδίου από την κάλπη ΙΙ Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 0 από 0

21 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 1 από 0

22 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. από 0

23 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 3 από 0

24 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 4 από 0

25 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 5 από 0

26 Μαθηµατικά & Στοιεία Στατιστικής Γ Ενιαίου Λυκείου Γενικής Παιδείας Επιµέλεια: Παύλος Τρύφων - σελ. 6 από 0