Τ.Ε.Ι. ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΥΠΟΣ & ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Θεωρητικό - Υποχρεωτικό ΤΥΠΙΚΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 4ο (Εαριό εξάμηο 2005-2006) ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΕΣ ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΔΙΔΑΚΤ. ΜΟΝΑΔΕΣ 4 ΦΟΡΤΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 6 2 Ωρες θεωρία με ασκήσεις Μηχαική ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΣΚΟΠΟΣ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΔΙΔΑΣΚΩΝ Κοιή λογική, Αεξάρτητο πεύμα, Μελέτη. Καταόηση βασικώ εοιώ και αρχώ της Τεχικής Μηχαικής και ειδικότερα (α) της Στερεοστατικής, όπως στερεό σώμα, δύαμη, ροπή δύαμης, διάγραμμα ελεύθερου σώματος, στηρίξεις, συθήκες ισορροπίας, κέτρα βάρους και κετροειδή, προσδιορισμός φορτίω διατομής και (β) της Ατοχής τω Υλικώ, όπως ορθή και διατμητική τάση και τροπή, ετατική κατάσταση φορέα, καταπόηση σε μοοαξοικό εφελκυσμό, θλίψη, λυγισμό, κάμψη, στρέψη και Ικαότητα εφαρμογής τους στη επίλυση απλώ προβλημάτω Στερεοστατικής και Ατοχής τω Υλικώ ως και τυχό απαραίτητη μοτελοποίηση τεχικώ προβλημάτω. Ατικείμεο, διαίρεση και αρχές της Μηχαικής. Στερεοστατική: Δύαμη, ροπή δύαμης, έοια της ισοδυαμίας, ισοδύαμα συστήματα δυάμεω, σύθεση δυάμεω, στερεό σώμα, διάγραμμα ελεύθερου σώματος, είδη στήριξης φορέω. Στερεοστατικές Εξισώσεις Ισορροπίας σημείου και στερεού σώματος στο επίπεδο και στο χώρο, ισορροπία συστήματος στερεώ σωμάτω. Κέτρα βάρους και κετροειδή. Σύθετοι φορείς. Επίπεδοι δικτυωτοί φορείς, μέθοδος κόμβω. Ολόσωμοι φορείς, δοκός με συγκετρωμέα και καταεμημέα φορτία, αρθρωτοί φορείς. Υπολογισμός Φορτίω Διατομής (αξοική δύαμη, τέμουσα δύαμη, καμπτική ροπή). Ατοχή τω Υλικώ: Μέθοδος τω τομώ. Διαγράμματα σ-ε. Μοοαξοικός εφελκυσμός-θλίψη. Διάτμηση. Κετρική Κάμψη, ελαστική γραμμή, ροπές αδράειας. Στρέψη, Λυγισμός, Αρχή της επαλληλίας, σύθετες καταποήσεις. Εεργειακές μέθοδοι. Υπερστατικά προβλήματα. Π. Βουθούη: "Τεχική Μηχαική", Αθήα 2002, Ζ έκδοση (βιβλίο του μαθήματος που προσφέρεται από το ΤΕΙ Χαλκίδας). Π. Βουθούη: "Τεχική Μηχαική Ατοχή τω Υλικώ", Αθήα 2002, Ζ έκδοση. Π. Βουθούη: "Μηχαική του Απαραμόρφωτου Στερεού -Στατική", Αθήα 2003, Δ έκδοση. Θ. Δ. Τριβέλλα, "Μαθήματα Τεχικής Μηχαικής", Γκιούρδας Εκδοτική, Αθήα 2005. Ι. Γκαρούτσου: "Εισαγωγή στη Στατική, Συοπτική Θεωρία και Ασκήσεις", Spin, Αθήα. W. Mc Lean and W. Nelson: "Engineering Mechanics", Schaum's outline Series, McGraw - Hill, New York. F. Beer and E. Johnston: "Vector Mechanics for Engineers", McGraw - Hill, New York. Δημήτριος Παλλές, Επιστημοικός Συεργάτης.
ΜΗΧΑΝΙΚΗ : Περιγραφή και πρόβλεψη τω καταστάσεω κίησης τω σωμάτω (η ηρεμία μπορεί α θεωρηθεί ειδική περίπτωση κίησης) λόγω αλληλεπίδρασης ή υπό τη επίδραση εξωτερικώ αιτίω. ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΔΙΑΚΡΙΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Γείκευση Μαθηματικής διατύπωσης όμω κίησης ή ισορροπίας τω σωμάτω. (Θεωρητική Φυσική) ΤΕΧΝΙΚΗ ή ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Χρήση τω αρχώ της Θεωρ. Μηχ. στη αάπτυξη μεθοδολογίας επίλυσης προβλημάτω τεχικώ/πρακτικώ εφαρμογώ. Σκοπός η βέλτιστη διαστασιολόγηση τω κατασκευώ (ασφαλής και με ελάχιστο δυατό κόστος κατασκευή). ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Έρευα αλληλεπίδρασης υλικώ σωμάτω και τω συθηκώ ύπαρξης ισορροπίας ή προξεούμεης κίησης και παραμόρφωσης. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ (ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ) περιλαμβάει τη Υδροστατική, τη Υδροδυαμική (τελευταία και τη Μαγητοϋδροδυαμική) και τη Αεριοδυαμική (Δυαμική συμπιεστώ ρευστώ) ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΑΠΑΡΑΜΟΡΦΩΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ Οι αποστάσεις μεταξύ τω υλικώ σημείω του στερεού παραμέου σταθερές αεξαρτήτως φορτίσεως. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΙΜΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ Το στερεό σώμα μπορεί α παραμορφώεται υπο τη επίδραση εξωτερικώ φορτίσεω. ΣΤΑΤΙΚΗ Μελέτη τω συθηκώ ακιησίας/ισορροπίας τω στερεώ σωμάτω. Επίλυση ισοστατικώ και υπερστατικώ προβλημάτω. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΠΑΡΑΜΟΡΦΩΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ (ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΗ) Μελέτη τω συθηκώ ισορροπίας τω στερεώ σωμάτω με τη υπόθεση οτι αυτά παραμέου απαραμόρφωτα υπό τη επίδραση φορτίσεω. Επίλυση ισοστατικώ προβλημάτω. ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Προσδιορισμός τω εσωτερικώ τάσεω και παραμορφώσεω που ααπτύσσοται σε έα σώμα υπό τη επίδραση εξωτερικώ φορτίσεω, με τη επίλυση συστήματος διαφορικώ εξισώσεω με ισάριθμους αγώστους ύστερα από τη εισαγωγή εός όμου που συδέει δυάμεις με παραμορφώσεις (από μαθηματικής σκοπιάς ιδιαίτερα δυσχερές πρόβλημα στις περισσότερες περιπτώσεις). ΑΝΤΟΧΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ Προσεγγιστική λύση του προβλήματος της Μηχαικής του παραμορφωσίμου σώματος με τη βοήθεια απλοποιητικώ παραδοχώ. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΡΑΜΟΡΦΩΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ Γεωμετρική αάλυση της κίησης τω σωμάτω αεξαρτήτως αιτίω που τη προκαλού. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΠΑΡΑΜΟΡΦΩΤΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ Αάλυση της κίησης τω σωμάτω ως συέπεια τω αλληλεπιδράσεώ τους. 2
ΚΛΑΣΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ (ΝΕΥΤΩΝΕΙΑ, ΜΗ ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ) Οι όμοι του Νεύτωα (Newton) επαρκού πλήρως για τη αιτιολόγηση και ερμηεία του συόλου σχεδό τω προβλημάτω της Μηχαικής, με τη προϋπόθεση ότι οι ταχύτητες που ααπτύσσου τα σώματα είαι αμελητέες σε σχέση με τη ταχύτητα του φωτός. ΣΧΕΤΙΚΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Πληρέστερη περιγραφή της Μηχαικής που περιλαμβάει και τη περίπτωση που οι ταχύτητες που ααπτύσσου τα σώματα είαι συγκρίσιμες με τη ταχύτητα του φωτός. Στη οριακή περίπτωση τω μικρώ ταχυτήτω συμπίπτει με τη Νευτώεια. ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΝΟΜΟΙ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ (NEWTON). ΝΟΜΟΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ: Κάθε σώμα εμμέει στη κατάσταση ηρεμίας του ή ευθυγράμμου ισοταχούς κιήσεως, εκτός α εφαρμοσμέες δυάμεις το ααγκάσου α αλλάξει κατάσταση. Αυτός ο όμος θέτει στη ουσία τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες ισχύει ο δεύτερος όμος, ορίζοτας το αδραειακό σύστημα ααφοράς. 2. ΝΟΜΟΣ ΚΙΝΗΣΕΩΣ (ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ): Η μεταβολή της ορμής είαι αάλογη στη κιούσα δύαμη και γίεται κατά τη κατεύθυσή της. F = dp/dt = m dv/dt = m a. 3. ΝΟΜΟΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΕΩΣ: Σε κάθε δράση αθίσταται πάτα μία ίση ατίδραση, ή οι αμοιβαίες επιδράσεις δύο σωμάτω «επ αλλήλω» είαι πάτα ίσες και με ατίθετη κατεύθυση, όχι απαραίτητα συγγραμμικές. F 2 = F 2. 4. ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΠΑΛΛΗΛΙΑΣ ή ΥΠΕΡΘΕΣΗΣ: Οι δυάμεις οι εφαρμοζόμεες στα σώματα συμπεριφέροται ως διαύσματα. Στη περίπτωση που δύο ή περισσότερες δυάμεις επεεργού ταυτόχροα σε έα σώμα, ο διαυσματικός τους χαρακτήρας επιτρέπει α υπολογίσουμε το συολικό τους αποτέλεσμα (ατίδραση, τάση), το οποίο ισούται με το διαυσματικό άθροισμα τω αποτελεσμάτω που θα προέρχοτα απο κάθε δύαμη, εά αυτή δρούσε αεξάρτητα στο σώμα. Η ίδια αρχή εφαρμόζεται και για τις μικρές παραμορφώσεις που προκαλούται στα παραμορφώσιμα σώματα από εξωτερικές φορτίσεις. 5. ΑΡΧΗ ΤΟΥ SAINT-VENANT: Στατικά ισοδύαμα συστήματα, επιφέρου ίδιες τάσεις και παραμορφώσεις σε ικαοποιητική απόσταση απο τη περιοχή εφαρμογής τους. 6. ΝΟΜΟΣ ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ: Η αμοιβαία έλξη μεταξύ δύο υλικώ σημείω είαι αάλογη προς το γιόμεο τω μαζώ τους και ατιστρόφως αάλογη προς το τετράγωο της απόστασής τους. F G = G m m 2 / r 2. 3
ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΥΝΑΜΗΣ, ΡΟΠΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ, ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣ ΔΥΝΑΜΗ Εώ η έοια της δύαμης γίεται διαισθητικά ή εστικτωδώς εύκολα ατιληπτή, είαι αρκετά δύσκολο α δοθεί έας αυστηρός ορισμός της. Μπορούμε α πούμε οτι είαι έα αίτιο μεταβολής της κιητικής ή/και παραμορφωσιακής κατάστασης τω σωμάτω, το οποίο όμως γίεται ατιληπτό/μετρήσιμο μόο από τα αποτελέσματα της εφαρμογής του. Παραδείγματα (α) μεταβολή κιητικής κατάστασης: έα ηλεκτρόιο εισερχόμεο με κάποια αρχική ταχύτητα παράλληλα στους οπλισμούς εός πυκωτή, αποκτά μετά τη έξοδό του από αυτό μία συιστώσα ταχύτητας κάθετη στους οπλισμούς εξ αιτίας της δύαμης του ηλεκτρικού πεδίου.. + + +. (β) μεταβολή παραμορφωσιακής κατάστασης: δύο ευθύγραμμοι παράλληλοι αγωγοί διαρρεόμεοι από ηλεκτρικό ρεύμα της ίδιας φοράς ασκού ο έας στο άλλο ελκτική δύαμη που προκαλεί τη παραμόρφωσή τους σε καμπυλόγραμμους αγωγούς (λόγω του μαγητικού πεδίου που δημιουργείται γύρω τους και λόγω της επεέργειας τω δυάμεω Laplace). Ο δεύτερος όμος του Νεύτωα μας δίει έα τρόπο υπολογισμού της συισταμέης δύαμης που ασκείται σε έα σώμα, εά γωρίζουμε πώς μεταβάλλεται η κιητική του κατάσταση ως συάρτηση του χρόου: F=dp/dt=d(m. v)/dt Σύμφωα και με τη αρχή της επαλληλίας, η δύαμη είαι διαυσματικό μέγεθος, αλλά όπως θα δούμε δε είαι ελεύθερο αλλά εφαρμοστό διάυσμα. Μοάδες SI: Ν (Newton, Νιούτο) = kg. m/s 2 ), άλλη μοάδα kp=9.8n 0Ν. 4
{ Παρέθεση - Στοιχεία διαυσματικής άλγεβρας: Στη προσπάθεια περιγραφής τω φυσικώ φαιομέω με όσο το δυατό μεγαλύτερη πληρότητα, χρησιμοποιούται διάφορες μαθηματικές έοιες. Φυσικά μεγέθη όπως η θερμοκρασία, ο χρόος, η μάζα, η εέργεια χαρακτηρίζοται πλήρως με τη ααφορά εός μόο πραγματικού αριθμού (του μέτρου τους) και βέβαια της μοάδας μέτρησης τους. Τέτοια μεγέθη οομάζοται μοόμετρα ή βαθμωτά. Ορισμός διαύσματος. Εα μέγεθος Α που χαρακτηρίζεται (α) από έα «μέτρο» ή «μήκος» (αριθμός ή βαθμωτό μέγεθος) συοδευόμεο με τις κατάλληλες μοάδες (β) από μία διεύθυση (οομάζεται και φορέας) (γ) από μία φορά (σε κάθε διεύθυση ορίζοται δύο φορές από τις οποίες μία χαρακτηρίζεται ως θετική και η ατίθετή της ως αρητική) (δ) από έα σημείο εφαρμογής (στη Στερεοστατική όπως θα δούμε παίζει σηματικό ρόλο και χαρακτηρίζει το εφαρμοστό διάυσμα, σε ατίθεση με τα Μαθηματικά όπου δε παρουσιάζει εδιαφέρο και χαρακτηρίζει το ελεύθερο διάυσμα). Η ύπαρξη του σημείου εφαρμογής είαι μία εξιδαίκευση, διότι π.χ. πάτα η περιοχή εφαρμογής δυάμεω εξ επαφής μεταξύ τω σωμάτω είαι μη μηδεικώ διαστάσεω. Έα τέτοιο μέγεθος που μπορεί α συδυάζεται με άλλα ομοειδή μεγέθη σύμφωα με έα ειδικό καόα («πράξη»), είαι δυατό σε πολλές περιπτώσεις α παρασταθεί από έα «διάυσμα Α» και συμβολίζεται είτε Α, είτε A r. Το μέτρο ή μήκος του συμβολίζεται με A, A ή Α. Μοαδιαία διαύσματα είαι όλα τα διαύσματα που έχου μέτρο ίσο με μία μοάδα μέτρησης του φυσικού μεγέθους που περιγράφου. Συήθως αυτά συμβολίζοται με μικρά γράμματα και επιπλέο κάποιες φορές έχου ξεχωριστό διακριτικό σύμβολο (π.χ. «καπέλλο»): Μοαδιαίο διάυσμα a, α, a r, aˆ, a = a =. Υπάρχου ωστόσο ποσότητες που χαρακτηρίζοται από μέτρο και κατεύθυση και δε μπορού α παρασταθού από διαύσματα, είτε διότι δε ικαοποιού το όμο του παραλληλογράμμου για τη πρόσθεση (βλ. παρακάτω), είτε διότι το μέτρο και/ή η κατεύθυσή τους δε είαι αεξάρτητα από τη εκλογή του συστήματος συτεταγμέω. Παράδειγμα: οι πεπερασμέες περιστροφές δε είαι διαυσματικό μέγεθος. 5
Πλεοεκτήματα διαυσματικού συμβολισμού. Η διατύπωση εός φυσικού όμου με διαύσματα είαι αεξάρτητη από τη επιλογή του συστήματος συτεταγμέω. 2. Ο συμβολισμός με διαύσματα είαι περιεκτικός. Πολλοί φυσικοί όμοι έχου απλές και σαφείς μορφές που είαι πιθαό α γίου δυσδιάκριτες ότα οι όμοι γράφοται σε κάποιο συγκεκριμέο σύστημα συτεταγμέω. Πράξεις μεταξύ διαυσμάτω Στο χώρο τω διαυσμάτω ορίζεται η πράξη της πρόσθεσης μεταξύ διαυσμάτω (όμος του παραλληλογράμμου ή μέθοδος του δυαμοτριγώου, βλ. 3 & 4, σ. Σ-3 έως Σ-9 βιβλίου) και του πολλαπλασιασμού πραγματικού αριθμού με διάυσμα. Και οι δύο ειδώ πράξεις δίου έα έο διάυσμα. Ο τρόπος ορισμού τω δύο αυτώ πράξεω έχει ως αποτέλεσμα τη ύπαρξη εός μοαδικού ουδετέρου στοιχείου για κάθε μία: Πρόσθεση - Μηδεικό διάυσμα (έα διάυσμα μηδεικού μέτρου και μή οριζόμεης κατεύθυσης) 0 ή 0 r διότι A r + 0 r = 0 r + A r = A r, A r. Ο ορισμός του μηδεικού (ουδέτερου) στοιχείου στη ουσία ορίζει και τη έοια του ατίθετου εός οποιουδήποτε διαύσματος (συμβολίζεται A r ). Είαι αυτό που προστιθέμεο στο ατίστοιχό του διάυσμα δίδει ως αποτέλεσμα το μηδεικό διάυσμα: A r + ( A r ) = ( A r ) + A r = 0 r, A r. Πολλαπλασιασμός πραγματικού αριθμού με διάυσμα - Ουδέτερο στοιχείο ο αριθμός διότι. A r = A r, A r Ως αποτέλεσμα του ορισμού της πράξης του πολ/σμού, κάθε διάυσμα μπορεί α γραφεί σα γιόμεο εός αριθμού ίσου με το μέτρο του επί το μοαδιαίο διάυσμα στη κατεύθυσή του: Α= A r = A a r = Α â = Α a, κλπ. Καόας παραλληλογράμμου / δυαμοτριγώου για τη σύθεση δύο διαυσμάτω (δυάμεω): Επίλυση Παραδείγματος, σ. Σ-8 διδακτ. βιβλίου (σύθεση δύο δυάμεω με δύο τρόπους: α. καόας παραλληλογράμμου και όμοι συημιτόω και ημιτόω β. αάλυση σε ορθογώιο σύστημα αξόω). Ααπαράσταση διαύσματος σε τρισορθογώιο σύστημα συτεταγμέω. 6 Κλείσιμο Παρέθεσης } Διάβασμα απο διδακτ. βιβλίο ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΑΤΙΚΗ:, 2, 3, 4, 6. Λυμέες ασκήσεις:, 2, 3, 4, σ. Σ-62 έως Σ-66 και, 2, 3, 4, σ. Σ-75 έως Σ-78. Αλυτες ασκήσεις: 9 &0, σ. Σ-07 και άσκηση που δόθηκε στο μάθημα (Σύθεση τεσσάρω συτρεχουσώ δυάμεω στο χώρο - πρόβλημα ααγόμεο στο επίπεδο).
ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Ορισμός. Η ροπή δύαμης F ως προς σημείο Ο (που θεωρούμε ως αρχή τω αξόω) ισούται με: Μ Ο = OA F με Μ Ο = OA. F. sinθ = d. F όπου OA το διάυσμα θέσης εός τυχαίου σημείου Α (διάυσμα θέσης εός σημείου Α οομάζουμε το διάυσμα που έχει ως αρχή τη αρχή τω αξόω και τέλος το ε λόγω σημείο) του φορέα της F, θ η γωία μεταξύ OA και F και d η απόσταση του φορέα της F από το σημείο Ο (μοχλοβραχίοας). Εξ ορισμού το εξωτερικό γιόμεο δύο διαυσμάτω είαι έα διάυσμα με διεύθυση κάθετη στο επίπεδό τους, φορά οριζόμεη από το καόα του δεξιόστροφου κοχλία και μέτρο αεξάρτητο του σημείου Α (βλ. σελ. Σ-5 βιβλίου). Εά το σημείο Ο και τμήμα του φορέα της F αποτελού μέρος εός στερεού σώματος και το Ο παραμέει σταθερό, τότε το σώμα τείει α περιστραφεί γύρω από άξοα διερχόμεο από το Ο και παράλληλο με το διάυσμα της ροπής Μ Ο. Όπως φαίεται και από το ορισμό της, η ροπή είαι και αυτή διαυσματικό μέγεθος, αλλά είαι ελεύθερο διάυσμα. Μοάδες SI: Ν. m = kg. m 2 /s 2 Μ Ο F Ο d Α θ Ότα οι εφαρμοζόμεες δυάμεις σε έα σώμα αήκου στο ίδιο επίπεδο, η διεύθυση τω διαυσμάτω όλω τω ροπώ ως προς οποιοδήποτε σημείο είαι κοιή (πάτα κάθετη στο επίπεδο) και χρησιμοποιείται μόο η αλγεβρική τιμή τω ροπώ (μέτρο + πρόσημο λόγω φοράς). Ετσι η ροπή είαι ίση με το γιόμεο του μέτρου της δύαμης επι τη κάθετη απόσταση (μοχλοβραχίοας) του φορέα της από το σημείο ααφοράς (βλ. σελ. Σ-5 βιβλίου). Σύμβαση: για άξοα x οριζότιο με θετική φορά προς τα δεξιά και y κατακόρυφο με θετική φορά προς τα επάω, η ροπή θεωρείται θετική ότα τείει α προκαλέσει περιστροφή ατίθετη της φοράς κίησης τω δεικτώ του ωρολογίου. Η επιλογής της σύμβασης γίεται έχοτας υπ όψη το καόα του δεξιόστροφου κοχλία. Αυτό θα μας είαι 7
χρήσιμο στη συέχεια στη Ατοχή τω Υλικώ, ότα θα εξετάσουμε τη κάμψη. Στο βιβλίο η θετική φορά ορίζεται ατίθετα. Συισταμέη ροπή μίας ομάδας δυάμεω ως προς έα σημείο ορίζουμε το άθροισμα τω ροπώ όλω τω δυάμεω της ομάδας ως προς το υπ όψι σημείο. Θεώρημα Varignon (σελ.σ-6): Η συισταμέη ροπή μίας ομάδας δυάμεω ισούται με τη ροπή της συισταμέης τους. Άμεση εφαρμογή του θεωρήματος συιστά ο υπολογισμός της ροπής μίας δύαμης ως προς δεδομέο σημείο, αφού πρώτα ααλυθεί στις δύο συιστώσες της κατα τους άξοες x και y. Βλ. Λυμέη Άσκηση στο μάθημα ή παρόμοιο Παράδειγμα 3, σελ.σ-9. Διάβασμα απο διδακτ. βιβλίο ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΣΤΑΤΙΚΗ: 9. Άλυτη άσκηση: υπολογισμός ροπής δύαμης ως προς σημείο (δόθηκε στο μάθημα). Εφαρμογή Συισταμέης ροπής: Ροπή ζεύγους (σελ.σ-7). Η ροπή ζεύγους δυάμεω (F, F) ισούται με: Μ = Δr F, με Μ = d. F όπου Δr οποιοδήποτε διάυσμα με αρχή και τέλος πάω στους φορείς τω δύο δυάμεω και d η απόσταση μεταξύ τω παράλληλω δυάμεω. Το αποτέλεσμα της ροπής ζεύγους είαι αεξάρτητο του σημείου ααφοράς. Η έοια της ροπής γίεται συήθως παραστατικά ατιληπτή ως αποτέλεσμα της επίδρασης εός ζεύγους (ίσου μέτρου και ατίθετης φοράς) δυάμεω που δρού σε παράλληλους φορείς οι οποίοι απέχου μη μηδεική απόσταση μεταξύ τους. Αυτό το ζεύγος έχει τη τάση α θέσει το «σώμα» στο οποίο δρα σε περιστροφή περί άξοα (κάθετο στο επίπεδο τω φορέω τω δύο δυάμεω), άσχετα α η περιστροφή αυτή δε λαμβάει πάτα χώρα. Οι δυάμεις δε είαι απαραίτητο α θεωρούται ετοπισμέες σε έα σημείο, αλλά μπορεί α είαι και καταεμημέες. Παράδειγμα: Θεωρούμε έα ορθογωικό πλαίσιο αγωγού που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα και βρίσκεται μέσα σε έα ομογεές μαγητικό πεδίο (βλ. σχήμα): οι απέατι 8
πλευρές που είαι κάθετες στο μαγητικό πεδίο θα δέχοται δύο ίσες και ατίθετες δυάμεις Laplace, οι οποίες τείου α περιστρέψου το πλαίσιο περί κατάλληλο άξοα. F Ι F=Ι. Δl Β Β 9
ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΕΠΙ ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Σε ατίθεση με το λογισμό τω ελευθέρω διαυσμάτω (όπου για τη σύγκριση και το ορισμό τω πράξεω μεταξύ τους είαι επιτρεπτή η μετατόπιση εός διαύσματος κατά μήκος του φορέα του ή παράλληλα σε αυτό), η εμπειρία οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για το πλήρη χαρακτηρισμό μιας δύαμης (εκτός από το μέτρο, τη διεύθυση και τη φορά) απαιτείται και ααφορά του σημείου εφαρμογής της. Αυτό είαι ααγκαίο διότι, γεικά, μία κατά μέτρο, διεύθυση και φορά σταθερή δύαμη που ασκείται πάω σ έα στερεό σώμα επιφέρει διαφορετικά αποτελέσματα εά ασκείται σε διαφορετικά σημεία του σώματος. Ετσι καθίσταται ααγκαία η εισαγωγή του εφαρμοστού διαύσματος. (α) (β) F F Παράδειγμα: Α και οι δυάμεις είαι ίσες στις περιπτώσεις (α) και (β), αάλογα με το συτελεστή τριβής και το βάρος του σώματος, υπάρχει περίπτωση στο (β) το σώμα α αατραπεί, εώ αυτό πάτα αποκλείεται στο (α). Έχουμε έτσι ίσες δυάμεις α επεεργού στο ίδιο σώμα και α επιφέρου διαφορετικά αποτελέσματα αάλογα με πού βρίσκεται το σημείο εφαρμογής τους! Από τη στιγμή όμως που παραδεχόμαστε ότι η δύαμη είαι (γεικά) εφαρμοστό διάυσμα γίεται δυσχερέστερη και η σύγκριση (έοια της ισότητας) αλλά και η πραγματοποίηση αλγεβρικώ πράξεω μεταξύ εφαρμοστώ διαυσμάτω. Στη ουσία η μόη δυατότητα συδυασμού εφαρμοστώ διαυσμάτω απομέει η περίπτωση που τα διαύσματα έχου κοιό σημείο εφαρμογής. Το γεγοός αυτό επέβαλε, μέσω της έοιας της ροπής εός εφαρμοστού διαύσματος ως προς σημείο, τη έοια της ισοδυαμίας. Δύο συστήματα δυάμεω στη Στερεοστατική λέγοται ισοδύαμα ότα εφαρμοζόμεα στο ίδιο απολύτως στερεό σώμα προκαλού το ίδιο αποτέλεσμα ως προς τη τάση μεταβολής της κιητικής του κατάστασης. Αυτό συμβαίει εά έχου ίσες συιστάμεες δυάμεις και ίσες ροπές ως προς έα σημείο. Τότε θα έχου ίσες ροπές και ως προς οποιοδήποτε σημείο. Ο στόχος είαι α μετατρέψουμε έα σύθετο σύστημα δυάμεω σε έα απλούστερο ισοδύαμο. Η έοια της ισοδυαμίας μεταξύ δύο συστημάτω με εφαρμοστά διαύσματα είαι το ατίστοιχο της έοιας της ισότητας μεταξύ ελευθέρω διαυσμάτω. Αποδεικύεται ότι στις τρείς διαστάσεις είαι δυατό α ααγάγουμε οποιοδήποτε σύστημα δυάμεω σε μία συισταμέη δύαμη και μία ροπή ως προς σημείο συγγραμμική με αυτή. Η διεύθυση αυτή του σώματος καλείται κετρικός άξοας. 0
ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΙΑΣ ΔΥΝΑΜΗΣ Α) Θεώρημα ολίσθησης δύαμης κατά μήκος του φορέα της. (σελ. Σ-2) P i P i P i -P i Β Α Η κιητική κατάσταση εός απολύτως στερεού σώματος δε μεταβάλλεται εά θεωρήσουμε ότι επί πλέο του επιβεβλημέου συστήματος δυάμεω ασκούται δύο ίσες σε μέτρο και ατίθετες σε φορά συγγραμμικές δυάμεις με κοιό σημείο εφαρμογής (οι οποίες προφαώς έχου συισταμέη δύαμη και ροπή ίση με μηδέ ως προς οποιοδήποτε σημείο). Εστω ότι σε έα σώμα ασκείται έα φορτίο P i σε έα σημείο. Εα ισοδύαμο σύστημα θα είαι και εκείο στο οποίο επιπρόσθετα ασκούται και οι συγγραμμικές δυάμεις P i και -P i σε έα άλλο σημείο του σώματος πάω στη διεύθυση του P i. Εά τώρα διαλέξουμε P i = P i, επειδή πρόκειται για απολύτως στερεό σώμα μπορούμε με ασφάλεια α υποθέσουμε ότι η συδυασμέη δράση τω ίσω και ατίθετω P i και -P i, παρ όλο που δε έχου κοιό σημείο εφαρμογής, δε θα τείει α επιφέρει αλλαγή στη κιητική κατάσταση του σώματος και γιατί η απόσταση μεταξύ τω σημείω Α και Β δε μπορεί α μεταβληθεί και γιατί ως συγγραμμικές δε δημιουργού ροπή ως προς σημείο του σώματος. Αρα και πάλι η συισταμέη τους είαι ίση με το μηδεικό διάυσμα και μπορούμε α τις αγοήσουμε. Έτσι παραμέει μόο η P i που είαι απλώς η P i μετατοπισμέη στο σημείο Β. Ο παραπάω συλλογισμός σε συτομία περιγράφεται ως εξής: Η δύαμη είαι ολισθαίο διάυσμα στη Στερεοστατική. Η παραπάω πρόταση δε ισχύει στη Στατική του παραμορφωσίμου σώματος. Παράδειγμα: Εφελκυσμός και θλίψη ράβδου είαι ισοδύαμη καταπόηση στη Στερεοστατική, αλλά όχι στη Μηχαική του Παραμορφώσιμου Στερεού.
Β) Θεώρημα παράλληλης μεταφοράς δύαμης. (σελ. Σ-8) Εά για κάποιο λόγο χρειάζεται α μετατοπισθεί ο φορέας μίας δύαμης P παράλληλα στο εαυτό του σε απόσταση d, για α προκύψει ισοδύαμο σύστημα, πρέπει εκτός από τη δύαμη α προστεθεί και μία «ροπή μεταφοράς» μέτρου ίσου με P. d με τη κατάλληλη φορά. P i P i P i -P i P i Β Α Μ Β d 2
ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Σύθεση δύο παράλληλω δυάμεω. (σελ. Σ-2) Επειδή οι φορείς τω παράλληλω δυάμεω δε τέμοται, χρησιμοποιούμε δύο βοηθητικές ατίθετες συευθειακές δυάμεις ίσου αλλά τυχαίου μέτρου, ώστε α μετατρέψουμε το σύστημα σε δυάμεις τεμομέω φορέω και με ολίσθηση α τις συθέσουμε για α βρούμε τη συισταμέη τους. Q d d 2 R P F 2 Q F R P 2 R 2 Στη περίπτωση δύο ομόρροπω δυάμεω, ο φορέας της συισταμέης τους κείται αάμεσα στους φορείς τους, σε τέτοιες αποστάσεις ώστε οι ροπές τω δύο δυάμεω ως προς οποιοδήποτε σημείο του φορέα της συισταμέης α είαι ίσες και ατίθετες: F. d = F. 2 d 2 Αάλογα γίεται και η σύθεση παράλληλω και ατίρροπω δυάμεω (βλ. σελ. Σ-2). Στη περίπτωση ζεύγους δυάμεω (ίσες και ατίρροπες, F & F, σε απόσταση d συισταμέη μηδέ) η προσπάθεια σύθεσης δίει πάτα έα έο ζεύγος δυάμεω διαφορετικού αλλά ίδιου μέτρου και διεύθυσης αλλά σταθερής συιστάμεης ροπής: M=F. d δηλαδή δε είαι δυατό α βρεθεί ισοδύαμο σύστημα μηδεικής ροπής. 3
ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΝΑΜΕΩΝ Με τη βοήθεια τω παραπάω βασικώ ιδεώ γίεται η σύθεση δυάμεω στη στερεοστατική: Συγγραμμικές (φορείς ταυτίζοται) Συτρέχουσες (φορείς διέρχοται από κοιό σημείο) Συεπίπεδες (Μη παράλληλες, Παράλληλες ομόρροπες ή ατίρροπες, Ζεύγος) Ασύμβατες Στο μάθημα θα ασχοληθούμε κυρίως με σύθεση και ισορροπία δυάμεω στο επίπεδο. ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΛΥΜΕΝΗ ΑΣΚΗΣΗ Δ Γ Β Α Ε Έας αβαρής φορέας (δοκός) είαι πακτωμέος στο έδαφος στο σημείο Α. Ο φορέας στηρίζεται επιπρόσθετα από δύο σχοιιά στα οποία οι ασκούμεες τάσεις είαι F ΓΒ =5 kn και F ΔΕ =0 kn ατίστοιχα (βλ. σχήμα). Να βρεθεί το ισοδύαμο σύστημα μίας δύαμης και μίας ροπής ως προς το σημείο Α της πάκτωσης για τις δύο εξωτερικές φορτίσεις. Να βρεθεί σημείο ως προς το οποίο το ισοδύαμο σύστημα έχει μηδεική ροπή. Δίοται: ΑΒ= 5m, ΑΓ=4m, ΑΔ=3m, ΑΕ=3m. Άλυτη Άσκηση για εξάσκηση (δόθηκε στο μάθημα): Άσκηση 2.4 / σελ.67 Βουθούης «Στατική» (σύθεση παράλληλω δυάμεω - Ααγωγή παράλληλω δυάμεω σε ισοδύαμο σύστημα με μηδεική ροπή). 4
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ Εα απολύτως στερεό (μή παραμορφώσιμο) σώμα στο οποίο ασκείται έα σύστημα δυάμεω P i (,2, ) ισορροπεί εά και μόο εά η συισταμέη δύαμη P και η συισταμέη ροπή M A εός ισοδύαμου συστήματος δυάμεω (ως προς οποιοδήποτε σημείο A του σώματος ή του χώρου) ισούται ταυτόχροα και οι δύο με μηδέ (μηδεικά διαύσματα). Οι ΒΑΘΜΟΙ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ εός στερεού σώματος ή γεικότερα φυσικού συστήματος ορίζοται ως το ελάχιστο πλήθος τω αεξαρτήτω παραμέτρω που απαιτούται για α καθορισθεί πλήρως η κατάσταση του σώματος ή συστήματος. Παραδείγματα: (α) Για α καθοριστεί πλήρως η θέση εός υλικού σημείου απαιτούται 3 πραγματικοί αριθμοί (συτεταγμέες θέσης του σημείου), επομέως έα υλικό σημείο έχει 3 βαθμούς ελευθερίας. (β) Για α καθοριστεί πλήρως η θέση εός απολύτως στερεού σώματος στο χώρο απαιτούται 6 πραγματικοί αριθμοί (οι συτεταγμέες θέσης εός σημείου συ τρεις γωίες ως προς κάποιο σύστημα αξόω, 3+3=6) και επομέως έα απολύτως στερεό σώμα έχει 6 βαθμούς ελευθερίας. Στο επίπεδο το απολύτως στερεό σώμα έχει 3 βαθμούς ελευθερίας (συτεταγμέες θέσης εός σημείου συ μία γωία ως προς κάποιο σύστημα αξόω, 2+=3). Καθώς έα απολύτως στερεό σώμα έχει 6 βαθμούς ελευθερίας, χρειάζοται 6 αεξάρτητες εξισώσεις για α λυθεί μοοσήματα οποιοδήποτε πρόβλημα στερεοστατικής (ή φυσικά, γεικότερα και οποιοδήποτε σύστημα εξισώσεω με αγώστους). Τότε το πρόβλημα λέγεται ισοστατικό. Στη γεική περίπτωση λοιπό της ισορροπίας στο χώρο, οι εξισώσεις αυτές είαι: P x = M Ax = P ix =0, M Aix =0, P y = M Ay = P iy =0, M Aiy =0, P z = και ζεύγη δυάμεω που μπορού α ααπαραστήσου πιθαές ετοπισμέες ροπές. Ατί της χρήσης τω ροπώ τω δυάμεω ως προς σημείο, πολύ συχά χρησιμοποιούται οι ροπές τω δυάμεω ως προς κατάλληλους άξοες (βλ. παρακάτω). 5 M Az = P iz =0 ΣΤΕΡΕΟΣΤΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ M Aiz =0 όπου Α οποιοδήποτε σημείο του σώματος. Στο σύστημα δυάμεω συμπεριλαμβάοται
{ Παρέθεση 2 - Στοιχεία διαυσματικής άλγεβρας: Εσωτερικό γιόμεο, εφαρμογές εσωτερικού γιομέου: προβολή διαύσματος επί διάυσμα, έκφραση εσωτερικού γιομέου σε καρτεσιαές συτεταγμέες). Ορισμός. Η ροπή δύαμης F ως προς άξοα λ ισούται με: M λ = (r F). n λ όπου r είαι διάυσμα θέσης με αρχή έα οποιοδήποτε σημείο του άξοα λ και τέλος έα οποιοδήποτε σημείο του φορέα της F και n λ το μοαδιαίο διάυσμα του άξοα. Η ροπή δύαμης ως προς άξοα είαι έτσι έα βαθμωτό μέγεθος αφού είαι η προβολή του διαύσματος της ροπής πάω στο άξοα. Με ορολογία στερεομετρίας, η ροπή δύαμης F ως προς άξοα λ ορίζεται ως το γιόμεο της ορθής προβολής της δύαμης σε επίπεδο κάθετο στο άξοα επι τη απόστασή του από το φορέα της δύαμης. Σε προβλήματα στο χώρο με πολύπλοκη γεωμετρία χρησιμοποιούμε το αυστηρό διαυσματικό ορισμό, εώ σε προβλήματα με απλή γεωμετρία ο γεωμετρικός ορισμός που είαι περισσότερο καταοητός δίει γρήγορα αποτελέσματα. Εφαρμογές:. Η ροπή δύαμης ως προς άξοα παράλληλο στο φορέα της είαι μηδεική. 2. Η ροπή δύαμης ως προς άξοα που τέμει το φορέα της είαι μηδεική. Κλείσιμο Παρέθεσης 2} Στη περίπτωση ισορροπίας σε επίπεδο (xy) όπου έα απολύτως στερεό σώμα έχει 3 βαθμούς ελευθερίας, χρειάζοται 3 αεξάρτητες εξισώσεις για α λυθεί μοοσήματα το πρόβλημα. Μπορούμε εαλλακτικά α επιλέξουμε όποιο συδυασμό στεροστατικώ εξισώσεω ισορροπίας καθιστά τη επίλυση του συστήματος ευκολότερη: P x = P ix =0, P y = P iy =0, M Az = M Aiz =0 ή P x = P ix =0, M Az = M Aiz =0, M Βz = M Βiz =0 ή M Az = M Aiz =0, M Βz = M Βiz =0 M Γz = M Γiz =0 6
όπου Α, Β, Γ τρία οποιαδήποτε μη συευθειακά σημεία του επιπέδου. Ατίστοιχη δυατότητα χρήσης εαλλακτικώ εξισώσεω ισορροπίας υπάρχει και σε τρισδιάστατα προβλήματα. Ειδική περίπτωση ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΤΡΙΩΝ ΣΥΝΕΠΙΠΕΔΩΝ ΔΥΝΑΜΕΩΝ: Ικαή και ααγκαία συθήκη για α ισορροπού τρείς συεπίπεδες δυάμεις είαι αφ εός το δυαμοτρίγωό τους α είαι κλειστό (συισταμέη δύαμη μηδέ) και αφ ετέρου οι φορείς τους α διέρχοται από το ίδιο σημείο (συισταμέη ροπή μηδέ). (βλ. Παράδειγμα 2 / σελ.σ-4). ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ ΣΤΗΡΙΞΗΣ Κάθετι που επιβάλλει περιορισμούς στη κιητικότητα (αφαίρεση βαθμώ ελευθερίας) εός απολύτως στερεού σώματος μπορεί α οομασθεί γεικά «σύδεσμος» ή «στήριξη». Η αφαίρεση εός βαθμού ελευθερίας από έα σώμα έχει σα αποτέλεσμα τη αάπτυξη μίας ατίστοιχης «ατίδρασης στήριξης» (η οποία είαι μία άγωστη δύαμη ή ροπή), που ασκείται σε αυτό συήθως μόο ότα ασκηθεί κάποια εξωτερική φόρτιση. Αφαίρεση δύο βαθμώ ελευθερίας συεπάγεται τη εμφάιση δύο άγωστω ατιδράσεω στήριξης, κ.ο.κ. Είδη συδέσμω/στηρίξεω: Κύλιση ( άγωστη ατίδραση κάθετη στο επίπεδο κύλισης) Άρθρωση (3 άγωστες ατιδράσεις στο χώρο, 2 ατιδράσεις στο επίπεδο) Πάκτωση (6 ατιδράσεις στο χώρο 3 δυάμεις & 3 ροπές, 3 ατιδράσεις στο επίπεδο 2 δυάμεις & ροπή) Πολλές φορές σε προβλήματα στερεοστατικής χρειάζεται α υπολογισθού οι ατιδράσεις στήριξης. Βλ. Λυμέη Άσκηση στο μάθημα: Παράδειγμα 4 / σελ.σ-24 [ισορροπία 3 συεπίπεδω δυάμεω, επίλυση με δύο τρόπους: α) αάλυση δυάμεω σε καρτεσιαό σύστημα συτεταγμέω - χρήση στερεοστατικώ εξισώσεω ισορροπίας, β) με δυαμοτρίγωο - ισορροπία 3 συεπίπεδω δυάμεω]. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΕΛΕΥΘΕΡΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ (Δ.Ε.Σ.). Για τη κατάστρωση τω στερεοστατικώ εξισώσεω ισορροπίας εός απολύτως στερεού σώματος είαι πολύ χρήσιμη η σχεδίαση του Διαγράμματος Ελευθέρου Σώματος (Δ.Ε.Σ.). 7
Σε αυτό σχεδιάζοται μόο οι εξωτερικές δυάμεις, δηλ. οι δυάμεις που ασκούται προς στο σώμα που εδιαφέρει, αεξαρτήτως προέλευσης (επιβαλλόμεα φορτία και ροπές ή ατιδράσεις στήριξης) (βλ. σελ.σ-9). Δε σχεδιάζοται οι δυάμεις που ασκούται απο το σώμα σε άλλα σώματα. ΠΡΟΣΘΕΤΗ ΛΥΜΕΝΗ ΑΣΚΗΣΗ (απλή περίπτωση ισορροπίας στο χώρο) z Z Ε Δ 2m 2,5m 2,5m m y Γ m Α 5m Β x Tο ορθογωικό πλαίσιο ΑΒΔZ του φωτιστικού του σχήματος έχει ομοιόμορφα γραμμικά καταεμημέο βάρος 00Ν/m. Να υπολογιστού οι δυάμεις τω κατακόρυφω ημάτω αάρτησης στα Α, Γ και Ε. Έστω οτι για κάποιο λόγο δε μπορούμε α ααρτήσουμε ήμα στο σημείο του ταβαιού πάω από το σημείο Γ και ααγκαζόμαστε α το τοποθετήσουμε κατακόρυφα πάω από το σημείο Β. Πόση πρέπει α είαι η ελάχιστη δύαμη που α μπορεί α ατέξει το υλικό του ήματος για α ααρτηθεί το φωτιστικό απο τα έα του σημεία; Υπόδειξη: θεωρήστε ροπές ως προς άξοες παράλληλους στις διευθύσεις x και y του επιπέδου xy. 8
Άλυτες Ασκήσεις για εξάσκηση: 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.8, 2.0, 2., 2.2, 2.3, 2.5, 2.6, σ.76-78 (άλυτη 2.6/σ.78 όμοια με λυμέη 2.9/σ.72, επίλυση με δύο τρόπους όπως προηγουμέως) Βουθούης «Στατική» + άσκηση απλής περίπτωσης ισορροπίας στο χώρο που ακολουθεί. z Ε Β A Γ 30 ο Δ y x Η επίπεδη ορθογωική πλάκα του σχήματος έχει ομοιόμορφα καταεμημέο βάρος W=9kΝ και διαστάσεις ΑΒ=ΔΓ=4m και ΒΓ=ΑΔ=8m. Στο σημείο Α στηρίζεται με μία σφαιρική άρθρωση, εώ στο σημείο Δ με μία κύλιση η οποία επιτρέπει τη μετατόπιση μόο κατά τη διεύθυση y. Στη σχεδιασμέη θέση, σε γωία 30 σε σχέση με τη οριζότια διεύθυση (επίπεδο x-y), συγκρατείται από τη ράβδο ΓΕ η οποία συδέεται στα σημεία Γ και Ε με σφαιρικές αρθρώσεις. Το σημείο Ε βρίσκεται πάω στο επίπεδο y-z και απέχει 5m από το σημείο Δ. Να υπολογιστεί η δύαμη S που καταποεί τη ράβδο ΓΕ, θεωρώτας οτι όλοι οι σύδεσμοι έχου μηδεικές τριβές. 9
ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΚΑΙ ΚΕΝΤΡΟΕΙΔΗ Ορισμός: Κέτρο βάρους σώματος οομάζεται το σημείο ως προς το οποίο η συισταμέη τω στοιχειωδώ δυάμεω βαρύτητας, που ασκούται στο σώμα, δίδει ισοπολικό σύστημα. Για g=σταθ. το κέτρο βάρους συμπίπτει με το κέτρο μάζας. Α επιπλέο ρ=σταθ., τότε οι συτεταγμέες του κέτρου βάρους x k, y k, z k δίοται από τις σχέσεις: V x k =, dv V xdv V y k =, dv όπου x, y, z οι συτεταγμέες του στοιχειώδους όγκου dv του χωρικού ολοκληρώματος. V ydv z k = V V zdv dv Εά η καταομή μάζας μπορεί α μοτελοποιηθεί ως επιφαειακή ή γραμμική (οπότε μιλούμε για κετροειδή) με σταθερή πυκότητα, τότε οι ατίστοιχες σχέσεις γίοται A x k =, da A xda A y k = επιφαειακό κετροειδές da A yda xdl l x k =, dl l l y k = διδιάστατο γραμμικό κετροειδές dl l ydl όπου da και dl η στοιχειώδης επιφάεια και το στοιχειώδες μήκος τόξου του επιφαειακού ή επικαμπύλιου ολοκληρώματος ατίστοιχα. Λυμέη άσκηση: Κέτρο βάρους ορθογωίου τριγώου. Δείτε επίσης πιό σύθετα παραδείγματα 3 και 4, σελ. 90 (Κέτρο βάρους τριγώου) & 9 (Κέτρο βάρους ημικυκλίου) του βιβλίου. Εά το σώμα ή το κετροειδές αποτελείται από πεπερασμέο αριθμό τμημάτω,2,, τω οποίω είαι γωστά τα κέτρα βάρους, τότε τα ολοκληρώματα ατικαθίσταται από πεπερασμέα αθροίσματα: π.χ. xi Ai x k =, y k =... A i 20
όπου x i, y i είαι οι συτεταγμέες τω γωστώ κέτρω βάρους τω τμημάτω και A i το εμβαδό κάθε τμήματος (θετικό εά υπάρχει και αρητικό εά λείπει). Το σηματικό είαι οι συτεταγμέες α δίοται όλες ως προς τη ίδια αρχή τω αξόω. Ο Πίακας 7., σελ.94-95 βιβλίου έχει εδεικτικά αποτελέσματα για κέτρα βάρους διαφόρω διατομώ. Λυμέες ασκήσεις: Παράδειγμα 5, σελ.92 βιβλίου (έγιε στο μάθημα με αφαίρεση εός μη υπάρχοτος τμήματος), Κέτρο βάρους ορθογωίου τριγωικού πλαισίου (σύγκριση τριγωικού πλαισίου με τριγωική πλάκα για ισόπλευρα ορθογώια τρίγωα), Υπολογισμός ατιδράσεω στήριξης ισόπλευρου ορθογώιου τριγωικού πλαισίου (πρβλ. Πρόσθετες Ασκήσεις σ.5 και σ.6). Θεωρήματα Πάππου-Guldin Τα θεωρήματα αυτά είαι χρήσιμα για το προσδιορισμό συτεταγμέω Κ.Β. κετροειδώ τω οποίω είαι γωστά τα γεωμετρικά στοιχεία. ο θεώρημα: Εμβαδό επιφάειας από περιστροφή = (μήκος γεέτειρας καμπύλης) (μήκος περιφέρειας που διαγράφει Κ.Β. γεέτ. καμπύλης) A=L (2πx k ) 2 ο θεώρημα: Όγκος στερεού από περιστροφή = (εμβαδό γεέτειρας επιφάειας) (μήκος περιφέρειας που διαγράφει Κ.Β. γεέτ. επιφ.) V=A (2πx k ) Λυμέες ασκήσεις: Κέτρο βάρους τετάρτου κυκλικής στεφάης, Κέτρο βάρους τετάρτου κυκλικού δίσκου (τεταρτοκύκλιο). Προβλήματα για εξάσκηση στο προσδιορισμό κέτρω βάρους: 3., 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.9, 3.2, 3.23, 3.24, 3.26 / σ.7-8 Βουθούη «Στατική». Υπεθύμιση: Εμβαδό τριγώου = (/2) (βάση) (ύψος) Μήκος περιφέρειας κύκλου = 2πR Εμβαδό κύκλου = πr 2 Εμβαδό σφαίρας = 4πR 2 Όγκος σφαίρας = (4/3)πR 3 Όγκος κώου = (/3)πR 2 h 2
ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΟΙ ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Αποτελούται από τμήματα συδεόμεα μεταξύ τους με αρθρώσεις (εσωτερικοί σύδεσμοι) με τρόπο ώστε α αποτελού έα στερεό σύολο. Το όλο στερεό σώμα συδέεται με το περιβάλλο με στηρίξεις (εξωτερικοί σύδεσμοι). Επίλυση εός σύθετου φορέα σημαίει το προσδιορισμό τω εσωτερικά ααπτυσσόμεω δυάμεω που καταποού κάθε τμήμα του, ότα στο φορέα επιβάλλοται γωστές εξωτερικές φορτίσεις. Γ Β Δ Ε Α Παράδειγμα. Έστω φορέας αποτελούμεος από δύο δοκούς ΑΓ και ΒΕ και μία ράβδο ΓΔ. Η δοκός ΑΓ είαι πακτωμέη στο σημείο Α, εώ οι αρθρώσεις στα σημεία Β και Δ δε λύου τη συέχεια τω δοκώ ΑΓ και ΒΕ ατίστοιχα. Ο φορέας φορτίζεται από έα ετοπισμέο κατακόρυφο φορτίο P εφαρμοζόμεο στο σημείο Ε. Η επίλυση γίεται με τη βοήθεια τω στερεοστατικώ εξισώσεω ισορροπίας και βασίζεται στη υπόθεση οτι ότα έας φορέας ισορροπεί στο σύολό του, τότε ισορροπού και τα επιμέρους τμήματά του. Η συήθως χρησιμοποιούμεη μεθοδολογία είαι: (α) Εφαρμόζοτας στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας για το φορέα ως ειαίο στερεό σώμα προσδιορίζουμε τις ατιδράσεις στήριξής του (εξωτερικές ατιδράσεις). Στη συέχεια (β) Εφαρμόζοτας στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας για κάθε έα από τα επιμέρους τμήματα του φορέα ξεχωριστά, προσδιορίζουμε τις εσωτερικά ααπτυσσόμεες δυάμεις (εσωτερικές ατιδράσεις) πάω στους αρθρωτούς συδέσμους κάθε τμήματος. Τη αρχή αυτή χρησιμοποιούμε και για το υπολογισμό τω φορτίω διατομής (συαρτήσεις αξοικώ και τεμουσώ δυάμεω και καμπτικώ ροπώ, βλ. παρακάτω). Οι ααπτυσσόμεες δυάμεις στα επιμέρους τμήματα μεταφέροται μέσω τω αρθρώσεω απο το έα τμήμα στο άλλο. Σύμφωα με το τρίτο όμο του Νεύτωα, οι εσωτερικές δυάμεις που εεργού σε δύο τμήματα του φορέα που συδέοται μέσω μίας άρθρωσης θα είαι ατίρροπες και ίσου μέτρου. Αυτή είαι μία πολύ ουσιαστική εφαρμογή του όμου 22
και πρέπει α λαμβάεται υπ όψι με προσοχή κατα τη σχεδίαση τω Δ.Ε.Σ. τω τμημάτω του φορέα. ΔΙΚΤΥΩΤΟΙ ΦΟΡΕΙΣ ή ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Είαι φορείς που αποτελούται αποκλειστικά από ευθύγραμμα στοιχεία (ράβδοι) συδεδεμέα μεταξύ τους από τα άκρα τους με ιδαικές αρθρώσεις (σφαιρικές στη περίπτωση χωρικού δικτυώματος), για τους οποίους θεωρούμε οτι οι φορτίσεις μπορού α εφαρμόζοται μόο επι τω αρθρώσεω (κόμβοι του δικτυώματος). Η ύπαρξη τω αρθρώσεω και η παραδοχή οτι τα εξωτερικά επιβαλλόμεα φορτία δε μπορού α εφαρμόζοται παρά μόο στα άκρα τω ράβδω, έχει σα αποτέλεσμα οι ράβδοι α καταποούται μόο απο εσωτερικές δυάμεις ίσου μέτρου και ατίθετης φοράς συευθειακές με το άξοά τους (αξοικές δυάμεις). Αυτές είαι είτε εφελκυστικές είτε θλιπτικές. Ο περιορισμός αυτός του τρόπου φόρτισης τω ράβδω του δικτυώματος δίει και το ορισμό της ράβδου σε ατιδιαστολή με τη δοκό που θα συατήσουμε αργότερα. Δικτυώματα απατώται σε γέφυρες, στέγαστρα αοικτώ ή κλειστώ χώρω, βραχίοες ή σκελετούς γεραώ, πυλώες μεταφοράς ηλεκτρικού ρεύματος ή αεμογεητριώ. Η αρθρωτή σύδεση τω ράβδω μπορεί α απεικοισθεί ως κυλιδρικός πείρος που παρεμβάλλεται χωρίς τριβές στις οπές που υπάρχου στις ακραίες διαπλατύσεις τω ράβδω. Ε τούτοις στις συηθέστερες κατασκευές η σύδεση τω ράβδω δε είαι αρθρωτή χωρίς τριβές: π.χ. στις σιδηροκατασκευές οι συδέσεις γίοται με ηλώσεις τω ράβδω πάω στα κομβοελάσματα. Παρ όλο λοιπό που φαίεται α μη τηρείται καμία απο τις σχετικές υποθέσεις (άξοες ράβδω συτρέχου στο ίδιο σημείο σύδεση αρθρωτή χωρίς τριβές και άρα χωρίς δυατότητα μεταβίβασης ροπής), έχει πειραματικά αποδειχθεί οτι τα αποτελέσματα που εξάγοται βάσει τω παραδοχώ αυτώ απέχου ελάχιστα απο τα πραγματικά. Έτσι μπορούμε α είμαστε βέβαιοι οτι η προσέγγιση που κάαμε με τις παραδοχές μας είαι αρκετά ικαοποιητική. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΙΣ ΘΕΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ - ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Η παραπάω σύγκριση μεταξύ αποτελεσμάτω που προέρχοται απο τη χρήση απλοποιητικώ παραδοχώ και πειραματικώ αποτελεσμάτω είαι μία διαδικασία που απατάται σε όλες τις θετικές επιστήμες. Κάουμε λοιπό εδώ μία μικρή παρέθεση. Επειδή τα προβλήματα της Τεχικής Μηχαικής που συατούμε είαι πολύπλοκα, 23
προσπαθούμε α τα απλοποιήσουμε κάοτας εξιδαικευμέες προσομοιώσεις («μοτελοποιήσεις»). Αυτές πρέπει κάθε φορά α στοιχειοθετούται αάλογα με το τύπο του προβλήματος γιατί δε μπορού προφαώς α είαι αυθαίρετες. Ουσιαστικά προσπαθούμε α μειώσουμε το αριθμό τω αγώστω παραμέτρω του προβλήματος. Παραδείγματα μοτελοποιήσεω: Στοιχείο Μοτελοποίηση Απαλοιφή άγωστης παραμέτρου Ετοπισμέη δύαμη Μηδεικές διαστάσεις σημείου εφαρμογής Αγόηση Χωρικής Καταομής Δύαμης Ιδαική Κύλιση Κύλιση χωρίς τριβές Μηδεισμός συιστώσας ατίδρασης παράλληλης στη διεύθυση κύλισης Ιδαική Άρθρωση Άρθρωση χωρίς τριβές Μηδεισμός ροπής ατίδρασης Ιδαική ράβδος Ιδαικές αρθρώσεις στα άκρα & φορτίσεις μόο στα άκρα Μηδεισμός ροπής ατίδρασης και τεμουσώ δυάμεω Υπάρχου πολλώ ειδώ πραγματικές αρθρώσεις οι οποίες μοτελοποιούται ως ιδαική άρθρωση. Ατίστοιχα ισχύου για όλω τω ειδώ τις μοτελοποιήσεις. ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΩΝ Στόχος ο προσδιορισμός τω εσωτερικώ δυάμεω (τάσεω) τω ράβδω. Η διαδικασία περιλαμβάει τα εξής μέρη:. Έλεγχος ισοστατικότητας. Ισοστατικός λέγεται ο φορέας η επίλυση του οποίου επιτυγχάεται μόο με τη βοήθεια τω εξισώσεω ισορροπίας. Για έα δικτυωτό φορέα ο αριθμός τω αγώστω είαι ίσος με το συολικό αριθμό τω ράβδω συ τις ατιδράσεις στήριξής του. Από τη άλλη πλευρά ο αριθμός τω εξισώσεω που μπορού α καταστρωθού για έα επίπεδο (τρισδιάστατο) φορέα είαι διπλάσιος (τριπλάσιος) του αριθμού τω κόμβω του διότι σε κάθε κόμβο υπάρχει έα σύστημα συτρεχουσώ δυάμεω (οι εξισώσεις ροπώ είαι ταυτοτικά ίσες με μηδέ αφού όλες οι δυάμεις σε έα κόμβο διέρχοται από το ίδιο σημείο). Για α είαι επομέως ισοστατικό έα δικτύωμα θα πρέπει μεταξύ του αριθμού τω ράβδω, ρ, τω ατιδράσεω, α, και τω κόμβω, κ, α ισχύει η σχέση ρ + α = 2κ Εα ρ + α > 2κ ή ρ + α < 2κ τότε το δικτύωμα λέγεται υπερστατικό ή γεωμετρικά υποορισμέο (μηχαισμός) και δε επιλύεται στα πλαίσια της Στερεοστατικής. 24
2. Έλεγχος στερεότητας τω κόμβω. 3. Υπολογισμός ατιδράσεω στήριξης. 4. Υπολογισμός τάσεω ράβδω. Υπάρχου διάφορες μέθοδοι. Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο τω κόμβω. Για κάθε κόμβο του δικτυώματος ισχύου εξισώσεις της μορφής Σ(Ν i cosω i )+ F κ cosφ κ =0, Σ(Ν i sinω i )+ F κ sinφ κ =0 όπου i αριθμεί το πλήθος τω ράβδω του κόμβου κ, Ν i η άγωστη αξοική δύαμη της ράβδου i, ω i η γωία που σχηματίζει η ράβδος i με το άξοα x, F κ η γωστή εξωτερική δύαμη που τυχό εεργεί στο κόμβο κ, και φ κ η γωία που σχηματίζει η F κ με το άξοα x. Η επίλυση πρέπει α ξεκιά απο κόμβο στο οποίο συτρέχου δύο το πολύ ράβδοι με άγωστες δυάμεις. Παράδειγμα 5 / σελ.σ-26, Παράδειγμα 6 / σελ.σ-33. Λυμέες ασκήσεις: Νο5 / σελ.σ-66, Νο7 / σελ.σ-70, Νο6 / σελ.σ-80, Νο7 / σελ.σ-82, Νο / σελ.σ-90. Άλυτες ασκήσεις: / σελ.σ-07. 25
ΦΟΡΤΙΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ (βλ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 βιβλίου) Ολόσωμοι φορείς, Δοκοί, τρόποι φόρτισης: ετοπισμέη-καταεμημέη q(x). Μέθοδος τω τομώ. Αξοική δύαμη, τέμουσα δύαμη, καμπτική ροπή. Σύμβαση για το πρόσημο N(x), Q(x), M(x). Προσδιορισμός συαρτήσεω N(x), Q(x), M(x) με εμφάισή τους στο Δ.Ε.Σ. του τμήματος (αριστερού ή δεξιού) της ράβδου. Σχεδίαση τω Δ.Α.Δ., Δ.Τ.Δ. και Δ.Κ.Ρ. Ειδικές περιπτώσεις q(x)=0, q(x)=σταθ. Σχέσεις μεταξύ q(x), Q(x), M(x). Σημεία τοπικού ακροτάτου M(x): Q(x)=0. Λυμέες ασκήσεις στο μάθημα: Παράδειγμα 2 / σελ.244, Παράδειγμα 3 / σελ.246, άσκηση εκτός βιβλίου με ασυέχεια στο Δ.Κ.Ρ. λόγω ετοπισμέης ροπής. Διαβάστε λυμέες ασκήσεις: Παράδειγμα 4 & 4Α / σελ.250, Παράδειγμα 5 / σελ.252, Λυμέη άσκηση 8.2 / σελ.263. Ατιπαραβολή Δ.Τ.Δ. και Δ.Κ.Ρ. αμφιέρειστης δοκού με α) ετοπισμέο φορτίο και β) καταεμημέο φορτίο σε όλο το μήκος της βλ. σχετικό σχόλιο σελ. 255. Προβλήματα για εξάσκηση: 8.3, 8.4, 8.7, 8.8, 8.9, 8.0 / σελ. 264. Εδώ ολοκληρώεται η ύλη της Στερεοστατικής. Στο βιβλίο «Τεχική Μηχαική» Π. Βουθούη που προσφέρεται από το Τμήμα Ηλεκτρολογίας ως διδακτικό σύγγραμμα, υπάρχει το μεγαλύτερο μέρος της ύλης της Στερεοστατικής που διδάχθηκε (βλ. ααφορές στο κείμεο τω σημειώσεω). Για τη ύλη Ατοχής Υλικώ που διδάχθηκε στο μάθημα, βλ. επίσης στο ίδιο βιβλίο, εστιάζοτας στα σημεία που ααφέροται παρακάτω. 26
ΑΝΤΟΧΗ τω ΥΛΙΚΩΝ Ατικείμεο Ατοχής τω Υλικώ. Εγκατάλειψη της παραδοχής του απαραμόρφωτου στερεού. Είδη απλώ καταποήσεω. Μέθοδος τω Τομώ (Δ.Ε.Σ. τμήματος του φορέα με οητή τομή). Διάκριση μεταξύ δύαμης και τάσης ααγκαιότητα εισαγωγής της έοιας της τάσης. Ορισμός ορθής και διατμητικής τάσης σε στοιχειώδη επιφάεια οητής τομής. Μοάδα μέτρησης τάσης. Κετρική μοοαξοική φόρτιση Ορισμός συμβατικής ορθής αηγμέης παραμόρφωσης Ααγκαιότητα εισαγωγής της έοιας της αηγμέης παραμόρφωσης σε ατιδιαστολή με τη απλή επιμήκυση. Σημασία τω παραμορφώσεω στο σχεδιασμό τω κατασκευώ και τη Μηχαική. Διάγραμμα τάσεω-τροπώ σε μοαξοικό εφελκυσμό/θλίψη. Έοιες ελαστικής και πλαστικής παραμόρφωσης. Ορισμός Μέτρου Ελαστικότητας, Ε. Όλκιμη και ψαθυρή θραύση. Ορισμός ορίου διαρροής, ορίου ατοχής και τάσης θραύσης. Νόμος Hooke για ράβδο σε μοαξοική ετατική κατάσταση φορτιζόμεη στα άκρα της Δl=Pl/(EΑ). Οριακή και Επιτρεπόμεη (σ επ ) τάση κατασκευής. Συτελεστής ασφαλείας. Συθήκες ατοχής. Λυμέη άσκηση στο μάθημα: Παραλλαγή Παραδείγματος 2 / σ.9: Διαστασιολόγηση ράβδου καταποουμέης σε αξοικό εφελκυσμό και υπολογισμός προκαλούμεης παραμόρφωσης. Διαβάστε επίσης Παράδειγμα, σ.65. Προβλήματα για εξάσκηση: 3.8, σ. 7. Διάκριση μεταξύ ισοστατικώ και υπερστατικώ προβλημάτω. Η χρησιμότητα της εξίσωσης συμβιβαστού τω παραμορφώσεω στη επίλυση υπερστατικώ προβλημάτω. Παράδειγμα 3 / σ.95. Διαβάστε Λυμέες Ασκήσεις 3., 3.2, 3.3 και 3.4 σ.06-2. Προβλήματα για εξάσκηση: 3.9, 3.0, 3., 3.4, 3.20 (για τη τελευταία άσκηση διαβάστε πρώτα 3.7, σ.80) / σ. 7-20. Καθαρή Κάμψη (Κεφ.9 έως σ.288). Εξίσωση συμβιβαστού τω παραμορφώσεω στη κάμψη. Βασικός τύπος κάμψης για γραμμικά ελαστικά υλικά. Ροπή αδράειας, σ. 93-98. Υπολογισμός διατομής απο τη συθήκη ατοχής. Λύση Άσκησης Επαάληψης 6 που δόθηκε στο μάθημα (σταθερή συεχής φόρτιση σε ορισμέο τμήμα δοκού). Συτελεστής χρησιμοποίησης διατομής - Σχόλιο για βέλτιστο προσαατολισμό ορθογωικής διατομής ( 9.8, σ.285-288). Διαβάστε Λυμέες Ασκήσεις 9. & 9.2 / σ.30-33. Προβλήματα για εξάσκηση: 9.3, 9.4, 9.5, 9.7 / σ. 34. Έοιες ελαστικής γραμμής, βέλους κάμψης και διαφορικής εξίσωσης ελαστικής γραμμής (σ.35-320). Αρχή της Επαλληλίας. Παραδείγματα εφαρμογώ στη περίπτωση μοαξοικής καταπόησης (βλ. λυμέη άσκηση 3.3 / σ.0 αφού διαβάσετε λυμέη άσκηση 2. / σ.57) και κάμψης (βλ. 0.5 / σ.329-334). Ορισμός Γωιακής ή Διατμητικής Παραμόρφωσης και Μέτρου Διάτμησης, G (σ.64-65). Λόγος του Poisson, μ ( 3.3, σ.67-70). Σχέση μεταξύ E, G και μ. Καταπόηση σε διάτμηση. Μοότμητος και δίτμητος ήλος. Παράδειγμα: Υπολογισμός μέσης διατμητικής τάσης. Προβλήματα για εξάσκηση: 5.3, 5.4, 5.7, 5,, 5.2 / σ. 52-54. (Κεφ. 5, σ.33-54) Στρέψη ατράκτω διατομής κυκλικής συμμετρίας. Εξίσωση συμβιβαστού τω παραμορφώσεω στη στρέψη. Βασικός τύπος στρέψης για γραμμικά ελαστικά υλικά. Πολική Ροπή αδράειας. Έοια τω κυρίω τάσεω Κύριες τάσεις στη στρέψη. (Κεφ.) Εξάρτηση, από τη γωία τομής, τω ορθώ και διατμητικώ τάσεω επεεργουσώ σε πλάγια τομή ράβδου υποκειμέης σε αξοική φόρτιση Μέγιστη διατμητική τάση. ( 3., σ.99-05) Θραύση όλκιμω και ψαθυρώ υλικώ υποκείμεω σε στρέψη. (Κεφ.) Παράδειγμα 3 / σ.356. Δείτε επίσης Λυμέη Άσκηση./σ.37. Προβλήματα για εξάσκηση:.3,.4,.5,.7,.8 / σ. 373-374. 27