Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών

Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών µεταβλητών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης δίδαξε ότι κάθε πεποίθηση προέρχεται είτε από συλλογισµό είτε από επαγωγή (Αναλυτικά Πρότερα, Βιβλίο, Κεφαλαίο 3) Η αποδάσωση προκαλεί αύξηση του συντελεστή απορροής εδοµένο Μοντέλο Συλλογισµός Deductio Αναµενόµενα δεδοµένα Ηπληµµυρική απορροή αυξάνεται µε την αποδάσωση Ηπληµµυρική απορροή αυξάνεται µε την αποδάσωση Επαγωγικό Μοντέλο Επαγωγή Iductio Παρατηρηµένα δεδοµένα Έχει παρατηρηθεί ότι σε αποδασωµένες λεκάνες αυξάνεται η πληµµυρική απορροή ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ εδοµένα (γεγονότα, φαινόµενα) Συλλογισµός Deductio Επαγωγή Iductio Συλλογισµός Deductio Επαγωγή Iductio Υπόθεση (εικασία, θεωρία, µοντέλο) ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

ΜΕΓΕΘΥΝΣΗ ΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΣΤΗ ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ ΕΝΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΥ Σύστηµα που περιγράφεται µόνο από τη µεταβλητή t από τη σχέση: t k* t- *(- t- ) όπου t ο χρόνος Χρονική εξέλιξη Χ t, t Με ελάχιστα διαφορετικές αρχικές συνθήκες o. o. Χρονική εξέλιξη Χ t - t ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΤΙΚΗ -ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ -ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Προσέγγιση της απορροής Προσδιοριστική Στατιστική Στοχαστική Χρονική κλίµακα Χωρική κλίµακα Ικανοποιητική µοντελοποίηση Ανεπαρκής µοντελοποίηση

ΣΧΕΣΗ ΤΕΧΝΙΚΗΣ Υ ΡΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Οι περισσότερες µέθοδοι της τεχνικής υδρολογίας βασίζονται στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική δεδοµένου ότι: Ητύχηείναιάµεσα συνδεδεµένη µε τα υδρολογικά φαινόµενα (πληµµύρες, ξηρασίες) µε αποτέλεσµαναπεριγράφονταισεµικρό ή µεγάλο βαθµόαπότη θεωρία των πιθανοτήτων Η τεχνική υδρολογία στηρίζεται σε µετρήσεις φυσικών µεταβλητών που η επεξεργασία τους προϋποθέτει τη χρήση στατιστικών µεθόδων Ηλήψηαποφάσεωνγιατοσχεδιασµό και τη βέλτιστη λειτουργία των υδραυλικών έργων και των υδατικών συστηµάτων γενικότερα, γίνεται πάντοτε υπό το καθεστώς αβεβαιότητας, ηοποίαµπορεί να ποσοτικοποιηθεί µε την θεωρία των πιθανοτήτων Σηµειώνεται ότι η χρήση των πιθανοτήτων δεν µπορεί να υποκαταστήσει τις µετρήσεις των υδρολογικών µεταβλητών χωρίς τις οποίες είναι αδύνατη η εφαρµογή οποιασδήποτε προσέγγισης. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Σχήµα στατιστικών επεξεργασιών ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ Ν Π ΕΙΓΜΑ (Ν < Ν Π ) ειγµατοληψία Συµπύκνωση πληροφορίας ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Τι πιθανότητα έχει να εµφανιστεί µια τιµή σε συγκεκριµένο διάστηµα Σε τι τιµή αντιστοιχεί κάποια πιθανότητα Εκτίµηση πιθανοτικών µεγεθών ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Συντελεστής διασποράς Συντελεστής ασυµµετρίας Μοντελοποίηση ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΩΝ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Συναρτήσεις κατανοµής και πυκνότητας πιθανότητας Επιλογή θεωρητικής κατανοµής Στατιστικές δοκιµές καταλληλότητας 3

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΜΕΓΙΣΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.75 ) ΙΑΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΑΚΟ ΕΥΡΟΣ (Χ.75 -Χ.5 ) ΙΑΜΕΣΟΣ ΤΙΜΗ (Χ.5 ) ΜΕΓΕΘΟΣ.5*(Χ.75 -Χ.5 ) ΕΩΣ 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΚΑΤΩ ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ (Χ.5 ) ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΤΙΜΗ Χ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ > 3* (Χ.75 -Χ.5 ) ΜΑΚΡΙΝΗ ΕΞΩΤΕΡΙΚΗ ΤΙΜΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ - ΣΧΕΣΗ Μέση τιµή i i Τυπική απόκλιση ( i ) i s ιασπορά s Συντελεστής διασποράς s Τρίτη ροπή 3 ( i ) ( 3 ) i µ Τέταρτη ροπή 4 ( i ) ( 4 ) i µ ( 3) Συντελεστής ασυµµετρίας µ Cs ( ) 3/ ( µ ) ( ) ( ) 3 ( 4) Συντελεστής κύρτωσης * µ Ck ( )*( )*( 3)* µ Μέγιστη τιµή M T. ma{,,..., } Ελάχιστη τιµή. i i ET.. mi{,,..., } Χ..Χ : Οι τιµές της µεταβλητής : Αριθµός δεδοµένων δείγµατος ( ) 4

Χτυχαίαµεταβλήτη Συνάρτηση κατανοµής H πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να είναι µικρότερη ήίσητηςδεδοµένης τιµής ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ( ) P( ) ( ) ( ) ( + ) Πιθανότητα υπέρβασης H πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή να είναι µεγαλύτερη της δεδοµένης τιµής Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Περίοδος επαναφοράς Ο µέσος αριθµός χρονικών διαστηµάτων που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών εµφανίσεων της τυχαίας µεταβλητής µε µέγεθος µεγαλύτερο ή ίσο της δεδοµένης τιµής P( ) ( ) d ( ) ( ) d T ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ( ) N Ν: το σύνολο των στοιχείων του δείγµατος : o αριθµός των τιµών του δείγµατος που δεν υπερβαίνουν την τιµήχ ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) 8 4 8 4 3 4 5 7 8 9 3 4 5 7 8 9 3 4 5 3 4 5 7 8 9 3 4 5 7 8 9 3 4 5 (8)8/5.77% (8)7/5.88% Όµως: ()5/5% ()/5% Για αυτό: ( ) N + 5

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ 4 ΧΡΟΝΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ 4 ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ Παροχή (m3/s) 3 5 5 5 3 Χρόνος (έτη) Συχνότητα (%) 3 5- -5 5- -5 5-3 3-35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Απόλυτη συχνότητα ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ 8 4 5- -5 5- -5 5-3 3-35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) Αθροιστική συχνότητα (%) 8 4 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΟ ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ 5 5 5 3 Ετήσια παροχή (m 3 /s) ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΙΓΜΑΤΟΣ Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μέση τιµή < Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΑΠΟΚΛΙΣΗΣ Μέση τιµή Μέση τιµή Τυπική απόκλιση < Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Τιµές µεταβλητής Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μέση τιµή Μέση τιµή Τυπική απόκλιση Τυπική αποκλιση Συντελεστής ασυµµετρίας -Συντελεστή ασυµµετρίας Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστη κύρτωσης Συντελεστής ασυµµετρίας > Τιµές µεταβλητής Συντελεστής ασυµµετρίας < Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΚΥΡΤΩΣΗΣ Μ.Τ. Μ.Τ. Τ.Α. Τ.Α. Σ.Α. Σ.Α. Συντελεστής κύρτωσης Συντελεστής κύρτωσης 5 Τιµές µεταβλητής Συντελεστής κύρτωσης 3

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Αθροιστική συχνότητα (%) 8 4 3 5 5 5 3 35 Ετήσια παροχή (m 3 /s) -5 5- -5 5- -5 5-3 3-35 35-4 4-45 4 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ετήσια παροχή (m 3 /s) 3 8 4 4 8 Αθροιστική συχνότητα (%) 5 5 5 3 35 4 45 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Ετήσια παροχή (m 3 /s) 3 4 8 Αθροιστική πιθανότητα (%) 7

ΜΕΓΙΣΤΕΣ ΗΜΕΡΗΣΙΕΣ ΠΑΡΟΧΕΣ Προσαρµογή θεωρητικών κατανοµών Weibull Normal LogNormal Galto Epoetial Gamma PearsoIII LogPearsoIII Gumbel Ma EV -Ma Gumbel Mi Weibull GEV Ma GEV Mi Pareto GEV-Ma (k spec.) GEV-Mi (k spec.) Πιθανότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: Κανονική καταν οµή. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%.5..5. 95 9 Κανονική κατανοµή (Gauss) Kατανοµή Gumbel µεγίστων 85 8 75 7 5 55 5 45 4 35 3 5 5 5 ΧΑΡΤΙ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ 4 Περίοδος επαναφοράς (έτη).... 43.5 5 Πιθανότητα υπέρβασης (%) 99.8% 97.7% 84% 5% %.3%.% Ετήσια παροχή (m3/s) 3-4 -3 - - 3 4 Ανηγµένη µεταβλητή Gauss.%.3% % 5% 84% 97.7% 99.8% Συνάρτηση κατανοµής (%) 8

Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Κατανοµής f µ.5*( ) σ ( ) e πσ µ ( ) σ ( ) e π d ( Τ) ( Τ) ma mi ( Τ) + z ( Τ) z + α / + α / S S T T Όρια εµπιστοσύνης S T ˆ σ δ Ν Κ( T ) δ + K( T ) Z( / T ) S T ητυπικήαπόκλισητου T Z +α/ η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής όταν το επίπεδο είναι α% σˆ ητυπικήαπόκλισητουδείγµατος N οαριθµός των παρατηρήσεων του δείγµατος Βήµατα Προσαρµογής Κανονικής Κατανοµής. Εύρεση στατιστικών χαρ/κών δείγµατος (µέση τιµή, τυπική απόκλιση).. Κατάταξη δείγµατος σε φθίνουσα σειρά και αρίθµηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισµός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T(N+)/m. 4. Υπολογισµός πιθανότητας µη υπέρβασης -/T (εµπειρική). 5. Εύρεση τυποποιηµένης µεταβλητής Ζ από πίνακα για κάθε.. Εκτίµηση τιµών µεταβλητής από τα Ζ. + Z * S 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανοµής και δείγµατος µε τα Ζ στον οριζόντιο άξονα. 8. Έλεγχος χ για την καταλληλότητα της κατανοµής 9

ΡΥΘΜΙΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ Κανονική κατανοµή Σε δείγµα τιµών Χiµε µέση τιµή µ και τυπική απόκλιση σ ηπαράµετρος z(i-µ)/σ ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µ, σ είγµα έχειµ, σ5 και ακολουθεί κανονική κατανοµή Ποια είναι η περίοδος επαναφοράς Τ της τιµής Χi5 z(5-)/5 Ποια είναι η τιµή Χi που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ.5 έτη -(/.5),333 84,% Πίνακας (,) z,,843 33.3% Πίνακας (,) Για -.333 z.43 Για.333 z-.43 z Τ(-,843) έτη z-.43 (i-)/5-.43 άρα i7.8 ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ ΠΙΝΑΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Υ ΡΟΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑΣ Α Απόθεµα: hm 3 Μέση τιµή εισροής: hm 3 Τυπική απόκλιση εισροής:3 hm 3 Υ ΡΕΥΣΗ ΠΟΛΗΣ Μέση τιµή ζήτησης: hm 3 Τυπική απόκλιση ζήτησης: hm 3 ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΕΤΗΣΙΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΕΤΟΣ 3 4 5... Μέση τιµή ΤΑΜ. Α 94 85 5 3... 3 ΤΑΜ. Β 5 9 8 8... ΠΟΛΗ 9 7... Τυπική απόκλιση 3 4 ΙΣΟΖΥΓΙΑ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΑΣ Β Απόθεµα: hm 3 Μέση τιµή εισροής: hm 3 Τυπική απόκλιση εισροής:4 hm 3 ΑπΑ+ΑπΒ+ΕισΑ+ΕισΒ-Υδρ> ΑΣΤΟΧΙΕΣ +++5-+55 ΟΧΙ ++94+9-9+4 ΟΧΙ ++85+8--5 ΝΑΙ ++5+8-7+5 ΟΧΙ ++3+-5+ ΟΧΙ...... +++-+3 ΟΧΙ Σύνολο αστοχιών: 3 Πιθανότητα αστοχίας: 3/.3% ΙΑΚΙΝ ΥΝΕΥΣΗ Η πιθανότητα R να πραγµατοποιηθεί µέσα σε έτη τιµή που αντιστοιχεί σε περίοδο επαναφοράς Τ Πιθανότητα µη υπέρβασης σε ένα έτος: - (-/Τ) Πιθανότητα µη υπέρβασης σε έτη: (-/Τ) Πιθανότητα υπέρβασης σε έτη ( ιακινδύνευση): R-(-/Τ) Παράδειγµα Τ έτη έτη R-(-/).55%

Αριθµός κλάσεων (k): 5 Αριθµός παραµέτρων κανονικής κατανοµής: 4 ΟΚΙΜΗ χ Βαθµοί ελευθερίας κατανοµής χ : 5-- Πιθανότητα κλάσης (p i ): % Θεωρητικός αριθµός σηµείων κλάσης (Ν*p i ): 3/5 Ετήσια παροχή (m 3 /s) 3 7.7 4..8 7. Αριθµός σηµείων ανά κλάση (Ν i ) 7 4 8 Αθροιστική πιθανότητα (%) 5 Κλάση 3 4 5 N i 7 5 N*p i (N i -N*p i ) /N*p i,7,7 D,33 % % % % % 4 38 3 34 3 3 8 99,9% 99,5% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % ΟΚΙΜΗ χ Αριθµός κλάσεων (k): 5 Πιθανότητα κλάσης (p i ): % Βαθµοί ελευθερίας Αριθµός παραµέτρων κατανοµής Gumbel: κατανοµής χ : 5-- Θεωρητικός αριθµός σηµείων Πιθαν ότητα υπέρβασης (%) - κλίµακα: κατανοµή Gumbel (Ma) κλάσης (Ν*p i ): 33/5. % 5% % %,5%,%,%,5% 8.3 3.3 9.8.4 4 8 4 8 4 Αριθµός σηµείων ανά κλάση (Ν i ) 7 7 8 4 7 Κλάση 3 4 5 N i 7 7 8 4 7 N*p i..... (N i -N*p i ) /N*p i..,3.. D.39 % % % % %

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΥΠΟΘΕΣΗΣ. Η µεταβλητή χ ακολουθεί την κατανοµή χ µε βαθµούς ελευθερίας. Από τα δεδοµένα του δείγµατος υπολογίζεται η στατιστική παράµετρος D 3. Η µηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγµα ακολουθεί κανονική κατανοµή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σηµαντικότητας α αν D<χ α 8 Πιθανότητα (%) 4 D,33 Q. 4. Q.5. Q. 9. Το D (.33) είναι µικρότερο από 4το χ 8 α για τα συνήθη επίπεδα σηµαντικότητας % (9.), 5% (.), % (4.). Άρα η µηδενική υπόθεση Μεταβλητή (Η χ ) ότι το δείγµα ακολουθεί κανονική κατανοµή γίνεται δεκτή στα συνήθη επίπεδα σήµαντικότητας ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Μ.Α. Μιµίκου, Τεχνολογία υδατικών πόρων, Σελίδα 37 3

ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αποτελέσµατα δοκιµής χ (5 κλάσεις) a% a5% a% a Παράµετρος Κανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 Κανονική (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 Λογαριθµοκανονική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,4%,7 Galto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3, Εκθετική ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,% 3,7 Εκθετικήl(L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,5% 4, Γάµµα ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,%,33 Pearso III ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 8,3% 3, LogPearsoIII ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΑΤ-Ma (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,%,33 ΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ,% 8,33 ΑΤ-Mi (Gumbel) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 ΑΤ3-Mi (Weibull) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5%,7 ΓΑΤ-Ma ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΓΑΤ-Mi ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 9,7%,7 Pareto ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,7%, ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,7%, ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 3,%,33 ΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ ΑΠΟΡΡΙΨΗ,9% 9,33 ΑΤ-Mi ( L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,5% 4,33 ΑΤ3-Mi ( L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. 43,5%,7 Pareto (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,7%,33 ΓΑΤ-Ma (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΑΠΟΡΡΙΨΗ 9,7% 4,7 ΓΑΤ-Mi (κκαθ.) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,3% 3, ΓΑΤ-Ma (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,4%,7 ΓΑΤ-Mi (L-Ροπές) ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ. ΕΝ ΑΠΟΡ.,3% 3, 4

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Στατιστικά χαρακτηριστικά και παράµετροι Πλήθος 3 Μέση τιµή 7,93 Τυπική απόκλιση 48,4 3ηκεντρικήροπή 589,9 Συντελεστής ασυµ.,9 Μέση τιµήτουyl() 5,45 Τυπ. αποκλ. yl(), Τρίτη κεντρ. ροπή -//- -,8 Ασυµετρία -//- -,4 ΛογΚανονική my 5,48 ΛογΚανονική sy,5 Galto my,4 Galto sy, Galto c -38,9 Εκθετική c 4,47 Εκθετική λ, Γάµµαλ 3,38 Γάµµακ, Pearso III κ 8,34 Pearso III λ, Pearso III c -55,79 Λογ Pearso III κ 5,8 Λογ Pearso III λ 8,39 Λογ Pearso III c,4 ΑΤ- (Gumbel) Ma λ 5,8 ΑΤ- (Gumbel) Ma ψ,78 ΑΤ- Ma κ,9 ΑΤ- Ma λ, ΑΤ- (Gumbel) Mi λ 5,8 ΑΤ- (Gumbel) Mi ψ,93 ΑΤ-3 (Weibull) Mi κ,5 ΑΤ-3 (Weibull) Mi λ,5 ΓΑΤ Ma κ -,9 ΓΑΤ Ma λ 8, ΓΑΤ Ma ψ,3 ΓΑΤ Mi κ,5 ΓΑΤ Mi λ,77 ΓΑΤ Mi ψ,9 Pareto κ,4 Pareto λ 8,7 Pareto ψ,5 LΡοπή: L 7,93 LΡοπή: L 84,8 LΡοπή: L3 3,4 LΡ-Κανονική m 7,93 LΡ-Κανονική s 49,37 LΡ-Εκθετική c 4,38 LΡ-Εκθετική λ, LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Ma λ,58 LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Ma ψ,7 LΡ-ΑΤ- Ma κ,39 LΡ-ΑΤ- Ma λ 7,44 LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Mi λ,58 LΡ-ΑΤ- (Gumbel) Mi ψ,8 LΡ-ΑΤ-3 (Weibull) Mi κ,53 LΡ-ΑΤ-3 (Weibull) Mi λ 3,8 LΡ-ΓΑΤ Ma κ -, LΡ-ΓΑΤ Ma λ,99 LΡ-ΓΑΤ Ma ψ,5 LΡ-ΓΑΤ Mi κ, LΡ-ΓΑΤ Mi λ,35 LΡ-ΓΑΤ Mi ψ,8 LΡ-Pareto κ,44 LΡ-Pareto λ 97,5 LΡ-Pareto ψ,3 ΓΑΤ Ma (κκαθ.) κ,5 ΓΑΤ Ma (κκαθ.) λ 9,58 ΓΑΤ Ma (κκαθ.) ψ, ΓΑΤ Mi (κκαθ.) κ,5 ΓΑΤ Mi (κκαθ.) λ 35,7 ΓΑΤ Mi (κκαθ.) ψ,4 LΡ-ΓΑΤ Ma (κκαθ.) κ,5 LΡ-ΓΑΤ Ma (κκαθ.) λ 3,7 LΡ-ΓΑΤ Ma (κκαθ.) ψ,88 LΡ-ΓΑΤ Mi (κκαθ.) κ,5 LΡ-ΓΑΤ Mi (κκαθ.) λ 37, ΟΚΙΜΗ Kolmogorov-Smirov Βασίζεται στη διαφορά µεταξύ της αθροιστικής συνάρτησης κατανοµής ()και του παρατηρηµένου αθροιστικού ιστογράµµατος *() *(Χ (i) )i/ όπου είναι η i µεγαλύτερη παρατηρηµένη τιµή σεδείγµα µε µέγεθος Από τα δεδοµένα του δείγµατος υπολογίζεται η στατιστική παράµετρος D D ma i ( i) ( i) i ( i) [ *( ) ( ) ] ma ( ) Η µηδενική υπόθεση (Η ) ότι το δείγµα ακολουθεί κανονική κατανοµή γίνεται δεκτή σε κάποιο επίπεδο σηµαντικότητας α αν D<c i ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ c Μέγεθος α. α.5 α. δείγµατος 5.5.5.7.37.4.49 5.3.34.4..9.35 5.4..3 3..4.9 4.9..5 >4./ /.3/ /.3/ / 5

ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 95% Κανονική κατανοµή. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%.5..5. 95.5% 9 85 8 75.5% 7 5 55 5 45 4.5% 35 3.5% 5 5 5 ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ α% ( Τ) ( Τ) ma mi ( Τ) + z ( Τ) z + α / + α / S S T T Z +α/ η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής S T σˆ N η τυπική απόκλιση του T S T ˆ σ δ Ν Η τυπική απόκλιση του δείγµατος Οαριθµός των Ν παρατηρήσεων του δείγµατος

ΟΡΙΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Κανονική κατανοµή Χ(Τ)ma(T)+z( +a)/ ) *S T. 99,95% 99,9% 99,8% 99,5% 99% 98% 95% 9% 8% 7% % 5% 4% 3% % % 5% % %,5%,%,%,5%.5. (+a)/.5. 95 9 85 8 75 7 (+a)/ 5 55 5 45 Χ(Τ)mi(T)-z( +a)/ ) *S T 4 35 3 5 5 Χ() Χ(Τ)m+Z (-/T) *s 5 T, -/T 99%, z 99%.33 a95% +a/97.5% z 97.5%.9 f ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜH Συνάρτηση Πυκνότητας Συνάρτηση Κατανοµής Πιθανότητας l µ Υ ( ) σ Υ ( ) * e πσ Y Εκτίµηση παραµέτρων (µέθοδος ροπών) l s µ Υ ( σ Υ ( ) * e s πσ Y ) Sl l( + S / l l S l / z l Χειρισµός της κατανοµής l zs + l l l S zs l l + l e Z η µεταβλητή της τυποποιηµένης κανονικής κατανοµής 7

Βήµατα Προσαρµογής Λογαριθµικής Κανονικής Κατανοµής. Εύρεση στατιστικών χαρ/κών λογαρίθµων δείγµατος (µέση τιµή, τυπική απόκλιση).. Κατάταξη λογαρίθµων δείγµατος σε φθίνουσα σειρά και αρίθµηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισµός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T(N+)/m. 4. Υπολογισµός πιθανότητας µη υπέρβασης -/T (εµπειρική). 5. Εύρεση τυποποιηµένης µεταβλητής Ζ από πίνακα για κάθε.. Εκτίµηση τιµών παροχών από τα Ζ. e zs l + 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανοµής και δείγµατος µε τα Ζ στον οριζόντιο άξονα. 8. Έλεγχος χ για την καταλληλότητα της κατανοµής. l ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBEL ΜΕΓΙΣΤΩΝ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) c, 45 a,8 / S S Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f ( ) ae a( c) e a ( c ) ( ) e e Συνάρτηση Κατανοµής a ( c) l( l ) l( l( / T )) ( T ) c c a a S [,45 +,7797 l{l( T ) l( T )}] Όρια εµπιστοσύνης ( T ) + k( T )* k ( T ).45.78 * l( l( / T )) S ( T ) + T, ( T ) ± +.39* k( T ).* k( ) S 8

Βήµατα Προσαρµογής Κατανοµής Gumbel (µέθοδος ροπών). Εύρεση στατιστικών χαρ/κών δείγµατος (µέση τιµή, τυπική απόκλιση).. Υπολογισµός παραµέτρων α και u. a,8 / S u, 45S 3. Κατάταξη δείγµατος σε φθίνουσα σειρά και αρίθµηση των παρατηρήσεων. 4. Προσδιορισµός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T(N+)/m. 5. Υπολογισµός πιθανότητας µη υπέρβασης -/T (εµπειρική).. Εύρεση για κάθε -/Τ της νέας παροχής απ ευθείας από τον τύπο της θεωρητικής κατανοµής Gumbel. S [,45 +,7797 l{l( T ) l( T )}] 7. Σχεδίαση θεωρητικής κατανοµής και δείγµατος µε την ποσότητα l(lt-l(t-)). 8. Έλεγχος χ για την καταλληλότητα της κατανοµής. ΚΑΤΑΝΟΜΗ GUMBEL ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) c +, 45 a,8 / S S Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f ( ) ae a( c) e a ( c ) Συνάρτηση Κατανοµής ( ) e e a ( c ) l( l( ) l( l(/ T )) ( T ) c + c + a a 9

σ µ Παράµετροι (µέθοδος ροπών) Γ( + ) + k Γ( + ) k µ c Γ( + ) k ΚΑΤΑΝΟΜΗ WEIBULL f Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ( ) Συνάρτηση Κατανοµής k c *( ) c ( ) e k e ( / c) k k ( / c) / [ ] k / l( ) c *[ l(/ T )] k ( T ) c * µ, σ µέση τιµή και τυπική απόκλιση του δείγµατος c, κ παράµετροι της κατανοµής Weibull Γ() συνάρτηση Γάµα f ΚΑΤΑΝΟΜΗ LOG PEARSON III Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας ( ) κ λ *l( c) Γ( κ) κ e λ(l c) Συνάρτηση Κατανοµής ( ) e c κ λ Γ ( κ ) * (l s c ) κ e λ (l s c ) ds Χειρισµός της κατανοµής z l S l l zs zs l l l + l l + e Το Ζ υπολογίζεται από πίνακες µε βάση την πιθανότητα εµφάνισης και το συντελεστή ασυµµετρίας της l

Κατανοµή Log Pearso III Συνάρτηση Πυκνότητας Πιθανότητας f ( ) κ λ *l( c) Γ( κ) κ e λ (l c) Συνάρτηση Κατανοµής ( ) c e κ λ * (l Γ ( κ ) s c ) κ e λ (l s c ) ds Παράµετροι c: παράµετρος κλίµακας λ> παράµετρος σχήµατος κ> παράµετρος σχήµατος ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ PEARSON III Μ.Α. Μιµίκου, Τεχνολογία υδατικών πόρων, Σελίδες 33-3

Βήµατα Προσαρµογής Λογαριθµικής Pearso ΙΙΙ Κατανοµής. Εύρεση στατιστικών χαρ/κών λογαρίθµων δείγµατος (µέση τιµή, τυπική απόκλιση, συντελεστής ασυµµετρίας).. Κατάταξη λογαρίθµων δείγµατος σε φθίνουσα σειρά και αρίθµηση των παρατηρήσεων. 3. Προσδιορισµός Περιόδου Επαναφοράς από τον τύπο του Weibull T(N+)/m. 4. Εύρεση από Πίνακα Log Pearso των συντελεστών συχνότητας Κ(Τ) µεβάσητο g του δείγµατος και τα διάφορα Τ. 5. Εκτίµηση νέων θεωρητικών τιµών παροχών από τις σχέσεις: y ( T ) και e l + K ( T ) * S l,, ( T ) y( T ). Γραµµική παλινδρόµηση µεταξύ λογαρίθµων δείγµατος y(t) και Κ(Τ) µεσκοπό την καλύτερη προσαρµογή των σηµείων y(t), K(T), έτσι ώστε η ευθεία να y(t)m+k(t)*c να προσεγγίζει κατά το δυνατόν την ευθεία. 7. Εύρεση διορθωµένου y (T) από τη σχέση y (T) m + K(T)*C, 8. (T) e y (T). 9. Πλοτάρισµα θεωρητικής κατανοµής και δείγµατος µεταk(t) στον οριζόντιο άξονα.. Έλεγχος χ για την καταλληλότητα της κατανοµής. ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ p( / N) N p N!!( N )! N N p *( p) * q Ηδιωνυµική κατανοµή δίνει την πιθανότητα να έχουµε επιτυχίες σε Ν δοκιµές όπου p η πιθανότητα επιτυχίας κάθε δοκιµής και q-p η πιθανότητα αποτυχίας κάθε δοκιµής Παράδειγµα Η πιθανότητα να εµφανιστεί η τιµή µε πιθανότητα %, 3 φορές σε 5 χρόνια είναι (5!/(3!*!))*.^3*.8^ (5-3).5