Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων

Κεφ. : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας (Λύσεις) 569 Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Λύσεις των Ασκήσεων ) Α Β Γ, ( Α Β Γ) ( Α Β Γ) ( Α Β Γ ), Α Β Γ. 4) Έστω τα σημεία Α, Β. Αν το Α κατέχει μια οιαδήποτε θέση στην περιφέρεια, τότε το Β πρέπει να βρεθεί σε τόξο 6 εκατέρωθεν του Α. Ο δειγματικός χώρος και οι ευνοϊκές περιπτώσεις εκφράζονται σε μοίρες, έτσι, σύμφωνα με την κλασσική μέθοδο έχουμε πιθανότητα =. 6 5) Όλες οι δυνατές αδες στο ΠΡΟΠΟ δίνονται από το καρτεσιανό γινόμενο S S S S όπου = { } =..., S,, x. Άρα n= n n... n =. 6) Ορίζουμε τα γεγονότα Α={τουλάχιστον δύο από τα παιδιά έχουν γενέθλια την ίδια μέρα} και Α = {κανένα από τα παιδιά δεν έχει γενέθλια την ίδια μέρα με κάποιο άλλο}. Έτσι, 65 64 6 46 PΑ ( ) = ΡΑ ( ) = 65 65 65 65 7) Όλες οι δυνατές εξάδες από 6 παπούτσια είναι οι συνδυασμοί C(6, 6). Όλες οι ευνοϊκές περιπτώσεις όπου υπάρχει τουλάχιστον ένα ζευγάρι είναι C = (4, 4) 8 8. Άρα, από την κλασσική μέθοδο προκύπτει η πιθανότητα C(4, 4) 8 8 = C(6, 6) 8) Ορίζουμε τα γεγονότα Α = {στη ζώνη το σημείο βρίσκεται σε μία στήλη}, Α i = {στη ζώνη i το σημείο βρίσκεται σε στήλη διάφορη από την στή-

57 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων λη της i, i, ζώνης} για i =,,, k. Έτσι, έχουμε PΑ ( Α Α ) = κ = PΑ ( ) PΑ ( / Α) PΑ ( Α Α) PΑ ( κ Α Ακ ) =! = κ κ κ = κ κ. κ κ κ κ κ Λύσεις των Προβλημάτων ) Ν( Α Β ) = 67, ΝΒ ( ) = 5, Ν( Α Β ) = 87. ) = S { Δ Δ, Δ Δ, Δ Δ, Δ Δ }, όπου Δ i είναι τα ενδεχόμενα ότι ο i διακόπτης είναι ανοικτός. Το γεγονός διακοπής ρεύματος, Δ, περιέχει τα ακόλουθα δειγματοσημεία, Δ= { Δ Δ, Δ Δ, Δ Δ }. ) Δ Δ Δ Δ 4, Δ ( Δ Δ ) Δ. 4 4) Ε= Ε Ε Ε ( ). 5) S S γ) S A Β Γ A Β A Β Γ Γ

Κεφ. : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας (Λύσεις) 57 6) 5 Γ βάρος 75 5 Β A 5 7) R A 56 άτομα γ) R A, S 66,6 E S R B 66,6, R B δ) Παρόμοια με την γραφική παράσταση του ερωτήματος (γ). ε) οι πιθανότητες προκύπτουν από τα σχηματικά εμβαδά της Ε και Ε. 8) PΑ ( ) + PΒ ( ) + PΓ ( ) PΑ ( Β) PΑ ( Γ) PΒ ( Γ) + PΑ ( Β Γ ) = =,+, +,5,6,, +,9 =,8 PΑ ( Β) + PΑ ( Γ) + PΒ ( Γ) PΑ ( Β Γ ) = =,8+,5+,5,9 =,9. γ) PΑ ( Β Γ ) =,65,8+, =,5.

57 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα. Θεώρημα Bayes. Ανεξαρτησία & Συναφείς Έννοιες Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Λύσεις των Ασκήσεων ) 5 9 6 4 4 6 4 6 4 6 4 + + + = 9876 9876 9876 9876 ) ΡΒ ( Α) ΡΒ ( Α) P( Β Α) > Ρ( Β) > Ρ( Β) > Ρ( Α) ΡΑ ( ) ΡΒ ( ) PΑΒ ( / ) > ΡΑ ( ) ) Θεωρούμε την διαμέριση Α = {τοποθετούμε στο κουτί μ κόκκινες} Α = {τοποθετούμε στο κουτί μ μαύρες}, και Β = {στη δεύτερη επιλογή η σφαίρα είναι κόκκινη}. Σύμφωνα με την ολική πιθανότητα: Ρ(Β) = Ρ(Β Α ) Ρ(Α ) + Ρ(Β Α ) Ρ(Α ) = λ+ μ λ λ κ λ( λ+ μ+ κ) λ = + = =, κ+ λ+ μ κ+ λ κ+ λ+ μ κ+ λ ( κ+ λ+ μ)( κ+ λ) κ+ λ ΡΒΑ ( ) ΡΑ ( ) λ+ μ και ΡΑ ( Β) = = ΡΒ ( ) κ + λ + μ ν ν ν + + + + = ( ) + ( ) + ( ) + + = ν ν ν ν ν ν ν ν ν 4) ( ν ν ν ) = (( ν )( ν)/) = ν ν ν 5) ΡΑ ( Μ) = ΡΑ ( ) + ΡΜ ( ) ΡΑ ( Μ) =,6+,8 ΡΑ ( Μ ) ΡΑ ( Μ ),4.

Κεφ. : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα. Θεώρημα Bayes... (Λύσεις) 57 6) Ορίζουμε την διαμέριση Α = {η εξετασθείς έχει την ασθένεια}, Α = {η εξετασθείς δεν πάσχει από την ασθένεια}. Αν Β είναι το γεγονός Β = {το τεστ είναι θετικό}, τότε έχουμε, ΡΒ ( ) = ΡΒ ( Α) ΡΑ ( ) + ΡΒ ( Α) ΡΑ ( ) =,5,8 +,95,9 =,4 +,874 =,94.,5,8,4 ΡΑ ( Β) = = =,48.,94,94 Ρ( Β Β ) = Ρ( Β Β Α) Ρ( Α) + Ρ( Β Β Α ) Ρ( Α ) = =,5,8 +,95,9 =, +,8 =,85.,5,8, ΡΑ ( Β Β) = = =,4.,85,85 7) Ορίζουμε την διαμέριση Α = {ο πίνακας είναι αυθεντικός}, Α = {ο πίνακας είναι αντίγραφο}. Αν Β είναι το γεγονός, Β = {ο εμπειρογνώμων κρίνει τον πίνακα ως αυθεντικό}, τότε έχουμε, ΡΒ ( ) =,8 +, =,666 +, =,7,666 ΡΑ ( Β= ) =,958,7,,8 ΡΑ ( Β= ) =,556, ΡΑ ( Β= ) =,444,, 9 Ρ = ( αυθεντική επιλογή ) =,556 +,444 =,8585 8) ΡΑ ( Β) = ΡΑ ( ) + ΡΒ ( ) ΡΑΡΒ ( ) ( ),7 =,4 + Ρ,4 Ρ, = Ρ,6 Ρ =,5,7 =,4 + Ρ Ρ =, 9) ΡW ( R) =, ΡW ( ) =, ΡR ( ) =!!!

574 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων ΡW ( R) ΡW ( ) ΡR ( ) διότι W, R όχι ανεξάρτητα. 6 6 6 ) Η πιθανότητα ότι ο μηχανικός επιστρέφει με την ομπρέλα του είναι,75 και χωρίς,75. Έτσι, από την πιθανότητα της ένωσης έχουμε το ζητούμενο (,75 ) + (,75 ) (,75 ). ) Ορίζουμε ως διαμέρισμα τα γεγονότα Α = {το νόμισμα είναι κανονικό}, Α = {το νόμισμα φέρει και στις δύο όψεις Γ}, έτσι έχουμε, Ρ ΓΓΓ = Ρ ΓΓΓ Α Ρ Α + Ρ ΓΓΓ Α Ρ Α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 + = + = 4 4 4 4 8 ΡΑ ( ΓΓΓ) = = = /4 ) 58 4 68 ΡΑ ( ) =, ΡΒ ( ) =, ΡΑ ( Β) = 94 94 94 58 4 68 86 ΡΑ ( Β) = + = 94 94 94 94 46 ΡΑ ( Β) =, ΡΑ ( Β) = 94 94 ) Ορίζουμε τα γεγονότα, Α = {το σημείο της ζώνης βρίσκεται σε οιαδήποτε στήλη}, Α i = {το σημείο της ζώνης i βρίσκεται σε στήλη διάφορη από την στήλη της i, i,, ζώνης} για i. Έτσι η ζητούμενη πιθανότητα είναι ΡΑ ( Α Ακ) = ΡΑ ( ) ΡΑ ( / Α) ΡΑ ( κ/ ΑΑ Ακ ) = κ κ κ κ! = = κ κ κ κ κ κ 4) Αν η οικογένεια έχει κ παιδιά τότε

Κεφ. : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα. Θεώρημα Bayes... (Λύσεις) 575 κ κ >,9 >,9 κ κ <, > κ 5 κ Α 5) Η πιθανότητα ένα σημείο να πέσει στην δοθείσα επιφάνεια Α είναι, πλ Ν Α και να μην πέσει είναι. Γι αυτό, η πιθανότητα Ν σημεία να μην πλ Ν πέσουν στην επιφάνεια Α είναι Ν Α. πλ Ν Το όριο της πιθανότητας αυτής για Ν είναι e Α πλ. Λύσεις των Προβλημάτων ) Αν Δ i και Σ i είναι τα γεγονότα αστοχίας της i δοκού και i σχοινιού αντίστοιχα τότε έχουμε, γ) 4 4 ΡΔ ( Δ Δ Δ) ΡΣ ( Σ Σ) = (,998 ),996 4 4 ΡΣ ( Σ Σ) ΡΔ ( Δ Δ Δ) = (,996 ),998 4 4 ΡΔ ( Δ Δ Δ Σ Σ Σ) =,998,996 ) Αν Ρ είναι η πιθανότητα να στρίψει δεξιά, τότε Ρ+ Ρ+ Ρ+ Ρ= 6Ρ= E Ρ=, Ρ = 6 6 Ρ+ Ρ= Ρ = t t ) Αν δεν έχουμε άλλη πληροφορία h ζητούμενη πιθανότητα είναι. Τ Αν γνωρίζουμε ότι δεν έγινε στο διάστημα [, t ], διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:

576 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων t t Τ t t t Τ t Τ t 4) Έστω η διαμέριση Α = {η πρώτη σιδηροδοκός φέρει ράγισμα} και Ā = (η πρώτη σιδηροδοκός δεν φέρει ράγισμα}. Τότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι η ολική πιθανότητα. 4 5 4 5 5 ΡΑ ( ) + ΡΑ ( ) = + = = 4 4 4 5 4 5 4 5 5 Ορίζουμε περισσότερα γεγονότα στην διαμέριση, όσο αφορά τις δύο πρώτες σιδηροδοκούς, Α = {καμία δεν φέρει ράγισμα}, Α = {μία μόνο φέρει ράγισμα}, Α = {και οι δύο φέρουν ράγισμα}. Εκτιμούμε τις πιθανότητες Ρ(Α ), Ρ(Α ) και Ρ(Α ) και στη συνέχεια εφαρμόζουμε την ολική πιθανότητα, 5 4 ΡΑ ( ) + ΡΑ ( ) + ΡΑ ( ) 5) Ρ( ( Π Π Π ) ( Π Π Π ) ( Π Π Π ) ( Π Π Π )) = =,9,7,4+,4,,6+,,7,6+,9,7,6 =,5 +,6 +,4 +,78 =,84 ΡΠ ( Π Π,9,,4,8 = = =,85,66,66,66 6) Ορίζουμε σαν διαμέρισμα τα γεγονότα Α, Α, Α, Α 4, τα οποία παριστάνουν σε ποια λωρίδα εισέρχεται ο μοτοσυκλετιστής, και είναι ισοπίθανα. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε την ολική πιθανότητα. Το ακόλουθο σχήμα είναι ένα καλό βοήθημα. 7) Εφαρμόζουμε την ολική πιθανότητα με γεγονότα διαμέρισης τον τύπο των δομικών μηχανών, Α = {νέου τύπου}, Α = {παλαιού τύπου}.,8 ΡΑ ( ), ΡΑ ( ) =,8,4 +,,6 =,44

Κεφ. : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα. Θεώρημα Bayes... (Λύσεις) 577 8) Ορίζουμε σαν διαμέριση τα γεγονότα που αντιστοιχούν στα σήματα που 4 στέλνονται, Α= {}, Α = { } και προφανώς ΡΑ ( ) =, ΡΑ ( ) =. 5 5 Έτσι, το γεγονός Β, ένα σήμα να καταφθάσει σαν παύλα, δίνεται από την ολική πιθανότητα, 4 5 ΡΒ ( ) = ΡΒΑ ( ) ΡΑ ( ) + ΡΒΑ ( ) ΡΑ ( ) = + = + =. 4 5 5 6 6 6 Γι αυτό η ζητούμενη πιθανότητα δίνεται από το θεώρημα του Bayes, 4 5 6 ΡΑ ( Β) = = = 5/ 6 5 5 6 9) Αν Β και Β συμβολίζουν τα γεγονότα ότι ο πρώτος και ο δεύτερος έλεγχος είναι θετικοί αντίστοιχα, τότε από την ολική πιθανότητα προκύπτει το ζητούμενο. Ρ Β Β = Ρ Β Β Α Ρ Α + Ρ Β Β Α Ρ Α ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =,9, +,,4 =,8+,9 =,9 ΡΒ ( Β Α),8 8 = = = ( ),9 9 ΡΑ ( Β Β) ΡΒ Β ) Η πιθανότητα αποτυχίας του κυκλώματος είναι, [, (, +,,)] +, [, (, +,,)] +, =,96. Η δε πιθανότητα λειτουργίας του είναι η συμπληρωματική,,9684. ) Ορίζω τα γεγονότα: Α : {το πεζοδρόμιο γίνεται αποδεκτό με βάση την ένδειξη του οργάνου} Π : {το πεζοδρόμιο πληροί τις προδιαγραφές} Π : {το πεζοδρόμιο δεν πληροί τις προδιαγραφές} από την ολική πιθανότητα έχω, ΡΑ ( ) = ΡΑΠΡΠ ( ) ( ) + ΡΑΠΡΠ ( ) ( ) =,75,85+,5,5

578 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων εφαρμόζω το θεώρημα Bayes, ΡΠΡΑΠ ( ) ( ),85,75 ΡΠ ( / Α) = = = ΡΑ ( ) ) Προφανώς η ζήτηση ικανοποιείται όταν Ι + S > d Αυτό συμβαίνει όταν συμβεί τουλάχιστον ένα από τα γεγονότα, Α= { d < I + S < d+ c} ή Β= { Ι + S > d+ c} άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι η πιθανότητα της ένωσης των Α, Β: ΡΑ ( Β) = ΡΑ ( ) + ΡΒ ( ) ΡΑ ( Β) =,6+, =,9 ) Η κάθε εταιρία παίρνει από κάθε κριτή βαθμό,,, με πιθανότητα,5 αντίστοιχα. Η εταιρία Ε θα έχει συνολικό βαθμό 4 όταν συμβεί μία από τις ακόλουθες περιπτώσεις: (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ). Η πιθανότητα της ένωσης των ενδεχομένων, τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους, είναι η πιθανότητα ότι η εταιρία Ε θα συγκεντρώσει βαθμό 4. ΡΑ ( ) = ΡΑ ( Α Α ) = ΡΑ ( ) + ( Α) + + Α ) αλλά ΡΑ ( ) = ΡΑ ( ) = = ΡΑ ( ) =,5 άρα 6 ΡΑ= ( ) =. 64 Η κάθε εταιρία έχει την ίδια πιθανότητα να συγκεντρώσει τον βαθμό 4, 6. Παρόμοια βρίσκουμε και την πιθανότητα ότι η κάθε εταιρία θα πάρει συνολικά 5 ή λιγότερο; 4) Ορίζω τα γεγονότα, Α = {ευαισθητοποιείται η συσκευή Α} Β = {»» Β} ( ) Ρ ( Α Β) ( Α Β) = Ρ( Α Β) + Ρ( Α Β) = ΡΑ ( ) ΡΒ ( ) + ΡΑ ( ) ΡΒ ( )

Κεφ. : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα. Θεώρημα Bayes... (Λύσεις) 579 =,8, +,,8 =, με την προϋπόθεση ότι τα γεγονότα Α, Β είναι στατιστικώς ανεξάρτητα. ΡΑ ( Β) = ΡΑ ( ) + ΡΒ ( ) ΡΑ ( Β) =,8 +,8,64 =,96 γ) Ορίζω το γεγονός Ε, Ε = {εντοπίζεται η ακριβής θέση του μετάλλου} ( ) ( ) ΡΕ ( ( Α Β) ) ΡΑ ( Β ) ΡΕ ( ) = ΡΕ ( Α Β) ΡΑ ( Β) + ΡΕ ( Α Β) ΡΑ ( Β) 5) Ορίζω τα γεγονότα, + =,7,6 +,5,6 +,9,64 Α = {συμβαίνει πλημμύρα λόγω καταιγίδων} Β = {συμβαίνει πλημμύρα λόγω σεισμού} ΡΑ ( Β) = ΡΑ ( ) ΡΒ ( ) =,95,964 διότι, ΡΑ= ( ),95 ΡΒ ( ) =,96 +,4, =,964 ΡΑ ( Β) = ΡΑ ( ) + ΡΒ ( ) =,5,,4, =,46 6) Ορίζω τα γεγονότα, Α = {η μέση ποσότητα νερού ξεπερνιέται στην λίμνη Α} Β = {»»»»»» Β}. Έτσι, προκύπτουν και τα γεγονότα της διαμέρισης, Α = {καμία λίμνη δεν ξεπερνά την μέση ποσότητα νερού} = Α Β Α = {μόνο μία λίμνη ξεπερνά την μέση ποσότητα νερού}= ( Α Β) ( Α Β) Α = {και οι δύο λίμνες ξεπερνούν την μέση ποσότητα νερού} = Α Β με τις αντίστοιχες πιθανότητες, ΡΑ ( ) = ΡΑ ( Β) = ΡΑ ( ) + ΡΒ ( ) ΡΑ ( Β) ( ) = (,7 +,6,) = =

58 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων ( ) ΡΑ ( ) = Ρ( Α Β) ( Α Β) = ΡΒ ( + Α) + ΡΑ ( Β) = ΡΒ ( ) ΡΑ ( Β) + ΡΑ ( ) ΡΑ ( Β) =,7 ΡΑ ( ) = ΡΑ ( Β) =,. Αν Ε είναι το γεγονός της ικανοποιητικής παροχής νερού, τότε από την ολική πιθανότητα έχουμε, ΡΕ ( ) = ΡΕ ( Α) ΡΑ ( ) + ΡΕ ( Α) ΡΑ ( ) + ΡΕ ( Α) ΡΑ ( ) =, +,6,7 +,95, =,4 +,85 =,75 7) Ορίζω τα γεγονότα, Α = {δεν συμβαίνει πυρκαϊά} Α = {συμβαίνει μια πυρκαϊά} Α = {συμβαίνουν δύο πυρκαϊές} Ε = {το δάσος δεν καίγεται} Από την ολική πιθανότητα έχουμε, ΡΕ ( ) = ΡΕ ( Α) ΡΑ ( ) + ΡΕ ( Α) ΡΑ ( ) + ΡΕ ( Α) ΡΑ ( ) =,75+,7,+,7,5 =,75+,4 +,49,5 =,945 Είναι η πιθανότητα της τιμής τριών γεγονότων,,945 8) Ορίζω τα γεγονότα Ι = {Ισχυρός σεισμός} Α = {Ασθενής σεισμός} Μ = {Μέτριος σεισμός} Ζ = {Υπάρχουν ζημίες λόγω σεισμού} ΡΙ ( ) + ΡΜ ( ) + ΡΑ ( ) =

Κεφ. : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα. Θεώρημα Bayes... (Λύσεις) 58 ΡΜ ( ) + ΡΜ ( ) + ΡΜ ( ) = S 5 ΡΜ ( ) = ΡΙ ( ) = 6 6 Εφαρμόζουμε την ολική πιθανότητα, ΡΖ ( ) = ΡΖ ( ΑΡΑ ) ( ) + ΡΖ ( Μ) ΡΜ ( ) + ΡΖ ( ΙΡΙ ) ( ) 5 =, +,5 +,4 6 6 6,5,4,65 = + + = 6 6 6 6 γ),65 6 9) Α= Α Α ΡΑ ( ) = ΡΑ ( ) + ΡΑ ( ) ΡΑ ( Α) =,5+,5 ΡΑ ( ) ΡΑ ( / Α) =, +,5,, =, R= ( Α Α Β) = ( Α Β) ΡR ( ) = ΡΑ ( Β) = ΡΑ ( ) + ΡΒ ( ) ΡΑ ( Β ) γ) Ρ[ ( Α Β) R] =, +,8 5 ΡΑ ( ) ΡΒΑ ( / ) =, +,4, =,4 [ ] Ρ ( Α Β) ( Α Β) ΡΑ ( Β) = = ΡR ( ) ΡR ( ) ΡΑ ( ) ΡΑ ( Β),, = = = =,4,4,4 ) Η εξέλιξη του αρχικού σωματιδίου μπορεί να παρασταθεί με δένδρο.

58 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων X X X / /6 / /6 / / 4 Από το δένδρο, ή με ολική πιθανότητα υπολογίζω, ΡΧ ( = ) = ΡΧ ( = Χ = ) ΡΧ ( = ) + ΡΧ ( = Χ = ) + ΡΧ ( = ) + + ΡΧ ( = Χ = ) ΡΧ ( = ) όλες οι πιθανότητες είναι προφανείς, εκτός της ΡΧ ( = Χ= ) = + = 6 6 6 άρα ΡΧ ( = ) = + + = 6 6 6 6 8 Τέλος εφαρμόζω το θεώρημα Bayes, ΡΧ ( = ) ΡΧ ( = Χ= ) ΡΧ ( = Χ = ) = = ΡΧ ( = ) 6 6 6 = = = 8 6

Κεφ. : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα. Θεώρημα Bayes... (Λύσεις) 58 ) Ε= Β Β Α F = ( Β Β ) Α [( ) ( ) ] Μ = Β Β Β Β Α ΡΒ ( Β Α) = ΡΒ ( ) ΡΒ ( ) ΡΑ ( ) =,98,5,9 γ) ΡΕ ( ) = ΡΒ ( ) ΡΒ ( ) ΡΑ ( ) =,98,95,9 ΡF ( ) = ΡΒ ( Β) ΡΑ ( ) = (,+,5,),8 [ ] [ Ρ Β Ρ Β Β Ρ Β Ρ Β Β ] ΡΜ ( ) = Ρ( Β Β) ( Β Β) ΡΑ ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ),9 = [,,+,5,],9

584 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Λύσεις των Ασκήσεων ) Όλες οι δυνατές τριάδες του πειράματος είναι S = {(,, ) (,, 4), (,, 4), (,, 4), (,, 5), (,, 5), (, 4, 5), (,, 5), (, 4, 5), (, 4, 5)} Έτσι, τα γεγονότα {Χ=}, {Χ=} και {Χ=} είναι ισοδύναμα με τα ακόλουθα υποσύνολα του S, {X=} = {(,, ), (,, 4), (,, 4), (,, 5), (,, 5), (, 4, 5)} {X=} = {(,, 4), (,, 5), (, 4, 5)} {X=} = {(, 4, 5)} Άρα, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας, f(x), της τυχαίας μεταβλητής X={,, }, έχει τις ακόλουθες τιμές 6 ΡΧ= ( ) = ΡΧ= ( ) = ΡΧ= ( ) = Εύκολα υπολογίζουμε και την αθροιστική F(x). ) Όλα τα δυνατά ενδεχόμενα του πειράματος είναι, S = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} και η τυχαία μεταβλητή X έχει το ακόλουθο πεδίο τιμών X = {,, 4, 5, 6} με πιθανότητες, ΡΧ ( = ) =, ΡΧ ( = ) =, ΡΧ ( = 4) = 9 9 9

Κεφ. 4: Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας (Λύσεις) 585 ΡΧ ( = 5) = και ΡΧ ( = 6) = 9 9 ) Όλες οι δυνατές τριάδες του πειράματος είναι,! C (,, ) = = = ( )!! όλες οι δυνατές τριάδες όπου κανένα δεν είναι ελαττωματικό είναι 7! 5 6 7 C (7, ) = = = 5 (7 )!! 5 7 άρα ΡΧ= ( ) = = 44 Όλες οι δυνατές τριάδες όπου το ένα είναι ελαττωματικό είναι 7! 6 7 5 C(7,) = 5 = 5 = 5 (7 )!! 5 άρα ΡΧ= ( ) = = 44 Παρόμοια βρίσκουμε και τις πιθανότητες Ρ(Χ=), Ρ(Χ=). Στη συνέχεια η αθροιστική υπολογίζεται εύκολα από τον ορισμό της. 4) Διερευνώ την βασική ιδιότητα της μάζας πιθανότητας της μεταβλητής X, x= f( x) = /4+ + + 4 4 = /4 = = /4 4 /4 ΡΧ= ( ) = ( /4) 4 ΡΧ ( ) = ( /4) 4 x= ΡΧ ( > ) = ΡΧ ( ) ΡΧ ( ) = ΡΧ ( = ) x 5) Από την γραφική παράσταση της αθροιστικής πιθανότητας

586 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων F(x),7, - x Παρατηρούμε ότι στα σημεία, και γίνονται άλματα ΡΧ= ( ) =,, ΡΧ= ( ) =,5 και ΡΧ= ( ) =,. Άρα η τυχαία μεταβλητή είναι μικτού τύπου γι αυτό έχουμε την ακόλουθη συνάρτηση μάζας και πυκνότητας πιθανότητας, PX ( = ) =, για x= df( x) d(,) f( x) = = = για < x< dx dx PX ( = ) =,5 για x= f( x) = df( x) d(,7) f( x) = = = για < x< dx dx PX ( = ) =, για X= αλλού 6) Χ = {,,, 4,, } 9 9 8 ΡΧ ( = ) =, ΡΧ ( = ) = =, ΡΧ ( = ) = = 9 9 8 9 8 7 9 8 7 6 5 4 ΡΧ ( = 4) = =,, ΡΧ ( = ) = = 9 8 7 9 8 7 6 5 4 7) f ( x) dx = 6 x( x) dx = 6 xdx x dx = x = 6 = 6 =. x x x u u x x F( x) = 6 u(- u) du= 6 = 6

Κεφ. 4: Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας (Λύσεις) 587 u για x< ( ) x x F x = 6 για x για x > 8) Γνωρίζουμε ότι f( x) = b u και ( ) b+ u Ε X = = b= α και f( x) = α α = α = α x α Ρx ( < ) = dx= α α = α ( () α = = = α α α διότι α< + α = + α = 4α α α = α= και b = f( x ) = 6 Έτσι μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε τις ζητούμενες πιθανότητες ολοκληρώνοντας την f(x). Όμως Ρ(Χ=,5) =, εξ ορισμού της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Χ. 9) Όπως φαίνεται στο σχήμα όταν η απόσταση ενός σημείου από το πιο γειτονικό του είναι x, τότε στην επιφάνεια Α = πx δεν υπάρχει άλλο σημείο. Γι αυτό μπορούμε να γράψουμε ΡΧ ( > x) = exp( Απλ / ), ή F( x) = Ρ( Χ > x) = exp( Α/ πλ ), και συνεπώς λν / x x df( x) f( x) = = xλ exp. dx λ

588 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Λύσεις των Προβλημάτων,8,8,75,75 ) ΡΧ> (,75) = dx = [ x] =,5 =, Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) πρέπει να επικεντρωθεί,5 +,75 στην τιμή =,5. ) γ) ) ΡΧ ( > ) = e = e =,498 ΡΧ ( < ) = e = e =,68 Ρ( < Χ ) = e + e = e + e =,5 Τέλος, έχουμε να υπολογίσουμε την τιμή x, έτσι ώστε ( ), ή x x < = =, ή =,9 ΡΧ x e e x ή =,56 x = 5,6 ώρες. ( ) d F ( x ), x f( x) = =,e για x dx, ΡΧ ( ) = e = e =,5 =,865 4) ΡΧ ( /) = F(/) =, ΡΧ ( ) = F() =,9 ΡΧ (,8) = F(,8) =,9 ΡΧ ( > ) = ΡΧ ( ) = F() =,9=, ΡΧ (,5) = F(,5) =. για x < / PX ( = /) =, για x= / για /< x < F( x) = PX ( = ) =,7 για x= για < x < Px ( = ) =, για x= για x >

Κεφ. 4: Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας (Λύσεις) 589 5),5 8,5 8 8,5 t 8 ft () t dt = ct dt c c = = =,5,5,5 c = =,5 8 9,5,5 9 ( > 9) = ( ) = = c,5 ΡΤ ΡΤ α ct dt 6) Χ = {,,, } ΡΧ= ( ) =,5,,=, ΡΧ= ( ) =,95,,+,5,98,+,5,,99 =,9 +,49 +,99 =,67 ΡΧ= ( ) =,95,98,+,95,,99+,5,98,99 =,9+,88+,485=,766 ΡΧ= ( ) =,95,98,99 =,969 7) Χ = {,,,} f( x): P( X = ) =,5,,8 =,8 PX ( = ) =,5,,8 +,5,8,8 +,5,, =,4 PX ( = ) =,5,8,8 +,5,, +,5,8, =,4 ΡΧ= ( ) =,5,8, =,8 F(x),4,4,8,8 Η γραφική παράσταση της F(x) προκύπτει εύκολα από την f(x). γ) PX ( < ) = PX ( ) =,8+,4 =,5 x

59 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων P( < X < ) = P( X = ) =,4. 8) Από τις βασικές ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας f (x), εύκολα προκύπτει ότι α = 4 και για 4 x 4 f( x) = για x 4 4 αλλού ΡΧ ( ) =,5 ΡΧ ( >,5 Χ> ) = ΡΧ= ( ) = για x < 4 x + 4 για 4 < x 4 x + 4 f( x) = για x < 4 x για x < 4 4 για x 4 9) ΡΠ ( ) = =,5 ΡΧ ( = ) = για x= f( x) = c = για < x,5 αλλού για x < f( x) = ( + x) για x,5 για x >,5

Κεφ. 4: Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας (Λύσεις) 59 ) Υπολογίζω την παράμετρο α, ολοκληρώνοντας Θέτουμε ( x) = t και έχουμε α ( x ) dx=. s 4 t α αt dt = α = α = = α = 5 s 5 5 Η χωρητικότητα C πρέπει να είναι τέτοια ώστε ΡΧ ( > C) =, ή ή C 4 5( x) dx=, C C u ts 5 5t dx= 5 =, ( ) =,99 C s ) Ο χρόνος καλής λειτουργίας της μηχανής, Χ, είναι τυχαία μεταβλητή μικτού τύπου. Στο σημείο μηδέν είναι διακριτή διότι Ρ(Χ=) =,. Από το μηδέν μέχρι το ένα είναι συνεχής. ΡΧ ( = ) t f( xdx ) = x f ( x) dx =,8,6[ Χ ] κ =,8 κ =,6 PX ( = ) =, για x= f( x) =,6( x) για < x αλλού,5 ΡΧ ( >,5) =,6( xdx ),5,5 x =,6[ x],6 =,8,8,5 =,6 ) Ο αριθμός επιβατών, X, οι οποίοι κατεβαίνουν σε μια στάση ακολουθεί δυωνυμική κατανομή, Χ = {,,,, n}, με συνάρτηση μάζας πιθανότητας, ( ) h x n x ΡΧ= x= x p( p) ( )

59 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Έτσι, δεδομένου όσοι ανέβουν τόσοι θα κατέβουν, έχουμε ΡΧ ( = ) Ρκ ( = ) + ΡΧ ( = ) Ρκ ( = ) + ΡΧ ( = ) Ρκ ( = ) = ( h ) ) ΡΤ ( > 8) = Ρ ( ( Χ > 8) ( Χ > 8) ) (( Χ > 8) ( Χ > 8) ) T () dft () t f t = αλλά dt 4 = ΡΧ ( > 8) ΡΧ ( > 8) + ΡΧ ( > 8) ΡΧ ( > 8) 4 ΡΧ ( > 8) ΡΧ ( > 8) ΡΧ ( > 8) ΡΧ ( > 8) 4 ( 8/5 ) ( 8/5 ) ( 8/5 ) 4 = e + e e ( ) ( 8/5 ) ( 8/5 ) ( 8/5) ( 8/5) 4 = e e = e e ( ) ( ( ) ) ( ) ( t/5 ) ( t/5 ) ft () t = Ρ ( Τ < t ) = e e t/5 t/5 t/5 t/5 ft () t =+ /5e e + e e = 5 4 5 5 5 e t/5 ( t/5 = e e ) ( t/5 ) 4 5 e + = t/5

Κεφ. 5: Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών (Λύσεις) 59 Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Λύσεις των Ασκήσεων ) Χ = {,, } 4 8 ΡΧ ( = ) = = 5 5 8 6 8 4 6 Ε( Χ) = + + = ΡΧ ( = ) = + = 5 5 5 5 5 5 5 ΡΧ ( = ) = = 5 5 8 6 8 Var( X ) = E( X ) μ = + + 5 5 5 5 64 86 = = 5 5 5 ) Χ = {,5,,6,,7,,8,,9} ΕΧ ( ) =,5 +,6 + +,9 =,85 =,7 5 5 5 5 V( Χ) = Ε( Χ ) μ = (,5 +,6 +,7 +,8 +,9 ) =,7 5 ) Χ = {,,, 8} 5 5 5 ΡΧ ( = ) =, ΡΧ ( = ) =, ΡΧ ( = ) =, ΡΧ ( = 8) = 6 6 6 66 6 5 75 5 ΕΧ ( ) = + + + 8 = 6 6 6 6 6 μέσο κέρδος = Ε( Χ) = 6

594 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων άρα όταν έρχονται τρεις άσσοι ο παίκτης θα έπρεπε να πληρώνεται 8 + =. 4) F(x), x PX ( = ) =, για x= f( x),8 x e για x> Ε( Χ) (,) x,8e x dx = + 5) Ανισότητα Chebyshev Ρ( Χ μx hσx) άρα Ρ( Χ μx σx) = 4 στην ομοιόμορφη Χ u(,) έχουμε (+ ) 6 4 ( Χ) = = =,69 Ρ Χ μx =, = dx=, 4 4 Var R Λύσεις των Προβλημάτων ) x Ε( Χ) = xx dx= x dx= = ( ) = T: προφανώς η f(x) μεγιστοποιείται για x

Κεφ. 5: Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών (Λύσεις) 595 Μ Μ x dx Χ Μ Μ Μ Χ Μ: [ ] =,5 = = = =,5 =,5 Μ =± Μ = Μ ) X cx dx = c = c = c = c = 6 6 Ε( Χ ) = x 6x dx = 6 x dx = 6[ lnx] = 6 98 = 8 x V ( Χ) = x 6x dx= μ = 6 dx 8 = 6 ar 6x = 6 = 8, Μέσο κόστος επικάλυψης =,5(μx) = 54 ευρώ. ) ( 5) cx x dx = s ax για x < 5) f( x) = βx+ β για x 5 αλλού 5 ax + ( + ) = β x β dx α() = β() + β β(5) + β = λύνουμε ως προς α, β, β x x au du = α για x < x F( x) = a + ( βu dx για x 5 + για x > 5 Πιθανότερη τιμή Τ = Διάμεσος Μ: Μ α + ( βx dx,5 + =

596 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Μέση τιμή: 5 Ε( Χ) = xαxdx+ x( β x+ β ) dx ΡΧ ( > Τ) = ΡΧ ( Τ) = αxdx ΡΧ ( > Μ) =,5 5 ΡΧ ( > μ ) = ( βx+ dx Χ μχ 6) Από τη λύση του προβλήματος προς λύση του κεφαλαίου 4 έχουμε, 4 x x 5( ) για f( x) = αλλού Ε( Χ) = 5( x) xdx Χ / ποσοστιαίο σημείο: 4 X / 4 5( x) dx= / 7) ( ) ( ) ΕΚΧ ( 6) = ΚΕΧ ( 6) = Κ, ΕΚΧ ( 6) = ΚΕΧ ( Χ6+ 6) = Κ Ε( Χ ) Ε( Χ)6+ 6) ν = Κ (6 + μ ) μ+ 6)

Κεφ. 6: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 597 Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Λύσεις των Ασκήσεων Διωνυμική κατανομή ) Από τους στατιστικούς πίνακες για n=, p=,5 η μεγαλύτερη πιθανότερη αντιστοιχεί στην τιμή x=4, P(X=4) =,5. ΡΧ ( = 5) =,5,5 5 5 5! 6 (7) (8) (9) () =,5 = ( 5)!5! () () () (4) (5) = 5(,5 ) =,46 ΡΧ ( < ) = ΡΧ ( ) =,547 (από τους πίνακες) ΡΧ ( > 8) = ΡΧ ( 7) =,945 =,547 Ρ( Χ < 5) = F(4) F() =,77,79 =,5,5 = ) ΡΧ ( = ) =,,99 =,99 5 ΡΧ ( = ) =,,99 =,99 9 9 ΡΧ ( = ) =,,99 = 45,,99 8 8 Επικρατέστερη τιμή είναι η Χ=. ΡΧ ( = 5) =,,99 = 5 (, ) (,99) 5 5 5 5 5

598 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων ΡΧ ( < ) = ΡΧ ( = ) + ΡΧ ( = ) + ΡΧ ( = ) ΡΧ ( > 8) = ΡΧ ( = 9) + ΡΧ ( = ) Ρ( Χ < 5) = Ρ( Χ = 4) ) n = 5 p =, 5 4 ΡΧ ( ) =,,8 =,4 n = p =, 4 i ΡΧ ( 4) = F(4) =,,8 i i= i 4) n = 5, p = 4 Χ = {,,,,5} ΡΧ ( > ) = ΡΧ ( = ) + + ΡΧ ( = 5) 5 5 i ΡΧ ( 5) =,5,75 i i= 5 i 5) n =, p =,8, Χ = {,,,, } ΡΧ ( = 5) =,8, 5 5 5 ΡΧ ( = ) + ΡΧ ( = ) =,8 +, =,8 +, γ) ΡΧ ( = 6) + ΡΧ ( = 4) 6) n = 5 5 Ρ=,5 Ρ( Χ = 5) =,5,5 =,46 5 Ρ=, Ρ( Χ = 4) =,,7 4 γ) ΡΧ ( = 5) ΡΧ ( = 4) 4 6

Κεφ. 6: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 599 Γεωμετρική κατανομή 7) ΡΧ= ( ) =,5 ΡΧ= ( 4) =,5,5 γ) ΡΧ ( ) =,5+,5,5 δ) ΡΧ= ( ) =,5 8) Ρ = = =,4 Ε ( Χ ),5 ΡΧ= ( ) =,4 4 ΡΧ= ( 5) =,6,4 γ) i δ) i= ΡΧ ( ) =,6,4 ΡΧ> ( ) = (,4) 9) Ρ =, γ) Χ = {,,, }, Ρ( Χ = ) =,98, 5 5 ΡΧ> ( 5) = (,) =,98 ΕΧ ( ) = = 5, 9 ( ) P ( X > s+ t) ( X > s) ΡΧ ( > s+ t) ( Ρ) ) ΡΧ ( > s+ tx > s) = = = PX ( > s) ΡΧ ( > s) ( p) t = ( p) = Ρ( Χ> t) s+ t s Υπεργεωμετρική κατανομή ) 8 4 ΡΧ ( = ) = = 4 4 ΡΧ= ( 6) = γ) 8 4 ΡΧ ( = 4) = 4

6 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων δ) 8 Ε( Χ ) = 4 = 96 8 96 6 Var( Χ ) = 4 = 99 99 5 ) Ν =, n = 4, κ = 7 7 4 4 4 ΡΧ ( = 4) = + 4 4 7 7 ΡΧ ( = ) = + 4 4 ) Ν = 75, κ = 5, n = 5 7 ΡΧ ( = ) = 75 ΡΧ ( = ) γ) 5 5 Ε( Χ ) = = = 75 75 4) 7 Ρ= =, ή Ρ=, Χ = {,,,,4}, n= 4. 4 4 ΡΧ ( = 4) =, (,) +,7 (,7) 4 4 4 4 7 Ρ= =,, Χ = {,,,,4} ή Ρ= =,7, Υ = {,,,,4} η ζητούμενη πιθανότητα είναι 4 4 ΡΧ ( = ) + ΡΥ ( = ) =,,7 +,7, = 4(,),7 (,58)

Κεφ. 6: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 6 Pascal 5) X 4 = {4, 5, 6, 7, }, P =, r 4 Ε( Χ) = = = p, 9 6 ΡΧ ( 4 = ) =, (,), γ) Παρόμοια της ( δ) Δοκιμάζουμε για τιμές της Χ γύρω από τη μέση τιμή. 6) Ρ =,, r =, X = {, 4, 5, } Ε( Χ ) = = 9 (,99) σ Χ =, Poisson Κατανομή 7) λ = πελάτες/ώρα 8) γ) Ρ= ( Χ = 5) = e () 5 5! i = ( ) = i! i= Ρ Χ e Ρ= ( Χ = 5) = e λ = χαραμάδες/χλμ. () 5 5! (5) ( / ) ΡΧ ( = ) = e = e!,5 (,5) ΡΧ ( = ) = e = e

6 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων 9) λ =,5 ψεγάδι/τ.μ., Χ 5 = {,,, },5(5),5,5 ΡΧ ( 5 = ) = e = e! γ),5 n=, P= e, Χ = {,,,, } ( ) ( ) ΡΥ ( = ) = e e = e,5,5,5,5 P= e, Χ = {,,,, }, n = (,5) (,5) (,5) (,5) ΡΖ ( ) = e e + e e ( ),5,5,5 = e + e e 9 ) λ =, ράγισμα/δοκό Χ = {αριθμός ραγισμάτων ανά δοκό} = {,,, }, Poisson., (,), ΡΧ ( = ) = e = e!, n= 5 p= e Υ = {,,,,5}, διωνυμικής κατανομής ( ) ( ) 5 ΡΥ ( = 5) = e e = e 5, 5,, Ρ= e, Ζ = {,,, }, γεωμετρικής κατανομής ΕΖ ( ) = p =, e,, (,), γ) n = 5, p= P( X ) = e + e = e (,)! Υ = {,,,, 5) i= ( ) 5, i, ΡΥ ( ) = e (,) e (, i 5 i ) λ = μηνύματα/ώρα. λt t ln() ΡΧ ( t= ) = e = e =,9 ln(,9) = t t =

Κεφ. 6: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 6 Λύσεις των Προβλημάτων ) Ρ =,, n =, X = {,,,, }, Διωνυμική κατανομή ( ) ΡΧ ( ) =,, +, (,) 9 9 9 9 =,8 + (,),8 =,8 (,8 + ) =,8(,8 ) λ= (, ) =, Υ = {,,,,} Poisson κατανομή ΡΥ ( ) = e + e = e + e = e! ) Ρ =,, n =, X = {,,,, } ΡΧ ( ) =, (,) +, (,) + +, (,) Δοκιμάζουμε για n =,,, και Ρ(Χ ), Ρ(Χ ), Ρ(Χ ), αντίστοιχα έως όταν η πιθανότητα ξεπεράσει την τιμή,95. ) n = ;, =, κ =, προσέγγιση με υπεργεωμετρική X = {αριθμός ελλατωματικών} 99 n ΡΧ ( ) = ΡΧ ( = ) = =,9 n Λύνουμε ως προς n. 4) λ =, ραγισμένα δοκάρια / πολυκατοικία, X = {,,, }, Poisson, ΡΧ ( ) = ΡΧ ( = ) = e n =, P = e,, X = {,,,, }, Διωνυμική 5 i i (,) (, ΡΥ ( 5) = e e ) i i= P = e,, X 8 = {αριθμός πολυκατοικιών} = {8, 9,, } αρνητική

64 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων διωνυμική. Προφανώς η ελάχιστη τιμή της X 8 είναι το 8. 5) λ = / =, καταστροφικοί σεισμοί / χρόνο,() e i= ΡΧ ( ) ( / i! ) = i,() 4 ΡΧ ( = ) = e = e 6) λ = /5 =, νεροποντές / χρόνο,(),() = = = =,() > = = i= ΡΧ ( ) e, ΡΧ ( ) e () ΡΧ ( ) ΡΧ ( ) e ( i / i! ) P =,8, n = 5, Y = {,,,, 4, 5} διωνυμική. 5 ΡΥ ( ) = ΡΥ ( = ) = =,8,9 =,9 5 5 γ) X 5 = {,,,, 4, 5, 6, 7, } = {αριθμός νεροποντών στα επόμενα 5 χρόνια} ΡΧ ( = ) = 5 ΡΧ ( = ) = 5 ΡΧ ( = ) = 5 ΡΧ ( = ) = 5,(5) e e e e!!! μέχρι πολύ μικρής πιθανότητας. Τα γεγονότα {Χ 5 =}, {Χ 5 =}, {Χ 5 =}, αποτελούν διαμέριση του δειγματικού χώρου, και μπορούμε να εκτιμήσουμε τις πιθανότητές των. Εφαρμόζουμε το θεώρημα ολικής πιθανότητας. κ i (,9 ) ΡΧ ( 5= i), για κ έτσι ώστε Ρ(Χ 5 =κ) αρκετά μικρή. i=

Κεφ. 6: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 65 7) λ =,5 απεργίες / χρόνο αναμενόμενη ζημιά = (.) =. Χ = {αριθμός απεργιών στα χρόνια} = {,,,, },5(),5 ΡΧ ( = ) = e = e,5,5,5 ΡΧ ( = ) = e =,5e!,5,5,5 ΡΧ ( = ) = e! =,5e Ρ(Χ =κ) = πολύ μικρή πιθανότητα εφαρμόζω ολική πιθανότητα, αναμενόμενη ζημιά =. Ρ(Χ =) +. Ρ(Χ =) + + + κ(.) Ρ(Χ =κ). 8) λ = /5 =,8 πρατήρια/χλμ 4,8(4), ΡΧ ( = ) = e = e p=,8, n=, Y={,,, } ΡΥ ( = ) = (,8) (,) = (,8)(,4) =,96 γ) 4,8 ΡΧ ( 6 = ) = e = 4,8e! ΡΧ ( = ) = 6 ΡΧ ( = ) = 6 ΡΧ ( = κ) = e 6,8(6) 4,8 4,8 e 4,8 e 4,8 4,8! 4,8! κ 4,8 κ! κ τέτοιο ώστε η πιθανότητα πολύ μικρή εφαρμόζω ολική πιθανότητα,

66 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων κ i= ΡΧ ( = i)(, ) 6 i 9) p =, n=, X={,,,, } 4 ΡΧ ( 4) =,,98 i i= 6 i Ρ =,, X = {,,, }, γεωμετρικής κατανομής. i= i ΡΥ ( ) =,98, ή = ΡΥ ( > ) =,98 n γ),98 =,9 ln(,98 ) = ln (,) (,) nln(,98) = ln(,) n = ln ln(,98) n ) Τα γεγονότα {κ=}, {κ=}, {κ=}, αποτελούν διαμέριση του S διότι 5 5 4 + + = + + = = 4 αν Χ = {αριθμός αποβίβασης}, διωνυμικής κατανομής, n n n ΡΧ ( = ) = p( p), ΡΧ ( = ) = p( p), ΡΧ ( = ) = p( p) Εφαρμόζω ολική πιθανότητα, i= Ρκ ( = i) ΡΧ ( = i) n n n ) λ Α =, βλάβες/έτος,(,5) e ΡΧ (,5 = ) = ( 55, /! ) i= ΡΧ ( = i) ΡΧ ( i ) Α Β

Κεφ. 6: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 67 στην πράξη οι όροι του αθροίσματος είναι μέχρι κ, όπου Ρ(Χ Α = κ) πολύ μικρή. ) λ =, πλ./χρόνος,() ΡΧ ( = ) = e = e ΡΧ ( = ) = 8 8,(8) e,(8) e ΡΧ ( = ) =,8,(8) e ΡΧ ( 8 = ) = ( 8, /! ),(8) ΡΧ ( 8 = κ) = e ( 8, κ / κ! ) έως ότου η πιθανότητα γίνει πολύ μικρή. i Εφαρμόζω ολική πιθανότητα, ΡΧ ( 8 = i)(,9 ). κ i= ) λ = 5/6 =,5 αντ/λεπτό βλέπε την παράγραφο 6.6 της Poisson κατανομής γ) i=,5 e ΡΧ ( ) (,5 i / i! ) = 4 i=,5 e ΡΧ ( 4) (,5 i / i! ) = κ,5 ΡΧ ( κ) = e (,5 / i! ) έως ότου ΡΧ ( κ),98 4) Ρ = =,5 i= ΡΧ ( = ) =,5,95 =,95,95 γ) i= 5,5 i,95 i 5 i i

68 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων 5) Ρ = / 5 =,4 Ε(Χ) = 5 ( p) 5 =,96 5 6) Αν Π, Π και Π είναι τα γεγονότα αστοχίας των αντίστοιχων παροχών τότε, Ρ( αστοχίας) = Ρ( Π Π Π) + Ρ( Π Π Π) + ΡΠ ( Π Π) + ΡΠ ( Π Π) =,(,),8 +,(,8), +,9(,), +,(,), =,9 n= P =,9 =,968 ΡΧ ( 8) = ΡΧ ( = 8) + ΡΧ ( = 9) + ΡΧ ( = ) = (,96) (,4) + (,96) (,4) + (,96) 8 9 n n n γ) ΡΧ ( = n) = (,96) =,96 =,9 n 8 9 ln(,9) ln(,96) = ln(,4) n =,5 ln(,96) ή δοκιμάζουμε για n =,, 4, 5 έως ότου η πιθανότητα Ρ(Χ=n) γίνει μικρότερη του,9. 7) P[( X> s+ t) ( X> t)] Ρ( Χ> s+ t) ΡΧ ( > s+ t X> s) = = = PX ( > s) PX ( > s) s+ t ( Ρ) t = = ( p) = Ρ( Χ t) s ( Ρ) 8) λ = τρικυμίες/έτος n=5, p=,5, X = {,,,, 4, 5} διωνυμική. 5 i 5 i ΡΧ ( ) =,5,75 i i= Υ t= = {,,,, 4, } Poisson.

Κεφ. 6: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 69 ΡΥ ( = ) = e ΡΥ ( = ) = e () = e ΡΥ ( = ) = e = e! 4 ΡΥ ( = ) = e = e! κ ΡΥ ( = κ) = e έως ότου η πιθανότητα είναι πολύ μικρή. κ! Εφαρμόζω ολική πιθανότητα, κ i= e i (,75) i! i 9) P=,9, n=6, X = {,,,, 4, 5, 6}, διωνυμική. 6 6 6 ΡΧ ( = 6) =,9 =,9 =,5 6 P=,47, Υ={,,, 4, }, γεωμετρική. ΡΥ ( = ) = (,47),47 =, ) P=,, n=, X={,,,,, }, διωνυμική. px ( = ) =, (,9) =,9 =,5,9 είναι η πιθανότητα ότι ένα χιλιόμετρο θα χρειαστεί επισκευές στα χρόνια. Ρ =,9 =,7, n = 4, Y = {,,,, 4} διωνυμική 4 ΡΥ ( = ) =,7,7 = 6(,7 ) (,7) γ) 4 4 4 Ρ= Ρ( Χ= ) =, (,9) =,9 =,44 Ζ = {,,, }, γεωμετρική ΡΖ ( = ) = (,44),44

6 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων ) πιθανότητα αποτυχίας μονοκινητήριου = p»» τρικινητήριου ( ) ( ) p p = = p p εξισώνουμε ( p) p= p p + p p= p( p + p ) = p + p = p= πιθανότητα αποτυχίας δικινητήριου = p»» τετρακινητηρίου = ( ) 8 ( ) p p = p p εξισώνουμε τις δύο πιθανότητες, p = 8 p ( p) p (8p 8p ) = 8p 8p = p= ) Ρ =,4, n =, Χ = {,,,, } διωνυμική 7 ΡΧ ( = ) =,4 (,6 ) ΡΧ ( = ) = (,4) = (,4) γ) ΕΧ ( ) = np= 4 ) Ρ =,5, n = 5, Χ = {,,,, 5} διωνυμική 5 ( 5 ) 5 ΡΧ ( ) = ΡΧ ( ) =,5,95,5 (,95 5 ) ( ) 5 5 =,95 5 (,5),95,75 n = ;, P =,5, Χ = {,,,, n} ΡΧ ( < n 5), η εξίσωση ικανοποιείται για n = 5 5 5 ΡΧ ( < ) = ΡΧ ( = ) =,5 (,95 ) =,7 4) x κ x dx = κ = κ = κ =

Κεφ. 6: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 6 γ) Ρ(5 < Χ ) 5 6 5 ΡΧ ( < Χ> 5) = = = = = ΡΧ ( > 5) 6 4 5 5 n=, Ρ= Ρ( Χ 5) =, Υ = {,,, }, διωνυμική. ΡΥ ( = ) = ( /) ( /) = 9 4 n= ;, Ρ= Ρ( Χ 5) =, Ζ = {,,,, n }, διωνυμική. n n n ΡΖ ( = n) = =,5 n 5) P = /6 =,, Χ = {,,,, }, διωνυμική n ΡΧ ( > n), ή ΡΧ ( n),9 ή, i,8 i,9 i δοκιμάζουμε για n =,,, 4,,, και επιλέγουμε εκείνο όπου για πρώτη φορά το άθροισμα ξεπερνά την τιμή,9. i= 6) γ) Ρ=, n= 4, Χ = {,,,, 4}, διωνυμική 5 4 4 4 4 ΡΧ ( = 4) = = = 4 5 5 5 65 5 = 65 5 5 = 5 5 7) n = 4, P =,8, Χ = {,,,, 4}, διωνυμική. 4 4 4 ΡΧ ( = ) =,8 (,8) =,9 =,76 4 i ΡΧ ( ) =,8 (,9) i i= 4 i

6 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων γ) n =, P =,76 =,84, Υ = {,,,, }, διωνυμική i i ΡΥ ( ) = (,84) (,76) i i= 8) λ = 6 πλοία/ημέρα ΡΧ ( 6) 6 i= i e 6 = 6 i 6 i! i= e 6 i 6 i! γ) (() ΡΧ ( = 7) + () ΡΧ ( = 8) + () ΡΧ ( = 9) + ) 9) λ = 9 τουρίστες/ώρα Χ = {,,,, 4, }, Poisson. ΡΧ ( ) < = ) P =, i= e 9 i 9 i! Χ = {,,, }, γεωμετρική Ρ(Χ=) =,9998 (,) Ρ = (,) =, Υ = {,,, }, γεωμετρική Ρ(Υ=) =,998 (,). ) n =, P =,, X = {,,,, }, διωνυμική Ε(Χ) =, Var(X) = (,9) =,8 G X =,4 6 i ΡΧ ( + (,4) ) = ΡΧ ( > 6) = ΡΧ ( 6) = (,) (,9) i P =,4, E(X) =,8, Var(X) =,8(,96) ΡΧ,8+ (,88) = ΡΧ (,4) ΡΧ ( ) ( ) i ΡΧ ( ) = (,4) (,96) i i= i η ζητούμενη πιθανότητα είναι [ ΡΧ ( ) ] 6. i= i

Κεφ. 7: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 6 Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Λύσεις των Ασκήσεων Ομοιόμορφη κατανομή ) f( x) = c = 5,5 49,4,5 γ) 5 49,74,6,5 ΡΧ ( > 5) = ΡΧ ( 5) = = =,5,5,5 x 49,74 ΡΧ ( x) =, =, x = 49,74 +,5= 49,79,5 5,5+ 49,74 ΕΧ ( ) = = 49,95 (5,5 49,74) Var( X ) = Εκθετική κατανομή ) λ = = =, Ε( Χ) γ) δ),() ΡΧ ( > ) = e = e,() ΡΧ ( > ) = e = e ΡΧ ( > ) = e λx,x ΡΧ ( x) = e = e =,95,x ln(,5) e =,5, x= ln(,5) x = =,

64 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων 4) λ = =,,(), ΡΧ ( > ) = e = e 5) λ = σήματα/λεπτά (,5) ΡΧ ( >,5) = e = e ( ) 6 ΡΧ< = e = e 6 () () 4 Ρ(< Χ ) = F() F() = e e = e e γ) ( ) 6) λ = () ΡΧ ( > ) = e = e ΡΧ ( > ) = e γ) ΕΧ ( ) = ώρες 7) λ = γ) (6) 6 ΡΧ ( > 6) = e = e () ΡΧ ( < ) = e = e ( ) x x ΡΧ> x = e =, = ln (,) x= ln (,) 8) Ε( Χ) = 8, λ= 8 (5) 5 8 8 ΡΧ ( > 5) = e = e 5 8 5 ΡΥ ( 8 5 ) e = = (Poisson)!

Κεφ. 7: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 65 γ) Var( Χ ) = = 64 6x = 8 λ 9) λ =, ψεγάδια/μέτρο ΕΧ ( ) = = 5μέτρα λ,() ΡΧ ( > ) = e = e γ) Όχι δ),x ΡΧ ( x) =,9 e =,, x= ln (,) ) ΕΧ ( ) = 5έτη λ = 6 ln(,) x =, 6 (6) Ρ( Χ 6) = e = e ΕΧ ( ) = 6έτη ) Να συγκριθεί η πιθανότητα Ρ Χ μ 6 με το φράγμα της ανισότητας Chebycsheff: Ρ( Χ μ tσ). t Από την εκθετική κατανομή της Χ έχουμε, Ρ Χ μ = Ρ Χ μ = Ρ μ Χ μ+ λ λ λ λ = Fμ+ + F μ λ λ λ ( ) + λ λ = = e διότι F μ = Ρ Χ = =,498 λ λ Από την ανισότητα Chebycsheff έχουμε e

66 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων Ρ Χ μ =,5 λ 4 Κανονική κατανομή ) Φ(,) =,965 Φ(,) =,9986 γ) Φ(,5) = +Φ(,5) =,984 δ) Φ(,76) Φ(,4) = Φ(,76) + Φ(,4) =,967+,99 ) Φz ( ) =,9 z =,8 4) Φz ( ) =,5 z = γ) Φz ( ) =, το z έχει αρνητική τιμή. Επιλέγω το συμμετρικό θετικό z, Φz ( ) =,9 z =,8 το ζητούμενο z =,8 δ) Φz ( ) Φ(,4) =,8 Φz ( ),74 =,8 Φz ( ) =,974 z =, γ) Φ = Φ(,5) =,9 9 Φ = Φ(,5) = Φ(,5) =,694 4 6 Φ Φ = Φ() + Φ() = Φ() δ) Φ( ) Φ( 6) = Φ() + Φ(6) =,84+ 5) x = μ = x μ x μ Φ =,5 z =,65 =,65 x =,65() 6,7 σ σ x γ) Φ Φ =,

Κεφ. 7: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 67,5 Φz ( ) =, x Φz ( ) =, z=,5 =,5 x =,5() 8,96 δ) Ρ( x< X < + x) =,95 x x ή Φ Φ =,95 x x ή Φ =,95 Φ =,975 z=,96 x =,9 6) Φ(,5) Φ(,5) = Φ(,5) Ρ( Χ + c) =,99 ( Φ ) Φc/ ( c/) =,99 Φc ( /) =,99 Φc ( /) =,995 c/ =,58 c = 5,8 γ) Ρ(8 5 < Χ < 8 + 5) = Φ(,5) Φ( 4,5) = Φ(,5) 55 8 7) i Φ 8 8 i Φ 8 i 9 8 Φ 8 x μ Φ =,9 z =,9 x = 8 +,9(8) σ x x γ) Φ Φ =,5 8 8 x x ή Φ =,5 Φ =,75 z=,68 x =,68(8) 8 8 8) Φ(4,5) Φ(,5) Φ( ) = Φ() Φ(,5) γ) ΡΧ ( > x) =,95 ή ΡΧ ( < x) =,5

68 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων 9) x μ Φ =,5 z=,65 x= 6,65() σ 5 Φ = Φ(,5) Φ (,5) =,99 γ) ) Φ 5 =,495 =, 5 =,( ) σ z σ σ αρνητικό, άρα αδύνατον 46 45 Φ = Φ() 5 46 μ 45 μ Φ =,99 Φ =, 5 5 45 μ =,57 μ = 45,57(5) 5 γ) μ = 45,57() ) γ) 7 6 Φ = Φ 6 6 65 6 5 5 Φ =,95 =,65 σ = σ σ,65 65 μ 65 μ Φ =,95 =,65 μ = 65,65(6) μ = 55,. 6 6 ) Ε( Χ) = 8, Var( X) = 48 γ) 7 8 ΡΧ ( 7) = Φ 48 9 8 7 8 Ρ(7 < Χ 9) = Φ Φ 48 48 7, 8 69,9 8 Ρ(69,9 < Χ 7,) = Φ Φ 48 48

Κεφ. 7: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 69 ) Ε( Χ) =, Var( X) = 9,9 5 ΡΧ ( 5) = Φ 9,9 4) n = 5, p =,, X = {,,,, 5}, διωνυμική 5 ΡΧ ( ) 5 5 ( = ) =,,9 =,9,7 ΕΧ ( ) =,5, VarΧ ( ) =,5,,5,,5 Ρ(, Χ,) = Φ Φ =,5,5,49,5 = Φ Φ = Φ(,66) Φ(,67) =,,5,5 γ) n = 5, p =,, Ε(Χ) = 5, Var(Χ) = 4 5 Διωνυμική ΡΧ= ( ) =,8 =,7, 5, 5 4,99 5, Κανονική Φ Φ = Φ Φ =,687,4779 =,6 Λύσεις των Προβλημάτων ) 4,5 4,5 4 4,5 4,5 Φ Φ Φ =,5,5,7 Φ() Φ() Φ () =,9986(,84)(,5) Φ() Φ() Φ() =,9986(,84)(,5) ) 4,5 4 Φ ΡΧ ( > 4,5) Φ(,5),694 ΡΧ ( > 4,5 Χ> ) = = = = ΡΧ ( > ) 4 Φ( ),84 Φ

6 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων ) ΡΧ> ( 5) =,9 5 ή ΡΧ ( 5) =, Φ =, σ 5 5 ή z=,8 =,8 σ = σ,8 4) 4 8 n= 5, Ρ= Ρ( Χ 4) = Φ =, Χ = {αριθμός μη αποδεκτών} = {,,,, 4, 5}, διωνυμική 5 5 5 4 ΡΧ ( ) =, (,977) +, (,977) 5 4 ( ) =,977 + 5(,)(,977) = (,89 +,5) =,5 n= 6, Ρ= Ρ( Χ ) =,995, Υ = {,,,,5) =, ΕΥ ( ) = 6(,995) = 59,7, Var( X) = 59,7(,5) =, 59,7 ΡΥ ( > ) = ΡΥ ( ) = Φ =, 5) Χ Ν( 6, 4 ) 7 6 46 6 Ρ(46 < Χ 7) = Φ Φ 4 4 = Φ(,5) Φ(,5),997 n= 8, Ρ=,997, Υ = {,,,, 8}, διωνυμική 8 8 8 ΡΥ ( = 8) =,997 (,997) =,997 8 7 5 6) ΡΧ ( > 7) = ΡΧ ( 7) = Φ = Φ() =,977 =, Εφαρμόζω ολική πιθανότητα Πιθανότητα να μην συμβεί πλημμύρα σ ένα χρόνο:

Κεφ. 7: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 6 4 i= i ΡΧ ( 7) 4 Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι, 4 i,977 4 i= 7) λ = τρικυμίες τον χρόνο Χ = {,,, }, Poisson 8) 4 h ΡΗ ( > h ) = e 4 h ΡΗ ( < h ) = e Για την πιθανότητα ότι δεν θα συμβεί πλημμύρα στα χρόνια εφαρμόζω την ολική πιθανότητα i= ( h 4 ) ΡΠ ( ) = ΡΧ ( = i) e Έτσι, η πιθανότητα να συμβεί πλημμύρα στα χρόνια είναι i= ( h 4 ) ΡΠ ( ) = ΡΧ ( = i) e i i Πρακτικά το άθροισμα περιλαμβάνει κ όρους, έως ότου n η πιθανότητα ΡΧ ( = κ) είναι πολύ μικρή. Άρα το συνολικό κόστος για τον εργολάβο είναι Κ = ( Α+, hρπ ) ( ) + ΡΠ ( ) Στη συνέχεια διερευνούμε για ποιο h = h B το κόστος ελαχιστοποιείται. 5, 5 4,8 5 Ρ= Ρ(4,8< Χ 5,) = Φ + Φ = Φ(,) + Φ(,) =,579 +,86,8 p=,8, Χ = {,, 4, }, αρνητική διωνυμική ( ) ( )( ) 4 ΡΧ ( = 5) =,8, (,8) = 4,8, γ) λ ράβδους/ημέρα Υ = λ( ν), + λ( κ),8 = λ ν(,) + κ(,8) ( )

6 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων 9) Ε( Χ) = λ = βλάβες/μήνα ΡΧ ( 4) = 4 e ΡΧ ( > 4) = 4 e γ) 4 n= 5, Ρ= e, Υ = {,,,,4,5}, διωνυμική ( 4 4 4 4 ) ( ) ( ) ( ) 5 4 5 5 ΡΥ ( ) = e e + e e δ) ( x ΡΧ x e ) ( ) =,7 =,7 x x e =,9 = ln (,9) x =,7() =,46 μήνες h 6 = =,5 =,95 =,95 6 ) Ρ Ρ( Η h ) Φ h 6 =,65 h = 6 +,65(6) 6 n=, Ρ=,5, Χ = {,,,, } διωνυμική ΡΧ ( ) = ΡΧ ( = ) =,5 (,95 ) =,95 ) ΡΧ ( > ) Φ(),84 ΡΧ ( > Χ> 5) = = = ΡΧ ( > 5) Φ(,5),9 Ρ= Ρ( Χ > 8) =,5, n= 5, Υ = {,,,, 5}, διωνυμική ( ) ( ) 5 5 5 ΡΥ ( ) =,5,5 +,5,5 +,5 4 5 4 5 κ κ κ ( ) =,5,5 +,5,5 +,5,5 4 5 κ 4 κ 4 5 κ γ) ΡΥ ( ) ( ) + Δοκιμάζουμε για κ = 6,7,8, έως ότου η πιθανότητα επιτυχίας του να είναι,6

Κεφ. 7: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 6 ) ΡΧ ( > ) ΡΧ ( > ) ΡΧ ( > ) + ΡΧ ( > ) ΡΧ ( > ) ΡΧ ( < ) + + ΡΧ ( > ) ΡΧ ( < ) ΡΧ ( < ) + ΡΧ ( < ) ΡΧ ( > ) ΡΧ ( > ) = ( 4) ( 4)( ) ( 4) 5 5 5 = e e e + e e e + e e e ( ) ( 4) 5 + e e e. Παρόμοια με την απάντηση (, ΡΧ ( > 5) ΡΧ ( > 5) ΡΧ ( > 5) + ΡΧ ( > 5) ΡΧ ( > 5) ΡΧ ( < 5) + ) λ= = =,, Ρ( Χ< ) = e Εx ( ) ( κ ) ( ) e =,95 κln e = ln (,5) λύνουμε ως προς κ. 4) λ Α =, λβ = 4 4 4 4,4,4 ΡΧ ( > 4) ΡΧ ( > 4) = e e = e e = e Α Β,4,4 n= 8, Ρ= ΡΧ ( > ) ΡΧ ( > ) = e e = e Υ = {,,,, 8}, διωνυμική. Α Β (,4) (,4) (,4) (,4) (,4) 8 6 8 7 8 8 ΡΥ ( 6) = e e + e e + e. 6 7 8 5) λ = =, 5 ΡΧ ΡΧ ΡΧ ΡΧ4 ( 8) ( 8) + ( 8) ( 8) 4 6 5 5 ΡΧ ( 8) ΡΧ ( 8) ΡΧ ( 8) ΡΧ ( 8) = e e ( ( )) 4 ( ) 5 F x = e x e x 5 f( x) = d F x dx ( ) 4 4 4 5 4 ( ) 5 5 f x = e x + e x = e x e x 5 5 5 5

64 Λύσεις των Ασκήσεων και των Προβλημάτων 6) ΡΧ ( = ) =,5 για x= f( x) =,5 κx για < x< αλλού όπου κ, (,5 κx) dx =,75 κ =,5,5 ΡΧ ( > ) = (,5 κx) dx=,75,5 =,5,5 γ) p=,5, n=, Υ = {,,,,, } διωνυμική ΕΥ ( ) = (,5) =,5, VarY ( ) =,5(,875) =,9,5 ΡΥ ( > ) = ΡΥ ( ) = Φ = Φ(,5),6, 7) λ = τρικυμίες/έτος 6 5 P= P( X> 6) = Φ = Φ() =,58 n= 5, Υ = {,,,,4,5} διωνυμική 5 5 5 PΥ ( ) =,58 (,84) +,58 (,84) +,58 (,84) Ζ = {,,,, 4, }, Poisson κατανομή 5 4 ΡΖ ( = ) = e, ΡΖ ( = ) = e, ΡΖ ( = ) = e, ΡΖ ( = κ) = e ( / κ!), έως ότου η πιθανότητα γίνει πολύ μικρή. Εφαρμόζω ολική πιθανότητα, κ i= o ΡΖ ( = i) (,84) i κ 8) λ = βλάβες/έτος 4 P = P( Τ > ) = e 4,5 P= e Χ = {,,, }, γεωμετρική ( ),5,5 ΡΧ ( = ) = e e

Κεφ. 7: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Συνεχή Τυχαία Μεταβλητή (Λύσεις) 65 9) c =, 5 5 c 7 c μ x = x x dx+ x x+,5( c) dx 5 5 Τ = 5 5 c Μ c Μ : x dx + x,5( c) dx,5 5 + = 5 5 Εφαρμόζω ολική πιθανότητα, ( ΡΧ μ ) ( ΡΧ Τ),5 ( ) +,45 ( < ) +,(,5) x γ) Εφαρμόζω ολική πιθανότητα,,5(,5) +,45(,5) +,(,5) ) γ) c4 ΡΧ ( > 4) = e =, C4 = ln(,) c=,4. c7,8 ΡΧ ( > 7) = e = e,8 Ρ= e,6, Υ = {,,, }, γεωμετρική ΕΥ ( ) = 6,66 7ημέρες Ρ 9 ΡΥ= ( ) =,94 (,6)