ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Δ. Βαλουγεώργης, Εαρινό εξάμηνο 05-06 ΕΡΓΑΣΙΑ #: Μετάδοση θερμότητας με ακτινοβολία Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 0-03-06 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 3-03-06 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Λύσεις ασκήσεων Άσκηση : Cengel and Ghajar, Κεφάλαιο 3: Προβλήματα 3-50 και 3-53. Πρόβλημα 3-50: Μήκος διασταυρούμενης χορδής abcde: abc ab bc Μήκος μη διασταυρούμενης χορδής ef: s Στο τρίγωνο Οbc εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα (είναι κάθετο αφού bc εφαπτομένη στον κύκλο. / s Μήκος bc R Η γωνία θ είναι: R cos s / Μήκος R R ab R / R R /cos Rsin s/ s/ Ως επιφάνεια ορίζεται η ημιπεριφέρεια του κυλίνδρου R.
F / s R R Rsin s,ab,bc s/ R R R Θέτουμε X s/ R 3 και βρίσκουμε F / X sin X X F 3 5 sin 3 0. F F 0.78 3 Q T T F 05.4 W / m Για το ποσό θερμότητας που πάει στο περιβαάλλον πρέπει να λάβουμε υπόψη και το δεύτερο μισό του κυλίνδρου, το οποίο ακτινοβολεί εξ ολοκλήρου στο περιβάλλον. Q 3 T T3 F3 T T3 777.6 W / m Σημείωση: Σε περίπτωση που επιλεγεί ως επιφάνεια ολόκληρη η περιφέρεια του κυλίνδρου, τότε R και F 0., όμως το γινόμενο F παραμένει το ίδιο, οπότε για τη μεταφορά μεταξύ των δύο κυλίνδρων παραμένει Q 3 T T3 F3 όψεως. Q T T F. Για τη μεταφορά με το περιβάλλον όμως έχουμε καθώς έχει ληφθεί υπ όψη όλη η περιφέρεια του κυλίνδρου στον συντελεστή
Πρόβλημα 3-53: Το ζητούμενο είναι το ποσό θερμότητας που μεταφέρεται μέσω ακτινοβολίας από τον κυλινδρικό φλοιό με επιφάνεια Α στον δίσκο επιφάνειας Α. Εφόσον πρόκειται για κυλινδρικό φλοιό και όχι συμπαγή κύλινδρο, οι επιφάνειες 3 και 4 είναι φανταστικές και χρησιμοποιούνται ώστε να διευκολύνουν την επίλυση. Ισχύει πως F3 F F4, καθώς η ακτινοβολία που διέρχεται από την επιφάνεια 3 θα καταλήξει είτε στην είτε στην 4. Για το συντελεστή όψεως μεταξύ ομοαξονικών και παράλληλων δίσκων ακτίνας R που βρίσκονται σε απόσταση Η ισχύει πως 4r Fij, όπου r R/ H. r Έτσι προκύπτει πως F3 0.7 και F4 0.056 και τελικά αφού F3 F F4 F 0.4. F Επίσης F με R και Q F T T 0.4W F. R, με αντικατάσταση προκύπτει 0.085
Άσκηση : Μία κυλινδρική κοιλότητα έχει μέλανες επιφάνειες,, 3 σε σταθερές θερμοκρασίες T, T, T 3. Η εξωτερική επιφάνεια δεν ακτινοβολεί προς το περιβάλλον. Να υπολογισθεί η θερμότητα που προσδίδεται σε κάθε επιφάνεια λόγω ανταλλαγής ακτινοβολίας. Στη συνέχεια η κυλινδρική επιφάνεια 3 διαιρείται σε δύο επιφάνειες 4, 5 με ίδιο εμβαδόν. Να υπολογισθούν οι ειδικές θερμοροές Q4 / 4 και Q5 / 5 και να διατυπωθεί η σχέση που τις συνδέει με την Q3 / 3. Συντελεστές όψεως: R 4( F 0, F, F F R ( F 0, F F, F F 3 3 F F, F F, F F F 3 3 3 3 33 3 3 3 3 Μετά την τομή της επιφάνειας 3: R R 4( 4( F, F F, F, F F R R ( ( F F F, F F F 6 4 6 6 5 6 5 4 5 4 Η θερμοροή σε κάθε επιφάνεια είναι: Q F ( T T F ( T T 3 3 3 Q F ( T T F ( T T 3 3 3 Q F ( T T F ( T T 3 3 3 3 Μετά την τομή είναι: Q F ( T T F ( T T 4 4 4 Q F ( T T F ( T T 5 5 5 5 5 Λαμβάνοντας υπόψη ότι T3 T4 T5, 3 4 5 και F 3 F 4 F 5, F 3 F 4 F 5εύκολα αποδεικνύεται ότι Q3 Q4 Q5
Άσκηση 3: Σφαίρα διαμέτρου D με μελανή επιφάνεια σε θερμοκρασία T βρίσκεται εντός σφαιρικής κοιλότητας διαμέτρου D με μελανή εσωτερική επιφάνεια, ενώ εξωτερικά έχει ημισφαιρική ολική ικανότητα εκπομπής. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 3 η εξωτερική σφαιρική κοιλότητα έχει κυκλικό άνοιγμα διαμέτρου D 3. Η θερμοκρασία του περιβάλλοντος είναι T. Να υπολογισθούν η θερμοκρασία της εξωτερικής σφαίρας και η θερμοροή που προσδίδεται στην εσωτερική σφαίρα. Σχήμα 3 Είναι: l (3 cm (4 cm l 7cm 3cm Από τη βιβλιογραφία βρίσκουμε πως: F 3 / 0.69 l F F 0.83, F 0, sin 3 / 4 0,848rad 3 Το εμβαδόν του τμήματος του σφαιρικού φλοιού που λείπει είναι: / 4 sin 0.84 cm, 4 6 0.84 53.6 0 0.73 cm d d cm, 6 cm, 3 9 cm F F F 0.3, F F 0.7 3 3 3 3 3 3 F F F 0.9, F F F 0.5 3 3 3 3
Ισοζύγιο θερμότητας στη επιφάνεια : FT FT 3F3T F3T T T 0 60.83900 53.60.5T 90.7500 53.60.9T 53.60.4500 53.60.4T 0 T 53.6 0.5 0.9 0.4 60.83900 90.7500 53.60.4 500 T T 7K 4 8 53.6 0.769 0 8735.06 3937.5 390 Η θερμοροή που προσδίδεται στην εσωτερική σφαίρα είναι: Q F T T F T T 3.6W 3 Άσκηση 4: Να προσδιοριστεί η επίδραση λεπτής σφαιρικής ασπίδας ακτινοβολίας ακτίνας R με ικανότητα εκπομπής, που τοποθετείται ανάμεσα σε δύο ομόκεντρες σφαίρες ακτίνας R, R που βρίσκονται σε θερμοκρασίες T, T και ικανότητα εκπομπής,. Θεωρούμε ότι οι επιφάνειες των σφαιρών και της ασπίδας προστασίας είναι διαχυτικές και γκρίζες με ικανότητες εκπομπής που είναι ανεξάρτητη από την θερμοκρασία. Έστω D= D= R R R D= R R R R R R Αν δεν υπάρχει ασπίδα τότε: T T Q D Με ασπίδα: Q T T T T Q D D T DT DT 4 a D D Q 4 DT DT ( T ( T Ta DD ( T T Q D D D D a
Επομένως ο λόγος της θερμότητας που μεταφέρεται με την ασπίδα ως προς τη θερμότητα που μεταφέρεται χωρίς ασπίδα είναι: ( Q D D R R R Q D D D ( D R R R R R R R R R R R R R R R R R Q C Για δεδομένα R, R,, ο λόγος Q R C R εκπομπής μειώνεται και ο λόγος ακτινών R / R αυξάνει. μειώνεται καθώς η ικανότητα Άσκηση 5: Τα προφίλ θερμοκρασίας στις δύο πλάκες είναι αυθαίρετα, αλλά γνωστά. Οι διαφορικοί συντελεστές όψεως μεταξύ των δύο επιφανειών είναι df ddx dd 3/ df ddx dd 3/ x x d x x d
Η ακτινοβόλος ισχύς κάθε πλάκας είναι 4 4 JxT x qx ( JxT x qx ( Επίσης από το ισοζύγιο ενέργειας σε διαφορικά τμήματα τις κάθε πλάκας, w/ J x d qx Jx JxdFd d qx Jx dx (3 3/ w/ x x d w/ J x d qx Jx JxdFd d qx Jx dx (4 3/ w/ x x d Αντικαθιστώντας τις (3 και (4 στις ( και ( αντίστοιχα, προκύπτει w/ 4 J xd Jx T x dx (5 3/ w/ x x d w/ 4 J xd Jx T x dx (6 3/ w/ x x d Το ζητούμενο είναι το σύστημα των εξισώσεων (5 και (6. Αριθμητική επίλυση: Το σύστημα των ολοκληρωτικών εξισώσεων (5 και (6 μπορεί να επιλυθεί αριθμητικά, σύμφωνα με το παρακάτω υπολογιστικό σχήμα k 4 w/ k J x T x J x df dd w/ w/ k 4 k dd w/ J x T x J x df όπου k ο δείκτης επανάληψης. Μετά τον υπολογισμό των J, J μπορούν να υπολογιστούν οι θερμοροές ως εξής q x T x J x 4 και μέση θερμοροή κάθε πλάκας: Q 4 q xdx T xdx J xdx Q 4 q x dx T x dx J x dx q x T x J x 4
Τυπικά αριθμητικά αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα για 0.6, T 900 K T Q/ [W/m ] Q / [W/m ] 500K 307.6 996.08 300K 38.5.43 00K 39.99 6.7 Ο κώδικας Fortran που χρησιμοποιήθηκε είναι ο παρακάτω. program prog implicit none integer::i,j,nx,iter double precision::t,t,dx,e,e,s,s,d,relmax,q,q double precision,allocatable::j(:,j(:,x(:,jo(:,jo(:,f(:,:!dedomena nx=00 e=0.6d0 e=0.6d0 t=900.0d0 t=00.0d0 s=5.67d 8 d=.0d dx=4.0d /dfloat(nx allocate(j(nx,j(nx,jo(nx,jo(nx,x(nx,f(nx,nx j = 0d0; j = 0d0; jo = 0d0; jo = 0d0; f=0d0; x = 0d0!sintetagmenes kombon do i=,nx x(i=(i *dx.0d!diaforikoi syntelesis opseos do i =,nx do j=, nx f(i,j = 0.5d0*(d***dx/(((x(i x(j**+d****(3/ iter=0 6 continue iter=iter+ jo(:=j(: jo(:=j(:
do i =,nx s=0.0d0!ypologismos tou olokliromatos tis J*F do j=,nx s=s+j(j*f(i,j s=s+0.5d0*j(*f(i, s=s+0.5d0*j(nx*f(i,nx!ypologismos neas timis tis J j(i=e*s*(t**4+(.0d0 e*s s=0.0d0!ypologismos tou olokliromatos tis J*F do j=,nx s=s+j(j*f(i,j s=s+0.5d0*j(*f(i, s=s+0.5d0*j(nx*f(i,nx!ypologismos neas timis tis J j(i=e*s*(t**4+(.0d0 e*s!elenxos sygklisis relmax=.0d0 do i =, nx if(abs(j(i jo(i+abs(j(i jo(i>relmax relmax=abs(j(i jo(i+abs(j(i jo(i write(*,* relmax,iter if (relmax>.0d 9 goto 6!egrafi ton aktinobolon isxyon se arxeio open(,file='apotel.dat' do i=,nx write(,* x(i,j(i,j(i!ypologismos thermoroon q=0.0d0 q=0.0d0 do i =,nx q=q j(i q=q j(i q=q 0.5d0*j( q=q 0.5d0*j( q=q 0.5d0*j(nx
q=q 0.5d0*j(nx q=q*dx/((x(nx x( q=q*dx/((x(nx x( q=(q+s*(t**4*e/( e q=(q+s*(t**4*e/( e write(*,* q,q write(*,* 'telos' pause end program prog