Μαθηματικά Θετικής - Τεχνολογική Κατεύθυνσης

o Γεικό Λύκειο Χίω 8-9 Γ τάξη Τμήμ Μθημτικά Θετικής - Τεχολογική Κτεύθυσης γ Ασκήσεις γι λύση Μ Πγρηγοράκης

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ

56 Α) Ν υολογίσετε τ: ημ d d Ασκήσεις γι λύση TO ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ - ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Α ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ( ) d ( ) d f ()d f c ( )( )d Ζ) Θ) ( ) d d Η) 5 ( ) d Ι) 8d συ d 57 Α) ΓΙΝΟΜΕΝΟ-ΠΗΛΙΚΟ ln (ημ συ)d d (συ ημ)d d ΣΥΝΘΕΣΗ fg() g ()d fg() d f g() c --- ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ: u g 58 Α) ) d ( ) d 8 5d d 55 Α) d B) (συ )d d εφ 5 d ( ) d d ( ) συ Ζ) συ( )d ΣΤ) συ( )d d Η) d ( ) Ζ) 5συ( )d Η) d συ ( ) 59 Α) d d ( ) ( ln ) 55 ( Α) d )( ) d ( ) d ln d ln 8 5d d ln d d Ζ) d συ Η) ημ( )d 55 A) d d ln d εφ d συ ημ d ΣΤ) d 5 Ζ) d Η) d 555 Α) d d 7 d d 6 7 ημ 55 Α) ημ συd B) d συ ημσυ ημ d d ημ συ 55 Α) ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 ( ) d ( ) ( ) d ( ) d 556 Α) d d d ( ) d συ ημ( )d d d Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ

ο Γεικό Λύκειο Χίω Γ Λυκείου Θετική Τεχολογική κτεύθυση Σχ Έτος 8 9 557 Α) d d d d ΡΙΖΕΣ 558 Α) d d 8 d 6 d ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ 559 Α) d B) d d d 56 Α) συ d ημ συ d ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 συ d 56 Α) d d συ συ ημσυ d d d ημ συ ημσυ ΜΟΡΦΗ 8: f ημ συ d με χρήση τω τύω μετσχημτισμού γιομέω σε θροισμτ ημσυ ημ( ) ημ( ), συσυ συ( ) συ( ), ημημ συ( ) συ( ) 56 Α) ημσυd ημημ()d ημ()συ(5)d συ()συ()d ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ f()g'()d f()g() f'()g()d 56 Α) d d 56 Α) συd ln ( ( )συ()d ημd 565 Α) d συ d d ( ) d ( ) ln(εφ) d 566 Α) d ημσυ συ ( )d συ d ( ) 567 Α) d d d ( ln d )ln( ) d d ln 568 Μι συάρτηση f : R R με f έχει τη ιδιότητ f γι κάθε R Ν οδείξετε ότι f 5 ln( 9)d ln d )d ΓΕΝΙΚΕΣ 569 Έστω η συεχής συάρτηση f : R R γι τη f() οοί ισχύει: f d c κι f 6 i) Ν ρείτε το τύο της f ii) Ν υολογίσετε τo f() d, > 57 Έστω μι συεχής συάρτηση f : R R κι F μι ρχική της f στο R Α f κι f F γι κάθε R Α) Ν ρείτε το F, τότε Ν οδείξετε ότι f F Ν οδείξετε ότι η συάρτηση g FF είι στθερή Ν ρείτε το τύο της f 57

57 Η συάρτηση f είι συεχής στο R Γι κάθε,, γ,δr οδείξετε ότι: δ γ δ f d γ A) f d fd B) δ δ f d d f d d γ γ Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ 57 Α) - d E) d 5 d 57 Α) d 575 Α) *** ln - d - (- ) d d ln d d 9 συ()συ()d ln Ασκήσεις γι λύση ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ d f d d 6 5 / συd d ln ln d ln d ln d d d μρλς 5/67, 57/78 μρλς /67 576 Η συάρτηση f :, R είι ργωγί- σιμη με f, f f κι f f Ν ρείτε το Ι f d 577 Α η συάρτηση f έχει συεχή δεύτερη ράγωγο οδείξετε ότι Α) f d f f f f y f f f fd dy y 578 Δίετι η συεχής συάρτηση f γι τη οοί ισχύει f f, γι κάθε R Ν οδείξετε ότι ) f f, γι κάθε R ) 5 6 f( 5)d f()d 579 Η συάρτηση f είι συεχής στο, Ν f +- d κι ρείτε τ δείξετε ότι f d ημ συd κι 6 συ d συ ημ 58 Α η συάρτηση f είι συεχής στο, κι f f,,, οδείξετε ότι: ΑΡΤΙΑ ΠΕΡΙΤΤΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ (ΜΕ ΑΠΟΔΕΙΞΗ) f d f d f d Τζουρς κτευθυσης 5 7 /8 58 Ν οδείξετε ότι d συ 58 Έστω η συεχής συάρτηση f : R R με τη ιδιότητ f( ) f( ) f() γι κάθε R Ν οδειχθού τ εξής: Α) Η συάρτηση f, είι άρτι, 996 997 f()d f()d 995 58 Η συάρτηση f είι συεχής στο, κι άρτι Ν οδείξετε ότι: A) B) f(ημ)d f(ημ)d f(συ)d f(συ)d 58 Η συάρτηση f : R R είι συεχής, άρτι κι έχει ερίοδο T Ν οδείξετε ότι: T T T f()d f()d 6

ο Γεικό Λύκειο Χίω Γ Λυκείου Θετική Τεχολογική κτεύθυση Σχ Έτος 8 9 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ν ρείτε τ εδί ορισμού κι τις ργώγους τω: 585 F() d ln H ln d L Φ d G d K() d ln d ln 586 Α η f είι συεχής συάρτηση στο R, ρείτε όου υάρχει τη ράγωγο τω συρτήσεω: Α) Φ f d G f d ln F ln d d u du dy 6 6 F συ d ημ d y 9 6 F() f()d 587 Ν ρείτε τη δεύτερη ράγωγο της συάρτη- y σης: F() d dy ημ 588 Α f συεχής στο R, οδείξετε ότι: f u ημ ημu du συu f()d du u 589 Ν οδειχτεί ότι τιστρέφοτι οι συρτήσεις: F() d κι G() ημ d 59 Α G() f()d, R κι f() u du, R, οδείξετε ότι: Α) G G () lim Τζουάρς 7/5 59 Ν οδείξετε ότι: συ() Α) Η f d είι στθερή Ισχύει συ() συ() d d,,r ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 59 Έστω συάρτηση f με Af Δ, είι τιστρέψιμη κι ργωγίσιμη Ν οδείξετε ότι είι στθερή η συάρτηση G με f() με Δ G fd f d f ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΚΟΙΛΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΚΛΠ Τζουρς κτευθ 6/7 596 Α η συάρτηση f είι συεχής στο R κι 59 Έστω F() u udu d f() γι κάθε R, οδείξετε ότι : 5 Α) Ν ρείτε το εδίο ορισμού της F Α) Η συάρτηση g fd Ν μελετήσετε τη F ως ρος τη μοοτοί είι γησίως φθίουσ στο R Ν οδείξετε ότι η F είι κυρτή σε κθέ ό τ Η εξίσωση g(), διστήμτ του εδίου ορισμού της έχει μοδική ρίζ στο 59 Έστω η συεχής συάρτηση f : R R με f() γι κάθε R Ν οδειχθεί ότι η συάρτηση, με R, είι κυρτή στο R g() ( )f()d 595 Δίετι η συάρτηση g συεχής στο R κι η f gd Ν οδείξετε ότι η f είι δύο φορές ργωγίσιμη στο R κι μελετήσετε τη f ως ρος τ κοίλ,ότ g() γι κάθε R 597 Η συάρτηση f είι συεχής στο, με f γι κάθε,, μελετήσετε τ κοίλ της συάρτησης g f d,, 598 Έστω F() u udu d 5 Ν ρείτε το εδίο ορισμού της F κι τη μελετήσετε ως ρος τη μοοτοί κι τ κοίλ 7

599 Ν ρεθεί συεχής συάρτηση f : R R ισχύει ότι γι κάθε R f()d f() 6 Ν ρεθεί ο τύος της συάρτησης f ου έχει συεχή η ράγωγο στο, κι γι τη οοί ισχύου f() 995, f () κι f ()συd συ f ()ημd 6 Ν ρείτε το τύο συάρτησης f, συεχούς στο,, ισχύει ότι f f() d 6 Έστω συάρτηση f συεχής στο,, τέτοι Ασκήσεις γι λύση ΝΑ ΒΡΕΘΕΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ώστε f γι κάθε, κι ln f()d ln f()d 5 ) Ν οδείξετε ότι f, γι κάθε, f() ) Ν υολογίσετε το d f( ) f() 6 Ν ρείτε τις συεχείς συρτήσεις f : R R γι τις οοίες γι κάθε R ισχύει ότι: f()d f()d 6 Ν οδείξετε ότι δε υάρχει συεχής στο R συάρτηση f γι τη οοί ισχύει ότι y f f d γι κάθε,yr f y ΔΙΝΕΤΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ 65 Α η συάρτηση f είι συεχής στο R κι 67 Μι συάρτηση f είι συεχής στο R Ν ροσδιορίσετε το με ισχύει ότι : >- ισχύει: fd ln ημ συ f()d γι κάθε R οδείξετε ότι f 66 Η συάρτηση f είι συεχής στο, κι ισχύει ότι fd f γι κάθε Ν οδείξετε ότι f στο, 68 Έστω η συάρτηση f συεχής στο R ώστε ισχύει f( )d συ γι κάθε R (με, R ) Ν οδείξετε ότι f() ΥΠΑΡΧΕΙ - - - ΠΡΟΣΟΧΗ!!! f 69 Η συάρτηση f είι συεχής στο διάστημ, Ν οδείξετε ότι υάρχει ξ (, ) ώστε ξ f()d ξ ln ξ f ξ (*) f()d, κι ισχύει: f()d Ν οδείξετε ότι υ- f(ξ) άρχει ξ (, ) ώστε fd εφξ ξ 6 Η συάρτηση f είι συεχής στο διάστημ, Ν οδείξετε ότι Α) υάρχει o (, ) Υάρχει γ (,) ώστε ώστε f f()d (*) o o o f γ ημ γ f()d 6 Η συάρτηση f είι συεχής στο διάστημ γ 6 Η συάρτηση f είι συεχής στο, κι ισχύει ότι Α) o f()d γ (,) Ν οδείξετε ότι υάρχου: (,) ώστε f()d f o γ ώστε f()d γf γ, o Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ

ο Γεικό Λύκειο Χίω Γ Λυκείου Θετική Τεχολογική κτεύθυση Σχ Έτος 8 9 6 Ν οδείξετε τις ρκάτω ισότητες: Α) d 5 998 d 99 ημ d 6 Ν οδείξετε ότι: Α) ημ ln ln γι κάθε 998 d 99 ημ d d ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ 65 Η συάρτηση f είι συεχής στο, με f γι κάθε, Ν οδείξετε ότι γι κάθε, fd f d 66 Έστω f,g :,, συρτήσεις συεχείς στο, με τη g είι φθίουσ στο, Ν οδείξετε ότι f g d f g d f d f d 67 Α η συάρτηση f είι συεχής στο διάστημ, με f() γι κάθε, κι ισχύει f ()d οδείξετε ότι f()d 68 Ν ρείτε το εμδό του χωρίου ου ερικλείετι ό τις C f,c g τω συρτήσεω Α) g, f κι τη ευθεί g, f κι h() 69 Δίετι η συάρτηση με τύο f() ln Ν ρείτε τις εξισώσεις τω εφτομέω της γρφικής ράστσης της f στ σημεί με τετμημέες κι Ν υολογίσετε το εμδό του χωρίου Ω, ου ερικλείετι ό τη C f κι τις δύο εφτόμεες 7 6 Δίετι η συάρτηση f() 6 Έστω οι συρτήσεις f, g με Af Ag R κι / / ισχύει ΕΜΒΑΔΑ Α) Ν οδειχτεί ότι η ευθεί (ε ): y 6 είι λάγι σύμτωτη της κτκόρυφη σύμτωτη της C f στο εώ η (ε ): είι Ν υολογίσετε το εμδό E() του χωρίου ου ερικλείετι ό τη Cf C f, τη ευθεί (ε ) κι τις ευθείες,, όου 5 N υολογιστεί ο ώστε E() 6 Δίετι η συάρτηση f() A) N ρείτε τη λάγι σύμτωτη ε της Ν υολογιστεί το εμδό του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C, τη ευθεί ε τις ευθείες, κι το άξο ************************************************************************************** f g γι κάθε R Α) Ν ρείτε τη συάρτηση h() f() g() γωρίζουμε ότι η C h διέρχετι ό το σημείο A(, ) Ν υολογίσετε το εμδό του χωρίου ου ερικλείετι ό τις C f,cg 6 Έστω η συεχής συάρτηση f με εδίο ορισμού το R ώστε f() κι f f γι κάθε R Ν ρείτε το εμδό του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C f το κι τις ευθείες κι 6 Δίετι η συάρτηση f f() ( ) Α) Ν μελετηθεί κι ρστθεί γρφικά Ν οδειχτεί ότι ισχύει η σχέση: f () f () f() κι ότι η συάρτηση F() f() f () είι μι ράγουσ της f Ν υολογίσετε το εμδό E του μέρους του ειέδου τ σημεί M,y του οοίου ικοοιού τις σχέσεις: με κι y f() Ν υολογίσετε το lim E() Cf 9

Ασκήσεις γι λύση 65 Έστω E(λ) το εμδό του χωρίου ου ερι- κλείετι ό τη κμύλη y ευθείες, λ (λ ) A) N υολογίσετε το E(λ) κι τ, το άξο κι τις lim E(λ), lim E(λ) λ λ Ν ροσδιορίσετε τη ευθεί ου χωρίζει το ράω χωρίο σε δύο ισεμδικά χωρί 66 Δίετι η συάρτηση f ου είι δύο φορές ργωγίσιμη με f γι κάθε R Α η f ρουσιάζει τοικό κρόττο στο o με τιμή μηδέ κι f f ρείτε το εμδό του χωρίου μετξύ της γρφικής ράστσης της συάρτησης f, του άξο κι τω ευθειώ κι ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ 67 Έστω η συάρτηση f συεχής στο R, τέτοι ώστε ισχύει : ( )f()d 5 γι 7 y λ κάθε R Ν ρείτε τη εξίσωση της εφτομέης της 6 C f στο σημείο M(, f()) 68 Δίετι η συάρτηση f() d 6 Α) Η συάρτηση f είι ορισμέη στο τιστρέψιμη κι έχει συεχή ρώτη ράγωγο στο,, οδείξετε ότι: f() f()d f ()d f f f() 5 Δίετι η συάρτηση f Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ: f ()d 6 Δίετι η συάρτηση f ημ, Α) Ν ρείτε τη μοοτοί της f Τζουάρς δεσμες 86/ 6 Ν οδείξετε ότι: Α) λ λ lim lim ημd λ ln lim 6 Α I d Z) ln ln I d, Ν * I, γι κάθε N ρεθεί η εξίσωση της εφτομέης ε της C f στο σημείο o, κθώς κι ο λ R ώστε η ευθεί δ, είι κάθετη στη ε 69 Ν ρεθού οι εξισώσεις τω εφτομέω του διγράμμτος της συάρτησης f d στ σημεί τομής του με το άξο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ,, Ν ρείτε το σύολο τιμώ της f Γ ) Ν ορίσετε τη f Ν ρείτε το ολοκλήρωμ I f ()d 6 Α) Έστω συάρτηση f ορισμέη στο Α κι γησίως ύξουσ στο Α Ν οδείξετε ότι ισχύει: f f () f Α f d, R, οδείξετε ότι η f είι γησίως ύξουσ κι λύσετε τη εξίσωση: f f () ΟΡΙΑ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ d ln lim d οδείξετε ότι lim ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ημ d ημ συ d ημ εφ d lim d 65 Α I d, Ν οδείξετε ότι I I, Ν * Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ

ο Γεικό Λύκειο Χίω Γ Λυκείου Θετική Τεχολογική κτεύθυση Σχ Έτος 8 9 ΓΕΝΙΚΕΣ 66 Ν ρείτε το τύο της συάρτησης F d συ 67 Δίετι η συάρτηση: f() d, R Ν οδείξετε ότι: Α) f ημ γι κάθε R ορίζετι η f :,, το εμδό του χωρίου μετξύ τω C f κι C κι τω ευθειώ κι είι Ε τμ f 68 Η συάρτηση f είι ργωγίσιμη στο R με f κι ισχύει: lnf() γι κάθε R Α) Μελετήστε τη f ως ρος τη μοοτοί Αοδείξτε ότι η f τιστρέφετι Ν λύσετε τις εξισώσεις f κι f Υολογίστε το άθροισμ I f ()d f()d 69 Έστω η συεχής συάρτηση f : R R με f Α z C κι γι κάθε R ισχύει ότι z 5i fd z 5i d Α) Ν ρείτε το γεωμετρικό τόο C τω εικόω του z στο μιγδικό είεδο Ν ρείτε το τύο της συάρτησης h ου έχει γρφική ράστση τη κμύλη C f Ν ρείτε το εμδό E του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συάρτησης H hd, τους άξοες, y y κι τη ευθεί 6 Δίετι η συάρτηση f,, ημ Α) Ν μελετήσετε τη f ως ρος τη μοοτοί κι τ κρόττά της κι ρείτε το σύολο τιμώ της f Ν οδείξετε ότι το εμδό του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C f το άξο κι τις ευθείες κι είι Ε ln 6 Α) Aισότητ Bunyakovsky-Cauchy- Schwarz: Α f, g είι συεχείς συρτήσεις στο Ν οδείξετε ότι ) f()d f ()d ) f()d f ()d f g d f() d g() d,, οδείξετε τη ισότητ

Ασκήσεις γι λύση 6 Έστω η συεχής συάρτηση f :, R γι τη οοί ισχύει ότι fy f y yf γι κάθε,y, με f Α) Ν οδείξετε ότι: ) η f είι ργωγίσιμη στο, με Ν ρείτε το lim f ) f Ν λύσετε τη εξίσωση f ln,, f f γι κάθε,, Ν υολογίσετε το εμδό του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις τω συρτήσεω h f, g κι τη ευθεί 6 Θεωρούμε τη συάρτηση f συεχή το Δ, ώστε γι κάθε Δ ισχύει: είι μι ράγουσ της f στο Δ, οδείξετε ότι: f()d A) F Fd B) F() d F()d f()d f d f d Α F ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΜΕ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ 6 Έστω z συθ iημθ, θ R Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ: zdθ 65 Ν οδείξετε ότι R z -z συθ +iημθ dθ, όου z yi με,y R, θ R κι 66 Δίετι ο μιγδικός z i,, R με z κι η συάρτηση f z z, R ισχύει ότι fd 7 Ν οδείξετε ότι ο z είι φτστικός, γι τη οοί 67 Γι τους z, z C ισχύει ότι z z d z, R, οδείξετε ότι z z 5 68 Ν υολογιστεί το ημ συ d, όου, είι οι τετγμέες τω κοιώ σημείω της ευθείς με τις σύμτωτες του γεωμετρικού τόου τω εικόω τω μιγδικώ ριθμώ z ου ικοοιού τη ισότητ zz- z + z + = 69 *** Έστω z,z C με z,z + i κι η συάρτηση f : R R με f() z z Α) Ν ρεθεί το ελάχιστο της συάρτησης g() f() f(-), R Α η λάγι σύμτωτη της γρφικής ράστσης της, οδείξετε ότι ο ριθμός w z z είι θετικός ργμτικός ριθμός f στο διέρχετι ό το A, z Α ισχύει z z z z z z τότε η εξίσωση f() έχει μί τουλάχιστο λύση στο, Α z κι z i τότε d ln f() Μ ΠΑΠΑΓΡΗΓΟΡΑΚΗΣ