Κεφάλαιο 5 Μιαδική Ανάλυση 5 Μιαδικοί αριθµοί Ορισµός 5 Το σύνολο {( x, y) : x, y } όλων των διατεταµένων ζευών πραµατικών αριθµών εφοδιασµένο µε τις πράξεις ( x, y ) + ( x, y ) = ( x + x, y + y ) (Πρόσθεση), k ( x, y ) = ( k x, k y ), k (Γινόµενο πραµατικού µε µιαδικό), ( x, y ) ( x, y ) = ( x x y y, x y + x y ) (Γινόµενο µιαδικών), καλείται σύνολο των µιαδικών αριθµών, συµβολικά, τα δε στοιχεία του, συµβολικά = ( x, y), καλούνται µιαδικοί αριθµοί Ορισµός 5 ύο µιαδικοί αριθµοί = ( x, y) και = ( x, y) καλούνται ίσοι, συµβολικά = αν και µόνον αν x = x και y = y Kάθε µιαδικός αριθµός = ( x, y) αντιστοιχεί σε µοναδικό σηµείο του επιπέδου x, y Tο άθροισµα µε καρτεσιανές συντεταµένες µιαδικών αριθµών = ( x, y ) και ( x, y ) = αντιστοιχεί στο άθροισ- µα των διανυσµάτων θέσης των αντιστοίχων σηµείων τους Η διαφορά µιαδικών αριθµών ορίζεται ως συνήθως: = + ( ),,, όπου = ( x, y ) είναι ο µοναδικός αντίθετος του ( x, y ) έτσι ώστε + ( ) = (,) =, Αν = ( x, y), τότε το ινόµενο k ερµηνεύεται εωµετρικά ως το ινόµενο πραµατικού αριθµού k µε διάνυσµα που έχει καρτεσιανές συντεταµένες ( x, y ) Τέλος, το ινόµενο µιαδικών αριθµών ικανοποιεί τις συνήθεις ιδιότητες: 3
=, =,,, 3 3 3 Για κάθε υπάρχει µοναδικός µιαδικός αριθµός, ο (,), έτσι ώστε (,) = Για κάθε {(,)}, υπάρχει µοναδικός µιαδικός αριθµός, ο αντίστροφος του, συµβολικά ή, έτσι ώστε = (,) + = +,,, 3 3 3 { } Ορισµός 53 Aν ως εξής:,,, ορίζουµε τη διαίρεση αυτών = Σηµείωση Αν = ( x, y ) και ( x, y ) =,είναι εύκολο να δειχθεί ότι xx + yy xy xy =, x + y x + y Εστω Αλεβρική µορφή µιαδικού αριθµού { } A= = x, : x Το A είναι κλειστό ως προς τις πράξεις που ορίσαµε στο, διότι ια = x,, w= y, A ισχύουν οι σχέσεις: κάθε ( x, ) ± ( y, ) = ( x± y,), ( x, ) ( y, ) ( x y,) ( x, ) x =,, y ( y,) y =, 4
Οι παραπάνω «θυµίζουν» τις συνήθεις πράξεις στο, τουλάχιστον όσον αφορά τη µη µηδενική συνιστώσα των στοιχείων του A Μέσω της - αντιστοιχίας x ( x,) A, ταυτίζουµε το (µε τις συνήθεις πράξεις του) µε το σύνολο A Με άλλα λόια, ταυτίζουµε το µιαδικό αριθµό ( x,) µε τον πραµατικό αριθµό x και ράφουµε x = ( x,) Η διάταξη των πραµατικών δεν επεκτείνεται στους µιαδικούς Έτσι µια έκφραση της µορφής < έχει νόηµα µόνον όταν, Απ την άλλη µεριά, υπάρχει µια απεικόνιση του πάνω στο όπως είπαµε παραπανω Εφόσον ταυτίσαµε κάθε µιαδικό της x, µε τον πραµατικό αριθµό x, ο οριζόντιος άξονας x x µορφής στη εωµετρική παράσταση του παριστάνει την πραµατική ευθεία Tι µπορούµε να πούµε ια τον άξονα yy που παράεται από το µοναδιαίο διάνυσµα (, ); Kατ αρχήν παρατηρούµε ότι (,) (,) = (,) = Ορισµός 54 Ο µιαδικός αριθµός (, ) καλείται φανταστική µονάδα, συµβολικά i και ισχύει Ο άξονας αριθµός της µορφής i = yy καλείται φανταστικός άξονας Κάθε µιαδικός καλείται φανταστικός αριθµός (, y) = y (,) = y i Ετσι, κάθε µιαδικός αριθµός = ( x, y) ράφεται ως Η ραφή = ( x, y) = x (,) + y (,) = x + y i= x+ iy = x+ iy, x, y 5
καλείται αλεβρική ραφή του, η τετµηµένη x καλείται πραµατικό µέρος του, συµβολικά Re( ) και η τεταµένη y καλείται φανταστικό µέρος του, συµβολικά Im( ) Τέλος, το επίπεδο της εωµετρικής αναπαράστασης του καλείται µιαδικό επίπεδο Ορισµός 55 Αν = x+ iy είναι µιαδικός αριθµός, τότε ο µιαδικός αριθµός x iy καλείται συζυής του, συµβολικά Eίναι εύκολο να αποδειχθούν οι ιδιότητες: (α) Re = ( + ), (β) Im ( ) =, i () =, (δ) ± ± = ± ±, (ε) =, (στ) πραµατικος =, (ζ) φανταστικος = Ορισµός 56 Καλούµε µέτρο του µιαδικού αριθµού = x+ iy τo µη αρνητικό αριθµό = x + y Το παριστάνει την απόσταση του = ( x, y) ως σηµείου του µιαδικού επιπέδου από την αρχή των αξόνων Θεώρηµα Ισχύουν: (α) = (β) = () ± + (τριωνική ανισότητα) Απόδειξη Οι (α), (β) είναι εύκολες Θα δείξουµε τη () όσον αφορά το + Η απόδειξη είναι όµοια ια το Εχουµε: + = + + = + + 6
= + + + = + + + = + + Re + + Re + + = + Άρα + + Στη συνέχεια θα αποδείξουµε το πρώτο σκέλος της ανισότητας Εστω Τότε οπότε: = ( + ) + ( ) + + ( ), + + Αν, εραζόµαστε παροµοίως Αρα σε κάθε περίπτωση έχουµε + Tο σύνολο των µιαδικών αριθµών επεκτείνεται εισάοντας το σύµβολο στο µιαδικό επίπεδο Τότε ορίζουµε το επεκτεταµένο µιαδικό επίπεδο = { }, έτσι ώστε: = + = ( ), =, ( ) και = = ια Πολική ή Τριωνοµετρική µορφή µιαδικού Έστω ρ > και θ είναι οι πολικές συντεταµένες σηµείου του µιαδικού επιπέδου που αντιστοιχεί στο µιαδικό = x+ iy Τότε: = x+ iy= ρ συνθ + iηµθ = x + y συνθ + iηµθ = συνθ + iηµθ που αποτελεί την πολική ή τριωνοµετρική µορφή του Λόω την περιοδικότητας η παραπάνω ισότητα παίρνει τη µορφή 7
( συν θ π ηµ θ π ) = ( + k ) + i ( + k ), k Τo σύνολο ωνιών { θ + kπ k } arg = : καλείται όρισµα του, συµβολικά arg( ) Ορισµα δεν ορίζεται ια το µιαδικό αριθµό = Σηµείωση: Αν η ωνία θ διαράφεται από το θετικό ηµιάξονα των πραµατικών αριθµών µε αντιωρολοιακή φορά, ράφουµε απλά θ Αν όµως η φορά διαραφής της από το θετικό ηµιάξονα των πραµατικών αριθµών είναι η ωρολοιακή, ράφουµε θ Προφανώς, το arg( ) παίρνει άπειρες τιµές που διαφέρουν κατά ακέραια πολλαπλάσια του π Μεταξύ των στοιχείων του συνόλου arg υπάρχει ακριβώς ένα στοιχείο που ανήκει στο διάστηµα ( π, π ] (ή στο [ ) συµβολικά Arg ορίσµατος είναι ο εξής: Eστω Arg [,π ),π ) Το στοιχείο αυτό καλείται πρωτεύον όρισµα, Ενας τρόπος υπολοισµού του πρωτεύοντος και = x+ iy Αν τότε: A θ y = τοξεφ, x, x θ π θ o αν τεταρτηµοριο αν τεταρτηµοριο o rg =, αν 3 o π + θ τεταρτηµοριο o π θ αν 4 τεταρτηµοριο Αν Arg ( π, π ] και θ είναι όπως παραπάνω, τότε A θ π θ o αν τεταρτηµοριο αν τεταρτηµοριο o rg =, αν 3 o π + θ τεταρτηµοριο o θ αν 4 τεταρτηµοριο 8
Θεώρηµα 5 Εστω j j ( συνφ j ηµφ j) = + i, j =, είναι δύο µη µηδενικοί µιαδικοί αριθµοί Τότε: (α) = = και φ = φ kπ (β) ( συν ( φ ) i ηµ ( φ )) = + k +, Με άλλα λόια, ο συζυής του είναι το συµµετρικό σηµείο του ως προς τον πραµατικό άξονα () ( συν( φ φ ) i ηµ ( φ φ )) = + + + Με άλλα λόια, το ινόµενο µιαδικών αριθµών, είναι ένας νέος µιαδικός αριθµός µε µέτρο ίσο µε το ινόµενο των µέτρων τους και όρισµα ίσο µε το άθροισµα των ορισµάτων τους = ( ) + ( ), (δ) ( συν φ φ i ηµ φ φ ) Με άλλα λόια, το πηλίκο µιαδικών αριθµών, είναι ένας νέος µιαδικός αριθµός µε µέτρο ίσο µε το πηλίκο των µέτρων τους και όρισµα ίσο µε τη διαφορά των ορισµάτων τους Απόδειξη Oι (α) και (β) είναι προφανείς Θα δείξουµε τη () Εστω = συνϕ + i ηµϕ, ϕ Τότε: =, όπου (( συνφ συνφ ηµφηµφ ) ( ηµφ συνφ ηµφ συνφ )) = = + i + ( συν( φ φ ) i ηµ ( φ φ )) = + + + Ετσι: = = και ϕ φ φ kπ = + +, k Αλλά: ( ) + ( ) = { φ + kπ k } + { φ + λπ λ } arg arg : : { φ φ ( k λ) π : k, λ } { φ φ π: } arg = + + + = + + = 9
Προσοχή: Οσον αφορά τις πρωτεύουσες τιµές των ορισµάτων ισχύει Arg = Arg + Arg + λπ Arg = Arg Arg + λπ και { } ια κάποιο ακέραιο λ * Ορισµός 57 Για κάθε ορίζουµε τη δύναµη µιαδικού µε εκθέτη ακέραιο ως εξής: (α) =, (β) =, -φορές, () = ( ) Aπό το Θεώρηµα 5 και τον ορισµό 57 προκύπτει άµεσα ο τύπος De Moivre: = συν φ + i ηµ φ, (5) ( ) x x x x Γνωρίζουµε ότι e = + + + + + Αν δεχθούµε την!!! παραπάνω ια x = iy, y, όπου i είναι η φανταστική µονάδα, τότε: 3 4 iy iy ( iy) ( iy) e =+ + + + + =+ iy y i y + y +!!!! 3! 4! 4 6 3 5 7 y y y y y y = + i y! 4! 6! + + + 3! 5! 7! = συν y + i ηµ y, όπου τα δεξιά µέλη της προτελευταίας ισότητας είναι τα αναπτύµατα McLauri των συναρτήσεων συνy και ηµy αντίστοιχα Οδηούµαστε λοιπόν στον εξής ορισµό (τύπος Euler): iy Προφανώς e = y iy e = συν y+ i ηµ y, y (5) e είναι προφανής: Αν [ ) iy Η εωµετρική ερµηνεία του y,π, τότε iy η e διαράφει στο µιαδικό επίπεδο το µοναδιαίο κύκλο κέντρου
(,) κατά τη θετική φορά Αν y, επαναδιαράφουµε τον ίδιο κύκλο άπειρες φορές Με χρήση της (5) η πολική µορφή µιαδικού αριθµού ίνεται: Επίσης, ο τύπος De Moivre ίνεται: Ορισµός 58 Εστω a { } και { } του α, συµβολικά a (ή i = e φ (53) iφ = e, (54) / a ) κάθε ρίζα της εξίσωσης Καλούµε νιοστή ρίζα = a i Αν λοιπόν = e φ i είναι τυχαίος µιαδικός αριθµός και a= a e θ, τότε από την εξίσωση = a και τον τύπο του De Moivre παίρνουµε iφ iθ = a e = a e = a και φ = θ + kπ Λύνουµε ως προς και φ και έχουµε θ+ λπ i a = a e, λ Θέτουµε λ = l + k, l, k =,, και παρατηρούµε λόω περιοδικότητας των συνx και ηµx, ότι έχουµε ακριβώς διαφορετικές µεταξύ τους ρίζες, τις είξαµε το Θεώρηµα 53 Εστω a { } θ+ kπ i a = a e, k =,, i : a a e θ, θ νιοστές ρίζες του a είναι οι µιαδικοί αριθµοί = και { } Oι θ+ kπ i a = a e, k =,, (55) Σηµείωση: (α) Γεωµετρικά οι νιοστές ρίζες του a αναπαρίστανται στο µιαδικό επίπεδο ως κορυφές κανονικού -ώνου εεραµ-
µένου σε κύκλο κέντρου (,) και ακτίνας a (β) Αν θ =Α rg, παίρνουµε τον ισοδύναµο τύπο της (55): + Arg a i kπ a = a e, k =,, Ορισµός 59 Εστω a { }, { } µ a µ a µ a και µ Tότε oρίζουµε = = Ασκήσεις είξτε ότι + + + 3 i i i i, + + + = Λύση Από την ιδιότητα i = έχουµε i 3 = i i= i, άρα Αν, ( ) i i i i i i i i + + + = + + + + + + 3 3 = i + i i =, w, δείξτε ότι w w = ( w ) + + + Λύση Εχουµε: + w + w = ( + w)( + w) + ( w)( w) = ( + w)( + w) + ( w)( w) = + w+ w+ ww+ w w+ ww =( w ) + 3 Υπολοίστε την παράσταση ( + i) Λύση Γράφουµε το µιαδικό = + i σε πολικές συντεταµένες
Εχουµε π = + = και θ = τοξεφ = Εφ οσον ο 4 π Arg = θ = 4 αντιστοιχεί σε σηµείο στο ο τεταρτηµόριο προκύπτει πi και συνεπώς + i= 4 e Χρησιµοποιώντας τον τύπο De Moivre παίρνουµε: πi πi 4 4 6 3πi ( + i) = e = e = e = 64 kπi 4 είξτε ότι = wk = e : k =,, Επιπλέον δείξτε ότι οι νιοστές ρίζες της µονάδας ικανοποιούν τη σχέση + w+ + w = + kπ i kπi Λύση Από την (55) παίρνουµε e e, ( k,, ) = = = Tο άθροισµα + w+ + w είναι άθροισµα -όρων εωµετρικής προόδου µε λόο λ = e πi, / άρα: πi/ πi λ e e + w+ + w = + λ + + λ = = = = πi/ πi/ λ e e 5 Εστω, θ { kπ : k } είξτε ότι ( + ) θ ηµ + συνθ + συν ( θ ) + + συν ( θ ) = + θ ηµ i Λύση Εστω w e θ Παρατηρούµε ότι θ = ( θ θ θ ) συνθ συν ( θ ) συν ( θ ) Re + w + w + + w = + + + + (α) Απ την άλλη µεριά: ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) w e e e e e + w + w + + w = = = + iθ i θ / i θ / i θ / i θ / θ θ θ θ iθ iθ / iθ / iθ / iθ / wθ e e e e e 3
( ) ( + ) ( + ) ( + ) i θ / i θ / i θ / e e e = e e e ( ) iθ / iθ / iθ / = e ( ) θ / ( + ) i + θ iηµ iθ / θ e iηµ ( + ) θ ( + ) θ ( + ) iθ / θ θ θ e ηµ συν ηµ ηµ ηµ = = + i θ θ θ ηµ ηµ ηµ Άρα θ ( + ) θ συν ηµ Re( + wθ + wθ + + w θ ) =, θ ηµ οπότε συνδυάζοντας µε την (α) παίρνουµε θ ( + ) θ συν ηµ + συνθ + συν ( θ ) + + συν ( θ ) = θ ηµ Χρησιµοποιώντας την ισότητα προκύπτει το ζητούµενο ( a+ b) + ( a b) ηµ ηµ ηµ aσυν b= 6 Ερµηνεύστε εωµετρικά τά κάτωθι σύνολα: (α) Dr = { : < r}, r (β) E = { : = + t( ), t } θετική σταθερά Λύση Εστω = x+ iy, = x + iy και = x + iy Τότε: (α) < r x x + y y < r x x + y y < r Αρα έχουµε κυκλικό δίσκο κέντρου και ακτίνας r 4
(β) ( ) = + t x+ iy= x + t x x + i y + t y y x= x + t x x y = y + t y y, t Οι παραπάνω είναι παραµετρικές εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από το σηµείο και είναι παράλληλη στο διάνυσµα συν 5θ = 6συν θ συν θ + 5συνθ 7 είξτε ότι 5 3 Λύση Θα χρησιµοποιήσουµε τον τύπο του Euler σε συνδυασµό µε το διωνυµικό ανάπτυµα του Newto k k! a+ b = a b,, a, b, k= k k = k! ( k)! Λαµβάνοντας υπόψην ότι! = (εξ ορισµού) και k! = k έχουµε 5 + = k= k 5 k 5 5 k ( συνθ iηµθ ) συν θ ( iηµθ ) 5 5 5 = συν θ ηµθ συν θ ηµθ συν θ ηµθ + + ( i ) ( i ) ( i ) 5 4 3 5 5 5 + συν θ ηµθ συνθ ηµθ συν θ ηµθ 3 + + 4 5 ( i ) ( i ) ( i ) 3 4 5 = + 5 4 3 συν θ 5iσυν θηµθ συν θηµ θ 3 4 5 iσυν θηµ θ + 5συνθηµ θ iηµ θ (α) Απ την άλλη µεριά από τον τύπο De Moivre έχουµε 5 ( συνθ iηµθ ) συν ( 5θ ) iηµ ( 5θ ) + = + (β) 5
Εξισώνοντας τα πραµατικά µέρη των (α) και (β) και µετά από στοιχειώδεις πράξεις παίρνουµε το ζητούµενο 8 είξτε ότι κάθε δευτεροβάθµια εξίσωση a + b + c =, a, b, c, a έχει δύο ακριβώς λύσεις τις b+ b 4ac, = (η ρίζα είναι µιαδική) a Λύση + + = b b b + + + c = a a a a a b c b b 4ac + = a 4a a + b = b 4ac b+ b 4ac = a Ασκήσεις Υπολοίστε τις ποσότητες: (α) ( 3 i)( i) i i + i + i +, (β) 4 Απάντ (α) 8 + i, (b) 9/+ i 33/ Aν = i, = + i, 3 = 3 i, υπολοίστε τις ποσότητες + + + i, +, Im, Re( 3 + 53) 3 Απάντ (α), (b) 6, () 3 3, (δ) 7 7 3 Εκφράστε τους κάτωθι µιαδικούς αριθµούς σε πολική µορφή 3 3 (α) i, (β) 3 i, () i Απάντ (α) e 3πi, (b) 4e 7πi 6, () 3e 5πi 3 4 είξτε ότι: (α) = = ή = (β) = = () Αν A = ( x, y ) και B ( x, y ) = είναι σηµεία του µιαδικού επιπέδου 6
που αντιστοιχούν στους µιαδικούς αριθµούς και αντιστοίχως, τότε OA OB Re = όπου OA OB είναι το εσωτερικό ινόµενο των διανυσµάτων OA, OB Re = + = i (δ), Im (ε) Εάν είναι ρίζα της εξίσωσης a + a + + a =, ai, τότε και ο είναι επίσης ρίζα αυτής 5 είξτε ότι ια κάθε, w ισχύει w w ( )( w ) = 6 Εστω µιαδικός έτσι ώστε Im και ± i είξτε ότι + = 7 είξτε ότι τα ευθύραµµα τµήµατα που ενώνουν τα σηµεία, και τα σηµεία 3, 4 είναι κάθετα αν και µόνον αν Re = 3 4 8 Βρείτε το εωµετρικό τόπο των σηµείων του µιαδικού επιπέδου που ικανοποιούν την εξίσωση a + c + c + b =, ab,, c νωστοί) ( { } Απάντ Αν a = ευθεία Αν a και c > ab κύκλος 9 Βρείτε το εωµετρικό τόπο των σηµείων του µιαδικού επιπέδου που ικανοποιούν τις εξισώσεις: (α) ( i) + =, (β) + + 3i = 6, () + =, Απάντ (α) κύκλος κέντρου + i και ακτίνας (β) έλλειψη µε εστίες τα σηµεία - και 3i () υπερβολή µε εστίες τα σηµεία και - 7
Υπολοίστε την ποσότητα 3i + 3i Απάντ +i 3 είξτε ότι: ( 4 ) ηµ θ ηµθ ( k k ) = 3 4συν θ 4 συνθηµ θ, θ π, Εστω, θ { kπ : k } είξτε ότι ( + ) θ θ συν συν + ηµθ + ηµ ( θ ) + + ηµ ( θ ) = θ ηµ π 4π ( ) π 3 είξτε ότι συν + συν + + συν = 4 Υπολοίστε και σχεδιάστε στο µιαδικό επίπεδο τις τέταρτες ρίζες, i,, i, τετράωνο του 6 Απάντ { } 5 Επιλύστε τις εξισώσεις (α) + i = 3+ i, (β) + 6 4=, 5 4 3 Απάντ (α) + i, i (β),,, ± i (σχήµα Horer) 8
5 Mιαδικές συναρτήσεις Oρισµός 5 Εστω A, B Κάθε απεικόνιση f : A B τέτοια ώστε σε κάθε µιαδικό αριθµό A να αντιστοιχεί µοναδικός µιαδικός αριθµός w= f καλείται µιαδική συνάρτηση µιαδικής µεταβλητής Το A είναι το πεδίο ορισµού της f, δηλαδή εκείνο το υποσύνολο του ια το οποίο ο τύπος της µιαδικής συνάρτησης έχει νόηµα Το πεδίο τιµών της f ορίζεται ως εξής: { } = : = f A w w f Κάθε µιαδική συνάρτηση f : A B ράφεται ως εξής: f = f( x+ iy) = uxy, + ivxy, = uxy,, vxy,, όπου uv, : A είναι πραµατικές συναρτήσεις Ετσι, η f ερµηνεύεται ως ένα διανυσµατικό πεδίο και αντιστρόφως F f ( x+ iy) = u xy, + ivxy, xy, = u xy,, vxy (, ) Σηµείωση: Αν το πεδίο ορισµού µιας µιαδικής συνάρτησης είναι υποσύνολο του λέµε ότι έχουµε µια µιαδική συνάρτηση πραµατικής µεταβλητής Τέτοιες συναρτήσεις παριστάνουν εν ένει καµπύλες στο µιαδικό επίπεδο Για παράδειµα η συνάρτηση f () t = + it, t είναι µια µιαδική συνάρτηση πραµατικής µεταβλητής και απεικονίζει τον πραµατικό άξονα στην ευθεία Re( ) = του µιαδικού επιπέδου Στο εξής όταν ράφουµε µιαδική συνάρτηση θα εννοούµε µιαδική συνάρτηση µιαδικής µεταβλητής Πλειονότιµες συναρτήσεις Στη µιαδική ανάλυση ενικεύουµε τον ορισµό συνάρτησης ώστε ο κανόνας αντιστοίχισης να επιτρέπει σε 9
κάθε µιαδικό να αντιστοιχούν περισσότερες από µια τιµές Τέτοιες συναρτήσεις καλούνται πλειονότιµες (ή πλειότιµες), εν αντιθέσει µε τις µονότιµες συναρτήσεις Ένα χαρακτηριστικό παράδειµα είναι η + Arg i λπ f = = e, λ =,, Η δεν είναι καλά ορισµένη µε τη συνήθη έννοια, διότι σε κάθε αντιστοιχεί όχι µοναδική, αλλά -διαφορετικές τιµές Παρόλα αυτά ορίζουµε την όπως παραπάνω µε την επισήµανση ότι πρόκειται ια µια πλειονότιµη συνάρτηση Πάντα όµως τη µελετούµε ως µονότιµη συνάρτηση, δηλαδή θεωρούµε κάποια συκεκριµένη τιµή σε σχέση µε το σύνολο τιµών της Στην περίπτωση αυτή µιλούµε ια ένα συκεκριµένο κλάδο της πλειονότιµης συνάρτησης Οι πράξεις µε µιαδικές συναρτήσεις ορίζονται όπως συνήθως Ορισµός 5 Η συνάρτηση f : : f = a + a+ a + + a, ai καλείται πολυωνυµική βαθµού Μια µιαδική συνάρτηση καλείται ρητή αν είναι πηλίκο δύο πολυωνύµων Ορισµός 5 Μια µιαδική συνάρτηση f : A B καλείται φραµένη στο A, αν το πεδίο τιµών της f ( A ) είναι φραµένο σύνολο στο Ορισµός 53 Αν f : A f( A), g: f( A) B είναι δύο µιαδικές συναρτήσεις, ορίζoυµε τη σύνθεση αυτών ως συνήθως: g f : A B: g f = g f Ορισµός 54 Αν f : A f( A): w= f είναι - µιαδική συνάρτηση, ορίζουµε την αντίστροφη αυτής f ως συνήθως: f : f A A: f w = 3
Η Εκθετική και λοαριθµική συνάρτηση Ορισµός 55 Για κάθε = x+ iy,( x, y ), ορίζουµε την εκθετική συνάρτηση ως εξής: x iy e = e e Θεώρηµα 54 Eστω,, Τότε: + (α) e = e e (β) Για κάθε ισχύει e () e = e = + π i, (δηλαδή η e είναι π i -περιοδική) (δ) e = = π i, (ε) e = (στ) e e e = e Απόδειξη (α) Αµεση εφαρµοή του ορισµού (β) Επειδή ια κάθε ισχύει ee e, αλλιώς καταλήουµε σε άτοπο () Eστω = x + i y, j =, Τότε: j j j = e = συµπεραίνουµε ότι x iy x iy e = e e e = e e x x e = e και y = y + kπ, k, και λόω του εονότος ότι η x e είναι παίρνουµε x = x Τελικά: = ( x x ) + i( y y ) = + iπ = π i, (δ) Απλή εφαρµοή του () ια = και = (ε) iy x iy x iy x iy e e = e = e e = e e = = iy x iy e e e e (στ) Απλή εφαρµοή του (ε) σε συνδυασµό µε το (α) 3
Ορισµός 56 Εστω a { } Kαλούµε µιαδικό λοάριθµο του a, συµβολικά log a να είναι κάθε λύση της εξίσωσης i Εστω a= a e θ, θ και = x+ iy Τότε: x iy i e = a e e = a e θ e x e = a = a και y= θ + kπ, k x Aπό την ισότητα e = a προκύπτει x = a, συνεπώς, αν θ είναι ένα όρισµα του α παίρνουµε ( θ π ) log a= x+ iy= a + i + k k, ή ισοδύναµα Ετσι και η συνάρτηση log a= a + iarg( a) (56) log = + iarg (56α) που καλείται λοαριθµική είναι πλειονότιµη Αν στην (56α) πάρουµε k = και θ = Arg τότε παίρνουµε τον πρωτεύοντα κλάδο λοάριθµου Log = + i Arg Γεωµετρική ερµηνεία των e και log( ) Η εκθετική συνάρτηση e απεικονίζει µονοσήµαντα κάθε οριζόντια λωρίδα του µιαδικού επιπέδου { :, π π π π} C = x+ iy x k < y k + ( k ) k πάνω στο συνόλο { } Η e : Ck {} έχει αντίστροφη συνάρτηση τον κλάδο της λοαριθµικής συνάρτησης { } log : C : log = + i Arg + k π k 3
Ετσι, log( e ) = ια κάθε C k απεικονίζει το µιαδικό επίπεδο { } λωρίδα C k Ορισµός 57 Εστω a { } άρρητος, είτε Im( a), συνεπώς κάθε κλάδος λοαρίθµου πάνω σε µια οριζόντια και b τέτοιος ώστε: είτε ο a είναι Τότε ορίζουµε τη δύναµη b a ως εξής: a = e b blog a Σηµείωση (α) Ο παραπάνω ορισµός καλύπτει και τις περιπτώσεις m b, b= ( m,, > ) όπου m, πρώτοι µεταξύ τους ανά δύο b (β) Στο εξής όταν ράφουµε a θα εννοούµε πάντα την πρωτεύουσα τιµή της Τώρα, ορίζεται και η πλειονότιµη συνάρτηση a a log = e, Πρωτεύον κλάδος της είναι ο πρωτεύον κλάδος της log Στο εξής a όταν ράφουµε θα εννοούµε πάντα τον πρωτεύοντα κλάδο της, δηλαδή τη µονότιµη συνάρτηση Ορισµός 58 Εστω a { } συνάρτηση a = e a alog Ορίζουµε τη ενικευµένη εκθετική = e log a Στο εξής όταν ράφουµε κλάδο της a θα εννοούµε πάντα τον πρωτεύοντα Τριωνοµετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις Θα επεκτείνουµε τον ορισµό των ηµx και συνx στο Από τον τύπο του Euler παίρνουµε 33
iy iy e = συν y+ i ηµ y και e = συν y i ηµ y, y Λύνοντας τις παραπάνω ως προς συν y και ηµ y έχουµε iy iy iy iy e + e e e συν y = και ηµ y = i Επεκτείνουµε τις παραπάνω ισότητες ως εξής: και e συν : : συν = i + e i i i e e ηµ : : ηµ = i Οι παραπάνω εξακολουθούν να είναι π -περιοδικές συναρτήσεις (όπως και οι ηµx, συνx) αλλά δεν είναι πλέον φραµένες Αυτή είναι µια σηµαντική διαφοροποίηση σε σχέση µε τις συναρτήσεις ηµx και συνx στο Οι υπόλοιπες τριωνοµετρικές συναρτήσεις ορίζονται ως συνήθως: και π ηµ εφ: kπ + : k : εφ=, συν συν σφ: { kπ : k } : σφ = ηµ Οι βασικές τριωνοµετρικές ιδιότητες εξακολουθούν να ισχύουν Ενδεικτικά αναφέρουµε ηµ + συν = ηµ ( ± ) = ηµ συν ± συν ηµ συν ± = συν συν ηµ ηµ ( ) συν = συν = ηµ ηµ = ηµ συν 34
Oι υπερβολικές συναρτήσεις ορίζονται ως φυσική ενίκευση των αντιστοίχων συναρτήσεων στο : e e sih : : sih = e + e cosh : : cosh = πi sih tah : + kπi: k : tah =, cosh cosh coth : { kπi: k } : coth = sih Οι ιδιότητες των υπερβολικών συναρτήσεων εξακολουθούν να ισχύουν στο Ενδεικτικά αναφέρουµε cosh sih =, sih ± = sih cosh ± cosh sih, sih( ) cosh ± = cosh cosh ± sih sih, = sih cosh, cosh = cosh = + sih Γραµµικές συναρτήσεις w = a+ b iarg a Παρατηρούµε ότι w = a+ b= e a+ b, ab, Αρα µπορούµε να συνθέσουµε τη ραµµική απεικόνιση ως εξής: iarg a ζ = a σ = e ζ = a w= σ + b= a+ b διαστολη περιστροφη µεταφορα 35
Ασκήσεις Υπολοίστε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων + 3 (α) f = 3 +, (β) f = Arg +, () f Λύση (α) Πρέπει π+ kπ i 3 3 3 3 + = + + e, k =,, π+ kπ i πi 5πi 3 3 3 3 3 3 3 Εφόσον e = e,, e, το πεδίο ορισµού της πi 5πi 3 3 3 3 3 f είναι το σύνολο e,, e (β) Εχουµε µια σύνθετη συνάρτηση f = h g, όπου g + 3 h + 3 f = Arg + + Πρέπει π+ kπ i + e, k =, ± i Αρα + 3 g: { ± i} { }: g = + Γνωρίσουµε ότι η Arg ( ) ορίζεται στο { } ότι η f = h g είναι καλά ορισµένη στο { 3, i, i} () Πρέπει οπότε συµπεραίνουµε + Re Αρα πεδίο ορισµού είναι το εξαιρουµένων όλων των σηµείων του άξονα των φανταστικών αριθµών Αν f ( xy, ) x xy ix ( y) = + + + ράψτε την f συναρτήσει της µιαδικής µεταβλητής = x+ iy 36
Λύση Εφόσον x= +, y=, αντικαθιστούµε στον τύπο της f και i έχουµε + + f i + = + + + i i ( ) + + ( + ) + ( + ) + ( ) i i i i = 4 3 Επιλύστε στο την εξίσωση e = + i 3 Λύση e = + i 3 = log + i 3 = + i 3 + i Arg + i 3 + kπ Εφόσον i 3 π + = =, τελικά: 3 π e = + i 3 = + i + kπ, k 3 + = και Arg ( i 3) τοξεφ ( 3) 4 Υπολοίστε τις τιµές i i Λύση Εξ ορισµού έχουµε παίρνουµε 5 είξτε ότι: i i ilog( i) = e Χρησιµοποιώντας την (i) π i k π ilog() i k i + π π i e e e, k (α) Re( ηµ ) = ηµ x cosh y και Im (β) sih y ηµ cosh y, y = = = ηµ = συνx sih y, όπου x, y ix ( + iy) ix ( + iy) ( ( + ) ix ( + iy) ) i i e e e e i ix iy Λύση (α) ηµ = = = e e i i 37
i i = = + y ix y+ ix y y ( e e ) ( e ( συν x iηµ x) e ( συν x iηµ x) ) y y e ηµ x+ e ηµ x i = + y y ( e συν x e συν x) y y y y e + e e e = ηµ x + iσυν x = ηµ x cosh y+ iσυν x sih y (β) Εχουµε ( ) ηµ = Re ηµ + Im ηµ = ηµ x cosh y+ συν x sih y = συν x cosh y+ συν x sih y = cosh y συν x cosh y = sih y = sih y, διότι συν x και cosh y y Οµοίως ηµ = cosh y συν x cosh y = cosh y 6 Αν R είναι το ορθοώνιο µε πλευρές x =, y=, x=, y=, 4 υπολοίστε την εικόνα του R µέσω της απεικόνισης w= e Λύση Η απεικόνιση αυτή διαστέλλει το χωρίο R του επιπέδου κατά µέσω της ώστε να προκύψει ένα νέο χωρίο R το οποίο στη συνέχεια περιστρέφει κατά ωνία π /4 κατά τη θετική φορά Στο κάτωθι σχήµα φαίνεται το τελικό χωρίο σε σχέση µε το αρχικό 4 πi 3 38
π Ω= 4 7 Βρείτε την εικόνα του κυκλικού τοµέα :, Arg µέσω της απεικόνισης w 4 = 4 4 4 iarg ( ) iarg Λύση Γράφουµε = e, άρα w= = e, δηλ w = 6 π και Arg ( w) = 4Arg Εφόσον Arg προκύπτει Arg ( w) π 4 Ω = w: w 6, Arg w π { } Αρα η εικόνα του Ω είναι το χωρίο Ασκήσεις Υπολοίστε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων (α) f = Log( ηµ ), (β) i =, () f Log( ) f + = Απάντ (α) { kπ : k } (β) { } () { ±} Αν f ( xy, ) 4x 8y i( 8x 4y ) 4 = + να ραφεί η f συναρτήσει της µιαδικής µεταβλητής = x+ iy f = + i + + i + 8i Απάντ 3 Υπολοίστε τις τιµές των µιαδικών λοαρίθµων 3 (i) log 4, (ii) log 3, (iii) log i (i) π 4π + i π + kπ (ii) + i + kπ i + kπ 6 (iii) 3 ( i) Απάντ 4 Υπολοίστε στο οι δυνάµεις: i (i) + i, (ii) Απάντ (i) e π kπ + i 4 (ii) e kπi 6 Επιλύστε στο οι εξισώσεις (α) 3 e =, (β) συν =, () cosh = 39
Απάντ (α) kπi 3 =, (β) = kπ i ( ± 3), () = k ± πi 3 7 είξτε ότι: i (α) e = συν + iηµ (β) ηµ ( ) = ηµ και συν () ηµ ( i) = isih και ( i) cosh tah (ε) cosh( + ) = cosh cosh + sih sih (στ) cosh cosh sih = συν συν = (δ) tah = = + (ζ) ηµ = = kπ, k 8 είξτε ότι µέσω της w Log = κύκλοι µε κέντρο το (,) στο επίπεδο των απεικονίζονται σε ευθύραµµα τµήµατα µήκους π παράλληλα µε το φανταστικό άξονα του επιπέδου w, ενώ ευθείες που διέρχονται από την αρχή (,) του επιπέδου των απεικονίζονται σε ευθύραµµα τµήµατα µήκους π παράλληλα µε τον πραµατικό άξονα του επιπέδου w 9 είξτε ότι η εικόνα του κύκλου C: 3 = 5 µέσω της απεικόνισης w = είναι ο κύκλος του κύκλου C ; 3 5 w + = Που απεικονίζεται το εσωτερικό 6 8 Απάντ (α), Όχι () Στο εξωτερικό του C 4
53 Μιαδική Παράωος Ορισµός 59 Εστω και ε > Καλούµε ανοικτό δίσκο κέντρου D ( ) = : < ε και ακτίνας ε το σύνολο ε { } Ορισµός 5 Ένα σύνολο E καλείται ανοικτό αν και µόνον αν δεν περιέχει κανένα συνοριακό του σηµείο Το E καλείται κλειστό εάν αν και µόνον αν περιέχει όλα τα συνοριακά του σηµεία Σηµείωση: To σύνολα και θεωρούνται ως ανοικτά και κλειστά ταυτόχρονα Προφανώς υπάρχουν υποσύνολα του που δεν είναι ούτε ανοικτά ούτε κλειστά Ορισµός 5 Ενα σύνολο E καλείται συνεκτικό ή τόπος εάν δεν υπάρχουν δύο ξένα µεταξύ τους ανοικτά (ή κλειστά) υποσύνολα του τέτοια ώστε η ένωσή τους να καλύπτει το E Ειδικά αν το E είναι ανοικτό, τότε το E είναι συνεκτικό αν ια κάθε ζεύος σηµείων του υπάρχει συνεχής καµπύλη που τα συνδέει µένοντας εξ ολοκλήρου µέσα στο E Το E καλείται απλά συνεκτικό εάν οποιαδήποτε κλειστή καµπύλη εντός του E µπορεί να συσταλεί µε συνεχή τρόπο σε σηµείο του E παραµένοντας πάντα εντός του E Πρόταση 5 Εστω f : E : f = uxy (, ) + ivxy (, ) και = x + iy είναι σηµείο συσσώρευσης του E Αν a= u + iv, τότε lim f = a ( xy, ) ( x, y) ( xy, ) ( x, y) (, ) (, ) lim u x y = u lim v x y = v Με άλλα λόια η εύρεση ορίου µιαδικής συνάρτησης ανάεται στην εύρεση ορίου συνάρτησης υο µεταβλητών Ισχύουν οι συνήθεις ιδιότητες των ορίων Oταν εµφανίζονται οι συνήθεις απροσδιόριστες µορφές,,, εραζόµαστε όπως στις πραµατικές συναρτήσεις (ο κανόνας L Hospital µπορεί να εφαρµοσθεί όπως θα δούµε λίο παρακάτω) 4
Πρόταση 5 Εστω f : E : f = uxy (, ) + ivxy (, ) και = x + iy είναι σηµείο του E Η f είναι συνεχής στο αν και µόνον αν οι συναρτήσεις u και v είναι συνεχείς στο σηµείο ( x, y ) Οι πολυωνυµικές, τριωνοµετρικές, υπερβολικές, και η εκθετική συνάρτηση είναι συνεχείς στο πεδίο ορισµού τους e Για τη λοαριθµική συνάρτηση τα πράµατα δεν είναι τόσο απλά διότι στον ορισµό της υπεισέρχεται η συνάρτηση Arg ( ) η οποία δεν είναι καλά ορισµένη στο = Αποδεικνύεται η ακόλουθη Πρόταση 53 Η συνάρτηση Arg : { } ( π, π ] στο σύνολο είναι συνεχής { : Re, Im } * = = Η πρόταση αυτή έχει άµεσες επιπτώσεις όσον αφορά τη συνέχεια log, a, κλπ συναρτήσεων όπως είναι οι Eστω Arg ( π, π ] log( ),, a Kάθε κλάδος των συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση επί του συνόλου { : Re, Im } = = * Ορισµός 5 Κάθε συνάρτηση a : καλείται ακολουθία µιαδικών αριθµών 4
Πρόταση 54 Έστω x iy ( ) =, + είναι µια ακολoυθία µιαδικών αριθµών Αν = x + iy, τότε ισχύει: lim = lim x = x και lim y = y + + + H Πρόταση 54 ανάει την εύρεση ορίου µιας ακολουθίας µιαδικών αριθµών στην εύρεση ορίων πραµατικών ακολουθιών Ορισµός 53 Έστω { : } είναι µια ακολουθία µιαδικών N αριθµών Ορίζουµε µια νέα ακολουθία S = Αν η ακολουθία S N N = συκλίνει σ ένα µιαδικό αριθµό S και ράφουµε Αν = S = = N, τότε ο S καλείται σειρά <, θα λέµε συµβατικά ότι η σειρά συκλίνει στο S Αν µια σειρά δε συκλίνει θα λέµε ότι αποκλίνει Tα κριτήρια ια τη σύκλιση πραµατικών σειρών µεταφέρονται και στη σύκλιση σειρών µιαδικών αριθµών Πρόταση 55 (α) Κριτήριο λόου Έστω lim = λ <, τότε + + < = lim = λ >, τότε η σειρά αποκλίνει (β) Κριτήριο ρίζας (Cauchy) Έστω η σειρά lim = λ <, τότε η σειρά lim = λ >, τότε η σειρά αποκλίνει µε { } = Αν µε { } = < = Αν 43
Ορισµός 54 Έστω f : E, E ανοικτό και E Θα λέµε ότι η f είναι παραωίσιµη στο αν υπάρχει το όριο f f lim = λ Καλούµε το παραπάνω όριο µιαδική παράωο της f στο και ράφουµε f ή df ( ) d Ορισµός 55 Εστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του Θα λέµε ότι µια µιαδική συνάρτηση f : E είναι ολόµορφη (ή αναλυτική) σε σηµείο E, αν υπάρχει ε > έτσι ώστε η f να είναι παραωίσιµη σε όλα τα σηµεία που ανήκουν στον ανοικτό δίσκο Dε ( ) κέντρου και ακτίνας ε Αν η f είναι παραωίσιµη σε κάθε σηµείο του E τότε θα λέµε ότι η f είναι ολόµορφη στο E Αν η f είναι ολόµορφη σ ολόκληρο το τότε καλείται ακεραία Πρόταση 56 Αν µια µιαδική συνάρτηση f είναι παραωίσιµη σε σηµείο, τότε η f είναι συνεχής στο Απόδειξη Για κάθε Παίρνοντας όρια έχουµε = f f έχουµε f f ( ) f f lim ( f f( )) = lim lim( ) = f ( ) = Σηµείωση Το αντίστροφο δεν ισχύει Οι νωστοί κανόνες παραώισης εφαρµόζονται στις µιαδικές συναρτήσεις Πρόταση 57 Εστω f, g είναι παραωίσιµες συναρτήσεις σε σηµείο Τότε 44
± είναι παραωίσιµη στο και ισχύει Η af bg, ( a, b ) Η f ± = ± ( af bg ) ( ) af ( ) bg ( ) g είναι παραωίσιµη στο και ισχύει = + ( f g) ( ) f ( ) g( ) f ( ) g ( ) Αν g ( ), η f / g είναι παραωίσιµη στο και ισχύει f f g f g ( ) g = g Απόδειξη Όπως στις πραµατικές συναρτήσεις Πρόταση 58 (κανόνας αλυσίδας) Εστω E είναι ανοικτό υποσύνολο του, f : E f ( E) είναι παραωίσιµη σε σηµείο και g: f ( E) είναι παραωίσιµη στο f ( ) Τότε και η σύνθεση g f είναι παραωίσιµη στο και ισχύει = g f g f f Πρόταση 59 (αντίστροφης συνάρτησης) Εστω w= f είναι µε f ( ) Τότε υπάρχει µια ανοικτή ολόµορφη σε σηµείο περιοχή V του σηµείου και µια ανοικτή περιοχή W του σηµείου w = f έτσι ώστε η f : V W είναι -, η αντίστροφη συνάρτηση : f W V είναι ολόµορφη στο ( f ) ( w ) f και ισχύει = f ( ) Ένα πολύ χρήσιµο θεώρηµα όσον αφορά τόσο την ύπαρξη όσο και τον υπολοισµό της µιαδικής παραώου παρέχει το ακόλουθο 45
Θεώρηµα 54 (Εξισώσεις Cauchy-Riema) Έστω E είναι ανοικτό, = x + iy είναι σηµείο του E και f : E : f = u x, y + iv x, y Η f είναι παραωίσιµη στο αν και µόνον αν οι u( x, y ) και v( x, y ) είναι διαφορίσιµες στο σηµείο (, ) ux x, y = vy x, y uy x, y = vx x, y x y και Οι παραπάνω εξισώσεις καλούνται εξισώσεις Cauchy-Riema Απόδειξη: Θα δείξουµε µόνον τη συνεπαωή " " Eστω f είναι παραωίσιµη στο = x + iy Τότε υπάρχει το όριο f f f ( ), όταν Ας επιλέξουµε f = x + iy Τότε όταν y y και έχουµε: ( ) f f( ) u x, y u x, y v x, y v x, y = lim = lim + y y i y y y y ( ) u x, y u x, y v x, y v x, y = i lim + lim y y y y y y y y y (, ) (, ) = v x y i u x y y Oµοίως αν επιλέξουµε = x+ iy, τότε όταν x x και έχουµε (, ) (, ) (, ) (, ) f f( ) u x y u x y v x y v x y = = + f lim lim i x x x x x x 46
x (, ) (, ) = u x y + i v x y x Εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη των παραπάνω έχουµε άρα x (, ) + (, ) = v ( x, y ) i u ( x, y ) u x y i v x y x x y y (, ) = (, ) και u ( x, y ) v ( x, y ) u x y v x y y y = x Eύκολα τώρα συνάουµε τις ισότητες: f ( ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) u x y + iv x y = f x y x x x = iuy x y + vy x y = i f y x y (57) Πόρισµα 5 Εστω f = u+ i v Αν υπάρχουν οι µερικές παράωοι ux, uy, vx, v y, είναι συνεχείς σε µια περιοχή του σηµείου = ( x, y) και ux( x, y) = vy( x, y), uy( x, y) = vx( x, y) τότε υπάρχει η µιαδική παράωος της f στο και ισχύει η (57) Από εωµετρικής σκοπιάς, αν f ( ), τότε τοπικά στο έχουµε f f + f, οπότε η εικόνα περιράφεται ικανοποιητικά µέσω της παραπάνω ραµµικής απεικόνισης Ετσι, η f διατηρεί τις ωνίες οποιονδήποτε δυο καµπύλων που τέµνονται στο Είναι όπως λέµε µια σύµµορφη απεικόνιση Πρόταση 5 Έστω f : E είναι ολόµορφη σε τόπο Ε Αν f = ια κάθε E, τότε η f είναι σταθερή στο Ε Πρόταση 5 (L Hospital) Έστω f, g είναι παραωίσιµες στο 47
µε f ( ) = g( ) = Αν g, τότε lim ( ) f f = g g Εστω f ολόµορφη σε σηµείο Αν υπάρχει η ( f ) ( ), τότε λέµε ότι υπάρχει η f ( ) Με τον τρόπο αυτό ορίζουµε παραώους d f ανώτερης τάξης f ( ) = d Παραώιση βασικών συναρτήσεων Πρόταση 5 Η εκθετική συνάρτηση { } ολόµορφη στο και ικανοποιεί την σχέση f = e f : : f= e είναι x Απόδειξη Εχουµε f = e( συν y+ iηµ y)= uxy (, ) + ivxy (, ), όπου = x+ iy, uxy (, )= e x συν y και vxy (, )= e x ηµ y Παρατηρούµε ότι x ισχύουν οι εξισώσεις Cauchy-Riema διότι u = e συν y= v και u = x y eηµ y= vx Επειδή δε οι µερικές παράωοι είναι συνεχείς συµπεραίνουµε ότι η εκθετική συνάρτηση είναι ολόµορφη και f = f = u + iv = u+ iv= e x x x Πρόταση 53 Η συνάρτηση Log ( ) είναι ολόµορφη επί του συνόλου και * { x iy: x, y }, Arg ( π, π ] = + = ( Log ) = Το ίδιο ισχύει ια οποιοδήποτε άλλο κλάδο της Απόδειξη: Η Log ( ) είναι συνεχής µόνον επί του x * και είναι y 48
αντίστροφη της εκθετικής e στον πρωτεύοντα (όπως και σε άλλο κλάδο της) Από το Θεώρηµα παραώισης αντίστροφης συνάρτησης έχουµε ( Log ) = = w = w e e Πρόταση 54 Οι συναρτήσεις ηµ και συν είναι ολόµορφες στο ηµ συν συν = ηµ (δηλαδή ακεραίες) και = όπως και Παρατήρηση: Κάθε πολυωνυµική συνάρτηση f = a + a + + a + a ( a ), i είναι ακεραία συνάρτηση και ισχύει f = a + ( ) a + + a Κάθε ρητή συνάρτηση a + a + + a + a m m b m + bm + + b + b είναι ολόµορφη στο εκτός των σηµείων που µηδενίζεται ο παρονοµαστής H συνάρτηση = a είναι ακεραία Τότε ( a ) a Log( a) H συνάρτηση a a = a a είναι ολόµορφη στο * (βλέπε (3)) Τότε Γενικότερα: Oι τύποι των παραώων όλων των νωστών πραµατικών συναρτήσεων ισχύουν ια τις αντίστοιχες µιαδικές συναρτήσεις υπό την προϋπόθεση να νωρίζουµε το πεδίο όπου αυτές είναι ολόµορφες 49
Ασκήσεις Yπολοίστε τα όρια: (α) lim ( 5 ) + i +, (β) lim i i ( ), () lim 4 3 + + 4 +, (δ) ηµ lim, (ε) ηµ lim, (στ) lim Λύση (α) lim 5+ = + i 5 + i + = i 5 5i+ = 5 3i + i (β) lim i i ( ) = () lim 4 3 + + 4 + Β τρόπος: Iσχύει 4 3 + + 3 4 = lim = 3, lim, k, 4 k = = + 4 3 + + 4 3 lim lim lim + + f = f = = lim 4 + + 4 3 4 3+ + = = 3 + (δ) Επειδή το όριο είναι της µορφής / χρησιµοποιούµε τον κανόνα L Hospital και έχουµε ηµ συν lim = lim = = 5
(ε) Για = x, x έχουµε ηµ x + lim =, x + ηµ ηµ x x x lim = lim = x x ηµ x lim, x = x x Αρα το όριο δεν υπάρχει (στ) Αν και έχουµε / η συνάρτηση δεν είναι παραωίσιµη στο (βλέπε παρακάτω), άρα ο κανόνας L Hospital δεν µπορεί να εφαρµοσθεί Εστω = + iy, y Τότε και έχουµε Απ την άλλη µεριά αν Αρα το όριο δεν υπάρχει iy lim = lim = lim ( ) = y + iy y = + x, x, τότε πάλι αλλά + x lim = lim = lim() = x + x x Υπολοίστε τα όρια των ακολουθιών: (α) lim + 3 i +, (β) + i lim + i + + + +, 3 3 3 3 Λύση (α) = i = i = ( + ) Αρα i lim =, (διότι lim a + 3 = lim a = ) + + + 5
(β) πi iπ + i 4 4 lim = lim e = lim e + + + Εφόσον ( ) e iπ 4 x = / ( + ) (διότι lim = lim = ) το / x + x x + x / ζητούµενο όριο ισούται µε µηδέν 3 είξτε ότι: (α) ( + i 3) < / = 5 i i i 9+ 3i (β) + + + + + = 3 3 3 Λύση (α) Εφαρµόζουµε το κριτήριο ρίζας και έχουµε ( i ) + 3 + i 3 = = < / 5 5 5 άρα η σειρά συκλίνει (β) i i i i 3 9+ 3i + + + + + = = = = 3 3 3 3 i = 3 i 3 4 Υπολοίστε το σύνολο όπου οι συναρτήσεις (α) e e, (β) ( e ) ηµ, () συν, (δ) e, (ε) i +, είναι ολόµορφες και στη συνέχεια υπολοίστε την παράωο αυτών Λύση (α) Εφόσον η e είναι ακεραία (δηλαδή ολόµορφη στο ) και 5
ζ e η σύνθετη συνάρτηση ζ = e w= e = e θα είναι επίσης ακεραία Από τον κανόνα αλυσίδας έχουµε (β) Εφόσον οι e, = ζ e w ηµζ ηµ ( e ) κανόνα αλυσίδας έχουµε e e e e e e e = e e = e + ηµ είναι ακεραίες και η σύνθετη συνάρτηση = = = θα είναι επίσης ακεραία Από τον () Έστω = x+ iy Τότε ( ηµ ) = συν συν e e e = e e ( ) = ( x iy) = x ( iy) + x ( iy) συν συν συν συν ηµ ηµ e + e e e = συν x + ηµ x i i y i y i y i y άρα y y y y e + e e e = συν x i ηµ x = συν x cosh y+ i ηµ x sih y, u x, y = συν x coshy v x, y = ηµ x sihy Μελετούµε τις εξισώσεις Cauchy-Riema Εχουµε ux = ηµ x cosh y, uy = συν x sih y vx = συν x sih y, vy = ηµ x cosh y Οι παραπάνω µερικές παράωοι είναι συνεχείς στο αλλά οι ισότητες ux = vy και uy = vx εύκολα βλέπουµε ότι ικανοποιούνται µόνον ια x= kπ ( k ), y= Αρα η συνάρτηση είναι παραωίσιµη ΜΟΝΟΝ στο σηµείο k = kπ, συνεπώς ΕΝ είναι ολόµορφη σε κανένα σηµείο του (διότι δεν υπάρχει ε-ανοικτός δίσκος Dε ( ) 53
κανενός σηµείου k ώστε η f να είναι παραωίσιµη ΓΙΑ ΚΑΘΕ σηµείου του δίσκου αυτού (δ) Η συνάρτηση e είναι ακεραία, άρα είναι e : e = = k i: k Η παράωος της ολόµορφη στο { } { π } συνάρτησης είναι e = e ( e ) (παραώιση πηλίκου) i+ ( + i) Log (ε) Κάθε κλάδος της συνάρτησης = e είναι ολόµορφη στο x+ iy: x, y= Η παράωος αυτής είναι σύνολο { } i ( ) ( ) i + = + i 5 Eξετάστε τα σηµεία όπου η συνάρτηση f = x y+ ix έχει παράωο Βρείτε όλα τα σηµεία όπου η f είναι ολόµορφη Λύση Μελετούµε τις εξισώσεις Cauchy-Riema και έχουµε ux = xy, uy = x vx =, vy = Οι παραπάνω µερικές παράωοι είναι συνεχείς στο και έχουµε ux = vy xy =, ( xy, ), αδύνατη uy = vx x = Αρα η f δεν είναι παραωίσιµη (κατ επέκταση και µη ολόµορφη) πουθενά στο 54
Ασκήσεις Υπολοίστε τα όρια: (α) e lim 4, (β) lim ( ), () lim e πi 3 3 + 8, + 4 + 6 4 Απάντ (α), (β), () 3 i 3 8 8 είξτε ότι η συνάρτηση f = είναι συνεχής στο Οµοίως η συνάρτηση f = + 3 Υπολοίστε τα όρια των ακολουθιών: i (α) lim + + 3i +, (β) lim ( + i + i) ( ) + =, i Απάντ (α) i, (β) 4 Υπολοίστε το σύνολο όπου οι συναρτήσεις (α), (β) 3, () +, (δ) +, (ε) 3, είναι ολόµορφες και στη συνέχεια υπολοίστε την παράωο αυτών Απάντ (α) {}, {, i}, ( + ), (β) e : k =,,, -3 kπi 3 3 ( ) - ±, (δ) Μη ολόµορφη, (ε) ακεραία, log( 3) 3, () 5 (α) Αν f = u+ iv είναι ολόµορφη σε τόπο D και αν au + bv = c, όπου abc,, σταθερές όχι όλες µηδέν να δείξετε ότι η f είναι σταθερά στον τόπο D 55
(β) Αν f είναι ολόµορφη σε τόπο D και f σταθερά στον τόπο D = c, δείξτε ότι η f είναι ( + ) () Αν f είναι ολόµορφη σε τόπο D και f δείξτε ότι η f είναι πολυώνυµο βαθµού = ια κάθε D 6 (Εξισώσεις Cauchy-Riema σε πολικές συντ/νες) Eστω i = ρe θ και f = f ( ρ, θ) = u( ρ, θ) + iv( ρ, θ) ( ρ ) είναι παραωίσιµη σε σηµείο είξτε ότι uρ = vθ ρ uθ = ρ v ρ ρ 56
54 Μιαδική Ολοκλήρωση Θεώρηµα Cauchy Oρισµός 56 Αν xy, :[, ] εικόνα της απεικόνισης ab είναι συνεχείς συναρτήσεις, τότε η :[ ab, ] : t = x t + iy t, καλείται καµπύλη στο µιαδικό επίπεδο (ή δρόµος) Kάθε (τέτοια) καµπύλη είναι προσανατολισµένη µε φορά διαραφής προς την κατεύθυνση αύξησης των t Το σηµείο ( a) καλείται αρχικό σηµείο της καµπύλης και το σηµείο ( b) καλείται τελικό σηµείο της Εάν ( a)= ( b) τότε η καµπύλη καλείται κλειστή, αλλιώς καλείται ανοικτή Η καµπύλη καλείται απλή αν η είναι -, δηλαδή εάν η καµπύλη δεν τέµνει τον εαυτό της Η καµπύλη καλείται λεία, αν οι παράωοι x t, y t υπάρχουν, είναι συνεχείς ια κάθε t και δε µηδενίζονται () () ταυτόχρονα Αν οι παράωοι x ( t), y ( t) [ ab,, ] τότε µιλάµε ια τµηµατικά λεία καµπύλη (ή βρόχο) είναι τµηµατικά συνεχείς στο Στο εξής µε το συµβολισµό «καµπύλη» θα εννοούµε µια καµπύλη :[ ab, ] : t = x t + iy t µε τύπο () Αντίθετη καµπύλη της, συµβολικά, ορίζουµε να είναι η καµπύλη που έχει το ίδιο ράφηµα µε την αλλά αντίθετη φορά :[ ab, ] διαραφής Αν :[ bc, ] ορίζουν δύο καµπύλες µε ( b ) = ( b), τότε ορίζουµε ως άθροισµα αυτών + να είναι µια νέα καµπύλη µε τύπο ( t), t [ a, b] + : [ ac, ] : + () t = () t, t [ b, c] Oρισµός 57 Μια απλή, κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη καλείται θετικά προσανατολισµένη αν έχει αντιωρολοιακή φορά διαραφής Ας αναφέρουµε µερικά χαρακτηριστικά παραδείµατα καµπύλων 57
Κύκλος κέντρου και ακτίνας r (θετική φορά): it () [ ) t = + re, t,π Έλλειψη κέντρου µε µήκη ηµιαξόνων ab>, (θετική φορά) [ ) t ()= + aσυνt+ i bηµ t, t,π Ευθύραµµο τµήµα µε άκρα, (φορά ): [ ] t () = + t, t, Ορισµός 58 Έστω f είναι συνεχής µιαδική συνάρτηση πάνω σε τµηµατικά λεία καµπύλη :[ ab, ] Ορίζουµε το ολοκλήρωµα της f κατά µήκος της ως εξής: b f ( d ) = f( ( t)) ( tdt ) Σηµείωση: Στο παραπάνω ολοκλήρωµα θεωρούµε () () a d = d t = t dt = x t dt+ iy t dt = dx+ idy Οι ιδιότητες του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος είναι παρόµοιες µε τις ιδιότητες επικαµπυλίου ολοκληρώµατος έρου Ενδεικτικά αναφέρου- µε: cf + cg d= c f( d ) + c gd, cc, f d = f d f d= f( d ) + f( d ) + Πρόταση 55 Εστω f ( x+ iy) = uxy (, ) + ivxy (, ) είναι συνεχής µιαδική συνάρτηση και :[ ab, ] : ( t) = x( t) + iy( t) είναι τµηµατικά λεία καµπύλη Τότε 58
f ( d ) = uxydx (, ) vxydy (, ) + i uxydy (, ) + vxydx (, ) Απόδειξη Αµεση Σηµείωση: H Πρόταση 55 ερµηνεύει την τιµή του µιαδικού ολοκληρώµατος µε χρήση των ολοκληρωµάτων έρου πεδίων του Ετσι, το πραµατικό µέρος του f ( d ) ερµηνεύεται ως το έρο του πεδίου f = ( u, v) κατά µήκος της, ενώ το φανταστικό µέρος του f ( d ) ερµηνεύεται ως η ροή του πεδίου f δια µέσου της Ορισµός 59 Έστω f : E, όπου E είναι ανοικτό σύνολο Αν υπάρχει ολόµορφη συνάρτηση F: E τέτοια ώστε F = f ια κάθε E, τότε η F καλείται αντιπαράωος της f στο E Πρόταση 56 (Αντιπαράωος και ανεξαρτησία δρόµου) Έστω E είναι ανοικτός τόπος και f : E είναι συνεχής Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναµες: H f έχει µοναδική αντιπαράωο στο E (µε προσέιση σταθεράς) Για κάθε κλειστή, τµηµατικά λεία καµπύλη εντός του E ισχύει f d= Παρατήρηση: (α) Συνήθως ράφουµε: f ( d ) ια να δηλώσουµε το σύνολο των αντιπαραώων της f b f d ια να δηλώσουµε ότι το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της a f είναι ανεξάρτητο του δρόµου και εξαρτάται µόνον από το αρχικό σηµείο a και τελικό σηµείο b ζ ζ ια µια αντιπαράωο της f F = f d + f( a) a 59
d ια ολοκλήρωση πάνω σε κλειστή καµπύλη f (β) Οι αντιπαράωοι συνεχών συναρτήσεων υπολοίζονται όπως οι αντιπαράωοι των πραµατικών συναρτήσεων (στο πεδίο όπου είναι ολόµορφες) Ετσι έχουµε: a+ a d= + c, a, a, a + d = Log ( ) + c στο πεδίο αναλυτικότητας του Log ed= e + c, ηµ d = συν + c, συν d = ηµ + c, sih d = cosh + c, cosh d = sih + c, κλπ Θεώρηµα 56 (Cauchy) Αν f είναι ολόµορφη συνάρτηση πάνω και στο εσωτερικό απλής, κλειστής, τµηµατικά λείας καµπύλης, τότε f d = Αν απαιτήσουµε τη συνέχεια της f πάνω και στο εσωτερικό της, τότε η απόδειξη του Θεωρήµατος Cauchy ίνεται εύκολη µε χρήση του Θεωρήµατος Gree Πράµατι, αν f = u+ iv έχει συνεχή παράωο, τότε οι µερικές παράωοι ux, uy, vx, v y είναι συνεχείς και ικανοποιούν τις εξισώσεις Cauchy-Riema Ετσι: f ( d ) = uxydx (, ) vxydy (, ) + i uxydy (, ) + vxydx (, ) ( vx uy) dxdy i ( ux vy) dxdy = + + = E Σηµειώνουµε ότι η υπόθεση της συνέχειας της f απλοποιεί µεν την E 6
απόδειξη του Θεωρήµατος Cauchy, παρά ταύτα είναι αχρείαστη Θεώρηµα 57 (Γενικευµένο Θεώρηµα Cauchy) Εστω f είναι ολόµορφη συνάρτηση σε κλειστό τόπο R µε σύνορο R Υποθέτουµε ότι το σύνορο R αποτελείται από µια απλή, κλειστή, τµηµατικά λεία καµπύλη Γ, η οποία περιέχει στο εσωτερικό της πεπερασµένο αριθµό απλών, κλειστών, τµηµατικά λείων καµπύλων,, όλες µε κοινό προσανατολισµό ο οποίος ταυτίζεται µε τον προσανατολισµό της Γ και τέτοιες ώστε κάθε καµπύλη j να βρίσκεται στο εξωτερικό κάθε άλλης καµπύλης k Τότε Γ f ( d ) = f( d ) Απόδειξη Για απλότητα θα δείξουµε το θεώρηµα ια την περίπτωση που το R είναι όπως στο ακόλουθο σχήµα: k= k Eστω Γ= και L, L είναι οι καµπύλες µε ίχνη τα ραµµοσκιασµένα ευθύραµµα σχήµατα µε τη φορά " " του σχήµατος Τότε το R διαµερίζεται σε δύο χωρία (έστω R και R ) που φράσσονται από δύο απλές, κλειστές και τµηµατικά λείες καµπύλες, συνεπώς το θεώρηµα Cauchy εφαρµόζεται σε κάθε µία από αυτές Αν τα τµήµατα των καµπύλων και που αποτελούν σύνορο ια τα χωρία R και R συµβολίζονται µε, και, αντιστοίχως, τότε έχουµε, R, R, R, R = + L, R +, R + L L f d Οµοίως: f d f d f d+ f d = L, R = L, R, R L L f d, R Aθροίζοντας κατά µέλη παίρνουµε, R f d f d f d f d =, R L 6
f d f d f d f d + + =, R, R, R, R f d f d = f d = f d Θεώρηµα 59 (Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy) Έστω f είναι ολόµορφη συνάρτηση πάνω και στο εσωτερικό απλής, κλειστής, τµηµατικά λείας και θετικά προσανατολισµένης καµπύλης Εάν είναι οποιοδήποτε σηµείο στο εσωτερικό της, τότε f ( )= f d π i Απόδειξη Παραλείπεται O Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy είναι πολύ σηµαντικός Με απλά λόια µας λέει ότι αν µια συνάρτηση είναι ολόµορφη πάνω σ έναν απλά συνεκτικό και φραµένο κλειστό τόπο, τότε όλες οι τιµές της συνάρτησης στο εσωτερικό του τόπου καθορίζονται πλήρως από τις τιµές της συνάρτησης πάνω στο σύνορο του τόπου Προφανώς µια τέτοια ισχυρή ιδιότητα δεν ισχύει στις πραµατικές συναρτήσεις Θεώρηµα 5 (Ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy ια παραώους) Έστω f είναι ολόµορφη συνάρτηση πάνω και στο εσωτερικό απλής, κλειστής, τµηµατικά λείας και θετικά προσανατολισµένης καµπύλης Τότε η f έχει παραώους κάθε τάξεως σε κάθε σηµείο στο εσωτερικό της και ισχύει! f ( ) f = d i + π O Oλοκληρωτικός τύπος του Cauchy ια παραώους είναι επίσης πολύ σηµαντικός Με απλά λόια µας λέει ότι αν µια συνάρτηση είναι ολόµορφη πάνω σ έναν απλά συνεκτικό και φραµένο τόπο G, τότε η f έχει παραώους κάθε τάξης στο G 6
Εφαρµοές Πόρισµα 5 (Ανισότητα Cauchy) Έστω r >, και f είναι ολόµορφη συνάρτηση πάνω και στο εσωτερικό του κύκλου Cr : = r Αν f Mr ια κάθε πάνω στον κύκλο C r, τότε M! r r f, Απόδειξη Από το Θεώρηµα Cauchy ια παραώους έχουµε: f ( )!! M! M f ( ) = d d π r r r π = r + + π r = r + π r Πόρισµα 53 (Θεώρηµα Liouville) Aν µια ακεραία συνάρτηση f είναι φραµένη στο, τότε η f είναι σταθερή Απόδειξη Εστω f ακεραία (δηλ ολόµορφη στο ) και f C ια κάθε Τότε η f είναι απειροδιαφορίσιµη στο Αρκεί να δείξουµε ότι f = ια κάθε Θεωρούµε τυχαίο Τότε από την ανισότητα Cauchy έχουµε M r C f ια κάθε r > r r Αφήνοντας το r + παίρνουµε f f Αφού το f =, άρα η f είναι σταθερή είναι αυθαίρετο έχουµε Πόρισµα 54 (Αρχή µείστου) Αν f είναι ολόµορφη και µη σταθερή σε ανοικτό τόπο E, τότε η f ( ) δεν έχει µέιστο στο E Επιπλέον, αν η f είναι ολόµορφη και µη σταθερή σε φραµένο τόπο E και είναι συνεχής στο σύνορο του E, τότε η f ( ) παίρνει µέιστη τιµή πάνω στο σύνορο E Πόρισµα 55 (Αρχή ελαχίστου) Αν f είναι ολόµορφη και µη 63
σταθερή σε τόπο E και f ια κάθε E, τότε η f δεν παίρνει ελάχιστη τιµή στο E Επιπλέον, αν f είναι ολόµορφη και µη σταθερή σε φραµένο τόπο E µε f ια κάθε E και αν είναι συνεχής στο σύνορο του E, τότε η f ( ) παίρνει ελάχιστη τιµή πάνω στο σύνορο E Ασκήσεις Αν abc,,, δείξτε ότι icb ica b ict e e e dt = a ic b = b ( συν + ηµ ) = b συν + b ηµ ict Λύση e dt ct i ct dt ct dt i ct dt a a a a ( ct) i ( ct) b ( ct) + i ( ct) ηµ συν συν ηµ c ic ict icb ica = = ( e e ) a Yπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα: (α) d, επί της καµπύλης (β) ( + ) (,) στο (,3) d, επί της καµπύλης b a b = e ic = ic a t = t + it, από = έως = 4+ i 3 y x x x = 3 + 4 από το σηµείο Λύση (α) Παρατηρούµε ότι το = είναι η εικόνα της καµπύλης στο t = ενώ το = 4+ i είναι η εικόνα της καµπύλης στο t = Αρα: d= t t dt= t it t+ i dt () () 4 3 3 t t it dt i t t t 8i = ( + ) = + = 3 3 (β) Μια προφανής παραµετροποίηση της καµπύλης 3 y= x 3x + 4x από το σηµείο (,) στο (,3) προκύπτει θέτοντας 64
x() t 3 = t Τότε yt = t 3t + 4t, οπότε παίρνουµε και έχουµε () t t i( t 3 3t 4t ), t [,] = + + () () () + d = t t + t dt ( ) ( ) = + + + + + + 3 3 t i t 3t 4t t i t 3t 4t i 3t 6t 4 dt 49 i 4 = + 3 Yπολοίστε τις αντιπαραώους των συναρτήσεων: (α) ηµ e, (β) ( 4) 4 ηµ 4 d ( συν 4 = ) d συν ( 4) συν ( 4) d 4 = + 4 Λύση (α) = = = = e e + c e d e d e e d e e d (β) = συν + ηµ ηµ 4 8 8 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) d = συν ( 4) + ηµ ( 4) + συν ( 4) + c 4 8 3 4 Yπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα d, πάνω στην τεθλασµένη ραµµή,,, (α) ( + 3 ) 65
(β) ( 4 ) i d, διαµέσου της καµπύλης το σηµείο (,) στο (,3) 3 y x x x = 3 + 4 από Λύση Σχόλιο Η άσκηση θα µπορούσε να λυθεί µε παραµετροποίηση καµπύλων όπως η άσκηση Η διαφορά είναι ότι οι προς ολοκλήρωση συναρτήσεις είναι ολόµορφες σε κάποιο απλά συνεκτικό τόπο που περιέχει τις καµπύλες Εποµένως έχουµε ένα επιπλέον ισχυρό εραλείο, το εραλείο της αντιπαραώου, το οποίο δεν είχαµε στην άσκηση όπου όλες οι προς ολοκλήρωση συναρτήσεις δεν ήταν καν παραωίσιµες (ελέξτε τις εξισώσεις Cauchy-Riema) Αρα: 3 (α) ( + 3) d = ( + 3) d = + = i i 3 44 8i 3 3 3 (β) ( 3 4 i 3 3 ) d + i ( 4 i ) d 4 i + i = = = 56+ 38i + i + i 6 Υπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα e d ηµ (α), (β) d ( π /4) 3 επί του µοναδιαίου κύκλου = µε τη θετική φορά, Λύση (α) Χρησιµοποιούµε το ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy Ορίζουµε f = e και παίρνουµε = Η f είναι ολόµορφη πάνω και εντός του κύκλου = που περιέχει το =, άρα από τον τύπο του Cauchy έχουµε: e (β) Ορίζουµε e d = d = π i f = πi e = πi f = ηµ και = π /4 Προφανώς η f είναι ολόµορφη πάνω και εντός του κύκλου = που περιέχει το = π /4, άρα από τον τύπο του Cauchy ια παραώους µε = έχουµε 66
f ηµ ( ) πi ( )! f = d = d 3 3 πi ηµ πi d = ( ) 3 7 Υπολοίστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα είναι ο κύκλος = 3 µε τη θετική φορά συν π d, όπου ( ) Λύση Χρησιµοποιούµε το ενικευµένο Θεώρηµα Cauchy συν π συν π συν π d = d d E +, ( ) ( ) ( ) όπου, είναι απλές, κλειστές καµπύλες µε τη θετική φορά, στο εσωτερικό των οποίων βρίσκονται τα σηµεία = και =+ αντιστοίχως Τότε και π π ( ) συν π π i συν π πi d = i g ( ) = i = d = 4 ( ) συν π π π () d = i h = i d = ( ) 4 = ( ) πi συν π πi 8 Aν ια µια ακεραία συνάρτηση h και ια κάθε < ισχύει h M, δείξτε ότι h M ια κάθε < Λύση Η συνάρτηση h( ) είναι συνεχής στον κλειστό δίσκο και = h M h M Αρα από πάνω στο δίσκο προφανώς ισχύει την αρχή του µείστου θα πρέπει να ισχύει h M ια κάθε < 67
Ασκήσεις Yπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα (α) d, διαµέσου της περιµέτρου τετραώνου µε κορυφές,, + i, i µε θετική φορά διαραφής (β), κατά µήκος της ευθείας y 3x e i d σηµείο,3 Απάντ (α) i = από το σηµείο Yπολοίστε τις αντιπαραώους των συναρτήσεων: Απάντ (α) (α) + e, (β) sih( 3 ), () + 3 e 4 + c, (β) cosh ( 3 ), () 3 3 Yπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα 4 (α) 5 + 3sih (,) (,) ( 3,), στο 3+ 9i 9 3i +, (β) ( e + ) + 3 3 (στο { 3 } + ) d, πάνω στην τεθλασµένη ραµµή µε φορά (β) d, όπου είναι η περίµετρος ρόµβου µε κορυφές τα + σηµεία ±, ± i και θετική φορά διαραφής 5 Απάντ (α) ( 3 i) 3cosh( 3 i) 4 Υπολοίστε τα επικαµπύλια ολοκληρώµατα + + +, (β) (α) d = 5 3, (β) 3 i e e d = 4 π, () 4 i d, = 68
(δ) ηµ 6 d, (ε) 3 /6 ( ) = π 3 e d + + = 6 π i Ολες οι καµπύλες διαράφονται µε τη θετική φορά Απάντ (α) π i, (β) π i, () π /3, (δ) π i /6, (ε) = + Αν ισχύει P d π i = και P d 3 i π i =, όπου είναι ο κύκλος i i = υπολοίστε τις τιµές των ab, Απάντ a= 3+ i, b= 5 Εστω P a b, ( a, b ) 6 Αν f ακεραία και f A ια κάθε όπου A είναι θετική σταθερά δείξτε ότι f = c, c 69
55 Σειρές Taylor και Lauret Ολοκληρωτικά υπόλοιπα Eστω δυναµοσειρά ( ) a, a µε κέντρο σηµείο = Υπενθυµίζουµε ότι υπάρχει αριθµός R + που καλείται ακτίνα σύκλισης της δυναµοσειράς έτσι ώστε η δυναµοσειρά να συκλίνει απόλυτα ια κάθε < R (και οµοιόµορφα σε κάθε κλειστό δίσκο R< R) και να αποκλίνει ια κάθε > R Μάλιστα η ακτίνα σύκλισης υπολοίζεται από την ακόλουθη ισότητα: R = lim a a + η R = lim a Θεώρηµα 5 (Taylor) Εστω f είναι µια ολόµορφη συνάρτηση σε σηµείο Τότε: f ( ) f = ( ) =! ια κάθε σε κάποιο ανοικτό δίσκο Dε ( ) Η παραπάνω καλείται σειρά Taylor της f ύρω από το σηµείο Παρατήρηση (α) Το ανάπτυµα Taylor της f είναι µοναδικό (β) Η σειρά Taylor σειρά McLauri = f της f ύρω από το = καλείται! () Tα αναπτύµατα Taylor στοιχειωδών συναρτήσεων θεωρούνται νωστά =, <, = e =,,! = = + ( ) ηµ =,, ( )! 7
( ),, συν =! = = ( ) + Log + =, < + Ορισµός 53 Ένα σηµείο όπου η f είτε δεν ορίζεται, είτε δεν είναι ολόµορφη καλείται ανώµαλο σηµείο της Αν είναι ανώµαλο σηµείο της f αλλά υπάρχει διάτρητος δίσκος < < R σε κάθε σηµείο του οποίου η f είναι ολόµορφη, τότε λέµε ότι η f έχει αποµονωµένη ή µεµονωµένη ανωµαλία στο Είδαµε ότι η f αναπτύσσεται σε σειρά Taylor ύρω από κάθε σηµείο ολοµορφίας της Εχουµε κάτι ανάλοο αν το είναι ανώµαλο σηµείο της f ; H απάντηση είναι ναι, αν το είναι αποµονωµένο ανώµαλο σηµείο της f, όπως φαίνεται στο ακόλουθο: Θεώρηµα 5 (Lauret) Έστω f είναι ολόµορφη στο δακτύλιο Τότε όπου { : } ( ) G= R < < R R < R ια κάθε G = f = a ( ) a f = πi ( ) + d, και είναι οποιαδήποτε απλή, κλειστή, τµηµατικά λεία και θετικά προσανατολισµένη καµπύλη στο εσωτερικό του G Το παραπάνω καλείται ανάπτυµα Lauret της f, είναι µοναδικό και συκλίνει απόλυτα και οµοιόµορφα σε κάθε κλειστό και φραµένο υποσύνολο του G Ο συντελεστής a = f d πi του αναπτύµατος Lauret καλείται ολοκληρωτικό υπόλοιπο της f στο, συµβολικά Res( f, ) 7
To ακόλουθο θεώρηµα είναι πολύ σηµαντικό όσον αφορά τον υπολοισµό επικαµπυλίων ολοκληρωµάτων: Θεώρηµα 53 (Ολοκληρωτικών υπολοίπων) Εστω f είναι ολόµορφη συνάρτηση πάνω και στο εσωτερικό µιας απλής, κλειστής, τµηµατικά λείας και θετικά προσανατολισµένης καµπύλης µε εξαίρεση ένα πεπερασµένο πλήθος αποµονωµένων ανωµάλων σηµείων,, στο εσωτερικό της Τότε f d = π i Res( f,k ) k= Απόδειξη Αµεση από το ενικευµένο Θεώρηµα Cauchy Υπό µια έννοια, το παραπάνω θεώρηµα µας λέει ότι όλη η πληροφορία ια τον υπολοισµό του f d βρίσκεται στα ανώµαλα σηµεία της f στο εσωτερικό της Ορισµός 53 (Ταξινόµηση ανωµάλων σηµείων) Εστω είναι ένα µεµονωµένο ανώµαλο σηµείο της f και f = a ( ), < < R = είναι η σειρά Lauret της f Αν υπάρχει m έτσι ώστε a m και a = ια κάθε k < m, δηλαδή k a a f = + + + a + a + < < R, m m+, m m ( ) ( ) τότε το καλείται πόλος m -τάξης της f και ισχύει g f=, m 7