1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και γράφουμε = lim n n. Άσκηση 1.1. Δείξτε ότι το όριο μιας συγκλίνουσας ακολουθίας είναι μοναδικό. Λέμε ότι η ακολουθία { n } είναι ακολουθία Cuchy αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.2) n m < ϵ για κάθε n, m > N. Στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών κάθε ακολουθία Cuchy συγκλίνει, δηλαδή το R είναι πλήρες. Άσκηση 1.2. Δείξτε ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι ακολουθία Cuchy. 1.2 Όρια και συνέχεια Λέμε ότι ū R είναι το όριο της συνάρτησης u καθώς το x τείνει στο x αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ = δ(ϵ) > 0 τέτοιο ώστε (1.3) ū u(x) < ϵ όταν 0 < x x < δ. Αν αυτό συμβαίνει, θα γράφουμε ū = lim x x u(x). Μια συνάρτηση u(x) είναι συνεχής στο σημείο x αν lim x x u( x) = u( x). Η συνάρτηση u(x) είναι συνεχής σε ένα διάστημα I αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος I. Λέμε ότι η u(x) είναι ομοιόμορφα συνεχής στο διάστημα [, b] αν για κάυε ϵ > 0 υπάρχει δ = δ(ϵ) > 0 τέτοιο ώστε για κάθε < x < b να ισχύει (1.4) u(x) u( x) < ϵ για κάθε x [, b] με x x < δ. Η διαφορά στον ορισμό της ομοιόμορφης συνέχειας με αυτόν της συνέχειας είναι ότι στον πρώτο, πρέπει το ίδιο δ να μπορεί να επιλεχθεί ταυτόχρονα για όλα τα σημεία του διαστήματος [, b]. Άσκηση 1.3. Δέιξτε ότι η συνάρτηση f(x) = 1/x είναι συνεχής αλλά όχι ομοιόμορφα συνεχής στο διάστημα (0, 1). Θεώρημα 1.1 (Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής). Αν η u είναι συνεχής στο διάστημα [0, 1] με u(0) < 0 και u(1) > 0, τότε υπάρχει 0 < ξ < 1 τέτοιο ώστε u(ξ) = 0. Το θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής γενικεύεται εύκολα έτσι ώστε να αποδειχθεί ότι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [, b] λαμβάνει όλες τις τιμές μεταξύ της ελάχιστης και μέγιστης τιμής της σε αυτό το διάστημα. Λέμε ότι η ακολουθία συνεχών συναρτήσεων {f n } συγκλίνει σε μια συνάρτηση f στο σημείο x αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.5) f n (x) f(x) < ϵ για κάθε n > N. Η ακολουθία συνεχών συναρτήσεων {f n } συγκλίνει σε μια συνάρτηση f στο διάστημα αν η {f n } συγκλίνει στην f σε κάθε σημείο x του I. Λέμε ότι η ακολουθία {f n } συγκλινει ομοιόμορφα στη συνάρτηση f στο διάστημα I αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε για n > N να έχουμε (1.6) f n (x) f(x) < ϵ για κάθε x I. Άσκηση 1.4. Δείξτε ότι για κάθε 0 < α < 1 η ακολουθία συναρτήσεων {x n } συγκλίνει στη μηδενική συνάρτηση στο διάστημα [0, α] αλλά όχι για α = 1. 1 από 5

MΕΜ253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ 1.3 Η παράγωγος Η παράγωγος μιας συνάρτησης u στο σημείο x συμβολίζεται με u ( x) και ορίζεται ως το όριο (1.7) u u(x) u( x) u( x + x) u( x) ( x) = lim = lim = lim x x x x x 0 x x 0 u( x) u( x x), x αν, φυσικά, αυτό το όριο υπάρχει. Θυμόμαστε, βεβαίως, τους κανόνες παραγώγισης (u + v) = u + v, (uv) = u v + uv, ( ) u v = u v uv v 2 και φυσικά, αν w = u v τότε w (x) = u (v(x))v (x), τον λεγόμενο κανόνα της αλυσίδας. Θεώρημα 1.2 (Θεώρημα μέσης τιμής). Έστω ότι η u είναι συνεχής στο [, b] και παραγωγίσιμη στο (, b). Τότε υπάρχει < ξ < b τέτοιο ώστε (1.8) u(b) u() = u (ξ)(b ). Η περίπτωση όπου u() = u(b) = 0 είναι γνωστή και ως θεώρημα του Rolle. Θεώρημα 1.3. Υποθέτουμε ότι η u έχει συνεχείς παραγώγους μέχρι τάξης r + 1 σε ένα διάστημα (, b) το οποίο περιέχει το σημείο x 0. Τότε για < x < b, (1.9) u(x) = u(x 0 ) + u (x 0 )(x x 0 ) + 1 2 u (x o )(x x 0 ) 2 + + 1 r! u(r) (x 0 )(x x 0 ) r για κάποιο ξ μεταξύ x και x 0. Το πολυώνυμο u(x 0 ) + u (x 0 )(x x 0 ) + 1 2 u (x o )(x x 0 ) 2 + + 1 r! u(r) (x 0 )(x x 0 ) r + 1 (r + 1)! u(r+1) (ξ)(x x 0 ) r+1, ονομάζεται πολυώνυμο Tylor βαθμού r της u στο σημείο x 0. Το σφάλμα της προσέγγισης της συνάρτησης u από το πολυώνυμο Tylor βαθμού r είναι ο τελευταίος όρος του αναπτύγματος (1.9), ο οποίος ονομάζεται υπόλοιπο. Για παράδειγμα, η γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης u γύρω από το x 0 είναι η u(x 0 ) + u (x 0 )(x x 0 ), το σφάλμα της οποίας ικανοποιεί (1.10) u(x) u(x 0 ) u (x 0 )(x x 0 ) 1 2 (x x 0) 2 mx x b u (x), για x b. Άσκηση 1.5. Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις του γραμμικού, τετραγωνικού και κυβικού πολυωνύμου Tylor της συνάρτησης cos x γύρω από το x 0 = 0, στο διάστημα [ π 2, π 2 ]. Και στις τρεις περιπτώσεις υπολογίστε ένα άνω φράγμα για το σφάλμα της προσέγγισης. Άσκηση 1.6. Έστω u παραγωγίσιμη συνάρτηση σε όλη την πραγματική ευθεία. Θεωρήστε την ακολουθία { n } με n = u( n 1 ) για n 1 και 0 δεδομένο. Υποθέστε ότι υπάρχει θ < 1 τέτοιο ώστε u (x) θ για x R. Αποδείξτε ότι η { n } είναι ακολουθία Cuchy η οποία συγκλίνει σε κάποιο ξ R το οποίο ικανοποιεί ξ = u(ξ), είναι δηλαδή σταθερό σημείο της συνάρτησης u. Θεώρημα 1.4 (Θεμελειώδες θεώρημα του Απειροστικού Λογισμού). Έστω f συνεχής συνάρτηση στο [, b]. Η συνάρτηση (1.11) F (x) = x f(t) dt, x [, b] είναι ομοιόμορφα συνεχής στο [, b], παραγωγίσιμη στο (, b) και F (x) = f(x) για όλα τα x (, b). Επιπλέον, b f(x) dx = F (b) F (). 2 από 5

Ένα άμεσο πόρισμα του Θεμελειώδους θεωρήματος του Απειροστικού Λογισμού είναι η ύπαρξη λύσης του προβλήματος αρχικών τιμών για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: { u (x) = f(x), < x < b, (1.12) u() = u 0 αν η f είναι συνεχής τότε το πρόβλημα αρχικών τιμών (1.12) έχει μοναδική λύση η οποία δίνεται από τη σχέση (1.13) u(x) = x f(t) dt + u 0, για x b. Άσκηση 1.7. Λύστε το πρόβλημα αρχικών τιμών u (x) = sin x για x > π/4 και u(π/4) = 2/3. Άσκηση 1.8. Δείξτε ότι αν η u είναι συνεχής στο [, b], παραγωγίσιμη στο (, b) και u (x) = 0 για < x < b, τότε η u είναι σταθερή στο [, b]. 2 Επανάληψη εννοιών από τη Γραμμική Άλγεβρα 2.1 Γραμμική ανεξαρτησία και βάσεις Ένας γραμμικός συνδιασμός των διανυσμάτων {v i } d είναι ένα άθροισμα της μορφής d α iv i, για σταθερές α i R. Αν {v i } d είναι στοιχεία του χώρου V τότε το σύνολο S = {v : v = α i v i. α i R}, όλων των δυνατών γραμμικών συνδιασμών των v i είναι υπόχωρος του V. Τα διανύσματα {v i } d είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν d α iv i = 0 μόνο αν α i = 0 για i = 1,..., d. Το σύνολο {v i } d λέγεται βάση του χώρου V αν τα στοιχεία του είναι γραμμικά ανεξάρτητα και κάθε στοιχείο του V μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδιασμός των v i. Η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου V είναι ο αριθμός των στοιχείων οποιασδήποτε βάσης του. Το σύνολο διανυσμάτων του R d {(1, 0,..., 0) T, (0, 1, 0,..., 0) T,..., (0, 0,..., 1) T } τα οποία συνήθως συμβολίζουμε ως {e 1,..., e d }, αποτελούν τη λεγόμενη κανονική βάση του R d. Φυσικά, αν x = (x 1,..., x d ) T R d τότε x = d x ie i. Άσκηση 2.1. Δείξτε ότι αν η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου είναι d και {v i } d είναι ένα σύνολο d γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων τότε αυτό αποτελεί βάση του χώρου. Άσκηση 2.2. Αποδείξτε ότι {(1, 0), (1, 1)} είναι βάση του R 2. Αν x = (x 1, x 2 ) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος x ως προς την κανονική βάση του R 2, βρείτε τις συντεταγμένες του x ως προς τη νέα βάση. 2.2 Νόρμα, εσωτερικό γινόμενο και καθετότητα Έστω X ένας γραμμικός χώρος πάνω από το K = R ή K = C. Μια απεικόνιση : X R λέγεται νόρμα αν ισχύουν x X x = 0 x = 0 λ K x X λx = λ x x, y X x + y x + y (τριγωνική ανισότητα) Από τα αξιώματα της νόρμας προκύπτει εύκολα ότι για x X ισχύει x 0 και η λεγόμενη τριγωνική ανισότητα προς τα κάτω, δηλαδή Μερικά παραδείγματα: x, y X x y x y. 3 από 5

MΕΜ253 Αριθμητική Λύση ΜΔΕ 1. (R, ) με x = x. 2. (R n, 1 ) με x 1 = n x i, x = (x 1,..., x n ) T (l 1 νόρμα). 3. (R n, ) με x = mx 1 i n x i, x = (x 1,..., x n ) T (l νόρμα ή νόρμα μεγίστου). 4. (R n, 2 ) με x 2 = ( n x i 2) 1/2, x = (x1,..., x n ) T (l 2 νόρμα ή Ευκλείδια νόρμα). Υπενθυνίζουμε ότι αν (, ) 2 : R n R n R, (x, y) 2 = n x i y i, είναι το ευκλείδιο εσωτερικό γινόμενο τότε x 2 = (x, x) 2 και ισχύει βέβαια η ανισότητα των Cuchy Schwrz (2.1) (x, y) 2 x 2 y 2 x, y R n. Αν x, y είναι στοιχεία ενός χώρου με εσωτερικό γινόμενο (, ), τότε η προβολή του x στη κατεύθυνση του y είναι το διάνυσμα αy με α = (x, y)/ y, όπου x = (x, x) είναι η νόρμα που παράγεται από το εσωτερικό γινόμενο (, ). Το διάνυσμα αυτό έχει την ιδιότητα (x αy, y) = 0. Αν για δύο διανύσματα x και y ισχύει (x, y) = 0, τότε λέμε ότι τα x και y είναι ορθογώνια. Αν δύο μη μηδενικά διανύσματα x και y είναι ορθογώνια τότε είναι αναγκαστικά γραμμικά ανεξάρτητα. Επομένως, αν η διάσταση ενός γραμμικού χώρου V είναι d και {v i } d είναι ανα δύο ορθογώνια τότε απαοτελούν βάση του V. Εναλλακτικά, ξεκινώντας από οποιαδήποτε βάση ενός χώρου V μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ορθογώνια βάση με τη διαδικασία Grm Schmidt. Άσκηση 2.3. Αποδείξτε ότι το x V είναι το μηδενικό διάνυσμα αν και μόνο αν (x, v) = 0 για κάθε v V. 2.3 Γραμμικοί μετασχηματισμοί και πίνακες. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Μια απεικόνιση f : R d R d λέγεται γραμμική αν f(αx + z) = αf(x) + f(z) για κάθε x, z R d και α R. Ένας γραμμικός μετασχηματισμός y = f(x) με y i = f i (x), i = 1,..., d, μπορεί να γραφεί κατά συνιστώσες ως y 1 = 11 x 1 + 12 x 2 + + 1d x d y 2 = 21 x 1 + 22 x 2 + + 2d x d. y d = d1 x 1 + d2 x 2 + + dd x d όπου ij = f i (e j ). Αν ορίσουμε τον d d πίνακα A = ( ij ) τότε y = Ax. Ο πίνακας A του μετασχηματισμού f εξαρτάται, φυσικά, από την επιλογή της βάσης και οι ιδιότητες του μετασχηματισμού f αντικατοπτρίζονται στις ιδιότητες του πίνακα A. Για παράδειγμα, ο αντίστροφος μετασχηματισμός ορίζεται μόνο αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιμος. Ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα v με την ιδιότητα Av = λv για κάποιο, εν γένει, μιγαδικό αριθμό λ ο οποίος ονομάζεται ιδιοτιμή του A που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα v. Αφού το ιδιοδιάνυσμα είναι λύση του (A λi)v = 0, προκύπτει ότι το λ είναι ιδιοτιμή αν και μόνο αν η ορίζουσα του πίνακα A λi είναι μηδέν. Δύο πίνακες A και B λέγονται όμοιοι αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακς P τέτοιος ώστε P 1 AP = B. Αν v είναι ιδιοδιάνυσμα του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ τότε w = P 1 v είναι ιδιοδιάνυσμα του B που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιμή λ, με άλλα λόγια, όμοιοι πίνακες έχουν τις ίδιες ιδιοτιμές. Ένας πίνακας λέγεται διαγωνοποιήσιμος αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P έτσι ώστε ο P 1 AP να είναι διαγώνιος πίνακας. Θυμόμαστε ότι ένας d d πίνακας είνια διαγωνοποιήσιμος αν και μόνο αν έχει d γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα τα οποία αποτελούν βάση του R d. Αν ο P διαγωνοποιεί τον A τότε οι στήλες του P είναι d γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του A. Αν ο πίνακας A είναι συμμετρικός, τότε είναι διαγωνοποιήσιμος με πραγματικές ιδιοτιμές. Μάλιστα, ο (πραγματικός) πίνακας P μπορεί να επιλεγεί ορθογώνιος, δηλαδή τέτοιος ώστε P 1 = P T και οι στήλες του, οι οποίες είναι ιδιοδιανύσματα του A να είναι ορθογώνιες μεταξύ τους. 4 από 5

2.4 Νόρμες πινάκων Για έναν πίνακα A R d,d ορίζουμε (2.2) A p = mx 0 v R d Av p v p, p = 1, 2,. Μπορεί να δειχθεί ότι (2.3) A 1 = mx 1 j d ij, A = mx 1 i d j=1 ij, ενώ A 2 = ρ(a T A) όπου ρ(a T A) είναι η φασματική ακτίνα του του πίνακα A T A, δηλαδή η μεγαλύτερη κατά μέτρο ιδιοτιμή του. Στην περίπτωση που ο πίνακας A είναι συμμετρικός έχουμε: Λήμμα 2.1. Έστω ότι ο A είναι ένας d d συμμετρικός πίνακας με ιδιοτιμές {λ i }. Τότε (2.4) Av 2 mx 1 i d λ i v 2. Απόδειξη. Κατ αρχήν αν P είναι οροθογώνιος πίνακας τότε P v 2 2 = (P v, P v) 2 = (v, P T P v) 2 = (v, Iv) 2 = (v, v) 2 = v 2 2, οπότε P v 2 = v 2 για κάθε v 0. Όμοια, P v 2 = v 2, επομένως P 2 = P T 2 = 1. Έστω τώρα Λ = P T AP ο διαγώνιος πίνακας ιδιοτιμών του A που προκύπτει επιλέγοντας τις στήλες του P ως τα ορθογώνια ιδιοδιανύσματα του πίνακα A. Τότε, Av 2 = P ΛP T v 2 = ΛP T v 2 mx 1 i d λ i P T v 2 = mx 1 i d λ i v 2, το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη. Άμεσο πόρισμα του παραπάνω λήμματος είναι το γεγονός ότι αν A είναι συμμετρικός πίνακας τότε A 2 = mx 1 i d λ i. 5 από 5