Συδυαστιή Ι Περιληπτιή Θεωρία Τμήμα. Οιοόμου Χατζηδάης Αλέξαδρος Παεπιστήμιο Αθηώ - Τμήμα Μαθηματιώ Χειμεριό Εξάμηο 2009-2010
# μεταθέσεω! # μη επααλ. Διατάξεω ()! ( )! # επααλ. Διατάξεω # μη επααλ. Συδυασμώ ()!! ( )!! # επααλ. Συδυασμώ + 1 (+ 1)! ( 1)!! # μεταθέσεω ειδώ στοιχείω όπου το ω 1 1 φορές ( 1+ 2 + + )! 1! 2!! ω 0 1 Τύπος Cauchy: r + s r s r + s r s Τρίγωο Pascal: 1 1 + 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 4 1 4 6 4 1 0 0 0 0 0 0 5 1 5 10 10 5 1 0 0 0 0 0 6 1 6 15 20 15 6 1 0 0 0 0 7 1 7 21 35 35 21 7 1 0 0 0 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 0 0 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 0 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1
# διαιρέσεω του Ω ( στοιχεία) σε r σύολα όπου το Α 1 1 στοιχεία Α 2 2 Α r r 1 1 1 2 1 2 r 1 2 r 3! 1! ( 1 )! ( 1 )! 2! ( 1 2 )! ( 1 2 r )! r! 0!! 1! 2! r! ( 1 + 2 + + r )! 1! 2! r! # διαμερίσεω του Ω ( στοιχεία) σε r υποσύολα ώστε r 1 α έχου 1 στοιχείο r 2 2 στοιχεία r στοιχεία # διαιρέσεω σε r σύολα 1 2 r1 1 r r1 +1 r1 +2 r1 +r 2 2 1! r 2! r!! r 1! r 2! r! (1!) r 1 (2!) r 2 (!) r 2
# λύσεω της: χ 1 + χ 2 + + χ (*), χ i Z με περιορισμούς 1. χ i {0, 1}, i 1, 2,, (π.χ) χ 1 + χ 2 + χ 3 + χ 4 + χ 5 3 (1,1,1,0,0) (1,1,0,1,0) # λύσεω της (*) με χ i {0, 1}, i 1, 2,, 2. χ i 0, χ i εz, i 1, 2,, Γειά: # λύσεω της (*) με χ i 0, χ i εz + 1 a) # αέραιω λύσεω της (*) με χ i m i, i 1, 2,, (π.χ) χ 1 + χ 2 + + χ 5 30 χ 1 2, χ 2 1, χ 3 1, χ 4 4, χ 5 2 m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 y i χ i m 1,i1,2,, χ i m i,i1,2,,v y i 0,i1,2,, χ 1 + χ 2 + + χ y 1 + y 2 + + y (m 1 + m 2 + + m ) Άρα: # λύσεω της (*) με χ i m i m όπου m m 1 + m 2 + + m b) # αέραιω λύσεω της (*) με χ i s i, i 1, 2,, (π.χ) χ 1 + χ 2 + χ 3 7 χ 1 4, χ 2 5, χ 3 3 χ i s i,i1,2,, y i s i χ i,i1,2,, χ 1 + χ 2 + + χ s 1 y 1 + s 2 y 2 + + s y y i 0,i1,2,, y 1 + y 2 + + y s 1 + s 2 + + s Άρα: # λύσεω της (*) με χ i s i s c) # αέραιω λύσεω της (*) με m i χ i s i, i 1, 2,, (εγλεισμός απολεισμός) 3
Συδυαστ. Εφαρμ.: Η εξίσωση (*) χ 1 + χ 2 + + χ με m i χ i s i, i 1, 2,, m i, s i 0 Καταομή όμοιω σφαιριδίω σε διαεριμέα ελιά ώστε στο i-ελί α μπου τουλάχιστο m i αι το πολύ s i σφαιρίδια. # αέραιω λύσεω της χ 1 + χ 2 + + χ με χ i 0, i 1, 2,, + 1 # αέραιω λύσεω της χ 1 + χ 2 + + χ j, με χ i 0, i 1, 2,, j j0 j0 Εαλλατιά: Αέρ. λύσεις της χ 1 + χ 2 + + χ + 1 1 1 Αέρ. λύσεις της χ 1 + χ 2 + + χ + χ +1 (χ 1, χ 2,, χ ) (χ 1, χ 2,, χ, χ 1 χ 2 χ ) (π.χ) # αέραιω λύσεω χ 1 + χ 2 + χ 3 4 (1, 1, 1) (2, 0, 0) (1, 0, 3) Πόρισμα: j j0 + 1 χ 1 + χ 2 + χ 3 + χ 4 4 (1, 1, 1, 1) (2, 0, 0, 2) (1, 0, 3, 0) + j 1 + ή j j0 Διαγώια ααγ. σχέση 4
Γειευμέα Παραγοτιά: () α+β ( 1) ( α + 1)( α)( α + 1) ( α β + 1) () α ( α) β Γειά Ορίζω: i. (χ) χ(χ 1)(χ 2) (χ + 1), χ R, 1, 2, ii. (χ) 0 1, χ R 1 1 (χ+1)(χ+2) (χ+) iii. (χ), χ R, 1, 2, (χ+) iv. (χ) α+β (χ) α (χ α) β, χ R, α, β Z Τα (i), (ii), (iii) λέγοται αθοδιό παραγοτιό τάξης του χ ( χ ) Ομοίως: i. [χ] χ(χ + 1)(χ + 2) (χ + 1), χ R, 1, 2, ii. [χ] 0 1, χ R iii. [χ] iv. 1 (χ 1)(χ 2) (χ ), χ R, 1, 2, [χ] α+β [χ] α [χ α] β, χ R, α, β Z Τα (i), (ii), (iii) λέγοται αοδιό παραγοτιό τάξης του χ ( χ ) Ορίζουμε: i. χ (χ)! ii. χ [χ]! χ(χ 1) (χ +1), χ R, 0, 1, 2,! χ(χ+1) (χ+ 1)! (χ+ 1)! χ + 1, χ R, 0, 1, 2, Ιδιότητες: a) (χ) χ(χ 1)(χ 2) (χ + 1) [χ + 1] (άθε αοδιό μπορώ α το γράψω σα αθοδιό) b) [χ] (χ + 1) ( 1) ( χ) c) χ + 1 χ ( 1) χ d) χ + 1 χ ( 1) χ 5
Γεήτριες: (α n ) (α 0, α 1, α 2, ) αολουθία. A(t) α 0 t 0 + α 1 t 1 + α 2 t 2 + α 3 t 3 + α 4 t 4 + α t Το Α(t) είαι γεήτρια της (α n ). Ιδιότητες: Έστω αολουθίες (α ), (β ), (γ ) με γεήτριες Α(t) α 0 + α 1 t +, Β(t) β 0 + β 1 t +, Γ(t) γ 0 + γ 1 t +, ατίστοιχα. 1) Α(t) Β(t) α β, 0, 1, 2, 2) Γ(t) Α(t) + Β(t) γ 0 + γ 1 t + α 0 + α 1 t + + +β 0 + β 1 t + γ α + β 3) Γ(t) Α(t)Β(t) γ 0 + γ 1 t + (α 0 + α 1 t + )(β 0 + +β 1 t + ) α 0 β 0 + α 0 β 1 t + α 0 β 2 t 2 + α 1 tβ 0 + α 1 β 1 t 2 + α 2 t 2 β 0 + Έχουμε: γ 0 α 0 β 0, γ 1 α 0 β 1 + α 1 β 0, γ 2 α 0 β 2 + α 1 β 1 + α 2 β 0 Άρα: γ α 0 β + α 1 β 1 + α 2 β 2 + + α β 0 α β, 0, 1, 2, Βασιές Γεήτριες: 1) α 1, 0, 1, 2, Α(t) 1 + t + t 2 + t 3 + 1 2) α, 0, 1, 2, 0, 1, 2, Α(t) 0 + 1 t + 2 t2 + t t (1 + t) από το θεώρημα Newton επειδή για >, το 0 (π.χ) (1 + t) 2 2 0 + 2 1 t + 2 2 t2,. ο.. 1 t Απόδειξη με επαγωγή αι τρίγωο του Pascal ή συδυαστιά. 3) α, 0, 1, 2, 6
Α(t) 0 + 1 t + 2 t2 + t (1 t) Υπολογισμοί αθροισμάτω: Βασιές Γεήτριες: i. t 1 (1 1 t t) 1, t < 1 ii. k0 t t (1 + t), 0, 1, 2, Τύπος του Newton iii. t (1 t), t < 1, 0, 1, 2, Πρόσθετες Σχέσεις: i. (χ + y) χ y Τύπος Newton ii. (χ + y) (χ) (y) Τύπος Vandermonde iii. (1 + t) χ χ t, t < 1, χ R Αθροίσματα (π.χ) S 1 ( 2 5 + 7) 1 3 t t 1 3 k1 t f()ρ, ρ < 1, όπου f() πολυώυμο του 1 t 1 3 1 1 t 3 k0 1 d dt t 1 1 t 1 3 k1 2 1 3 1 1 1 3 2 3 2 2 9 12 3 4 3 1 d 2 dt 2 ( 1)t 2 1 t 2 1 t (1 t) 2 5 1 3 k1 t 2 (1 t) 3 t2 t (1 t) 2 + 7 1 3 t 1 3 ( 1)t 2 2t2 (1 t) 3 2 t k2 t 2 2t2 (1 t) 3 7
2 t 2 2 1 3 2 2 1 3 t 2 1 3 2 + 2t2 (1 t) 3 + t 1 3 2 1 2 3 1 3 + 3 4 1 3 + 3 4 6 4 3 2 2 3 3 4 1 3 + 3 4 3 Άρα αρχιό άθροισμα 3 2 5 3 4 + 7 3 2 33 4 Αθροίσματα (π.χ) f() ρ S 2 ( 2 5 + 7) 3 2 3 Χρησιμοποιώ: t 5, όπου f() πολυώυμο του 3 d (1 + t) dt ( 1)t 2 2 1 ( 1)( 2)t 3 3 + 7 t 1 3 d ( 1)(1 + t) 2 dt Μέθοδος: Ααλύω το f() σε αθοδιά παραγοτιά: d (1 + t) 1 dt ( 1)( 2)(1 + t) 3 2 5 + 7 Α () 2 + Β () 1 + Γ () 0 Α( 1) + Β + Γ Α 2 + (Β Α) + Γ 1 Α Α 1 5 Β Α Β 4 7 Γ Γ 7 Τότε: 8
S 2 () 2 3 2 () 2 3 3 2 4 () 1 3 4 3 () 1 + 7 3 1 3 + 7 3 2 ( 1)(1 + 3) 2 4 3(1 + 3) 1 + 7(1 + 3) 9( 1)4 2 12 4 1 + 7 4 3 (π.χ) S 3 (3 3 2 2 + 4) 5 1 ο Βήμα: f() αθοδιά παραγοτιά 3 3 2 2 + 4 Α() 3 + Β() 2 + Γ() 1 + Δ Α( 1)( 2) + Β( 1) + Γ + Δ Α 3 + ( 3Α + Β) 2 + (2Α Β + Γ) + Δ Α 3 3Α + Β 2 2Α Β + Γ 1 Δ 4 Α 3 Β 7 Γ 2 Δ 4 2 ο Βήμα: Παραγωγίζω το (1 + t) t () 2t 2 d (1 + t) dt t 1 d ( 1)(1 + t) 2 dt () 3t 3 ( 1)( 2)(1 + t) 3 3 ο Βήμα: Γειή Ατιατάσταση S 3 3 () 3 4 5 5 + 7 () 2 5 d (1 + t) 1 dt + 2 () 1 5 9
3 5 3 ( 1)( 2)6 3 + 7 5 3 ( 1)6 2 + 2 5 1 6 1 4 6 10
Το Άθροισμα 1 ος τρόπος υπολογισμού: () r ρ Διαδοχιή Παραγώγιση του 2 ος τρόπος υπολογισμού: Ιδιότητες Παραγοτιώ () r ρ r t, r φορές! ( 1)( 2) ( r + 1)! ( )! ρ r! ( r)! ( )! ρ! r ( r)! r r ρ! ( r)! ( r)! ( r)! ( )! ρ! ( r)! r r r j ρ j+r j0! ( r)! (1 + ρ) r ρ r () r (1 + ρ) r ρ r Ιδιότητα του : 1 1 1, 0 1 Γείευση: 1 ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1)( 2) 2 ( 1)( 2) 3 3 1 1 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1)( 2) 3 ( 1)( 2) 3 ΌΛΟΙ οι παραπάω τύποι είαι χρήσιμοι για το υπολογισμό αθροισμάτω. (π.χ): 1 1 1 1 1 2 j 1 1 1 j0 11
Αθροίσματα (π.χ) 1 + 1 1 ος Τρόπος: t 5 t+1 + 1 0 1 + 1 1 + 1 1 + 1 f() (+1)(+2) (+r) ; u ρ dt (1 + t) 0 u t dt u u+1 u 5 u (1 + t)+1 + 1 0 0 (1 + u)+1 1 + 1 (1 + u)+1 1 u( + 1) 6+1 1 5( + 1) u5 u (1 + t) dt 0 2 ος Τρόπος (υρίως για π.χ που έχου διωυμιούς συτελεστές): 1 + 1 1 + 1 +1 5 1 + 1 + 1 + 1 + 1 5 j j 1 j1 1 5( + 1) +1 1 5( + 1) + 1 5 j j 1 j0 1 + 1 5 6+1 1 5( + 1) 5 +1 j1 1 + 1 + 1 + 1 5 + 1 5 j j 1 5( + 1) ((1 + 5)+1 1) 12
(π.χ) 1 ( + 1)( + 2) 1 ( + 1)( + 2) ( + 1)( + 2) ( + 1)( + 2) +2 +2 1 + 2 ( + 1)( + 2) + 2 1 + 2 ( + 1)( + 2) j +2 1 ( + 1)( + 2) 2+2 + 2 + 2 0 1 2+2 3 ( + 1)( + 2) (π.χ) 3 ( + 1)( + 2) ; 1 ( + 1)( + 2) 3 ( + 1)( + 2) ( + 1)( + 2) 1 ( + 1)( + 2) 3 + 2 + 2 +2 j2 1 ( + 1)( + 2) (j3 6j 2 + 12j 8) + 2 j j2 +2 1 ( + 1)( + 2) (j 2)3 + 2 j j2 Τώρα: j 3 6j 2 + 12j 8 Α(j) 3 + Β(j) 2 + Γ(j) 1 + Δ f()ρ, f() ρ f(), ( + 1) ( + r) ρ 13
Αθροίσματα με τύπο Cauchy χ + y Τύπος Cauchy: χ y, χ, y R, 0, 1, 2, χ + 1 Υπεθυμίσεις: χ ( 1) χ, χ R, 0, 1, 2, (π.χ) f() χ y ; (π.χ) r s r 1 s 1 r r 1 s 1 1 r r 1 s j 1 j (π.χ) j0 χ+ 1 y+ +1 Cauchy χ r 1 y s 1 r + s 1 r 1 4 + 8 5 + 1 (9 ) + ( ) 1 όχι Cauchy 5 9 ( 1) 5 (9 ) ( 1) ( 1) 5 9 Cauchy (π.χ) ( 1) 5 + 9 ( 1) 14 f() 2 (π.χ) ; 2 1 1 1 1 j j 1 j0 1 2 1 1 14
(π.χ) ( 1) r + s ( 1) r + 1) + 1 (s ( 1) r + 1 s ( 1) r ( 1) s 1 0 ( 1) s 1 r ( 1) s 1 + r s + 1 r (π.χ) 1 ( 1) μ ( 1) ( 1) ( 1) 2 μ 2 1 1 2 ( 1) 2 μ 2 ( 1) 2 μ j 2 j 2 2 ( 1) 2 μ j 2 j j0 2 + μ ( 1) 1 2 3 j0 2 2 μ 0 15
Αθροίσματα πάω σε άρτιους ή περιττούς δείτες α 0 + α 1 + α 2 + α 3 + + α α ; άρτιος: α 0 + α 2 + α 4 + + α? α άρτιος Τελευταίος Αρτιος 2 2 ( ) α 2 2 2 2 2 2 2 α 2 + 1 2 + 1 2 2 2 + 1 2 1 2 2 2 2 Αρα στη ( ) α 0 + α 2 + α 4 + + α 2 2 α 2j j0 ; περιττός: α 1 + α 3 + α 5 + + α? α περιττός ( ) Τελευταίος Περιττός 2 1 2 + 1 α 2 2 1 1 + 1 2 2 + 1 2( 1) + 1 1 2 2 α 2 + 1 2 1 + 1 1 + 1 2 2 + 1 2 + 1 2 2 1 2 Αρα στη ( ) α 1 + α 3 + α 5 + + α 1 α 2 2 +1 2j+1 ; j0 Σημείωση: Όπου είαι το αέραιο μέρος του. 16
Παράδειγμα 1 ο : 1 + 1 ; περιττός ότα: S π 1 + 1, S α 1 + 1 περιττός άρτιος S α + S π 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 +1 + 1 j j1 2+1 1 + 1 S α S π ( 1) 1 + 1 1 + 1 ( 1) + 1 + 1 1 + 1 +1 + 1 ( 1) j j j1 Άρα: S α Και: S π 2 +1 1 +1 + 1 +1 2 2 +1 2 +1 1 +1 1 +1 2 1 2 +1 j0 j tj (1+t) 1 + ( 1) +1 1 + 1 1 + 1 Παράδειγμα 2 ο : άρτιος ; ότα: S α, S π ρ 1 άρτιος 1 1 1 ρ περιττός ρ 1 1 1 ρ 1 ρ 1 ρ j j ρ(1 + ρ) 1 ( ), (ρ ± 1) j0 17
S α + S π ( ) ρ1 2 1 S α S π ( 1) ( 1)1 + ( 1) 1 0 ( ) ρ 1 Αθροίσματα με συμμετρία: (π.χ) f() 2 2 (π.χ) 2 Ξέρουμε: 2 2 2 0 f() + Cauchy + 2 + 2 + + 2 1 2 S 2 + 2 + + 2 0 1 + 2 2 + + 1 + 2 + + + 2 22 2 Επίσης: 2 2 2 2 + + + 2 + + + 2 + 1 + 2 2 1 2 0 S 2 Άρα: 2S 2 2 2 + 2 22 S 2 18
Μη τυπιά αθροίσματα: 1) 2 2(2 1)(2 2) 2 1!! 1 2! 2 ( 1) 1 (2 1)(2 3) 1!! 1 2 3 2 5 2 1 2 4 4 1 2! 4 1 2 + 1 4 1 2 4 ( 1) 1 2 ( 4) 1 2 Άρα: 2 ( 4) 1 2 2) 1 2 2 3 3 1! 2! 3! 4 2!( 1 2 )! 3!( 2 3 )! 4!( 3 4 )! 1! 4! ( 1 2 )! ( 2 3 )! ( 3 4 )! ( 1 3 )! ( 1 4 )! ( 1 3 )! ( 1 4 )! 1 1 3 1 2 1 1 4 4 1 3 (π.χ) 2 2 2 2( ) 2 ( 4) 1 2 ( 4) 1 2 ( 4) 1 2 ( 4) 1 2 1 2 ( 4) 1 2 + 1 2 Cauchy ( 4) 1 4 1 4 1 + 1 4 (ΠΡΟΣΟΧΗ!) Παράδειγμα: s s s!! (s )!! s! ( s)! s s!! 1 (s )! ( s)! s! ( )!! ( )! (s )! ( s)! s s s s s 19
j j0 2 Το Πολυωυμιό Θεώρημα: (χ + y)!!( )! (χ 1 + χ 2 + + χ r ) χ y 1, 2,, r αέρ.μη αρήτ.λύση της 1 + 2 + + r Διωυμιό Θεώρημα Newton Πολυωυμιό Θεώρημα! 1! 2! r! χ 1 1χ 2 2 χ r r 20
Αρχή Εγλεισμού-Απολεισμού Πλαίσιο: Ω βασιό σύολο Α 1, Α 2,, Α Ω Ν, # στοιχείω του Ω που αήου σε αριβώς από τα Α 1, Α 2,, Α Τ, # στοιχείω του Ω που αήου σε τουλάχιστο από τα Α 1, Α 2,, Α Ν,0 Ν(Α 1 Α 2 Α ) Τ,1 Ν(Α 1 Α 2 Α ) Παράδειγμα: ( 3) Ν,0 3 Ν,1 7 Ν,2 4 Ν,3 1 Ν(Ω) 15 Τ,0 15 Τ,1 12 Τ,2 5 Τ,3 1 Τύποι για 2, 3 2: Α 1, Α 2 Ω Ν(Α 1 Α 2 ) Ν(Ω) Ν(Α 1 ) Ν(Α 2 ) + Ν(Α 1 Α 2 ) Ν(Α 1 Α 2 ) Ν(Α 1 ) + Ν(Α 2 ) Ν(Α 1 Α 2 ) Απόδειξη: Ν(Α 1 (Α 1 Α 2 )) Ν(Α 1 ) + Ν(Α 1 Α 2 ) Ν(Α 2 ) Ν(Α 2 Ω) ΝΑ 2 (Α 1 Α 1 ) Ν(Α 1 Α 2 ) Ν(Α 2 ) Ν(Α 1 Α 2 ) Ν(Α 1 Α 2 ) Ν(Α 1 ) + Ν(Α 2 ) Ν(Α 1 Α 2 ) 3: Ν(Α 1 Α 2 Α 3 ) Ν(Ω) Ν(Α 1 ) + Ν(Α 2 ) + Ν(Α 3 ) + +Ν(Α 1 Α 2 ) + Ν(Α 1 Α 3 ) + Ν(Α 2 Α 3 ) Ν(Α 1 Α 2 Α 3 ) 21
Γειός Τύπος Αρχής Εγλεισμού-Απολεισμού Α 1, Α 2,, Α Ω S,1 Τ,1 Ν(Α 1 Α 2 Α ) Ν(Α 1 ) + + Ν(Α ) S,2 + Ν(Α 1 Α 2 ) + + Ν(Α 1 Α ) S,3 + Ν(Α 1 Α 2 Α 3 ) + + Ν(Α 2 Α 1 Α ) +( 1) 1 Ν(Α 1 Α 2 Α ) Τ,1 ( 1) r S,r r1 S,, όπου: S,r N(Α i1 Α i2 Α ir ) {i 1,i 2,,i r } {1,2,,} Ν,0 Ν(Α 1 Α 2 Α ) Ν(Ω) Τ,1 Ν(Ω) ( 1) r 1 S,r r0 N(Ω) + ( 1) r S,r r1 ( 1) r S,r r0 Γειός τύπος της αρχής εγλεισμού-απολεισμού: Ν, ( 1) r r S,r r # στοιχείω του Ω που αήου σε αριβώς από τα Α 1, Α 2,, Α για 0: Ν,0 Ν(Α 1 Α 2 Α ) ( 1) r S,r r0 Απόδειξη: Α 1, Α 2,, Α Ω Ορίζω για ω Ω: Ρ(ω) j: ω Α j S,r NΑ i1 Α i2 Α ir 1 {i 1,i 2,,i r } {1,2,,} {i 1,i 2,,i r } {1,2,,} ω Ω: i 1,, i r Ρ(Ω) 1 ΝΡ(ω) r Ν, ω Ω {i 1,,i r } Ρ(ω) ω Ω ΝΡ(ω) r 22
S,r r Ν, r γιατί οι άλλοι όροι0 Εστω S(t) η γεήτρια τω S,r S(t) S,r t r r0 Και Ν(t) η γεήτρια τω Ν,r Ν(t) Ν, t Τότε: S(t) S,r t r r0 tr r r0 Ν, t Ν, r Ν, t r r0 r Ν, (1 + t) Ν(1 + t) Ν(t) S(t 1) S,r (t 1) r S,r r ( 1)r t r0 r0 r ( 1)r t r Επομέως: Ν, r ( 1)r S,r r (π.χ) Αρούδα (Α) Α σύολο τω επιτ. στη αρούδα Ιδιάοι Βίσωα (Β) Β σύολο τω επιτ. στο βίσωα Γύπα (Γ) Γ σύολο τω επιτ. στο γύπα Δεδομέα: Ζητούμεα: Ν(Β) 2Ν(Α) Ν(Α) ; Ν(Γ) 3Ν(Α) Ν(ΑΒ) ; Ν(ΑΒ) Ν(ΑΓ) Ν(ΒΓ) Ν(Α Β Γ) 46 Ν(ΑΒΓ) 1 Ν(ΑΒ ) 5 23
Λύση: Ν(Α Β Γ) Ν(Α) + Ν(Β) + Ν(Γ) Ν(ΑΒ) Ν(ΑΓ) Ν(ΒΓ) + +Ν(ΑΒΓ) 6Ν(Α) 3Ν(ΑΒ) + 1 (1) Ν(Α Β ) 5 Ν(Α) Ν(ΑΒ) 5 (2) 6Ν(Α) 3Ν(ΑΒ) 45 Ν(ΑΒ) 15 (1), (2) 2Ν(Α) Ν(Α) Ν(ΑΒ) 5 Ν(Α) Ν(ΑΒ) 5 Ν(Α) 10 Ν(ΑΒ) 5 (π.χ) 100 φοιτητές εξετάζοται σε 3 θέματα 100 απάτησα σωστά σε τουλάχιστο 1 θέμα 70 απάτησα σωστά σε τουλάχιστο 2 θέματα 10 απάτησα σωστά σε τουλάχιστο 3 θέματα Κάθε θέμα το γώριζε ο ίδιος αριθμός φοιτητώ # φοιτητώ που δε γωρίζου το 1 ο θέμα ; Ω σύολο όλω τω φοιτητώ Α σύολο τω φοιτητώ που απάτησα σε 1 θέμα Β σύολο τω φοιτητώ που απάτησα σε 2 θέματα Γ σύολο τω φοιτητώ που απάτησα σε 3 θέματα Ν(Ω) 100 Ν(Α) + Ν(Β) + Ν(Γ) 100 Ν(Β) + Ν(Γ) 70 Ν(Γ) 10 Η τελευταία υπόθεση αι το ερώτημα δε εφράζοται ΚΟΛΛΗΣΕ Ω σύολο όλω τω φοιτητώ Α σύολο τω φοιτητώ που απάτησα στο 1 ο θέμα Β σύολο τω φοιτητώ που απάτησα στο 2 ο θέμα Γ σύολο τω φοιτητώ που απάτησα στο 3 ο θέμα Ν(Ω) 100 Ν(Α Β Γ) 100 Ν(ΑΒ ΒΓ ΑΓ) 70 Ν(ΑΒΓ) 10 Ν(Α) Ν(Β) Ν(Γ) Ν(Α ) ; 24
Λύση: Ν(Α Β Γ) Ν(Α) + Ν(Β) + Ν(Γ) Ν(ΑΒ) Ν(ΑΓ) Ν(ΒΓ) + +Ν(ΑΒΓ) 100 3Ν(Α) Ν(ΑΒ) + Ν(ΑΓ) + Ν(ΒΓ) + 10 Ν(ΑΒ ΑΓ ΒΓ) Ν(ΑΒ) + Ν(ΑΓ) + Ν(ΒΓ) Ν(ΑΒΑΓ) + Ν(ΑΒΒΓ) + Ν(ΑΓΒΓ) + Ν(ΑΒΑΓΒΓ) 70 Ν(ΑΒ) + Ν(ΑΓ) + Ν(ΒΓ) 2Ν(ΑΒΓ) Ν(ΑΒ) + Ν(ΑΓ) + Ν(ΒΓ) 90 Οπότε: 3Ν(Α) 100 + 90 10 3Ν(Α) 180 Ν(Α) 60 Και: Ν(Α ) Ν(Ω) Ν(Α) 40 β τρόπος: Συολία Λυμέα Θέματα Λυμέα θέματα αυτώ που έχου γράψει 3 σωστά 3 10 30 Άρα: άλυτα θέματα 120 ( 300 180) Άλυτα θέματα του 1 ου 120 3 40 2 σωστά 1 σωστό 180 2 60 120 1 30 30 # αέραιω λύσεω γραμμιής εξίσωσης με αμφίδρομους περιορισμούς (π.χ) # αταομώ όμοιω σφαιριδίω σε 3 ελιά διαεριμέα, χωρητιότητας 9, 19, 39 σφαιριδίω # αέραιω λύσεω της χ 1 + χ 2 + χ 3 ( ) με 0 χ 1 9, 0 χ 2 19, 0 χ 3 39 Ω {(χ 1, χ 2, χ 3 ): χ 1 0, χ 2 0, χ 3 0 αέρ. } Α {(χ 1, χ 2, χ 3 ): χ 1 10, χ 2 0, χ 3 0 αέρ. } Β {(χ 1, χ 2, χ 3 ): χ 1 0, χ 2 20, χ 3 0 αέρ. } Γ {(χ 1, χ 2, χ 3 ): χ 1 0, χ 2 0, χ 3 40 αέρ. } Ν(Α 1 Α 2 Α 3 ) Ν(Ω) Ν(Α 1 ) + Ν(Α 2 ) + Ν(Α 3 ) + +Ν(Α 1 Α 2 ) + Ν(Α 1 Α 3 ) + Ν(Α 2 Α 3 ) Ν(Α 1 Α 2 Α 3 ) Ν(Ω) 3 3 Ν(Α 1 ) 10 χ 1 + χ 2 + χ 3 y 1 + χ 2 + χ 3 χ 1 10 χ 2 0 χ 3 0 y1 χ 1 10 y 1 0 χ 2 0 χ 3 0 25
3 N(A 2 ) 20 N(A 3 1A 2 ) 30 3 N(A 3 ) 40 N(A 3 1A 3 ) 50 3 N(A 2 A 3 ) 60 3 N(Α 1 Α 2 Α 3 ) 70 χ 1 + χ 2 + χ 3 χ 1 10 χ 2 20 χ 3 0 Τελιά: Ν(Α 1 Α 2 Α 3 ) 3 3 10 + 3 20 + 3 40 + ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Ο Γειός Τύπος ισχύει για 70. Για 0 69 παραλείπω τους διωυμιούς συτελεστές με αρητιές παραμέτρους. Γείευση: # αταομώ όμοιω σφαιριδίω σε διαεριμέα ελιά χωρητιότητας s # αέραιω λύσεω της χ 1 + χ 2 + + χ ( ) Ω σύολο τω αέραιω λύσεω της ( ) με χ 1, χ 2,, χ 0 Α i υποσύολο του Ω με χ i s + 1 # λύσεω της ( ) με 0 χ i s όπου: S,0 Ν(Ω) S,r ΝΑ i1 Α i2 Α ir {i 1,i 2,,i r } {1,2,,} Ν(Α 1 Α 2 Α ) ( 1) r S,r r0, 1 r ΝΑ i1 Α i2 Α ir # λύσεω της ( )που χ i 1 s + 1, χ i2 s + 1,,, χ ir s + 1, αι οι άλλες μεταβλ. 0 r(s + 1) 26
Άρα: Ν(Α 1 Α 2 Α ) + ( 1)r r(s + 1), με r s + 1 r1 Το πρόβλημα του Γαλιλαίου Ρίψη ζαριού φορές G(, ) # αποτελεσμάτω με άθροισμα Ρ(, ) πιθαότητα σε ρίψεις αθροισμα G(, ) 6 G(, ) Ν (y 1, y 2,, y ): y 1 + y 2 + + y, αι 1 y i 6, i 1, 2,, χ i y i + 1 Ν (χ 1, χ 2,, χ ): χ 1 + χ 2 + + χ, αι 1 χ i s, i 1, 2,, + ( 1)r r 6r r1 Θεωρία: Α 1, Α 2,, Α Ω Ν, # στοιχείω του Ω που αήου σε αριβώς από τα Α 1, Α 2,, Α Ν,0 Ν(Α 1 Α 2 Α ) Τότε: Ν, ( 1) r r S,r, r όπου S,r ΝΑ i1 Α i2 Α ir S,0 Ν(Ω) Ν,0 ( 1) r S,r r0 {i 1,i 2,,i r } {1,2,,} r προσθεταίοι,r1, Α ισχύει ΝΑ i1 Α i2 Α ir η r αεξ. τω {i 1, i 2,, i r }, τότε τα Α 1, Α 2,, Α λέγοτα αταλλάξιμα. Τότε: S,r r η r 27
(π.χ) 3 Ν(Α Α 1, Α 2, Α 3 αταλάξ. 1 ) Ν(Α 2 ) Ν(Α 3 ) Ν(Α 1 Α 2 ) Ν(Α 1 Α 3 ) Ν(Α 2 Α 3 ) Μεταθέσεις χωρίς σταθερά σημεία φάελοι: Φ 1, Φ 2,, Φ άρτες: Κ 1, Κ 2,, Κ # τοποθετήσεω που αμία άρτα δε πάει στο φάελό της ; (1 άρτα σε άθε φάελο) Ω: σύολο όλω τω δυατώ τοποθετήσεω Α i : σύολο τοποθετήσεω που η i-άρτα πάει στο φάελό της Ζητάμε το: Ν(A 1 A 2 A ) ( 1) r S,r r0 S,0 Ν(Ω)! Ν(Α i1 Α i2 Α ir ) # τοποθετήσεω που οι i 1,, i r πάε σωστά ( r)! η r Άρα τα Α 1, Α 2,, Α αταλλάξιμα Ν(Α 1 Α 2 Α )! + ( 1) r ( r)! r r1 ( 1) r!! ( r r)! ( 1) r! ( r)! r! r0 Πιθαότητα αμία άρτα α μη πάει στο φάελό της r0 ευοϊές δυατές ( 1) r 1 r! r0 Πιθαότηα όλες οι άρτες α πάε 1 0! στο φάελό τους # τοποθετήσεω όπου αριβώς άρτες πάε στο φάελό τους r0 1 e! ( 1)r r!! Ν, ( 1) r r ( r)! r r 28
( 1) r r!! (r )!! ( r)! r! ( r)! r ( 1) r!! (r )! r Πιθαότητα α πάε αριβώς άρτες σωστά ( 1) r 1! (r )! r e 1 1! (π.χ) Πείραμα: εξαγωγή αι αταγραφή εός τραπουλόχαρτου με επαάθεση 20 φορές. Αποτέλεσμα: Διατεταγμέες 20-άδες τραπουλόχαρτω # αποτελεσμάτω που εμφαίζοται αι οι 4 άσσοι ; Ω: σύολο όλω τω δυατώ αποτελεσμάτω Ν(Ω) 52 20 Α 1 : σύολο τω απότ. που δε εμφ. ο Α Α 2 : σύολο τω απότ. που δε εμφ. ο Α Α 3 : σύολο τω απότ. που δε εμφ. ο Α Α 4 : σύολο τω απότ. που δε εμφ. ο Α Ν(Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 ) ( 1) r S 4,r r0 S 4,0 N(Ω) 52 20 S 4,r ΝΑ i1 Α i2 Α ir {i 1,i 2,,i r } (52 r) 20 {1,2,,} Ζητούμεο Πλήθος 4 4 4 4 (52 r)20 r 52 20 + ( 1) r 4 (52 r)20 r r1 ( 1) r 4 (52 r)20 r r0 Η λύση 20 4 4! 5216 είαι ΛΑΘΟΣ, αφού φτιάχοτας τη ειοσάδα επιλέγω τους άσσους πρώτα αι έπειτα τις θέσεις τους αι μετά αλύπτω τις υπόλοιπες 16 θέσεις. Άρα διπλομετρώ! 29
(π.χ) W, # διατάξεω του {ω 1,, ω } αά με επαάληψη που άθε στοιχείο εμφαίζεται τουλ. 1 φορά. Ω: σύολο διατάξεω του {ω 1,, ω } αά με επαάληψη. Ν(Ω) Α i : σύολο διατάξεω του {ω 1,, ω } αά με επαάληψη όπου το ω i δε εμφαίζεται. W(, ) Ν(Α 1 Α 2 Α ) ( 1) r S,r S,0 Ν(Ω) r0 S,r ΝΑ i1 Α i2 Α ir {i 1,i 2,,i r } {1,2,,} # διατάξεω του {ω 1,,ω } αά με επά. που δε εμφ.τα ω i 1,,ω ir ( r) S,r ( r) r Τελιά: ( 1) r ( r) r r0 30
Γεήτριες Συδυασμώ (π.χ) # συδυασμώ 4 αά του Ω {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 } με επαάληψη ότα: ω 1 επιτρέπεται α εμφαιστεί 0, 1 ή 2 φορές ω 2 επιτρέπεται α εμφαιστεί 0 ή 1 φορά ω 3 επιτρέπεται α εμφαιστεί 1 ή 3 φορές ω 4 επιτρέπεται α εμφαιστεί 1 φορά 1 η Ιδέα: ω j χ j : (χ 0 1 + χ 1 1 + χ 2 1 )(χ 0 2 + χ 1 2 )(χ 1 3 + χ χ 3 )χ 1 4 χ 0 1 χ 0 2 χ 1 3 χ 1 4 + 0 + χ 1 χ 0 2 χ 3 3 χ 1 2 4 + + χ 1 χ 1 2 χ 3 1 3 χ 4 το ω 1 0 φορές λπ το ω 1 2 φορές λπ 2 η Ιδέα: ω j tχ j : ο συτελεστής t δίει τους συδυασμούς με στοιχεία: ((tχ 1 ) 0 + (tχ 1 ) 1 + (tχ 1 ) 2 )((tχ 2 ) 0 + (tχ 2 ) 1 )((tχ 3 ) 1 + (tχ 3 ) 3 )(tχ 4 ) 1 t 2 χ 1 0 χ 2 0 χ 3 1 χ 4 1 + t 4 χ 1 0 χ 2 0 χ 3 3 χ 4 1 + Για χ 1 χ 2 χ 3 χ 4 1: (t 0 + t 1 + t 2 )(t 0 + t 1 )(t 1 + t 3 )t 1 (1 + t + t 2 )(1 + t)(t 2 + t 4 ) (1 + t + t 2 )(t 2 + t 3 + t 4 +t 5 ) 1t 2 + 2t 3 + 3t 4 + 3t 5 + 2t 6 + 1t 7 Γειή Διαδιασία: # συδυασμώ αά του Ω {ω 1, ω 2,, ω } με επαάληψη που το ω j εμφαίζεται r j φορές, όπου r j Α j : ΒΗΜΑ 1 ο : ω j tχ j Α j t, χ j tχ j r j, j 1, 2,, Απαριθμήτρια του ω j r j Α j ΒΗΜΑ 2 ο : Α j (t) Α j (t, 1), j 1, 2,, Απλοποιημέμη Απαριθμήτρια του ω j ΒΗΜΑ 3 ο : Α(t) Α 1 (t) Α 2 (t) Α (t) Γεήτρια Συδυασμώ ΒΗΜΑ 4 ο : Α(t) α t όπου α # συδυασμώ με τους περιορισμούς 31
Υπεθυμίσεις από τις Γεήτριες: Α(t) α t, B(t) β t, Γ(t) γ t Α(t) Β(t) α β Γ(t) Α(t) + Β(t) γ α + β Γ(t) Α(t)Β(t) γ α 0 β + α 1 β 1 + α 2 β 2 + + α β 0 Βασιές Γεήτριες: t ή t t 1 1 t, t < 1 (1 + t) α β 1 (1 t) (1 t), t < 1 (π.χ) # συδυασμώ αά χωρίς επαάληψη από το {ω 1, ω 2,, ω } ΒΗΜΑ 1 ο : ω j tχ j Α j t, χ j tχ j 0 + tχ j 1, j 1, 2,, ΒΗΜΑ 2 ο : Α j (t) Α j (t, 1) 1 + t, j 1, 2,, ΒΗΜΑ 3 ο : Α(t) Α 1 (t) Α 2 (t) Α (t) (1 + t) ΒΗΜΑ 4 ο : Α(t) (1 + t) # συδυασμώ αά χωρίς επαάληψη t, 0 0, + 1 32
(π.χ) # συδυασμώ αά με επαάληψη ώστε άθε ω j α εμφαίζεται 2 φορές ΒΗΜΑ 1 ο : ω j tχ j Α j t, χ j tχ j r j, j 1, 2,, ΒΗΜΑ 2 ο : r j 2 Α j (t) t r j t2 r j 2, j 1, 2,, 1 t ΒΗΜΑ 3 ο : t 2 + t 3 + t 4 + t 2 (1 + t + t 2 + ) Α(t) Α 1 (t)α 2 (t) Α (t) t2 ΒΗΜΑ 4 ο : Α(t) t 2 j j0 tj j t2+j j0 0, < 2 Άρα: α, 2 2 1 t t 2 (1 t) 2 2 (π.χ) R(, ) # συδυασμώ αά του {ω 1, ω 2,, ω } με επαάληψη που άθε ω j εμφαίζεται 3 φορές (i)r (t) R(, )t ; (Γεήτρια) t (ii)δο: R( + 1, ) R(, ) + R(, 1) + R(, 2) + +R(, 3), για 3 (i)βημα 1 ο : ω j tχ j Α j t, χ j tχ j r j r j Α j 3 tχ j rj, j 1, 2,, r j 0 33
ΒΗΜΑ 2 ο : Α j (t) t 0 + t 1 + t 2 + t 3 1 + t + t 2 + t 3, j 1, 2,, ΒΗΜΑ 3 ο : R (t) (1 + t + t 2 + t 3 ) R(, )t (ii)r +1 (t) (1 + t + t 2 + t 3 ) +1 (1 + t + t 2 + t 3 )R (t) R( + 1, )t (1 + t + t 2 + t 3 ) R(, j)t j R(, j)t j + R(, j)t j+1 + R(, j)t j+2 + R(, j)t j+3 j0 j0 R( + 1, )t j0 j0 j0 R(, )t + R(, 1)t + 2 1 + R(, 2)t + R(, 3)t R( + 1, 0) R(, 0) R( + 1, 1) R(, 1) + R(, 0) R( + 1, 2) R(, 2) + R(, 1) + R(, 0) 3: R( + 1, ) R(, ) + R(, 1) + R(, 2) + R(, 3) *** Για το αριβή τύπο του R(, ) ;;; R(, )t R (t) (1 + t + t 2 + t 3 ) (1 + t)(1 + t 2 ) Α(t) Α(t) Β(t) Γ(t) α β j γ j, όπου j0 3 (1 + t) (1 + t 2 ) j tj t2l l j0 l0 Β(t) β j j, j 0, 1, 2, 0, j περιττός γ j j, j άρτιος 2 Γ(t) 34
Εαλλατιά: R(, )t Α(t) Β(t) Γ(t) α β j γ j j0 (1 + t + t 2 + t 3 ) 1 t4 1 t, β j j, γ ο συτελεστής του j: t j στο (1 t 4 ) 0 χ R(, ) # λύσεω της χ 1 + χ 2 + + χ, i 3 i 1, 2,, (1 t) (1 t 4 ) Β(t) Γ(t) (π.χ) D(, ) # συδυασμώ του Ω {ω 1, ω 2,, ω 2 } αά όπου: τα ω 1, ω 3,, ω 2 1 εμφαίζοται 1 το πολύ φορά αι τα ω 2, ω 4,, ω 2 εμφαίζοται άρτιο αριθμώ φορώ (i)d(t) D(, )t ; (Γεήτρια) (ii)d(, ) ; (# συδυασμώ) ΒΗΜΑ 1 ο : ω j tχ j Α j t, χ j tχ j 0 + tχ j 1, j 1, 3,, 2 1 Α j t, χ j tχ j 0 + tχ j 2 + tχ j 4 +, j 2, 4,, 2 ΒΗΜΑ 2 ο : Α j (t) 1 + t, j 1, 3,, 2 1 Α j (t) 1 + t 2 + t 4 + 1, j 2, 4,, 2 1 t2 ΒΗΜΑ 3 ο : D(t) Α 1 (t) Α 2 (t) Α 2 (t) (1 + t) 1 1 t 2 (1 t) Αρα: D(t) t D(, ) 35
Γεήτριες Διατάξεω Πρόβλημα: # διατάξεω αά από το Ω {ω 1, ω 2,, ω } με επαάληψη όπου το ω i επιτρέπεται α εμφαιστεί r i φορές, r i Α i (π.χ) Ω {ω 1, ω 2 }, 2 Α 1 {1, 2, 3} # συδυασμώ ; Α 2 {2, 3} # διατάξεω ; Γεήτρια Συδυασμώ ω j tχ j Α j t, χ j tχ j r j r j Α j ω 1 : (tχ 1 ) 1 + (tχ 1 ) 2 + (tχ 1 ) 3 ω 2 : (tχ 2 ) 2 + (tχ 2 ) 3 t 3 χ 1 1 χ 2 2 + t 4 (χ 1 1 χ 3 2 + χ 2 1 χ 2 2 ) + t 5 (χ 2 1 χ 3 2 + χ 3 1 χ 2 2 ) + t 6 χ 3 3 1 χ 2 χ 1 χ 2 1 t 3 + 2t 4 + 2t 5 + t 6 Γεήτρια Διατάξεω ΙΔΕΑ: Να φτιάξω εαλλατιές απαριθμήτριες με ατίστοιχα παραγοτιά στο παροομαστή ω j tχ j Ε j t, χ j tχ j r j ω 1 : (tχ 1) 1 1! ω 2 : (tχ 2) 2 2! + (tχ 1) 2 2! + (tχ 2) 3 3! r j Α j + (tχ 1) 3 3! r j! t 3 χ 1 1 2 χ 2 + t 4 χ 1 1 3 χ 2 + χ 1 2 2 χ 2 1! 2! 1! 3! 2! 2! + t5 χ 1 2 3 χ 2 2! 3! χ 1 χ 2 1 + t 6 χ 1 3 3 χ 2 3! 3! t 3 3! t4 4! + 3! 1! 2! 4! 1! 3! + 4! t5 5! + 2! 2! 5! 2! 3! + 5! t6 6! + 3! 2! 6! 3! 3! + χ 1 3 χ 2 2 3! 2! + 36
Γειή Διαδιασία: # διατάξεω αά με επαάληψη του Ω {ω 1, ω 2,, ω } που το ω j επιτρέπεται α εμφαίζεται r j φορές, όπου r j Α j : ΒΗΜΑ 1 ο : ω j tχ j Ε j t, χ j ΒΗΜΑ 2 ο : tχ j r j r j r j Α j 1 η Διαφορά Ε j (t) Ε j (t, 1), j 1, 2,,, j 1, 2,, Εθετιή Απαριθμήτρια του ω j Απλοποιημέμη Εθετιή Απαριθμήτρια του ω j ΒΗΜΑ 3 ο : Ε(t) Ε 1 (t) Ε 2 (t) Ε (t) Γεήτρια Διατάξεω ΒΗΜΑ 4 ο : Ε(t) α t! 2 η Διαφορά Χρήσιμες Γεήτριες Συδυασμώ t 1 1 t t t όπου α # διατάξεω με τους περιορισμούς Χρήσιμες Γεήτριες Διατάξεω t, t < 1 e t! (1 + t) ΤΑ ΙΔΙΑ t () (1 + t)! (1 t) t, t < 1! e t 37
(π.χ) W(, ) # διατάξεω αά με επαάληψη που άθε στοιχείο εμφαίζεται τουλάχιστο 1 φορά 1 η Λύση: Αρχή Εγλεισμού-Απολεισμού 2 η Λύση: Γεήτριες Διατάξεω ΒΗΜΑ 1 ο : ω j tχ j Ε j t, χ j tχ j r j, j 1, 2,, r j! ΒΗΜΑ 2 ο : r j 1 Ε j (t) tr j r j 1 ΒΗΜΑ 3 ο : r j! e t 1, j 1, 2,, Ε(t) Ε 1 (t) Ε 2 (t) Ε (t) (e t 1) ΒΗΜΑ 4 ο : Ε(t) (e t 1) j (et ) j ( 1) j j0 Εθετιή Γεήτρια Διατάξεω j ( 1) j e jt j0 j ( 1) j (jt)! j0 j ( 1) j j j0 Αρα: W(, ) j ( 1) j j j0 t! 38
(π.χ) α # διατάξεω 2010 αά με επαάληψη του Ω {ω 1, ω 2,, ω 2010 }, όπου τα ω 1, ω 2, ω 3 εμφαίζοται το πολύ 1 φορά αι τα υπόλοιπα χωρίς περιορισμούς ΒΗΜΑ 1 ο : ω j tχ j Ε j t, χ j tχ j 0 0! + tχ j 1 1!, j 1, 2, 3 Ε j t, χ j tχ j r j, j 4, 5,, 2010 r j! r j 0 ΒΗΜΑ 2 ο : Ε j (t) 1 + t, j 1, 2, 3 Ε j (t) e t, j 4, 5,, 2010 ΒΗΜΑ 3 ο : Ε(t) Ε 1 (t) Ε 2 (t) Ε 2010 (t) (1 + t) 3 e 2007t ΒΗΜΑ 4 ο : Ε(t) (1 + 3t + 3t 2 + t 3 ) (2007t)j 2007j j! j! 3 2007j j! j0 t j+1 t 2007! + 2007 3! ( 3)! 3 Άρα: α 0 2007 0 j0 + 3 2007j j! j0 t j+2 + 3 2007 1! ( 1)! 1 t! j0 + 2007j j! t! j0 t j t j+3 + + 3 2007 2! ( 2)! 2 α 1 2007 1 + 3 2007 0 α 2 2007 2 + 3 2007 1 2 + 3 2007 0 3 2 3: α 2007 + 3 2007 1 + 3 2007 2 ( 1) + +2007 3 ( 1)( 2) t! + 39
(π.χ) # συδυασμώ/διατάξεω αά με επαάληψη από το Ω {ω 1, ω 2,, ω } όπου άθε ω j εμφαίζεται άρτιο πλήθος φορώ α # συδυασμώ β # διατάξεω Λύση με Γεήτριες - Συδυασμοί: ΒΗΜΑ 1 ο : ω j tχ j Α j t, χ j tχ j r j, j 1, 2,, ΒΗΜΑ 2 ο : r j 0 r j άρτιος Α j (t) Α j (t, 1) t r j r j 0 r j άρτιος t 0 + t 2 + t 4 + 1, j 1, 2,, 1 t2 ΒΗΜΑ 3 ο : 1 Α(t) Α 1 (t) Α 2 (t) Α (t) 1 t 2 (1 t 2 ) ΒΗΜΑ 4 ο : Α(t) 2j j t t 2 0 + 1 t2 + 2 t4 + 3 t6 + j0 0, περιττός α, άρτιος 2 Λύση με Γεήτριες - Διατάξεις: ΒΗΜΑ 1 ο : ω j tχ j Ε j t, χ j tχ j r j, j 1, 2,, r j 0 r j άρτιος r j! 40
ΒΗΜΑ 2 ο : Ε j (t) t0 0! + t2 2! + t4 4! + t6 6! + S α, j 1, 2,, S α tr j r j! r j 0 S α + S π tr j e t r j! r j άρτιος r j 0 S π tr j r j! S α S π ( 1) r tr j j r j 0 r j! r j 0 r j περιττός S α et e t ΒΗΜΑ 3 ο : 2 Ε(t) Ε 1 (t) Ε 2 (t) Ε (t) et e t ΒΗΜΑ 4 ο : Ε(t) 1 2 j (et ) j (e t ) j j0 2 e t 1 2 j e(2j )t 1 2 [(2j )t] j 1! 2 j (2j ) t! j0 β 1 2 j (2j ) j0 j0 j0 41
(π.χ) Δ(, ) # επααληπτιώ διατάξεω αά του Ω {ω 1, ω 2,, ω }, Με ω j α εμφαίζεται 1 ή 3 φορές (i)ε(t) Δ(, ) t ; (Γεήτρια)! (ii)δ(, 3) ;, Δ(, 3 1) ; ΒΗΜΑ 1 ο : ω j tχ j Ε j t, χ j tχ j 1 ΒΗΜΑ 2 ο : 1! Ε j (t) t 1! + t3 3! ΒΗΜΑ 3 ο : + tχ j 3 3! t + t3 6, j 1, 2,,, j 1, 2,, Ε(t) Ε 1 (t) Ε 2 (t) Ε (t) t + t3 6 ΒΗΜΑ 4 ο : Ε(t) j tj t3 j 6 j0 (3 2j)! j j0 6 j tj+3 3j j j0 t 3 2j (3 2j)! 6 j (i) 3 j, Αρα διαρίουμε τις Περιπτώσεις: 2 3 1) {0, 1, 2, } Δ(, ) 0 2 3 2) {0, 1, 2, } {3, 3 2, 3 4, } 2 Τότε: Δ(, )! 3 3! 2 3 6 2 (ii)δ(, 3) (3)! 0 6 (3)! 6 Δ(, 3 1) 0 2 6 2 42
(π.χ) D(, ) # επααληπτιώ συδυασμώ του Ω {1,2,,2} αά, όπου τα 1, 2,, εμφαίζοται το πολύ 2 φορές αι τα + 1, + 2,, 2 εμφαίζοται 0 ή 3 φορές D (, ) # επααληπτιώ συδυασμώ του Ω {1,2,, } αά, όπου άθε στοιχείο εμφαίζεται το πολύ 5 φορές Ν.Δ.Ο.: D(, ) D (, ) D(t) D(, )t (1 + t + t 2 ) (1 + t 3 ) D (t) D (, )t (1 + t + t 2 + t 3 + t 4 + t 5 ) [(1 + t + t 2 )(1 + t 3 )] D(, ) D (, ) (π.χ) Β(, ) # επααληπτιώ συδυασμώ του Ω {1,2,,4} αά, όπου: τα 1, 2,, εμφαίζοται το πολύ 1 φορά, τα + 1, + 2,, 2 εμφαίζοται 0 ή 2 φορές, τα 2 + 1, 2 + 2,, 3 εμφαίζοται 0 ή 4 φορές αι τα 3 + 1, 3 + 2,, 4 εμφαίζοται πολλαπλάσιο του 8 φορές (i)β(t) Β(, )t (ii)β(, ) ; ; (Γεήτρια) (i)β(t) (1 + t) (1 + t 2 ) (1 + t 4 ) (t 0 + t 8 + t 16 + ) (1 + t) (1 + t 2 ) (1 + t 4 ) 1 1 t 8 (1 + t) (1 + t 2 ) (1 + t 4 ) (1 + t 4 ) (1 t 4 ) (1 + t) (1 + t 2 ) (1 + t 2 ) (1 t 2 ) (1 + t) 1 (1 + t) (1 t) 1 t (ii)β(t) (1 t) t Β(, ) 43
Επααληπτιές Ασήσεις - Θέματα (1) 3 όμοια μήλα 2 διαεριμέα παιδιά Π 1, Π 2,, Π 2 (α) # τρόπω μοιρασιάς ώστε άθε παιδί Π 1, Π 2,, Π α πάρει 2 μήλα (β) (4 + ) (2 + ) ;! ( )! 2, i (α)χ 1 + χ 2 + + χ + χ +1 + + χ 2 3, με χ i 0, i > y i χ i 2, i χ i, i > y 1 + y 2 + + y 2 3 2 Αρα: # 2 y i 0, i Ή λέμε ότι: Μοιράζουμε 2 όμοια μήλα σε παιδιά (1 τρόπος) αι μας μέου μήλα α τα μοιράσουμε σε 2 παιδιά ( 2 τρόποι) (β) (4 + ) (2 + )! ( )! (4 + )! 4!! 4 + + 2 5 3 (2 + )! 2! ( )! ( 1) 5 3 ( 1) ( 1) 5 3 ( 1) 8 8 44
+ (2) (α) # τρόπω τοποθετήσεω τω 1, 2,, 9 σε γραμμή, ώστε: το 1 όχι στη 1 η θέση 3 3 η 5 5 η 7 7 η Ω όλες οι μεταθέσεις τω 1, 2,, 9 Ν(Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 ) Ν(Ω) Ν(Α 1 ) + Ν(Α 2 ) + Ν(Α 3 ) + Ν(Α 4 ) S 4,1 + Ν(Α 1 Α 2 ) + + Ν(Α 3 Α 4 ) + S 4,2 + Ν(Α 1 Α 2 Α 3 ) + + Ν(Α 2 Α 3 Α 4 ) S 4,3 + Ν(Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 ) S 4,4 όπου: Α 1 : όλες οι μεταθέσεις που το 1 πάει στη 1 η θέση Α 2 : 3 3 η Α 3 : 5 5 η Α 4 : 7 7 η Άρα: Ν(Ω) 9! Ν(Α 1 ) Ν(Α 2 ) Ν(Α 3 ) Ν(Α 4 ) 8! Ν(Α 1 Α 2 ) Ν(Α 3 Α 4 ) 7! Ν(Α 1 Α 2 Α 3 ) Ν(Α 2 Α 3 Α 4 ) 6! Ν(Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 ) 5! Επομέως: # 9! 4 1 8! + 4 2 7! 4 3 6! + 4 5! 4 (β) D(, ) # επααληπτιώ συδυασμώ του Ω {1,2,,3 + 1} αά, όπου τα 1, 2,, εμφαίζοται άρτιο αριθμό φορώ αι τα + 1, + 2,, 3 + 1 εμφαίζοται το πολύ 1 φορά D (, ) # επααληπτιώ συδυασμώ του Ω {1,2,,2 + 1} αά, όπου τα 1, 2,, εμφαίζοται χωρίς περιορισμό αι τα + 1, + 2,, 2 + 1 εμφαίζοται το πολύ 1 φορά Ν.Δ.Ο.: D(, ) D (, ) D(t) (1 + t 2 + t 4 + ) (1 + t) 3+1 (+1)+1 (1 + t 2 + t 4 + ) (1 + t) 2+1 (1 t 2 ) (1 + t) 2+1 (1 t) (1 + t) +1 D (t) (1 + t + t 2 + ) (1 + t) +1 1 1 t (1 + t) +1 (1 t) (1 + t) +1 45 D(t) D (t)
(3)Ω {1,2,,2009} (α) # υποσυόλω του Ω με 20 στοιχεία που περιέχου το 3 αι το 8 (β) # μεταθέσεω του Ω που δε έχου διαδοχιά άρτια (γ) # υποσυόλω του Ω με 70 στοιχεία, με 30 άρτιους (δ) # μεταθέσεω του Ω με τα 1, 2, 3 σε άποια απ τις 8 πρώτες θέσεις (ε) # μεταθέσεω του Ω που το 1 όχι στη 1 η θέση 2 2 η θέση 3 τελευταία θέση (α) # 1 2007 18 (β) # (1005)! 1006 (1004)! 1004 (γ) # 1004 1004 30 40 (δ) # 8 7 6 (2006)! 8 3! (2006)! 3 (ε) Αρχή Εγλεισμού - Απολεισμού # αέραιω λυσεω της χ 0 + χ 1 + + χ 10 200 (4)(α) χ 0 {0, 1} χ 1 {0, 10} χ i 1, i 2, 3,, 10 # αέρ. λυσ. της χ 0 + χ 1 + + χ 10 + χ 11 200 χ 0 {0, 1} yi χ i 1 χ 1 {0, 10} χ i 1, i 2, 3,, 10 χ 11 0 i 2,, 10 # αέρ. λυσ. της χ 0 + χ 1 + y 2 + + y 10 + χ 11 191 χ 0 {0, 1} χ 1 {0, 10} y 2, y 3,, y 10, χ 11 0 # αέρ. λυσ. της y 2 + y 3 + + y 10 + χ 11 191 χ 0 χ 1 y 2, y 3,, y 10, χ 11 0 10 10 10 10 + + + 191 181 190 180 # τρόπω αταομής 2009 όμοιω σφαιριδίω σε 20 (β) διαεριμέα ελιά ότα το 1 ο έχει χωριτιότητα 100 αι τα άλλα απεριόριστη 46
# αέραιω λύσεω της 100 # αέραιω λύσεω της χ 1 + χ 2 + + χ 20 2009 χ 0 χ 1 100 2 + + χ 20 2009 χ 1 χ χ χ i 0, i 2, 3,, 20 1 0 i 0, i 2, 3,, 20 100 19 2009 χ 1 χ 1 0 Εαλλατιά: # αέραιω λύσεω της Ω χ 1 + χ 2 + + χ 20 2009 χ i 0, i 1, 2,, 20 # αέραιω λύσεω της χ Α 1 + χ 2 + + χ 20 2009 χ 1 101 χ i 0, i 2, 3,, 20 Το ζητούμεο είαι το Α : Ν(Α ) Ν(Ω) Ν(Α) 20 20 2009 1908 (5)(i) 2 ;, (ii) 4 + + 6 ; 4 6 (i) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 j 1 (j + 1) 1 j 1 + 1 j j j j0 1 j 1 j j1 1 2 j 1 ( 1) 2 j 1 j1 2 j0 + 2 1 + 2 1 i j 1 1 j0 ( 1) 2 + 2 1 ( 1)2 2 + 2 1 i i0 2 2 ( + 1) 47
(ii) 4 + + 6 4 + + 6 4 6 5 + 1 7 + ( ) 1 ( 1) 5 ( 1) 7 ( 1) 5 7 ( 1) 12 12 (6)α # συδυασμώ με επαάληψη του Ω {ω 1, ω 2,, ω 2 } αά, όπου τα ω 1, ω 2,, ω εμφαίζοται πολλαπλάσιο του 4 φορές αι τα ω +1, ω +2,, ω 2 εμφαίζοται 2 ή 4 φορρες (i)α(t) α t ; (Γεήτρια) (ii)α ;, για 2 + 4, 2 + 5 (i)α(t) (1 + t 4 + t 8 + ) (t 2 + t 4 ) (1 t 4 ) t 2 (1 + t 2 ) t (1 2 + t2 ) (1 t 4 ) (1 + t 2 ) t2 (1 + t 2 ) (1 t 2 ) t2 (1 t 2 ) t 2 j j0 t2j j t2(j+) j0 0 t2 + 1 t2+2 + 2 t2+4 + (ii)άρα: α 2+4 2 αι α 2+5 0 Πιο επισταμέα θα λέγαμε: 2 + 4 2(j + ) j 2 α 2+4 2 2 + 5 2(j + ) 2j 5 Αδύατη αφού j Z α 2+5 0 Για 5 + 8: 5 + 8 2(j + ) 2j 3 8 j 3 + 8 α 5+8 0, περιττός α 5+8 j, άρτιος 2 48
(7)Ω {1,2,,2008} (α) # μεταθέσεω του Ω όπου το 1 βρίσεται σε άποια από τις θέσεις 1 200 αι το 2 σε άποια από τις θέσεις 201 2008 (β) # μεταθέσεω του Ω όπου τα 1, 2, 3 βρίσοται σε άποιες από τις θέσεις 1 200 (γ) # μεταθέσεω του Ω όπου τα περιττά στοιχεία αταλαμβάου περιττές θέσεις (α)βήμα 1 ο : Επιλογή της θέσης του 1 200 τρόποι Βήμα 2 ο : Επιλογή της θέσης του 2 1808 τρόποι Βήμα 3 ο : Επιλογή τω θέσεω τω υπολοίπω (2006)! τρόποι Άρα από Πολ/ή Αρχή # μεταθέσεω 200 1808 (2006)! (β) # μεταθέσεω 200 199 198 (2005)! Ή # μεταθέσεω 200 3 ρατάω 3 θέσεις (γ) # μεταθέσεω (1004)! (1004)! 1 2 3 (2005)! τοποθετώ στι 3 θέσεις τα 1,2,3 (8)(i) 1 + 2 + 1 ( + 2)( + 1) + 1 ( + 1)( + 2) + 2 + 2 1 ( + 1)( + 2) 1 ( + 1)( + 2) 1 ( + 1)( + 2) 1 ( + 1)( + 2) i j 1 + 2 + 2 + + 2 + 2 + 2 j +2 + 2 (j 2) + + 2 j j j2 +2 +2 j2 + 2 j + 2 j j j2 +2 + 2 j j j2 1 ( + 1)( + 2) +2 j2 + 1 j 1 +1 2 +2 + 2 + 2 0 1 + 1 ( + 2) 2 i +2 + 1 + + 2 1 ( + 1)( + 2) ( + 2) 2+1 + 1 0 2+2 + + 3 i1 49
( + 2)(2+1 1) 2 +2 + + 3 ( + 1)( + 2) (ii) 2j + 1 m + j + 1 ( 1)j j 2j + 1 m + j + 1 j0 (2j + 1)! j0 j! (j + 1)! (m + j + 1)! (2j + 1)! (m j)! ( 1) j m + j + 1 (m ( 1) j + j)! (m ( 1) j! (j + 1)! (m j + j)! m! j)! j! (j + 1)! (m j)! m! j0 ( 1)j j + 1 j0 1 j + 1 j0 1 m + 1 + j m m j j + 1) (m m j j j0 1 (m + 1) + j 1 j + 1 ( 1)j m j j j0 1 m + 1 + 1) (m m + 1 j m j j0 + 1) (m m + 1 j j + 1 j0 1 m + 1 0 α m 0 1, m 0, α m 0 50