ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΠΛΑΓΙΑ ΚΡΟΥΣΗ.. Σώμα που κινείται με κάποια ταχύτητα που σχηματίζει γωνία ως προς το κεκλιμένο επίπεδο συγκρούεται πλαστικά με άλλο σώμα δεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου. Ξύλινο σώμα μάζας 4 g είναι δεμένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς 8 N/ και ηρεμεί. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο υ σε ακλόνητο σημείο. Ένα σώμα βλήμα) μάζας g χτυπάει το ξύλο με ταχύτητα μέτρου υ 5 / η διεύθυνση της οποίας σχηματίζει με το οριζόντιο δάπεδο γωνία συν,8, ημ,). Αν η κρούση είναι πλαστική και στη συνέχεια το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση να βρείτε: α. την εκλυόμενη θερμότητα στη διάρκεια της κρούσης. β. το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. γ. το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος όταν το ελατήριο είναι συσπειρωμένο κατά,. δ. το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του ταλαντωτή στην παραπάνω θέση. ε. την μεταβολή της ορμής του βλήματος και του συστήματος. Λύση α. Την στιγμή της κρούσης στην διεύθυνση της κίνησης δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στην οριζόντια διεύθυνση οπότε το σύστημα είναι μονωμένο εκεί και ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής θεωρώ την ορά της ταχύτητας +) υ υ y υ θετική). Στον κατακόρυο άξονα δεν έχουμε διατήρηση της ορμής αού μετά την κρούση το συσσωμάτωμα θα κινείται οριζόντια και η ορμή στον κατακόρυο Θ.Ι. άξονα θα είναι μηδέν. 5,8 5 ) ) ),8 Άρα Q ),5, Q,9 J ΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9753 W.U.
β. Η κρούση έγινε στη Θ.Ι. της ταλάντωσης οπότε η ταχύτητα είναι η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης και ισχύει a Α ω ), κυκλική συχνότητα βρίσκεται από τη σχέση D ) rad ω 4. ) Α, γ. Εαρμόζουμε την Α..Ε. για την ταλάντωση και έχουμε: ) 8, 4, ) 5 E K U ) 4 υ,4 3 δ. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι: d W F d d d W F dt dt dt dt d dt d D 8,,4 3 dt dκ dt J 3, 3 ε. Για την μεταβολή της ορμής του βλήματος στον άξονα έχουμε θετική η ορά προς τα δεξιά):,8 4 βλ g 3, θ Για την μεταβολή της ορμής του βλήματος στον άξονα y y έχουμε θετική η ορά προς τα πάνω): ) βλ g 3 Άρα έχουμε: βλ g 9, 4 και 3 3, όπως αίνεται στο σχήμα. Για το σύστημα δεν έχουμε μεταβολή στον άξονα αού εκεί έχουμε διατήρηση η μεταβολή στον άξονα y y είναι ίση με αυτή του βλήματος άρα y 3 g / οπότε και συστ. y 3 g /. ΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9753 W.U.
. Πλαστική κρούση σε κατακόρυο ελατήριο με το πάνω άκρο στην οροή. Σώμα μάζας,4 g εκτοξεύεται υπό γωνία 3 ο, όπως στο σχήμα, προς το κατακόρυο ελατήριο όπου ισορροπεί σώμα μάζας, g, η κρούση τους είναι πλαστική και η απώλεια της ενέργειας είναι Ε απ 7 J. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί Α.Α.Τ. πλάτους Α,4. Να βρεθούν: α. η ορμή του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση β. η σταθερά του ελατηρίου γ. η ελάχιστη τιμή της δύναμης του ελατηρίου Λύση α. Την στιγμή της κρούσης στην διεύθυνση της κίνησης οι εξωτερικές δυνάμεις w, υ w, F ) είναι αμελητέες σε σχέση με τις δυνάμεις της κρούση οπότε το σύστημα θεωρείται μονωμένο και ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής θεωρώ την ορά της ταχύτητας θετική). ) ) ) ) Η απώλεια της ενέργειας είναι: ) ) ) ) ) ) υ Από την ) έχουμε: 3 και η ορμή του συσσωματώματος ) συσ 3 g β. Το σώμα ισορροπεί στη θέση όπου ισχύει: F w F g g. Το συσσωμάτωμα θα ισορροπεί σε μία νέα θέση για την οποία θα έχουμε: ΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9753 W.U. 3
g + g F w w F g g ) Η ταλάντωση που θα επακολουθήσει θα γίνει γύρω από την νέα θέση ισορροπίας ). Το συσσωμάτωμα δεν ξεκινά την ταλάντωση του από τη αλλά απέχει από αυτή: g + g g g δηλαδή όσο επιπλέον F ελ l w l F w w παραμόρωση προκαλεί το σώμα που συσσωματώνεται) και την στιγμή εκείνη έχει ταχύτητα. g Για τη σταθερά του ελατηρίου εαρμόζουμε Α..Ε. για την ταλάντωση στην όπου. g E K U ) ) A ) g, 37,5 η οποία έχει διακρίνουσα 8,5 4,5 και λύσεις 37,5 4,5 N 4 γ. η ταλάντωση γίνεται γύρω από τη που απέχει από το Φ.Μ. του ελατηρίου σύμωνα με τη )) )g,5 και το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α,4, οπότε η ελάχιστη παραμόρωση του ελατηρίου είναι l in l Α l in,. Η ελάχιστη δύναμη του ελατηρίου έχει μέτρο: F ελ,in l in F ελ,in 4 Ν ΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9753 W.U. 4
3. Πλαστική κρούση σε κεκλιμένο επίπεδο με το πάνω άκρο στην κορυή. Σώμα μάζας,9 g εκτοξεύεται οριζόντια ως προς το έδαος σε κεκλιμένο επίπεδο όπου ισορροπεί σώμα μάζας 8, g δεμένο σε ελατήριο σταθεράς 45 N/, η κρούση τους είναι πλαστική και το υ μέτρο της μεταβολή της ορμής σε άξονα κάθετο στο κεκλιμένο g επίπεδο είναι y,9 5 Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η γωνία του κεκλιμένου επιπέδου είναι 3 ο και η επιτάχυνση της βαρύτητας g /. Να βρείτε: α. την ταχύτητα του βλήματος πριν την κρούση. β. την απώλεια της μηχανικής ενέργειας. γ. το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. Λύση α. Η μεταβολή της ορμής στον άξονα y y είναι θεωρώ θετική την ορά προς τα πάνω) ) 3,9 5 3,9,5 y y y y υ 5 β. Την στιγμή της κρούσης στην διεύθυνση της κίνησης οι εξωτερικές δυνάμεις w, w, F, ) είναι αμελητέες σε σχέση με τις δυνάμεις της κρούση οπότε το σύστημα θεωρείται μονωμένο και ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής θεωρώ την ορά της ταχύτητας θετική).,9 5 ) ) ) 9 3, 5 Η απώλεια της ενέργειας είναι: ) 9,75 Ε απ 8,35J ΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9753 W.U. 5
gημ γ. Το σώμα ισορροπεί στη θέση όπου ισχύει: F w F g F ελ l l F w w w Στο σχήμα δεν έχουν σχεδιαστεί οι κάθετες στην κίνηση δυνάμεις για χάριν απλότητας) Το συσσωμάτωμα θα ισορροπεί σε μία νέα θέση για την οποία θα έχουμε: gημ + gημ F w w F g g Η ταλάντωση που θα επακολουθήσει θα γίνει γύρω από την νέα θέση ισορροπίας ). Το συσσωμάτωμα δεν ξεκινά την ταλάντωση του από τη αλλά απέχει από αυτή: gημ + gημ gημ gημ, Για το πλάτος της ταλάντωσης εαρμόζουμε Α..Ε. για την ταλάντωση στην όπου,. + ) 9, 5 E K U ) Α + A, 45 Α, ΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9753 W.U.
4. Σώμα σε κατακόρυη τροχιά Ελατήριο σταθεράς N/ είναι δεμένο στο κάτω άκρο του Σ και βρίσκεται πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης h 3. Στο πάνω μέρος του ελατηρίου είναι δεμένο σώμα Σ μάζας 4 g που ηρεμεί. Ένα άλλο σώμα Σ μάζας g Σ αήνεται από ύψος h,75 πάνω από το σώμα με το οποίο συγκρούεται πλαστικά και στη συνέχεια το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. α. Να βρείτε το πλάτος Α της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β. Να γραούν οι χρονικές εξισώσεις απομάκρυνσης και ταχύτητας του συσσωματώματος. -γ. Σε πόσο χρόνο μετά την κρούση μηδενίζεται η ταχύτητα του συσσωματώματος; δ. Ποια είναι η απώλεια μηχανικής ενέργειας λόγω της κρούσης; ίνεται g /, θετική η ορά προς τα κάτω. Λύση α. Για να βρούμε την ταχύτητα του σώματος Σ λίγο πριν την κρούση εαρμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. από την αρχή έως λίγο πριν την κρούση. W gh gh υ 5 Η ορμή διατηρείται μόνο κατά μήκος του άξονα. ) ) ), 5 F ελ w F ελ l Α l w w ΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9753 W.U. 7
gημ Το σώμα ισορροπεί στη θέση όπου ισχύει: F w F g Το συσσωμάτωμα θα ισορροπεί σε μία νέα θέση για την οποία θα έχουμε: gημ + gημ F w w F g g Η ταλάντωση που θα επακολουθήσει θα γίνει γύρω από την νέα θέση ισορροπίας ). Το συσσωμάτωμα δεν ξεκινά την ταλάντωση του από τη αλλά απέχει από αυτή: gημ + gημ gημ gημ,5 Για το πλάτος της ταλάντωσης εαρμόζουμε Α..Ε. για την ταλάντωση στην όπου,. + ) 5, 5 E K U ) Α + A, 5 Α,. β. Εόσον θετική είναι η ορά προς τα κάτω την χρονική στιγμή t έχουμε υ > και <. Άρα Για t, 7 7 rad rad αποδεκτή λύση είναι αυτή που για t θα μας δώσει υ >. a a 7 π άρα rad Η κυκλική συχνότητα είναι: D ) rad ω 5 και a A υ a,4 5 ΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9753 W.U. 8
Οι ζητούμενες εξισώσεις είναι: t ) π,ημ 5t + ) S.I.) και a t ) π υ,4 5συν 5t + ) S.I.) γ. Για υ έχουμε: π π π, 4 5συν 5t + ) συν 5t + ) 5t + π 8π 4π 5t +π π + 3π t t 5 5 t 5π 5 δ. Η απώλεια της ενέργειας είναι: ) 7,5,375 Ε απ 7,5J. ΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 97 7, 9753 W.U. 9