ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αοστολής στον Φοιτητή: 9 Mαίου 7 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας αό τον Φοιτητή: Ιουνίου 7 Άσκηση. ( µον.) ίνεται το σύστηµα γραµµικών εξισώσεων : + y z - + αy z y + αz Α. Λύστε το σύστηµα για όλες τις τιµές της ραγµατικής αραµέτρου α. Β. Για την τιµή α -/ : (i) Βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του ίνακα Α του συστήµατος και διαγωνοοιήστε τον. (ii) Χρησιµοοιώντας την ροηγούµενη διαγωνοοίηση υολογίστε τη -οστή δύναµη Α για κάθε φυσικό αριθµό. Λύση Α. Θεωρούµε τον εαυξηµένο ίνακα του συστήµατος στον οοίο εφαρµόζουµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς: Γ Γ Γ ΓΓ Γ Γ /( + ) Γ ΓΓ ( ) + + α - 7 Γ ΓΓ /( + ) /( + ) 7 7α α + Στην ερίτωση ου α φανερά το σύστηµα είναι ασυµβίβαστο µιας και αό τη δεύτερη γραµµή του τρίτου ίνακα έχουµε z. Είσης στην ερίτωση ου α φανερά το σύστηµα είναι ασυµβίβαστο µιας και αό την τρίτη γραµµή του τελικού ίνακα έχουµε z. Εάν, τότε έχουµε την µοναδική λύση 6 7 y + α + α + α + ( α + ) ( α + ) ( α + ) z T. Β. Για την τιµή α -/ ο ίνακας γίνεται: ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

A i)το χαρακτηριστικό ολυώνυµο είναι λ 5 9 det( A λι ) det λ ( λ)( λ + )( λ + ) + ( λ + ) + ( λ ) λ 5 5 ( λ)( λ + )( λ + ) (λ + ) ( λ + ) ( λ)( λ + ) ( λ + ) λ λ + ( λ + )( λ + ) λ µε ρίζες -, -/, /. Οότε ο ίνακας έχει τρεις διαφορετικές ιδιοτιµές και συνεώς διαγωνοοιείται. 4 Για την ιδιοτιµή λ, το συστηµα / ισοδυναµεί µε /,, αό όου αίρνουµε το ιδιοδιάνυσµα [ ] T. Για την ιδιοτιµή λ /, το συστηµα /, 4, αό όου αίρνουµε το ιδιοδιάνυσµα [4 ] T. Για την ιδιοτιµή λ /, το συστηµα 5/ 7, 8, αό όου αίρνουµε το ιδιοδιάνυσµα [8 7] T. Αρα ο ίνακας διαγωνοοιείται δηλαδή ισχύει APDP - όου ισοδυναµεί µε ισοδυναµεί µε 4 8 P, D /. 7 / ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

Υολογίζουµε τον αντίστροφο του ίνακα Ρ: 4 8 4 8 Γ ΓΓ [ P I] 7 5 Γ ΓΓ Γ Γ Γ 7 7 9 4 8 4 8 7 5 / 6 7 5 Γ Γ Γ Γ + 5Γ 6 /6 /6 4 8 4 8 7 / 5/ Γ Γ /( 7) /7 /4 5/4 /6 /6 /6 /6 4 4/ 4/ /7 / / Γ 8 /7 /4 5/4 4 /7 /4 5/4 Γ Γ Γ Γ Γ. /6 /6 /6 /6 Άρα /7 / / P /7 /4 5/4 /6 /6 ii) H νιοστή δύναµη του Α ισούται µε A PD P - ( ) A PD P 4 8 /7 / / ( /) /7 /4 5/4... 7 ( /) /6 /6 Άσκηση ( µον.) ίνεται η γραµµική αεικόνιση f : R R µε τύο: f ( yz,, ) ( + y, y z, + y z). (i) Βρείτε τον ίνακα της f ως ρος την κανονική βάση του R. (ii) Προσδιορίστε τον υρήνα και την εικόνα της f καθώς και αντίστοιχες βάσεις. Είναι η f -; Είναι εί ; (iii) Υάρχει ο αντίστροφος του ίνακα της f ; Λύση (i) Για να βρούµε τον ίνακα της f ως ρος την κανονική βάση Β του R ου αοτελείται αό τα διανύσµατα e (,,), e (,,), e(,,) (διατεταγµένα µε την σειρά αυτή) ρώτα βρίσκουµε τις εικόνες µέσω της f καθενός αό αυτά ως γραµµικούς συνδυασµούς των στοιχείων της βάσης: ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

f( e ) f(,, ) ( +,, + ) (,, ) (,, ) + (,, ) + (,,) e + e + e, f( e ) f(,,) (+,, + ) (,,) e e + e, f ( e ) f(,,) ( +,, + ) (,, ) e e e, και σχηµατίζουµε τον ίνακα Α µε στήλες τα [ ( )], [ ( )], [ ( )] ίνακας της f ως ρος την κανονική βάση Β του R A. f e f e f e. ηλαδή ο B B B είναι ο (ii) Εχοντας τον ίνακα της f, για να ροσδιορίσουµε τον υρήνα και την εικόνα της f αρκεί να υολογίσουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Α: Γ Γ Γ A Γ Γ Γ Γ Γ /( ) Γ Γ Γ / / Γ Γ /( ) / A Ετσι το διανυσµα e + y e + z e (, y, z) ανήκει στον υρήνα της f αν και µόνο αν A y z δηλαδή z/ και y + z/. Αρα z/ και y z/ δηλαδή Ker f { (,,), R } και µία βάση του είναι το µονοσύνολο {(,,) }. Συνεώς ο Ker f είναι µονοδιάστατος υόχωρος του R. Αό την κλιµακωτή µορφή του Α συµεραίνουµε ότι µία βάση του χώρου στηλών του αοτελείται αό την ρωτη και δευτερη στήλη και συνεώς µία βάση της εικόνας της f αοτελείται αό τα διανύσµατα e + e + e (,,) και e e + e(,-,) και η διάστασή της είναι. Χρησιµοοιώντας τα αραάνω συµεράσµατα µορούµε να ούµε ότι: Η f δεν είναι - αφού ο υρήνας της δεν είναι ο µηδενικός υόχωρος. Η f δεν είναι εί αφού η εικόνα της δεν συµίτει µε το εδίο τιµών της έχοντας µικρότερη διάσταση αό αυτό. (iii) εδοµένου ότι ο ίνακας ου αντιστοιχεί σε µία γραµµική αεικόνιση είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν το ίδιο συµβαίνει και µε την αντίστοιχη αεικόνιση, ο Α δεν ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 4

αντιστρέφεται αφού η f δεν είναι - και εί (εισης αό την κλιµακωτή µορφή του Α εχουµε ότι rk A < και συνεώς ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος). Άσκηση (4 µον.) Α. (6 µον.) Να υολογίσετε τα αρακάτω όρια: l i) lim ( )l ii) ( + ) l lim (χρησιµοοιώντας τα ανατύγµατα αριθµητή και αρονοµαστή σε cos σειρές Tylor). Β. ( 8 µον.) Προσδιορίστε τους ραγµατικούς α, β, γ έτσι ώστε η συνάρτηση : + β +, < f( ), + γ +, > να είναι αραγωγίσιµη στο. Λύση Α. i) l ( l ) lim lim lim lim lim ( )l l+ (( )l) l+ l + ( ) lim lim lim ( l + ) l + l + + ( ) ( ) ii) Χρησιµοοιώντας τα ανατύγµατα των εµλεκόµενων συναρτήσεων σε σειρές Tylor µε κέντρο το, έχουµε : + + ( ) ( ) l( + ), <, cos, R, ( )! έχουµε : + + ( ) ( ) 4 6 8 l( + ) ( ) + +..., < 4 ( ) ( )!! 4! 6!! 4! 6! + 4 6 4 6 cos ( + +...) +... Οι τύοι αυτοί ισχύουν στην εριοχή του µηδενός, όου υολογίζεται το ζητούµενο όριο, και άρα µορούµε να αντικαταστήσουµε : ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 5

4 6 8 4 6... l ( )... + + + + + 4 4 lim lim lim cos 4 6 4 +......! 4! 6! +! 4! 6! 4 6 + +... 4 + +... lim. 4 +... +...! 4! 6!! Β. Για να είναι η f αραγωγίσιµη στο θα ρέει να είναι και συνεχής. Εοµένως: lim f( ) lim f( ) lim( + β + ) lim( + γ + ) + + + β + β + γ γ Αό την άλλη µεριά, και οι λευρικές αράγωγοι της f στο θα ρέει να υάρχουν και να συµίτουν : f( ) f() f( ) f() ( + β+ ) ( + γ+ ) lim lim lim lim + β+ + γ + ( ) + lim lim lim lim + ( ) ( ) ( ) lim lim lim lim + ( ) ( ) lim lim( ) + + + + + Οότε και β - α -. Άρα τελικά οι ζητούµενες τιµές είναι : α, β-, γ-. Άσκηση 4 ( µον.) Α. Χρησιµοοιώντας αραγοντική ολοκλήρωση υολογίστε τα ολοκληρώµατα : ( + )si( ) d ( + )cos d, ( ) Β. Να βρεθεί η τριγωνοµετρική σειρά Fourier της f() +, -<<. Γ. Χρησιµοοιώντας το ροηγούµενο ανάτυγµα δείξτε ότι ( ) + +... 4 5 7 +. Χρησιµοοιώντας Mtlb σχεδιάστε την f() + στο διάστηµα (-,) καθώς και τα µερικά αθροίσµατα του ανατύγµατός της σε σειρά Fourier για έναν, τρεις και έντε όρους. Λύση Α. ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 6

( ) cos ( + )si ( ) d si ( ) d + si ( ) d ( )' d cos( ) + C cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) + ( )' d cos( ) C d cos( ) C + + + ( ) si ( ) cos + cos ( ) + C B. Εφόσον Τ και - η σειρά Fourier της f είναι της µορφής: + [ cos() + b si()] Υολογίζουµε τους συντελεστές της σειράς: ( ) + 4 f( ) d ( ) d + 4 f ( )cos( )d ( )cos( )d + si( ) cos( ) si( ) + + b f()si()d ( )si()d + ( ) si( ) cos + cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) + cos ( ) + cos( ) ( ) όου χρησιµοοιήσαµε ότι cos( ) cos( ), si( ) si( ), si( ), cos( ) ( ). ηλαδή, εριττος b, αρτιος Εοµένως η σειρά Fourier της f είναι η ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 7

+ [ cos() + b si()] + ( ) + si( ) + si si( ) + si( ) si( 4 ) + si( 5 )... 4 5 Γ. Έχουµε αό τα αραάνω ότι για -<<, + + si si( ) + si( ) si( 4 ) + si( 5 )... 4 5 και θέτοντας έχουµε 5 si si( ) si( ) si( ) si( ) si( )... + + + 4 5 6, ( ) δηλαδή + +.... 4 5 7 +. >> cler ll >> lispce(-pi,pi); >> f+pi; >> fpi+*si(); >> fpi+*(si()-/*si(*)+/*si(*)); >> f5pi+*(si()-/*si(*)+/*si(*)-/4*si(4*)+/5*si(5*)); >>f7pi+*(si()-/*si(*)+/*si(*)-/4*si(4*)+/5*si(5*)- /6*si(6*)+/7*si(7*)); >> plot(,f,,f,,f,,f5,,f7) Το αοτέλεσµα ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 8

7 6 5 f f f f5 f7 4 - -4 - - - 4 µας δείχνει ότι όσο ερισσότερους όρους θεωρήσουµε τόσο καλύτερη ροσέγγιση της συνάρτησης ειτυγχάνουµε. Άσκηση 5 ( 8 µον.) + l Α. ( µον.) ίνεται η συνάρτηση f( ), >. Προσδιορίστε : (i) Τα διαστήµατα στα οοία είναι αύξουσα ή φθίνουσα. (ii) Τα τοικά ακρότατά της. (iii) Τα διαστήµατα στα οοία στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω ή ρος τα κάτω. (iv) Τα σηµεία καµής (v) Τα σηµεία τοµής µε τους άξονες. + + l Β. (8 µον.) Υολογίστε το γενικευµένο ολοκλήρωµα f ( d ), όου f( ) και το σηµείο τοµής της γραφικής αράστασης της f µε τον άξονα. Λύση Α. (i) Τα διαστήµατα στα οοία είναι αύξουσα ή φθίνουσα. Η αράγωγος της συνάρτησης είναι ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 9

(+ l ) (+ l ) ' (+ l ) ' l f '( ) η δεύτερη αράγωγός της ( l ) ' ( l ) ( )' ( l ) 4l ( ) f ''( ) 4 4 Για την µονοτονία l l / / f '( ) > > l > l < e < e < e e Οότε στο διάστηµα (, e ) είναι αύξουσα και στο διάστηµα (, ) e είναι φθίνουσα. (ii) Τα τοικά ακρότατά της. l l / / f '( ) l l e e e e το σηµείο αυτό είναι ιθανό ακρότατο και εειδή 4 le f ''( e) < e e + l e είναι τοικό µέγιστο µε τιµή f( e) e e Στο ίδιο συµέρασµα καταλήγει κανείς και αό το αοτέλεσµα του ροηγούµενου υοερωτήµατος : Η συνάρτηση στο διάστηµα (, e ) είναι αύξουσα και στο διάστηµα ( e, ) είναι φθίνουσα. Συνεώς, στο e θα έχουµε τοικό µέγιστο. Θα ρέει να εξετάσουµε τη συµεριφορά της συνάρτησης και στα άκρα του εδίου ορισµού της δηλαδή στο + και στο +. + l lim f( ) lim lim + l lim lim + l + + + + + Είσης + l ( + l ) ' lim f( ) lim lim lim + + + ' + Οότε το σηµείο ( ) ( ) ( + )( ) / e e είναι ολικό µέγιστο. (iii) Τα διαστήµατα στα οοία στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω ή ρος τα κάτω. Εξετάζουµε: 4l ( ) l f ''( ) > l > e > e > e εφόσον ισχύει ότι >. f ''( ) < < e Οότε στο διάστηµα (,e ) στρέφει τα κοίλα ρος τα κάτω και στο διάστηµα (, ) e στρέφει τα κοίλα ρος τα άνω. ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

(iv) Τα σηµεία καµής f ''( ) e Στο σηµείο αυτό έχουµε σηµείο καµής εφόσον η f '' αλλάζει ρόσηµο δεξιά και αριστερά του. (v) Τα σηµεία τοµής µε τους άξονες. + l l / / f( ) + l l e e e e Η γραφική της αράσταση.5 -.5 4 5 - -.5 Β. Το αόριστο ολοκλήρωµα της συνάρτησης είναι + l l d d d d l (l )' d + + ( l ) ( ) l + + C l + l + C Ζητάµε το γενικευµένο ολοκλήρωµα b + l + l b f ( ) d d lim d lim l ( l ) b + b / e / e / e / e ( ) lim lb lb l/ e l/ e b + ++ + ( ) ( ) ( ) ηλαδή το γενικευµένο ολοκλήρωµα δεν συγκλίνει. Άσκηση 6 ( µον.) Να µελετήσετε ως ρος τη σύγκλιση τις σειρές: ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

(i) (ii) (iii) ( )( + ) ( + )! + ( ) ( 4) + 9 Λύση (i) Χρησιµοοιούµε το κριτήριο του λόγου : Έστω + σειρά ραγµατικών αριθµών µε α, για κάθε N µε p, όου p σταθερός φυσικός αριθµός. Υοθέτουµε, µε άλλα λόγια, ότι το µηδέν δεν εριέχεται στους όρους της σειράς αό κάοιον δείκτη και µετά. Τότε: Αν + σειρά συγκλίνει. r <, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν + lim + < ), τότε η Αν +, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν + lim + > ), τότε η σειρά δεν συγκλίνει στο R, οότε είτε θα αειρίζεται είτε θα κυµαίνεται.. Αν + lim +, τότε δεν µορούµε να µορούµενα συµεράνουµε για την σύγκλιση της σειράς µε βάση το Κριτήριο του Λόγου. Στη συγκεκριµένη ερίτωση έχουµε : ( + 4) ( + 4) ( + )! ( + )( + )! ( + 4), ( )( + ) ( )( + ) ( + )( )( + ) ( + )! ( + )! το οοίο συγκλίνει στο αφού ο βαθµός του αρονοµαστή είναι µεγαλύτερος αό αυτόν του αριθµητή. Άρα η σειρά συγκλίνει. (ii) Χρησιµοοιούµε το κριτήριο της ρίζας : Έστω + σειρά ραγµατικών αριθµών. Τότε: ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

Αν r<, για κάθε φυσικό ( N ), (ή, ειδικότερα, αν lim < ), τότε η σειρά συγκλίνει. + Αν, για άειρο λήθος δεικτών (ή, ειδικότερα, αν lim > ), τότε η σειρά δεν συγκλίνει στο R. + Αν lim, τότε δεν µορούµε να ααντήσουµε θετικά αν η σειρά + Εδώ έχουµε : συγκλίνει ή όχι µε βάση το Κριτήριο της Ρίζας. και άρα η σειρά δεν συγκλίνει. ( ) 9 9> + + + (iii) Χρησιµοοιώντας το κριτήριο του λόγου έχουµε : + ( ) ( 4) ( 4) ( 4) ( + ) + 9 + + + 9 ( ) ( 4) ( 4) + + + 4 4 + 9 + 9 Έτσι, Η σειρά συγκλίνει αν 4 < < 4< < < 5 Η σειρά αοκλίνει αν 4 > 4< η -4> < η > 5 Για ή 5 το κριτήριο λόγου δεν µορεί να δώσει συµέρασµα. Ελέγχουµε λοιόν αυτές τις εριτώσεις ξεχωριστά : o Για η σειρά γίνεται : + 9 + 9 + 9 + 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) η τελευταία συγκλίνει αφού είναι µικρότερη αό την p-σειρά Για 5 η σειρά γίνεται : ( ), η οοία είσης συγκλίνει αφού είναι + 9 εναλλάσσουσα σειρά και η ακολουθία είναι µηδενική και φθίνουσα. + 9 (Θυµίζουµε ότι οι σειρές των οοίων οι όροι εναλλάσσουν το ρόσηµό τους συνεχώς ονοµάζονται εναλλάσσουσες. Πρόκειται, δηλαδή, για σειρές της ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η

µορφής + ( ). Αν σε µια τέτοια σειρά η ακολουθία ( ) N ου την αράγει είναι θετική και φθίνουσα (ισχύει δηλαδή ότι: + για κάθε δεικτη,,, τότε η σειρά συγκλίνει). Άσκηση 7 ( µον.) Υολογίστε τα ολοκληρώµατα : Α. I d (Υόδειξη: Χρησιµοοιήστε ανάλυση σε αλά κλάσµατα) ( ) ( ) Β. I d (Υόδειξη: Χρησιµοοιήστε την αντικατάσταση ωt(/) + si cos t( /) t ( /) καθώς και τους τύους : si, cos ) + t ( /) + t ( /) Λύση Α. Οι ρίζες του αρονοµαστή είναι και µε ολλαλότητα και αντίστοιχα. Εοµένως αναλύουµε σε αλά κλάσµατα ως εξής : A B C ( ) ( ) + ( ) + Ααλείφοντας τους αρονοµαστές έχουµε : A( )( ) + B( ) + C( ) Η ροηγούµενη σχέση ισχύει για κάθε ραγµατικό αριθµό, οότε Για δίνει : -Β, άρα Β -. Για : C, άρα C. Για : Α - Β + C > Α + +, άρα Α -. Εοµένως, το αρχικό κλάσµα αναλύεται σε αλά ως: + ( ) ( ) ( ) και το ζητούµενο ολοκλήρωµα υολογίζεται ως εξής : d d d + d ( ) ( ) ( ) l + + l + c Β. Χρησιµοοιώντας την αντικατάσταση ου ροτείνεται στην υόδειξη έχουµε : ω t( ) rctω d dω d dω + ω + ω Έτσι, το ολοκλήρωµα γίνεται : ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 4

I d dω dω + sicos ω ω + ω + ω + ω + ω + ω + + ω + ω + ω dω dω. ω + ω ω + ω Για το τελευταίο δουλεύουµε και άλι µε ανάλυση σε αλά κλάσµατα: Η σχέση αυτή δίνει: Για ω Α Για ω - Β - A A( ) ω + ω ωω ( + ) ω + ω+ + + B ω Bω Εοµένως ω dω ( ) dω dω dω l ω l ω+ l ω + ω ω ω+ ω ω+ ω + Έτσι, το αρχικό ολοκλήρωµα είναι : t( ) I ω d dω l l c + si cos ω + ω ω + + t( ) + Άσκηση 8 ( µον.) Α. (6 µον.) Αν Α, Β είναι ενδεχόµενα για τα οοία γνωρίζουµε ότι Ρ(Α).7, PA ( B).8, να βρεθεί η P(B) στις εξής εριτώσεις: (i) Όταν A B (ii) Όταν τα Α, Β είναι ανεξάρτητα, (iii) Όταν Ρ(Α Β).6 Β. ( µον.) Σε µία εξέταση ολλαλής ειλογής δίνονται έντε ααντήσεις σε κάθε ερώτηση µία αό τις οοίες είναι µόνο σωστή. Ο εξεταζόµενος είτε γνωρίζει την αάντηση, µε ιθανότητα.7, είτε ααντά στη τύχη. είξτε ότι αν ο εξεταζόµενος αάντησε σωστά σε µία ερώτηση, η ιθανότητα να την γνώριζε είναι.9. (Υόδειξη : Θεωρήστε τα ενδεχόµενα Α{ο εξεταζόµενος αάντησε σωστά} και Β{ο εξεταζόµενος γνώριζε την αάντηση}. Ζητάµε τότε την Ρ(Β Α) για τον υολογισµό της οοίας ρέει να χρησιµοοιήσετε τον τύο Byes). Γ. ( µον.) Σε µία δίκη ου αφορούσε την ατρότητα ενός αιδιού ο κατηγορούµενος µόρεσε να αοδείξει ότι βρισκόταν εκτός της χώρας για το χρονικό διάστηµα ου άρχιζε 95 ηµέρες ριν τη γέννηση του αιδιού και τελείωνε 4 ηµέρες είσης ριν τη γέννηση. Αν υοθέσουµε ότι η διάρκεια της κύησης ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή 7 ηµέρες και τυική αόκλιση ηµέρες, οια είναι η ιθανότητα ο κατηγορούµενος να µην είναι ο ατέρας του αιδιού ; ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 5

(Υόδειξη: Μετατρέψτε την κατανοµή σε τυική κανονική Τ και χρησιµοοιήστε ότι και Φ(.5) Ρ(Τ<.5).9798 και Φ() Ρ(Τ<).9987). Λύση Α. (i) Όταν A B, ισχύει ότι PA ( B) PA ( ) + PB ( ). Οότε,.8.7 + Ρ(Β). Συνεώς, Ρ(Β). σε αυτήν την ερίτωση. (ii) Όταν τα Α, Β είναι ανεξάρτητα ισχύει ότι PA ( B) PAPB ( ) ( ). Οότε: PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PAPB ( ) ( ) PA ( ) + PB ( ) ( PA ( )) Έτσι,.8.7 + PB ( ) (.7).. PB ( ) PB ( ) (iii) Όταν Ρ(Α Β).6, έχουµε : PA ( B) PA ( B) αρα PA ( B).6 PB ( ) PB ( ) Εοµένως, PA ( B) PA ( ) + PB ( ) PA ( B) PA ( ) + PB ( ).6 PB ( ) PA ( ) +.4 PB ( ) Χρησιµοοιώντας και άλι τα δεδοµένα της εκφώνησης, έχουµε:.8.7 +.4 PB ( ) δηλαδή..4 PB ( ) και τελικά PB ( ) 4 B. Ακολουθώντας την υόδειξη, ορίζουµε τα ενδεχόµενα: Α{ο εξεταζόµενος αάντησε σωστά}, Β{ο εξεταζόµενος γνώριζε την αάντηση}. Χρησιµοοιώντας τον τύο Byes έχουµε: PA ( B) PB ( ) PB ( A). PA ( B) PB ( ) + PA ( B ) PB ( ) Όµως, Ρ(Α Β) η ιθανότητα ο εξεταζόµενος να αάντησε σωστά δεδοµένου ότι γνώριζε την αάντηση (γνωρίζει την αάντηση άρα ααντάει σίγουρα σωστά) Ρ(Β) η ιθανότητα ο εξεταζόµενος να γνωρίζει την αάντηση.7 (αό την υόθεση) Ρ(Α Β ) η ιθανότητα ο εξεταζόµενος να αάντησε σωστά δεδοµένου ότι δεν γνώριζε την αάντηση η ιθανότητα να ειλέξει την σωστή αάντηση δεδοµένου ότι ααντάει στην τύχη /5. (ηλίκο ευνοϊκών εριτώσεων ρος το σύνολο) Ρ(Β ) η ιθανότητα ο εξεταζόµενος να µην γνωρίζει την αάντηση -Ρ(Β).. Αντικαθιστώντας τις τιµές αυτές στον τύο Byes, έχουµε :.7 PB ( A).9.7 +.. Γ. ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 6

Η τυχαία µεταβλητή Χδιάρκεια κύησης σε ηµέρες, ακολουθεί την κανονική κατανοµή ( X N(7, )) οότε η µεταβλητή κατανοµή ( Z N(,) ). X 7 Z ακολουθεί την τυική κανονική Η ζητούµενη ιθανότητα είναι η ιθανότητα η σύλληψη να έγινε τη χρονική ερίοδο ου ο κατηγορούµενος αουσίαζε, δηλαδή: 4 7 X 7 95 7 P[4 < X < 95] P < < P[ < Z <.5] ( ) PZ [ <.5] PZ [ < ] PZ [ <.5] PZ [ < ] Φ[.5] +Φ [],9798 +.9987,9785 97,85% ΠΛΗ 6-7 ΕΡΓΑΣΙΑ 6 Η 7