Στην διάταξη του σχήµατος () η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξο να, που διέρχεται από σηµείο Ο ευρισκόµενο σε απόσταση 3L/4 από το άκρο της Α. Η τροχαλία έχει µάζα m που θεωρείται συγκεντρωµέ νη στην περιφέρειά της το δε νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της εί ναι αβαρές και µη εκτατό, δεν ολισθαίνει πάνω σ αυτό και στις άκ ρες του είναι στερεωµένα τα σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες 7m και m, όπου m η µάζα του σφαιριδίου Σ που είναι στερεωµένο στο άκρο Α της ράβδου. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρη σης του χρόνου το συστηµα αφήνεται ελεύθερο και τότε διαπιστώνε ται ότι η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση, το δε νήµα CB είναι κα τακόρυφο. i) Nα βρεθεί η µάζα της ράβδου. ii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εφόσον η ράβδος ισορροπεί το άκρο της Β είναι ακίνητο, που σηµαί νει ότι ακίνητο θα είναι και το κέντρο µάζας C της τροχαλίας, δηλαδή η τροχα λία δεν εκτελεί µεταφορική κίνηση µπορεί όµως να περιστρέφεται περί οριζόν τιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Οι δυνάµεις που δέχεται η τροχαλία είναι το βάρος της m g, η τάση T του κατα κόρυφου νήµατος ΒC και οι τάσεις T ', T ' των δύο κλάδων του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της. Εξάλλου το σύστηµα ράβδος-σφαιρίδιο δέχεται το βά ρος M g της ράβδου, το βάρος m g του σφαιριδίου την τάση T ' του κατακόρυ φου νήµατος ΒC που είναι αντίθετη της T και την αντίδραση Q του άξονα περιστροφής της Ο. Λόγω της ισορροπίας της ράβδου ισχύει η σχέση: ( O ) = T'(L/4) - Mg(L/4) - mg(3l/4) = T'= (M + 3m)g T = (M + 3m)g () Λόγω της ισορροπίας του κέντρου µάζας της τροχαλίας ισχύει η σχέση: () mg + T' +T' - T = T' +T' = T - mg T' +T' = (M + 3m)g - mg T' +T' = (M + m)g () Εξάλλου, αν ' είναι η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας, συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση:
T' R - T' R = I' T' R - T' R = mr ' T' -T' = mr' (3) Πρόσθέτοντας κατά µέλη τις () και (3) παίρνουµε: T' = (M + m)g + mr' T' = (M + m)g/ + mr'/ (4) Σχήµα Συνδυάζοντας τις (3) και (4) παίρνουµε: T' =(M+m)g/+mR'/-mR' T' =(M+m)g/-mR'/ (5) Όµως οι τάσεις T ', T ' είναι αντίθετες των τάσεων T, T αντιστοίχως που δέ χονται τα σώµατα Σ και Σ από το νήµα, οπότε οι σχέσεις (4) και (5) γράφον ται: T =(M+m)g/+mR'/ (6) T =(M+m)g/- mr'/$ Αν a, a είναι οι επιταχύνσεις των σωµάτων Σ και Σ αντιστοίχως, ο δεύτε ρος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει για τα σώµατα αυτά τις σχέσεις: m g - T = m a T - m g = m a (6) 7mg -(M+m)g/-mR'/ =7ma (M+m)g/- mr'/ - mg = ma $ (7) Όµως a =a =ω R, οπότε οι σχέσεις (7) γράφονται: 7mg - (M+m)g/ =7ma +ma / (M+m)g/ - mg= ma +ma / 4mg - (M+m)g =5ma (M+m)g - mg = 3ma (:)
m - M M = 5 m - M = 5M M = m (8) ii) H κινητική ενέργεια K(t) του συστήµατος ύστερα από χρόνο t αφότου αυτό αφέθηκε ελευθερο είναι: K(t) = I + m v + m v K(t) = mr + 7mv + mv (9) όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της τροχαλίας την χρονική στιγµή t και v, v οι αντίστοιχες ταχύτητες των σωµάτων Σ και Σ. Όµως ισχύει v =v =ωr, οπότε η (9) γράφεται: K(t) = mv + 7mv + mv = 9mv K(t) = 9ma t () H πρώτη εκ των σχέσεων (7) δίνει: 4mg -(m+m)g =5ma mg =5ma a =g/3 και η () γράφεται: K(t) = 9m(g/3) t = mg t P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος () η τροχαλία έχει µά ζα m που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρειά της το δε νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της είναι αβαρές και µη εκτατό, δεν ολισ θαίνει πάνω σ αυτό και στις άκρες του είναι στερεωµένα τα σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m. Το ελατήριο είναι ιδανικό, έχει σταθερά k και το ένα του άκρο είναι ακλόνητο, ενώ το άλλο του άκρο είναι στερεωµένο στο κέντρο C της τροχαλίας. Κάποια στιγµή το σύστηµα αφήνεται ελευθερο και τότε διαπιστώνουµε ότι το κέντρο της τροχαλίας παραµένει ακίνητο. i) Να υπολογίσετε την επιµήκυνση του ελατηρίου. ii) Nα εκφράσετε την στροφορµή του συστήµατος περί τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο της τροχαλίας και είναι κάθετος στο επίπεδό της, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας. ΛΥΣΗ: i) Επειδή το κέντρο µάζας C της τροχαλίας είναι ακίνητο αυτή δεν εκτελεί µεταφορική κίνηση, είναι όµως δυνατόν να περιστρέφεται περί οριζόν τιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Επί της τροχαλίας ενεργεί το βάρος της m g, η δύναµη F από το τεντωµένο ελατήριο και οι τάσεις T ', T ' από τους δύο κλάδους του νήµατος που περιβάλ
λει το αυλάκι της, οι οποίες είναι αντίθετες των τάσεων T, T που δέχονται τα σώµατα Σ και Σ αντιστοίχως από τα νήµατα εξάρτησής τους. Για τα µέτρα των δυνάµεων αυτών ισχύει η σχέση: mg + T' + T' - F = T + T = kx - mg () όπου x η ζητούµενη επιµήκυνση του ελατηρίου. Εάν ' είναι η γωνιακή επιτά χυνση της τροχαλίας, τότε σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κί νησης θα ισχύει η σχέση: T 'R - T' R = I C ' T R - T R = mr ' T - T = mr' () Σχήµα Eξάλλου εάν a, a είναι οι επιταχύνσεις των σωµάτων Σ και Σ αντιστοίχως, ο δεύτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα για τα δύο αυτά σώµατα δίνει: mg - T = ma T - mg = ma T = m(g - a ) T = m(a + g) (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: m(g-a )- m(a +g)=mr' g - a - a - g = R' g - a - a = R' (4) Όµως ισχύει a =a =ω R, οπότε η σχέση (4) γράφεται: g - a - a = a a = a = g/4 (5) Oι σχέσεις (3) λόγω της (5) γράφονται:
T = m(g - g / 4) T = m(g / 4 + g) T = 6mg / 4) T = 5mg / 4 (6) Συνδυάζοντας τις () και (6) παίρνουµε: 6mg /4 +5mg/4 =kx -mg mg /4 =4kx -4mg x =5mg/4k (7) ii) Η στροφορµή L του συστήµατος περί τον άξονα περιστροφής της τροχα λίας είναι κάθε στιγµή t ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα των αντιστοίχων στροφορµών της τροχαλίας και των σωµάτων Σ και Σ, δηλαδή ισχύει: L = L $% + L + L L = z I C + z mv R + z mv R L = mr z (R + v + v ) (8) όπου η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή v, v οι αντίστοιχες ταχύτητες των σωµάτων Σ, Σ και z το κάθετο στο επίπεδο της τροχαλίας µοναδιαίο διάνυσµα, του οποίου η φορά συµβατικά θεωρήθηκε ίδια µε την φορά της. Όµως ισχύουν και οι σχέσεις: R = v = v = a t R = v = v = gt / 4 οπότε η (8) παίρνει την µορφή: L = 4mgRt z / 4 = mgrt z P.M. fysikos Θεωρούµε την προηγούµενη διάταξη και εκτρέπου µε το κέντρο C της τροχαλίας προς τα κάτω από την θέση ισορροπίας του, ώστε να διπλασιαστεί η επιµήκυνση του ελατηρίου και στην συνέ χεια αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο. i) Να δείξετε ότι το κέντρο της τροχαλίας θα εκτελέσει αρµονική τα λάντωση και να υπολογίσετε την περίοδό της. ii) Nα βρείτε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τις κινήσεις των σωµάτων Σ και Σ. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα κάποια στιγµή που η αποµάκρυνση του κέντρου C της τροχαλίας από την θέση ισορροπίας του είναι x. Την στιγµή αυτή η τροχαλία δέχεται το βάρος της m g, την δύναµη F από το παραµορφω µένο ελατήριο και τις τάσεις T ', T ' από τους δύο κλάδους του νήµατος που περιβάλλει το αυλάκι της. Θεωρώντας θετική φορά της κατακόρυφης διεύθυν σης την φορά της αποµάκρυνσης x, θα έχουµε για την αλγεβρική τιµή της συνισταµένης δύναµης που ενεργεί στο κέντρο µάζας C, την σχέση: (F x ) = mg + T' +T' - F (F x ) = mg + T + T - k(x + x) ()
όπου x η επιµήκυνση του ελατηρίου στην θέση ισορροπίας του κέντρου της τροχαλίας, (υπολογίστηκε στην προηγούµενη άσκηση και βρέθηκε ίση µε 5mg/4k) και T, T οι τάσεις των νηµάτων εξάρτησης των σωµάτων Σ, Σ αντι στοίχως, που είναι αντίθετες των T ' και T '. Εάν ' είναι η γωνιακή επιτά χυνση της τροχαλίας στην θέση που την εξετάζουµε, τότε σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, θα ισχύει η σχέση: T' R - T' R = I C ' T R - T R = mr ' T - T = mr' () Σχήµα 3 Εξάλλου εάν a, a είναι οι επιταχύνσεις των σωµάτων Σ, Σ αντιστοίχως, θα έχουµε σύµφωνα µε τον δευτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα τις σχέσεις: mg - T = ma mg - T = ma mg - T = m(a + 'R) C mg - T = m(a C - 'R) $ όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας την στιγµή που εξετάζουµε το σύστηµα. Αφαιρώντας κατά µέλη τις εξισώσεις (3) παίρνουµε: mg - T - mg + T = m(a C - 'R) - m(a C + 'R) T - T - mg = ma C - m'r - ma C - m'r (3) () T - T - mg = -ma C - 3m'R mr'-mg = -ma C - 3m'R 4mR'= mg - ma C R'= (g - a C )/ 4 (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε:
mg - T = ma C + m(g - a C )/ 4 mg - T = ma C - m(g - a C )/ 4 mg - T = ma C + mg/ - ma C / mg - T = ma C - mg/4 + ma C / 4 4mg - T = 4ma C + mg - ma C 4mg - 4T = 4ma C - mg + ma C 3mg - T = 3ma C 5mg - 4T = 5ma C T = 3m(g - a C )/ T = 5m(g - a C )/ 4 (5) H σχέση () µέ βάση τις (5) παίρνει την µορφή: (F x ) = mg + 3m(g - a C )/ + 5m(g - a C )/ 4 - k(5mg / 4k + x) 4(F x ) = 4mg + 6m(g - a C ) + 5m(g - a C ) - 5mg - 4kx 4(F x ) = -ma C - 4kx (6) Όµως ο δευτερος νόµος κίνησης του Νεύτωνα δίνει για το κέντρο µάζας της τροχαλίας την σχέση Σ(Fx)=ma C, οπότε η (6) γράφεται: 4(F x ) = -(F x ) - 4kx 5(F x ) = - 4kx (F x ) = - 4kx/5 (7) H σχέση (7) εγγυάται ότι το κέντρο µάζας της τροχαλίας εκτελεί αρµονική ταλάντωση µε σταθερά ταλάντωσης 4k/5, η δε περιόδος Τ της ταλάντωσης αυτής δίνεται από την σχέση: T = m 4k/5 = 5m k (8) ii) Aς δεχθούµε ότι την χρονική στιγµή t oι αποµακρύνσεις των σωµάτων Σ και Σ από την θέση ισορροπίας C του κέντρου µάζας της τροχαλίας είναι x και x αντιστοίχως. Τότε σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύoυν για τις αλγεβρικές τιµές των διανυσµάτων x, x οι σχέσεις: m(d x /dt ) = mg - T m(d x /dt ) = mg - T (5) m(d x /dt ) = mg - 3m(g - a C )/ m(d x /dt ) = mg - 5m(g - a C )/ 4 4(d x /dt ) = 4g - 3(g - a C ) 4(d x /dt ) = 4g - 5(g - a C ) d x /dt = g/4 + 3a C /4 d x /dt = -g/4 + 5a C /4 (9) Όµως την χρονική στιγµή t= η αποµάκρυνση του κέντρου µάζας της τροχα λίας από την θέση ισορροπίας της έχει αλγεβρική τιµή x, που σηµαίνει ότι η εξίσωση κίνησης του κέντρου µάζας έχει την µορφή:
x C = x $t µε Ω =4k/5m Άρα η αλγεβρική τιµή της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας θα έχει την µορφή: a C = -x $t οπότε οι σχέσεις (9 γράφονται: d x /dt d x /dt = g/4-3(x / 4)$t = -g/4-5(x / 4)$t % & ' d x /dt d x /dt = g/4-3(5mg/4k)(k /5m)$t = -g/4-5(5mg/4k)(k /5m)$t % & ' d x /dt = g( - 3$t)/ 4 % & d x /dt = -g( + 5$t)/ 4' d x /dt + 3g$t / 4 = g/4 % & d x /dt + 5g$t / 4 = -g/4' () Oι σχέσεις () αποτελούν τις ζητούµενες διαφορικές εξισώσεις, από τις οποίες θα προκύψουν οι εξισώσεις κίνησης των σωµάτων Σ και Σ. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (4) το µικρό σώµα Σ έχει έχει µάζα m και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπε δο, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολισθήσεως n. Η µικ ρή τροχαλία τ είναι στερεωµένη και έχει αµελητέα µάζα, ενώ η µεγά λη τροχαλία έχει µάζα m ακτίνα R και στο αυλάκι της έχει περιτυ λιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα. Kάποια στιγµή το σύστηµα αφήνε ται ελευθερο να κινηθεί. i) Να βρείτε την αναγκαία συνθήκη, ώστε το σύστηµα να τεθεί σε κί νηση. ii) Nα βρείτε την µετατόπιση του κέντρου της µεγάλης τροχαλίας σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι C =m R / της µεγάλης τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι το σώµα Σ ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο επίπεδο και το κέντρο µάζας C της τροχαλίας κατέρχεται. Το σώµα δέχεται το βάρος του m g, την τάση F του νήµατος και την πλάγια δύναµη επαφής από το οριζόντιο επίπεδο, η οποία αναλύεται στην τριβή ολισθήσεως T και την κάθετη αντίδραση N του επιπέδου. Εάν a είναι η επιτάχυνση του σώµατος, τότε συµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: F - T = m a F - nn = m a F - nm g = m a () Εξάλλου η τροχαλία δέχεται το βάρος της m g και την τάση F ' του νήµατος
που είναι περιτυλιγµένο στο αυλάκι της, της οποίας το µέτρο είναι ίσο µε το µέτρο της F, διότι η τροχαλία τ έχει αµελητέα µάζα. Η δύναµη F ' έχει ροπή περί το κέντρο µάζας C της τροχαλίας µε αποτέλεσµα να προσδίδει σ αυτήν περιστροφική κίνηση περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το C και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Έτσι η τροχαλία εκτελεί επίπεδη κίνηση που συντί θεται από µια κατακόρυφη προς τα κάτω µεταφορική κίνηση και από µια περισ Σχήµα 4 τροφική κίνηση. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα και για την περιστροφική κίνηση τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε τις σχέσεις: m g - F'= m a C F'R = I C ' $ m g - F = m a C FR = m R '/ $ m g - F = m a C F = m R'/ $ όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου C και ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχα λίας. Συνδυάζοντας µεταξύ τους τις σχέσεις () παίρνουµε: m g - m R'/ = m a C g - R'= a C R'= (g - a C ) (3) Όµως ισχύει και η σχέση a Σ =a C -ω R, η οποία συνδυαζόµενη µε την (3) δίνει: a = a C - (g - a C ) a = 3a C - g a C = (a + g)/ 3 (4) H () µε βάση την δεύτερη εκ των σχέσεων () δίνει: () (3) m R'/ - nm g = m a m (g - a C ) - nm g = m a (4) m g - m a C - nm g = m a m g - m (a + g)/ 3 - nm g = m a
3m g-m (a +g) - 3nm g =3m a g(m -3nm )=(3m +m )a a = g(m -3nm ) 3m +m (5) H αρχική υπόθεση ότι το σώµα H αρχική υπόθεση ότι το σώµα Σ κίνειται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο ευσταθεί εφ όσον ισχύει a Σ >, δηλαδή πρέπει: g(m -3nm ) 3m +m > m m > 3n ii) Aπό την σχέση (5) προκύπτει ότι η επιτάχυνση του σώµατος Σ είναι σταθε ρή, οπότε σύµφωνα µε την (4) και η επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας θα είναι σταθερή, δηλαδή η κίνησή του είναι οµαλά επιταχυνόµενη. Άρα η µετα τόπιση του S σε χρόνο t από την εκκίνησή του δίνεται από τη σχέση: S = a Ct (4) S = (a + g)t 6 (5) S = g(m -3nm ) $ + g 3m +m & t % 6 S = g m - 3nm $ + & t 6 3m +m % P.M. fysikos Η ράβδος ΑΒ του σχήµατος (5) έχει µήκος L και αµελητέα µάζα, φέρει δε στις άκρες της Α και Β σφαιρίδια µε µάζες m και m (m >m ) αντιστοίχως, τα οποία είναι στερεωµένα στην ράβδο. Το σύστηµα µπορεί να στρέφεται χωρίς τριβή περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το µέσο Ο της ράβδου. i) Να καθορίσετε τις θέσεις ισορροπίας του συστήµατος και το είδος των ισορροπιών αυτών. ii) Aρχικά η ράβδος κρατείται ακίνητη σε οριζόντια θέση και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη, Να βρεθεί η γωνιακή της ταχύτητα όταν γίνει κατακόρυφη. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα όταν η ράβδος σχηµατίζει µε την κατακόρυ φη διεύθυνση (z) γωνία φ (σχήµα 5). Στην θέση αυτή η αλγεβρική τιµή της συνολικής ροπής περί τον άξονα περιστροφής Ο της ράβδου που δέχεται το σύστηµα, δίνεται από την σχέση: ( ) = m g L µ$ - m g L µ$ ( ) = gl (m - m )µ$ () Από την () προκύπτει ότι για φ= και φ=π η συνολική ροπή περί τον άξονα Ο µηδενίζεται, που σηµαίνει ότι στις δύο αυτές θέσεις το σύστηµα ισορροπεί. Εξάλλου η βαρυτική δυναµική ενέργεια U του συστήµατος ως προς το οριζόν τιο επίπεδο που περιέχει τον άξονα περιστροφής του είναι:
U = -m g L $ + m g L $ U = gl (m -m )$ () Για φ= η () δίνει U()=gL(m -m )/< και για φ=π δίνει U(π)=gL(m -m )/>. Δηλαδή στην θέση φ= η βαρυτική δυναµική ενέργεια του συστήµατος παίρνει την µικρότερη τιµή της U min =-gl(m -m )/, ενώ στην θέση φ=π παίρνει την Σχήµα 5 Σχήµα 6 µεγαλύτερη τιµή της U max = gl(m -m )/. Αυτά σηµαίνουν ότι η θέση φ= είναι θέση ευσταθούς ισορροπίας του συστήµατος, ενώ η θέση φ=π αποτελεί θέση ασταθούς ισορροπίας. ii) Eφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέρ γειας µεταξύ της αρχικής του θέσεως, όπου η ράβδος είναι οριζόντια και της θέσεως όπου η ράβδος γίνεται κατακόρυφη (σχήµα 6), παίρνουµε την σχέση: U + K = U $%& + K + = -m g L + m g L + m v + m v Όµως οι ταχύτητες v, v των σφαιριδίων όταν η ράβδος είναι κατακόρυφη, έχουν κοινό µέτρο ωl/, όπου η ζητούµενη γωνιακή ταχύτητα του συστή µατος, οπότε η προηγούµενη σχέση παίρνει την µορφή: = gl (-m + m ) + m L 8 + m L 8 L 8 (m + m ) = gl (m - m ) = 4g(m - m ) L(m + m ) = g m - m % $ ' L m + m & P.M. fysikos
Οµογενής ράβδος OA µήκους L και µάζας m µπο ρεί να στρέφεται χωρίς τριβή περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της O και αρχικά κρατείται ακίνητη σε οριζόντια θέση. Κά ποια στιγµή η ράβδος αφήνεται ελεύθερη και όταν γίνει κατακόρυφη το άκρο της A κτυπάει σφαίρα µάζας m/3 και ακτίνας R, η οποία είναι ακίνητη πάνω σε οριζόντιο έδαφος και παρουσιάζει µε αυτό συν τελεστή τριβής ολισθήσεως n. Το σηµείο κρούσεως της ράβδου µε την σφαίρα είναι το άκρο µιας οριζόντιας διαµέτρου της σφαίρας, µετά δε την κρούση η µέγιστη γωνιακή εκτροπή της ράβδου από την κατακό ρυφη διεύθυνση είναι φ=π/3 να βρείτε: i) την ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας αµέσως µετά την κρούση της µε την ράβδο και ii) την θερµότητα που παράγεται λόγω τριβής της σφαίρας µε το έδα φος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η ροπή αδράνειας Ι Σ =mr /5 της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και η ροπή αδράνειας Ι Ρ =ml /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt ) της κρούσεως της ράβδου µε την σφαίρα η στροφορµή του συστήµατος ράβδος-σφαίρα περί τον άξονα περιστ ροφής της ράβδου δεν µεταβάλλεται, διότι η συνολική ροπή περί τον άξονα αυτόν των εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται το σύστηµα είναι µηδενική*. Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε την σχέση: Σχήµα 7 L $ %&' = L (µ)*+, µ)-( I O + = -I O ' +mv L/ 3 I O ( + ' ) = mv L/ 3 ml ( + ' )/3 = mv L/ 3 L( + ' ) = v () --------------------------------- * Στις εξωτερικές δυνάµεις δεν συµπεριελήφθει η τριβή από το έδαφος, διότι η ώθη ση της ροπής της περί τον άξονα περιστροφής της ράβδου για τον χρόνο Δt, είναι ασήµαντη και ελάχιστα µεταβάλλει την στροφορµή του συστήµατος.
όπου η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου λίγο πριν την κρούση της µε την σφαίρα, ' η γωνιακή της ταχύτητα αµέσως µετά την κρούση και v η ταχύτη τα του κέντρου µάζας της σφαίρας αµέσως µετά την κρούση. Στο σηµείο αυτό πρέπει να διευκρινίσουµε ότι η δύναµη κρούσεως που δέχεται η σφαίρα δεν προκαλεί περιστροφή αυτής περί το κέντρο της, διότι ο φορέας της διέρχεται από το κέντρο, δηλαδή η σφαίρα αµέσως µετά την κρούση δεν περιστρέφεται. Εφαρµόζοντας για την ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για την κίνησή της από την οριζόντια στην κατακόρυφη θέση λίγο πριν την κρούση και για την κίνησή της από την κατακόρυφη θέση αµέσως µετά την κρούση στην θέση της µέγιστης γωνιακής εκτροπής της, παίρνουµε τις σχέσεις: = -mgl/ + I O / & ' -mgl/ + I O ' / = -mgl$(% / 3)/( mgl/ = ml / 6 mgl/4 = ml ' / 6 $ 3g = L 3g = L' $ = 3g/L $ ' = 3g/L % $ () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: v = L( 3g/L + 3g/L) = 3gL( + / ) (3) ii) H σφαίρα µετά την κρούση κίνειται στο οριζόντιο έδαφος υπό την επίδραση του βάρους της w και της δύναµης επαφής του εδάφους, που αναλύεται στην τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N. Σε πρώτο στάδιο η τριβή είναι τριβή ολίσθησης µε φορά αντίθετη της v, η ποία έχει ροπή ως προς το κέντρο µάζας της σφαίρας µε αποτέλεσµα η σφαίρα ν αποκτήσει περιστροφική κίνηση περί το κέντρο µάζας. Έτσι η σφαίρα εκτελεί σύνθετη κίνηση που αποτελείται από µια µεταφορική κίνηση και από µια περιστροφή. Εάν a C είναι η επιβράδυνση του κέντρου µάζας της σφαίρας και ' η γωνιακή της επιτάχυνση κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, θα έχουµε τις σχέσεις: T = ma C /3 $ TR = I ' % nn = ma /3 C nnr = mr '/5 $ nmg/3 = ma C /3 nmg/3 = mr'/5$ a C = ng '= 5ng/R $ (4) Από τις σχέσεις (4) προκύπτει ότι η µεταφορική κίνηση της σφαίρας είναι οµα λά επιβραδυνόµενη και η περιστροφική της κίνηση οµαλά επιταχυνόµενη. Έτσι το µέτρο της ταχύτητας v C του κέντρου µάζας και το µέτρο της γωνιακής ταχύ τητας της σφαίρας, ύστερα από χρόνο t, αφότου άρχισε να κινείται, είναι: v C = v - a C t = 't $ (4) v C = v - ngt = 5ngt/R $ (5) Όταν συµβεί v C =ωr η σφαίρα θα κυλίεται ισοταχώς επί του οριζοντίου επιπέ
δου, διότι τη στιγµή αυτή θα µηδενιστεί η ταχύτητα του σηµείου επαφής της µε το έδαφος που σηµαίνει ότι η σφαίρα δεν θα εµφανίζει τάση ολίσθησης και η τριβή T θα µηδενιστεί. Η χρονική στιγµή τ που αρχίζει η κύλιση της σφαίρας, υπολογίζεται από την σχέση: v - ng = 5ng / v = 7ng =v /7ng Άρα η τελική ταχύτητα v * του κέντρου της σφαίρας έχει µέτρο: v * = v - ng(v /7ng) = 5v / 7 (6) Η θερµότητα Q που ελευθερώνεται προς το περιβάλλον της σφαίρας είναι ίση µε την µείωση της κινητικής ενέργειας, δηλαδή ισχύει η σχέση: Q = (m/3)v - (m/3)v * - I * Q = mv 6 - mv * 6 - mr * 3 Q = mv 6 - mv * 6 - mv * 3 = mv 6-7mv * 3 (6) Q = m 6 v - 7 5v $ 5 49 % & = mv - 35 $ 6 49% & = mv (3) Q = m 3gL + $ & % = mgl 7 + $ & % P.M. fysikos