Παραγώγιση συναρτήσεων με το πρόγραμμα Maxima ΜΗ ΕΙΝΑΙ ΒΑΣΙΛΙΚΗΝ ΑΤΡΑΠΟΝ ΕΠΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΝ Αθανάσιος Σταυρακούδης http://stavrakoudis.econ.uoi.gr 14 Νοεμβρίου 2013 1 / 27

Συνέχεια συνάρτησης f (x) f (x) = log(x 2) + 2 f (x) = x/2 f (x) = sin 2 x x 2 / 27

Συνέχεια συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f (x) που ορίζεται σε ένα ανοιχτό διάστημα στο οποίο ανήκει το σημείο x = a είναι συνεχής σε αυτό το σημείο, αν για οποιοδήποτε ɛ > 0 υπάρχει κάποιο δ > 0 έτσι ώστε να ισχύει f (x) f (a) < ɛ, οπότε x a < δ 3 / 27

Παράγωγος συνάρτησης Παραγωγίσιμη συνάρτηση Μια συνάρτηση f (x) που ορίζεται στο ανοιχτό διάστημα (α, β) R στο οποίο ανήκει το σημείο x = a είναι παραγωγίσιμη σε αυτό το σημείο, αν το παρακάτω όριο υπάρχει και είναι πεπαρασμένος αριθμός: όπου h = x a f (a + h) f (a) lim x a h Ισχύει f (a + h) f (a) f (x) f (a) lim = lim x a h h 0 h 4 / 27

Παράγωγος ως κλίση εφαπτομένης Κλίση ευθείας: y x 5 35 = 6 ( 4) = 40 10 = 4 5 / 27

Παραγώγιση συναρτήσεων με το Maxima 6 / 27

Παραγώγιση περισσότερο πολύπλοκων συναρτήσεων 7 / 27

Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης d 2 d x 2 x 3 = 6 x d 2 cos x = cos x d x 2 d 3 d x 3 ( x e x ) = 3 e x x e x d 4 d x 4 ( 1 ) = 24 x x 5 8 / 27

Παράγωγοι μεγαλύτερης τάξης 9 / 27

Μερικές και ολικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών Εστω η συνάρτηση δύο μεταβλητών: Οι μερικές παράγωγοι είναι: f (x, y) = x 2 + y 2 df (x) dx = 2x και df (y) = 2y dx Ο υπολογισμός στο Maxima μπορεί να γίνει ως εξής: 1 f(x, y) := x^2 + y^2; 2 diff(f(x, y), x); 3 diff(f(x, y), y); 10 / 27

Μερικές και ολικές παράγωγοι συναρτήσεων πολλών μεταβλητών 11 / 27

Ορισμός συναρτήσεων παραγώγων f (x) = x 2 Πως μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση της παραγώγου: Εστω η συνάρτηση: g (x) = f (x) = 2 x Με χρήση του τελεστή διπλού εισαγωγικού: 1 f(x) := x^2; 2 g(x) := (diff(f(x), x)); Με χρήση της συνάρτησης define: 1 f(x) := x^2; 2 define(g(x), diff(f(x), x)); 12 / 27

Ορισμός συναρτήσεων παραγώγων 13 / 27

Εφαπτομένη σημείου y = f (x) x + f (a) a f (a) 14 / 27

Εφαπτομένη σημείου 1 f(x) := x^2-6*x+20; 2 g(x) := ( diff(f(x), x, 1) ); 3 a : 1; 4 g(a); 5 xy : [[a, f(a)]]; 6 h(x) := ( g(a)*x+f(a)-a*g(a) ); 7 plot2d( [f(x), h(x), [discrete, xy]], 8 [x, a-5, a+5], [ylabel, "f(x)"], 9 [style, [lines, 2, 1], [lines, 2, 2], 10 [points, 3, 5, 1]], 11 [legend, ""], 12 [gnuplot_preamble, "set grid"]); 15 / 27

Συνάρτηση με ένα ακρότατο f (x) = 3 x 2 12 x + 17 16 / 27

Υπολογισμός σημείου ακρότατου Η συνάρτηση: έχει ακρότατο στο σημείο όπου: το οποίο μπορεί να υπολογιστεί ως: 1 f(x) := 3*x^2-12*x +17; 2 f1(x) := (diff(f(x), x)); 3 sol : solve(f1(x)=0, x); 4 x0 : rhs(sol[1]); 5 f(x0); 6 f1(x0); f (x) = 3 x 2 12 x + 17 f (x) = 6 x 12 = 0 17 / 27

Συνάρτηση με περισσότερα από ένα ακρότατα Εστω η συνάρτηση: f (x) = x 4 4 x 3 2 x 2 + 12 x + 120 18 / 27

Συνάρτηση με περισσότερα από ένα ακρότατα f (x) = x 4 4 x 3 2 x 2 + 12 x + 120 Η εξίσωση της παραγώγου της: 4 x 3 12 x 2 4 x + 12 = 0 έχει τρεις ρίζες: x = 1, x = 1, x = 3 19 / 27

Συνάρτηση με περισσότερα από ένα ακρότατα 1 f(x) := x^4-4*x^3-2*x^2 + 12*x + 120; 2 f1(x) := (diff(f(x), x)); 3 sol : solve(f1(x)=0); 4 x1 : rhs(sol[1]); 5 x2 : rhs(sol[2]); 6 x3 : rhs(sol[3]); 7 f2(x) := (diff(f(x), x, 2)); 8 f2(x1); 9 f2(x2); 10 f2(x3); 1: ορισμός συνάρτησης 2: ορισμός πρώτης παραγώγου 3: επίλυση της εξίσωσης f (x) = 0 4 6 : ανάθεση τιμών των ριζών σε μεταβλητές 7: ορισμός δεύτερης παραγώγου (προαιρετικά) 8 10: εξέταση αρνητικών ή θετικών τιμών, μέγιστο ή ελάχιστο; 20 / 27

Βελτιστοποίηση συνάρτησης δύο μεταβλητών Συνάρτηση κερδών από την πώληση δύο προϊόντων: π (x, y ) = 0.4 x 2 0.1 y 2 0.08 x y + 120 x + 60 y 400 21 / 27

Βελτιστοποίηση συνάρτησης δύο μεταβλητών Το ακρότατο (αν υπάρχει) μπορεί να βρεθεί ως εξής: 1 pi : -0.4*x^2-0.1*y^2-0.08*x*y + 120*x + 60*y - 400; 2 pi1x : (diff(pi, x)); 3 pi1y : (diff(pi, y)); 4 crit : solve([pi1x=0, pi1y=0], [x, y]); 22 / 27

Βελτιστοποίηση συνάρτησης δύο μεταβλητών π (x, y) = 0.4 x 2 0.1 y 2 0.08 x y + 120 x + 60 y 400 Η μερική παράγωγος ως προς x είναι: π x Η μερική παράγωγος ως προς y είναι: π y = 0.8 x 0.08 y + 120 = 0.08 x 0.2 y + 60 Επίλυση του συστήματος 0.8 x 0.08 y + 120 = 0 0.08 x 0.2 y + 60 = 0 23 / 27

Εσσιανή μήτρα H(f ) = 2 f x 2 1 2 f x 2 x 1. 2 f x n x 1 2 f x 1 x 2 2 f 2 f x 2 2. x 1 x n 2 f x 2 x n.... 2 f x n x 2 2 f xn 2 Η εσσιανή μήτρα (Hess matrix) είναι τετραγωνική μήτρα με στοιχεία τις δεύτερης τάξης παραγώγους μιας συνάρτησης. Θετικά ορισμένη Μέγιστο Αρνητικά ορισμένη Ελάχιστο Για την περίπτωση που εξετάζουμε: H(π) = 2 π x 2 1 2 π y x 2 π x y 2 π y 2 = [ 0.8 ] 0.08 0.08 0.2 24 / 27

Καθολική βελτιστοποίηση Πολυσύνθετο πρόβλημα. Περισσότερες από 5000 επιστημονικές εργασίες το χρόνο. Εξειδικευμένα περιοδικά και συνέδρια. Βασικό πρόβλημα σε όλες τις επιστήμες, και στα Οικονομικά. Πολυάριθμες υπολογιστές μέθοδοι προσέγγισης. http://stavrakoudis.econ.uoi. gr/stavrakoudis/?menu=psoe 25 / 27

Καθολική βελτιστοποίηση Πολυσύνθετο πρόβλημα. Περισσότερες από 5000 επιστημονικές εργασίες το χρόνο. Εξειδικευμένα περιοδικά και συνέδρια. Βασικό πρόβλημα σε όλες τις επιστήμες, και στα Οικονομικά. Πολυάριθμες υπολογιστές μέθοδοι προσέγγισης. http://stavrakoudis.econ.uoi. gr/stavrakoudis/?menu=psoe Αν κάποιος πλανόδιος πωλητής πρέπει να επισκεφτεί όλες τις πρωτεύουσες των νομών της Πελοποννήσου, ποια είναι η συντομότερη διαδρομή που πρέπει να επιλέξει; 26 / 27

Σχόλια και ερωτήσεις Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας Είμαι στη διάθεσή σας για σχόλια, απορίες και ερωτήσεις 27 / 27