Λύσεις θεμάτων επαναληπτικών πανελληνίων εξετάσεων. Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας. Δευτέρα, 10 Ιουνίου 2013 ΕΣΠΕΡΙΝΑ

Transcript

1 Λύσεις θεμάτων επαναληπτικών πανελληνίων εξετάσεων Στο μάθημα: «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γ Λυκείου Γενικής Παιδείας Δευτέρα, Ιουνίου ΕΣΠΕΡΙΝΑ Θέμα Α Α. Θεωρία, σελ. Σχολικό Βιβλίο (απόδειξη) Α. Θεωρία, σελ.9 Σχολικό Βιβλίο (Ορισμός) Α. Θεωρία, σελ. Σχολικό Βιβλίο (Ορισμός) Α. α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ Θέμα Β Β. Αφού η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α(-,9) θα έχουμε: ( ) 9 9 a ( I) και ακόμα 7 ( ) lim lim lim ( )( )( 7 ) ( )( 7 ) a Άρα a a και από την (I) β=6 B. Έστω B(, ( )) τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της είναι // χ χ. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R με ( ) 6 6,. Θα πρέπει ( ) 6 6 ή και άρα τα σημεία είναι : Καραγιάννης Ιωάννης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

2 B(, ()) B(,) B (, ( )) B (,9) Β. Ο ρυθμός μεταβολής της είναι ( ) 6 6 =g(),. Θα βρούμε το ελάχιστο της g. H g είναι παραγωγίσιμη στο R με g ( ) > g ( ) και άρα η g είναι γν.αύξουσα στο [, ) < g ( ) και άρα η g είναι γν. φθίνουσα στο (-,] H g έχει στο T. ελάχιστο το g()= ()=-6 (Μπορούμε να δημιουργήσουμε και πίνακα μεταβολών της ) Θέμα Γ Γ. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο A(, ( )) είναι y g y ( ) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R με g ( ),. ( ) Έχουμε g ( ). Άρα A(, g()) (,). Τότε έχουμε β= και άρα η ( ) ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση y Γ. Η g είναι παραγωγίσιμη στο R με g ( ),.Έχουμε g ( ),. ( ) Άρα θα έχουμε για την μονοτονία της: Για <- η g ()< και άρα η g είναι γν. φθίνουσα στο (, ] Για -<< η g ()> και άρα η g είναι γν. αύξουσα στο [,] Για > η g ()< και άρα η g είναι γν. φθίνουσα στο [, ) Για τα ακρότατα της : Η g έχει ελάχιστο στο το g( ) Καραγιάννης Ιωάννης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

3 Η g έχει μέγιστο στο το g() Γ. Οι τιμές της μεταβλητής Χ διατεταγμένες κατά αύξουσα σειρά είναι,,, με αντιστοιχες σχετικές συχνότητες g( ) 6 g() g ( ) lim lim lim 6 6 ( )( ) 6 ( ) Αφού τα σημεία M k ( k, yk ) ανήκουν στην ευθεία y θα έχουμε yk k που διατεταγμένα κατά την αύξουσα σειρά θα είναι y, y, y, y. Η διάμεσοι αντίστοιχα των k και yk είναι k y y yk Από την δεδομένη σχέση έχουμε διαδοχικά y k k και από την R y y y k Γ. Η μέση τιμή των τεσσάρων αυτών παρατηρήσεων είναι: Προσοχή: Δεν ζητείται η μέση τιμή της μεταβλητής Χ που θα ήταν X Θέμα Δ Δ. Αφού οι F, F είναι ρίζες της εξίσωσης Vietta: Άρα (και αφού F =) θα έχουμε: 8 θα ισχύουν οι τύποι του Καραγιάννης Ιωάννης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

4 8 8 F F F F,6 F F,6 F % 7, 7( ί αφού F % ) Δ. Για τις σχετικές συχνότητες % έχουμε: % % % F % % % % F % % 6 ( ) % % F % 6% % % F % F % % Δ. Αφού το % των παρατηρήσεων είναι μικρότερες του 6 θα είναι όσες παρατηρήσεις ανήκουν στην πρώτη κλάση (%) και το μισό της ης κλάσης (δηλαδή το άλλο %).Άρα a c θα είναι όλες οι παρατηρήσεις χ ι με: i 6a c ( I) Ακόμα, αφού το % των παρατηρήσεων είναιμεγαλύτερες ή ίσες από το θα είναι οι μισές παρατηρήσεις της ης κλάσης και όλες οι παρατηρήσεις της ης κλάσης, άρα θα είναι a 7c όλες οι παρατηρήσεις χj με j a 7c 8( II ). Από το σύστημα των σχέσεων (Ι) και (ΙΙ) προκύπτει ότι α= και c=. Ο πίνακας συμπληρωμένος είναι: Κλάσεις Κεντρικές i% Fi Fi% τιμές χι [,), [,8) 6, [8,),6 6 [,6),9 9 [6,) 8 ΣΥΝΟΛΑ Δ. Οι παρατηρήσεις που είναι μεγαλύτερες ή ίσες του είναι όσες ανήκουν στην η και η κλάση και άρα οι σχετικές συχνότητες τους είναι:, v v 8,,, v v Όπου ν το μέγεθος του δείγματος. Καραγιάννης Ιωάννης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών

5 Καραγιάννης Ιωάννης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών