Κεφάλαιο 17: Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

Κεφάλαιο 17: Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Περιεχόμενα Κεφαλαίου Στο κεφάλαιο αυτό θα εισαχθεί μία γενική μέθοδος μελέτης συστημάτων με χρονοεξαρτώμενη Hailtonian. Θα παρουσιαστεί η μέθοδος εύρεσης πιθανότητας μετάβασης από μια αρχική στάσιμη κατάσταση (ιδιοκατάσταση της χρονοανεξάρτητης Hailtonian) σε μια τελική στάσιμη κατάσταση, λόγω της δράσης της χρονοεξαρτώμενης διαταραχής. Στο πρώτο μέρος, θα οριστεί η πιθανότητα μετάβασης και θα μελετηθεί ένα απλό παράδειγμα με ακριβή λύση (σύστημα δύο καταστάσεων). Στην συνέχεια, θα μελετηθεί η γενική περίπτωση: σύστημα Ν καταστάσεων με μικρό χρονοεξαρτώμενο τμήμα Hailtonian. Στην περίπτωση αυτή, είναι συνήθως απαραίτητη η χρήση προσεγγιστικής μεθόδου, δηλαδή της χρονοεξαρτώμενης θεωρίας διαταραχών, η οποία θα περιγραφεί στο δεύτερο μέρος του Κεφαλαίου. Στο τρίτο μέρος, θα μελετηθεί μια ειδική περίπτωση συστήματος δύο καταστάσεων, σε χρονικά μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο. Η πιθανότητα μετάβασης ταλαντώνεται μεταξύ των δύο καταστάσεων και το πλάτος μεγιστοποιείται για ορισμένη τιμή της συχνότητας μεταβολής του μαγνητικού πεδίου. Το φαινόμενο λέγεται μαγνητικός συντονισμός. Θα μελετηθούν επίσης άλλες εφαρμογές, όπως σταθερή διαταραχή για συγκεκριμένο χρονικό διάστημα και αρμονικά ταλαντούμενες διαταραχές σε συστήματα Ν καταστάσεων. ( Τραχανάς, 5 Τραχανάς, 8 Binney & Skinner, 13 Bransden, et al., 199 Fitzpatrick, 1 Griffiths, 4 Gasiorowicz 3 Peleg et al., 1). 17. Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών 17.1 Πιθανότητα Μετάβασης σε Σύστημα Δύο Καταστάσεων: Ακριβής Λύση Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα, του οποίου η Hailtonian μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη: Έναν αδιατάρακτο χρονοανεξάρτητο όρο H και έναν μικρό χρονοεξαρτώμενο όρο Η 1 (t), δηλαδή: H(t) = H + H 1 (t). (17.1) Έστω ότι οι ιδιοκαταστάσεις και οι ιδιοτιμές της αδιατάρακτης Hailtonian είναι γνωστές και υπακούουν την εξίσωση ιδιοτιμών: H ψ = E ψ. (17.) Υποθέτουμε ότι η κατάσταση του συστήματος, τη στιγμή t=, είναι μια ιδιοκατατάσταση της αδιατάρακτης Hailtonian. Το βασικό αποτέλεσμα της χρονοεξαρτώμενης διαταραχής είναι η εισαγωγή μη μηδενικής πιθανότητας, να βρεθεί το σύστημα σε μια άλλη ιδιοκατάσταση της αδιατάρακτης Hailtonian, σε επόμενη χρονική στιγμή t >. Η πιθανότητα αυτή λέγεται «πιθανότητα μετάβασης». Θα μελετήσουμε μεθόδους για τον υπολογισμό αυτής της πιθανότητας μετάβασης. Έστω ότι η αρχική κατάσταση του συστήματος αναπτύσσεται στη βάση των ιδιοκαταστάσεων της αδιατάρακτης Hailtonian Η ως: ψ() = c ψ, (17.3) Αν δεν υπήρχε η διαταραχή, τότε η χρονική εξέλιξη αυτής της κατάστασης θα ήταν: ψ(t) = c exp( ie t ħ) ψ. (17.4) 84

Στην περίπτωση αυτή, η πιθανότητα εύρεσης του συστήματος στην κατάσταση Ψ n, τη χρονική στιγμή t, προκύπτει ως: P n (t) = ψ n ψ = c n exp( ie n t ħ) = c n = P n (), (17.5) όπου έγινε χρήση της ορθοκανονικότητας της αδιατάρακτης βάσης ( n = δ n ). Η πιθανότητα εύρεσης του συστήματος σε οποιαδήποτε αδιατάρακτη κβαντική στάσιμη κατάσταση, είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Για μη μηδενική χρονοεξαρτώμενη διαταραχή, η σχέση (17.4) δεν είναι πλέον ακριβής και πρέπει να γενικευτεί, επιτρέποντας χρονική εξάρτηση για τους συντελεστές c. Άρα, έχουμε τη γενικευμένη σχέση: ψ(t) = c (t) exp( ie t ħ)ψ, (17.6) από όπου προκύπτει ότι η πιθανότητα εύρεσης του συστήματος στην κατάσταση ψ, είναι χρονοεξαρτώμενη: P n (t) = c n (t). (17.7) Για να βρούμε τη χρονική εξάρτηση των συντελεστών c (t), χρησιμοποιούμε τη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση του Schrodinger: iħ ψ(t) t = H(t)ψ(t) = [H + H 1 (t)]ψ(t). (17.8) Με αντικατάσταση της ψ(t), το δεξιό μέρος της (17.8) από τη σχέση (17.6) και κάνοντας χρήση της (17.), έχουμε: (H + H 1 )ψ = c exp( ie t ħ)(e + H 1 )ψ. (17.9) Όμοια, από την πρώτη ισοτιμία της (17.8) και τη σχέση (17.6), έχουμε: Από τις σχέσεις (17.8), (17.9) και (17.1), παίρνουμε: iħ ψ t = (iħ dc dt + c E ) exp( ie t ħ) ψ. (17.1) iħ dc dt exp( ie t ħ) ψ = c exp( ie t ħ) H 1 ψ. (17.11) Με χρήση του το bra ψ n και απλοποίηση των φάσεων στην (17.11), παίρνουμε: iħ dc n(t) dt = H n (t) exp(iω n t) c (t), (17.1) H n (t) = nh 1 (t), ω n = E n E. (17.13) ħ Η σχέση (17.1) περιγράφει ένα σύστημα Ν, συζευγμένων πρωτοβάθμιων διαφορικών εξισώσεων με N άγνωστες συναρτήσεις c n(t). Για αυθαίρετες τιμές του N, η λύση του συστήματος είναι δύσκολη και απαιτεί είτε προσεγγιστική μέθοδο (π.χ. θεωρία διαταραχών, που θα δούμε παρακάτω) ή αριθμητική λύση. Στην ειδική περίπτωση, όμως, που Ν= (αδιατάραχτο σύστημα δύο καταστάσεων) μπορεί να βρεθεί ακριβής λύση. 85

Έστω, τώρα, ένα αδιατάρακτο σύστημα δύο καταστάσεων, για το οποίο ισχύει: H ψ 1 = E 1 ψ 1, H ψ = E ψ. (17.14) Θεωρούμε, για απλότητα, ότι τα διαγώνια στοιχεία πίνακα της διαταραχής μηδενίζονται, δηλαδή: 1H 1 1 = H 1 =. (17.15) και ότι τα μη διαγώνια στοιχεία πίνακα της διαταραχής (υπεύθυνα για τις μεταβάσεις) είναι της μορφής: 1H 1 = H 1 1 = γħ exp(iωt), (17.16) Το σύστημα (17.1), με Ν= και χρήση των σχέσεων (17.15), (17.16) παίρνει τη μορφή: i dc 1 dt = γ exp[+i(ω ω 1)] c, i dc dt = γ exp[+i(ω ω 1)] c 1 (17.17) ω 1 = (E E 1 ) ħ. (17.18) Άσκηση 1: Αποδείξτε τη σχέση (17.17). Με παραγώγιση της (17.17β) και χρήση της (17.17α), κάνουμε αποσύζευξη των c 1, c και παίρνουμε: d c dt + i(ω ω 1) dc dt + γ c =. (17.19) Άσκηση : Αποδείξτε τη σχέση (17.19). Για τη λύση της (17.19), θεωρούμε δοκιμαστική λύση της μορφής: c (t) = Ae αt (17.) και με αντικατάσταση στη (17.19), έχουμε: Δ = (ω ω 1 ) 4γ = 4Ω a = i(ω ω 1) ± i Ω = i ω ω 1 Ω (17.1) Επομένως: c (t) = Aexp ( i ω ω 1 ) sin(ωt) + B exp ( i ω ω 1 ) cos(ωt) (17.) Ω = γ + (ω ω 1 ) 4. (17.3) Με την αρχική συνθήκη: 86

c () = (17.4) που δηλώνει ότι, αρχικά, το σύστημα είναι στην κατάσταση 1, από τις σχέσεις (17.) και (17.4) παίρνουμε: c (t) = A exp ( i ω ω 1 ) sin(ωt) (17.5) Χρησιμοποιούμε την ανωτέρω μέθοδο, για την εύρεση της συνάρτησης c 1(t) και βρίσκουμε: c 1 (t) = A exp ( i ω ω 1 η οποία με την αρχική συνθήκη c 1()=1 γίνεται: c 1 (t) = exp ( i ω ω 1 ) sin(ωt) + B exp ( i ω ω 1 ) cos(ωt) (17.6) ) sin(ωt) + B exp ( i ω ω 1 ) cos(ωt) (17.7) Άσκηση 3: Αποδείξτε την σχέση (17.7). Για τον υπολογισμό των σταθερών Α και Β στις σχέσεις (17.5) και (17.7), θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις του συστήματος (17.17) στην πρωτοβάθμια συζευγμένη του μορφή. Αν αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (17.5), (17.7) σε μια από τις (17.17) και εξισώσουμε τους συντελεστές των cosωt και sinωt, βρίσκουμε τα Α και Β και επομένως: c (t) = ( iγ Ω ) exp [ i(ω ω 1)t ] sin(ωt) (17.8) c 1 (t) = exp [ i(ω ω 1)t ] cos(ωt) [ i(ω ω 1) ] exp [ i(ω ω 1)t ] sin(ωt), Ω (17.9) Η πιθανότητα εύρεσης του συστήματος στην κατάσταση 1, τη χρονική στιγμή t, είναι: P 1 (t) = c 1 (t), (17.3) ενώ η πιθανότητα μετάβασης στην κατάσταση είναι: P (t) = c (t). (17.31) Από τις σχέσεις (17.8), (17.31), έχουμε: γ P (t) = [ γ + (ω ω 1 ) 4 ] sin (Ωt) (17.3) και λόγω κανονικοποίησης [ή από τις σχέσεις 17.3) και (17.31)], έχουμε: P 1 (t) = 1 P (t). (17.33) 87

Όταν η διαταραχή έχει την ίδια γωνιακή συχνότητα με τη γωνιακή συχνότητα της μεταβαλλόμενης διαταραχής, τότε η πιθανότητα μετάβασης μεγιστοποιείται και φθάνει τη μονάδα (βεβαιότητα μετάβασης) σε ορισμένες χρονικές στιγμές. Το φαινόμενο αυτό αποτελεί ένα είδος συντονισμού. Κατά τον συντονισμό ω=ω 1, το σύστημα ταλαντώνεται μεταξύ των καταστάσεων 1 (αρχική) και, με γωνιακή συχνότητα γ. Άρα, έχουμε διαδοχική απορρόφηση και εκπομπή ενέργειας προς την πηγή της διαταραχής. Εκτός συντονισμού, η μέγιστη πιθανότητα μετάβασης από 1 σε μειώνεται (P ax<1). Ειδική περίπτωση του φαινομένου αυτού, αποτελεί ο μαγνητικός συντονισμός. Έστω αδιατάραχτη Hailtonian, για ηλεκτρόνιο, σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (εκτός ατόμου): H = μ B, (17.34) B = B e z (17.35) Διαταράσσουμε το μαγνητικό πεδίο με χρονοεξαρτώμενη περιστρεφόμενη συνιστώσα x-y: Η Hailtonian γίνεται: B = B e z + B 1 [cos(ωt) e x + sin(ωt) e y ], (17.36) H = μ B = H + H 1, (17.37) H = geb S z, (17.38) H 1 = geb 1 [cos(ωt) S x + sin(ωt) S y ] (17.39) Οι ιδιοκαταστάσεις της αδιατάραχτης Hailtonian είναι οι ιδιοκαταστάσεις του S z χ ±: H χ ± = geħb 4 χ ±. (17.4) Για να βρούμε τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής στη βάση αυτή, είναι χρήσιμο να εκφράσουμε τη διαταραχή H 1 ως: H 1 = geb 1 4 [exp(iωt)s + exp( iωt) S + ], (17.41) S ± = S x ± is y (17.4) είναι οι τελεστές ανύψωσης και μείωσης για τη z συνιστώσα του spin. Επομένως, για τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής έχουμε: +H 1 + = H 1 =, (17.43) 88

H 1 + = +H 1 = geb 1 4 exp(iωt). (17.44) Άσκηση 4: Αποδείξτε τη σχέση (17.44). Με σύγκριση των σχέσεων (17.43), (17.44) με τις σχέσεις (17.15), (17.16), γίνεται φανερό ότι ο πίνακας της διαταραχής είναι ίδιος με τον πίνακα διαταραχής που μελετήσαμε, για σύστημα δύο καταστάσεων με την αντικατάσταση: γ geb 1 4, ψ 1 χ +, ψ χ. (17.45) Άρα, ισχύουν όλα τα αποτελέσματα που βρέθηκαν παραπάνω, για το πλάτος και την πιθανότητα μετάβασης (17.3). Οι αδιατάρακτες ιδιοτιμές, στην περίπτωση του μαγνητικού πεδίου [σχέση (17.4)] είναι: E 1 E geħb 4 (17.46) και επομένως: ω 1 geb. (17.47) Στην περίπτωση του περιστρεφόμενου μαγνητικού πεδίου, το φαινόμενο της μεγιστοποίησης της πιθανότητας μετάβασης (17.3), όταν ω=ω 1, λέγεται μαγνητικός συντονισμός. 17. Σύστημα Ν Καταστάσεων: Εφαρμογή Προσέγγισης Διαταραχών Για συστήματα πολλών καταστάσεων, η αναλυτική επίλυση του συστήματος (17.1) απαιτεί προσέγγιση. Στα πλαίσια της θεωρίας διαταραχών, η προσέγγιση αυτή βασίζεται στην υπόθεση ότι τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής είναι πολύ μικρότερα από τα (διαγώνια) στοιχεία πίνακα της αδιατάραχτης Hailtonian, στη βάση των αδιατάρακτων καταστάσεων. Στο όριο που η διαταραχή είναι ακριβώς μηδέν, οι συντελεστές c είναι χρονικά ανεξάρτητοι και με κατάλληλες αρχικές συνθήκες ισχύει: c n () = δ ni, (17.48) όπου υποθέσαμε ότι το σύστημα είναι αρχικά στην κατάσταση i. Επομένως, η αδιατάρακτη λύση είναι: c n () (t) = δ ni. (17.49) Η βασική ιδέα, στη θεωρία διαταραχών είναι η αντικατάσταση της αδιατάραχτης λύσης (17.49) με μια άγνωστη διόρθωση c (1) (t) πρώτης τάξης, ως προς τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής: c n (t) = c n () (t) + c n (1) (t) (17.5) στο γενικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων (17.1) και η διατήρηση όρων, μέχρι πρώτη τάξη. Με αυτή την προσέγγιση, από τις σχέσεις (17.1), (17.5), σε πρώτη τάξη, ως προς τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής, έχουμε: iħ dc (1) n () = H dt n exp(iω n t) c = H ni exp(iω ni t), (17.51) 89

όπου, στη δεύτερη ισότητα, έγινε χρήση της σχέσης (17.49) με n=. Άσκηση 5: Αποδείξτε τη σχέση (17.51). Από την αρχική συνθήκη (17.4), έχουμε ότι, σε κάθε τάξη (άρα και σε πρώτη) οι συντελεστές για n i μηδενίζονται. Άρα: Από τις σχέσεις (17.51) και (17.5), έχουμε: c n (1) () =. (17.5) t (1) i c n = ħ H ni(t ) exp(iω ni t ) dt. (17.53) που ισχύει για n i, αλλά γενικεύεται εύκολα, για κάθε n στη μορφή: c n (t) = δ ni i t ħ H ni(t ) exp(iω ni t )dt. (17.54) Από τη σχέση (17.53) προκύπτει η πιθανότητα μετάβασης του συστήματος από την αρχική κατάσταση i σε μια άλλη κατάσταση f, μετά από χρόνο t, σε πρώτη τάξη θεωρίας χρονοεξαρτώμενων διαταραχών: t P i f (t) = c f (t) = i ħ H fi(t ) exp(iω fi t )dt. (17.55) Αυτή είναι η βασική σχέση, για χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών. Στις επόμενες παραγράφους θα δούμε εφαρμογές αυτής της σχέσης. 17.3 Σταθερή Διαταραχή και Αρμονική Διαταραχή Έστω σταθερός όρος V διαταραχής, που εμφανίζεται την t και διατηρείται μέχρι και τη στιγμή t. Έστω ότι το σύστημα είναι αρχικά στην κατάσταση i. Θα βρούμε την πιθανότητα μετάβασης στην κατάσταση, τη χρονική στιγμή t, χρησιμοποιώντας χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών πρώτης τάξης. Έστω ότι τα στοιχεία πίνακα της διαταραχής είναι Vi σταθερά, ανεξάρτητα του χρόνου, στο διάστημα από t μέχρι t..h διαταραχή αυτή είναι χρονοεξαρτώμενη, με την έννοια ότι τα στοιχεία πίνακα θεωρούνται μηδενικά, πριν από την αρχική στιγμή t. Εφαρμόζοντας τη βασική σχέση (17.54), παίρνουμε: c (t) = δ i + ( i t ħ ) dt 1V i e iω it 1 = t = δ i + ( i ħ ) V i dt 1 e iω it 1 t t = = δ i V i ħω i (e iω it e iω it ) (17.56) Για καταστάσεις i, η σχέση (17.56) οδηγεί στην πιθανότητα μετάβασης: P i (t) c (t) = ħ V i 1 cos ω it (17.57) ω i Άσκηση 6: Αποδείξτε τη σχέση (17.57). Για σύστημα πολλών καταστάσεων, έχουμε, για την ολική πιθανότητα μετάβασης, άθροιση σε όλες τις τελικές καταστάσεις, η οποία ορίζεται ως: 9

P(t) = P k (t), (17.58) k P k (t) P i k (t) c k (t) (17.59) Για σύστημα δύο καταστάσεων, έχουμε, για την ολική πιθανότητα μετάβασης P(t) σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση, εκτός από την αρχική: Ο ρυθμός μετάβασης ορίζεται ως: P(t) = P i (t) (17.6) w dp(t) dt (17.61) Από τη σχέση (17.57), εφαρμοζόμενη σε σύστημα δύο καταστάσεων, προκύπτει ο ρυθμός μετάβασης ως: w = ħ V i sin ω it ω i (17.6) Για σύστημα με συνεχή κατανομή τελικών καταστάσεων, η ολική πιθανότητα μετάβασης προκύπτει από τη σχέση (17.58), αν αντικαταστήσουμε το άθροισμα με ολοκλήρωμα, ως εξής: P(t) = P k (t) k P t (t) = ρ(e k )de k P k (t) (17.63) όπου, ρ(ε k ) πυκνότητα καταστάσεων που ορίζεται, ώστε ρ(ε k )de k να δίνει τον αριθμό των κβαντικών καταστάσεων στο ενεργειακό διάστημα (Ε k, E k + de k ). Για σταθερή πυκνότητα τελικών καταστάσεων (ανεξάρτητη της ενέργειας), η ολική πιθανότητα μετάβασης προκύπτει ως: P(t) = ħ V ki 1 cos ω ki t ρ dω k ω ki (17.64) Άσκηση 7: Αποδείξτε τη σχέση (17.64), χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (17.63), (17.57) και: dω k = dω ki, de k = ħdω k, dω k = dω ki (17.65) Η σχέση (17.64) γράφεται ως: P(t) = π ħ V ki ρt (17.66) Άσκηση 8: Αποδείξτε τη σχέση (17.66), χρησιμοποιώντας τη σχέση: 1 cos px dx = πp x (17.67) 91

Από την (17.66), προκύπτει ο ρυθμός μετάβασης ως: w = π ħ V ki ρ(e k ) (17.68) Η σχέση (17.68) είναι γνωστή ως ο «Χρυσός Κανόνας του Feri». Ως ένα άλλο παράδειγμα εφαρμογής της χρονοεξαρτώμενης θεωρίας διαταραχών, θα θεωρήσουμε μια αρμονικά μεταβαλλόμενη διαταραχή της μορφής: Στην περίπτωση αυτή, η σχέση (17.54) γίνεται: Θέτουμε στην παραπάνω σχέση: και λαμβάνουμε: V(t) = V cos ωt (17.69) t c (t) = δ i + ( i ħ ) V e iωt 1 + e iωt 1 i dt 1 e iω it 1 (17.7) t t =, i (17.71) c (t) = V i [ 1 ei(ω i+ω)t ħ(ω i + ω) + 1 ei(ωi ω)t ħ(ω i ω) ] (17.7) Στην περίπτωση που το διαταρασσόμενο σύστημα απορροφά ενέργεια από τη διαταραχή, έχουμε ω i > και για: ω ω i (17.73) Για εκπομπή ενέργειας, κυριαρχεί ο δεύτερος όρος στην (17.7) (έχει μικρό παρονομαστή). Τότε έχουμε: c (t) V i 1 e i(ω i ω)t ħ(ω i ω) (17.74) και η πιθανότητα μετάβασης προκύπτει ως: P i (t) c (t) V i sin ( ω i ω t) (17.75) ħ (ω i ω) Για εκπομπή ενέργειας, κυριαρχεί ο άλλος όρος. Ο ρυθμός μετάβασης προκύπτει από την (17.75) ως: w = 1 ħ V i sin(ω i ω)t ω i ω (17.76) και εμφανίζει ταλάντωση, όπως και η πιθανότητα μετάβασης, που φαίνεται στο σχήμα (17.1). Το φαινόμενο του συντονισμού εμφανίζεται όταν ω i = ω. 9

Σχήμα 17.1: Η χρονική εξέλιξη της πιθανότητας μετάβασης, για σύστημα δυο καταστάσεων, με αρμονική χρονικά μεταβαλλόμενη διαταραχή. Για σύστημα πολλών καταστάσεων, με σταθερή πυκνότητα καταστάσεων, μπορεί να δειχτεί ότι ο ρυθμός μετάβασης είναι χρονικά ανεξάρτητος, όπως και στην περίπτωση της χρονικά σταθερής διαταραχής και επομένως, ισχύει ο «Χρυσός Κανόνας του Feri». 17.4 Σύνοψη Όταν υπάρχει χρονικά εξαρτώμενο τμήμα (διαταραχή) σε Ηailtonian, τότε δημιουργείται μη μηδενική πιθανότητα μετάβασης, από μια αδιατάρακτη κατάσταση σε άλλη, μέσα σε χρόνο t. Η πιθανότητα αυτή υπολογίζεται με επίλυση Ν 1ης τάξης διαφορικών εξισώσεων, με Ν αγνώστους, όπου Ν ο αριθμός των αδιατάρακτων ιδιοκαταστάσεων. Όταν Ν= (π.χ. ηλεκτρόνιο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο. με περιστρεφόμενη διαταραχή), το σύστημα μπορεί να επιλυθεί χωρίς προσέγγιση. Η πιθανότητα αναστροφής του spin μεγιστοποιείται, όταν η συχνότητα της περιστρεφόμενης διαταραχής συμπίπτει με την ενεργειακή απόσταση των καταστάσεων της αδιατάραχτης Hailtonian. Για αυθαίρετο Ν, απαιτείται προσεγγιστική μέθοδος, για την εύρεση της πιθανότητας μετάβασης: η χρονοεξαρτώμενη θεωρία διαταραχών, που υποθέτει Η 1<<Η. Η πιθανότητα μετάβασης που προκύπτει: P i f (t) = c f (t) = i t ħ H fi(t ) exp(iω fi t )dt. (17.77) Βασική εφαρμογή της χρονοεξαρτώμενης θεωρίας διαταραχών είναι ο υπολογισμός της πιθανότητας μετάβασης ατομικού ηλεκτρονίου σε υψηλότερη ή χαμηλότερη ενεργειακή στάθμη (απορρόφηση, εκπομπή), λόγω παρουσίας διαταραχής (σταθερής ή αρμονικής). 93

Κριτήρια αξιολόγησης (Λαγανάς, 5α Λαγανάς, 5β Τραχανάς, 5 Constantinescu & Magyari, 1971 Peleg et al., 1 Squires, 1995 Tavakis, 5). Κριτήριο αξιολόγησης 1 Μονοδιάστατος αρμονικός ταλαντωτής βρίσκεται στη θεμελιώδη κατάσταση. Την t=, εφαρμόζεται διαταραχή ηλεκτρικού πεδίου, για χρόνο τ: W(t) = { qεx t τ για άλλους χρόνους (17.78) Βρείτε την πιθανότητα μετάπτωσης στην κατάσταση n=1 και στη n=. Λύση Για μετάβαση στην κατάσταση με n=1, με εφαρμογή της σχέσης (17.55), έχουμε: P 1 (1) (t) = 1 τ ħ eiω1t 1W dτ τ = 1 ħ eiω1t dt = φ 1 (x)( qεx)φ (x)dx όπου, οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις n= και n=1, για τον αρμονικό ταλαντωτή, είναι: φ (x) = 1 π 1 4 x exp [ 1 ( x x ) ], φ 1 (x) = (17.79) 1 π 1 4 3 x exp [ 1 ( x ) ] (17.8) x x ħ ω. (17.81) Με αντικατάσταση των αντίστοιχων ιδιοκαταστάσεων n= και n=1 για τον αρμονικό ταλαντωτή συναρτήσει των πολυωνύμων Herite, έχουμε: φ (x)xφ 1 (x) = φ (x)φ 1 (x)dx = = 1 π 1 λ 1 π 1 λ H ( x λ ) H 1 ( x λ ) xe x λ dx (17.8) λ = ħ (17.83) ω Για τα πολυώνυμα Herite, έχουμε: 94

H (x λ) = 1, H 1 (x λ) = x λ (17.84) Με αντικατάσταση της (17.84) στην (17.8), παίρνουμε: φ (x)xφ 1 (x) = 1 π λ x e x λ dx = 1 λ (17.85) όπου στην τελευταία ισότητα έγινε ολοκλήρωση κατά παράγοντες και χρήση του γνωστού ολοκληρώματος: e αx dx = π α (17.86) Με αντικατάσταση της (17.86) στη (17.79) και υπολογισμό του ολοκληρώματος, βρίσκουμε: (1) (τ) = 1 ħ eiωt ( qε ħ ) dt ω P 1 τ = (qε) [ sin(ω τ ) ħω ω ] = (qε) e iω1t dt ħω τ = (17.87) Για την πιθανότητα μετάβασης στην κατάσταση n=, έχουμε: P (1) (τ) = 1 τ ħ eiωt W dt (17.88) Από τη σχέση (17.78) και τη σχέση: x = ħ ω (a + a ) (17.89) παίρνουμε: W = ( qεx) = qε ħ ω (a + a) = (17.9) Με αντικατάσταση στη (17.88), έχουμε τον μηδενισμό της πιθανότητας μετάβασης σε πρώτη τάξη θεωρίας διαταραχών: P (1) (τ) =. (17.91) Κριτήριο αξιολόγησης Σύστημα έχει δύο ιδιοκαταστάσεις 1 και, με διαφορά ενεργειών: E E 1 = ħω 1 (17.9) Την t=, το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση 1 και εφαρμόζεται μια διαταραχή H με στοιχεία πίνακα: 95

1H 1 = H 1 = ħω H = ħω (17.93) Αναζητήστε τις πιθανότητες να βρεθεί το σύστημα στις καταστάσεις 1 και : α. Εφαρμόζοντας θεωρία διαταραχών, σε πρώτη τάξη β. Με ακριβή λύση της εξίσωσης Schrodinger. Συγκρίνετε και σχολιάστε τα αποτελεσματα. Λύση α. Με εφαρμογή της θεωρίας διαταραχών σε πρώτη τάξη, έχουμε γενικά: t (1) 1 P if = ħ eiωfit W fi (t )dt (17.94) Αν εφαρμόσουμε τη (17.94) για τη συγκεκριμένη περίπτωση του προβλήματος, παίρνουμε: P 1 1 t ħ eiω1t H 1 dt = ω 1 (e iω1t 1) = iω 1 = ω eiω 1t (e iω 1t e iω 1t ) iω 1 = ω eiω 1t i sin(ω 1 t ) = iω 1 = ω e iω 1t sin(ω 1t ) = ω 1 = ω eiω 1t i sin(ω 1 t ) iω 1 = 1 t ħ ħ ω e iω 1t dt = = (17.95) Για να ισχύει η προσέγγιση, θα πρέπει: P 1 ω t 1 ω t 1. (17.96) β. Με ακριβή λύση της εξίσωσης Schrodinger, έχουμε για την ολική Hailtonian: H = H + H H = ( E 1 ħω ħω E ħω 1 ) = ( E 1 ħω ħω E 1 ) (17.97) όπου, στην τελευταία ισότητα, έγινε χρήση της σχέσης (17.93). Από την εξίσωση ιδιοτιμών, προκύπτουν εύκολα οι ιδιοτιμές της Hailtonian: Οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις είναι: Hν = λ ν (E 1 λ) (ħω ) = λ 1, = E 1 ± ħω (17.98) 96

ν 1 = 1 (1 1 ) = 1 (1 + ) (17.99) ν = 1 ( 1 1 ) = 1 (1 ) (17.1) Άρα, για τη γενική χρονικά εξελιγμένη κατάσταση ψ(t), έχουμε: ψ(t) = a 1 e iλ 1t ħν 1 + a e iλt ν (17.11) Οι αυθαίρετες σταθερές α 1, α προσδιορίζονται από την απαίτηση κανονικοποίησης και από την αρχική συνθήκη: Έτσι, βρίσκουμε: c(t = ) = 1 (17.1) a 1 = a = 1. (17.13) Με αντικατάσταση των (17.13), (17.99) και (17.1) στην (17.11), βρίσκουμε τη χρονικά εξελιγμένη κατάσταση ως γραμμικό συνδυασμό των αδιατάραχτων ιδιοκαταστάσεων, με τη μορφή: ψ(t) = 1 (e i(e 1+ħω )t ħ + e i(e 1 ħω )t ħ)1 + + 1 (e i(e 1+ħω )t ħ e i(e 1 ħω )t ħ) = = e ie 1t ħ[cos(ω t) 1 sin(ωt) ] (17.14) Η ακριβής τιμή της πιθανότητας μετάβασης, που προκύπτει από τη (17.15), είναι συμβατή με την προσεγγιστική τιμή της (17.97), αφού: P 1 = sin (ωt) ω t 1 (ω t) (17.15) Άλυτες Ασκήσεις 1. Άτομο υδρογόνου τοποθετείται σε ηλεκτρικό πεδίο της μορφής: E = E(t)k (17.16) Βρείτε τα τέσσερα () στοιχεία πίνακα Η ij, για τη διαταραχή Η =-eez, μεταξύ της βασικής κατάστασης (n=1) και της τετραπλά εκφυλισμένης πρώτης διεγερμένης κατάστασης. Δείξτε ακόμα ότι Η ii = για όλες τις παραπάνω πέντε καταστάσεις. (Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε επιχειρήματα συμμετρίας για να δείξετε ότι σχεδόν όλα τα ολοκληρώματα μηδενίζονται) 97

. Έστω διαταραχή της μορφής Η =U δ(t-t ) με U aa=u bb= και U ab=q. Αν c a(-)=1 και c b(-)=, βρείτε τα c a(t) και c b(t) και επαληθεύστε ότι: c a (t) + c b (t) = 1 (17.17) Ποιά είναι η πιθανότητα P a b, να γίνει μετάβαση από την αρχική κατάσταση a στην κατάσταση b; Απάντηση P a b = (α ħ )(1 + α 4ħ ) (17.18) 3. Λύστε το σύστημα: c a = i ħ H ab e iωt c b, (17.19) c b = i ħ H ba e iωt c a για τη γενική περίπτωση c a()=q και c b()=p. 98

Βιβλιογραφία/Αναφορές Λαγανάς, E. (5α). Κβαντομηχανικη Ι Θεωρία - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις. χ.τ.: Αρνός. Λαγανάς, E. (5β). Κβαντομηχανικη ΙΙ Θεωρία - Μεθοδολογία - Λυμένες ασκήσεις. χ.τ.: Αρνός. Τραχανάς, Σ. (5). Προβλήματα Κβαντομηχανικής. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Τραχανάς, Σ. (8). Κβαντομηχανικη ΙI. Ηράκλειο: Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Binney, J. & Skinner, D. (13). The Physics of Quantu Mechanics. Oxford: Oxford University Press. Bransden, B. H. & Joahain, C. J. (199). Introduction to Quantu Mechanics. Longan Publishing Group. Constantinescu, F., Magyari, E. (1971). Probles in Quantu Mechanics (Paperback). Oxford: Pergaon Press. Fitzpatrick, R. (1). Quantu Mechanics. Ανακτήθηκε 3 Οκτωβρίου, 15, από http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qech/qech.pdf Gasiorowicz, S. (15). Κβαντική Φυσική, (3η αμερικάνικη έκδοση). Αθήνα: Εκδόσεις Κλειδάριθμος. Griffiths, D. J. (4). Introduction to Quantu Mechanics, nd edition. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall. Peleg, Y., Pnini, R., Zaarur, E., Hecht, E. (1). Schau s Outline of Quantu Mechanics (Schau s Outlines), (nd edition). McGraw-Hill. Squires, G.L. (1995). Probles in Quantu Mechanics: with solutions. Cabridge: Cabridge University Press. Tavakis, K. (5). Probles and Solutions in Quantu Mechanics. New York: Cabridge University Press. 99