CPTOLUL 6 ÎNCOVOERE BRELOR DREPTE 6.1. Încovoierea pură. Formula lui Navier. Considerăm bara de secţiune dreptungiulară din Fig.6.1, pentru care s-au trasat diagramele de eforturi T şi M. Fig.6.1 Se observă că pe tronsonul dintre forţe (-) forţa tăietoare este nulă (T 0) şi momentul încovoietor este constant (M F a). Încovoierea pură este solicitarea cu moment încovoietor constant şi forţă tăietoare nulă. Barele solicitate la încovoiere se numesc grini. Într-o secţiune oarecare a unei grini solicitate la încovoiere pură apar numai tensiuni normale, produse de momentul încovoietor. Se consideră un element de lungime dx din tronsonul solicitat la încovoiere pură, repreentat în Fig.6.. Se admite că planul forţelor este un plan de simetrie al barei (xoy), deci secţiunea barei este simetrică în raport cu planul forţelor. tunci axa verticală a secţiunii Oy este axă principală de inerţie şi vectorul moment încovoietor M, perpendicular pe planul forţelor, este aplicat pe axa principală O : M M.
7 Capitolul 6 Fig.6. Lungimea dx a elementului de grindă este delimitată de liniile B şi CD perpendiculare pe axa longitudinală Ox a grinii, acestea repreentând două secţiuni normale ale grinii. În urma aplicării momentului încovoietor M grinda se deformeaă, iar elementul de lungime dx ia forma 'B'C'D'. Se constată că secţiunile 'B' şi C'D' rămân tot plane şi perpendiculare pe axa deformată a grinii, iar axa grinii RS, care iniţial era linie dreaptă, se curbeaă. ceasta înseamnă că este aplicabilă ipotea secţiunilor plane a lui Bernoulli. Se observă că în urma deformaţiei segmentele BC, HK se lungesc, iar segmentul D se scurteaă. Dreptele 'B' şi C'D' din Fig.6..a. sunt concurente întrun punct Q, care este centrul de curbură al arcelor 'D', RS, H'K' şi B'C'. Linia RS care uneşte centrele de greutate ale tuturor secţiunilor transversale, numită fibra medie a grinii, rămâne de lungime nescimbată, deci se poate scrie relaţia : dx ρ dϕ (6.1) În relaţia (6.1) ρ este raa de curbură a fibrei medii deformate. Se consideră o fibră HK, paralelă cu axa grinii, situată la distanţa y de fibra medie. În urma deformării HK se lungeşte, devenind arcul H'K', de lungime: ( ρ + y) ϕ H K d,
Încovoierea barelor drepte 7 stfel, creşterea lungimii fibrei HK este: ( ) Δdx H K HK ( ρ + y) dϕ ρdϕ ydϕ Δ HK, iar deformaţia specifică a acestei fibre va fi: Δdx ε dx Relaţia (6.1) se poate scrie şi astfel: ydϕ y ρdϕ ρ (6.) dϕ 1 θ dx ρ (6.) dϕ În relaţia (6.) raportul repreintă ungiul cu care se rotesc una faţă de dx cealaltă două secţiuni normale, situate iniţial la distanţa dx şi se numeşte rotire specifică, notându-se cu θ. Relaţia (6.) devine: y ε θ y (6.) ρ Relaţia (6.) arată că deformaţia specifică variaă liniar pe secţiune, aceasta fiind o consecinţă a ipoteei lui Bernoulli. În Fig.6.. s-a repreentat grafic variaţia deformaţiei specifice ε pe secţiune. Fig.6. În caul materialelor pentru care este valabilă legea lui Hooke, tensiunea va fi: σ E ε, deci legea de variaţie a tensiunii normale pe secţiune va fi de forma:
7 Capitolul 6 E σ Eθy y (6.5) ρ Tensiunea normală variaă liniar pe secţiune ca în Fig.6.. Pentru a afla legătura dintre tensiunile normale şi momentul încovoietor se scriu pe secţiunea considerată ecuaţiile de ecivalenţă din mecanică. Tensiunile normale σ (Fig.6..b) produc pe secţiune eforturi elementare dfσd paralele. Întrucât nu există forţă axială, iar momentul încovoietor este dirijat după axa O, ecuaţiile de ecivalenţă vor fi: ( F) df d 0 x σ ( M) df d 0 y σ ( M) y df σyd M Înlocuind în relaţiile de mai sus tensiunea σ cu expresia (6.5) şi ţinând cont de faptul că raa de curbură ρ este constantă reultă: E E E yd yd S 0 S 0 ρ ρ (6.6) ρ E E E yd yd y 0 y 0 ρ ρ (6.7) ρ E E E E yyd y d M M ρ ρ (6.8) ρ ρ Relaţia (6.6) arată că axa O trece prin centrul de greutate G al secţiunii, deci G O, întrucât momentul static în raport cu axa O este nul (S 0). ceasta se numeşte axa neutră a secţiunii. Conform relaţiei (6.5), tensiunile normale sunt nule pe axa neutră, cresc liniar cu distanţa y la axa neutră, fiind maxime pe fibrele extreme ale secţiunii (unde y y max ). Cum Oy este axă de simetrie pentru secţiune, ţinând cont de relaţia (6.7) conform căreia momentul de inerţie centrifugal y este nul, reultă că Oy şi O sunt axe principale de inerţie ale secţiunii. Relaţia (6.8) face legătura între tensiunile normale σ şi momentul încovoietor M. Utiliând relaţia (6.5) se obţine:
Încovoierea barelor drepte 75 E ρ σ M y M y M σ (6.9) Relaţia (6.9), numită formula lui Navier, dă valoarea tensiunii normale σ în orice punct al secţiunii în funcţie de variabila y. pariţia momentului de inerţie axial în această formulă arată că momentele de inerţie axiale sunt mărimi care intră în calculele de reistenţă la solicitarea de încovoiere. În formula lui Navier atât momentul încovoietor M, cât şi variabila y se introduc cu semn, deci tensiunea va fi poitivă, negativă sau nulă (pe axa neutră a secţiunii). În calculele de reistenţă intereseaă, în special, valoarea maximă a tensiunii normale, care se produce pe fibrele extreme ale secţiunii, de cotă y max : M y M M max σ max Wmin (6.10) ymax În relaţia (6.10) s-a definit un alt element geometric al secţiunii, numit modul de reistenţă la încovoiere, notat W : W (6.11) y Modulul de reistenţă minim al secţiunii, din relaţia (6.10), pentru care reultă valoarea maximă a tensiunii normale se obţine pe fibrele extreme ale secţiunii, pentru y max : W min. ymax Ca toate formulele de reistenţă, formula (6.10) poate fi scrisă sub una dintre următoarele forme: a) Formulă de dimensionare: max W nec M σ a b) Formulă de verificare: σ M W σ ef a min c) Formulă de calcul al momentului încovoietor capabil:
76 Capitolul 6 M cap W min 6.. Variaţia tensiunii normale pe secţiunea dreptungiulară la solicitarea de încovoiere pură În Fig.6.. s-a repreentat variaţia tensiunii normale pe secţiunea dreptungiulară a grinii din Fig.6.1. Secţiunea dreptungiulară are înălţimea şi baa b. Tensiunea normală este maximă pe fibrele inferioare ale secţiunii, situate la cota y max y 1 +/: σ a σ max My 1 M M b 1 6M b Fig.6. Tensiunea normală minimă se obţine pe fibrele superioare ale secţiunii, de ordonată y -/:
Încovoierea barelor drepte 77 σ min My M M b 1 6M b Se observă că fibrele situate sub axa neutră G se lungesc (tensiune normală poitivă, de întindere), iar cele superioare se scurteaă (tensiune normală negativă, de compresiune). Cum axa neutră este o axă de simetrie a secţiunii, se observă că tensiunile normale extreme sunt egale în valoare absolută: σ max σ min Pentru secţiuni la care axa G nu este o axă de simetrie, această egalitate nu mai este valabilă, deoarece distanţele, în modul, la fibrele extreme ale secţiunii vor fi diferite: y 1 y. simplă 6.. Tensiuni normale şi tangenţiale în grinda solicitată la încovoiere Fig.6.5 Prin încovoiere simplă se înţelege solicitarea cea mai uuală, produsă de acţiunea simultană a momentului încovoietor şi a forţei tăietoare. Din diagramele de eforturi T şi M construite pentru grinda din Fig.6.1. se observă că pe tronsoanele (1- ) şi (-) apare solicitarea de încovoiere simplă. În Fig.6.5. s-a repreentat o secţiune normală a grinii de pe tronsonul (1-), situată la distanţa x' de reaemul 1.
78 Capitolul 6 Într-un punct oarecare al secţiunii apar simultan o tensiune normală σ, produsă de momentul încovoietor M şi o tensiune tangenţială τ, produsă de forţa tăietoare T, a cărei expresie urmeaă să se stabilească. Datorită apariţiei tensiunilor tangenţiale secţiunile plane normale la axa longitudinală a grinii în urma deformaţiei nu mai rămân plane, ci se deplaneaă. ceastă deplanare este mai accentuată în apropierea axei neutre a grinii, unde se va vedea că tensiunile tangenţiale au valori maxime şi mai mică în apropierea fibrelor extreme ale secţiunii. Deci, datorită efectului forţei tăietoare, ipotea lui Bernoulli a secţiunilor plane nu mai este valabilă şi nici formula lui Navier nu mai este exactă. Se demonstreaă că pentru grini cu raportul /l, dintre înălţimea secţiunii şi desciderea grinii, mic, cum este caul grinilor uuale, formula lui Navier pentru calculul tensiunilor normale este aplicabilă. Vom studia tensiunile tangenţiale pentru grini la care este aplicabilă formula lui Navier. Datorită forţei tăietoare T, pe orice element de arie al secţiunii grinii poate apărea o tensiune tangenţială τ, care se descompune în componentele τ yx şi τ x, paralele cu axele secţiunii. Cum forţa tăietoare este orientată după axa Gy, componentele tensiunii tangenţiale trebuie să satisfacă următoarele ecuaţii de ecivalenţă: T τyx d T; T τx d 0 (6.1) y Din relaţia (6.1) reultă că pe secţiune componentele τ x, de-a lungul axei y, sunt fie nule fie de semne contrare, astfel încât reultanta lor să fie nulă. Se consideră elementul de arie d 1, în vecinătatea conturului secţiunii (Fig.6.5). Componentei τ x îi corespunde componenta τ x de pe elementul de arie d. În Reistenţa Materialelor se consideră că feţele exterioare ale elementelor de reistenţă sunt nesolicitate acolo unde nu se aplică forţe exterioare. Putem scrie pentru elementele de arie d 1 şi d următoarea egalitate: τ x τ x 0, deci există doar componenta τ yx a tensiunii tangenţiale, paralelă cu conturul. stfel, se poate deduce că tensiunile tangenţiale pe elementele de arie din vecinătatea conturului sunt totdeauna paralele cu conturul. Din acelaşi motiv, pe elementul de arie d componenta τ yx este nulă. Deci tensiunea τ yx este nulă în vecinătatea fibrelor extreme, dar cum relaţia (6.1) arată că această componentă trebuie să existe, se deduce că τ yx nu se distribuie uniform pe secţiune. Considerăm elementul de lungime dx din Fig.6.6, de pe tronsonul (1-) al grinii din Fig.6.1, situat la distanţa x' de reaemul 1 solicitat la încovoiere simplă. Pe cele două secţiuni normale care mărginesc elementul de lungime dx acţioneaă eforturile M, (M + dm), T, care produc respectiv tensiunile σ, (σ+dσ) şi τ yx preentate în Fig.6.6.b. Pentru elementul de volum aşurat, în planul oriontal CC', apar tensiuni tangenţiale τ xy τ yx. Se admite următoarea ipoteă, numită ipotea lui Juravski: pe o coardă BC paralelă cu axa neutră a secţiunii tensiunile tangenţiale τ yx sunt constante (Fig.6.6.c).
Încovoierea barelor drepte 79 Fig.6.6 Fig.6.7 Se va studia ecilibrul elementului de volum aşurat, de lungime dx, situat sub planul oriontal BC, repreentat în Fig.6.7.
80 Capitolul 6 Pe suprafaţa BCFH tensiunea normală pe elementul de arie d situat la distanţa y 1 de axa O este: My σ Pe întreaga suprafaţă BCFH, aceste tensiuni dau o forţă axială N: N y My1 M σd d y max 1 1 MS y d ( BCFH) N MS S-a notat cu S momentul static al părţii de secţiune BCFH, situată sub linia BC, calculat faţă de axa neutră O. În mod analog, pe faţa B'C'F'H' tensiunea normală va fi: iar forţa axială reultantă: N (M + dm)y 1 σ + dσ, y + (M + dm)y1 M + dm dn ( σ + dσ)d d y max (M + dm)s y1d Se scrie ecuaţia de proiecţii a tuturor forţelor aplicate pe elementul de volum pe direcţia x. În această ecuaţie intră forţele N, (N+dN) şi forţa (τ xy bdx), produsă de tensiunile tangenţiale τ xy pe faţa BB'CC': N + τ xy bdx ( N + dn) dm S 0 + τ xy bdx 0 τ xy dm S dx b dm Întrucât T, se obţine expresia tensiunii tangenţiale care poartă numele dx de formula lui Juravski: T S τ xy (6.1) b În formula lui Juravski T este forţa tăietoare din secţiune, momentul de inerţie axial al întregii secţiuni în raport cu axa neutră, iar b lăţimea secţiunii la distanţa
Încovoierea barelor drepte 81 y de axa neutră. Cum T şi sunt constante pe secţiune, legea de variaţie a tensiunii tangenţiale τ xy pe secţiune, de-a lungul axei y, este dată de variaţia raportului S/b. 6.. Variaţia tensiunilor tangenţiale pentru diferite secţiuni uuale a) Secţiunea dreptungiulară Pentru secţiunea dreptungiulară din Fig.6.8, cu baa b şi înălţimea, se consideră fibra BC, la distanţa y de axa neutră G. ceastă fibră delimiteaă aria aşurată ', a cărui moment static în raport cu axa neutră este: S y' G ' y + y b y b y Fig.6.8 b Pentru secţiunea dreptungiulară: ; b. stfel, expresia 1 tensiunii tangenţiale va fi:
8 Capitolul 6 τ xy TS b b T y b b 1 6T y T 6y 1,5 (6.1) Tensiunea tangenţială variaă parabolic în funcţie de y, fiind nulă pe fibrele extreme, pentru y / şi maximă pe axa neutră: T τ xy max 1,5 (6.15) b) Secţiunea circulară Fig.6.9 Pentru secţiunea circulară din Fig.6.9, de diametru d se consideră o fibră BC situată la distanţa y de axa neutră. Lăţimea acestei fibre este b, iar grosimea elementului de arie dublu aşurată este dy. ceste mărimi se pot calcula în funcţie de raa r a secţiunii şi de ungiul θ astfel: y r cosθ b r sinθ dy r sinθ dθ Se calculeaă momentul static al suprafeţei aşurate ca o integrală pentru fâşiile de arie d bdy:
S yd S r r cosθ bdy sin θ θ 0 r θ 0 r cosθ rsin θ rsin θ dθ sin θ Încovoierea barelor drepte 8 Se cunoaşte momentul de inerţie axial pentru suprafaţa circulară: θ 0 r sin θ cosθ dθ π d 6 π r Cu ajutorul acestor mărimi se determină expresia tensiunii tangenţiale: τ xy TS b T r sin θ π r r sin θ T sin θ (6.16) Tensiunea tangenţială variaă după legea de variaţie a funcţiei sin θ, fiind nulă în punctele extreme, pentru θ 0 şi maximă pe axa neutră, pentru θ π/. T T τ xy max 1, (6.17) c) Secţiunea în formă de Secţiunea din Fig.6.10. se consideră formată din dreptungiuri. Se observă că momentul static S variaă continuu, parcurgând secţiunea de la axa neutră spre fibrele extreme. În punctul B apare un salt al lăţimii b care produce o discontinuitate a parabolei de variaţie a tensiunii tangenţiale. Deci datorită formei sale, la această secţiune se produc tensiuni tangenţiale destul de mari în apropiere de fibrele extreme, la trecerea de la talpă la inimă.
8 Capitolul 6 Fig.6.10 6.5. plicaţie Pentru grinda din Fig.6.11.a, cu secţiunea preentată în Fig.6.11.b, se cer: a) Diagramele cotate de eforturi T şi M; b) Dimensionarea secţiunii pentru σ a 10 N/mm ; c) Diagrama tensiunii normale σ pe secţiunea periculoasă la încovoiere; d) Diagrama tensiunii tangenţiale τ în secţiunea periculoasă la forfecare. a) Calculul reacţiunilor în reaemele 1 şi ( M) 1 0 M + Y p + 0 Y 6,5 10 1,5KN 1 10 + 6 6 0,5 ( M) 0 Y1 M p + 1p 0 Y1,75KN Verificarea calculului reacţiunilor: ( F) Y1 + Y p,75 + 1,5 18 0 y
Încovoierea barelor drepte 85 Fig.6.11 Determinarea funcţiilor de eforturi T şi M pe tronsoanele grinii: Tronsonul (1-), x [0; m] T(x) Y 1,75 KN M(x) Y 1 x,75x M 1 (0) 0 M () 9,5 KNm Tronsonul (-), x [0; 1m] T(x) px 6x T (0) 0 T (1) 6 KN M(x) -px x/ -6x / M (0) 0 M (1) - KNm Tronsonul (-), x [0; m] T(x) -Y + (1+x)p -7,5 + 6x T (0) -7,5 KN T (),75 KN Funcţia T(x) se anuleaă pentru x o 7,5/6 1, m M(x) Y x - p(1+x) / - + 7,5x - x M (0) - KNm M(x o ) 1,8 KNm M () -0,5 KNm Pe baa funcţiilor de eforturi s-au trasat diagramele cotate ale eforturilor T şi M din Fig.6.1.
86 Capitolul 6 Fig.6.1 b) Dimensionarea secţiunii grinii se face în secţiunea periculoasă la încovoiere. ceastă secţiune este secţiunea, în care acţioneaă momentul încovoietor maxim M 9,5 KNm. Din Fig.6.1.a. se observă că secţiunea grinii este simetrică faţă de axa Oy, deci centrul de greutate al secţiunii compuse G va fi situat pe această axă. În raport cu sistemul de referinţă ZOy, poiţia centrului de greutate al secţiunii compuse din două dreptungiuri de arii 1 şi, va fi:
y y (6t t)t + 1t ( t 6t) Încovoierea barelor drepte 87 t + + 6t 6t i G i G i,t Fig.6.1 Distanţele dintre centrele de greutate G şi G 1, respectiv G şi G sunt: c 1 -(y G - y G1 ) -1,t ; c y G - y G,67t Pentru calculul momentului de inerţie axial al secţiunii vom aplica relaţiile lui Steiner: b 1 11 ( ) + ( ) ( ) 86t 1 [ + c ] + [ ( ) + c ] 1 b + c 1 b11 + 1 1 + c b 1 1 t 6 1 + ( 1,) Modulul de reistenţă minim al secţiunii se calculeaă astfel: 1 6 1 + 1 +,67 86t min 15,16t (1) ymax 5,67t W 6
88 Capitolul 6 Relaţia de dimensionare la încovoiere este: W [ Nmm] 6 M 9,5 10 nec 79,16 10 mm () σa N 10 mm Egalând la limită mărimile date de relaţiile (1) şi (), se obţine dimensiunea necesară t nec : min nec nec nec W W 15,16t 79,16 10 t 79,16 10 15,16 17,mm Se alege valoarea efectivă t 18 mm. Cu această valoare, momentul de inerţie axial va fi: 9,08 10 6 mm. c) Cu ajutorul formulei lui Navier se vor determina valorile extreme ale tensiunii care apar pe fibrele (1-1) de ordonată y 11 -,t, respectiv pe fibrele (-) de ordonată y 5,67t (Fig.6.1.a): σ σ 11 M y M y 11 6 (, 18) 9,5 10 9,08 10 6 6 ( + 5,67 18) 9,5 10 9,08 10 6 N,1 mm N + 107,9 mm Diagrama tensiunii normale pe secţiunea periculoasă este preentată în Fig.6.1.b. d) Forţa tăietoare maximă este conform diagramei T: T max T -7,5 KN Tensiunile tangenţiale τ se determină cu formula lui Juravski. Tensiunile tangenţiale pe fibrele extreme ale secţiunii sunt nule, deci τ 11 τ 0. Tensiunile tangenţiale pe fibrele (-), pentru care b 6t, respectiv ('-'), cu b '' t sunt: τ T S b T S ( ) 7,5 10 ( 6 ) 1, 18 6 18 9,08 10 ( '' ) 7,5 10 ( 6 ) τ '' b 6 '' 1 18 9,08 10 Pe axa neutră G, tensiunea tangenţială va fi: 6 1, 18 N 0,7 mm N,15 mm
Încovoierea barelor drepte 89 τ G T S b G ( G) 5,67 7,5 10 1 5,67 18 6 1 18 9,08 10 N,18 mm Diagrama tensiunii tangenţiale este repreentată în Fig.6.1.c.