STATICA CONSTRUCȚIILOR STRUCTURI STATIC DETERMINATE - Îndrumător pentru lucrări -
|
|
- Τιτάνια Τομαραίοι
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Nicolae CHIRA Roxana BÂLC Alexandru CĂTĂRIG Aliz MÁTHÉ Cristian CIPLEA Cristian MOJOLIC Ioana MUREȘAN Cristian CUCEU Radu HULEA Daniela PETRIC STATICA CONSTRUCȚIILOR STRUCTURI STATIC DETERMINATE - Îndrumător pentru lucrări - U.T. PRESS Cluj-Napoca, 2014 ISBN
2 Editura U.T.PRESS Str.Observatorului nr. 34 C.P.42, O.P. 2, Cluj-Napoca Tel.: / Fax: utpress@biblio.utcluj.ro Director: Consilier editorial: Prof.dr.ing. Daniela Manea Ing. Călin D. Câmpean Copyright 2014 Editura U.T.PRESS ISBN Bun de tipar:
3 CUPRINS Capitolul 1: Grinzi drepte Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare Probleme rezolvate Probleme propuse 20 Capitolul 2: Grinzi cu console şi articulaţii (grinzi Gerber) Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare Exemplu de calcul Probleme propuse 33 Capitolul 3: Cadre static determinate Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare Exemple de calcul Probleme propuse 54 Capitolul 4: Arce static determinate Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare Exemplu numeric Probleme propuse 69 Capitolul 5: Structuri articulate plane Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare Exemple de calcul Probleme propuse 80 Capitolul 6: Calculul eforturilor cu ajutorul Principiului Lucrului Mecanic Virtual Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare Exemplu de calcul Probleme propuse 89 Capitolul 7: Linii de influenţă Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare Exemple de calcul Probleme propuse 111 Capitolul 8: Deplasări punctuale Noţiuni teoretice de bază. Principii de calcul Exemple de calcul Probleme propuse 128 Capitolul 9: Răspunsuri probleme propuse 133 3
4 Capitolul 1: Grinzi drepte 1.1. Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare. Grinzile drepte static determinate sunt structuri solicitate predominant la încovoiere. În funcţie de modul de dispunere a celor trei legături simple (necesare asigurării invariabilităţii geometrice şi fixării de teren), se disting: o grinzi încastrate la un capăt (console), o grinzi cu un reazem fix şi unul mobil, dispuse la capete sau nu (grinzi simplu rezemate cu/fără console). Reacţiunile care se dezvoltă în dispozitivele de fixare faţă de teren se determină scriind trei ecuaţii de echilibru astfel: - 2 ecuaţii de echilibru (sumă de moment nul) faţă de reazemele cu terenul, - o ecuaţie de sumă de proiecţii de forţe după o direcţie din plan (orizontală, axa barei, sau altă direcţie convenabilă) Verificarea valorilor calculate ale reacţiunilor se realizează scriind o ecuaţie de sumă de proiecţii de forţe egală cu zero după orice altă direcţie din plan. În cazul consolelor nu este obligatorie determinarea prealabilă a reacţiunilor, întrucât aceste grinzi au un capat liber pornind de la care se pot determina toate eforturile. Eforturile se evidențiază prin secţionarea barei în punctul respectiv. La trasarea diagramelor de eforturi se ţine seama de convenţiile de semn. Cele trei eforturi care apar în urma solicitării în orice secţiune a unei grinzi drepte sunt: Efortul axial (N) - se dezvoltă pe direcţia axei barei, - este pozitiv când este de întindere (iese din secţiune), În diagrama de efort axial se inregistrează salt în dreptul forţelor concentrate care au componentă pe direcţia axei barei. Forţele uniform distribuite pe bară produc o variaţie liniară a efortului axial, dacă au proiecţie după axa barei. Marcarea semnului pe diagrama de efort axial este esenţială în definirea variaţiei acestui efort. Forţa tăietoare (T) - apare normal pe direcţia axei barei; - este pozitivă când produce o rotire a feţelor secţiunii în sens orar; În diagrama de forţă tăietoare se înregistrează salt în dreptul forţelor concentrate care au componentă perpendiculară pe direcţia axei barei şi în sensul acestora. Marcarea semnului pe diagrama de forţă tăietoare este esenţială în definirea variaţiei acestui efort. Pe barele (intervalele) neîncărcate cu forţe, forţa tăietoare este constantă. Forţele uniform distribuite pe bară dau, dacă au componentă pe direcţia perpendiculară pe axa barei, o variaţie liniară pe distanţa pe care sunt repartizate. Momentul încovoietor (M) - este pozitiv când întinde fibra dinspre un observator care parcurge bara de la stânga la dreapta (fibra de jos, în cazul grinzilor); 4
5 Diagrama de moment încovoietor se trasează pe fibra întinsă şi nu necesită semn. În dreptul forţelor concentrate se înregistrează vârfuri (schimbări de pantă), în sensul de acţiune al acestora. În dreptul momentelor concentrate se înregistrează salturi în sensul acestora (în funcţie de fibra întinsă). Forţele uniform distribuite produc o variaţie parabolică a momentului încovoietor. Existenţa punctelor de extrem este marcată prin anularea forţei tăietoare. În acest punct, tangenta la diagrama de moment încovoietor este paralelă cu axa barei. Cunoaşterea comportării grinzilor drepte este esenţială, întrucât orice structură solicitată predominant la încovoiere (exceptând cele care au în componenţă bare curbe) se poate descompune în grinzi drepte. Rezolvarea grinzilor înclinate (calculul reacţiunilor, trasarea diagramelor de eforturi) se poate face prin: a) Determinarea reacţiunilor în sistemul de referinţă xoy (orizontală, verticală). Eforturile de tip forţe (N şi T), acţionând pe direcţia axei barei şi perpendicular pe ea, se determină prin proiecţii ale forţelor (inclusiv reacţiuni) pe aceste direcţii. Diagrama de moment încovoietor se trasează pe intervale, ţinând cont de tipul încărcării şi de fibra întinsă, după determinarea prealabilă a momentelor încovoietoare în secţiunile caracteristice. b) Determinarea reacţiunilor în sistemul de referinţă x Oy (pe direcţia axei barei şi perpendicular pe ea). Încărcările direct aplicate pe bară se proiectează pe aceleaşi direcţii. Starea de solicitare a barei este astfel foarte vizibilă: - Încărcările normale pe axa barei definesc comportarea barei la încovoiere (trasarea diagramelor T şi M) - Încărcările de pe direcția axei barei definesc variaţia efortului axial (diagrama N). Articulaţia dezvoltă o reacţiune de direcţie şi mărime necunoscute care se poate proiecta după oricare două direcţii din plan, în timp ce în cazul reazemului simplu direcţia reacţiunii este bine definită de suprafaţa de rezemare (perpendicular pe aceasta). În funcţie de orientarea reazemului simplu, se optează pentru un sistem de referinţă sau altul. În cazul în care se doreşte evidenţierea stării de solicitare din bară prin proiectarea încărcărilor după direcţia axei barei şi perpendicular pe aceasta, principalele situaţii care pot să apară, în funcţie de distribuţia şi orientarea încărcării sunt: Încărcarea verticală distribuită uniform pe orizontală simuleaza acţiunea zăpezii (Fig. 1.1): Se observă că forţa verticală q distribuită uniform pe proiecţia pe orizontală a lungimii barei înclinate este echivalentă cu o forţă qcos, tot verticală, distribuită uniform pe lungimea barei. Această încărcare are proiecții pe direcţia axei barei (q cos sin ) şi perpendicular pe aceasta (q cos 2 ). Cele două încărcări definesc stările de solicitare ale barei: efort axial (N) şi încovoiere (M și T). 5
6 Fig. 1.1 Încărcarea verticală distribuită pe lungimea axei barei simulează încărcarea din greutatea proprie (Fig. 1.2): Fig. 1.2 În acest caz, forţa verticală q, uniform distribuită pe lungimea barei înclinate, are componente: qsin pe direcţia axei barei care produce variaţia liniară a efortului axial, şi qcos, perpendiculară pe axa barei care defineşte comportarea barei la încovoiere. Încărcarea orizontală distribuiă pe vertical (specifică acțiunii vântului) este echivalentă cu o forţă orizontală qsin distribuită pe lungimea barei înclinate, care se proiectează în lungul axei barei cu valoarea qsin cos şi normal la axa barei cu valoarea qsin 2 (Fig. 1.3). Fig
7 1.2. Probleme rezolvate În acest capitol sunt tratate în mod special grinzile înclinate acţionate de cele mai frecvente încărcări (zăpadă, greutate proprie şi vânt), considerând pentru fiecare tip de încărcare două orientări ale reazemului simplu al grinzii. Fiecare structură a fost rezolvată prin determinarea reacţiunilor în cele două sisteme de referinţă Grinda dreaptă din figura 1.4 este legată de teren în capătul A printr-o articulaţie şi în capătul B printr-un reazem simplu cu suprafaţa de rezemare orizontală. Bara este încărcată cu o forţă verticală, uniform distribuită după proiecţia pe orizontală a lungimii barei (distribuţie care modelează încărcarea din acţiunea zăpezii). Geometria structurii este definită prin: l = x 2 + y 2 cos = x l, sin = y l a. Reacțiuni conform sistemului de referință xoy: - grinda este încărcată numai cu forțe verticale: Fig. 1.4 F x = 0 H A = 0 M A = 0 V B x qx x 2 = 0 V B = qx M B = 0 V A x qx x 2 = 0 V A = qx Încărcarea este preluată în mod egal de cele două reazeme. Determinarea eforturilor - de tip forțe - se secționează bara în secțiunea dorită și se proiectează forțele care acționează până în acel punct, după direcția perpendiculară pe bară (T) și în lungul barei (N). Pentru o secțiune oarecare i, plasată la xi de capătul A, expresiile eforturilor sunt: T i = (V A qx i ) cos α q ( x 2 x i) cos α 2 2 T i = 0 pentru x i = x 2 N i = ( V A + qx i ) sin α = q ( x 2 + x i) sin α - de tip moment încovoietor M i = V A x 2 q 2 x i 2 x M max = V A 2 q x x 2 4 = qx2 8 Fig. 1.5 Variaţiile eforturilor în lungul axei barei sunt prezentate în figura 1.5 Întrucât reazemul simplu este vertical (VB este verticală), lucrând în sistemul de referinţă xoy, se 7
8 observă că toate forţele sunt verticale. Ele se proiectează pe direcţia axei barei (N, cu sin ) şi perpendicular pe ea (T, cu cos ). b. Reacţiunile din articulaţie se calculează faţă de sistemul de referinţă x Oy (fig. 1.6) M A = 0 V B cos α l q cos 2 α l l 2 = 0 M B = 0 V A l q cos 2 α l l 2 = 0 F x = 0 H A q sinα cos α l + V B sinα = 0 V B = ql 2 cos V A = ql 2 cos2 H A = ql cos sin 2 Pentru determinarea eforturilor, în acest caz se pot descompune şi încărcările direct aplicate, după direcţia axei barei şi perpendicular pe ea (conform explicaţiilor date în paragraful 1.1, fig.1.1). Fig. 1.6 Variaţia efortului axial este dată de componenta forţei uniform distribuite dezvoltată pe direcţia axei barei. N A = H A = ql sin α cos α 2 N i = ql 2 sin α cos α + qx i sin α cos α = q ( l 2 + x i) sin α cos α Variaţia forţei tăietoare şi a momentului încovoietor este dată de componentele forţelor dezvoltate perpendicular pe direcţia barei. T A = V A = ql 2 cos2 α V A roteşte capătul A în sens orar T A > 0 8
9 T i = V A qx i cos 2 α = ql 2 cos2 α qx i cos 2 α = q ( l 2 x i) cos 2 α T i = 0 pentru x i = l 2 Momentul încovoietor variază după o parabolă simetrică de gradul II M A = M B = 0 M i = V A x i q x i2 cos 2 α = q l 2 x i cos 2 α q x i 2 2 M max = ql2 cos 2 α 8 = q x2 8 cos 2 α = q 2 (x i x i2 ) cos 2 α În cazul prezentat ambele metode sunt aplicabile, cu remarca: - Varianta a - este mai rapidă. - Varianta b - distribuţia forţelor vizualizează direct variaţia eforturilor de tip forţe Grinda înclinată, supusă acţiunii zăpezii, este rezemată simplu la capătul superior, paralel cu axa barei. a. Sistemul de referință xoy Reacţiunea din B, V B, este perpendiculară pe bară M A = 0 V Bl qx x 2 = 0 V B = qx qx cosα lcos = 2l 2 F x = 0 H A V B sin α = 0 H A = qx cos sin α 2 M B = 0 V A x qx x 2 H Ay = 0 V A = qx 2 (sin2 + 1) y=x sin cos Verificare: F = qx 2 (sin2 + 1) + qx 2 = qx ( sin2 + cos 2 α 2 Diagrama N: N A = V A sin H A cos α cosα cosα qx ) = 0 N A = qx 2 (sin2 + 1)sinα qx cos sin α cos α 2 = qx sin α N B = 0, (V B este perpendicular pe bară) N xi = V A sin α H A cos α + qx i sin α Fig
10 Diagrama T: T A = V A cos α H A sin α T A = qx 2 (sin2 + 1) cos α qx T B = V B = qx cos α 2 2 cos α sin α sin α = qx 2 cos α(sin2 α + 1 sin 2 α) = qx 2 cos α b. Sistemul de referință x O y În această situaţie pare avantajoasă determinarea reacţiunilor în sistemul de referinţă axa bareinormala pe ea, atât pentru determinarea reacţiunilor cât şi pentru calculul eforturilor: F x = 0 H A qlcosα sin = 0 H A = q l cosα sin M A = 0 V B l qcos 2 l l = 0 2 V B = ql 2 cos2 M B = 0 V A l q cos 2 l l = 0 2 V A = ql 2 cos2 Forţa uniform distribuită perpendiculară pe axa barei este preluată simetric de cele două reacţiuni normale la bară, iar componenta forţei uniform distribuite pe lungimea barei este preluată de reazemul A. Fig. 1.8 Încărcarea perpendiculară pe bară este simetrică cele 2 reacțiuni perpendiculare pe bară vor fi egale. Eforturi: Diagrama N: N A =-H' A =-qlcosα sin α N B =0 N i =-H' A +qx i cosα sin α 10
11 Diagrama T: T A = V A = ql 2 cos2, V A acţionează perpendicular pe bară, rotește în sens orar T xi = V A qx i cos α = ql 2 cos2 qx i cos 2 = q ( l 2 x i) cos 2 Anularea forţei tăietoare se produce la distanţa x i faţă de capătul A: qlcos 2 α qx 2 icos 2 α = 0 x i = l 2 Diagrama M: l M max = T xi = V A 2 qcos2 l l 2 4 = ql2 cos 2 4 ql2 cos 2 8 = ql2 cos 2 8 = qx2 8 Cele două structuri încărcate identic (1.2.1 şi 1.2.2) au o comportare identică la încovoiere (diagramele T şi M sunt identice); orientarea diferită a reazemului simplu afectează numai preluarea efortului axial (diagrama N) Încărcarea din greutatea proprie este modelată în codurile de proiectare ca o forță verticală uniform distribuită pe toată lungimea barei (Fig.1.9). a. În S.R. xoy (Fig. 1.9) Forțele direct aplicate sunt verticale. F x = 0 H A = 0 M A = 0 V B x ql x 2 = 0 M B = 0 V A x ql x 2 = 0 V B = q l 2 V A = q l 2 Încărcarea verticală descarcă egal în cele doua reazeme. Efortul axial: N A = V A sin α = ql 2 sin α N B = V B sin α = ql 2 sin α Forţa tăietoare: T A = V A cos α = ql qx cos α = 2 2 T B = V B cos α = ql qx cos α = 2 2 T(x i ) = V A cos α qx i = qx 2 qx i 2cosα x i = x i cosα Momentul încovoietor : x M(x i ) i = V A x i qx i 2 = q x 2 x i q x i 2cosα x i 2 Fig
12 x i = l 2 x M max = V A 2 q l 2 x 4 = qlx 4 qlx 8 = ql2 8 cosα b. În S.R. x O y (Fig. 1.10) - încărcare numai din forțe verticale M A = 0 V B cos α l ql cos α l = 0 V 2 B = ql 2 F x = 0 H A ql sin α + V B sin α = 0 H A = ql sin α 2 M B = 0 V A l ql cos α l = 0 V 2 A = ql cos α 2 Forțele H A, V B sin α, ql sin α au același suport axa barei nu dau momente față de punctele de rezemare ale grinzii. Calculul eforturilor Fig Efortul axial are o variaţie liniară produsă de componenta forţei uniform distribuite proiectată pe axa barei. N A = H A = ql 2 sin α N B = V B sin α = ql 2 sin α Forţa tăietoare are o variaţie liniară, antisimetrică, produsă de componenta perpendiculară pe axa barei a forţei uniform distribuite. 12
13 T A = V A = ql 2 cos α T B = V B cos α = ql 2 cos α T(x' i )=V' A -q cos αx ' i= ql 2 cos α -qx' i cos α T(x ' i)=q ( l 2 -x' i) cos α variația forței taietoare este liniară T=0 pentru x ' i= l 2 T B =-V B cos =- q l 2 cos α (V Bcos roteşte capătul B în sens antiorar) Momentul încovoietor variază după o parabolă de gradul II, simetrică. M A = M B = 0 Momentul maxim se obține pentru: x i = l 2 M max = ql2 cos α Pentru aceeaşi încărcare, se consideră cazul în care reazemul simplu este perpendicular pe direcţia axei barei. a. Sistemul de referință xoy (Fig. 1.11) Sistemul de forţe: Pe direcția Ox: H, V A ' B sin Pe direcția Oy: V, q, V' cos F x = 0 A B H A V B sin α = 0 H A = qx 2 sin α M A = 0 V B l ql x 2 = 0 M B = 0 V A x ql x 2 H A y = 0 V A x = qx2 2cosα + qx 2 V A = Verificare: qx 2 cos α (1 + sin2 α) V B = qx 2 sin α x sin α cos α F y = qx qx cos α cos α (1 + sin2 α) q x cosα = = qx 2 (cosα + 1 cosα + sin2 α cosα 2 cosα ) = qx 2 cos α (cos2 α + sin 2 α + 1 2) = 0 Trasarea diagramelor de eforturi Diagrama N: N A = V A sin α H A cos α Fig
14 N A = qx 2 cos α (1 + sin2 α) sin α qx sin α cos α = ql sin α 2 N B = 0 Reazemul simplu din B permite translaţia pe direcţia axei barei Efortul axial are o variaţie liniară între A şi B. Diagrama T: T A = V A cos α H A sin α T A = ql 2 cos α(sin2 α + 1) qx 2 sin2 α = qx 2 (Roteşte în sens orar) T B = V B = qx 2 (Roteşte în sens anti orar) Diagrama de forţă tăietoare este liniară şi antisimetrică. Diagrama de moment încovoietor este o parabolă simetrică de ordinul II cu ordonata maximă: x M max = V A 2 H y A 2 qx x 2cosα 4 = qx2 2 cos α (2sin2 α sin 2 α) = ql2 8 cosα b. Sistemul de referință x O y (Fig. 1.12) Forţe perpendiculare pe bară: V A, V B, q cos α Forţe paralele cu bara: H A, q sin α F x = 0 H A = ql sin α M A = 0 V B l ql cos α l 2 = 0 V B = ql 2 cos α M B = 0 V A l ql cos α l 2 = 0 V A = ql 2 cos α Trasarea diagramelor de eforturi Pentru determinarea diagramei de efort axial N se însumează algebric proiecţiile forţelor pe direcţia axei barei, ţinând cont de sensul acestora: N A = H A = ql sin α N B = 0, variație liniară Diagrama T: T A = V A = ql 2 cos α Fig T B = V B = ql 2 cos α Diagrama M: l M max = V A 2 ql 2 cos α l 4 = ql2 4 ql2 ql2 cos α cos α = 8 8 cos α 14
15 Determinarea reacţiunilor în sistemul de referinţă xoy pentru acest caz de încărcare şi de rezemare, necesită un volum mai mare de calcule, iar probabilitatea de a greşi este mai mare. Utilizarea sistemului de referinţă x Oy conduce, în acest caz, mai rapid la calculul reacţiunilor, iar determinarea eforturilor este vizibilă, fără a necesita proiecţii ale încărcărilor (acestea fiind proiectate anterior în sistemul de referinţă ales). Orientarea reazemului simplu afectează doar variaţia efortului axial. Comportarea la încovoiere depinde numai de încărcarea direct aplicată pe bară Se consideră cazul încărcării unei grinzi înclinate cu presiunea din acţiunea vântului. Reazemul simplu este vertical. a. Sistemul de referință x0y (Fig. 1.13) F x = 0 H A + ql sin α = 0 H A = ql sin α M A = 0 xv B + ql l 2 = 0 V B = ql 2 cos α M B = 0 xv A + yh A ql l 2 = 0 x V A = ql l 2 ql2 sin 2 α = ql 2 ( 1 2 sin2 α) Verificare: F x = V A + V B ql cos α = ql 2 cos α (cos2 α sin 2 α) V A = ql 2 cos α (1+cos2 α-sin 2 α)-ql cos α= 2ql cos2 α - ql cos α=0 2 cos α Eforturi: ql sin α N A = V A sin α + H A cosα = 2 cos α (cos2 α sin 2 α) ql sin α + ql sin α cos α = 2 cos α ( cos2 α + sin 2 α + 2cos 2 α) = ql 2 tgα N B = V B sin α = ql sin α 2 cos α = ql 2 tgα Fig Observație: bara nu este încărcată cu forțe distribuite pe direcția axei sale efortul axial este constant. Diagrama T: Forţa uniform distribuită acţionează perpendicular pe bară, prin urmare produce variaţia liniară a forţei tăietoare. T A = V A cos α + H A sin α = = ql 2 (cos2 α sin 2 α + 2sin 2 α) = ql 2 T B = V B cos α = ql 2 ql 2 cos α (cos2 α sin 2 α) cos α + ql cos α sin α 15
16 T x = T A q x i = ql 2 q x i cos α = q cos α (x 2 x i) Diagrama M: parabolă de gradul II x M max = V A 2 + H y A 2 ql2 2 = ql 2 cos α (cos2 α sin 2 α) l cos α 2 b. Sistemul de referință x O y (Fig. 1.14) Forţe proiectate pe axa Ox : H A, V sin Forţe proiectate pe axa Oy : V A, V M A = 0 V B x ql l = 0 2 V B = ql 2 cos α F x = 0 H A + V B sin α = 0 H A = V B sin α = ql 2 tgα B B cos, q + ql sin α l sin α 2 M B = 0 V A l ql l = 0 2 V A = ql 2 Trasarea diagramelor de eforturi: Diagrama N: ql N A H ' A tg 2 ql NB VB sin tg 2 Diagrama T: ql TA V' A 2 ql TB VB cos Fig ql Pentru aceeaşi încărcare, se consideră reazemul simplu dispus normal pe bară. Având în vedere dispunerea forţelor şi direcţia reacţiunii din capătul B, determinarea reacţiunilor din A în sistemul de referinţă xoy este practic inutilă. Structura este o grindă simplu rezemată de lungime l, încărcată cu o forţă uniform distribuită pe toată lungimea ei. a. În sistemul de referinţă xoy (Fig. 1.15) M A = 0 V B l q l l 2 = 0 V B = q l 2 F X = 0 H A + q l sin α V B sin α = 0 H A = q l q l sin α + q l sin α = 2 2 sin α M B = 0 V A x + H A y q l l 2 = 0 16
17 V A = ( q l2 2 q l 2 sin α l sin α) 1 x = q l2 2 (1 1 sin2 α) l cos α Trasarea diagramelor de eforturi N A = V A sin α + H A cos α = q l 2 q l sin α cos α + sin α cos α = 0 2 Reazemul simplu din B este orientat perpendicular pe bară, încărcarea este perpendiculară pe bară si rezultă că efortul axial in bară este nul. T A = V A cos α + H A sin α = ql 2 cos2 α + ql 2 sin2 α = ql 2 T B = V B = ql 2 Diagrama de forţă tăietoare este antisimetrică. Diagrama de moment încovoietor este simetrică. Fig b. În sistemul de referinţă x O y (Fig. 1.16) F x = 0 H A = 0 M A = 0 V Bl q l l 2 = 0 V B = ql 2 = V A Încărcarea fiind simetrică si perpendiculară pe bară, rezultă două reacțiuni egale si perpendiculare pe bară N=0 T A = V A = ql 2 T B = V B = ql 2 Fig Grinda din fig este încărcată cu o forţă concentrată verticală, aplicată la mijlocul grinzii, iar reazemul simplu este vertical. Întrucât forţa concentrată şi reacţiunea din B sunt verticale, se optează pentru determinarea reacţiunilor în sistemul de referinţă xoy, respectiv proiectarea reacţiunii din A pe direcţiile verticală 17
18 N B = V B sin α = P 2 sin α Fig şi orizontală. Se observă astfel că forţa verticală va fi preluată simetric de cele două reazeme prin reacţiunile verticale VA şi VB, iar în articulaţie reacţiunea nu are proiecţie pe orizontală. F x = 0 H A = 0 M A = 0 M B = 0 V B x Px 2 = 0 V B = P 2 V A x Px 2 = 0 V A = P 2 Trasarea diagramelor de eforturi: Efortul axial este constant până în punctul de aplicaţie al forţei concentrate, unde se produce un salt egal cu proiecţia forţei P, pe direcţia axei barei (Psin 0), după care efortul axial rămâne constant până în capătul B al barei unde diagrama se închide cu valoarea V B sinα. N A = V A sin α = P sin α 2 Forţa tăietoare este constantă până în punctul de aplicaţie al forţei concentrate, unde se înregistrează un salt egal cu proiecţia pe direcţia perpendiculară pe axa barei a forţei concentrate, în sensul acesteia (Pcos 0). Din acest punct, până în capătul B, pe bară nu mai acţionează nici o forţă, deci forţa tăietoare este constantă, iar diagrama se închide în B cu valoarea V B cosα. T A = V A cos α = P cos α 2 T B = V B cos α = P cos α 2 Diagrama de moment încovoietor este liniară pe cele două intervale generate de punctul de aplicaţie al forţei concentrate, înregistrând un vârf în acest punct în sensul de acţiune al forţei. M A I = V A x i = P 2 x i întinde fibra de jos M I B = V A x i P (x i x ) = V 2 B (x x i ) întinde fibra de jos (Am notat cu I punctul de aplicaţie al forţei concentrate) Aceeaşi încărcare este aplicată pe grinda din fig rezemată simplu în B perpendicular pe bară. Întrucât reazemul simplu este orientat perpendicular pe bară, este avantajoasă alegerea sistemului de referinţă x Oy. F x = 0 H A = P sin α Componenta perpendiculară pe bară a forţei concentrate P, descarcă simetric în cele două reazeme perpendiculare pe bară. 18
19 V A = V b = P cos α 2 Forţele pe direcţia axei barei: H A, P sin α, dau variația efortului axial N: N A = H A = P sin α = N 1 st N 1 dr = N 1 st P sin α = 0 N B = 0 T A = V A = P 2 cos α = T 1 st T dr 1 =T st 1 -P cos α= - P 2 cos α= T 1-B=T B M 1 = P 2 cos α l 2 = Pl cos α 4 l cos α = x M 1 = P 2 cos α l 2 = Pl cos α 4 } M 1 = Px 4 lcos α = x Fig
20 1.3. Probleme propuse Pentru grinda din figură care dintre diagramele de efort axial este cea corectă? a) b) c) d) e) Pentru grinda din figură care dintre diagramele de forță tăietoare este cea corectă? a) b) c) 20
21 d) e) Pentru grinda din figură care dintre diagramele de moment încovoietor este cea corectă? a) b) c) d) e) Să se identifice diagrama de forță tăietoare T corectă pentru structura din figura de mai jos. 21 a)
22 b) c) d) e) 22
23 Să se identifice diagrama corectă de moment încovoietor M pentru structura din figura de mai jos. a) b) c) d) e) 23
24 Să se identifice diagrama corectă de efort axial N pentru structura din figura de mai jos. a) b) c) d) e) 24
25 Care este diagrama corectă de moment încovoietor M pentru urmatoarea grindă? a) b) c) d) e) 25
26 Care este diagrama corectă de forță tăietoare T pentru grinda din figura de mai jos? a) b) c) d) e) 26
27 Care este diagrama corectă de efort axial N, pentru grinda din figura de mai jos? Ma ma a) b) c) d) e) 27
28 Capitolul 2: Grinzi cu console şi articulaţii (grinzi Gerber) 2.1. Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare. Grinzile cu console şi articulaţii sunt structuri static determinate alcătuite din bare drepte conectate între ele prin articulaţii. Legăturile simple cu terenul sunt dispuse astfel încât unul dintre reazeme să fie fix (articulaţie sau încastrare), iar celelalte mobile (reazeme simple). Dacă forţele direct aplicate pe structură au proiecții pe direcţia axei barei, acestea sunt preluate de reazemul fix. În funcţie de modul de dispunere a legăturilor simple cu terenul, în cadrul acestor ansambluri se disting două categorii de grinzi: Grinzile Principale (G.P.) sunt cele care au asigurată invariabilitatea geometrică și fixarea față de teren, altfel spus, sunt grinzi static determinate (simplu rezemate, cu sau fără console sau grinzi încastrate la un capăt). Grinzile Secundare (G.S.) sunt cele care nu au suficiente legături cu terenul (cel mult una) şi descarcă pe grinzile principale în punctele de contact. În funcţie de dispunerea articulaţiilor intermediare şi a reazemelor cu terenul, se disting două configuraţii prezentate în figura 2.1, alături de schemele de descărcare specifice fiecăreia: a) Grinzile secundare alternează cu cele principale (fig. 2.1, a şi b) b) Grinda principală se află la un capăt (fig. 2.1, c şi d) Rezolvarea grinzilor Gerber (determinarea reacţiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi) se poate face fie pe structura în ansamblu, fie prin descompunerea acesteia în grinzi secundare şi principale. În general se optează pentru a doua variantă. În acest caz, principalele etape parcurse pentru determinarea diagramelor de eforturi pe o grindă Gerber sunt: Se detectează tipul grinzilor (GP, GS) după numărul legăturilor cu terenul existente pe fiecare. Se desprind din structură grinzile secundare (care au unul sau nici un reazem cu terenul) şi se calculează reacţiunile, produse de încărcările direct aplicate. Se izolează grinzile principale şi se încarcă cu forţele direct aplicate pe ele şi cu reacţiunile din grinzile secundare în punctele de contact, luate ca acţiuni (egale şi de sens contrar). Din această încărcare se determină reacţiunile grinzilor principale. Diagramele de eforturi se pot tranșa fie pe structura în ansamblu, fie pe fiecare grindă în parte, urmând apoi asamblarea diagramelor parţiale. În cazul în care grinda principală se află la un capăt (Fig.2.1, c şi d), reacţiunile se pot calcula uşor fără descompunerea ansamblului în grinzi componente, scriind succesiv ecuaţii de moment nul faţă de articulaţiile intermediare, pornind de la cea mai îndepărtată grindă de cea principală. Astfel, în fiecare ecuaţie va interveni o singură necunoscută. 28
29 a) b) c) d) Fig
30 În ceea ce priveşte trasarea diagramelor de eforturi sunt necesare următoarele precizări: Articulaţia intermediară transmite forţa tăietoare şi efortul axial şi anulează momentul încovoietor, fără să modifice legile de variaţie ale eforturilor. Forţele concentrate verticale aplicate în articulaţiile intermediare sunt preluate de grinda principală sau de grinda secundară cea mai apropiată de cea principală. Ele produc: - În diagrama de forţă tăietoare - salturi în sensul de aplicare, egale cu valoarea acestora. - În diagrama de moment încovoietor - schimarea pantei, în sensul de aplicare al forţei (în articulaţie momentul rămâne nul). Aplicarea unui moment concentrat de o parte a unei articulaţii intermediare produce în diagrama de moment încovoietor un salt egal cu valoarea momentului concentrat, pe fibra întinsă. De cealaltă parte a articulaţiei momentul este egal cu zero Exemplu de calcul Grinda Gerber din figura 2.2 va fi rezolvată prin descompunere în grinzile componente. Structura se încadrează în categoria a) prezentată mai sus, fiind alcătuită din grinda principală A-1, grinda secundară 1-2 şi grinda principală 2-C-D. Grinda secundară 1-2: - încărcări verticale: P sin 34,64kN, V1, V2 - încărcări orizontale: P cos 20kN, H1 Componenta orizontală a forţei înclinate se transmite prin articulaţia intermediară 1 (H1) şi este preluată de reazemul fix A. Încărcarea verticală este simetrică descarcă simetric în cele două reazeme: P cos V1 V2 17, 32kN 2 H P sin 20kN 1 Grinda principală A-1: F X = 0 H A = H 1 = 20 kn M A = 0 17, V B 5 = 0 V B = 44,78 kn M B = 0 17, V B 5 = 0 V A = 7,46 kn Verificare: F y =17,32-44, ,46=0 Grinda principală 2-C-D: M C = 0 17, V D = 0 V D = 40,84 kn M D = 0 17, V C = 0 V D = 54,48 kn Verificare: F y = 40, , ,32 = 0 30
31 Fig. 2.2 Trasarea diagramei de forţă tăietoare Între A şi B, bara nu este încărcată forţa tăietoare este constantă şi egală cu valoarea reacţiunii verticale din A, T A 0 (V A =7,46 kn, roteşte în sens antiorar). În dreptul forţelor concentrate (direct aplicate şi reacţiuni din reazemele cu terenul) se produc salturi în sensul şi egale cu valoarea acestora. Pe intervalele 2-C şi C-D, forţa tăietoare variază liniar, iar dreptele aferente celor două intervale sunt paralele, întrucât încărcarea are aceeaşi valoare pe ambele porţiuni. În articulaţia intermediară 2 forţa tăietoare are aceeaşi valoare la stânga şi la dreapta ei, respectiv forţele tăietoare în capătul 2, pe cele două grinzi (secundară şi principală), au aceeaşi valoare. T A = V A = 7,46kN = T A 1 = T B st T B dr = T B st + V B = 37,32 kn = T B 1 = T 1 st T 1 dr = T 1 st 20 = 17,32 kn = T 1 3 = T 3 st T 3 dr = T 3 st 40 sin α = 17,32 kn = T 3 2 = T 2 31
32 T C st = T = 17, = 33,32 kn T C dr = T C st + V C = 33, ,48 = 21,16 kn Pe intervalul C-D, forţa tăietoare schimbă semnul; se anulează la distanţa xmax faţă de reazemul C, egală cu raportul dintre forţa tăietoare din capătul faţă de care se calculează distanţa şi valoarea forţei uniform distribuite care acţionează pe acel interval. x max = T C dr q = 21,16 = 2,645 m 8 T st D = T dr C 8 4 = 21, = 10,84 kn T dr D = T st D + V D = 10, ,84 = 30 kn Trasarea diagramei de moment încovoietor M B = 7,46 5 = 37,30 knm M 1 = 0 M 2 = 0 M I = 17,32 3 = 51,96 knm pe grinda secundară M C = 17, = 50,64 knm pe grinda principală M D = 30 1 = 30 knm pe grinda principală Pe intervalul C-D momentul încovoietor înregistrează un punct de extrem, iar valoarea acestuia se poate calcula în modul următor: Pentru bara C-D, forţa tăietoare pe capătul C este T dr C = 21,16kN, iar momentul încovoietor în C este M C = 50,64kNm. Parcurgând bara de la C spre D, la distanţa x max = 2,645 m de C, momentul încovoietor va avea valoarea: M C D max = T dr x max C x max qx max 2 M C = 21,16 2, ,645 2,645 50,64 = 22,66kNm 2 32
33 2.3. Probleme propuse Să se identifice diagrama corectă de moment încovoietor M pentru structura din figură. a) b c) d) e) 33
34 Să se identifice diagrama corectă de forță tăietoare T pentru structura din figură. a) b) c) d) e) 34
35 Să se identifice diagrama corectă de efort axial N pentru structura din figură. a) b) c) d) e) 35
36 Care este diagrama corectă de forță tăietoare T pentru următoarea grindă Gerber? a) b) c) d) e) 36
37 Care este diagrama corectă de moment încovoietor M pentru următoarea grindă Gerber? a) b) c) d) e) 37
38 Să se identifice diagrama de forță tăietoare corectă pentru structura din figură. a) b) c) d) e) 38
39 Să se identifice diagrama de moment încovoietor corectă pentru structura din figură. a) b) c) d) e) 39
40 Pentru grinda din figură care dintre diagramele de forță tăietoare este cea corectă? a) b) c) d) e) 40
41 Pentru grinda din figură care dintre diagramele de moment încovoietor este cea corectă? a) b) c) d) e) 41
42 Să se identifice momentul încovoietor maxim Mmax pentru structura din figură. a) 10,00 KNm b) 5,00 KNm c) -5,00 KNm d) 30,00 KNm e) 51,96 KNm 42
43 Capitolul 3: Cadre static determinate 3.1. Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare. Cadrele sunt structuri alcătuite din bare drepte (sau din bare drepte și curbe) conectate în noduri rigide sau rigide şi articulate. Aceste structuri sunt solicitate predominant la încovoiere. Nodul rigid - are trei grade de libertate: 2 translaţii după 2 direcţii din plan şi o rotire; - deplasările tuturor capetelor de bare concurente într-un nod rigid sunt egale; - tangentele duse în nod la axele deformate ale barelor formează între ele aceleaşi unghiuri cu cele pe care le fac barele în poziţia iniţială, nedeformată. Nodul rigid se deplasează ca un corp rigid, fără a permite rotiri relative între capetele barelor concurente în el. Nodul articulat - are două grade de libertate: translaţii după cele 2 direcţii din plan; - barele se pot roti liber în nod. Nodul articulat nu transmite moment încovoietor şi permite rotirea relativă a capetelor barelor conectate. Reacţiunile dezvoltate în structurile de rezemare ale cadrelor plane se determină din ecuaţii de echilibru, în funcţie de tipul structurii: - Cadre simplu rezemate: două ecuaţii de sumă de moment nul faţă de cele două reazeme cu terenul şi o ecuaţie de sumă de forţe egală cu zero după o direcţie din plan. Verificarea corectitudinii calculului se face scriind sumă de forţe după altă direcţie din plan. Dacă rezultatul sumei este zero, valorile reacţiunilor calculate, pentru încărcările considerate sunt corecte. - Cadre cu trei articulaţii: două ecuaţii de echilibru global al structurii faţă de cele două reazeme cu terenul şi două ecuaţii de sumă de moment nul faţă de articulaţia intermediară de o parte şi de alta a acesteia. Verificarea corectitudinii calculului se face scriind sumă de forţe după două direcţii distincte din plan. Dacă rezultatul sumelor este zero, valorile reacţiunilor calculate, pentru încărcările considerate sunt corecte. Vom prezenta două metode de trasare a diagramelor de eforturi: A. Diagramele de eforturi se trasează prin parcurgerea structurii într-un sens stabilit în prealabil, urmărind, pe fiecare interval, încărcarea exterioară şi direcţia barelor. Eforturile în secţiunile caracteristice (puncte care marchează modificarea încărcării, schimbarea direcţiei axei barelor, ş.a.) se calculează cu metoda secţiunilor. Diagrama de moment încovoietor se trasează în concordanţă cu diagrama de forţă tăietoare. B. O altă metodă de trasare a diagramelor de eforturi pe cadre constă în descompunerea cadrului în părţile sale componente: BARE şi NODURI. Se calculează valoarea momentului încovoietor la capetele barelor. Se izolează barele din structură (Fig.3.1.) şi se încarcă cu efectul părţilor înlăturate: forţele tăietoare şi momentele încovoietoare de la capete. Altfel spus, fiecare bară a cadrului se consideră simplu rezemată şi se încarcă cu forţele direct aplicate pe ea şi cu momentele încovoietoare de la capete (valori calculate anterior). Pentru fiecare bară se trasează diagrama de forţă tăietoare şi de moment încovoietor. Eforturile axiale în barele cadrului se determină izolând nodurile cadrului prin secţionarea capetelor barelor concurente în nodul respectiv şi încărcarea acestuia cu forţele exterioare direct aplicate şi cu efectul barelor secţionate: forţele tăietoare de la capetele barelor 43
44 (determinate în prealabil) şi cu eforturile axiale - necunoscute. Pentru fiecare nod se scriu ecuaţii de echilibru exprimate prin sumă de forţe egale cu zero după două direcţii din plan. Eforturile axiale din barele structurii se determină din condiţia de echilibru a nodurilor după izolarea prealabilă a acestora. Fig. 3.1 De la caz la caz, se abordează una dintre cele două variante, cealaltă putând fi folosită ca verificare. 44
45 3.2. Exemple de calcul Structura din figura 3.2 este un cadru simplu rezemat. Fig. 3.2 Calculul reacţiunilor F x = H A 20 = 0 H A = 40 kn M A = 0 8V B = 0 V B = 33,75 kn M B = 0 8V A + H A = 0 V A = 3,75 kn Verificare: F y = 33,75 3,75 30 = 0 În ecuațiile de echilibru contează doar sensul relativ al momentelor date de forțe. Semnul + sau se utilizează doar pentru a exprima acest lucru, sensul de referință + se alege arbitrar. Diagramele de eforturi (Fig.3.2.) Moment: - pe consolă capăt liber: M 1C = ,5 = 5 knm (fibra întinsă este cea exterioară) M 1A = ,5 = 75 knm M 12 = = 80 knm - se verifică echilibrul nodului 1 ținând cont de sensurile de rotire ale momentelor calculate pe capetele barelor. M 21 = M 2a = 3, = 61,25 knm (considerând forţele din stânga ), sau M 21 = M 2a = 33, = 61,25 knm (considerând forţele din dreapta) Acțiunea forței concentrate în nodul 2 nu afectează valoarea momentului încovoietor la capetele barelor. Pentru calculul momentului încovoietor într-o secțiune se ține cont numai de fibra întinsă de către fiecare forță, indiferent de corpul pe care se lucrează. Punctul în care se determină momentul încovoietor se consideră fix. M ab = 33,75 1,5 = 50,625 knm Pe barele neîncărcate cu forțe se poate trasa diagrama de moment încovoietor unind cu segmente de dreaptă valorile calculate la capetele acestora. Diagrama M se trasează pe fibra întinsă. Trasarea diagramelor M pe barele încărcate cu forță uniform distribuită necesită cunoașterea diagramei de forță tăietoare, nefiind suficiente două valori pentru trasarea unei parabole de gradul II. Pe consola C-1 TC=0 diagrama de moment încovoietor va fi tangentă la axa barei în acest punct. M max A 1 = = 80 knm (față de A) max = , = 80 knm (față de 1) M A 1 45
46 4 sin 0,8 5 3 cos 0,6 5 Fig. 3.3 T ,25 T 12 = T 21 = T 1 2 = = 3,75kN 5 Forța tăietoare acționează pe capetele barei ca un cuplu de forțe care anulează valoarea momentelor concentrate pe capetele barelor. - Valoarea forței tăietoare = suma algebrică a momentelor de pe capete (în funcție de sensul acestora) împărțită la lungimea barei (Fig. 3.4). - Semnul este desemnat de sensul de rotire din condiția de anulare a momentului (rezultant) de pe capetele barei. Pentru bara încărcată cu o forță concentrată se procedează astfel: - Fie se determină valoarea forței tăietoare pe cele două intervale liniare ale momentului delimitate de forța concentrată; - Fie se izolează bara 1-B și se încarcă cu componenta forței concentrate perpendiculară pe bară aplicată la mijlocul acesteia și cu momentul din capătul 2. 46
47 Verificare: TB V B cos 20, 25kN Fig. 3.4 Echilibrul nodurilor: Forţele tăietoare de la capetele barelor se trec în funcţie de semnul lor: +(Tik 0) rotește nodul în sens orar -(Tik 0) rotește nodul în sens antiorar Nodul 1 F x = N = 0 N 12 = 20kN F y = 0 N 1A + 3,75 = 0 N 12 = 3,75kN = V A Nodul 2 F x = N = 0 N 12 = 20kN F y = 0 N 1A + 3,75 = 0 N 12 = 3,75kN = V A 47
48 Cadrul cu trei articulaţii din figura 3.5.are articulaţiile cu terenul dispuse la acelaşi nivel. Fig. 3.5 Determinarea reacţiunilor Ecuațiile de echilibru global fața de reazemele cu terenul. Reazemele fiind la același nivel, suportul reacțiunilor orizontale trece prin ele, rezultă că HA și HB nu dau momente în raport cu B și A { M A = 0 10 V B , = 0 M B = 0 10 V A , = 0 {V B = 61 kn V A = 29 kn Verificare: F y = = 0 Ecuațiile de moment nul față de articulația intermediară la stânga si la dreapta acesteia (echilibrul fiecărei părți) { M C st = H A ,5 = 0 M C dr = H B 30 7 = 0 Verificare: F x = 25 9,17 15,83 = 0 { H A = 9,17 kn H B = 15,83 kn Calculul momentelor incovoietoare la capetele barelor M A1 = 0 articulație M 1A = H A 4 = 36,68 knm întinde fibra din interior aceeași valoare M 1A = M 1C secțiuni infinit vecine { aceeași fibră întinsă nodul 1 este rigid forța concentrată nu are braț M C = 0 M 2C = 15, = 154,98 knm M 2a = 30 2 = 60 knm M 2B = 15,38 6 = 94,98 knm Se verifică echilibrul nodului 2 la moment încovoietor ţinâmd cont de sensul de rotire al momentelor încovoietoare de la capetele barelor. M 2i = 0 2-C neîncărcată M-liniar 2-a neîncărcată M-liniar 2-B neîncărcată M-liniar 48
49 Trasarea diagramelor T şi M pe bara 1-C(Fig.3.6.): Fig Se izolează bara 1-C prin secționarea ei după nodul 1 și înainte de nodul C (Fig. 3.6), se consideră simplu rezemată şi încărcată cu forţele exterioare direct aplicate şi cu momentul de la capătul 1. - Componenta forței uniform distribuite perpendiculară pe bară = 12 cos 2 α = 10,345 kn/m (vezi 1.1. fig.1.1) descarcă simetric în cele două reazeme prin două reacțiuni egale cu 10,345 5,385 = 27,85 kn 2 Momentul M 1C descarcă printr-un cuplu de forte de valoare: 36,68 5,385 =6,81kN 49
50 Pe barele încărcate doar cu moment concentrat pe capăt, forța tăietoare acționeaza sub forma unui cuplu de forțe care anulează momentul concentrat deschide diagrama de moment (M),de valoare: val = M l Trasarea diagramei de efort axial Echilibrul nodului 1 sin α = 0,3714 cos α = 0,9285 F x = 0 21,044 sin α + N 1C cos α 9, = 0 N 1C = 25,45 kn F y = 0 N 1A 21,044 cos α + 25,47 sin α = 0 N 1A = 29 kn Pe bara 1-C, distribuția forței uniforme produce o variație liniară a efortului axial Din acest motiv se impune izolarea nodului C pentru calculul valorii N C1 F y = 0 N C1 sin α 34,664 cos α + 31 = 0 N C1 = 3,19 kn F x = 0 34,664 sin α + N C2 + 3,19 cos α = 0 N C2 = 15,83 kn Verificare: Se scrie echilibrul barei exprimat prin suma forțelor pe direcția axei barei: N C1 + N 1C 4,138 5,385 = 0 N C1 = 25,47 + 4,138 5,385 = 3,19 kn Echilibrul nodului 2: F x = 0 N 2C = 15,83 kn F y = 0 N 2B = = 61 kn Verificare: N 2B = V B = 61 kn N 1A = V A = 29 kn N 2C = N C2 = H B = 15,83 kn Pe consolă nu acționează nici o forța pe direcția axei barei N=0 50
51 Structura din figura 3.7. este un cadru cu trei articulaţii cu reazemele decalate. Se propune, pentru rezolvare prima metodă prezentată, cea clasică. Determinarea reacțiunilor: Întrucât reazemele nu sunt la acelaşi nivel, în fiecare ecuaţie vor interveni câte două necunoscute. Se obţin două sisteme de două ecuaţii cu două necunoscute fiecare: reacţiunile din cele două reazeme. Astfel, combinând ecuaţiile de echilibru global cu cele de moment nul faţă de articulaţia intermediară, se obţine: { M A = 0 11 V B 1 H B = 0 M C dr = 0 4 V B 5 H B = 0 { 11 V B-H B =750 4 V B -5 H B =160 {V B=70,39 kn H B =24,31 kn şi { M B = 0 11 V A + 1 H A = 0 M st C = 0 7 V A 4 H A 30 6 = 0 { 11 V A + H A = V A 4 H B = 180 {V A = 39,61 kn H A = 24,31 kn Verificare: F y = 70, , = 0 F x = 24,31 24,31 = 0 Fig. 3.7 Trasarea diagramelor de eforturi (Fig.3.8): Eforturile tip forță se calculeaza prin proiecția forțelor pe direcția axei barei si perpendiculară pe ea. Efortul axial N A1 = 39,61 sin α 24,31 cos α = 46,27 kn A 1 neîncărcată N 1A = N A1 = 46,27 kn a 1 nu sunt forțe pe direcția axei barei(orizontale) N a 1 = 0 kn Bara 1-C orizontală şi neîncărcată N 1C = H A = 24,31 kn = N 1 C = N C1 = N C 2 = N 2C sin α = 4 5 = 0,8 cos α = 3 5 = 0,6 Forţa tăietoare Conform schemei de proiecţie a forţelor în punctul A, T A = V A cos α H A sin α = 39,61 cos α 24,31 sin α = 4,318 kn. 51
52 Pe consola orizontalădin nodul 1: T a = 30 kn = T a 1 (neîncărcată între a şi 1) T 1C = 39,31 30 = 9,61 kn = T C1 T 2C = T C = 9,61 60 = 50,39 kn Pe bara C-2, forța tăietoare schimbă semnul T x = T C 15 x = 0 x = T C 15 = 9,61 = 0,64 m față de articulația C 15 T b = 20 kn = T b 3 = T 3b Eliminând corpul din dreapta, singura forță perpendiculară pe bara 2-B este HB, care rotește în sens orar. Fig. 3.8 T 23 = T 3B = H B = 34,31 kn Efectul consolei asupra stâlpului:! Consola (forța concentrată P) nu afectează diagrama T pe stâlp! Forţa concentrată de pe consolă se reduce la faţa stâlpului la o forţă concentrată P=20 kn şi un moment încovoietor M=40 knm care întinde fibra din interior a secţiunii stâlpului. Diagrama de moment încovoietor M 1A = V A 3 H A 4 = 21,59 knm M a1 = 30 2 = 60 knm M 1C = V A 3 H A = 38,41 knm Se verifică echilibrul nodului 1 la moment încovoietor. M C = 0 ; M 2C = V A 11 H A = 81,55 knm = M 23 52
53 Pe intervalul C-2: Momentul încovoietor are un punct de extrem, la distanţa x = 0,64 m faţă de articulaţia C M max = T C x 15 x2 0,642 = 9,61 0,64 15 = 3,08 knm 2 2 În C, parabola este tangentă la variația liniară a momentului de pe intervalul 1-C M 3B = H B 3 = 72,43 knm M 3c = 20 2 = 40 knm M 32 = H B = 32,43 knm Se verifică echilibrul nodului 3: Valorile forţei tăietoare se pot verifica urmărind diagrama de moment încovoietor. Astfel, baraa-1 este neîncărcată şi valoarea momentului încovoietor din capătul 1 este 21,59kNm T A-1 = 21,59 5 } T 1A =4,318 kn, egală cu valoarea determinată prin deschide diagrama M în sens orar proiecţii ale forţelor pe normala la axa barei înclinate. Bara 1-C T 1-C = 38,41 =9,61 kn (deschide diagrama M1-C în sens orar) 4 Bara 2-3 T 2-3 = 81,55-32,93 =24,31 kn (deschide diagrama M2-3 în sens orar) 2 Bara 3-B T 2-3 = 72,93 =24,31 kn (deschide diagrama M3-B în sens orar) 3 M2-3 şi M3-B sunt paralele, forţa tăietoare este constantă Se verifică echilibrul nodului 1 după izolarea prealabilă a acestuia, prin scrierea ecuaţiilor de sumă de forţe egale cu zero după cele două direcţii perpendiculare din plan. F x = 46,27 cos α 4,318 sin α 24,31 = 0 F y = 30 9,61 + 4,318 cos α + 46,27 sin α = 0 Echilibrul celorlalte noduri se poate verifica cu uşurinţă în figura 3.9. Fig
54 3.3. Probleme propuse Să se identifice diagrama corectă de moment încovoietor M pentru structura din figură. a) b) c) d) e) Să se identifice diagrama corectă de forță tăietoare T pentru structura din figură. a) b) c) d) e) 54
55 Să se identifice diagrama corectă de efort axial N pentru structura din figură. a) b) c) d) Care este diagrama corectă de moment încovoietor M pentru cadrul din figura următoare? e) a) b) c) 55
56 d) e) Care este diagrama corectă de forță tăietoare T pentru cadrul din figura de mai jos? a) b) c) 56
57 d) e) Care este diagrama corectă de efort axial N pentru cadrul din figura de mai jos? a) b) c) 57
58 d) e) Să se identifice diagrama de forță tăietoare T corectă pentru structura din figură. a) b) c) d) e) 58
59 Să se identifice diagrama de moment încovoietor M corectă pentru structura din figură. a) b) c) d) e) Să se identifice diagrama de efort axial N corectă pentru structura din figură. a) 59
60 b) c) d) e) Care este diagrama de forță tăietoare T pentru structura din figură, cunoscând diagrama de moment încovoietor M? a) b) 60
61 c) d) e) 61
62 Capitolul 4: Arce static determinate 4.1. Noţiuni teoretice de bază. Principii de rezolvare. Arcele sunt structuri cu axa curbă, solicitate predominant la încovoiere şi efort axial. Arcele static determinate sunt rar întâlnite ca elemente de construcţie, dar rezolvarea lor stă la baza calcului arcelor static nedeterminate. În funcţie de forma axei lor, arcele pot fi ciculare, parabolice sau o altă curbă. După modul de rezemare, arcele static determinate pot fi simplu rezemate sau cu trei articulaţii. Rezolvarea arcelor static determinate, respectiv determinarea reacţiunilor şi trasarea diagramelor de eforturi, se realizează după aceleaşi principii cu cele prezentate la structurile tip cadru. Caracteristic comportării arcelor este dezvoltarea în reazemele cu terenul, a unor reacţiuni orizontale mari, numite împingeri, care reduc esenţial valoarea momentului încovoietor din câmp, conferind astfel acestor structuri capacitatea de a acoperi deschideri mari comparativ cu grinzile drepte. Elementele caracteristice ale unui arc cu trei articulaţii cu reazemele la acelaşi nivel sunt prezentate în figura 4.1. Fig. 4.1 Variaţia eforturilor, în acest caz, depinde de forma axei arcului, prin urmare va fi curbilinie. Orice secţiune, i, a unui arc este definită prin: coordonatele sale xi, yi şi unghiul pe care-l face tangenta la axa arcului în punctul respectiv cu orizontala, i. Aceste mărimi se determină în mod diferit în funcţie de forma axei arcului. Arcul parabolic Ecuaţia parabolei de gradul al doilea este: y = 4f x(l x) l2 Derivata de ordinul întâi a funcţiei defineşte panta acesteia, respectiv : y = tgφ i = 4f (l 2x) l2 Astfel, dacă pentru o secţiune a unui arc parabolic se cunoaşte xi, prin înlocuirea valorii acestuia în ecuaţia arcului, se calculează valoarea ordonatei yi, şi în expresia derivatei de ordinul I a acesteia, se determină tgφ i, după care prin aplicarea funcţiei inverse, se determină φ i şi implicit orice altă funcţie trigonometrică a acestuia. 62
63 Arcul circular Caracteristicile geometrice ale secţiunilor unui arc circular se determină din considerente geometrice. Astfel, în funcţie de elementele care se cunosc, se pot determina coordonatele secţiunii i şi unghiul φ i. Fig. 4.2 Din figura 4.2 se vede că unghiul φ i pe care îl face tangenta la axa arcului cu orizontala are aceeaşi măsură cu unghiul la centru format de razele aferente secţiunii i şi secţiunii de cheie C. Din triunghiurile dreptunghice AMO şi ino se pot determina, în funcţie de elementele cunoscute, celelalte mărimi geometrice care definesc secţiunea i. Calculul eforturilor de tip forţe în orice secţiune a unui arc (parabolic sau circular) se face prin proiecţia forţelor pe direcţia tangentei la axa arcului în punctul respectiv (Ni) şi perpendicular pe aceasta (Ti). În cazul încărcării arcelor cu trei articulaţii doar cu forţe verticale, determinarea eforturilor se poate face prin analogie cu grinda simplu rezemată ataşată arcului, încărcată identic cu acesta. Întrucât încărcările sunt verticale, reacţiunile verticale pe cele două structuri sunt identice (depind doar de poziţia forţelor verticale). În orice secţiune a arcului, efectul forţelor verticale este reprezentat de forţa tăietoare de pe grinda simplu rezemată ataşată arcului, în secţiunea corespunzătoare celei de pe arc. Utilizând această analogie, în cazul încărcării doar cu forțe verticale, eforturile în orice secțiune a unui arc cu trei articulații sunt: N i = T i 0 sinφ i Hcosφ i T = T i 0 cosφ i Hsinφ i M i = M i 0 Hy i Eforturile notate la exponent cu 0 sunt cele din grinda simplu rezemată ataşată arcului. Dacă încărcarea pe arc este oarecare (forţe orizontale şi verticale), pentru calculul eforturilor în 63
14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor
13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...
SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
FORŢE INTERIOARE. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI.
2.1.Metoda secţiunilor CAPITOLUL 2 FORŢE INTERIOARE. EFORTURI. DIAGRAME DE EFORTURI. În orice corp solid există forţe interioare, de structură, care asigură păstrarea formei şi dimensiunilor corpului.
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
2.1.1 Grindă dreaptă simplu rezemată încărcată cu o sarcină concentrată
Seminar. Calculul forțelor de legătură (reacțiunilor) la bare drepte simplu rezemate. Introducere Calculul forțelor de legătură reprezintă primul pas (obligatoriu), din algoritmul de abordare al oricărei
3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
STATICA CONSTRUCȚIILOR CADRE STATIC NEDETERMINATE
Nicolae CHIRA Ioana MUREȘAN Roxana BÂLC Cristian MOJOLIC STATICA CONSTRUCȚIILOR CADRE STATIC NEDETERMINATE - Teorie și aplicații - U.T. PRESS Cluj-Napoca, 2015 ISBN 978-606-737-138-3 Editura U.T.PRESS
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
STATICA CONSTRUCȚIILOR STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE
Nicolae CHIRA Roxana BÂLC Alexandru CĂTĂRIG Aliz MÁTHÉ Cristian MOJOLIC Ioana MUREȘAN STATICA CONSTRUCȚIILOR STRUCTURI STATIC NEDETERMINATE - Îndrumător pentru lucrări - U.T. PRESS Cluj-Napoca, 2014 ISBN
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide... 1 Cuprins..1
CURS 9 ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide........... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 9.1. Generalităţi. Legături intermediare...2
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
MECANICA CORP DEFORMABIL - NOŢIUNI GENERALE
MECANICA CORP DEFORMABIL - NOŢIUNI GENERALE 1. Obiectul mecanicii corpului deformabil În mecanica generală corpul solid - este considerat rigid nedeformabil. Această ipoteză este adecvată şi suficientă
CUPRINS 8. Statica solidului rigid... 1 Cuprins..1
CURS 8 STATICA SOLIDULUI RIGID CUPRINS 8. Statica solidului rigid.......... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 8.1. Generalităţi...2 8.2. Echilibrul solidului rigid liber...4 Test de
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Algebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
SOLICITAREA DE TRACŢIUNE COMPRESIUNE
CPITOLUL 4 SOLICITRE DE TRCŢIUE COMPRESIUE 4.1. Forţe axiale Dacă asupra unei bare drepte se aplică forţe dirijate în lungul axei longitudinale bara este solicitată la tracţiune (Fig.4.1.a) sau la compresiune
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
IV. STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE
IV. STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE 4.1 Consideraţii generale În numeroase probleme de echilibru corpurile rigide interacţionează mecanic, formând sisteme de corpuri rigide între
Curs 1 REZISTENTA SI STABILITATEA ELEMENTELOR STRUCTURILOR DIN OTEL
Curs 1 REZISTENTA SI STABILITATEA ELEMENTELOR STRUCTURILOR DIN OTEL Rezistenta elementelor structurale din otel o Calcul la nivelul secţiunii elementelor structurale (rezistenta secţiunilor) Stabilitatea
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
9. Statica solidului rigid...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 9 STATICA SOLIDULUI RIGID CUPRINS 9. Statica solidului rigid...1 Curins...1 Introducere...1 9.1. Asecte teoretice...2 9.2. Alicaţii rezolvate...3 9. Statica solidului rigid În acest seminar se
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare
Capitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Conice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Capitolul 30. Transmisii prin lant
Capitolul 30 Transmisii prin lant T.30.1. Sa se precizeze domeniile de utilizare a transmisiilor prin lant. T.30.2. Sa se precizeze avantajele si dezavantajele transmisiilor prin lant. T.30.3. Realizati
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Dreapta in plan. = y y 0
Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului
CALCUL FUNDAȚIE IZOLATĂ DE TIP TALPĂ DE BETON ARMAT. Fundație de tip 2 elastică
CALCUL FUNDAȚIE IZOLATĂ DE TIP TALPĂ DE BETON ARMAT Fundație de tip 2 elastică FUNDAȚIE DE TIP 2 TALPĂ DE BETON ARMAT Etapele proiectării fund ației și a verificării terenului pe care se fundează 1. D
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede
2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Lectia VII Dreapta si planul
Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.
IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI
V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele
III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe
III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe reprezintă totalitatea forțelor care acționează simultan asupra unui corp, Fig. 1. În Fig.
CALCULUL BARELOR CURBE PLANE
CPITOLUL 0 CLCULUL BRELOR CURBE PLE 0.. Tesiui î bare curbe plae. Formula lui Wikler Barele curbe plae sut bare care au axa geometrică o curbă plaă. Vom stuia bare curbe plae cu raza e curbură costată,
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
2. CALCULE TOPOGRAFICE
. CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă
Ecuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3
6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă
Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8
Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții
Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1
CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni
Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine
15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul
INEMTI 1. Se consideră mecanismul plan din figură, compus din manivelele 1 şi 2, respectiv biela legate intre ele prin articulaţiile cilindrice şi. Manivela 1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
7. PROBLEME DE SINTEZĂ (punct, dreaptă, plan, metode)
PL STZĂ 115 7. PL STZĂ (punct, dreaptă, plan, metode) 7.1 Probleme reolvate 1. Se dă forma geometrică din figura 7.1. Să se repreinte epura ei şi să se studiee tipurile de drepte, plane şi poiţiile relative
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
BARDAJE - Panouri sandwich
Panourile sunt montate vertical: De jos în sus, îmbinarea este de tip nut-feder. Sensul de montaj al panourilor trebuie să fie contrar sensului dominant al vântului. Montaj panouri GAMA ALLIANCE Montaj
Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
- Grinzile sprijină (se descarcă) pe diafragme, stâlp şi pe alte grinzi.
GRNA Grinda este un element structural, orizontal sau înclinat, liniar (b,h
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi
Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere
Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra
ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom
avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +
Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.
Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează
TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014