Geometie Geometie lnă Noţiuni funmentle Teoeme funmentle le geometiei lne Tiungiui Ptultee (lelogm, etungi, ătt, om, te) Ceul Loui geometie Geometie în sţiu Plnul Teoeme emile Loui geometie Poliee (u, leliie etungi, ismă, imiă, tuni e imiă) Coui otune (ilinu, on, tuni e on, sfe) Vetoi Geometie nlitiă Noţiuni intoutive Ceul Sfe Elis Hieol Pol
G e o m e t i e l n Noţiuni funmentle Puntul eeintă inteseţi ouă ete. Det este etemintă e ouă unte. Semiet este oţiune int-o etă limittă l un ăt e un unt, numit oigine semietei. Segmentul e etă este o oţiune int-o etă limittă e ouă unte. El ote fi: esis AB su înis[ AB] şi e lungime AB. Ungiul este figu etemintă e ouă ete u eeşi oigine. Pote fi: suţit (<90 ), et (90 ) su otu (>90 ). Ungiuile omlemente sunt ungiuile ăo sumă este e 90. Ungiuile iente sunt ouă ungiui e u elşi vâf şi o ltuă omună sitută înte ltuile neomune. Ungiuile ouse l vâf sunt ungiuile e u ltuile în elungie. Ungiuile onguente sunt ouă ungiui e elşi fel u ltuile esetive lele. Lo geometi ote fi etă, uă su onă e se uuă e eeşi oiette. Meitoe unui segment este eeniul iită e mijloul lui. Înălţime unui segment este eeniul ooâtă in vâful ous e e. Mein unui segment este o etă e uneşte mijloul lui u vâful ous. Bisetoe unui ungi este semiet e îmte ungiul în ouă ăţi onguente. Două ete lele tăite e o sentă etemină eei e ungiui onguente: ˆ ˆ şi ˆ 4ˆ ungiui ltene intene; 5ˆ 6ˆ şi 7ˆ 8ˆ ungiui ltene etene; ˆ 6ˆ, ˆ 8ˆ, 7ˆ 4ˆ şi 5ˆ ˆ ungiui oesonente. Teoeme funmentle le geometiei lne - sum ungiuilo unui tiungi este eglă u 80 ⁰ su π; - sum măsuilo ungiuilo fomte în juul unui unt este e 60 e ge; - un ungi eteio l unui tiungi este egl u sum elo ouă ungiui le tiungiului, e nu-i sunt lătute; - isetoele ungiuilo unui tiungi sunt onuente în entul I l eului însis în tiungi; - meitoele ltuilo unui tiungi sunt onuente în entul O l eului iumsis tiungiului; - meinele unui tiungi sunt onuente în entul G e geutte l tiungiului; - înălţimile unui tiungi sunt onuente în otoentul H l tiungiului; - et lui Eule este et e onţine e O, G, H; - înt-un tiungi u ouă ltui neegle, ltuii u lungime mi me i se oune ungiul mi me şi eio; - segmentul e uneşte mijloele ouă ltui le unui tiungi este llel u tei ltuă şi egl u jumătte in est; - înt-un lelogm, igonlele se înjumătăţes; - imetul eeniul e o oă eului, îmte o şi ele oesunătoe în âte ouă ăţi egle; - ă un tiungi este eiltel tuni mein, înălţime, isetoe şi meitoe oesunătoe eleeşi ltui oini; - ă înt-un tiungi ungiuile lătute ei sunt onguente tuni tiungiul este isosel; - ă ouă ete fomeă u o sent o eee e ungiui ltene intene onguente, tuni etele sunt lele; - ă ouă ete fomeă u o sent o eee e ungiui ltene etene onguente, tuni etele sunt lele; - ă ouă ete fomeă u o sent o eee e ungiui oesonente onguente tuni etele sunt lele; - ă ouă ete fomeă u o sent o eee e ungiui intene e eeşi te sentei sulimente, tuni etele sunt lele; - ă ouă ete fomeă u o sent o eee e ungiui etene e eeşi te sentei sulimente tuni etele sunt lele; - înt-un tiungi etungi tet ousă ungiului e 0 e ge e lungime eglă u jumătte in lungime iotenuei;
G e o m e t i e l n - ă înt-un tiungi lungime unei meine este eglă u jumătte in lungime ltuii oesunătoe estei, tuni tiungiul este etungi; - teoem lui Tles: o lelă l un in ltuile unui tiungi etemină e elellte ouă ltui su e elungiile lo segmente ooţionle; - teoem isetoei: isetoele unui ungi int-un tiungi îmt esetive ltu ousă în segmente ooţionle u elellte ouă ltui; - teoem lui Menelus: fie M, N, P tei unte situte e fiee in etele eteminte e ltuile unui tiungi ABC. Dă ouă in este unte se flă e ltui le tiungiului şi l teile e elungie ltei ltui su tote tei se găses e elungiile ltuilo tiungiului şi ă e lo elţi BM CN AP tuni este tei unte M, N, P sunt olinie; MC NA PB - teoem lui Cev: fie M, N, P tei unte situte e ltuile BC, CA şi AB le tiungiului ABC su e elungiile lo. Pentu etele AM, BN şi CP să fie onuente în elşi unt su să fie lele este nees şi suffiient să vem: BM CN AP ; MC NA PB - teoem lui Stewt: ă A, B, C sunt tei unte olonie, în estă oine, i O este un unt eteio etei e e se flă este tei unte, tuni vem: OA BC OB AC OC AB AB BC CA ; - teoem lui Steine: ă in vâful A l tiungiului ABC uem ouă ete simetie fţă e isetoe ungiului A e întâlnes ltu BC în M şi N tuni vem: AB CM CN AC BM BN ; Tiungiui lungime iotenuei;, lungimile tetelo; R Teoem lui Pitgo: Teoem tetei: AB BD BC ; AC CD BC S i tiungiului; S AB AC AD înălţime; AD CD DB ; AD BC AE m mein; EA EB EC R,, lungimile ltuilo eului însis; R eului iumsis; R Teoem lui Pitgo genelită: os A A lungime înălţimii in A P eimetul, P/ R eului iumsis; R ; O entul eului iumsis 4 eului însis; ; I entul eului însis
G e o m e t i e l n,, ele euilo eînsise; A tg S ; m lungime meinei in A; ( ) 4 m i lungime isetoei ungiului A; ( ) os os A C B i S i tiungiului ( ) A P m m m S sin ( ) ( ) ( ) ( ) A tg S Ptultee Plelogm, lungimile ltuilo, lungimile igonlelo; ( ) ϕ ungiul igonlelo lungime unei înălţimi P eimetul; P S i; sin sin ϕ B S Detungi, lungimile ltuilo lungime igonlei; ϕ ungiul igonlelo P eimetul; P S i; sin ϕ S Pătt lungime ltuii D lungime igonlei; R D R eului iumsis P eimetul; P 4 S i; R D S Rom lungime ltuii, lungimile igonlelo ϕ ungiul inte ltuile AB şi AD înălţime S i; S sin ϕ
G e o m e t i e l n 4 Te Ceul me, miă; ; PQ înălţime GH lini mijloie; GH, lungimile igonlelo; AD BC AB CD ϕ ungiul igonlelo O untul e inteseţie l igonlelo P eimetul; P AB BC CD DA sin ϕ ( ) S i; S R lungime ei eului L lungime eului l lungime ului e α ini S i isului măginit e eul C s i setoului AOB L π R π D l Rα π D S π R 4 α s R D R lungime imetului ρ utee unui unt P fţă e un e C - utee entului I l eului însis înt-un tiungi fţă e eul iumsis lui ρ R - utee entului G e geutte l unui tiungi fţă e eul iumsis lui ρ 9 - utee otoentului H l unui tiungi fţă e eul iumsis lui ρ 8 R os A os B os Loui geometie Meitoe eeintă loul geometi l tutuo untelo egl eătte e etele segmentului. Bisetoe eeintă loul geometi l tutuo untelo egl eătte e ltuile ungiului. Loul geometi l untelo egl eătte e ouă ete onuente este eeentt e isetoele ungiuilo fomte e ele ouă ete. Loul geometi l untelo situte l o istnţă tă e o etă tă este eeentt e ouă ete lele u et tă. Loul geometi l untelo in ln egl eătte e un unt t in elşi ln este un e. Loul geometi l untelo in e un segment e etă onstnt se vee su un ungi t este eeentt e ouă e e e e u eleşi etemităţi şi segmentl şi sunt simetie fţă e et e e este situt segmentl, făă etemităţi.
G e o m e t i e l n 5 Loul geometi l untelo e utee onstntă fţă e un e t este un e onenti u eul t, un unt su mulţime viă. Loul geometi l untelo egl eătte e un unt fi (fo) şi e o etă fiă (ietoe) este o olă. Loul geometi l untelo e u oiette ă sum istnţelo lo l ouă unte fie (foe) este onstntă este o elisă. Loul geometi l untelo e u oiette ă moulul ifeenţei istnţelo lo l ouă unte fie (foe) este onstnt este o ieolă.
G e o m e t i e i n s t i u Plnul Plnul este o mulţime e unte e onţine sumulţimi etele. Oie ouă unte istinte etemină o etă. Dă A şi B sunt ouă unte istinte tuni et etemintă e ele se v not AB. Două ete ot ve un unt omun, nii un unt omun su tote untele omune. Două ete e nu u nii un unt omun se numes ete lele. Dă etele AB şi CD su şi sunt lele tuni se v not AB CD su. Aiom lui Euli: Pint-un unt eteio unei ete se ote ue et o lelă l e etă. O etă seă lnul în ouă semilne. Fiin t un ln P şi o etă in est ln, in ieţie, efinită e etă se vo înţelege tote etele in ln lele u et. Se osevă ă ă ouă ete sunt lele tuni ele efines eeşi ieţie. Dieţi unui segment oientt AB, A B, este ieţi efinită e et suot segmentului. Două segmente oientte u eeşi ieţie ă etele lo suot sunt lele. Teoeme emile Două ete lele etemină un ln. Înt-un ln, int-un unt eteio unei ete tee o etă lelă u e şi numi un. O etă ote să nu iă nii un unt omun u lnul α ( α Ø ). În est, vom sune, ă et este lelă u lnul α şi notăm: α su α. Dă o etă este lelă u ouă lne nelele, tuni e este lelă u et lo e inteseţie. Dă ouă ete sunt eeniul e elşi ln, tuni ele sunt lele. Dă un ln inteseteă ouă lne lele, inteseţiile sunt ete lele. Două lne istinte lele u l teile ln sunt lele înte ele. O etă lelă u o etă int-un ln α este lelă u lnul α ( su onţinută în el). Dă o etă este lelă u un ln α, oie ln β e onţine estă etă şi inteseteă lnul α, o fe uă o etă lelă u. Dă o etă este lelă u un ln α lel l et usă int-un unt A, l lnului α, este onţinută în α. Dă ouă ete lele şi sunt situte, esetiv în ouă lne α şi β e se inteseteă uă o etă tuni este lelă u şi. Dă ouă ete istinte şi sunt lele u tei etă, tuni etele şi sunt lele înte ele. Dă un ln onţine ouă ete onuente lele u un lt ln, tuni ele ouă lne sunt lele. Două ungiui u ltuile esetiv lele sunt onguente (ân sunt mânouă suţite su mânouă otue) su sulemente (ân unul in ele este suţit, i elăllt otu. Dă unul este et, elăllt este semene et. Două lne lele etemină e ouă ete lele, e e le inteseteă, segmente onguente. Mi multe lne lele etemină e ouă ete oee, e le inteseteă e este în segmente esetiv ooţionle. Loui geometie Loul geometi l untelo omune l ouă lne este et e inteseţie lnelo. Loul geometi l untelo egl eătte e tei unte neolinie este o etă eeniul e lnul etemint e ele tei unte, în entul eului iumsis tiungiului fomt e ele. Loul geometi l etelo lele u un ln, use int-un unt eteio estui este un ln e tee in est unt şi este lel u lnul t. Loul geometi l eeniulelo use înt-un unt l unei ete te, e estă etă, este un ln, eeniul e e etă. Loul geometi l untelo in sţiu egl eătte e un unt fi, numit entu este o sfeă.
G e o m e t i e i n s t i u Poliee Cu ltu igonl lungime ei sfeei însise lungime ei sfeei iumsise R i ltelă 4 ; i totlă 6 ; volumul Pleliie etungi ltui,, igonl lungime ei sfeei iumsise R ; volumul i totlă ( ) Pism i ltelă P I ; i totlă P I S ; volumul S I Pimi V lungime ei sfeei însise P A S P A P A i ltelă ; i totlă S ; volumul (A otem) S I Tuniul e imiă ( P ) i ltelă (A otem) A P A ; i totlă S I ; volumul ( S s Ss )
G e o m e t i e i n s t i u Coui otune Cilinul R lungime ei; G lungime genetoei; I lungime înălţimii i ltelă π R I π R G R i totlă ( ) volumul π R I Conul Tuniul e on Sfe R lungime ei; G lungime genetoei; I lungime înălţimii i ltelă π R G π R G R i totlă ( ) π R I volumul R G R lungime ei sfeei însise G R G lungime eei sfeei iumsise Rs G R R lungime ei mi; lungime eei mii; G lungime genetoei; I lungime înălţimii; igonl G lungime eei sfeei iumsise Rs I G R π G R π R i ltelă π ( ) ; i totlă ( ) ( ) π I ( R R ) volumul R sfeei; D imetul R; I înălţime onei O O ; I înălţime lotei O A i sfeei S 4π R π D 4π R π D volumul sfeei V 6 Zon sfeiă i onei sfeie S π R I I ( R I ) volumul onei sfeie V π 6 Clot sfeiă i lotei sfeie S π R I π I ( R I ) π I ( I ) volumul lotei sfeie V 6
Vetoi si lul vetoil Noţiune e veto, intousă e Simon Stevin ovine in lim ltină şi însemnă utăto. Vetoul este un segment e etă oientt, teit in umătoele elemente: - unt e liţie (untul A); - ieţie (et Δ); - sens (init e săgetă); - moul (lungime segmentului AB). Vetoii ot fi: - legţi - unt e liţie fi; - luneătoi et suot este fită, untul e liţie ote fi elst în lungul estei ete; - liei untul e liţie ote fi elst oiune în sţiu, suotul lo ămânân lel u eeşi etă. Vetoul legt ăui oigine este untul A şi ăui etemitte este untul B v fi nott Se onsieă vetoul ăui etemitte oinie u oigine s şi se numeşte vetoul legt nul; ieţi şi sensul său sunt neeteminte. Doi vetoi legţi AB şi A ' B' se onsieă egli şi siem AB A' B' ă şi numi ă oiginile şi etemităţile lo sunt ientite: A A' şi B B'. AB. Lungime vetoului legt AB eimtă înt-o numită unitte e lungime se noteă AB şi se numeşte măime su moulul vetoului AB. Doi vetoi legţi AB şi CD se numes eiolenţi şi siem măime şi eeşi oiente (ieţie şi sens). AB ~ CD ă su sunt mii nuli su u eeşi Pin veto lie se înţelege ls tutuo vetoilo legţi eiolenţi u unul t. Vetoul unit (vesoul) l unui veto este un veto vân ieţi şi sensul vetoului, i moulul egl u unitte: u. Vesoul unei e este un veto e e moulul egl u unitte e lungime e ă; ieţi eeşi u ei; sensul elşi u sensul oitiv l ei; untul e liţie în oigine ei (O). Eesi unui veto Oie veto situt e O ote fi sis su fom: i, une este oieţi vetoului e O, oieţie e este oitivă vetoul e elşi sens u sensul oitiv l ei şi negtivă în sens ont., ă Înt-un sistem otogonl e e O,m un veto ote fi sis stfel: i j k şi une şi sunt omonentele vetoului e ele e;, şi eeintă oieţiile vetoului e ele e O, O şi O; i, j şi k sunt
vesoii elo O, O şi O. Vetoi si lul vetoil Poieţi unui veto e O e veso i este numul el efinit i osα une α este ungiul fomt e vetoul u O. π π Dă < α < oieţi este oitivă, i ă Desomunee unui veto uă ieţii onuente π π α < < oieţi este negtivă. A esomune un veto uă ouă ieţii onuente ( D ) şi ( ) vesoi u şi esetiv ( ) u însemnă fl oi vetoi şi u D e D şi oientţi uă ieţiile ( ) D stfel înât u. Vetoii D. numes omonentele vetoului uă ieţiile ( ) Oeţii u vetoi D şi esetiv ( ) şi se in elţi Aune s În um unăii oi vetoi şi se oţine tot un veto, nott s, numit veto eultnt su eultntă:. Poietăţile unăii vetoilo. une vetoilo este omuttivă: ; ;. une vetoilo este soitivă: ( ) ( ). une vetoilo este istiutivă: ă m şi n sunt numee ele tuni vem m ( ) m m. ( m n) m n Regul lelogmului Sum oi vetoi este tă e igonl lelogmului onstuit u ei oi vetoi omonenţi ltui, vân oigine omună. Moulul sumei este: s osα une (, ) Regul oligonului α. Sum oi vetoi este tă e vetoul vân ieţie lini e s îniee ontuului oligonl onstuit u vetoii omonenţi: Săee A săe oi vetoi şi însemnă un l vetoul vetoul ous.. Săee vetoilo este ntiomuttivă ( ) ( ) şi
Vetoi si lul vetoil Înmulţie unui veto u un sl Pin înmulţie unui veto u un sl m se oţine un veto m ; - moulul egl u m e e: - ieţi eeşi u vetoului ; - sensul t e semnul lui m: ă m > 0 elşi sens u ; ă m < 0 sens ous lui. Poietăţile înmulţiii vetoilo u sli. înmulţie unui veto u un sl este soitivă: m ( n ) ( m n) ; m m m ;. înmulţie unui veto u un sl este istiutivă: ( ).. ( m n) m n Pousul sl oi vetoi Pousul sl oi vetoi şi este număul el, nott, egl u ousul moulelo elo oi vetoi in osinusul ungiuilo inte ei: osα une ( α, ). În ot u un sistem tiotogonl, ousul sl l vetoilo: i j k şi i j k se v sie:. S- ţinut ont ă i i j j k k şi i j j k k i 0. Poietăţile ousului sl oi vetoi. ousul sl oi vetoi este omuttiv : ;. ;. ousul sl este istiutiv fţă e une vetoilo: ( ) ; 4. ousul sl l unui veto u el însuşi este t e elţi: une ; 5. ( m ) ( n ) ( m n) ( ); 6. 0 ă 0 su 0 su ă este eeniul e. Pousul vetoil oi vetoi Pousul vetoil oi vetoi şi, nott sin α, ; - moulul α une ( ) este efinit un veto teit in: - ieţi este eeniulă e lnul etemint e ei oi vetoi; - sensul este t e egul ugiului (et); - untul e liţie este elşi u l vetoilo omonenţi su în vâful unui inte ei. Poietăţile ousului vetoil oi vetoi. ousul vetoil este ntiomuttiv : ; ;. ousul vetoil este istiutiv în ot u oeţi e une vetoilă: ( )
Vetoi si lul vetoil 4. ( ) ( ) ( ) n m n m ; 4. 0 ă 0 su 0, su ă este lel u (u 0 şi 0 ). Regul ugiului Se şeă ugiul eeniul e lnul fomt e ei oi vetoi şi şi se eoteşte stfel vetoul să se suună este vetoul e umul el mi sut. Sensul e îninte l ugiului v fi şi sensul ousului vetoil. În ot u un sistem tiotogonl, ousul vetoil l vetoilo k j i şi k j i se v sie: ( ) ( ) ( ) k j i k j i
G e o m e t i e n l i t i Noţiuni intoutive AXA: o etă ' e e s- fit un unt O, i în est unt oigine se onsieă un veso i (veto unitte) se numeşte ă. A esisă mi sus o notăm (,O,i ), une în etă esiee m eit et (e e ogniăm ), oigine ei şi vesoul i e ă sensul oitiv l ei. Culul (O,i ) se numeşte ee e et. Distnţ inte ouă unte v fi ( ). Asis untului P e îmte segmentul în otul k este: k. k Distnţ inte ouă unte P (, ) şi P (, ) în ln este: ( ) ( ) Euţi etei e tee in ouă unte P ( ) şi ( ) Euţi genelă etei este:., P este:,. ( ) A B C 0 une A B 0, i euţi eusă este m n une m este oefiientul ungiul l etei su nt etei, i n este oont l oigine etei. Euţi etei in tăietui su euţi etei e tie ele e ooonte în A(,0) şi B(0,): 0. Euţi etei e tee in P0 ( 0, 0 ) şi e oefiientul ungiul m t: Distnţ e l untul ( ) 0 0, 0 ( ) m. 0 0 P l et D : A B C 0 este: A B C A B 0 0.
G e o m e t i e n l i t i Ceul Euţi eului C u entul în oigine şi, nott C( O, ) este 0. Euţi nomlă eului este m n 0. Putee ρ untului P0 ( 0, 0 ) fţă e eul C( O, ) este ( ) ( ) ρ. 0 0 Sfe Pesuunem ă în sţiu este t un sistem e ooonte etngul O. Consieăm sfe e ă R u entul în untul C ( 0, 0, 0 ). Sfe este loul geometi l untelo situte l istnţ R e entul său. Pentu M (,, ) un unt oee l sfeei vem euţi sfeei în sistemul e ooonte t: ( ) ( ) ( ) R 0 0 0 Elis, lungimile semielo; F si F sunt foe; O entul Elis E ottă l e e euţi noniă 0. Ai elisei este S π. Pmetul elisei este. Hieol, lungimile semielo; F si F sunt foe; O entul Hieol H ottă l e e euţi noniă 0. Pmetul ieolei este. Pol metul olei; / OF sis foului F e e O Pol P ottă l ei e simetie e euţi noniă 0.