Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις Άσκηση 1 Χρησιμοποιώντας τα πιο κάτω κατηγορήματα και σταθερές και υποθέτωντας ως σύμπαν το σύνολο όλων των ανθρώπων, να διατυπώσετε τις προτάσεις που ακολουθούν στον Κατηγορηματικό Λογισμό. C(x) : ο/η x είναι ορειβάτης H(x) : ο/η x είναι πεζοπόρος F(x) : ο/η x είναι ατρόμητος/η L(x,y) : στο άτομο x αρέσει το άτομο y A(x,y) : το άτομο x θαυμάζει το άτομο y Μ(x,y) : το άτομο x είναι πιο περιπετειώδες από το y A(x) : ο/η x είναι περιπετειώδης Ε : Ελεονόρα Π : Παναγιώτης (α) Είτε η Ελεονόρα είναι μια ατρόμητη πεζοπόρος είτε ο Παναγιώτης είναι ένας περιπετειώδης ορειβάτης. (β) Αν ο Παναγιώτης δεν είναι ούτε περιπετειώδης ούτε ατρόμητος, τότε δεν τον θαυμάζει η Ελεονόρα. (γ) Κάθε ορειβάτης είναι και πεζοπόρος αλλά όχι το αντίθετο. (δ) Οι ορειβάτες και οι πεζοπόροι που είναι είτε ατρόμητοι είτε περιπετειώδεις θαυμάζουν τον εαυτό τους. (ε) Κάθε ορειβάτης είναι πιο περιπετειώδης από κάποιο πεζοπόρο. (α) (F(E) H(E)) (A(Π) C(Π)) (β) (A(Π) F(Π)) A(E,Π) (γ) x (C(x) H(x)) x (H(x) C(x)) (δ) x [ (C(x) H(x)) (F(x) A(x)) A(x,x)] (ε) x [ C(x) y (H(y) M(x,y)) ] Να μεταφράσετε σε φυσική γλώσσα τις πιο κάτω προτάσεις: (ζ) ( A(Π) Μ(E,Π)) (L(E,Π) Α(Ε,Π)) (η) x [(Η(x) C(x)) A(x)] (θ) x ( Η(x) C(x) ) y ( H(y) C(y) ) (ζ) Αν ο Παναγιώτης δεν είναι περιπετειώδης ή η Ελεονόρα είναι πιο περιπετειώδης από τον Παναγιώτη, τότε ο Παναγιώτης αρέσει στην Ελεονόρα αλλά η Ελεονόρα δεν θαυμάζει τον Παναγιώτη. (η) Κάθε πεζοπόρος και ορειβάτης είναι περιπετειώδης. (θ) Υπαρχει κάποιο άτομο που είναι είτε πεζοπόρος είτε ορειβάτης και υπάρχει κάποιο άτομο που δεν είναι ούτε πεζοπόρος ούτε ορειβάτης. Σειρά Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 1
Άσκηση 2 Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα του κατηγορηματικού λογισμού. (α) x P(x) x P(x) (β) x P(a,x,x), x y z(p(x,y,z) P(f(x),y,f(z))) z P(f(a),z,f(f(a))) (γ) x y [ (G(x,y) (K(y) C(x))) ((K(y) C(x)) G(x,y))], x G(i,x), z K(z) x C(x) (δ) x [F(x) (R(x,a) R(a,x))], x R(a,x) [ x R(x,a)] [ x F(x)] (ε) x y (P(x) Q(y)) y x (P(x) Q(y)) (α) x P(x) x P(x) 1. x P(x) προϋπόθεση 2. x P(x) προσωρινή υπόθεση 3. a P(a) προσωρινή υπόθεση 4. P(a) x e 1 5. e 3 6. x e 2, 3 5 7. x P(x) i 2 (β) x P(a,x,x), x y z(p(x,y,z) P(f(x),y,f(z))) z P(f(a),z,f(f(a))) 1. x P(a,x,x) προϋπόθεση 2. x y z (P(x,y,z) P(f(x), y, f(z))) προϋπόθεση 3. P(a,f(a),f(a)) x e 1 4. y z(p(a,y,z) P(f(a), y, f(z))) x e 2 5. z (P(a,f(a),z) P(f(a),f(a),f(z))) y e 4 6. P(a,f(a),f(a)) P(f(a), f(a), f(f(a))) z e 5 7. P(f(a),f(a),f(f(a))) e 6, 3 8. z P(f(a), z, f(f(a))) z i 7 Σειρά Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 2
(γ) x y [ (G(x,y) (K(y) C(x))) ((K(y) C(x)) G(x,y))], x G(i,x), z K(z) x C(x) 1. x y [ (G(x,y) (K(y) C(x))) ((K(y) C(x)) G(x,y))] προϋπόθεση 2. x G(i,x) προϋπόθεση 3. z K(z) προϋπόθεση 4. a K(a) προσωρινή υπόθεση 5. G(i,a) x e 3 6. y [ (G(i,y) (K(y) C(i))) ((K(y) C(i)) G(i,y))] x e 1 7. (G(i,a) (K(a) C(i))) ((K(a) C(i)) G(i,a)) x e 6 8. G(i,a) (K(a) C(i)) 1 e 7 9. K(a) C(i) e 8, 5 10. C(i) e 9, 4 11. x C(x) x i 10 12. x C(x) z e 3, 4 11 (δ) x [F(x) (R(x,a) R(a,x))], x R(a,x) [ x R(x,a)] [ x F(x)] 1. x [F(x) (R(x,a) R(a,x))] προϋπόθεση 2. x R(a,x) προϋπόθεση 3. x R(x,a) υπόθεση 4. b R(a,b) x e 2 5. F(b) (R(b,a) R(a,b)) x e 2 6. F(b) υπόθεση 7. R(b,a) R(a,b) ΜΡ 5, 6 8. R(b,a) υπόθεση R(a,b) υπόθεση 9. R(b,a) x e 3 e 4, 8 10. e 8, 9 11. e 7, 8 10 12. F(b) i 6 11 13. x F(x) x i 12 14. x F(x) x e 2, 4 13 15. [ x R(x,a)] [ x F(x)] i 3 14 Σειρά Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 3
(ε) x y (P(x) Q(y)) y x (P(x) Q(y)) 1. x y (P(x) Q(y)) προϋπόθεση 2. x P(x) x P(x) προϋπόθεση 3. x P(x) υπόθεση x P(x) υπόθεση 4. x 0 x P(x) Διαφάνεια 3 28 5. P(x 0) x e 3 a P(a) υπόθεση 6. P(x 0) Q(b) i 4 y (P(a) Q(y) x e 1 7. x (P(x) Q(b)) x i 4 6 b P(a) Q(b) υπόθεση 8. y x (P(x) Q(y)) x i 7 P(a) υπόθ. Q(b) υπόθεση 9. e 5,8 x 0 10. y x (P(x) Q(y)) P(x 0) Q(b) i 8 11. e 10 x (P(x) Q(b)) x i 9 10 12. y x (P(x) Q(y)) x i 11 13. y x (P(x) Q(y)) e 7, 8 12 14. y x (P(x) Q(y)) y e 6, 7 13 15. y x (P(x) Q(y)) x e 4, 5 14 16. y x (P(x) Q(y)) e 2, 3 15 Άσκηση 3 Να αποφασίσετε κατά πόσο κάθε μια από τις πιο κάτω προτάσεις είναι έγκυρη. Αν δεν είναι έγκυρη να αποφασίσετε αν είναι ικανοποιήσιμη. Σε κάθε περίπτωση να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας είτε δίνοντας απόδειξη χρησιμοποιώντας τη σημασιολογία του Κατηγορηματικού Λογισμού (αλήθεια του Τάρσκι) ή παρουσιάζοντας κατάλληλο μοντέλο. (α) x y [P(x) (P(y) (x = y))] x y (x = y) (β) x y [S(x,y) ( z (S(x,z) S(z,y)))] (γ) x y (P(x) Q(y)) x(p(x) y Q(y)) (α) x y (P(x) (P(y) (x = y))) x y (x = y) Η πρόταση είναι ικανοποιήσιμη. Ας θεωρήσουμε το μοντέλο: Α = {a,b} Ρ = {} Στο μοντέλο αυτό η πρόταση x y (P(x) (P(y) (x = y))) είναι αληθής: Αν x = y έχουμε F (F F) = T ενώ αν x y έχουμε F (F T) = T. Η πρόταση x y (x = y) είναι επίσης αληθής, αφού στο μοντέλο υπάρχουν δύο στοιχεία που διαφέρουν μεταξύ τους. Σειρά Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 4
Η παρατήρηση αυτή μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η πρόταση δεν είναι έγκυρη αν περιορίσουμε το σύμπαν του μοντέλου μας σε ένα σύνολο που περιέχει μόνο ένα στοιχείο. Για παράδειγμα αν θέσουμε: Α = {3} Ρ(x) = το x διαιρείται από το 2 Στο μοντέλο αυτό η πρόταση x y (P(x) (P(y) (x = y))) είναι αληθής: x = y = 3 και έχουμε F (F F) = T. Σε αντίθεση όμως με την προηγούμενη περίπτωση, η πρόταση x y (x = y) είναι ψευδής, αφού στο μοντέλο δεν υπάρχουν δύο διακριτά στοιχεία. Επομένως η αρχική πρόταση δεν ικανοποιείται. (β) x y (S(x,y) ( z (S(x,z) S(z,y)))) H πρόταση αυτή είναι ικανοποιήσιμη. Ας θεωρήσουμε το μοντέλο: Α= το σύνολο των φυσικών αριθμών S(x,y) = x y Προφανώς για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών a και b, αν a b τότε υπάρχει c τέτοιο ώστε a c και c b, π.χ., c = a. Εντούτοις η πρόταση δεν είναι έγκυρη αφού υπάρχει μοντέλο στο οποίο η πρόταση δεν είναι αληθής. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε το μοντέλο με Α= το σύνολο των φυσικών αριθμών S(x,y) = x < y Τότε, αν και 1 < 2, δεν υπάρχει φυσικός αριθμός ο οποίος να βρίσκεται ανάμεσα στο 1 και το 2, επομένως [ x y (x < y ( z (x<z z<y)))] (γ) [ x y (P(x) Q(y))] [ x(p(x) y Q(y))] Θα αποδείξουμε ότι η πρόταση είναι έγκυρη. Υποθέτουμε, για να φτάσουμε σε αντίφαση, ότι η πρόταση δεν είναι έγκυρη. Τότε, για κάποιο μοντέλο Μ Μ x y (P(x) Q(y)) (1) και Μ x(p(x) y Q(y)) (2) Αφού Μ x(p(x) y Q(y)), τότε υπάρχει κάποιο a τέτοιο ώστε Μ P(a) y Q(y), δηλαδή Μ P(a) (3) και Μ y Q(y), δηλαδή, δεν υπάρχει τιμή c για την οποία Μ Q(c). (4) Από το (1) πιο πάνω, έχουμε ότι για κάθε τιμή του x, έστω b, Μ y (P(b) Q(y)). Συνεπώς, η πρόταση ισχύει και για x = a, δηλαδή, Μ y (P(a) Q(y)). Επομένως, υπάρχει κάποια τιμή για το y έστω b τέτοια ώστε, Μ P(a) Q(b). (5) Από το (5) και το (3) πιο πάνω, συμπεραίνουμε ότι Μ Q(b). (6) Οι προτάσεις (4) και (6) μας οδηγούν σε αντίφαση και επομένως η αρχική μας υπόθεση είναι λανθασμένη. Συμπέρασμα: Η πρόταση είναι έγκυρη. Σειρά Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 5
Άσκηση 4 Για κάθε ένα από τα σύνολα προτάσεων που ακολουθούν, να προτείνετε μοντέλο στο οποίο οι πρώτες δύο προτάσεις να είναι αληθείς και η τρίτη πρόταση να είναι ψευδής. Τα μοντέλα σας θα πρέπει να έχουν σύμπαν με το μικρότερο δυνατό μέγεθος. (α) (β) (γ) Α(a) B(a) x y [ (f(x) = f(y)) (x = y)] x R(x,x) z x R(z,x) Λύση (α) Σύμπαν Σ = {a} A Σ = {} B Σ = {a} Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι ικανοποιούνται οι δύο πρώτες προτάσεις της άσκησης αλλά όχι η τρίτη. (β) Το ίδιο μοντέλο με το σκέλος (α). (γ) Σύμπαν Σ = {a} R Σ = {} f Σ (a) = a Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε ότι ικανοποιούνται οι δύο πρώτες προτάσεις της άσκησης αλλά όχι η τρίτη. Σειρά Προβλημάτων 2 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 6