CMPO ELECTROSTÁTICO 1.- Carga eléctrica. Cuantización 1.1. Tipo de carga:.- Lei de Coulomb 3 3.- Traballo 4 3.1.-Enerxía Potencial Electrotática 5 4.- Campo Electrotático 5 5.- Potencial Electrotático 6 5.1.- Relación entre potencial e traballo 7 6.- Teorema de Gau 7 6.1.- plicación da lei de Gau 8 7.- Conductor 10 7.1.- Campo eléctrico nunha cavidade do conductor 10 7..- Efera conductora 11 7.3.- Condenadore 1 8.- Enerxía electrotática 1 1
CMPO ELECTROSTÁTICO 1.- Carga eléctrica. Cuantización carga eléctrica é unha propiedade ue preenta a materia, pero a úa natureza é decoñecida. Exiten dúa clae de carga eléctrica: negativa e poitiva (introducido polo científico e etadita. Franklin, arredor do 1750, o convenio de ue o vidrio recibía carga poitiva (+) cuando e frotaba cun pano de eda, aduiriendo éta carga negativa (-). Eta carga etán ligada á materia, cuxa partícula elementai on portadora da cantidade de electricidade mái peuena coñecida. nivel microcópico, a carga elemental negativa conidérae a do electrón e a poitiva a do protón. carga do electrón é igual á carga do protón en valor aboluto. Como a materia etá formada por átomo e ete por electrón, protón e neutrón, a carga de caluera corpo obtene por exceo ou defecto de electrón; polo tanto, a carga de caluera corpo é múltiplo enteiro da carga do electrón. unidade de carga no S.I. é o culombio, Non e conidera a carga do electrón xa ue eta é moi peuena. carga total dun itema illado, é dicir, a uma de poitiva e negativa, é unha magnitude ue e conerva. Eta conervación eténdee a todo o univero, aínda ue non haxa evidencia experimental obre ela. Eta upoición pódee realizar, xa ue e houbee un deeuilibrio, por moi peueno ue foe en porcentaxe, a forza eléctrica ería moi grande e o univero non ería etable. Por exemplo, e na lonxitude dun brazo houbee un 1% mái de electrón ue de protón, a forza de repulión ería uficiente para levantar un peo igual ao da Terra. 1.1. Tipo de carga: 1.1.1. Carga libre: on carga ue coa partícula aociada poden realizar deprazamento macrocópico. O eu movemento orixinan a corrente eléctrica de condución. ete tipo correponden: a) Electrón libre do metai. b) O electrón e o ión, no baleiro ou no gae aí como dentro de certo ólido non metálico. c) O ión na diolución de ale inorgánica e de ale fundida. d) O plama. 1.1.. Carga ligada: on carga unida á partícula ue forman parte da etrutura material do ólido. Non poden realizar, por tanto, mái ue deprazamento da orde da ditancia interatómica, pero dan lugar ao fenómeno da polarización eléctrica polo eu deprazamento relativo de conxunto. 1.1.3. Ditribución de carga: Son auela carga ue teñen dimenión. Hai tre tipo de ditribución: a) Ditribución lineal: carga ditribuída nun fío; defínee denidade lineal de carga l d m = e a cantidade de carga no fio de longitude l era: = mdl dl 0 b) Ditribución uperficial: carga ditribuída obre unha uperficie; defínee denidade uperficial de carga d S v = e a cantidade de carga na uperficie era: = v d d 0
CMPO ELECTROSTÁTICO c) Ditribución volúmica: carga ditribuída nun volume; defínee denidade volúmica de carga d t = dv.- Lei de Coulomb e a cantidade de carga no volumen V era: = En 1730 o francé Charle Du Fay demotrou ue o corpo cargado interaccionan entre í. Poto ue a forza eléctrica é unha forza a ditancia entre carga, cabe eperar ue dependa do invero da ditancia ao cadrado como na lei de Newton dá gravitación univeral. Eta imetría foi uxerida por Daniel ernoulli en 1760. Tamen, por imetría, cabe eperar ue a forza eléctrica dependa do producto dá dúa carga ue interaccionan. confirmación de eta hipótee foi realizada por Charle ugutin de Coulomb ue enunción a lei en 1786 depoi de medir, cunha balanza de torión, a forza entre peuena efera cargada. É unha lei experimental: 0 V t dv Dada dúa carga puntuai i e j fixa, en ituación etática, eparada por unha ditancia r, Coulomb obervou ue a forza ue exerce i obre j é proporcional ao produto da carga e inveramente proporcional ao cadrado da ditancia; matemáticamente: i j F = K tr ij rij 1 K é unha contante de proporcionalidade ue no S.I. vale K = 4rf e é unha contante ue depende do medio e denomínae contante dieléctrica do medio. Se o medio é o baleiro k vale: K = 9.10 9 S.I. Se i j < 0, é dicir i ou j negativa, a expreión da forza é opota ao vector de poición ue une i con j; nete cao die ue a forza é de atracción i j i j Fij =-K tr ij = K (- ij) tr rij rij tr F Se i j > 0, é dicir, i e j on amba poitiva ou amba negativa, a forza ten o memo entido ue o vector de poición ue une i con j; entón die ue a forza é de repulión. tr F lei de Coulomb verifica a lei de acción e reacción de Newton Fij =- Fji xa ue tr ij =- tr ji Se temo unha ditribución de carga puntuai, a forza ue e exerce obre unha carga é a uma da forza ue exerce cada carga por eparado, é dicir, a lei de Coulomb verifica o principio de uperpoición. Ito é certo e o medio é lineal. F i = / F ji = F 1i + F i +... (Eta lei foi obtida anteriormente por Cavendih, pero nunca a publicou) j 3
CMPO ELECTROSTÁTICO 3.- Traballo forza exercida por unha carga i obre unha carga j ue etea ituada a unha ditancia r vén dada pola lei de Coulomb i j F ij = K tr ij rij Ten imetría eférica, é dicir, a carga i exerce a mema forza obre a carga j ituada en caluera punto da efera de radio r, e é non direccional -non ten función trigonométrica-. En conecuencia, a forza electrotática é unha forza conervativa. Entón, o traballo para levar unha carga j dede un punto a outro, baixo a acción da forza eléctrica exercida pola carga i, é independente do camiño ue una o dou punto. Por ea razón e elixen dúa efera concéntrica coa carga i, e ue paen polo punto e. traxectoria elixida é a eguinte: Qi j F Dede o punto eguindo o radio até o punto C, e dede C até pola uperficie eférica. O traballo para levar a carga j dede o punto até o punto é igual á uma do traballo para levar a carga dede até C e dede C até. W, = W,C + W C, O traballo para levar a carga j dende o punto C até o punto é nulo, porue a forza e o camiño percorrido on perpendiculare (a forza é de dirección radial e o camiño percorrido é tanxente á uperficie). W, = W,C = C C i C j F $ dl = i k r tr $ dl = j k r dr = K i j : -1 D r tr e dl on paralelo C i j i j W, = K r - K r Poden dare ditinta opción no valor do traballo, egundo exan o igno da carga a) i j >0 1) Se r <r & r 1 > r 1 & W, >0 traballo realizado polo propio campo ) Se r >r & r 1 < r 1 & W, <0 traballo realizado en contra do campo 4
CMPO ELECTROSTÁTICO b) i j <0 1) Se r <r & r 1 > r 1 & W, <0 traballo realizado en contra do campo ) Se r >r & r 1 < r 1 & W, >0 traballo realizado polo propio campo 3.1.-Enerxía Potencial Electrotática Como a forza electrotática é conervativa, deriva dun campo ecalar a travé do gradiente. F =-grd U e o traballo vén dado por W, = du F $ dl =- grdu $ dl =- $ dl =-U dr =-(U - U ) O campo ecalar U ten unidade de enerxía e denomínae Enerxía Potencial Electrotática. O traballo para levar unha carga j dede o punto até outro é igual a meno a variación da enerxía potencial electrotática. Para calcular a enerxía electrotática nun punto do epazo, temo ue elixir unha orixe de enerxía. O punto de referencia é o infinito, ao ue lle aignamo valor cero da enerxía electrotática. Si = 3 & U = 0 i j i j W, = K r - K =-(U r - U ) i j i j K 3 - K =-(U r - 0) i j U = K r uperficie de nivel da enerxía electrotática on efera concéntrica coa carga. 4.- Campo Electrotático magnitude activa ue crea o campo electrotático é a carga. Caluera carga orixina unha perturbación en todo o punto do epazo ue a rodea. Eta perturbación pone de manifeto cando ao colocar unha carga-tetemuña nun punto do epazo, obre ela aparece unha forza ue vén dada pola Lei de Coulomb i j F ij = K tr ij rij Definimo Intenidade de campo eléctrico como o cociente entre a forza ue exerce a carga obre a carga-tetemuña, é o valor da carga-tetemuña F,o E = lim 0"0 o 5
CMPO ELECTROSTÁTICO Eta definición é valida para todo tipo de carga, ditribución de carga ou puntuai. Se temo ditribución de carga, teremo ue eliminar caluera ditorión ue altere a ditribución de carga orixinai; por ea razón introducimo o límite. Se conideramo carga puntuai E = o K r o tr = K t r r O campo eléctrico repreenta en cada punto unha propiedade local aociada a dito punto.unha vez conocido o campo nun punto non neceitamo aber uen no orixina para calcular a forza obre unha carga u outra propiedade relacionada co campo. O Campo eléctrico é un campo vectorial etacionario ue non depende do tempo. o colocar unha carga nun punto aparece de forma inmediata o campo, e ao uitala deaparece. Como a magnitude activa é un ecalar a liña de campo electrotático on aberta. liña de campo on a traxectoria ue eguirían a partícula poitiva e e abandonaen libremente á influencia da forza do campo. a b Liña de campo eléctrico dunha carga negativa (a) e dunha poitiva (b) Liña de campo eléctrico dunha carga poitiva e dunha negativa 5.- Potencial Electrotático O campo electrotático é un campo conervativo, ten imetría eférica (caluera punto dunha efera ten o memo módulo de campo), e é non direccional (na expreión do campo non aparecen función trigonométrica); polo tanto, verifica ue dv E =-grd V =-, V campo ecalar dr e a circulación entre dou punto é independente do camiño elixido para unilo. Definimo variación de potencial como: TV =- E $ dl diferenza de potencial entre dou punto é igual á circulación do campo eléctrico entre ee dou punto cambiado de igno. Para unha carga puntual TV =- E $ dl =- K r t r $ dr = K r - K r 6
CMPO ELECTROSTÁTICO Para calcular o potencial nun punto, temo ue elixir unha orixe de potenciai. O punto de referencia é o infinito, ao ue lle aignamo valor cero do potencial electrotático. Si / 3 r " 3 V=Kr e V = 0 Se a carga é poitiva, o potencial é poitivo; e a carga é negativa, o potencial é negativo. uperficie euipotenciai on efera concéntrica coa carga, e o campo eléctrico diríxee empre cara a potenciai decrecente. liña de campo electrotático on perpendiculare a uperficie euipotenciai. V3 V V1 V1 V V3 V1 > V > V3 V1 1 V 1 V3 5.1.- Relación entre potencial e traballo W, = F $ dl = E $ dl = E $ dl = ]-TV g =- ^ V - V) h W, = ]V - V g = V diferenza de potencial entre dou punto pódee definir tamén como o traballo para levar a unidade de carga poitiva entre ee dou punto. 6.- Teorema de Gau Imo calcular o fluxo do campo eléctrico a travé dunha uperficie fechada ue engloba unha carga puntual. Imo coniderar unha uperficie d, o flujo a travé dea uperficie definee como dz = E $ d e repreenta o número de liña de campo ue atravea un elemento de uperficie normal o campo. Subtituindo a expreión do campo eléctrico dz = K rt $ d = K d co a r r d coa é a proxección do vector uperficie na dirección de r, e repreenta a uperficie efectiva ue e oberva dede o punto onde e encontra a carga. 7
CMPO ELECTROSTÁTICO Definimo ángulo ólido, como o ángulo baixo o ue e ve a uperficie d coa, como O fluxo a travé da uperficie d, erá dx = d co a r 1 dz = dx 4rf O fluxo total ue atavea unha uperficie fechada é a uma do fluxo elementai φ = E d = 1 4πε O ángulo ólido baixo o ue e ve a uperficie é o memo para caluera uperficie fechada, por io eliximo como uperficie de referencia unha efera. O ángulo ólido baixo o ue e ve unha efera é 4r φ = E d O fluxo neto non depende da forma da uperficie fechada, e tampouco de como ete ditribuida a carga. Se fóra da uperficie fechada temo unha carga, eta inflúe no fluxo? repota é ue non, porue a liña de campo eléctrico entran pero tamén aen, e o fluxo neto ería cero. Ω = ε dω 6.1.- plicación da lei de Gau lei de Gau permíteno calcular o campo eléctrico creado por carga ue teñan imetría, por exemplo unha efera. expreión anteriore on válida para unha carga puntual, pero etendémola a ditribución de carga. Ito é poible pola lei de Gau. a) Para unha efera con ditribución uniforme de carga con r > R Como uperficie gauiana excollemo unha efera concentrica a efera cargada φ = E d = E d coα = E d = E d = E = E4πr Por razón de imetría o campo eléctrico é normal a uperficie gauiana e con modulo contante en todo eu punto 8
CMPO ELECTROSTÁTICO plicando a lei de Gau, z = f = E 4rr E = 4rfr = K r O campo eléctrico creado por unha ditribución eférica uniforme de carga é igual ao creado por unha carga puntual ituada no centro da efera. con r < R O procedemento é o memo ue no cao anterior, coa diferenza de ue a carga non é a total do corpo, enón a parte comprendida até r z = f G = E 4rr, G = t V G = t 3 4 rr 3 carga de Gau, carga contida dentro da uperficie de Gau t 3 4 rr 3 f tr = E 4rr & E = 3f Dentro da efera, o campo eléctrico medra linealmente. b) Para un plano infinito con ditribución uperficial de carga Por imetría o exite compoñente do campo na dirección perpendicular ao plano. Como uperficie de Gau conideramo un cilindro cuxo eixe é perpendicular ao plano. Poto ue a bae etan a mema ditancia do plano, a inteidade do campo eléctrico é a mema. U = U S1 + U S + U SL U S1 = E $ d = E S S1 U S = E $ d = E S S U SL = $ d = 0 E = S E SL U = E S + E S = E S plicando o teorema de Gau v S v E S = f & E = f Na práctica á lamina on finita e o campo coniderae contante e perpendicular no punto centrai e, ue e atopan a unha ditancia peuena comparada con eu tamaño. 9
CMPO ELECTROSTÁTICO 7.- Conductor Definimo condutor en ituación etática a unha uperficie euipotencial, é dicir, unha uperficie con igual potencial. Como o campo eléctrico dentro do condutor é cero, aplicandoa lei de Gau a unha uperficie fechada dentro do condutor obtemo ue a carga é cero. Un condutor cargado en ituación etática non ten carga dentro do condutor; polo tanto, onde e atopa a carga? repota é ue a carga atópae ditribuída pola uperficie, onde exiten forte forza ue lle impiden abandonala, porue non on completamente libre. Como o campo deriva do potencial a travé do gradiente, a liña de campo on perpendiculare á uperficie euipotencial e polo tanto perpendicular á uperficie do condutor. Se o campo eléctrico tivee unha compoñente tanxente á uperficie exerceríae unha forza obre a carga e eta moveríane, non endo unha ituación etática. plicando a lei de Gau podemo calcular o campo eléctrico creado en punto próximo á uperficie do condutor. Tomemo como uperficie gauiana un cilindro ue e atopa metade dentro do condutor e metade fóra. Hai unha contribución ao fluxo total do campo eléctrico oamente do lado da carga ue e encontra na uperficie. $ d = f Q E & $ d = E d = E S E E y d on paralelo E e contante carga contida na uperficie de Gau é Q = v S E S = v S v f & E = f Preión exercida pola forza electrotática obre unha carga nun condutor. v v v E = ES + ER & f n = n + ER & ER = n f f F v v P = F = Q E = vs = S S f f v P = f No cao dun condutor ue teña unha punta, a úa uperficie é moi peuena e polo tanto a denidade uperficial de carga é grande; ito orixina unha preión obre a carga moi grande, aí como un campo eléctrico inteno, podendo orixinare unha forte ionización do medio ue rodea o conductor. De aí ue o pararraio teñan punta. 7.1.- Campo eléctrico nunha cavidade do conductor Non hai campo eléctrico no condutor; pero, ue ucede na cavidade?. Demotraremo ue e a cavidade etá baleira, non hai campo no eu interior caluera ue exa a forma da cavidade do condutor. Conideremo unha uperficie gauiana ue peche a cavidade pero ue e atopa en 10
CMPO ELECTROSTÁTICO todo punto dentro do material conductor. En todo punto da uperficie gauiana o campo é cero e, polo tanto, non hai fluxo a travé da uperficie e a carga total é cero. Pero pode ocorrer ue haxa a mema cantidade de carga poitiva ue negativa. Tal ituación non pode er excluída por medio da lei de Gau, pero imo ver ue non é poible. Imaxinemo agora un camiño ue cruce a cavidade ao longo dunha liña de campo ue nace dunha carga poitiva e morre nunha negativa, e ue retorne ao punto de partida a travé do condutor. circulación do campo dentro do condutor é cero, poto ue o campo é cero, e como a circulación do campo ao longo de caluera liña fechada é cero (hai ue lembrar ue o campo eléctrico é conervativo), a circulación dentro da cavidade ten ue er cero, e entón non pode haber campo dentro dunha cavidade baleira nin carga na uperficie interna. Queda demotrado, poi, ue e unha cavidade etá completamente encerrada por un conductor, ningunha ditribución etática de carga no exterior pode producir campo no interior. Ito explica o principio de blindaxe dun euipo eléctrico, ue e conegue ao ubicalo dentro dunha caixa metálica. O memo razoamento poden er utilizado para demotrar ue ningunha ditribución etática de carga no interior dun condutor fechado pode producir campo no exterior e eta conetado a terra. blindaxe funciona no dou entido. a) r < R 7..- Efera conductora O campo eléctrico é cero, por definición de condutor b) r > R U = E $ d = E d coa = E d = E d por imetría coa = 1 é E e contante en todolo punto da efera plicando a lei de Gau, U = f = E 4r r E = 4rf r = K r unha efera condutora compórtae igual ca unha carga puntual en punto fóra da efera c) Potencial da efera condutora Como a efera condutora e comporta como unha carga puntual en punto exteriore a ela, o potencial virá dado polo potencial creado por unha carga puntual. Na uperficie do condutor o eu valor calcúlae ubtituíndo o valor de r polo radio d) Efera condutora Temo dúa efera condutora, cada unha cun radio diferente, ue e cargan a potenciai diferente. Que ocorre cando e unen mediante un fío condutor de capacidade deprezable? 11
CMPO ELECTROSTÁTICO carga inicial do itema erá a uma da dúa carga. o unire mediante o fío, a dúa efera condutora convértene nunha oa, polo ue oamente pode haber unha uperficie euipotencial. Para coneguir ito ten ue haber unha reditribución de carga no condutore, e hai tranferencia de carga dunha efera a outra para ue o potenciai de amba efera exan iguai. carga final é igual á inicial. 7.3.- Condenadore Un condenador é un itema de dou condutore en etado de influencia total, é dicir, a liña de campo ue aen dun condutor morren no outro. Un condutor ten carga +Q e o outro carga -Q. O condenadore poden er de vario tipo egundo a úa forma xeométrica. Veremo o condenador plano. Polo teorema de Gau $ d = f Q E Q v S v E $ d = E d = E S & E S = S f = f & E = f diferenza de potencial entre placa ven dado por d v TV =- E $ dl = E dl = E d = l 0 f d Definimo capacidade dun condenador ao cociente entre a carga e a diferenza de potencial Q v C = = TV v S f S = f d d unidade o faradio F 8.- Enerxía electrotática Calculemo o enerxía necearia para aumentar en d a carga 1 do condenador, e dicir, para tranportar a carga -d dende a placa 1 a. O traballo ven dado pola expreión W = V polo, tanto o traballa para levar a carga -d e dw = d ( ) ( V ) = d. V carga dun condenador eta relacionado co potencial = CV d = Cd V O traballo e polo tanto a enerxía para cargar o condenador ven dado por dw = C.d V. V = du U = 1 CV Valido para cal uer condenador. capacidade dun condenador plano e 1
CMPO ELECTROSTÁTICO C = εs d exitencia de carga na armadura do condenador ten como conecuencia a preencia dun campo eléctrico en todo o epazo entre a placa, podemo penar polo tanto ue a enerxía electrotática eta aociada a ete campo e ditribuíe no epazo dende eta o campo. U = 1 εs d E d = 1 εe Sd O volume do condenador e Sd, polo tanto, a denidade de enerxía e proporcional ao campo electrotático. U = 1 εe 13