1 Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΤΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ Απρίλης 014 Ασκήσεις επανάληψης στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου, χ. Έτος 013-14 του Μανώλη Ψαρρά Άσκηση 1 η Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασσικού αθλητισμού σε ένα στάδιο αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο ημικύκλια (όπως δείχνει το παρακάτω σχήμα) Αν η περίμετρος του στίβου είναι 400m και ορθογωνίου ΑΒΓΔ. το εμβαδόν του 00. Να δείξετε ότι: 400 0. Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου ΑΒΓΔ ώστε το εμβαδόν του να γίνει μέγιστο. Άσκηση η Δίνεται η συνάρτηση, f e [1]
. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f και να βρεθεί η εξίσωση εφαπτόμενης της, στην αρχή των αξόνων.. Να βρεθεί το όριο: f ' lm 1 3 5. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της f. Άσκηση 3 η Δίνεται η συνάρτηση f ln 0. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f και να βρεθεί η εξίσωση εφαπτόμενης της, στο σημείο Α με τετμημένη το 1.. Να βρεθεί το όριο: f ' lm 1 5. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f. Άσκηση 4 η f 5ln 1 3, Δίνεται η συνάρτηση. Να βρεθεί η παράγωγος της συνάρτησης f και στη συνέχεια να βρεθούν οι εφαπτόμενες στη γραφική παράσταση παράλληλες στην ευθεία : y 014 C f που είναι. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f. []
Άσκηση 5 η Δίνεται η συνάρτηση f( ) 4 με 0. Αν y, τυχαίο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. α) Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της P( 1, 4). Αν η εφαπτόμενη (ε) της άξονες ' του τμήματος ΑΒ. C f τέμνει τους ' y y στα σημεία Α, Β αντίστοιχα δείξτε ότι το Ρ είναι μέσο β) 1. Να δείξετε ότι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΟΜ δίνεται από το τύπο 16.. Να βρεθεί το σημείο Μ της γραφικής παράστασης C f ώστε το τμήμα ΟΜ να γίνεται ελάχιστο. Άσκηση 6 η το νησί της Νάξου τον Ιούνιο μετρήθηκε η μεγαλύτερη ημερήσια θερμοκρασία για 8 συνεχείς μέρες και καταγράφηκαν σε βαθμούς Κελσίου 0 C οι θερμοκρασίες : 1, 9, 7, 5, 31,α,1, 9 ώστε η μέση θερμοκρασία να είναι X 5. Να δείξετε ότι α=7 0 C. Να βρεθεί η διάμεσος τιμή δ και η τυπική απόκλιση s. [3]
. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές ή όχι; Άσκηση 7 η Δίνεται ο παρακάτω πίνακας που αναφέρεται στις παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ, οι οποίες έχουν μέση τιμή X 6 [, ) [1, 3) 40 % [3, 5) 60 30 f [5, 7) 130 F % [7, 9) 40 85 [9, 11) 30 ΤΝΟΛΟ I. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. II. III. Να βρείτε τη διακύμανση. Να βρείτε τη διάμεσο. Άσκηση 8 η Δίνονται οι αριθμοί: 7, 5,, 1, 5, 10 I. Να βρείτε τη διάμεσο και τη μέση τιμή των αριθμών II. Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές και να βρείτε τον μικρότερο θετικό ακέραιο a που πρέπει να προσθέσουμε σε καθένα από τους προηγούμενους αριθμούς ώστε το νέο δείγμα των αριθμών να είναι ομοιογενές. [4]
Άσκηση 9 η ε δύο σχολεία μας πόλης Α και ενός χωριού Β η βαθμολογία στο μάθημα της τατιστικής στις Πανελλαδικές Εξετάσεις ήταν περίπου κανονική, παρουσιάζοντας τα εξής δεδομένα : τη πόλη Α το 50% των μαθητών έγραψε πάνω από 1,ενώ το 49,85% έχει βαθμολογία μέχρι 18. το χωριό Β το 16% των μαθητών έχει βαθμολογία μέχρι 10 ενώ από 10 έως 19 έχει το 81,5% των μαθητών. 1) Να βρείτε τη μέση τιμή, τη τυπική απόκλιση. ) Να συγκρίνετε τις βαθμολογίες των μαθητών της πόλης Α και του χωριού Β ως προς την ομοιογένεια. Άσκηση 10 η Σο 75% των μαθητών μιας πόλης έχει κινητό τηλέφωνο,το 35% έχει Ηλεκτρονικό Τπολογιστή (Η/Τ),το 0% και τα δύο. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή της πόλης. Να βρεθεί η πιθανότητα :. Να έχει ένα τουλάχιστον από τα δύο... Να έχει ένα μόνο από τα δύο. Να μην έχει κανένα από τα δύο. Άσκηση 11 η Αν 1,,3,4 δειγματικός χώρος (δ. χ.) με 4 1 3 3 1. Αν ί ί : 3 4 6 0 3 [5], έ ύ ά ά : f 9 4 16 Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:,,,,,
Άσκηση 1 η Αν, δύο ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου για τα οποία ισχύουν: ' 0,48 ' 0,51. Να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα.. 1,01 Άσκηση 13 η 1 και Αν Α, Β ενδεχόμενα του δ. χ. Ω ώστε: 5 8. Να βρεθεί η πιθανότητα να πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τε ενδεχόμενα Α και Β. Να βρεθεί η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β. Να βρεθεί το άθροισμα v. Να βρεθεί η μεγίστη τιμή του γινομένου Άσκηση 14 Αν η συνάρτηση Α του δ. χ. Ω f 6 5 είναι η πιθανότητα του ενδεχομένου. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της πιθανότητας. Αν f ασυμβίβαστα να δείξετε ότι τα ενδεχόμενα Α, Β δεν είναι v. Αν ισχύει η υπόθεση του ερωτήματος ) και 9 5 5 ότι να δείξετε 5 [6]
Άσκηση 15 Α. Να δείξετε ότι η μέση τιμή των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου είναι ίση με τη μέση τιμή του πρώτου και τελευταίου όρου. Β. Αν μια αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο 1 6 και διαφορά 4 να βρεθούν οι 5 πρώτοι διαδοχικοί όροι με διάμεσο δ=50 Γ. Αν μια αριθμητική πρόοδος έχει πρώτο όρο 1 6 και διαφορά 4 να βρεθούν οι 6 πρώτοι διαδοχικοί όροι με διάμεσο δ=4 Άσκηση 16 ln t 1, t, t, 8 t 1 Δίνονται οι αριθμοί :. Να βρείτε για ποια τιμή του t, η μέση τιμή των 4 αριθμών γίνεται μεγίστη και να την υπολογίσετε.. Γα τη τιμή του t που βρήκατε στο ερώτημα ) να βρείτε τη Άσκηση 17 η διάμεσο των τεσσάρων αριθμών. Αν Χ η βαθμολογία που έγραψαν στις πανελλαδικές εξετάσεις οι 0 μαθητές της Σεχνολογικής Κατεύθυνσης στο μάθημα της Οικονομικής Θεωρίας δίνονται από το παρακάτω πίνακα σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους, ώστε η συχνότητα της 3 ης κλάσης είναι διπλάσια της 4 ης, f a 8, 0,1,, 0 108, 0 ύνολο [7]
Ζητούνται:. Να συμπληρωθεί ο πίνακας... Να βρεθεί η διάμεσος. 10 155 y, 1,,3,4 να βρεθούν: 3 α. Η μέση τιμή Y και η τυπική απόκλιση S y β. Η μέση τιμή X και η τυπική απόκλιση S γ. Να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Άσκηση 18 η Μια μεταβλητή Χ παρουσίασε ένα δείγμα 1 40 ατόμων με μέση τιμή 3 6 και τυπική απόκλιση S1. Μια άλλη μεταβλητή Y παρουσίασε ένα άλλο δείγμα 60 ατόμων με μέση τιμή 8 και τυπική απόκλιση s 9,.. Να βρείτε ποιο δείγμα έχει την μεγαλύτερη ομοιογένεια.. Αν θεωρήσουμε τα δύο δείγματα ως ένα δείγμα να βρείτε τη νέα μέση τιμή και τη νέα τυπική απόκλιση των 100 ατόμων.. Να βρείτε το μικρότερο θετικό ακέραιο που πρέπει να προσθέσουμε στις τιμές της μεταβλητής ώστε το δείγμα των 100 ατόμων του ερωτήματος ) να είναι ομοιογενές. [8]