SOFTWARE-T APLIKATIVE LËNDË ZGJEDHORE: FAKULTETI I INXHINIERISË MEKANIKE VITI I PARË, SEMESTRI I PARË

Dr. sc. Ahmet SHALA SOFTWARE-T APLIKATIVE LËNDË ZGJEDHORE: FAKULTETI I INXHINIERISË MEKANIKE VITI I PARË, SEMESTRI I PARË PRISHTINË, 2004-2010

Dr. sc. Ahmet SHALA PARATHËNIE Programe që mund të i shfrytëzojmë në Inxhinieri, janë: MathCad për matematikë, ndërsa për nivele më të larta Matlab - gjuhë programuese dhe programi ekspert IQ100 për Statikë, etj. MathCad mund të shfrytëzohet për caktim të reaksioneve (zgjidhje të sistemeve të ekuacioneve të ekuilibrit) si dhe për llogaritje dhe vizatim të diagrameve statike, duke i analizuar të gjitha specifikat e diagrameve statike si rastet kur forca transversale është zero, momenti i përkuljes maksimal. Gjithashtu ky softver mund të përdoret mjaft mirë në analizë dhe sintezë të mekanizmave etj. Matlab si gjuhë programuese e nivelit të lartë është i destinuar për lëmine e rregullimit në përgjithësi. Baza e punës së këtij softveri është në matrica. Kjo përmbledhje detyrash është e renditur sipas plan-programit të lëndës Software-t Aplikative (semestri i parë) për nivelin e studimeve Bachelor në Fakultetin e Inxhinierisë Mekanike por mund të përdoret edhe nga ana e studentëve dhe studiuesve tjerë të lëmive teknike. IQ100 mund të shfrytëzojmë për caktim të reaksioneve dhe llogaritje e vizatim të diagrameve statike (forcave aksiale, forcave transversale dhe momentit në përkulje) të trupave sistemit të trupave që shtrihen në rrafsh. Gjithashtu duhet të thuhet se këtij ekspert programi nuk i intereson se a kemi të bëjë me trupa-sisteme statikisht të caktuara apo statikisht të pacaktuara, mund të vendoset çfarëdo ngarkese e vijueshme e përshkruar me çfarëdo funksioni, mund të analizohen një mori lloje të mbështetësve deri edhe ata elastik (me susta). Mund të caktohen uljet (spostimet), të analizohet epja etj. Me program vijnë edhe disa shembuj të zgjidhur, etj. Mendojmë se me aplikim të këtyre softverëve aplikativë do t i tërheqim studentët më tepër, dhe kurrsesi nuk do të shkaktojmë mos studim të hollësishëm të lëmive në aspektin teorik, përkundrazi do të kemi më shumë kohë për studim të rasteve të veçanta speciale e nuk do të humbim kohë në zgjidhje p.sh të një sistemi të ekuacioneve të komplikuar, etj. Fundja Njeriu e ka krijuar teknologjinë për t ia lehtësuar punët vetit e jo për t ia komplikuar. Duke qenë i hapur për vërejtje dhe sugjerime qëllim mira, shpresojmë se ky libër do të mirëpritet. Prishtinë, Shtator 2004-2010 Autori 2

Software-t Aplikative P ë r m b j a t j a PARATHËNIE... 2 SOFTVERI MATHCAD 1. STARTIMI I SOFTVERIT MATHCAD-PROFESSIONAL... 4 2. OPERACIONET ARITMETIKORE ME NUMRA... 5 3. VLERA E FUNKSIONEVE THEMELORE TRIGONOMETRIKE... 6 4. LOGARITMI NATYRAL DHE AI ME BAZË ARBITRARE... 8 5. VEPRIMET ME NUMRA KOMPLEKS... 9 6. VEPRIMET-OPERACIONET ME NJËSI... 11 7. ZGJIDHJA E EKUACIONEVE DHE SISTEMEVE TË EKUACIONEVE... 14 7.1. Zgjidhja e ekuacionit linear me një të panjohur... 14 7.2. Zgjidhja e ekuacionit kuadratik... 15 7.3. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve... 17 7.4. Zgjidhja e inekuacioneve... 20 8. VEPRIMET ME VEKTOR DHE MATRICA... 21 8.1. Veprimet me vektor... 21 8.2. Veprimet me matrica... 22 9. PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE... 24 9.1. Funksionet me një variabël... 24 9.2. Funksionet që ndryshojnë në intervale të veçanta sipas argumentit... 26 9.3. Grafiku i funksioneve parametrike... 27 9.4. Funksionet me dy variabla... 28 10. DERIVATET DHE INTEGRALET E FUNKSIONEVE... 29 SOFTVERI MATLAB (MATrix LABoratory) HYRJE... 31 1. INSTALIMI DHE STARTIMI I SOFTVERIT MATLAB... 31 2. PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE... 35 3. MATLAB / SIMULINK... 42 3.1. Krijimi i Modelit për zgjidhje të ekuacioneve (Sistemit të ekuacioneve) diferenciale të të gjitha llojeve... 48 SOFTVERI IQ 100 HYRJE... 53 DETYRA 1 (Trau i thjeshtë i ngarkuar me forca të përqendruara).... 56 DETYRA 2 (Trau konzolë).... 61 DETYRA 3 (Trau me lëshime).... 64 DETYRA 4 (Trau i Gerberit).... 70 DETYRA 5 (Mbajtësi RAM).... 74 DETYRA 6 (Mbajtësi KAPRIATE).... 77 3

Dr. sc. Ahmet SHALA 1. STARTIMI I SOFTVERIT MATHCAD-PROFESSIONAL Pas instalimit të softverit MATHCAD, ai startohet përmes file-it mathcad.exe apo icon-nës që krijohet gjatë instalimit në Desktop ose në menynë kryesore Start/Programs/Mathsoft/Mathcad 2001 professional: Në vijim është paraqitur pamja e dritares kryesore të programit MathCad, nga ku shihen veglat të cilat ai posedon, lehtë shihen mundësitë e mëdha të tij për aplikim përkatësisht edhe programim. Me rëndësi për këtë program është se shënimet matematikore janë identike me ato shënime që i kemi mësuar tek matematika me dorë. 4

Software-t Aplikative 2. OPERACIONET ARITMETIKORE ME NUMRA Në këtë pjesë është paraqitur realizimi i operacioneve të thjeshta aritmetikore ndërmjët dy numrave. Shkruani dy numra: a := 17 b := 68.10 Mbledhja: a Zbritja: + b = 85.1 a b = 51.1 Prodhimi: a b = 1.158 10 3 Pjestimi: a b = 0.25 Rrenja katrore: a = 4.123 b = 8.252 Rrenja e n-të: n := 3 n a = 2.571 n b = 4.084 Fuqizimi: a b = 6.217 10 83 Rezultati thysor: b = 681 10 Rezultati numra të perzier: b = 68 1 10 5

Dr. sc. Ahmet SHALA 3. VLERA E FUNKSIONEVE THEMELORE TRIGONOMETRIKE Në vazhdim është paraqitur mënyra e llogaritjes së funksioneve themelore trigonometrike, argumenti është në radian. Shkruani vlerën e argumentit: x := 0.5236 Vërejtje: kur nuk shkruhet njësia e këndit ai është në radian, nëse shumëzohet me deg argumenti është në shkallë. Vlerat e funksioneve trigonometrike për x të dhënë: sinusi i këndit: sin( x) = 0.5 kosinusi i këndit: cos( x) = 0.866 tangjenti i këndit: tan( x) = 0.577 kotangjenti i këndit: cot( x) = 1.732 Shkruani vlerën e argumentit në shkallë: x := 30 deg Vlerat e funksioneve trigonometrike për x të dhënë në shkallë: sinusi i këndit: sin( x) = 0.5 kosinusi i këndit: cos( x) = 0.866 tangjenti i këndit: tan( x) = 0.577 kotangjenti i këndit: cot( x) = 1.732 6

Software-t Aplikative Gjithashtu mund të llogariten edhe funksionet e kundërta trigonometri Shkruani vlerën e argumentit: x := 0.5 Vlerat e funksioneve trigonometrike për x të dhënë: Vërejtje: nëse pjestohet me deg rezultati do të fitohet në shkallë, në të kundërtën në radian. "arcsin-arkussinus" i këndit: asin( x) deg = 30 "arccos-arkuskosinus" i këndit: acos( x) deg = 60 "arctg-arkustangjent" i këndit: atan( x) = 0.464 "arcctg-arkuskotangjent" i këndit: acot( x) = 1.107 7

Dr. sc. Ahmet SHALA 4. LOGARITMI NATURAL DHE AI ME BAZË ARBITRARE Llogaritja e logaritmit natyral dhe atij me bazën Shkruani një numër pozitiv: x := 5.67 Logaritmi natyral: ln( x) = 1.735 Logaritmi me bazë 10: log( x) = 0.754 Llogaritja e logaritmit me bazë arbitrare. Shkruani një numër pozitiv: x := 12.78 Shkruani bazën e logaritmit: b := 2 Logaritmit i numrit x me bazë b: log( x, b) = 3.676 që është identike me: ln( x) ln( b) = 3.676 8

Software-t Aplikative 5. VEPRIMET ME NUMRA KOMPLEKS Shkruani pjesën reale dhe imagjinare të numrit komleks: a1 := 23.4 b1 := 16.67 Numri kompleks: c1 := a1 + b1 i Vërejtje: Për pjesën imagjinare shkruhet "1i" ose 1j". Numri kompleks është: c1 = 23.4 + 16.67i Numri i konjuguar i këtij numri kompleks është: c1 = 23.4 16.67i Vërejtje: Për të fituar numrin e konjuguar c (me vizë lartë) duhet të shkruhet c dhe pastaj të shtypet butoni në tastaturë që përmban thonjëzat ''. Intensiteti: c1 = 28.731 që është identike me: a1 2 + b1 2 = 28.731 Le të marrim edhe një numër tjetër komleks: a2 := 11 b2 := 1.12 c2 := a2 + b2 i Shuma e numrave kompleks c1 dhe c2: c1 + c2 = 34.4 + 17.79i Ndryshimi i numrave kompleks c1 dhe c2: c1 c2 = 12.4 + 15.55i 9

Dr. sc. Ahmet SHALA Prodhimi i numrave kompleks c1 dhe c2: c1 c2 = 238.73 + 209.578i Sqarim: Duke ditur se i i = -1 dhe: ( a1 + b1 i) ( a2 + b2 i) a1 a2 b1 b2 + ( a1 b2 + b1 a2) i Atëherë a1 a2 b1 b2 = 238.73 ( a1 b2 + b1 a2) i = 209.578i Pjestimi i numrave kompleks c1 dhe c2: c1 c2 = 2.258 + 1.286i Sqarim: Duke ditur se: a1 + a2 + b1 i b2 i ( a1 + b1 i) ( a2 b2 i) ( a2 + b2 i) ( a2 b2 i) a1 a2 + b1 b2 a2 2 b2 2 + + b1 a2 a1 b2 a2 2 b2 2 + Atëherë pjesa reale është: a1 a2 + b1 b2 a2 2 b2 2 + = 2.258 kurse pjesa imagjinare është: b1 a2 a1 b2 a2 2 b2 2 + i = 1.286i 10

Software-t Aplikative 6. VEPRIMET-OPERACIONET ME NJESI MathCad punon në bazë të sistemeve të njohura të njësive që shihen në pamjen vijuese e cila hapet nga menyja kryesore Math/Options : Me qëllim të dhënies së njësisë në vlerën përkatëse së pari shkruhet vlera pastaj ajo shumëzohet me njësinë përkatëse ose duke shkuar në Insert/Unit ose Ctrl+U dhe paraqitet pamja vijuese: Në këtë rast sistemi i njësive është SI dimensioni është për Length-Gjatësi njësia në Meters[m] metra. 11

Dr. sc. Ahmet SHALA Gjithashtu mund të bëhet shndrimi i njësive nga një lloj në tjetrin p.sh. metrat në centimetra ose metrat në inches etj. që janë shtjelluar në vijim. Nëse dëshirojmë të kthejmë një metër = 1 m në centimetra, atëherë e ekzekutojmë prodhimin dhe me double click ose me veprim si në pamjet paraprake definojmë njësinë e dëshiruar ose shkruajmë direkt në katrorin e zi cm dhe do të fitojmë: Në mënyrë analoge bëjmë shndërrimin e metrave në njësi të dimensionit të njëjtë vetëm me emërime tjera. Gjithashtu mund të kryhen veprime të mbledhjes, zbritjes, shumëzimit dhe pjesëtimit me njësi, normalisht duke mos ua humbur kuptimin fizik (mbledhje te mollëve me dardha). Duhet theksuar se veprimet aritmetikore ndërmjet vlerave të dimensionit të njëjtë por të njësive të ndryshme janë të lejuara, rezultati do të jetë në sistemin e definuar paraprakisht si në vijim, që në rastin tonë është SI: 1.5 m ose 1.5 m + 20 cm = 1.7m + 20 cm 0.5 ft + + 2 yd = 3.681 m Nga këto që paraqitëm më lartë shihet se duhet pasur kujdes gjatë përdorimit të emërimeve sepse mund të ndikojmë në emërimet bazë të softverit MathCad dhe të përziejmë shënimet apo të mos kemi rezultat e në rastin më të keq rezultate jo-reale pra kontradiktore. Për këtë arsye kur vendosim të punojmë me njësi, duhet t u ikim përdorimit të emërimeve të reja me m, min, hr, s etj. sepse këto janë të rezervuara për metra, minuta, orë, sekonda, etj. Udhëzim/Preferencë: Nga problematika e shtjelluar më parë rrjedhë udhëzimi se gjatë punës me kompjuter-softver aplikativ apo gjuhë programuese të gjitha të dhënat të jenë sipas sistemit ndërkombëtar SI dhe ato të mos shënohen, pas fitimit të rezultateve, njësitë do të nënkuptohen vetvetiu duke u bazuar në sistemin SI. Le të shohim një shembull. 12

Software-t Aplikative Shembull Një automjet ka kaluar rrugën prej d = 1000 m për kohën t = 1.2 min, sa ka qenë shpejtësia dhe nxitimi i automjetit gjatë lëvizjes? Zgjidhje: Rruga e kaluar: d := 1000 m Koha e lëvizjes t := 1.2 min Shprehja për shpejtësi është: d v := t atëherë shpejtësia është: v = 13.889 m s ose në km/h do të jetë (hr=hours=orë): v = 50 km hr Shprehja për nxitim është: a := v t atëherë nxitimi është: a = 0.193 m s 2 13

Dr. sc. Ahmet SHALA 7. ZGJIDHJA E EKUACIONEVE DHE SISTEMEVE TË EKUACIONEVE 7.1. Zgjidhja e ekuacionit linear me një të panjohur Ekuacioni linear me një të panjohur ka një zgjidhje të vetme, prandaj mund të përdoret solve block blloku i zgjidhjes Given, si në vijim. Ekuacioni kuadratik linear me një të panjohur ka formën a x +b = c. Shkruani vlerat e koeficientëve a, b, dhe c: a := 2 b := 2 c := 8 Shkruani një vlerë orientuese për x: Given x := 0 a x + b c x := find( x) Rezultati do të jetë: x = 3 Vërejtje: Blloku i zgjidhjeve Given mund të përdoret për caktimin e zgjidhjeve të çfarëdo ekuacioni apo sistemi të ekuacioneve por duhet pasur kujdes se ku bllok na jep vetëm një zgjidhje të mundshme që orientohet rreth vlerave orientuese fillestare. Shikojeni njësinë në vijim. 14

7.2. Zgjidhja e ekuacionit kuadratik Software-t Aplikative Në vijim është paraqitur caktimi i zerove të funksionit kuadratik polinomial f(x) = ax 2 + bx + c me përdorim të funksionit "polyroots". Shkruani vlerat e koeficientëve a, b, dhe c: a := 1 b := 2 c := 8 v := ( c b a ) T z := polyroots( v) Zerot e ekuacionit kuadratik janë: z = 2 4 ose me përdorim të simbolikës: shkruajmë ekuacionin duke përdorë barazimin e bold-nxirë që vjen me shtypje të Ctrl + = ose e marrim nga menyja Boolean, pastaj vendosim kursorin te variabla x dhe shkojmë në Symbolics/Variable/Solve dhe fitohet rezultati. 15

Dr. sc. Ahmet SHALA Le të provojmë me përdorim të solve block-ut Given: Ekuacioni kuadratik Shkruani një vlerë orientuese për x: Given x 2 x := 0 2 x 8 0 Ekuacioni kuadratik Shkruani një vlerë orientuese për x: Given x 2 x := 2 2 x 8 0 x := Find( x) x := Find( x) Rezultati do të jetë: x = 2 Rezultati do të jetë: x = 4 Kështu pra me ndryshim të vlerës orientuese të x-it kemi fituar dy zgjidhje. Pra çdoherë kërkohet zgjidhja që është më afër vlerës orientuese. Vërejtje: Në rastet kur fitohen shprehje të gjata atëherë vetëm ekzekutohen rezultatet me = dhe rezultatet do të jenë më të qarta, si në shembullin vijues: Në mënyrë analoge zgjidhen edhe ekuacionet e rendeve më të larta se dy. Shikoje shembullin vijues që është kombinim i solve block-ut Given dhe simbolikës dhe do të paraqet të gjitha zgjidhjet e mundshme. 16

Software-t Aplikative 7.3. Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve Le të shohim zgjidhjen e sistemit linear të ekuacioneve: x := 0 y := 0 Given x + y 1 3 y x y + 5 x 0 := Find x, y ( ) Zgjidhja do të jetë: x = 1.5 y = 2.5 Në vijim është paraqitur zgjidhja e sistemit jolinear të ekuacioneve: 17

Dr. sc. Ahmet SHALA x := 0 y := 0 Given x 2 y 2 + 6 x + y 2 zgjidhja:= Find( x, y) zgjidhja= 2.414 0.414 Nga zgjidhja e mëparshme shihet se kemi fituar vetëm një zgjidhje dhe atë reale, nëse dëshirojmë të shohim edhe zgjidhjet tjera përfshi edhe ato imagjinare përdorim shembullin vijues, ku është përfshirë edhe simbolika. x := 0 y := 0 Given x 2 y 2 + 6 x + y 2 zgjidhja:= Find( x, y) 1 2 2 + 1 2 + 1 1 2 zgjidhja= 0.414 2.414 2.414 0.414 Nga ky shembull shihet se ekziston edhe zgjidhje tjetër dhe atë reale. Duhet theksuar se me këtë metodë shihen edhe zgjidhjet imagjinare që është paraqitur në shembullin vijues: 18

Software-t Aplikative kurse me metodën paraprake shihet vetëm një zgjidhje dhe atë nëse ekziston ajo reale, kurse zgjidhjet imagjinare nuk shihen, shih shembullin vijues: x := 0 y := 0 Given x + y 1 3 y + 5 x 2 x 3 + 0 zgjidhja:= Find( x, y) zgjidhja= 0.861 1.861 19

7.4. Zgjidhja e inekuacioneve Dr. sc. Ahmet SHALA Në vijim është paraqitur zgjidhja e një inekuacioni linear me metodën simbolike: Në mënyrë analoge realizohet edhe zgjidhja e inekuacionit të rendit të dytë, që është paraqitur në vijim: Nga kjo lexojmë se zgjidhje janë të gjitha vlerat e x-it ndërmjet numrave 2 dhe +2 si dhe të gjithë vlerat e x-it më të mëdha se 5. 20

Software-t Aplikative 8. VEPRIMET ME VEKTOR DHE MATRICA Meqë matrica e rendit nx1 paraqet vektorë, atëherë veprimet janë analoge. 8.1. Veprimet me vektor Janë dhënë dy vektorë në rrafsh: 2 a := 3 ( nënkupton vektorin a=2 i+3 j+0 k ) 0 b 3 := 2 ( nënkupton vektorin b=3 i+2 j+0 k ) 0 Shuma e vektorëve: a + b = 5 5 0 Ndryshimi i vektorëve: a b = 1 1 0 Produkti skalar i vektorëve: a b = 12 që është identike me: a b ( 2 i + 3 j + 0 k) ( 3 i + 2 j + 0 k) 2 3 i i + 3 2 j j + 0 0 k k 12 ku siq dihet i i = j j = k k =1 dhe i j = i k = j k =0 Produkti vektorial i vektorëve: a b = 0 0 5 21

Dr. sc. Ahmet SHALA që siq shihet është një vektor normal në rrafshin e përfaqësuar nga vektorët a dhe b dhe ka intensitet të barabartë me 5 (pesë). Minus (-) tregon se ka kahje të kundërt me kahjen pozitive në këtë rast të aksit z (k). Kjo është identike me: a b ( 2 i + 3 j + 0 k) ( 3 i + 2 j + 0 k) a b 2 2 ( i j) + 2 0 ( i k) + 3 3 ( j i) + 3 0 ( j k) + 0 3 ( k i) + 0 2 ( k j) a b 4 k + 0 j + 9 ( k) + 0 i + 0 j + 0 ( i) a b 0 i + 0 j 5 k ku siq dihet i x i = j x j = k x k = 0 dhe i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, i x k = -k x i = j 8.2. Veprimet me matrica Në vijim janë paraqitur veprimet themelore me matrica. Matricat e dhëna: 1 M := 5 8 2 N 6 7 9 1 3 := 1 4 1 0 8 2 1 2 1 Shuma e matricave M+N: M + N = 2 9 5 7 0 11 0 4 4 N + M = 2 9 5 7 0 11 0 4 4 Ndryshimi i matricave M-N: M N 0 = 1 16 0 N M = 7 7 7 2 2 Produkti i matricave M N: M N 28 = 35 60 13 N M = 39 54 66 14 15 0 1 7 5 24 15 7 16 7 2 18 18 2 0 2 2 6 6 22

Software-t Aplikative Matrica e transponuar e M: Matrica e transponuar e N: 1 5 6 1 M T = 7 8 9 N T = 0 1 2 3 1 4 8 2 1 2 1 Matrica inverse e M: Matrica inverse e N: 0.333 0.667 0.333 1 M 1 = 0.167 0.167 0.167 N 1 = 0.5 0.167 1.833 Pwrcaktori - determinanta i matricave M dhe N: M = 18 N = 12 1.5 0 0.167 0 0.167 0.667 0.5 0.667 Në vijim është paraqitur mënyra e bashkimit të matricave sipas rreshtave apo shtyllave Matricat e dhëna: A 1 := 3 7 B := 4 2 9 1 3 4 2 7 9 Me përdorim të funksionit stack bëhet bashkimi i matricave njëra nën tjetrën (sipas rreshtave): stack ( A, B) = 1 3 4 1 3 4 2 7 9 2 7 9 Me përdorim të funksionit augment bëhet bashkimi i matricave njëra pas tjetrës (sipas kolonave): augment( A, B) = 1 3 4 2 7 9 1 3 4 2 7 9 23

Dr. sc. Ahmet SHALA 9. PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE 9.1. Funksionet me një variabël Në vijim janë paraqitur pamjet e moduleve që hapen me double cick në grafikun paraprak, kështu kemi realizuar trashësinë më të madhe të lakores f(x), kemi përcaktuar që ndarjet e aksit x të jenë 20 ato të aksit y 10, forma e paraqitjes së grafikut është zgjedhur Boxed-kuti, në grafik të shihen numrat dhe vijat ndarëse, legjenda të mos shihet etj. 24

Software-t Aplikative Gjithashtu përmes modulit paraprak kemi zgjedhur titullin e grafikut, dhe kemi emëruar akset përkatëse. Grafiqet në MathCad mund të paraqiten edhe në forma tjera p.sh në koordinata polare si në vijim: 25

Dr. sc. Ahmet SHALA 9.2. Funksionet që ndryshojnë në intervale të veçanta sipas argumentit Duke shfrytëzuar modulin programming përkatësisht urdhrat Add Line if otherwise është definuar funksioni shkallë në koordinatat e Dekartit dhe ato polare si në vijim: Marrim një interval të x-it: x := 10, 9.9.. 10 Definojmë funksionin: f( x) := 2 + 2 sin( x) if 10 2 if 0 x < 5 x < 0 2 + 2 cos( x) if 5 x < 9 0.25 otherwise 4 3 f ( x) 2 1 0 10 5 0 5 10 x 26

Marrim një interval për θ : θ := 0, 0.01.. 360 deg Definojmë funksionin: ( ) := 7 2 sin( θ) r θ Software-t Aplikative ( ) + 2 cos θ if 0 θ < 7 if 45 deg θ < ( ) 225 deg ( ) 45 deg 7 + 2 sin θ 2 cos θ if 225 deg θ 7 otherwise 360 deg 120 90 10 60 8 r( θ) 150 6 4 2 30 7 180 0 0 210 330 240 270 θ Siç shihet ky grafik paraqet një të ashtuquajtur gungë. 300 9.3. Grafiku i funksioneve parametrike Shkruani ekuacionet parametrike për x dhe y në funksion të parametrit t: x( t) := sin( 2 t) y( t) := sin( 3 t) 1 Lakorja parametrike y( t) 0 1 1 0 1 x( t) 27

9.4. Funksionet me dy variabla Dr. sc. Ahmet SHALA Shkruani funksionin f(x,y) grafikun e të cilit e dëshironi: f( x, y) := x 3 sin( 4 y) + y 2 cos( 3 x) Grafiku 3D scatter: f Sipërfaqja e interpoluar: f 28

Software-t Aplikative 10. DERIVATET DHE INTEGRALET E FUNKSIONEVE Siç është parë më herët softveri MathCad posedon një modul të specializuar për derivate dhe integrale të funksioneve Calculus. Le të shohim se si llogaritet në mënyrë simbolike një derivat i funksionit. Pas shënimit të shprehjes për derivimi e selektojmë atë dhe shkojmë në Symbolics/Evaluate/Symbolically ose përmes tastaturës Shift+F9 dhe fitojmë rezultatin: Siç shihet moduli Calculus përmban nën-module për llogaritje të derivateve të rendeve n-ta, integraleve të caktuara dhe të pacaktuara, shumave, prodhimeve si dhe limiteve. Gjithashtu këtu gjen përdorim edhe moduli Symbolic 29

Dr. sc. Ahmet SHALA Llogaritja e derivatit të parë me simbolikë: ( ) d x 2 x + x2 + 2 sin( x) d 2 + 2 x + 2 cos( x) Llogaritja e derivatit të dytë me simbolikë: ( ) 2 d 2 x + x 2 + 2 sin( x) 2 2 sin( x) 2 dx Llogaritja e integralit të pacaktuar me simbolikë: ( ) 2 x + x 2 + 2 sin( x) dx x 2 1 + 3 x3 Llogaritja e integralit të caktuar: 2 ( 2 x + x 2 + 2 sin( x) ) dx = 7.246 1 Llogaritja e limit të funksionit me simbolikë: lim x 2 ( ) 2 x + x 2 + 2 sin( x) 2 cos( x) 8 + 2 sin( 2) = 9.819 Llogaritja e shumës: n := 10 Llogaritja e prodhimit: n ( 2 i + i 2 n ) = 495 3 i 2 2 i = 6.184 10 16 i = 1 ( ) i = 1 Gjithashtu mund të realizohet paraqitja grafike e funksionit së bashku me derivateve të tij: Marrim një interval të x-it: x := 10, 9.99.. 10 Definojmë funksionin: f( x) := 2 x + x 2 + 2 sin( x) f ( x) d dx f ( x) 2 d f ( x) 2 dx 100 50 0 10 5 2.1316282072803. 10 13 5 10 x 30

Software-t Aplikative SOFTVERI MATLAB (MatRIX LabORATORY) HYRJE Softveri Matlab llogaritet si gjuhë programuese e rendit të lartë dhe është mjaft e përshtatshme për përdorim në inxhinieri në përgjithësi. Baza e këtij softveri janë matricat. Përndryshe ky softver është i specializuar për rregullimin e sistemeve inxhinierike. Posedon numër mjaft të madh të moduleve (rregullatorëve) të projektuar deri më sot. Pak a shumë programimi në Matlab është i ngjashëm me programin në C, C++. Matlab posedon Converter përmes të cilëve e bënë përkthimin e file-ve të shkruar në C, C++ dhe ia përshtat vetvetes. E metë e këtij softveri, që e kam vërejt gjatë përvojës time, është se file-at e shkruar në versionin paraprak nuk funksionojnë si duhet në versionin e ri. Deri më sot versionet e këtij softveri kanë arritur deri te Matlab 7. Mirëpo shumicën e file-ve është e mundur të convert-ohen nga njëri version në tjetrin. 1. INSTALIMI DHE STARTIMI I SOFTVERIT MATLAB Për të instaluar softverin Matlab duhet të posedoni file-at instalues (zakonisht në CD) dhe licencën (numrin serik të tij). Instalimi i këtij softveri është i ngjashëm me softverët programet tjerë dhe pas ekzekutimit të setup.exe duhet t i përcjellin kërkesat dhe udhëzimet që paraqiten gjatë instalimit. Pasi që është instaluar softveri, ai do të jetë i regjistruar në menynë /Programs, ku janë edhe programet tjera që keni në kompjuterin tuaj. 31

Dr. sc. Ahmet SHALA Pas këtij ekzekutimi do të paraqitet dritarja vijuese: Në pjesën Command Window fillohet me ekzekutime, llogaritje Nëse dëshirojmë të llogarisim shumën e dy numrave atëherë i shkruajmë ato në Command window dhe shtypim butonin Enter dhe do të kemi pamjen me përgjigjen vijuese: 32

Software-t Aplikative 33 Le të definojmë dy matrica: = 4 3 1 1 2 0 1 3 1 A dhe = 4 7 6 1 0.5 2 0 1 1 B, atëherë shkrimi i këtyre matricave dhe operimet me to, bëhen si në vijim: Definimi i matricave dhe mbledhja, zbritja, shumëzimi i tyre, etj:

Dr. sc. Ahmet SHALA Matrica inverse caktohet me inv(a) ose A^(-1), kurse matrica e transponuar caktohem me A. Mund të realizohen edhe operacione tjera me matrica, kështu meqë i kemi definuar matricat A dhe B, p.sh. le të llogarisim shprehjen: A+B- (A*B)+inv(A)*A -B 34

Software-t Aplikative 2. PARAQITJA GRAFIKE E FUNKSIONEVE Paraqitja grafike e funksioneve është mjaft e lehtë në Matlab, si për funksionet një, dy dhe tre dimensionale. Në vijim kemi realizuar paraqitjen grafike të funksionit me një variabël y = f(x). Paraqitjeve grafike mund t u bashkëngjiten edhe shënime tjera si: X Label emërtimi i aksit x Y Label emërtimi i aksit y 35

Dr. sc. Ahmet SHALA Title Titulli i grafikut (emërtimi i grafit). Etj. Të gjitha këto mund të realizohen duke hapur menynë Insert dhe shtypur secilën njëra pas tjetrës sipas dëshirës tone, shiko pamjen vijuese. Gjithashtu mund të ndryshohet ngjyra dhe trashësia e lakores, mund të shtohet ndonjë sqarim tjetër etj, në grafikun tonë si legjenda etj. Në një dritare të grafikut mund të paraqiten dy e më tepër funksione si në figurën vijuese. 36

Software-t Aplikative Funksionet dihet se mund të jepen në formë parametrike, pra: atëherë grafiku y = f(x) do të jetë: 37

Dr. sc. Ahmet SHALA Le të shikojmë paraqitjen grafike të funksionit në hapësirë, pra z = f(x,y) ose F(x,y,z)=0, si lakore dhe sipërfaqe në hapësirë. Në vijim kemi marrë një lakore të dhënë në koordinatat cilindrike (r,q,z) dhe ato të dhëna në formën parametrike (në funksion të parametrit t), pastaj kemi shkruar lidhjen ndërmjet koordinatave cilindrike dhe atyre të Dekartit (x,y,z) dhe kemi paraqitur grafikun e lakores në hapësirë. 38

Software-t Aplikative Grafiku me urdhrin: plot3(x,y,z) Le të shohim në vijim paraqitjet grafike 3D të sipërfaqeve. 39

Dr. sc. Ahmet SHALA Grafiku me urdhrin: plot3(x,y,z) Grafiku me urdhrin: mesh(x,y,z) Grafiku me urdhrin: surf(x,y,z) 40

Software-t Aplikative 41

3. MATLAB / SIMULINK Dr. sc. Ahmet SHALA Simulink është moduli kryesor dhe më i rëndësishëm i softverit Matlab. Përmes Simulink-ut bëhet ndërlidhja e moduleve (toolbox) përbërëse të Matlab-it. Në simulink mund të ndërtojmë modelin tonë për shqyrtim. Le të shohim një pasqyrë hap pas hapi të disa mundësive të Simulink-ut. Me shkruarje në Command Window urdhrin simulink ose me klikim të ikonës hapet dritarja vijuese: 42

Software-t Aplikative Në anën e majtë të dritares paraprake shihen disa nga modulet përbërëse të Matlab / Simulinkut, me klikim në ndonjërën nga modulet në anën e djathtë do të paraqiten nën-modulet përkatëse. Le të hapim një file të ri për simulimet tona: në dritaren paraprake shkojmë në File/New/Model dhe hapet dritarja (modeli i ri) si në vijim: Në këtë dritare untitled mund të ndërtojmë modelin tonë për simulim. Le të realizojmë modelin për paraqitje grafike të një funksioni dhe derivatit të tij sipas kohës t të dhënë në Command Window apo siç e kupton Matlab-i të lexuar nga Workspace. Sëpari në Command Window definojmë parametrin-kohën t dhe funksionin y : 43

Dr. sc. Ahmet SHALA Shkojmë në Simulink Library Browser / Sources / From Workspace, moduli From Workspace tërhiqet për miut në dritaren ku jemi duke ndërtuar modelin tonë: Pastaj hapim modulin From Workspace dhe në vend të variablës simin shkruajmë variablën tonë [t,y] si në vijim: 44

Software-t Aplikative Kështu tani nëpërmjet modulit From Workspace është mundësuar bartja (leximi) në Simulink / untitled e funksionit y. File-in untitled po e emërojmë me emrin grafiku pra modeli ynë do të ruhet në file-in grafiku.mdl. Nga Simulink Library Browser / Sinks marrim modulin për grafiqe Auto-Scale Graph dhe e tërheqim në modelin tonë grafiku. Lidhja e dy moduleve From Workspace (i riemëruar si y(t)) dhe modulit Auto-Scale Graph bëhet përmes miut. Kështu modeli ynë është i gatshëm për simulim. Mund të shkojmë në Simulation/Start ose të klikojmë në shenjën vijim: dhe në një dritare të veçantë do të shohim grafikun e funksionit y(t) si në 45

Dr. sc. Ahmet SHALA Në mënyrë të ngjashme shkojmë në Simulink Library Browser / Continous dhe marrim modulin për llogaritje të derivatit Derivative dhe e vendosim në modelin tonë. Për grafik të derivatit të funksionit marrim edhe një modul nga Auto-Scale Graph dhe emërojmë p.sh. derivati i y(t) si në pamjen vijuese: Me startim të Simulimit paraqiten tani dy dritare të grafeve, dhe atë njëra për grafik të funksionit kurse tjetra për derivatin e tij. 46

Software-t Aplikative Këto dy grafe është e mundshme të bashkohen dhe të paraqiten në një dritare. Së pari bashkojmë sinjalet përmes modulit Mux i cili merret nga Simulink Library Browser / Signal Routing dhe kemi pamjen vijuese. Me stratim të Simulimit do të paraqitet dritarja me grafet si në vijim: 47

Dr. sc. Ahmet SHALA 3.1. Krijimi i modelit për zgjidhje të ekuacioneve (sistemit të ekuacioneve) diferenciale të të gjitha llojeve Ekuacionet diferenciale duhet të jenë në funksion të kohës. Le të shohim realizimin e zgjidhjes së një ekuacioni diferencial të rendit të dytë p.sh.: x '' + 2 * x = sin( t) ose në Mekanikë: & x &+ 2 * x = sin( t)... (1) me kushte fillestare për t = 0, x = 0, x = 0.5. Dihet se ekuacioni (1) paraqet një ekuacion diferencial të rendit të dytë, me koeficient konstantë, johomogjen. Zgjidhja e tij kërkohet në dy pjesë, për atë homogjene dhe zgjidhja e veçantë: x = x h + x v Zgjidhja homogjene nënkupton zgjidhjen e ekuacionit diferencial: & x& h 2 * x = 0... (2) + h Zgjidhja e ekuacionit (2) kërkohet në formën: x h = C1 sin( 2 t) + C2 cos( 2 t), ku C 1 dhe C 2 janë konstante të integrimit. Zgjidhja e veçantë varet prej formës së pjesës johomogjene, në rastin tonë ajo supozohet e formës: 48

Software-t Aplikative x v = A sin(t), prej nga: & = A cos(t) dhe & = A sin(t), x v x v këto zëvendësohen në ekuacionin (1) dhe fitojmë: A sin( t) + 2* A sin( t) = sin( t), përkatësisht A sin( t) = sin( t)... (3) Që të vlejë ky barazim duhet që konstanta A të jetë A=1, atëherë zgjidhja e veçantë është: x v = sin(t). Kështu zgjidhja e përgjithshme ka marrë formën: x = xh + xv = C1 sin( 2 t) + C2 cos( 2 t) + sin( t)... (4) Nëse derivojmë, anë për anë sipas kohës, shprehjen (4), do të fitojmë: x & = C cos( 2 t) C 2 sin( 2 t) + cos( )... (5) 1 2 2 t Duke zëvendësuar kushtet fillestare t = 0 dhe x = 0, x& = 0. 5, në ekuacionet (4) dhe (5) do të fitojmë: (4)=> = C sin( 2 0) + C cos( 2 0) sin(0) 0 1 2 + (5)=>.5 = C 2 cos( 2 0) C 2 sin( 2 0) cos(0) përkatësisht prej nga: 0 = C 2, 0 1 2 + 0.5 = C 1 2 + 1, 0.5 1 2 C 1 = = = dhe C 2 = 0. 2 2 2 4 o Kështu me zëvendësim të konstanteve C 1 dhe C 2 në ekuacionin (4), zgjidhja e ekuacionit diferencial (1) do të jetë: 2 x = sin( 2 t) + sin( t),... (6) 4 kurse derivati i parë (shpejtësia në mekanikë) do të jetë: 1 x & = cos( 2 t) + cos( t)... (7) 2 Shprehjet (6) dhe (7) të paraqitura grafikisht do të duken si në vijim: 49

Dr. sc. Ahmet SHALA Legjenda: funksioni x(t) me vijë të plotë kurse derivati i tij me vijë të ndërprerë ----- Duke ditur se problemet reale përshkruhet me ekuacione diferenciale mjaft të komplekse dhe në të shumtën e rasteve të pazgjidhshme me dorë në vijim le të realizojmë zgjidhjen e ekuacionit paraprak në Matlab, dhe modeli vijues do të jetë udhërrëfyes mjaft i mirë për zgjidhje edhe të ekuacioneve (sistemit të ekuacioneve) tjera diferenciale. Së pari bëjmë uljen e rendit të ekuacionit diferencial, pra marrim këto shënime: prej nga x = x(1), x & = x( 2) = dx(1),... (8) & x = dx( 2) = x& (2) = & x (1). Ekuacionin (1) e shkruajmë në formën: & x = 2* x + sin( t)... (9) Në këtë ekuacion hyrje (ngacmim) në funksion të kohës është M=sin(t), e cila brenda nënprogramit të zgjidhjes së ekuacioneve diferenciale do të identifikohet me u, atëherë ekuacionet (8) 50

Software-t Aplikative dhe (9) paraqesin dy ekuacione diferenciale të rendit të parë të rrjedhura nga ekuacioni diferencial i rendit të dytë (1). Një veprim i tillë shpesh quhet edhe paraqitje e ekuacioneve diferenciale nëpërmjet variablave të gjendjes. Kështu ekuacionet që duhet të shkruhet në nën-programin zgjidhja.m do kenë formën: dx(1)=x(2) dx(2)=-2*x(1)+u. Listingu i nën-programit për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale zgjidhja.m është dhënë në vijim: Në vijim duhet të krijojmë modelin për simulim, të cilin do ta emërojmë modeli.mdl. Në Command Window shkruajmë: >> t = ( 0 : 0.01 : 10 ) ' ; M = sin( t ); Pas hapjes së Simulinkut, hapim modelin e ri në dritaren modeli.mdl, vendosim modulim për lexim të të dhëna nga Command Window përkatësisht modulin From Workspace dhe aty shënojmë se ky modul duhet të lexoj funksionin M. 51

Dr. sc. Ahmet SHALA Nga Simulink Library Browser / User-Defined Funcions tërheqim modulin S-Function dhe e vendosim në modelin tonë. Me double-click hapim modulin S-Function dhe në vend të kërkimit të hapjes së nën-programit system shkruajmë emrin e nën-programit zgjidhja. Pas startimit të simulimit do të paraqitet dritarja me grafet për x(t) dhe derivatin e tij ----. Legjenda: funksioni x(t) me vijë të plotë kurse derivati i tij me vijë të ndërprerë ----- Siç shihet zgjidhja është e njëjtë me zgjidhjet e realizuara me dorë. 52

Software-t Aplikative SOFTVERI IQ 100 HYRJE Softveri IQ 100 është paket program i specializuar për analiza statike te trupave dhe sistemit te trupave. Përmes këtij softveri mund të llogariten reaksionet e lidhjeve, forcat aksiale (N), forcat transversale (T), momentet në përkulje (M), uljet spostimet por edhe rastet e epjeve. Përveç vlerave numerike, ky softver jep edhe diagramet përkatëse. Një numër të konsiderueshëm të konstruksioneve - sistemeve është e mundur të realizohen përmes këtij softveri. Mund të thuhet se është i specializuar për konstruksionet me shufra traje ku mund të ngarkohen me çfarëdo lloji të ngarkesave. Në vijim kemi paraqitur një pamje të dritares kryesore të programit IQ100 me veglat për vizatim konstruktim dhe ekzekutime. Vizoret Zgjedhesi Simbolizimi Hapesira punuese Veglat per vizatim konstruktim Treguesi i perpjeses Shfletuesit 53

Dr. sc. Ahmet SHALA Shumica e llojeve të mbështetësve është e mundur të definohen në softverin IQ 100, shih tabelën në vijim. Mënyra e përgjithshme e definimit të mbështetëse Përshkrimi i llojit të mbështetësit Mënyra e definimit të mbështetëses në IQ100 Inkastrimi - ngulja I palëvizshëm I palëvizshëm me sustë I lëvizshëm I lëvizshëm me sustë Pika e lirë Tri shufra të lidhura në një çërnierë, një e lirë dy të salduara Shufra të lidhura në një çërnierë, një e lirë dy të salduara dhe sustat Nyja e Gerberit 54

Software-t Aplikative Në vijim kemi edhe pamjen e një shembulli të konstruktuar dhe të gatshëm për ekzekutime, me klikim të dyfishtë në nyje apo shufra definohet lloji dhe ngarkesat në nyje apo shufra: Vegla per rezultate tabelare Vegla per diagrame Pamja si e kemi ngarkuar sistemin Shufrat Nyjet 55

Dr. sc. Ahmet SHALA DETYRA 1 (Trau i thjeshtë i ngarkuar me forca të përqendruara). Për traun AB të mbështetur në skajin A në mbështetësen (çërnierën) e palëvizshme A, kurse në skajin tjetër në mbështetësen e lëvizshme B dhe të ngarkuar me forca të koncentruara si në Fig. 1, të caktohen reaksionet në mbështetëse dhe të vizatohen diagramet statike: N forcat aksiale, Q forcat transversale dhe M momenti në përkule, nëse: a = 1m, F 1 = 1kN, F 2 = 2kN, M = 1kNm dhe α=30. A F1 F2 α 1 2 3 M B a a a a Figura 1. Në vijim kemi zgjidhjen e detyrës paraprake përmes programit IQ100. Pamja e traut të vizatuar dhe ngarkuar është (pasi është vizatuar dhe ngarkuar trau, kemi shtypur veglën ): Është me rëndësi të ceket se ekzekutimet nuk mund të bëhen pa e definuar prerjen tërthore të traut, e në rastin e statikës marrim një prerje tërthore katrore që definohet nga vegla që gjendet në dritaren që paraqitet me klikim të dyfishtë (double click) në shufrën përkatëse traun në dritaren kryesore: 56

Software-t Aplikative pastaj pra shtypet vegla dhe shihet kjo dritare: dhe kështu kemi marr prerjen tërthore hxb përkatësisht 1x1. këtë pamje: Me shtypjen e veglës për rezultate tabelare, e cila gjendet në dritaren kryesore, fitojmë 57

Dr. sc. Ahmet SHALA vijuese: Me shtypjen e veglës për reaksione e cila gjendet në pamjen paraprake, kemi pamjen Me shtypjen e veglës për diagramet statike fitojmë këtë pamje: 58

Software-t Aplikative Është me rëndësi të ceket këtu se me shtypjen e veglës në dritaren paraprake mund të zgjedhim a duam që diagramet statike të i shohim përnjëherë apo ndaras (veç e veç), pra nga dritarja vijuese bëjmë zgjedhjen: Siç shihet në këtë rast kemi zgjedhur që të tri diagramet të paraqiten përnjëherë. Gjithashtu shihet mundësia e pamjes edhe të uljeve spostimeve të traut konkret. Në vijim kemi formën e uljeve spostimeve të traut: 59

Dr. sc. Ahmet SHALA Rezultati i uljeve spostimeve në drejtim horizontale (H) dhe atë vertikal (V) dhe këndi i pjerrtësisë (phi=φ) mund të nxirret në formë tabelare, së bashku me N, Q dhe M apo të veçuara: 60

DETYRA 2 (Trau konzolë). Software-t Aplikative Për traun konzolë të ngarkuar si në Fig. 2 të caktohen forcat e reaksioneve në mbështetësin e inkastruar A dhe të llogariten dhe vizatohen diagramet statike N, Q dhe M nëse: F = 2 2kN, o α = 45, q = 2kN / m dhe a = 3m. q A a 1 a B α F Figura 2. Zgjidhje: Bëjmë lirimin nga lidhjet dhe e vizatojmë traun e dhënë konzolë në pjesën ku vepron ngarkesa kontinuale me prerjen e nevojshme: M A X A A Y A x/2 Q x x a Q 1 q a B F y F x Vizatimi i këtij trau në IQ100 është dhënë më poshtë: Reaksionet do të jenë: X A = -2 kn; Y A = 4 kn; M A = -3 knm Rezultatet tabelare të forcave aksiale N, transversale Q dhe momentit në përkulje M: Nga kjo tabelë lexojmë se: N A = -2kN, N 1 = -2kN dhe N B = -2kN Q A = 4kN, Q 1 = -2kN dhe Q B = -2kN M A = 3kNm, M 1 = 6kNm dhe M B = 0 knm 61

Dr. sc. Ahmet SHALA q A a 1 a B α F Diagrami forcave aksiale N do të jetë: Diagrami i forcave transversale Q do të jetë: Diagrami i momentit në përkulje M do të jetë: 62

Software-t Aplikative Nga diagrami për Q dhe M shihet se në pjesën e traut A-1 Q bëhet zero për një vlerë të x-it, kurse e dimë se për këtë vlerë momenti në përkulje arrin madhësinë maksimale. Kjo karakteristikë saktësisht nuk mund të nxirret nga programi IQ100, andaj shkruajmë shprehjen për Q(x) dhe M(x) në prerjen x, dhe një analizë të mëtutjeshme e realizojmë me ndihmën e MathCad-it: x := 0 X A := 2 Y A := 4 M A := 3 q := 2 Q( x) Y A q x := - ekuacion i drejtzë s M( x) M A + Y A x q x2 2 := - lakore e rendit 2 root( Q( x), x) = 2 Pra për x=2 forca transverzale Q(x) bëhet zero. Kurse momenti në perkulje do të jetë maksimal: M( 2) = 7 63

DETYRA 3 (Trau me lëshime). Dr. sc. Ahmet SHALA Për traun e ngarkuar si në Fig. 3, të caktohen reaksionet në mbështetëse dhe të llogariten e vizatohen diagramet statike: N forcat aksiale, Q forcat transversale dhe M momenti në përkule, nëse: F 1 = 1kN, F2 = 2kN, o α = 45, q = 1kN / m dhe a = 1m. 2q F 2q 2q 1 A 2 3 B 4 a a a a a Figura 3. Zgjidhje: Lirimi nga lidhjet dhe caktimi i reaksioneve: X A 2q F 2 α q 2q F 1 1 A 2 3 a Y A a a a F B B a 4 Vizatimi i këtij trau në IQ100 është dhënë më poshtë: Ngarkesa trekëndësh, pjesa 1-A, pra me q=1, është definuar si në vijim: Hapim dritaren për vetitë e shufrës pjese (Stab) 1-A: 64

Software-t Aplikative Shtupim butonin me shenjen e ngarkese Polynomeingabe: dhe paraqitet pamja vijuese ku shtypet butoni 65

Dr. sc. Ahmet SHALA Ne pamjen vijuese shtypet butoni Interpolation... dhe hapet dritarja vijuese në të cilen per ngarkese trekendesh si në detyren tonë shkruhet Nëse kemi ngarkese trapez si në pjesën B-4 atëherë q1=1 në fillim dhe q1=2 në fund. 66

Software-t Aplikative Reaksionet do të jenë: Çërniera A: X A = -1 kn; Y A = 0.5 kn; Çërniera B: F B = 3 kn Rezultatet tabelare të forcave aksiale N, transversale Q dhe momentit në përkulje M: 67

Dr. sc. Ahmet SHALA 2q 2q X A F2 α q F1 1 A 2 3 a Y A a a a F B B a 4 Diagrami forcave aksiale N do të jetë: Diagrami i forcave transversale Q do të jetë: Diagrami i momentit në përkulje M do të jetë: 68

Software-t Aplikative Nga diagrami Q shihet se ajo bëhet zero diku ndërmjet pikave A dhe 2 atëherë për këtë pjesë marrim një prerje dhe caktojmë shprehjen në funksion të x-it për Q(x) dhe M(x). Duke barazuar Q(x)=0 gjejmë vlerën e x-it për të cilën momenti në përkulje M(x) ka vlerë ekstreme (në rastin tonë maksimale). Një analizë të tillë e realizojmë në MathCad: Q x q x XA F1 1 a A YA x 1 ( a + x) 3 x = 0...1 Madhësinë q x e caktojmë nga raporti: q x a + x = 2q q 2a x = q ( a + x) = 1+ x a Q 1 2 1 q 2 a 1 q 2 a 2 x = qx ( a + x) = ( a + x)( a + x) = ( a + x) = (1 + atëherë për prerjen x kemi (realizuar në MathCad): x := 0 X A := 1 Y A := 0.5 q := 1 F 1 := 1 a := 1 1 q Q ( x) := F 1 + Y A ( a + x) 2 - lakore e rendit të dytë 2 a 1 q M( x) F 1 ( a + x) + Y A x ( a + x) 2 1 := ( a + x) - lakore e rendit të tretë 2 a 3 root( Q ( x), x) = 0.732 m Pra për x=0.732 forca transverzale Q(x) bëhet zero. Kurse momenti në përkulje do të jetë maksimal: M( 0.732) = 1.232 knm 1 2 x) 2 69

Dr. sc. Ahmet SHALA DETYRA 4 (Trau i Gerberit). Për traun e Gerberit të ngarkuar si në Figurë të caktohen reaksionet në mbështetëset A, B dhe C, si dhe të llogariten e vizatohen diagramet statike (N, Q, M) nëse: m = 3Nm, q=3n/m. A 1 F 1 G 1 2 F 2 α B F1 = 8N, F2 = 3 2N, o α = 45, q G 2 C m M a a a a 2a 2a a Zgjidhje: Lirimi nga lidhjet dhe caktimi i reaksioneve: Meqë: F2 = 3 2N dhe o α = 45 atëherë: F2 x = 3N, F2 y = 3N. X A M A A 1 F 1 G 1 2 F 2 α B q G 2 C m M Y A a a F B a a 2a 2a a F C Reaksionet: Mbështetësi A: X A = 3N, Y A = 5N, M A = 2Nm, Mbështetësi B: F B = 13. 5N, Mbështetësi C: F C = 4. 5 N 70

Software-t Aplikative Rezultatet tabelare të N, Q dhe M: Pjesa A-1 M [Nm] Q [N] N [N] Pika A -2.0 5.0-3.0 Pika 1 3.0 5.0-3.0 Pjesa 1-G1 Pika 1 3.0-3.0-3.0 Pika G1 0.0-3.0-3.0 Pjesa G1-2 Pika G1 0.0-3.0-3.0 Pika 2-3.0-3.0-3.0 Pjesa 2-B Pika 2-3.0-6.0 0.0 Pika B -9.0-6.0 0.0 Pjesa B-G2 Pika B -9.0 7.5 0.0 Pika G2 0.0 1.5 0.0 Pjesa G2-C Pika G2 0.0 1.5 0.0 Pika C -3.0-4.5 0.0 Pjesa C-M Pika C -3.0 0.0 0.0 Pika M -3.0 0.0 0.0 71

Dr. sc. Ahmet SHALA Pamja e traut të Gerberit të vizatuar në IQ100: Diagrami forcave aksiale N do të jetë: Diagrami i forcave transversale Q do të jetë: Diagrami i momentit në përkulje M do të jetë: 72

Software-t Aplikative Nga diagrami Q shihet se ajo bëhet zero diku ndërmjet pikave G2 dhe C atëherë për këtë pjesë marrim një prerje dhe caktojmë shprehjen në funksion të x-it për Q(x) dhe M(x). Duke barazuar Q(x)=0 gjejmë vlerën e x-it për të cilën momenti në përkulje M(x) ka vlerë ekstreme (në rastin tonë maksimale). Një analizë të tillë e realizojmë në MathCad: q α Q x = q x m α x/2 x FC C a M x := 0 F C := 4.5 q := 3 m := 3 a := 1 Q ( x) := F C + q x - lakore e rendit të par ë (drejtëz) M( x) := m + F C x q x2 2 - lakore e rendit të dytë root( Q ( x), x) = 1.5 m Pra për x =1.5m forca transverzale Q(x) b ëhet zero. Kurse momenti në përkulje do të jetë maksimal: M( 1.5) = 0.375 Nm 73

DETYRA 5 (Mbajtësi RAM). Dr. sc. Ahmet SHALA Për mbajtësin RAM të ngarkuar si në figurë, të caktohen reaksionet në mbështetëse dhe të vizatohen diagramet statike M,Q,N nëse F=2N, M=2Nm, q=1n/m, a=1m. 2q M F F 2Fa 2F 2F 2Fa 2F XA YA FB Zgjidhja: Reaksionet: X A = 4N, Y A = 3. 75N, F B = 0. 75N 74

Software-t Aplikative Rezultatet Tabelare: Pjesa 3-C M [Nm] Q [N] N [N] Pika 3 0 2 0 Pika C 2 2 0 Pjesa C-M M [Nm] Q [N] N [N] Pika C -6 1.75 0 Pika M -6.75-1.25 0 Pjesa M-D M [Nm] Q [N] N [N] Pika M Pika M Pika M Pika M Pika D Pika D Pika D Pika D Pjesa D-4 M [Nm] Q [N] N [N] Pika D Pika D Pika D Pika D Pika 4 Pika 4 Pika 4 Pika 4 Pjesa A-1 M [Nm] Q [N] N [N] Pika A Pika A Pika A Pika A Pika 1 Pika 1 Pika 1 Pika 1 Pjesa 1-2 M [Nm] Q [N] N [N] Pika 1-4 0-3.75 Pika 2-4 0-3.75 Pjesa 2-C M [Nm] Q [N] N [N] Pika 2-8 0 0.25 Pika C -8 0 0.25 Pjesa B-5 M [Nm] Q [N] N [N] Pika B Pika B Pika B Pika B Pika 5 Pika 5 Pika 5 Pika 5 Pjesa 5-D M [Nm] Q [N] N [N] Pika 5 Pika 5 Pika 5 Pika 5 Pika D Pika D Pika D Pika D 75

Dr. sc. Ahmet SHALA 3 C M D 4 N 2 5 1 A B 3 C M D 4 2 T 5 1 A B 76

Software-t Aplikative 3 C M D 4 2 M 5 1 A B DETYRA 6 (Mbajtësi KAPRIATE). Për mbajtësin KAPRIATE të ngarkuar si në figurë të caktohen reaksionet në mbështetëse dhe forcat në shufra, nëse F 1 =3kN, F 2 =2kN. Zgjidhjen e realizojmë me programin IQ100: Rezultatet e reaksioneve në mbështetëse janë: Mbështetësi A X A = -2.00000 kn Y A = 2.66667 kn Mbështetësi D F D = 0.33333 kn 77

Dr. sc. Ahmet SHALA Rezultatet e forcave në shufra në formë tabelare: Shufra # Forca [kn] Shufra # Forca [kn] Shufra 1 0.66667 Shufra 6 0.47140 Shufra 2-3.77124 Shufra 7 0.00000 Shufra 3-0.33333 Shufra 8-0.33333 Shufra 4 0.33333 Shufra 9-0.47140 Shufra 5-2.66667 Rezultatet e forcave në shufra në mënyrë grafo-analitike mund të i shohim përmes diagramit të forcave aksiale: 78