Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως με το σύμβολο R x. Ω R x ω X ( ) X ( ) ω = x Δηλαδή με τη συνάρτηση αυτή κάθε στοιχείο ω του Ω (αποτέλεσμα του πειράματος) απεικονίζεται σ ένα και μόνο πραγματικό αριθμό X ( ) ω = x. 1

(α) Έστω το τυχαίο πείραμα της ρίψης δύο ζαριών πάνω σε ένα τραπέζι. I) Εάν ο δειγματικός χώρος είναι το σύνολο των αποτελεσμάτων Ω= {( i, j) i, j = 1,,6}. Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή X : Ω R x τέτοια ώστε X(, i j) = i+ j. Η X αναπαριστά το άθροισμα των ενδείξεων των δύο ζαριών. II) Εάν ο δειγματικός χώρος είναι το σύνολο των ζευγών ((, ),(, )) x y x y των 1 1 2 2 συντεταγμένων των θέσεων των δύο ζαριών πάνω στο τραπέζι, ως προς κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Ορίζουμε την τυχαία μεταβλητή X : Ω R x τέτοια ώστε ((, ),(, )) ( ) ( ) 2 2 X x y x y = x x + y y και αναπαριστά την απόσταση των δύο ζαριών. 1 1 2 2 2 1 2 1 (β) Έστω η τυχαία μεταβλητή X : = χρόνος ζωής ενός ηλεκτρικού λαμπτήρα. Το πεδίο τιμών της X είναι το σύνολο R X = [0, ). Παραδείγματα (γ) Έστω η τυχαία μεταβλητή X : = ο ενδιάμεσος χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών τηλεφωνημάτων σ ένα γραφείο. 2

Ο λογισμός πιθανοτήτων που σχετίζονται με μία τ.μ. X ( ) ανάγεται συνήθως στον υπολογισμό πιθανοτήτων της μορφής PX ( = a), PX ( > a), PX ( a), PX ( < β), PX ( β), P( α < X < β), P( α X < β), P( α < X β), P( α X β),

Θεωρούμε τα ακόλουθα γεγονότα τα οποία είναι ξένα μεταξύ τους τα οποία εξαντλούν τον δειγματοχώρο. { Καθόλου γράμματα. } { ω } { } Ω = = = ΚΚΚ 1 8 { Ένα αποτέλεσμα γράμματ α. } { ω, ω, ω } {,, } { Δύο αποτέλεσματα γράμμα τα.} { ω, ω, ω } {,, } { Τρία αποτέλεσματα γράμματα. } { ω } { } Ω = = = ΓΚΚ ΚΓΚ ΚΚΓ 2 5 6 7 Ω = = = ΓΓΚ ΓΚΓ ΚΓΓ 3 2 3 4 Ω = = = ΓΓΓ 4 1 Οι πιθανότητες που αντιστοιχούν σε αυτά είναι 1 3 3 1 P( Ω 1) =, P( Ω 2) =, P( Ω 3) =, P( Ω 4) =. 8 8 8 8 Στον χώρο R x ισοδύναμα με αυτά ενδεχόμενα είναι τα αντίστοιχα τα { X 0, } { X 1, } { X 2, } { X 3} = = = = και έχουν τις ίδιες πιθανότητες, δηλαδή ισχύει: 1 3 3 1 P( X = 0 ) =, P( X = 1 ) =, P( X = 2 ) =, P( X = 3) = 8 8 8 8

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής F( t) = P( X t) = P( ω Ω: X( ω) t ), - < t < { } είναι αύξουσα lim Ft ( ) = 1, lim Ft ( ) = 0 t t Ft ( ) = lim Fu ( ) u t + P( α < X β) = F( β) F( α) 5

Οπότε ισχύει PX ( β) = F( β), PX ( < β) = F( β ), PX ( > a) = 1 PX ( a) = 1 Fa ( ) PX ( a) = 1 PX ( < a) = 1 Fa ( ), PX ( = a) = Fa ( ) Fa ( ), P( α < X β) = F( β) F( α), P( α < X < β) = F( β ) F( α), P( α X < β) = F( β ) F( α ), P( α X β) = F( β) F( α ), Στην περίπτωση που η αθροιστική συνάρτηση κατανομής είναι και δεξιά συνεχής έχουμε Fa ( ) = Fa ( ) και F( β) = F( β ) οπότε η πιθανότητα να εμφανιστεί ακριβώς μία δεδομένη τιμή PX ( = a) = 0. 6

Η αντοχή ενός σχοινιού, X, είναι τυχαία μεταβλητή που μπορεί να πάρει τιμή ισοπίθανα στο διάστημα [ 10,20 ] κιλά. Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της 0 για x < 10 x F( x) = 1 για 10 x 20 10 1 για x > 20 7

Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Μια τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) που παίρνει διακριτές τιμές Για παράδειγμα η τ.μ. X = {άθροισμα που θα φέρουμε στη ρίψη δύο ζαριών} ή ο αριθμός X των φορών που ήρθε γράμματα (Γ) όταν ρίχνουμε ένα κέρμα τρεις φορές. Υπάρχουν, βέβαια, και διακριτές τ.μ. με πάρα πολύ μεγάλο (θεωρητικά άπειρο) πλήθος δυνατών τιμών, όπως το πλήθος των σωματιδίων που εκπέμπει μια ραδιενεργός πηγή, το πλήθος των εξαρτημάτων που κατασκευάζονται μηχανικά με μια παραγωγική διαδικασία μέχρι να παραχθεί το πρώτο ελαττωματικό εξάρτημα κτλ. 8

Συνάρτηση πιθανότητας (σ.π.) διακριτής τ.μ f( x) : R [0,1] f( x) = PX ( = x) {,,, } x Rx x1 x2 x ν, = f( x ) = 0 f( x) 0 x R x R x x x R x f( x) = 1, Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μίας διακριτής τυχαίας μεταβλητής Χ που παίρνει τιμές {,,, } RX x1 x2 x ν = ισούται με είναι όλες οι δυνατές τιμές για τις οποίες ισχύει k Fx ( ) PX ( x) f( x) xi = = όπου τα i x. i= 0 i 9

Η σ.π. για την τυχαία μεταβλητή του αριθμού των φορών που ήρθε γράμματα (Γ) όταν ρίχνουμε ένα κέρμα τρεις φορές 1 3 3 1 f(0) = P( X = 0 ) =, f(1) = P( X = 1 ) =, f(2) = P( X = 2 ) =, f(3) = P( X = 3) = 8 8 8 8 10

Μια τ.μ. που μπορεί να πάρει ένα μη αριθμήσιμο πλήθος τιμών που συνθέτουν ένα ή περισσότερα συνεχή διαστήματα λέγεται συνεχής τυχαία μεταβλητή. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών τηλεφωνημάτων σ ένα γραφείο. Η θερμοκρασία σ ένα περιβαλλοντικό θάλαμο ελέγχου. Η διάρκεια ζωής μιας συσκευής. Η μέγιστη ηλεκτρική ισχύς που απαιτείται κάποια συγκεκριμένη μέρα του έτους σ ένα σταθμό ηλεκτροπαραγωγής. Το ακριβές μήκος μιας πλαστικής ράβδου ονομαστικού μήκους 40 cm. 11

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) μιας συνεχούς τ.μ. Χ είναι μια συνάρτηση f ( x) με πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο του R, τέτοια ώστε: (i) f ( x) 0, για κάθε x R, (ii) f ( x ) dx = 1 P( a X b) = f ( x) dx b a Σχέση σ.π.π. και α.σ.κ. της συνεχούς τ.μ. Χ x F( x) = f () t dt d f( x) = F( x) dx 12

f( x) b ( ) ( ) P a X b = f x dx a a b 13

Παράδειγμα Η σ.π.π. για την τυχαία μεταβλητή που αφορά την αντοχή του σχοινιού η οποία μπορεί να πάρει τιμή ισοπίθανα στο διάστημα [ 10,20 ] κιλά ισούται με c για 10 x 20 f( x) = 0 αλλού 14

Χαρακτηριστικά (παράμετροι) τυχαίων μεταβλητών. Τα χαρακτηριστικά αυτά δίνουν κάποιες ενδείξεις για τη θέση και το σχήμα της κατανομής της τυχαίας μεταβλητής. Η πρώτη παράμετρος που θα μελετήσουμε είναι η μέση τιμή (mean) η οποία αποτελεί για τη Θεωρία Πιθανοτήτων το ανάλογο του μέσου όρου ή του αριθμητικού μέσου μιας ακολουθίας αριθμών. 15

Μέση ή αναμενόμενη τιμή διακριτής τ.μ. E( X ) = µ = xf ( x) X Μέση ή αναμενόμενη τιμή συνεχούς τ.μ. E( X ) = µ = xf ( x) dx X x Η μέση τιμή μας δίνει την ένδειξη για τη θέση γύρω από την οποία είναι τοποθετημένες οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Για το λόγο αυτό συχνά καλείται μέτρο θέσης της αντίστοιχης κατανομής. 16

Διασπορά (διακύμανση) διακριτής τ.μ. ( ) 2 ( ) 2 var( X) = E X µ X = x µ X f( x) Διασπορά (διακύμανση) συνεχούς τ.μ. x 2 2 var( X ) = E ( X µ ) = ( ) X x µ X f ( x) dx var( ) = ( [ ]) 2 2 X E X E X 17

Η διασπορά δίνει ένα μέτρο της διάχυσης της κατανομής της X γύρω από τη μέση τιμή της. Όσο περισσότερο αποκλίνει η X από τη μέση τιμή της τόσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά ( X µ x ) 2 άρα και η διασπορά. Τυπική απόκλιση [( ) 2 ] σ X = var( X) = E X µ 18

Έστω X τ.μ. (διακριτή ή συνεχής). Εάν ορίσω άλλη τυχαία μεταβλητή Y = ax + b Τότε ισχύει: E( Y ) = E( ax + b) = ae( X ) + b Var Y Var ax b a Var X 2 ( ) = ( + ) = ( ) 19

Διωνυμική Κατανομή B( n, p) «επιτυχία» - «αποτυχία» πιθανότητα p q=1-p Συνάρτηση πιθανότητας f ( x) επαναλαμβανόμενη ρίψη νομίσματος παρατήρηση του φύλου σε διαδοχικές γεννήσεις παιδιών έλεγχος καταλληλότητας διαδοχικών εξαρτημάτων n p = x 0, x q n x, x = 0,1, 2,, n αλλου. α.σ.κ. n x x n x n k PX ( = x) = pq x PX ( x) = pq k= 0 k E( X ) = np Var( X ) = np(1 p) 20 n k

Θεωρήστε μια βιομηχανική διεργασία παραγωγής ηλεκτρικών αντιστάσεων που κρίνεται ως ελεγχόμενη όταν το ποσοστό των ελαττωματικών αντιστάσεων που παράγονται είναι 5%. Έστω ότι σε περιοδικά διαστήματα γίνονται έλεγχοι ενός προκαθορισμένου αριθμού αντιστάσεων, n, για την εύρεση του αριθμού των ελαττωματικών αντιστάσεων. Αν θέλουμε να κάνουμε περιοδικούς ελέγχους 15 αντιστάσεων, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε τη διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n = 15 και p = 0.05 ως το πιθανοτικό πρότυπο για τον αριθμό των ελαττωματικών αντιστάσεων ανά έλεγχο που θα παρατηρήσουμε. Σ αυτή την περίπτωση, η κατανομή B (15, 0.05) είναι το πιθανοτικό πρότυπο που αποδίδουμε στον πληθυσμό των παρατηρήσεων του αριθμού των ελαττωματικών αντιστάσεων μεταξύ 15 αντιστάσεων σε άπειρο πλήθος περιοδικών ελέγχων. Έστω ότι θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα PX ( 3). 21

Ομοιόμορφη Κατανομή Χ ~ U(a,b) f( x) = 1 ( b a), όταν a x b 0, αλλού. 0 αν x < α x a F( x) = αν a x b b a 1 αν x > b ( b a) 2 a + b E( X) =, var( X) = 2 12 Επειδή η πιθανότητα να βρούμε την τιμή μίας τ.μ. X ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή σε ένα υποδιάστημα του ( a, b ) δεν εξαρτάται από το πού ακριβώς βρίσκεται αυτό, αλλά από το μήκος του, η ομοιόμορφη κατανομή μπορεί να εφαρμοστεί στην περιγραφή σφαλμάτων στρογγυλοποίησης που οφείλονται στην περιορισμένη ακρίβεια οργάνων μέτρησης. 22

Κατά τη διάρκεια μίας περιόδου της ημέρας η συχνότητα των δρομολογίων του μετρό είναι να καταφθάνει συρμός σε ένα σταθμό ανά 3 λεπτά. Η τ.μ. X ={χρόνος αναμονής μέχρι να εισέρθει στον σταθμό το επόμενο τραίνο} ακολουθεί την U (0,3). Ο μέσος χρόνος αναμονής είναι 1.5 λεπτά και η πιθανότητα να περιμένει ένας επιβάτης, ο οποίος εισέρχεται τυχαία στο σταθμό, παραπάνω από 2 λεπτά δίνεται από τη σχέση: 2 0 1 PX ( 2) = 1 PX ( < 2) = 1 F(2) = 1 =. 3 0 3 23

f ( x) = Εκθετική Κατανομή Χ Ε(λ) λx λ e, x > 0 0, x 0. 0.010 f(x) Fx ( ) = PX ( x) = 1 e λx β λx P[ α < X < β] = λe dx 1.0 F(x) α 0.005 0.5 0.000 0 100 200 300 400 500 x 0.0 0 100 200 300 400 500 x μέση τιμή και η διασπορά (διακύμανση) E( X) = 1 λ var( X ) = 1 λ 2 24

Μια από τις κυριότερες εφαρμογές της εκθετικής κατανομής είναι η περιγραφή της πιθανοτικής συμπεριφοράς χρόνων αναμονής και χρόνων μεταξύ διαδοχικών συμβάντων (χρόνων επαναφοράς) όταν τα συμβάντα εμφανίζονται τυχαία στο χρόνο και συνδέεται με τη διακριτή κατανομή Poisson. Η συνεχής εκθετική μεταβλητή παριστάνει το χρόνο μεταξύ διαδοχικών επαναλήψεων σε μία διαδικασία Poisson. 25

Η ιδιότητα αυτή είναι γενική στην εκθετική κατανομή, δηλαδή αποδεικνύεται ότι για την εκθετική κατανομή ισχύει: και ονομάζεται έλλειψη μνήμης. ( ) P X > s+ t X > s = P( X > t) Μία πρακτική ερμηνεία της έλλειψης μνήμης είναι ότι, στο παράδειγμά μας το ότι η χρονική διάρκεια των συνδιαλέξεων δεν εξαρτάται από το πόσο κράτησαν οι προηγούμενες. Σε ένα μηχάνημα, εάν οι βλάβες δεν εμφανίζονται λόγω της παλαιότητάς του (π.χ. υπολογιστής) αλλά λόγω άλλων τυχαίων παράγοντες τότε ο χρόνος μέχρι να εμφανιστεί μία βλάβη (χρόνος καλής λειτουργίας) μπορεί να μοντελοποιηθεί από εκθετική κατανομή. Ωστόσο, εάν ένα μηχάνημα φθείρεται με τη διάρκεια του χρόνου (π.χ. αυτοκίνητο) η εκθετική κατανομή δεν είναι ένα καλό μοντέλο. 26

Κανονική Κατανομή (Gauss) N ( µ, σ 2 ) f( x) = 1 e 2 π σ ( x µ ) 2 2σ 2 27

Τυπική Κανονική Κατανομή N(0, 1) Φ ( z) = PZ ( z) z 0 28

Φ( z) = PZ ( z) = PZ ( > z) = 1 PZ ( z) = 1 Φ( z) 29

Αν X N µ σ 2 (, ) τότε η Z = ( X µ ) σ N(0, 1) a µ b µ Pa ( < X b) = P < Z = σ σ b µ a µ = Φ Φ σ σ 30

Αν X N µ σ Z X µ σ N 2 (, ) τότε η = ( ) (0, 1) 0.04 0.03 2 N(50, 10) 10 ) N(0, 1) 0.90 0.90 0.4 0.3 0.02 0.2 0.01 0.1 0.00 0.0 20 50 80 x -3 0 3 z 62.8 1.28 31

Ο χρόνος ζωής σε έτη μιας μηχανής ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 20 έτη ( µ = 20 ) και τυπική απόκλιση 2 έτη ( σ = 2. ). Δηλαδή, τυποποιημένη τυχαία μεταβλητή N (0,1). 2 X N(20, 2 ). Συνεπώς, η X 20 Z = ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή 2 Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής μιας μηχανής να είναι μεταξύ 18 έτη και 22 έτη Η πιθανότητα ώστε η διάρκεια ζωής μιας μηχανής να είναι τουλάχιστον 15 έτη Ζητάμε την τιμή q ώστε το γεγονός «η διάρκεια ζωής μιας μηχανής υπερβαίνει την τιμή q» έχει πιθανότητα ίση προς 0.9 (δηλαδή ζητάμε δηλαδή το 0.1 ποσοστιαίο σημείο) 32