ΔΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΣΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΟΤΓΩΝ ΣΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι (ΘΔ ΠΛΗ ) ΔΡΓΑΙΑ 5 η Ημεπομηνία Αποζηολήρ ζηο Φοιηηηή: Μαπηίος Ημεπομηνία παπάδοζηρ ηηρ Δπγαζίαρ: 5 Αππιλίος. Πξηλ από ηε ιύζε θάζε άζθεζεο θαιό είλαη λα κειεηνύληαη ηα παξαδείγκαηα θαη νη ιπκέλεο αζθήζεηο από ηηο παξαπνκπέο ζηα ζπγγξάκκαηα θαη ζην βνεζεηηθό πιηθό. Οη αζθήζεηο ηεο 5 εο εξγαζίαο αλαθέξνληαη ζηα: Δνόηηηα (Γεληθεπκέλε Οινθιήξσζε) ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ ΔΑΠ «Λογιζμόρ Μιαρ Μεηαβληηήρ» ηνπ Γ. Γάζηνπ Δνόηηηα (..5) (Βαζηθή Πηζαλνζεσξία) Δνόηηηα (.,.., 4., 4.4-4.6) (Σπραίεο κεηαβιεηέο θαη ραξαθηεξηζηηθά ησλ θαηαλνκώλ ηνπο Υξήζηκα πξόηππα θαηαλνκώλ) ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ ΔΑΠ «Βαζικά Δπγαλεία και Μέθοδοι για ηον Έλεγσο ηηρ Ποιόηηηαρ» ηνπ θ. Η. Κνπηξνπβέιε Γηα ηελ θαηαλόεζε ηεο ύιεο απηήο ζα ζπκβνπιεπζείηε επίζεο ην: βοηθηηικό ςλικό πνπ ππάξρεη ζηε htt://d.a.gr/li/li/stdnts.htm σο εμήο: πλνδεπηηθό Δθπαηδεπηηθό Τιηθό : Λογιζμόρ Οινθιεξώκαηα (γηα άζθεζε ), Οινθιεξώκαηα (γηα άζθεζε ) Πιθανόηηηερ Πηζαλόηεηεο Η θαη Πηζαλόηεηεο ΗΗ (γηα αζθήζεηο -6) ηόσοι: θνπόο ηεο εξγαζίαο απηήο είλαη : α) ε θαηαλόεζε ηερληθώλ νινθιήξσζεο θαζώο θαη ν ππνινγηζκόο γεληθεπκέλσλ νινθιεξσκάησλ, β) ε θαηαλόεζε ηεο έλλνηαο ηεο πηζαλόηεηαο θαζώο θαη ν ππνινγηζκόο ηεο πηζαλόηεηαο ελδερνκέλσλ βάζεη πξνηάζεσλ από ηελ αμησκαηηθή ζεσξία ησλ πηζαλνηήησλ, γ) ε θαηαλόεζε ηεο έλλνηαο ηεο ηπραίαο κεηαβιεηήο θαη ν ππνινγηζκόο βάζεη θαηάιιεισλ ζπλαξηήζεσλ ηεο πηζαλνηηθήο ζπκπεξηθνξάο ηπραίσλ κεηαβιεηώλ πνπ πεξηγξάθνπλ ηα απνηειέζκαηα ελόο πεηξάκαηνο.
Άζκηζη. (5 κνλάδεο) Να ππνινγίζεηε ηα νινθιεξώκαηα (i) d (ii) cos d (iii) d Τπόδειξη: Γηα ην (i) λα ρξεζηκνπνηήζεηε νινθιήξσζε κε αληηθαηάζηαζε (Κεθ.,.Δ.Τ. Οινθιεξώκαηα ΗΗ), γηα ην (ii) λα ρξεζηκνπνηήζεηε παξαγνληηθή νινθιήξσζε (Κεθ. 5,.Δ.Τ. Οινθιεξώκαηα ΗΗ) θαη γηα ην (iii) αλάιπζε ζε άζξνηζκα απιώλ θιαζκάησλ (Κεθ. 7,.Δ.Τ. Οινθιεξώκαηα ΗΗ). Λύζη (i) Θα ιπζεί κε αληηθαηάζηαζε. Θέηνπκε θαη ζπλεπώο d d d d ( ) d d d. d d d ( ) d d ln c ln c (ii) Θα ιπζεί κε παξαγνληηθή νινθιήξσζε cos d cos d I πλεπώο ζα έρνπκε cos cos d cos -sin d cos sin d cos sin d cos sin sin d cos sin cos d 4 cos sin cos d 9 I
4 I I cos sin 9 I cos sin 9 9 9 I cos sin 9 cos sin I C (iii) Δδώ έρνπκε νινθιήξσζε ξεηήο ζπλάξηεζεο. Πξώηα παξαγνληνπνηνύκε ηνλ παξνλνκαζηή Αλαιύνπκε ηελ ξεηή ζπλάξηεζε ζε απιά θιάζκαηα A B C A B C A A B B C C C B C A C A B C BC A C A B C A B C Δπνκέλσο ην νινθιήξσκα γίλεηαη: d d d d d ln ln c
Άζκηζη. (5 κνλάδεο) (α) (Μνλάδεο ) Γείμηε όηη ην νινθιήξσκα : I d, ζπγθιίλεη αλ θαη κόλν αλ. (β) (Μνλάδεο 5) Να ππνινγίζεηε ην γεληθεπκέλν νινθιήξσκα I d Τπόδειξη: Σα παξαπάλσ γεληθεπκέλα νινθιεξώκαηα κειεηάεη ην Κεθ. ηνπ βηβιίνπ ηνπ θ. Γάζηνπ (Κεθ.. θαη.) (δεο επίζεο ΔΤ Οινθιεξώκαηα, ζει. 9). ην I κπνξείηε λα ρξεζηκνπνηήζεηε νινθιήξσζε κε αληηθαηάζηαζε (Κεθ. από ΔΤ). Λύζη (α) Σν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ην I d lim d a a 4 αλ θαη όιν ην αλ Τπνινγίδνπκε ην αόξηζην νινθιήξσκα ln ln d d d dd ηε ζπλέρεηα ππνινγίδνπκε ην νξηζκέλν νινθιήξσκα : i) γηα ii) γηα I lim ln ln lim ln d a a a a I a d lim lim a a a a lim a πλεπώο ην νινθιήξσκα ζπγθιίλεη κόλν γηα ηηο ηηκέο ηνπ πνπ είλαη κηθξόηεξεο ηεο κνλάδαο. (β) Σν πεδίν νξηζκνύ ηεο είλαη ην,. a I d lim d a Θα ππνινγίζνπκε πξώηα ην αληίζηνηρν αόξηζην νινθιήξσκα. Θέηνπκε
Οπόηε έρνπκε d d Άξα ( ) d d d c 6 6 dd ( ) Γηα ην νξηζκέλν νινθιήξσκα έρνπκε a a d ( ) c c a ( a) ( ) a ( a) Σέινο παίξλνπκε ην όξην θαη έρνπκε a I d lim d lim a ( a) a a ( ) 5
Άζκηζη. ( κνλάδεο) (α) Ρίρλνπκε δύν δάξηα κηα θνξά.. (Μνλ. ) Πνηνο είλαη ν δεηγκαηνρώξνο ;. Πνηα είλαη ηα γεγνλόηα πνπ αθνινπζνύλ θαη πνηα ε πηζαλόηεηα θαζελόο από απηά : i) (Μνλ. 4) Σν άζξνηζκα είλαη κεγαιύηεξν ή ίζν ηνπ 7, ii) (Μνλ. 4) Οη αξηζκνί πνπ δείρλνπλ ηα δάξηα είλαη ίζνη. (β) (Μνλ. ) Αλ ξίρλακε δάξηα ηαπηόρξνλα, είλαη ηζνπίζαλεο νη πεξηπηώζεηο λα θέξνπκε άζξνηζκα ή ; (γ) Αο ππνζέζνπκε όηη νη πξσηνεηείο θνηηεηέο ηεο ΠΛΖ επηιέγνπλ ζην πξώην έηνο ηελ ζεκαηηθή ελόηεηα ΠΛΖ ζε πνζνζηό 6%, θαη ηελ ΠΛΖ ζε πνζνζηό 5%, ελώ ην πνζνζηό ησλ θνηηεηώλ πνπ επηιέγνπλ θαη ηηο ζεκαηηθέο ελόηεηεο είλαη %. Αλ δηαιέμνπκε έλαλ ηπραίν πξσηνεηή θνηηεηή ηεο ΠΛΖ, ηόηε :. (Μνλ. 5) Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα ηνπ γεγνλόηνο «ν ηπραίνο θνηηεηήο λα έρεη επηιέμεη τοσλάτιστον μια από ηηο δύν ζεκαηηθέο ελόηεηεο» ;. (Μνλ. 5) Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα ηνπ γεγνλόηνο «ν ηπραίνο θνηηεηήο λα έρεη επηιέμεη ακριβώς μια από ηηο δύν ζεκαηηθέο ελόηεηεο» ; Τπόδειξη. Ζ έλλνηα ηνπ δεηγκαηηθνύ ρώξνπ νξίδεηαη ζην Κεθ.. ηνπ βηβιίνπ, ελώ βαζηθέο πξνηάζεηο θαη ε αμησκαηηθή ζεκειίσζε ηεο πηζαλόηεηαο αλαθέξνληαη ζην Κεθ.. ηνπ βηβιίνπ (δεο επίζεο ΔΤ, Κεθ.. από Πηζαλόηεηεο Η). Λύζη (α.) Ο δεηγκαηνρώξνο Ω είλαη ν παξαθάησ,,,,,,, 4,,5,,6,,,,,,,, 4,,5,,6,,,,,,,, 4,,5,,6, 4,, 4,, 4,, 4, 4, 4,5, 4,6, 5,, 5,, 5,, 5, 4, 5,5, 5,6, 6,, 6,, 6,, 6, 4, 6,5, 6,6 θαη πεξηέρεη 6 6, ab,,,, 4,5,6. δηαηεηαγκέλα δεύγε ab κε (α.i) Σν γεγνλόο : Α={Σν άζξνηζκα είλαη κεγαιύηεξν ή ίζν ηνπ 7} πεξηέρεη ηα παξαθάησ δηαηεηαγκέλα δεύγε ab, κε a, b,,, 4,5,6 a b 7,6,,5,,6,,4,,5,,6, 4,, 4,4, 4,5, 4,6, 5,, 5,, 5,4, 5,5, 5,6, 6,, 6,, 6,, 6,4, 6,5, 6,6 A 6 6 ηα νπνία ζην πιήζνο είλαη ίζα κε θαη ζπλεπώο P A.58. a b7a 6 (α.ii) Σν γεγνλόο : B={Οη αξηζκνί πνπ δείρλνπλ ηα δάξηα είλαη ίζνη} πεξηέρεη ηα παξαθάησ δηαηεηαγκέλα δεύγε ab, κε a, b,,, 4,5,6 a b B,,,,,, 4,4, 5,5, 6,6 6 6 ηα νπνία ζην πιήζνο είλαη ίζα κε 6 θαη ζπλεπώο PB.66667. a 6 (β) Ο δεηγκαηνρώξνο Ω πνπ αληηζηνηρεί ζην ξίμηκν ησλ δαξηώλ ζα πεξηέρεη 6 6,, abc,,,,, 4,5,6. δηαηεηαγκέλεο ηξηάδεο abc κε Σν γεγνλόο : C={Σν άζξνηζκα είλαη ίζν κε } 6
abc,, κε,,,,, 4,5,6 πεξηέρεη ηα παξαθάησ δηαηεηαγκέλα δεύγε abc θαη a b c.,4,6,,5,5,,6,4,,,6,,4,5,,5,4,,6,,,,6,,,5,,4,4, C,5,,,6,, 4,,6, 4,,5, 4,,4, 4,4,, 4,5,, 4,6,, 5,,5, 5,,4, 5,,, 5,4,, 5,5,, 6,,4, 6,,, 6,,, 6,4, 7 ηα νπνία ζην πιήζνο είλαη ίζα κε 7 θαη ζπλεπώο PC. 6 Σν γεγνλόο : D={Σν άζξνηζκα είλαη ίζν κε } πεξηέρεη ηα παξαθάησ δηαηεηαγκέλα δεύγε abc,, κε abc,,,,, 4,5,6 θαη a b c.,5,6,,6,5,,4,6,,5,5,,6,4,,,6,,4,5,,5,4,,6,, 4,,6, D 4,,5, 4,4,4, 4,5,, 4,6,, 5,,6, 5,,5, 5,,4, 5,4,, 5,5,, 5,6,, 6,,5, 6,,4, 6,,, 6,4,, 6,5, 5 ηα νπνία ζην πιήζνο είλαη ίζα κε 5 θαη ζπλεπώο PD. 6 Άξα ην γεγνλόο C έρεη κεγαιύηεξε πηζαλόηεηα από ην γεγνλόο D. Σν παξαπάλσ πξόβιεκα είλαη γλσζηό θαη σο Παξάδνμν ηνπ Chvalir d Mr. Ο ηππόηεο Chvalir d Mr ζπλήζηδε λα παίδεη κε δάξηα θαη λα πνληάξεη ελαιιαθηηθά ζην άζξνηζκα ή γηαηί πίζηεπε όηη πξόθεηηαη γηα ηζνπίζαλεο πεξηπηώζεηο. ην ζπκπέξαζκα απηό είρε νδεγεζεί γηαηί δελ ιάκβαλε ππόςηλ όιεο ηηο δηαηεηαγκέλεο ηξηάδεο θαη ζπλεπώο ν δεηγκαηηθόο ρώξνο πνπ ππέζεηε πεξηείρε ζηνηρεία όπσο ην (α,β,γ) αιιά όρη ην (β,γ,α) κηαο θαη ην ζεσξνύζε ίδην. πλεπώο ν δεηγκαηνρώξνο θαηά ηνλ d Mr πεξηείρε 56 ζηνηρεία, από ηα νπνία 6 είραλ άζξνηζκα θαη 6 άζξνηζκα C {(, 4, 6), (, 5, 5), (,, 6), (, 4, 5), (,, 5), (, 4, 4)} D {(, 5, 6), (, 4, 6), (, 5, 5), (,, 6), (, 4, 5), (4, 4, 4)} Ο Pascal παίξλνληαο όιεο ηηο δηαηεηαγκέλεο ηξηάδεο πήξε ην απνηέιεζκα πνπ παξνπζηάζακε παξαπάλσ. Σν απνηέιεζκα ζην εξώηεκα, κπνξνύκε λα ην πάξνπκε θαη κε ην παξαθάησ ζύληνκν πξόγξακκα ζην Mathmatica : In[8]:= s ; Do If a b c, s Join s, a, b, c, a,, 6, b,, 6, c,, 6 ; s Ot[8]=, 4, 6,, 5, 5,, 6, 4,,, 6,, 4, 5,, 5, 4,, 6,,,, 6,,, 5,, 4, 4,, 5,,, 6,, 4,, 6, 4,, 5, 4,, 4, 4, 4,, 4, 5,, 4, 6,, 5,, 5, 5,, 4, 5,,, 5, 4,, 5, 5,, 6,, 4, 6,,, 6,,, 6, 4, In[8]:= s ; Do If a b c, s Join s, a, b, c, a,, 6, b,, 6, c,, 6 ; s Ot[8]=, 5, 6,, 6, 5,, 4, 6,, 5, 5,, 6, 4,,, 6,, 4, 5,, 5, 4,, 6,, 4,, 6, 4,, 5, 4, 4, 4, 4, 5,, 4, 6,, 5,, 6, 5,, 5, 5,, 4, 5, 4,, 5, 5,, 5, 6,, 6,, 5, 6,, 4, 6,,, 6, 4,, 6, 5, Οξίδνπκε αξρηθά κηα άδεηα ιίζηα, ζηελ νπνία ζηε ζπλέρεηα πξνζζέηνπκε από όιεο ηηο δπλαηέο δηαηεηαγκέλεο ηξηάδεο απηέο πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ απαξαίηεηε ζπλζήθε. ην ηέινο εθηππώλνπκε ηελ ιίζηα πνπ έρεη πξνθύςεη. 7
(γ) Οξίδνπκε ηα παξαθάησ γεγνλόηα : A={ν θνηηεηήο επέιεμε ηελ ΠΛΖ} B={ν θνηηεηήο επέιεμε ηελ ΠΛΖ} Σόηε ζα έρνπκε: P A.6, P B.5, P A B., (γ) Ζ πηζαλόηεηα ηνπ γεγνλόηνο «ν ηπραίνο θνηηεηήο λα έρεη επηιέμεη τοσλάτιστον μια από ηηο δύν ζεκαηηθέο ελόηεηεο» είλαη : P A B P A P B P A B.6.5..8 (γ) Ζ πηζαλόηεηα ηνπ γεγνλόηνο «ν ηπραίνο θνηηεηήο λα έρεη επηιέμεη ακριβώς μια από ηηο δύν ζεκαηηθέο ελόηεηεο» είλαη λα έρεη επηιέμεη ηελ πξώηε αιιά όρη ηελ P A B A B. δεύηεξε ή λα έρεη επηιέμεη ηελ δεύηεξε αιιά όρη ηελ πξώηε A B A B A B A B Δίλαη θαλεξό από ην παξαπάλσ ζρήκα όηη A B A B B A A B Καη ζπλεπώο επεηδή ηα γεγνλόηα A B θαη B (αληίζηνηρα A θαη A B) είλαη μέλα κεηαμύ ηνπο ζα έρνπκε P A B P A B P B P A P A B πλεπώο P A B P A B P B.8.5. P A B P A B P A.8.6. Άξα επεηδή ηα γεγνλόηα A B θαη A B είλαη μέλα κεηαμύ ηνπο ζα έρνπκε P A B A B P A B P A B...5 Δναλλακηικά μποπούμε να θεωπήζοςμε όηη ην ελδερόκελν αθξηβώο κία AB \ A B άξα έρεη πηζαλόηεηα P A B P A B.8..5 ηνκή είλαη ππνζύλνιν ηεο έλσζεο. είλαη ην, αθνύ ε 8
Άζκηζη 4. ( κνλάδεο) Λόγσ ελόο ζθάικαηνο πνπ δεκηνπξγήζεθε ζην Intrnt ηα παθέηα δεδνκέλσλ κεηαμύ ππνινγηζηώλ ηα νπνία απνζηέιινληαη από Θεζζαινλίθε πξνο Αζήλα δξνκνινγνύληαη κέζσ Ησαλλίλσλ κε πηζαλόηεηα /. Έλα παθέην δεδνκέλσλ πνπ δξνκνινγείηαη κέζσ Ησαλλίλσλ έρεη πηζαλόηεηα / λα ραζεί κέρξη λα θηάζεη ζηελ Αζήλα. Αλ πάιη έλα παθέην δεδνκέλσλ δελ δξνκνινγεζεί κέζσ Ησαλλίλσλ ηόηε έρεη ηελ πηζαλόηεηα /4 λα ραζεί.. (Μνλάδεο 5) Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα λα ραζεί έλα παθέην δεδνκέλσλ από Θεζζαινλίθε πξνο Αζήλα;. (Μνλάδεο 5) Πνηα ε πηζαλόηεηα έλα παθέην δεδνκέλσλ πνπ έθηαζε ζηελ Αζήλα λα ήξζε κέζσ Ησαλλίλσλ; Τπόδειξη. Να νξίζεηε ηα γεγνλόηα Α={έλα παθέην δεδνκέλσλ δξνκνινγείηαη κέζσ Ησαλλίλσλ}, Β={έλα παθέην δεδνκέλσλ ράλεηαη}. Θα ζαο βνεζήζεη ηδηαίηεξα ην θεθάιαην.5 ηνπ βηβιίνπ (Γεζκεπκέλε Πηζαλόηεηα) θαζώο θαη ην θεθάιαην. από ην ΔΤ Πηζαλόηεηεο Η πνπ αλαθέξεηαη ζην ίδην αληηθείκελν. Λύζη Έζησ ηα γεγνλόηα : Α={έλα παθέην δεδνκέλσλ δξνκνινγείηαη κέζσ Ησαλλίλσλ} Β={έλα παθέην δεδνκέλσλ ράλεηαη} Σόηε ζύκθσλα κε ηα δεδνκέλα ηεο άζθεζεο, ε πηζαλόηεηα έλα παθέην λα ραζεί όηαλ δξνκνινγείηαη κέζσ Ησαλλίλσλ είλαη : P B / A ελώ ε πηζαλόηεηα λα ραζεί αλ δελ δξνκνινγεζεί κέζσ Ησαλλίλσλ είλαη : P B / A 4 όπνπ A δειώλεη ην αληίζεην ηνπ γεγνλόηνο Α. Σέινο ε πηζαλόηεηα λα δξνκνινγεζεί έλα παθέην κέζσ Ησαλλίλσλ είλαη P A () πλεπώο ε πηζαλόηεηα έλα παθέην λα ραζεί ζύκθσλα κε ην Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας (Θεώξεκα., ζει. 4, από ην βηβιίν ηνπ θ. Κνπηξνπβέιε) είλαη : 5 PB PB / A P A PB / A P A () Εεηνύκε ηελ δεζκεπκέλε πηζαλόηεηα P A / B 4 6 8. Υξεζηκνπνηώληαο ηνλ Κανόνα τοσ Bays (Θεώξεκα.4, ζει. 4, από ην βηβιίν ηνπ θ. Κνπηξνπβέιε) : PB / A P A PB / AP A 4 P A / B 9 PB PB 5 8 8 9
Άζκηζη 5. ( κνλάδεο) Ο ρξόλνο δσήο κίαο ηερλεηήο θαξδηάο (κεηξνύκελνο ζε έηε) είλαη ζπλερήο ηπραία κεηαβιεηή X κε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο: f ( ).5,av,av ) (Μνλ. 5) Να επαιεζεύζεηε όηη ε f ( )είλαη πξάγκαηη ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο. ) (Μνλ. 5) Να βξεζεί ε πηζαλόηεηα λα παξνπζηαζζεί ειάηησκα εληόο εηώλ. ) (Μνλ. 5) Αλ ε ηερλεηή θαξδηά έρεη ήδε ιεηηνπξγήζεη γηα ρξόληα πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα λα ιεηηνπξγήζεη άιια 5 ρξόληα; 4) (Μνλ. 5) Να ππνινγηζηεί ε κέζε ηηκή EX θαη ε ηππηθή απόθιηζε σ ηεο X. Τπόδειξη. Θα ρξεηαζηεί λα κειεηήζεηε ηελ έλλνηα ηεο ζπλάξηεζεο ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο (Κεθ.. ηνπ βηβιίνπ) θαη πην ζπγθεθξηκέλα ηνλ νξηζκό ζηε ζει. 59. Δπίζεο ζα ρξεηαζηείηε ηνλ νξηζκό ηεο κέζεο ηηκήο θαη ηεο δηαζπνξάο (ζει. 78, 8 ). Μπνξείηε επίζεο λα κειεηήζεηε από ην.δ.τ., Πηζαλόηεηεο - Λπκέλεο αζθήζεηο. Λύζη ) Δίλαη f ( ) θαη f ( )d.5 d lim.5 d, δηόηη.5 d.5 d d d πνπ ηείλεη ζην όηαλ ην ηείλεη ζην άπεηξν.,5 P( X ).5 d.5 d.9 ) ) Εεηείηαη ε πηζαλόηεηα P ( X 5 ) ( X ) P( X 5 ) P( X 5 ) PX 5 X P X P( X ) P( X ) 5 5 5 5 f ( )d.77 ( ) 4) ( ).5 lim.5 Όκσο EX f d d d Έρνπκε:.5 d.5 d d d d d d
lim θαη lim lim lim Δπνκέλσο EX. Γλσξίδνπκε όηη ε ηππηθή απόθιηζε σ είλαη ε ηεηξαγσληθή ξίδα ηεο δηαζπνξάο VarX. Γηα ηε δηαζπνξά ηζρύεη VarX EX ( EX ). Τπνινγίδνπκε αξρηθά ηελ κέζε ηηκή ηεο X.. EX f ( ) d.5 d lim.5 d Έρνπκε: Δπεηδή πξνθύπηεη.5 d.5 d d d d d ().5 d lim lim lim lim 4 EX lim.5 d lim ( ().5 d) 4EX 8 Δπνκέλσο VarX EX ( EX ) 8 4 4 σ
Άζκηζη 6. ( κνλάδεο) Οη ηηκέο ηεο ρνιεζηεξόιεο ζε θάπνην πιεζπζκό είλαη ηηκέο ηπραίαο κεηαβιεηήο X πνπ αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή κε κέζε ηηκή gr/ dl θαη ηππηθή απόθιηζε 65 gr/ dl.. (Μνλ. 5) Να ππνινγηζζεί ην πνζνζηό ησλ αηόκσλ κε κεηξήζεηο ρνιεζηεξόιεο κεηαμύ 5 θαη gr/ dl.. (Μνλ. 5) Να βξεζεί εθείλε ε ηηκή ρνιεζηεξόιεο γηα ηελ νπνία ην 8% ηνπ πιεζπζκνύ λα έρεη κηθξόηεξε κέηξεζε από απηήλ. Τπόδειξη. Θα ρξεηαζηεί λα κειεηήζεηε από ην θεθάιαην 4 ηελ παξάγξαθν 4.5 (θαλνληθή θαηαλνκή), θαζώο επίζεο θαη ηνλ πίλαθα ηεο ζειίδαο 78. Μπνξείηε επίζεο λα κειεηήζεηε από ην.δ.τ., Πηζαλόηεηεο - Λπκέλεο αζθήζεηο. Λύζη X ) Γλσξίδνπκε όηη: X N(,65 ) Z N(,). Δπνκέλσο 65 5 P 5 X P Z P.77 Z.54 65 65 (.54 ) (.77 ) (.54 ) [ (,77 )].98..78 7,8% ) Έζησ a ε ηηκή ρνιεζηεξόιεο θάησ από ηελ νπνία βξίζθεηαη ην 8% ηνπ P X a.8. Δπνκέλσο πιεζπζκνύ. Γειαδή a a PZ.8 ( ).8 65 65 Από ηνλ πίλαθα ηεο ηππνπνηεκέλεο θαλνληθήο θαηαλνκήο πξνθύπηεη όηη a.84 a (.84 ) (65 ) 54.6 65