Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ

8 5 Το θεώρημα Kre-Mlm Βασικές ιδιότητες συμπαγών και κυρτών συνόλων. Ορισμός 5. Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό σύνολο. Ένα σημείο x Κ λέγεται ακραίο ( extreme ) σημείο του Κ, αν δεν είναι γνήσιος κυρτός συνδυασμός δύο άλλων σημείων του Κ. Δηλαδή, αν < λ<, y, z Κ και ( λ) x= λ y+ z τότε y= z= x. Το σύνολο των ακραίων σημείων του Κ συμβολίζεται με ex( Κ ). Παρατηρούμε ότι: Αν x Κ τότε, x ex( Κ ) αν και μόνο αν το \{ x} Παραδείγματα 5. ) Έστω Α, Β, Γ σημεία του Ευκλείδειου επιπέδου Κ είναι κυρτό. R =l που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Θεωρούμε το κλειστό τρίγωνο με κορυφές τα Α, Β, Γ ( co{,, } { λ µ ν : λ µ ν, λ, µν, } = Α Β Γ = Α+ Β+ Γ + + = ). Τα ακραία σημεία του είναι οι κορυφές του, δηλαδή ex( ) = { Α, Β, Γ }. Γενικότερα αν Κ είναι ένα ( κλειστό) κυρτό πολύγωνο στο R, όπου με τον όρο κυρτό πολύγωνο εννοούμε την κυρτή θήκη co( F ) ενός πεπερασμένου υποσυνόλου F του οι κορυφές του. ) Έστω {, : } R, τότε τα ακραία σημεία του Κ είναι D= x y R x + y, ο κλειστός μοναδιαίος δίσκος του επιπέδου. Τα ακραία σημεία του D είναι τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου Τ= {( x, y) D : x + y = }, δηλαδή κάθε Ευκλείδειο χώρο R = l,.( Άσκηση.) ex D =Τ. Το αποτέλεσμα αυτό γενικεύεται σε 3) Ένα κυρτό σύνολο δεν έχει κατ ανάγκη ακραία σημεία. Για παράδειγμα αν Κ είναι μια ευθεία ή ένα ημιεπίπεδο ( κλειστό ή ανοικτό ) ή ακόμη ένας ανοικτός δίσκος του Ευκλείδειου επιπέδου, τότε τοκ δεν έχει ακραία σημεία. Η έννοια του ακραίου σημείου έχει την ακόλουθη χρήσιμη γενίκευση. Ορισμός 5.3 Έστω X διανυσματικός χώρος και Κ X κυρτό. Ένα υποσύνολο A του Κ λέγεται ακραίο υποσύνολο τουκ αν, οποτεδήποτε ένα σημείο του A είναι εσωτερικό ενός ευθύγραμμου τμήματος του Κ, τότε αναγκαία τα άκρα του τμήματος ανήκουν στο A. Αναλυτικά η συνθήκη εκφράζεται ως εξής: Κ < < και λ ( λ) Αν x, y, λ x+ y A τότε x, y A.

9 Παρατηρούμε ότι αν x Κ όταν το x είναι ακραίο σημείο του Κ. Έτσι τα ακραία σημεία ενός κυρτού συνόλου είναι τα ακραία μονοσύνολα του. Παραδείγματα 5.4 ) Έστω Κ ένα κυρτό υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου X, τότε το ίδιο το Κ είναι ακραίο υποσύνολο του Κ. Επίσης κάθε μη κενό υποσύνολο του συνόλου να ισχύει ex Κ είναι ακραίο υποσύνολο του Κ ( βέβαια ενδέχεται- όπως διαπιστώσαμε ex Κ =.). Για την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού έστω και x A ώστε x= λ y+ ( λ z με < λ< και y, z Κ, επειδή x ex Κ έπεται ότι x= y= z A, συνεπώς το A είναι ακραίο υποσύνολο του Κ. ) Έστω [, b] Κ= ένα ευθύγραμμο τμήμα στον διανυσματικό χώρο X { : ( Κ = λ+ ( λ) b λ [ το Κ και κάθε μη κενό υποσ, τότε το μονοσύνολο { } ) ]} x είναι ακραίο σύνολο του Κακριβώς, ). Τότε τα ακραία υποσύνολα του Κ είναι βέβαια το ίδιο σύνολο του συνόλου ex {, b} Κ =. A ex( Κ ) 3) ΈστωΚ ένα κλειστό κυρτό πολύγωνο του Ευκλείδειου επιπέδου τρίγωνο). Τα ακραία υποσύνολα του Κ είναι τα ακόλουθα: R,( π.χ χ. Κ είναι ένα (α) Το ίδιο το Κ. (β) Οι κορυφές τουκ και κάθε υποσύνολο των κορυφών του. (γ) Κάθε πλευρά του Κ ( η οποία περιέχει τα άκρα της ) και κάθε υποσύνολο του Κ το οποίο είναι ένωση πλευρών είτε κορυφών του Κ. {,, } ex Κ = Α Α Α 3 { ex Κ = Α, Α, Α, Α 3 4} Το { Α } [ Α, Α ] είναι ακραίο 3 υποσύνολο του Κ= co{ Α, Α, Α Το (, ) Α Α δεν είναι ακραίο υποσύνολο του Κ. 3} Το [ Α, Α ] [ Α, Α ] είναι ακραίο 4 3 υποσύνολο του co{,, 3, 4, 5 } {,,, } Κ= Α Α Α Α Α = co Α Α Α Α 3 4

4) Έστω ( X, ) χώρος με νόρμα. Τότε η S X { x X : x } της Β X. Πράγματι, έστω x =. Αν λ ( λ) = = είναι ακραίο υποσύνολο x= y+ zμε < λ< και y, z Β X, τότε = x = λ y+ λ z λ y + λ z λ+ λ =. Κατά συνέπεια ( λ) λ y + z =, από όπου συμπεραίνουμε ότι y = z =. Σημείωση 5.4. Στο παράδειγμα (4) χρησιμοποιήσαμε την απλή παρατήρηση ότι: < < και λα ( λ) Αν, b C,, b, λ ( Άσκηση) ( Πρβλ. επίσης και το παράδειγμα 5. (3).) Πρόταση 5.5 Έστω X διανυσματικός χώρος και ακόλουθα: = + b τότε = b = και = b. Κ X κυρτό σύνολο. Τότε ισχύουν τα (α) Αν x Κ τότε το μονοσύνολο{ x } είναι ακραίο υποσύνολο του Κ αν και μόνο αν το x είναι ακραίο σημείο του Κ. (β) Αν A ακραίο και κυρτό υποσύνολο του Κ και B ακραίο υποσύνολο του A, τότε το B είναι ακραίο υποσύνολο του Κ. Ειδικότερα, αν το x είναι ακραίο σημείο του A τότε το x είναι ακραίο σημείο του Κ. (γ) Αν A είναι οικογένεια ακραίων υποσυνόλων του Κ τότε και η ένωση I A είναι ακραίο υποσύνολο του Κ. Επίσης, αν A, τότε και η τομή υποσύνολο του Κ. I I A I είναι ακραίο (δ) Αν Λ : X R είναι R γραμμικό συναρτησοειδές και υπάρχει x Κ ώστε { } Λ ( x ) = Λ( x) x Κ, τότε τα σύνολο A y : ( y) ( x ) su : και κυρτό υποσύνολο του Κ. { } = Κ Λ =Λ είναι ακραίο Απόδειξη. Οι ισχυρισμοί (α) (γ) αφήνονται ως άσκηση. Αποδεικνύουμε τον ισχυρισμό (δ). Προφανώς το A είναι κυρτό ως τομή της μεταφοράς κατά x του υπερεπιπέδου KerΛ με το Κ, δηλ., A ( x Ker ) τότε = + Λ Κ. Έστω y, z Κ και λ ( λ λ ) λ ( λ) Λ x =Λ y+ z = Λ y + Λ z. Ας υποθέσουμε ότι { y, z} Λ ( y) <Λ ( x ) και επειδή ( z) ( x ) < < ώστε λ ( λ) y+ z A A και έστω ότι π.χ. το y A. Τότε Λ( y) Λ ( x ) συνεπώς Λ Λ θα έχουμε ότι ( x ) λ ( y) ( λ) ( z) λ ( x ) ( λ) ( x ) ( x ) Λ = Λ + Λ < Λ + Λ =Λ, άτοπο...

Σημείωση. Έστω Κ κυρτό υποσύνολο ενός διανυσματικού χώρου και A ένα ακραίο και κυρτό υποσύνολο του Κ, τότε το A ονομάζεται και έδρα ή (fce) του Κ. Για παράδειγμα οι «έδρες» ενός τριγώνου στο R είναι οι πλευρές του και οι κορυφές του. Η έννοια της έδρας ενός κυρτού συνόλου είναι ποιο φυσιολογική στην περίπτωση του 3 3 R ( ) =l όπου οι «έδρες» ενός κυρτού πολύεδρου( π.χ. ενός τετραέδρου) είναι οι συνήθεις έδρες, οι ακμές του αλλά και οι κορυφές του... Αν το Κείναι ένα κυρτό πολύγωνο στο Ευκλείδειο επίπεδο R ( π.χ. τρίγωνο, παραλληλόγραμμο η γενικότερα κυρτό γωνο, 3) τότε είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι το ex( Κ ) είναι το σύνολο των κορυφών του και περαιτέρω ότι ισχύει Κ= co ex( Κ ) ( πρβλ. το παράδειγμα 5.4 (3)). Πρόκειται στη συνέχεια να αποδείξουμε ένα πολύ γενικότερο και σημαντικό αποτέλεσμα. Θεώρημα 5.6 (Kre-Mlm ) Έστω X ένας ( Husdorff) τοπικά κυρτός χώρος. Αν το Κ είναι μη κενό κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του X τότε το Κ είναι η κλειστή κυρτή θήκη του συνόλου των ακραίων σημείων του. Δηλαδή ( Ιδιαίτερα το Κ έχει ακραία σημεία.) ( ) Κ= cl co ex Κ Απόδειξη Υποθέτομε ( για απλότητα ) ότι ο X είναι πραγματικός διανυσματικός χώρος. Θα μας χρειασθεί ο ακόλουθος ισχυρισμός ο οποίος είναι συνέπεια του Λήμματος του Zor. Ισχυρισμός. Για κάθε μη κενό ακραίο, κυρτό και κλειστό υποσύνολο S Κ ισχύει ότι, S ex Κ. Απόδειξη του ισχυρισμού. Έστω η οικογένεια όλων των μη κενών ακραίων κλειστών και κυρτών υποσυνόλων του Κ. Επειδή Κ έχουμε ότι. Παρατηρούμε τα ακόλουθα: (α) Η τομή S των μελών κάθε μη κενής υποοικογένειας της ανήκει στην εκτός αν S=. (β) Αν S, X ανήκει στην. { } { } Λ και µ= mx Λ( x) : x S τότε το : S = x Λ S Λ x = µ Το (α) έπεται εύκολα από τον ισχυρισμό (γ) της Πρότασης 5.5. Για το (β) παρατηρούμε ότι επειδή το S συμπαγές και η Λ συνεχής συνάρτηση υπάρχει x S ώστε Λ ( x ) = µ, από τον ισχυρισμό (δ) της ίδιας Πρότασης έχουμε το συμπέρασμα.

Επιλέγομε τώρα κάποιο μέλος S της, και θέτομε ' { S ' : S ' S} =. Επειδή S ' το S. Ορίζουμε μια σχέση ( μερικής ) διάταξης στο ' ως εξής S S S S Αποδεικνύεται εύκολα ότι το μερικά διατεταγμένο σύνολο ( ', ) είναι επαγωγικό ( αν C είναι αλυσίδα στο ' τότε ηc έχει προφανώς την ιδιότητα της πεπερασμένης τομής, επειδή τα μέλη τηςc είναι κλειστά υποσύνολα του συμπαγούς Κ, έπεται ότι Μ= C. Έτσι το Μ είναι ένα άνω φράγμα τηςc). Από το Λήμμα του Zor υπάρχει ένα μεγιστικό στοιχείο έστω Μ στο ' δηλαδή, αν S ' ' και Μ S ' τότε S ' =Μ Έπεται τότε ότι δεν υπάρχει γνήσιο υποσύνολο του Μ που να ανήκει στην. Από το γεγονός αυτό και το (β) συμπεραίνουμε ότι κάθε Μ. Επειδή ο X είναι τοπικά κυρτός και άρα ο f X είναι σταθερή συνάρτηση επί του X διαχωρίζει τα σημεία του X, το Μ θα έχει μόνο ένα σημείο. Έτσι από τον ισχυρισμό (α) της πρότασης 5.5 αν Μ = { x} τότε το x θα είναι ένα ακραίο σημείο του Κ, το οποίο ανήκει στο S. Η απόδειξη του ισχυρισμού είναι πλήρης. Η= Κ. Είναι σαφές Ερχόμαστε τώρα στην απόδειξη του θεωρήματος. Θέτομε co ex ότι το Η και ότι Η κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του Κ. Έστω ότι υπάρχει x Κ ώστε x Η. Από το διαχωριστικό θεώρημα Hh-Bch υπάρχει Λ ( x) <Λ ( x ) για κάθε x Η. Θέτομε Κ Λ = { x Κ : Λ ( x ) = µ }, όπου { x x } ( x) µ= mx Λ : Κ Λ. Λ X ώστε Έπεται τότε από το (β) ότι ΚΛ.Επειδή το Κ Λ δεν τέμνει ( προφανώς ) το Η, οπότε ούτε το ex( Κ) Η, καταλήγουμε σε αντίφαση... Παρατήρηση 5.7 ) Το θεώρημα Kre Mlm ισχύει και με την ασθενέστερη υπόθεση ότι ο X είναι ένας Husdorff τ.δ.χ. ώστε ο συζυγής του (πρβλ. [R] σελίδα 7-7). X διαχωρίζει τα σημεία του

3 ) Αν < <, τότε στον χώρο L, ο οποίος μελετήθηκε στο παράδειγμα 3.4.4, υπάρχει συμπαγές και κυρτό σύνολο το οποίο δεν έχει ακραία σημεία ( [F-H-H-M-Z] σελίδα ). Βέβαια αυτό δεν αντιφάσκει με το θεώρημα Kre- Mlm αφού { } L =. Άμεση συνέπεια των θεωρημάτων Kre- Mlm και Aloglou είναι και το ακόλουθο. Θεώρημα 5.8 Έστω X χώρος με νόρμα. Τότε Β X = cl co exβx w. Δηλαδή, η Β X ισούται με την ασθενώς κλειστή κυρτή θήκη των ακραίων σημείων της. Απόδειξη Η Β X είναι από το θεώρημα του Aloglou ένα συμπαγές και βέβαια κυρτό σύνολο. Έτσι το συμπέρασμα έπεται αμέσως από το θεώρημα Kre- Mlm. Πόρισμα 5.9 Έστω X αυτοπαθής χώρος Bch. Τότε Β X = cl wco exβ X Απόδειξη ΗΒ X είναι ένα ασθενώς συμπαγές και κυρτό υποσύνολο του X. Από το θεώρημα Kre- Mlm έπεται το συμπέρασμα... Στις ασκήσεις ( θα διατυπώσουμε και ) θα περιγράψουμε την απόδειξη κάποιων χρήσιμων αποτελεσμάτων σχετικών με το θεώρημα Kre- Mlm όπως ένα είδος μερικού αντιστρόφου του θεωρήματος Kre- Mlm ( άσκηση 5 ), καθώς και την ( ισχυροποιημένη ) μορφή του θεωρήματος στην περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων που είναι το θεώρημα Καραθεοδωρή ( άσκηση 7). Ακολουθούν μια βοηθητική Πρόταση και μια σειρά παραδειγμάτων υπολογισμού των ακραίων σημείων σφαιρών κλασσικών χώρων Bch. Πρόταση 5. Έστω (, ) X χώρος με νόρμα. Τότε, (α) ex Β X S X και (β) Αν x ex ΒX τότε cx ex Β X για κάθε c K με c =.

4 Απόδειξη (α) Έστω x <. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: (ι) x=, τότε, = x= y+ ( y) για κάθε y X με y. x, τότε x λ y ( λ) (ιι) = +, όπου x y= και λ= x. Έπεται ότι το x δεν μπορεί x να είναι ακραίο σημείο της Β X. (β) Έστω x ex ΒX και c K με c =. Αν το cx δεν ήταν ακραίο σημείο της Β X τότε, λ ( λ) cx= z+ y για < λ< και z, y X z y και επειδή, Β X έπεται ότι x ex ΒX c c, άτοπο. Παραδείγματα 5. ) ex Β c =. x= x c με Έστω Θέτομε, y( ) x, = x( ) +, = 4 z c Β. Κατά συνέπεια, x= λ + ( λ) x =. Επειδή x( ) υπάρχει N : x( ) και z( ) Οι ακολουθίες, y= y( ) και z z( ) x, =. x( ), = 4 <. 4 = είναι βέβαια μηδενικές και z = y =. Επι πλέον x= y+ z με y z. Επομένως το x δεν μπορεί να είναι ακραίο σημείο της Β c. ) ex Β = { λe : λ =, N} l. Υποθέτομε ( για απλότητα ) ότι ο l είναι διανυσματικός χώρος επί του R, δηλαδή, l = ( ) R : <+. = ± e : N ex Β (Ι) { } l. y c

5 Αρκεί από την πρόταση 5. να αποδείξουμε ότι e ex Β l για κάθε. Έστω ( ) N, x= x( ), y= y στοιχεία της Θα αποδείξουμε ότι e = x= y και άρα το, + =., = Παρατηρούμε ότι λx( ) ( λ) y( ) Βl και λ (,) ώστε = λ + ( λ) e x y Βl. e θα είναι ακραίο σημείο της Επειδή x( ) x, y( ) y και λx( ) ( λ) y( ) + =, έπεται ότι = y( ) =. ( Πρβλ. την Σημείωση 5.4.). Επειδή x( ) x x y( ) = y, έπεται ότι x( ) y( ) = e = x= y. (ΙΙ) ex Βl { ± e : N} = και = = = για κάθε. Κατά συνέπεια Υποθέτομε για να καταλήξουμε σε άτοπο ότι υπάρχει x ex Β l με x ± e για κάθε. Όπως γνωρίζουμε x = ( Πρόταση 5.). Έστω x x( ) = { }. Συνεπώς έχουμε ότι < x( ) < ( αν x( ) m N : x x ± e για κάθε x= e ή y x e =, θέτομε x = για κάθε =,,...,. Επειδή = τότε κατ ανάγκη =, άτοπο). Θέτομε λ = και ορίζουμε y y( ), =. x( ), > Παρατηρούμε ότι, x( ) = + x y λ = = =. λ λ λ = με Θέτομε τώρα, ( λ) y = e αν x( ) > ή y x= λ y + y με < λ<, άτοπο. = e αν x( ) < και y y =. Τότε λ 3) Αν < <+, τότε ex Β = S l. l

6 Έστω x l με x =. Υποθέτομε ότι υπάρχουν y, z ( ) x= ty+ t z. Είναι βέβαια τότε σαφές ότι y = z =. Επίσης έχουμε ότι Βl και (,) = x = ty+ t z t y + t z t+ t =, συνεπώς ( ) ( ) ty+ t z = ty + t z. t ώστε Επειδή έχουμε ισότητα στην ανισότητα Mkowsk, έπεται ότι τα διανύσματα ( t) z και ty είναι ομόρροπα, δηλαδή υπάρχει λ> ώστε ( t) z= λ( ty) = ( λt) y. Έπεται ότι t= λt και συνεπώς z= y. { : =, } ex x x l l. 4) Β = Υποθέτουμε για απλότητα ότι K (Ι) Β Β = R. { : =, } ex x x Έστω x x( ) l l. = ακραίο σημείο της Βl. Ας υποθέσομε ότι υπάρχει x( ) <. Τότε υπάρχει λ (,) ώστε x = λ + λ = λ. N ώστε Θέτομε y( ), x =, = και z( ), x =., = Προφανώς τα διανύσματα y= y( ) και z z( ) λ y ( λ) z( ) ( λ), = ανήκουν στην Βl. Παρατηρούμε ότι λx + x = x + =. λ + λ = λ = x, = Κατά συνέπεια x( ) = λ y( ) + ( λ) z( ),. Άρα x= λ y+ ( λ) z με λ (,) και y, z Βl, άτοπο. Έπεται ότι, (ΙΙ) l { :, } x x = ex Βl x = για κάθε

7 Έστω = l ώστε x x ( λ) x= λ y+ z, όπου y, z λ ( λ) = x = y + z. x = για κάθε. Ας υποθέσουμε ότι Βl και (,) λ. Τότε έχουμε για κάθε, Επειδή y( ), z( ), έπεται από την Σημείωση 5.4. ότι y( ) z( ) Βl.. Άρα x= y= z και το x είναι ακραίο σημείο της 5) ex Β L =. Πράγματι, θα αποδείξουμε ότι κάθε f L L [ ] g+ h f =, όπου g Έστω λοιπόν f L με h f x = h = και g h. = [, x], g f x( x,] =. Παρατηρούμε ότι g( t) dt = για κάθε =, με f = μπορεί να γραφεί ως f =. Θεωρούμε x (,) ώστε = h t dt=, δηλαδή g x f t dt = και θέτομε = h = και f Εφόσον g h, έπεται ότι η f δεν μπορεί να είναι ακραίο σημείο της Β L. g+ h =. Παρατήρηση 5. ) Η κλειστή μοναδιαία σφαίρα του χώρου c αλλά και του L δεν έχει ακραία σημεία όπως έπεται από τα παραδείγματα 5. () και (5). Έπεται από το θεώρημα 5.8 ότι κανείς από αυτούς τους χώρους δεν είναι ( γραμμικά ) ισομετρικός με τον συζυγή ενός χώρου με νόρμα. ) Το σύνολο των ακραίων σημείων ενός συμπαγούς και κυρτού συνόλου δεν είναι αναγκαία συμπαγές. Αυτό φαίνεται από το ακόλουθο παράδειγμα: Έστω Κ η κυρτή θήκη στον 3 R του συνόλου { } { x y x y } Α=,,,,,,, : + =.

8 Το Κ είναι βέβαια συμπαγές υποσύνολο του { } \ (,,) ex Κ =Α δεν είναι συμπαγές. 3 R ( ένας διπλός κώνος). Αλλά ά το Σημειώνουμε ότι ένα παράδειγμα όπως το προηγούμενο δεν μπορεί να βρεθεί στο Ευκλείδειο επίπεδο. Πράγματι αποδεικνύεται ότι αν Κ είναι συμπαγές και κυρτό ( μη κενό) υποσύνολο του R τότε τοex Κ είναι κλειστό και άρα συμπαγές υποσύνολο του Κ. ( Άσκηση ) Από την άλλη μεριά, όπως θα αποδείξουμε, η κυρτή θήκη ενός συμπαγούς υποσυνόλου του Ευκλείδειου χώρου R ( =l ) είναι συμπαγές ( και κυρτό ) σύνολο. Λήμμα 5.3 Αν ( ') x co Ε. και k+ = Ε R και t = τότε το x είναι κυρτός συνδυασμός k το πλήθος από τα x. Θεωρούμε την γραμμική απεικόνιση ϕ k+ : R,..., k + Επειδή k>, έπεται ότι Ke ( ) k k+ k+ ϕ( x) = x, R = =,..., +. Θεωρούμεε k+ ώστε x co( Ε ) τότε υπάρχει Ε ' Ε με Ε' + ώστε Απόδειξη Είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι αν k> και αν k+ = tx με x =. Επιλέγομε λ R ώστε λ = t και θέτομε c = t λ, =,,...., k+. Τότε + erϕ { }. Έστω λοιπόν t x,..., k+ Kerϕ με R, t > = mx : =,,..., k+, άρα t

9 c για κάθε =,,..., k+.( Πράγματι, t c = t >, αν, τότε, αν t t t t t = ) και c =. t λ = προφανώς k+ k+ k+ Έπεται ότι, c = t λ = λ = ( και άρα = = = k+ k+. x= c x = c x = = k+ =, εφόσον ϕ (,..., ) (, k + = )) = Πρόταση 5.4 Έστω Απόδειξη. Έστω Κ R συμπαγές σύνολο τότε η co( Κ ) είναι συμπαγές σύνολο. S = t,..., t R : t, =,..., και t = = κλειστό υποσύνολο του συμπαγούς κύβου [,] και άρα συμπαγές σύνολο.. Τότε το S είναι Από το Λήμμα 5.3, x co t t t S Κ αν και μόνο αν =,..., + + και x,..., Έπεται ότι η συνεχής απεικόνιση x + Κ. x + = t x = για κάποιο F : S Κ + + co( Κ + ) : (,..., +,,..., + ) = F t t x x t x = είναι επί της κυρτής θήκης co( Κ ) του Κ και άρα η co( Κ ) είναι συμπαγές σύνολο... Στην συνέχεια πρόκειται να εξετάσουμε πως γενικεύεται το προηγούμενο αποτέλεσμα σε απειροδιάστατους χώρος Bch. Θα χρειαστούμε την ακόλουθη απλή παρατήρηση: Η κυρτή θήκη co( F ) ενός πεπερασμένου υποσυνόλου F ενός Husdorff τ.δ.χ. X είναι συμπαγές σύνολο. ( Έστω, { } ϕ( ) = = ϕ : S co F : t,..., t t x F = x,..., x X, παρατηρούμε ότι η απεικόνιση είναι συνεχής και επί). Επίσης υπενθυμίζουμε ότι ένα υποσύνολο A ενός μετρικού χώρου ( M, d ) λέγεται ότι είναι ολικά φραγμένο, αν για κάθε ε > το A μπορεί να καλυφθεί από πεπερασμένο

πλήθος ανοικτών σφαιρών του χώρου ( M, d ) ακτίνας ε. Αν ο χώρος (, ) M d είναι πλήρης τότε κάθε ολικά φραγμένο υποσύνολο A του M είναι σχετικά συμπαγές, δηλαδή η κλειστότητά του c A M d. l είναι συμπαγές υποσύνολο του (, ) Θεώρημα 5.5 ( Θεώρημα συμπάγειας του Mzur ) Έστω X χώρος Bch και Κ orm συμπαγές υποσύνολο του X τότε η κυρτή θήκη co( Κ ) είναι orm σχετικά συμπαγές υποσύνολο του X ( δηλαδή η c co( Κ) l είναι συμπαγές υποσύνολο του X ). Απόδειξη. Είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι ( εφόσον ο X είναι πλήρης μετρικός χώρος) η co( Κ ) είναι ολικά φραγμένο υποσύνολο του X. Έστω ε >. Αφού το Κ είναι συμπαγές υπάρχει F Κ πεπερασμένο ώστε Κ co( F) + Β X και επειδή το co( F) X ε X { y, : y F} F ε Κ + Β X ( ( ε) ε = Β + Β είναι κυρτό έπεται ότι ). Άρα co( Κ) co( F) + εβ X. Όμως το σύνολο co( F ) είναι συμπαγές ως κυρτή θήκη πεπερασμένου συνόλου. Επομένως υπάρχει F co( F) πεπερασμένο ώστε co( F) F + εβ X. Έπεται ότι, co( Κ) co( F) + εβ F + εβ + εβ = F + εβ (Μάλιστα ισχύει co F ε X X X X X Κ + Β, εφόσον το F + Β X είναι κλειστό σύνολο. ) ε Άρα το σύνολο co( Κ ) είναι ολικά φραγμένο στον χώρο X.... Παρατήρηση 5.6 Η υπόθεση της πληρότητας του χώρου X είναι αναγκαία ( το αποτέλεσμα δεν ισχύει γενικά σε χώρο με νόρμα ). Έστω X = c ( ο χώρος των τελικά μηδενικών ακολουθιών πραγματικών αριθμών ) εφοδιασμένος με την su-orm και ( e ) η συνήθης βάση Hmel του X. Υπενθυμίζουμε ότι η πλήρωση του( c, ) είναι ο χώρος Bch c. Θέτομε x = e, και Κ= { x } { },. Τότε x = και έτσι το Κ είναι συμπαγές υποσύνολο του X. Αλλά η co ( Κ ) δεν είναι σχετικά συμπαγές υποσύνολο του X. Για να το αποδείξουμε θεωρούμε μια ακολουθία ( ) θετικών αριθμών με = ( π.χ. = =, ). Θέτομε t =, k= + k

, τότε η ακολουθία y = k xk + tx +, k= περιέχεται στη κυρτή θήκη co( Κ ) τουκ, όμως δεν έχει συγκλίνουσα υπακολουθία μέσα στον χώρο X. Πράγματι, είναι εύκολο να ελέγξουμε ότι η( y ) είναι συγκλίνουσα στον χώρο c με όριο την ακολουθία y 3, όμως το y c. Επίσης σημειώνουμε ότι από το θεώρημα 5.5 η 3 =,,,... co( Κ ) είναι σχετικά συμπαγές υποσύνολο του χώρου Bch c. Παρατηρούμε ότι το ίδιο σύνολο Κ περιέχεται στον χώρο Hlbert l και είναι συμπαγές αφού =. Με ανάλογους συλλογισμούς καταλήγουμε στο γεγονός ότι η x co( Κ ) δεν είναι συμπαγές υποσύνολο του συμπαγές στον l, αφού αυτός είναι πλήρης χώρος. l, βέβαια η co Κ είναι orm σχετικά Το ανάλογο του θεωρήματος 5.5 για ασθενώς συμπαγή υποσύνολα χώρων Bch ισχύει. Θεώρημα 5.7 ( Kre-Smul ) Κ είναι ασθενώς συμπαγές υποσύνολο ενός χώρου Bch X τότε η co( Κ ) είναι ασθενώς σχετικά συμπαγές υποσύνολο του X ( Η w cl co Κ είναι ασθενώς συμπαγές στον X.). Για την απόδειξη του θεωρήματος Kre παραπέμπουμε στην βιβλιογραφία ( [F-H-H-M-P-Z] και [F-H-H-M-Z]). Θα κλείσουμε αυτή την παράγραφο με κάποια αποτελέσματα που αφορούν την ύπαρξη ακραίων σημείων στην κλειστή μοναδιαία σφαίρα χώρων Bch της μορφής C( Κ ). Πρόταση 5.8 Έστω Κ συμπαγής χώρος Husdorff. Αν Β συμβολίζει την κλειστή μοναδιαία σφαίρα του του C( Κ ), τότε μία συνάρτηση f Β είναι ακραίο σημείο της Β αν και μόνο αν f ( t ) = για κάθε t Κ. Απόδειξη Έστω f Β με και λ (,) ώστε λ ( λ) Επειδή f t = για κάθε t Κ. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν f, f Β f = f + f.άρα ( λ) = λ f t + f t για κάθε t Κ f t, f t, για κάθεt Κ, έπεται από την σημείωση 5.4. ότι f t = f t για κάθε t Κ και άρα f f f = =. Έτσι έχουμε ότι f ex Β.

Έστω τώρα f ex Β, συνεπώς f =. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει t Κ με f ( t ) <. Επειδή η f είναι συνεχής υπάρχει ανοικτή περιοχή V του t και (,) ώστε f ( t) < δ για κάθε t V. Έστω g : Κ [,] συνεχής ώστε g( t ) = και δ, g t = για κάθε t Κ \ V ( συνάρτηση Urysoh ). Αν < ε < δ, τότε οι συναρτήσεις f = f + ε g και f = f ε g ανήκουν στη Β( πράγματι, f ± ε g = f επί του Κ \V και f ± ε g f + ε g δ + ε < επί της V ), f f και f = f + f. Έπεται ότι η f δεν είναι ακραίο σημείο της Β, άτοπο. Πόρισμα 5.9 Έστω Κ συμπαγής και συνεκτικός χώρος. ( Π.χ. Κ= [,] ). Αν με C( Κ ) συμβολίσουμε τον χώρο Bch των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων επί του Κ, τότε οι σταθερές συναρτήσεις f = και f = είναι τα μόνα ακραία σημεία της Β. Απόδειξη Επειδή ο Κ είναι συνεκτικός χώρος, οι μόνες συνεχείς συναρτήσεις f : με f ( t ) = για κάθε t Κ είναι οι σταθερές συναρτήσεις f = και f =. Η Κ R παρατήρηση αυτή σε συνδυασμό με την πρόταση 5.8 αποδεικνύουν τον ισχυρισμό μας. Παρατήρηση 5.) Παρατηρούμε ότι όπως έπεται από την πρόταση 5.8 η κλειστή μοναδιαία σφαίρα Β ενός χώρου Bch της μορφής C( Κ ) έχει πάντοτε ακραία σημεία, μάλιστα ex( Β ) και από το πόρισμα 5.9 ενδέχεται να ισχύει ex( Β ) =. ) Καθόσον αφορά τον χώρο Bch C( Κ ) των συνεχών μιγαδικών συναρτήσεων επί του Κ- ακόμα και αν ο Κ είναι συνεκτικός-η κατάσταση είναι διαφορετική. Πράγματι αν f f : Κ R είναι συνεχής ( πραγματική ) συνάρτηση τότε η g= e είναι ακραίο σημείο της Β, αφού g t f( t) = e = για κάθε t Κ. Περαιτέρω αποδεικνύεται, προκειμένου για τον χώρο των συνεχών μιγαδικών συναρτήσεων C( K ), ότι, ( ) Β= cl co ex Β. Για την απόδειξη αυτού του αποτελέσματος παραπέμπουμε στην βιβλιογραφία ( Πρβλ. το [Β]).