Σχόλια στα όρια. Γενικά

Σχόλια στα όρια. Γενικά Η αναζήτηση του ορίου έχει νόημα όταν η συνάρτηση ορίζεται κοντά στο x, δηλαδή σε διάστημα (α,x ) (x,β) ή φυσικά σε (α,β) με x (α,β) και όχι κατ ανάγκη στο ίδιο το x. Για παράδειγμα στην f(x)= x x δεν έχει νόημα η αναζήτηση του lim f(x), παρ όλο που το Α αφού η συνάρτηση δεν ορίζεται γύρω x από το. Το Π.Ο της f είναι το Α={x /x x}={x /x 2 x}={x /x(x-1) }={} [1,+ ). Αν η συνάρτηση ορίζεται μόνο αριστερά ή μόνο δεξιά του x, τότε το αντίστοιχο πλευρικό όριο θεωρείται και όριο της συνάρτησης. Αφού ελέγξουμε αν έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου μιας συνάρτησης, αν αυτή έχει απλό τύπο γνωστής συνάρτησης δηλ πολυωνυμική, ρητή, τριγωνομετρική, άρρητη λογαριθμική εκθετική ή πράξεις αυτών, ή αν είναι όπως θα δούμε παρακάτω συνεχής, θέτω όπου x το x και αν δεν παρουσιάζεται απροσδιοριστία βρίσκω το όριο. Σε συναρτήσεις με κλάδους, παίρνω πλευρικά όρια, μόνο όταν το σημείο που ζητάω το όριο είναι σημείο αλλαγής τύπου. Ανάλογα εργάζομαι όταν ζητώ τιμές παραμέτρων ώστε κάποιο όριο συνάρτησης με κλάδους, να είναι k. Αν δίνεται όριο παράστασης που περιέχει συνάρτηση f και ζητώ το όριο της f, τότε «θέτω» την παράσταση g(x) με γνωστό όριο g(x) και λύνω ως προς f. Μετά υπολογίζω το όριο f αφού ξέρω πως υπάρχουν τα όρια της παράστασης. Αν έθετα όριο f το k και κατέληγα σε εξίσωση ως Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 1 από 8

προς k, θα έβρισκα μεν τον ίδιο αριθμό, αλλά θα ήταν λάθος η λύση αφού θα εφάρμοζα ιδιότητες ορίων χωρίς να ξέρω αν υπάρχουν τα όρια. Φυσικά αυτό μπορούσα να το κάνω μόνον όταν μου έλεγε πως υπήρχε το όριο της f και απλά έπρεπε να το βρω. Όταν υπάρχει διπλή ανισότητα ή ανισότητα με απόλυτα που καταλήγει σε διπλή, τότε εφαρμόζω κριτήριο παρεμβολής. (σημειωτέον ότι το κριτήριο παρεμβολής εξασφαλίζει και την ύπαρξη ορίου). Προσοχή χρειάζεται αν πρέπει να διαιρέσω με κάποια ποσότητα προκειμένου να απομονώσω την f(x). Αν δεν ξέρω το πρόσημο της παράστασης διακρίνω περιπτώσεις, δουλεύοντας με πλευρικά όρια. Το κριτήριο παρεμβολής ισχύει και όταν τα ακραία όρια είναι ίσα με ±. Στην περίπτωση αυτή χρειάζεται πολλές φορές μόνο η μία (κατάλληλη) ανισότητα. όρια. Με κριτήριο παρεμβολής μπορούμε να δουλέψουμε και με πλευρικά Αν υπάρχει απλή ανισότητα και γνωρίζω την ύπαρξη ορίου, τότε συχνά από τη σχέση ότι lim f(x) xx k lim f(x) k lim f(x) k βγάζω το συμπέρασμα xx xx Και εδώ συνήθως δουλεύω με πλευρικά όρια. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 2 από 8

Άπειρο και Απροσδιοριστίες: Όταν λέμε απροσδιοριστίες εννοούμε ότι το αποτέλεσμα δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένο αλλά κάθε φορά, ανάλογα με τις συναρτήσεις, ποικίλει το αποτέλεσμα. Αν το όριο δεν υπάρχει δεν αποτελεί απροσδιοριστία. Προσοχή: Το α στα παρακάτω είναι πραγματικός αριθμός, όχι ±. Το και το 1 που χρησιμοποιούμε στις πράξεις, είναι όρια και όχι αριθμοί. Διάταξη: - <α, α<+, - <+ για κάθε πραγματικό αριθμό α. Πράξεις (επιτρεπτές): + +(+ )=+ - +(- )=- + +α=+ - +α=- (+ )(+ )=+ (- )(- )=+ (+ )(- )=- a.( ) α.(- )=-α(+ ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 3 από 8

Απροσδιόριστες μορφές : (+ )+(- )=; (+ )-(+ )=; (- )-(- )=;.(+ )=;.(- )=; ; =; 1 1 Προσοχή: τα:. 1. και που μόνον αν το διατηρεί πρόσημο υπάρχει, είναι με το ανάλογο πρόσημο, άρα δεν αποτελούν απροσδιοριστίες. Σε απροσδιοριστία της μορφής - συνήθως αν είναι κλάσματα κάνω ομώνυμα και πράξεις και καταλήγω σε ρητή ή βγάζω κοινό παράγοντα τον όρο με τον μεγαλύτερο εκθέτη ή Αν ζητάω τιμή παραμέτρου ώστε κάποιο κλάσμα να έχει δοσμένο όριο, κατά τα γνωστά θέτω το κλάσμα συνάρτηση f(x) με γνωστό όριο και λύνω ως προς τον όρο, που περιέχει την παράμετρο και παίρνοντας όρια υπολογίζω την τιμή της παραμέτρου. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ότι μετά τον προσδιορισμό της παραμέτρου, αν αυτή έχει προκύψει από κάποια απροσδιοριστία, πρέπει να κάνω έλεγχο αν η τιμή που βρήκα είναι δεκτή. f(x) Όρια της μορφής Α= lim με lim f(x) = α R x x g(x) x x 1 και lim g(x) = γράφονται Α= lim (f(x). ) και x x x x g(x) -- αν η g(x) διατηρεί πρόσημο εκατέρωθεν του x τότε Α=+ ή - -- αν η g(x) δεν διατηρεί πρόσημο, δουλεύοντας με πλευρικά όρια διαπιστώνουμε ότι δεν υπάρχει το Α Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 4 από 8

Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης. Έστω πολυώνυμο P(x)=a v x v +a v-1 x v-1 + +a 1 x+a, τότε: lim P(x) P(x ) R xx a a v v lim P(x) lim a x a lim x v x x x v v lim P(x) lim avx a lim x x x x a v 2 a 2 1 a 2 a 2 1 Αν υπάρχει παράμετρος στον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου, διακρίνω περιπτώσεις αν είναι ή όχι, αλλά και για το πρόσημό του. Όριο ρητής συνάρτησης Έστω P(x)=a v x v +a v-1 x v-1 + +a 1 x+a, Q(x)= βκx κ +aκ-1x κ-1 + +β 1 x+β P(x) δύο πολυώνυμα και R(x) ρητή συνάρτηση, τότε: Q(x) P(x ) R Q(x ) Q(x ) Q(x ) P(x ) lim R(x) ( ά Q(x) ί ό ά x ή ό ) xx Q(x ) P(x ) ( ί ή ύ ό x x Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 5 από 8

a ( ) a lim R(x) R * x a ( 1) ( ) a lim R(x) R * x Παρατηρούμε δηλ ότι το όριο ρητής όταν x, είναι ή - όταν βαθμός αριθμητή > βαθμού παρονομαστή όταν βαθμός αριθμητή < βαθμού παρονομαστή και R* όταν βαθμός αριθμητή = βαθμού παρονομαστή Αν υπάρχουν παράμετροι στους συντελεστές των μεγιστοβάθμιων όρων, τότε διακρίνω περιπτώσεις για το αν είναι ή όχι και για το πρόσημο του πηλίκου τους. Όριο άρρητης Αν σε ένα ή και δύο όρους ενός κλάσματος υπάρχει ριζικό και προκύπτει απροσδιοριστία παράσταση. τότε πολλαπλασιάζω με τη συζυγή Αν έχω διαφόρων τάξεων ριζικά με ίδιο υπόρριζο και φυσικά m απροσδιοριστία, θέτω u= f(x) και έτσι καταλήγω σε ρητή. όπου m το ΕΚΠ των τάξεων των ριζικών Για όρια άρρητων στο ±, βγάζω κοινά παράγοντα σε κάθε υπόρριζο τον μεγιστοβάθμιο όρο (προσοχή θέλει απόλυτη τιμή) και μετά ξανά κοινός παράγοντας η μεγαλύτερη δύναμη του x. αν δεν προκύψει απροσδιοριστία το όριο υπολογίζεται άμεσα. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 6 από 8

αν προκύψει απροσδιοριστία τότε συνήθως πολλαπλασιάζω με συζυγή παράσταση. Αν την απροσδιοριστία δημιουργεί όρος της μορφής f(x) ± g(x) ± k τότε γράφω το k σε άθροισμα δύο αριθμούς (τα όρια των ριζών των f, g ) και διασπώ το κλάσμα σε δύο άλλα και πολλαπλασιάζω με την συζυγή παράσταση στο καθένα. Όρια και απόλυτη τιμή. Αν υπάρχουν απόλυτα, τότε αφού κάθε παράσταση είναι ομόσημη του ορίου της κοντά στο x, μπορώ να διώξω τα απόλυτα ανάλογα με το πρόσημο του ορίου και τον ορισμό της απόλυτης τιμής και να υπολογίσω το όριο. Αν μηδενίζονται όμως τα απόλυτα και προκύπτει απροσδιοριστία, τότε παίρνω πλευρικά όρια. Τριγωνομετρικά όρια Όταν σε όριο παρουσιάζεται το ημf(x) και δεν ξέρω τι να κάνω πρέπει να έχω υπόψη μου τα εξής: Αν lim f(x) = τότε προσπαθώ να εμφανίσω το ημf(x) το οποίο x x f(x) έχει όριο 1. (αν χρειασθεί πολ/ζω και διαιρώ με f(x)). Αποδεικνύεται θέτοντας f(x)=u. Αν lim f(x) = ± τότε επειδή δεν υπάρχει το lim ημx x x x ± προσπαθώ ή να το φέρω σε μορφή g(x).ημf(x) με lim g(x) = x x (μηδενική επί φραγμένη) ή σε μορφή g(x)+ημf(x) με lim g(x) = ± x x (απειριζόμενη και φραγμένη). Στην πρώτη περίπτωση αποδεικνύω ότι το όριο είναι ενώ στην 2 η ±. Αν lim f(x) = k με ημk τότε δεν έχω πρόβλημα x x απροσδιοριστίας ούτε ύπαρξης ορίου και συνεχίζω κανονικά. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 7 από 8

Αντίστοιχα συμβαίνουν και με το συνx., όπου εκμεταλλεύομαι το ότι συνx 1 το συνx είναι φραγμένη ή ότι lim =. x x Πολλές φορές αν εμφανίζεται 1-συνx, μπορεί να χρειασθεί να πολλαπλασιάσω και να διαιρέσω με 1+συνx ώστε να προκύψει το ημ 2 x Υπενθυμίζω ότι οι συναρτήσεις ημχ, συνx στο ± δεν έχουν όριο. Πολλές φορές χρησιμοποιώ την ανισότητα ημx x με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν x=, καθώς επίσης και την ανισότητα ημx x εφx. Όριο εκθετικής συνάρτησης Για όριο εκθετικής πρέπει να γνωρίζουμε ότι: lim a x = a x x x +, αν α > 1 lim x + ax = { +, αν < α < 1 lim x ax = { +, αν α > 1 +, αν < α < 1 Οι περιπτώσεις lim a f (x) αντιμετωπίζονται σαν σύνθεση, θέτοντας x x f (x) = u, για x x έχω u u οπότε lim a f(x) = lim a u x x u u Αν έχω κλάσμα με όρους αλγεβρικά αθροίσματα εκθετικών συναρτήσεων και προκύπτει απροσδιοριστία τότε συνήθως διαιρώ όλους τους όρους με την εκθετική με την μεγαλύτερη βάση όταν ζητώ όριο στο + ή με την εκθετική με την μικρότερη βάση όταν ζητώ στο. Αν οι βάσεις είναι παραμετρικές διακρίνω περιπτώσεις. Όριο λογαριθμικής συνάρτησης Για το όριο λογαριθμικής πρέπει να γνωρίζω ότι: lim x + ln x = + και lim lnx = x + Οι περιπτώσεις lim lnf(x) αντιμετωπίζονται σαν σύνθεση, θέτοντας x x f (x) = u, για x x έχω f (x) u οπότε lim lnf(x) = lim lnu x x u u Δεν πρέπει να ξεχνώ τις ιδιότητες των λογαρίθμων κ.lnf(x)=ln(f(x)) k lnf(x)+lng(x)=ln(f(x).g(x)) και lnf(x)-lng(x)=ln f(x) g(x) κλπ. Κουτσκουδής Παναγιώτης Σελίδα 8 από 8