Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Έκδοση 01 Φεβρουάριος Ντάνος Γιώργος

Transcript

1 Έκδοση 01 Φεβρουάριος 2018 Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ντάνος Γιώργος

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΑΠΟΛΥΤΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Copyright ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ

3 Περιεχόμενα Μέρος Α Α1. Συναρτήσεις.σελίδα 3 Α2. Όρια σελίδα 33 Α3. Σχόλια για τις ασκήσεις στις οποίες έχουμε την έκφραση «υπάρχει»...σελίδα 63 Α4. Εξισώσεις....σελίδα 66 Α5. Ανισότητες. σελίδα 70 Α6. Fermat..σελίδα 87 Α7. Εύρεση Τύπου Συνάρτησης.σελίδα 93 A8. Προβλήματα Ακροτάτων..σελίδα 108 Α9. Ρυθμός Μεταβολής...σελίδα 115 Α10. Εφαρμογές της Κυρτότητας.σελίδα 121 Α11. Εμβαδά... σελίδα 123 2

4 Α1. Συναρτήσεις Α1.1 ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ D f Συνάρτηση f N(x) = 1 T(x) κ N(x) = T(x), κ N με κ 2 ή λ Συνθήκη ώστε η παράσταση N(x) να έχει νόημα πραγματικού αριθμού Πρέπει και αρκεί T(x) 0 Πρέπει και αρκεί Τ(x) 0 κ N(x) = (T(x)), κ, λ N Ν(x) = εφ(t(x)) Πρέπει και αρκεί T(x) κπ + π, 2 κ Z Ν(x) = σφ(t(x)) Πρέπει και αρκεί T(x) κπ, κ Z N(x) = ln (T(x)) ή Πρέπει και αρκεί T(x) > 0 N(x) = log (T(x)) N(x) = { T 1 (x), αν x A 1 T 2 (x), αν x A 2 D f = A 1 A 2 Για τις συναρτήσεις τις μορφής Συνήθως θα δίνεται ή θα προκύπτει ότι N(x) T(x) T(x) ln(n(x)) = e N(x) > 0 Α1.2 ΣΗΜΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ΤΗΣ C f ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ C f, C g Σημεία τομής της C f με τον άξονα x x : λύνουμε την εξίσωση f(x) = 0 Σημεία τομής της C f με τον άξονα y y : βρίσκουμε το f(0) εάν 0 D f Σχετική θέση της C f με τον άξονα x x (πρόσημο της f) Η C f βρίσκεται «πάνω» από τον άξονα x x για τα x D f με f(x) > 0 Η C f βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα x x για τα x D f με f(x) < 0 Η C f ΔΕΝ βρίσκεται «πάνω» από τον άξονα x x για τα x D f με f(x) 0 Η C f ΔΕΝ βρίσκεται «κάτω» από τον άξονα x x για τα x D f με f(x) 0 3

5 Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση με α R f(x) = x2 + α x Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y στο 3. Να βρείτε α. Το πεδίο ορισμού της f β. Τον αριθμό α γ. Τα σημεία τομής της C f με τους άξονες δ. Τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x x 4

6 Σχετική θέση δύο γραφικών παραστάσεων C f, C g Τα σημεία τομής των C f, C g έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης f(x) = g(x) με x D f D g Η C f βρίσκεται «πάνω» από τη C g για τα x D f D g με f(x) > g(x) f(x) g(x) > 0 Η C f βρίσκεται «κάτω» από τη C g για τα x D f D g με f(x) < g(x) f(x) g(x) < 0 Αρχέτυπο Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = x 2 + αx + β και g(x) = x 3 3x 2 + β 6α με α, β R. Αν η C f τέμνει τον άξονα x x στο 3 και η C g τέμνει τον άξονα y y στο 6, να βρείτε: α. Τους αριθμούς α και β β. Τα διαστήματα στα οποία η C f είναι κάτω από τη C g Χορδή της f είναι το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα δύο σημεία της C f Οριζόντια χορδή της C f Υπάρχουν x 1, x 2 D f : f(x 1 ) = f(x 2 ) Η C f διέρχεται από το σημείο Ν(x, y) f(x) = y 5

7 Α1.3 ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες ; Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες όταν: i) Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ii) Για κάθε x A ισχύει f(x) = g(x) Σχόλιο: Αν Α D f D g με Α και ισχύει f(x) = g(x) για κάθε x A, τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις f, g είναι ίσες στο σύνολο Α Μεθοδολογία: Πως αποδεικνύω ότι δύο συναρτήσεις f, g είναι ίσες 1 ο Βρίσκουμε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων D f, D g 2 ο Αν D f = D g, τότε συνεχίζουμε και ελέγχουμε αν για κάθε x D f D g ισχύει f(x) = g(x). Στην περίπτωση που ισχύει λέμε ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες, διαφορετικά οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες Αν τα πεδία ορισμού είναι διαφορετικά D f D g, λέμε ότι οι συναρτήσεις δεν είναι ίσες. Εάν τις ζητείτε να βρούμε το «ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο είναι ίσες, τότε περιοριζόμαστε στη τομή D f D g και ελέγχουμε εάν για κάθε x D f D g ισχύει f(x) = g(x) Αρχέτυπο Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln x ln x 1 και g(x) = ln x.να εξετάσετε τις f = g. Στην περίπτωση που είναι f g να x 1 προσδιορίσετε εαν υπάρχει το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ισχύει f = g 6

8 Αρχέτυπο Έστω οι συναρτήσεις και Να βρείτε το λ R, ώστε f = g f(x) = (λ 2)x2 x λ x 2λ 2 g(x) = 3λ x x 8 Σημείωση: Έστω f, g: {0,1} R με f(x) = x 13 και g(x) = x 23. Είναι D f = D g αλλά έχουν διαφορετικό τύπο, παρόλα αυτά είναι ίσες 7

9 Α1.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΤΥΠΟΣ ΑΘΡΟΙΣΜΑ f + g D f D g (f + g)(x) = f(x) + g(x) ΔΙΑΦΟΡΑ f g D f D g (f g)(x) = f(x) g(x) ΓΙΝΟΜΕΝΟ f g D f D g (f g)(x) = f(x) g(x) ΠΗΛΙΚΟ f g D f g = {x D f D g g(x) 0} (f f(x) ) (x) = g g(x) Α1.5 ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 1 ο Βρίσκουμε τα D f, D g ( τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f, g ) 2 ο Η g f ( η σύνθεση της f με τη g ) ορίζεται εάν D g f = {x D f /f(x) D g } 3 ο Ο τύπος τις (g f)(x) = g(f(x)) Αρχέτυπο Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 1 x 1+x και g(x) = 1+x 1 x α) Να οριστούν οι συναρτήσεις f g και g f ( ισχύει f g = g f; ) β) Να σχεδιαστούν οι C g f και C f g στο ίδιο σύστημα αξόνων γ) Να αποδειχθεί ότι (f g)(x) (g f)(x) = 1 για κάθε x 1,0,1 8

10 Σχόλιο: Πεδίο ορισμού D f w, της σύνθεσης f w Αρχέτυπο Έστω η συνάρτηση g(x) = f ( lnx e x +1 ) με D f = [0, + ) να βρεθεί το D g Σχόλιο: Πεδίο ορισμού της f g h Αρχέτυπο Δίνονται οι συναρτήσεις : f(x) = x 2 4x, g(x) = x 2 1, h(x) = x 2 Να ορίσετε τη συνάρτηση f g h Σ/Λ Ισχύει πάντα (f g) h = f (g h) ; 9

11 Α1.6 ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ f g ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΤΗ g 1 ο Θέτουμε g(x) = u 2 ο Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς x 3 ο Αντικαθιστούμε το x που βρήκαμε στο τύπο f(g(x)) Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση h(x) = x 2 και η συνάρτηση g: R R για την οποία ισχύει: (g h)(x) = x 2 9x + 23 α. Να βρείτε τη συνάρτηση g β. Δίνεται συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε (f f)(x) = g(x). Να βρείτε το f(3) 10

12 Α1.7 ΑΠΟΣΥΝΘΕΣΗ f g ΜΕ ΓΝΩΣΤΗ ΤΗ f 1 ο θέτουμε όπου x το g(x) στο τύπο τις f(x) 2 ο Έχουμε τη συνάρτηση f(g(x)) με δύο μορφές ( μία αυτή που βρήκαμε προηγουμένως και μία από τα δεδομένα ). Εξισώνουμε τις δύο αυτές μορφές και βρίσκουμε την g(x) Αρχέτυπο Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R με: g(x) = 3x 2 και (g f)(x) = 3x 2 6x + 10 α. Να βρείτε τη συνάρτηση f β. Να βρείτε σε ποια διαστήματα η C f βρίσκεται πάνω από τη C g 11

13 Α1.8 ΠΩΣ ΔΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f: A R ΕΙΝΑΙ ος τρόπος: Θεωρώ x 1, x 2 A για τα οποία ισχύει f(x 1 ) = f(x 2 ) και προσπαθούμε να καταλήξουμε ότι x 1 = x 2 (Αυτή τη μέθοδο τη προτιμάμε σε συναρτησιακές σχέσεις) 2 ος τρόπος: Αποδεικνύω ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της τότε (δεν ισχύει το αντίστροφο πάντα) είναι συνάρτηση 1-1 i) Όταν δεν μπορούμε να παραγωγίσουμε χρησιμοποιούμε τον ορισμό της μονοτονίας ή απαγωγή σε άτοπο ii) Όταν μπορούμε να παραγωγίσουμε, τότε βρίσκουμε το πρόσημο της παραγώγου το οποίο φανερώνει τη μονοτονία της f 3 ος τρόπος: Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση f(x) = y έχει μοναδική λύση για κάθε y f(a) (Αυτή η μέθοδος τη προτιμάμε όταν μας ζητούν να βρεθεί ο τύπος της αντίστροφης συνάρτησης) Αρχέτυπο Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f: R R είναι «1 1» στις παρακάτω περιπτώσεις: α. w(x) = lnx 1 x, x > 0 β. f(x) = ex 2 e x +1 γ. f(x) = x lnf(x), x R, με f(x) > 0 για κάθε x R 12

14 Α1.9 ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ Εάν f: R R είναι 1-1 και g: R R είναι 1-1 τότε και η g f είναι 1-1 Αρχέτυπο Εάν f: R R είναι 1-1. Να δείξετε ότι η g(x) = 2f 5 (x) + e f(x) + 23 είναι 1-1 Αρχέτυπο Έστω f, g: R R συναρτήσεις, ώστε η f g να είναι 1-1 α. Να αποδείξετε ότι η g είναι 1-1 β. Δίνεται συνάρτηση h: R R για την οποία ισχύει g(h(lnx) + 1) = g(x + 2) για κάθε x > 0 i. Να αποδείξετε ότι h(x) = e x + 1 για κάθε x R ii. Να αποδείξετε ότι η h είναι 1-1 iii. Να ορίσετε την h 1 (βλέπε Α1.11) 13

15 Α1.10 ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΟΤΙ Η f ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ος τρόπος: Θεωρώ x 1, x 2 A για τα οποία ισχύει f(x 1 ) = f(x 2 ) και καταλήγω π.χ. x 1 = x 2 και x 1 = x 2 2 ος τρόπος: Βρίσκω x 1 x 2 με f(x 1 ) = f(x 2 ) ( προτιμάμε το 2 ο τρόπο ) 3 ος τρόπος Έστω ότι η f είναι 1-1 καταλήγω σε άτοπο 4 ος τρόπος ( γραφικά ) Φέρνω ευθείες παράλληλες στον άξονα x x και παρατηρώ ότι τουλάχιστον μια τέμνει τη C f σε τουλάχιστον δύο σημεία Αρχέτυπο Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f: R R δεν είναι «1 1» στις παρακάτω περιπτώσεις: α. f(f(x)) = 1, x R β. f(x) = x 2016 x x γ. f(f(x)) = x 2 x + 1, x R δ. f 2 (x) + 2f(x 2 ) + 1 = 0, x R ε. f 2 (x) f(x)f(2 x), x R 14

16 Α1.11 ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ f 1 Συνάρτηση απλού τύπου 1 ο Δείχνουμε ότι είναι 1-1 άρα αντιστρέψιμη 2 ο Λύνουμε την εξίσωση f(x) = y ως προς x D f και προσέχουμε για περιορισμούς ως προς y ( Περιορισμούς παίρνουμε όταν: διαιρούμε, παίρνουμε ρίζες, λογαριθμούμε, υψώνουμε σε άρτια δύναμη ) 3 ο Απαιτούμε η λύση x = g(y) να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f 4 ο Λύνουμε τους περιορισμούς για το y ( ή f(d f ) = D f 1 ) 5 ο Από τη συναλύθευση των 3 και 4 προκύπτει το σύνολο τιμών της f, δηλαδή το πεδίο ορισμού της f 1 Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση a ex f(x) = 1 + e x, όπου α R. Η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Ν(ln3, 1 2 ) α. Να βρείτε τον αριθμό α β. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 1 γ. Να βρείτε την f 1 δ. Να αποδείξετε ότι η f 1 είναι περιττή 15

17 Συνάρτηση 2 ου βαθμού, Μορφοποιούμε το τύπο της f με συμπλήρωση τετραγώνου Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f: (, 4] R με: f(x) = x 2 8x + 10 α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β. Να βρείτε την f 1 16

18 Κλαδική Συνάρτηση x + 3, αν 3 x 0 Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f(x) = { 8 x, αν 0 < x 2 α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 β. Να ορίσετε την f 1 γ. Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και f 1 στο ίδιο σύστημα αξόνων 17

19 Συναρτησιακή Σχέση Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: R R, η οποία έχει σύνολο τιμών το R και ικανοποιεί τη σχέση: f 3 (x) + 2f(x) + x = 0 για κάθε x R α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων β. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη γ. Να ορίσετε την f 1 18

20 Ειδική περίπτωση Αρχέτυπο Να βρεθεί, εάν υπάρχει, η αντίστροφη της συνάρτησης f(x) = x 3 3x 2 + 3x + 5 Αρχέτυπο Έστω g(x) = ln (x + x 2 + 9) τότε : i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g. ii) Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και ορίσετε την g 1 19

21 A1.12 ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ C f με την y = x Ισχύει ότι οι C f, C f 1 είναι συμμετρικές ως τις την y = x τότε: f(x) = x f 1 (x) = x Οπότε εάν η επίλυση της μιας από τις δυο είναι δυσχερής τότε επιλύω την άλλη Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 3 + x 8, x R με σύνολο τιμών f(r) = R α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και η συνάρτηση f 1 είναι γνησίως αύξουσα β. Να βρείτε τα σημεία τομής τις C f 1 με την ευθεία y = x γ. Να βρείτε τα σημεία τομής των C f, C f 1 (βλέπε Α1.13) 20

22 Α1.13 Η ΕΞΙΣΩΣΗ f(x) = f 1 (x) ή ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ C f με C f 1 Αρχέτυπο Έστω η συνάρτηση f(x) = ln(1 e x ) x α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f γ. Να βρείτε την αντίστροφη της f δ. Να βρείτε τα σημεία τομής των C f, C f 1 21

23 Α1.14 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ Σχέσεις της μορφής f(x ± y) Για να βρούμε το f(0), συνήθως αντικαθιστούμε x = y = 0 Για να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι άρτια ή περιττή, συνήθως αντικαθιστούμε y = x ή x = y ή x = 0 ή y = 0 Γενικά δίνουμε στα x, y κατάλληλες τιμές για να προκύψει το ζητούμενο Σχέσεις της μορφής f(xy) Για να βρούμε το f(1), συνήθως αντικαθιστούμε x = y = 1 Για να προκύψει ισότητα με έναν άγνωστο, συνήθως αντικαθιστούμε x = 1 ή y = 1 ή y = 1 x Γενικά δίνουμε στα x, y κατάλληλες τιμές για να προκύψει το ζητούμενο Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f(x y) = f(x) f(y) για κάθε x, y R. Να αποδείξετε ότι α. f(0) = 0 β. Η f είναι περιττή συνάρτηση γ. Αν η f έχει μοναδική ρίζα το 0, τότε η f είναι αντιστρέψιμη και ισχύει: f 1 (x y) = f 1 (x) f 1 (y), x, y R 22

24 Α1.15 ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ 1-1 ΚΑΙ ΤΑ ΔΥΟ ΜΕΛΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΘΕΣΕΙΣ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αρχέτυπο Να λυθεί η εξίσωση (2 x2 + x 2 + 1) x2 + x = (2 x+2 + x + 3) x + x + 3 ΜΕ ΠΡΟΦΑΝΗ ΡΙΖΑ Αρχέτυπο Να λύσετε την εξίσωση e x + 2 = x 23

25 Ανίσωση f(x) < α, α R Α1.16 ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 1 ο Βρίσκουμε x 0 τέτοιο ώστε f(x 0 ) = α, οπότε: 2 ο f(x) < a f(x) < f(x 0 ) { x < x 0, εαν f γν. αύξουσα x > x 0, εαν f γν. φθίνουσα Αρχέτυπο Έστω η συνάρτηση f(x) = lnx + x, x > 0 α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f 1 γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε 0 < α < β ισχύει ότι ln α < β α β δ. Να λύσετε την εξίσωση ln(lnx + x) + lnx = 1 x, για x 1 ε. Να λυθεί η ανίσωση f 1 (x) > x 24

26 Ανίσωση της οποίας και τα δύο μέλη είναι συνθέσεις της συνάρτησης Αρχέτυπο Να λυθεί η ανίσωση: ln ( 3x + 4 x 5 x ) < e 5x e 3x +4 x 25

27 Α2. ΌΡΙΑ Α2.1 ΆΡΡΗΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΟΡΦΗ P(x) ± Q(x) Πολλαπλασιάζουμε με την συζυγή παράσταση των ορίων που περιέχουν ριζικά Αρχέτυπο Να υπολογιστεί το όριο: x 2 + 3x 2 lim x 1 x x 3 κ λ ΜΟΡΦΗ P(x) + Q(x) λ Κάνουμε διάσπαση του λ σε δύο αριθμούς ( Οι αριθμοί αυτοί είναι οι αντίθετοι των κ λ τιμών που θα προκύψουν από τις P(x), Q(x) αν θέσουμε όπου x το x 0 ) Αρχέτυπο Να υπολογίσετε τα όρια: x+ x 1 1 α. lim x 1 x 2 1 x+8 5 x 1 β. lim x 1 x 2 1 γ. lim x2 +3 x2 +8x x+2 x 1 x 1 26

28 27

29 Ριζικά με την ίδια υπόρριζη ποσότητα διαφορετικών τάξεων κ λ μ Όταν σε ένα όριο εμφανίζονται ριζικά π.χ. f(x), f(x), f(x), τότε θέτω ρ u = f(x), όπου ρ είναι το Ε.Κ.Π. των {κ,λ,μ} Αρχέτυπο Να υπολογίσετε το όριο: 3 4 x x 2 4 lim x 3 3 x 2 6 x 2 28

30 To x 0 δε μηδενίζει κανένα απόλυτο Α2.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ 1 ο Βρίσκουμε τα όρια στο x 0, των παραστάσεων μέσα στα απόλυτα (δηλαδή χωρίς την απόλυτη τιμή) 2 ο Κοντά στο x 0, καθεμία από τις παραστάσεις έχει το πρόσημο του ορίου της, αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες: Εάν ισχύει lim x x0 f(x) > 0 τότε f(x) > 0 κοντά στο x 0 Εάν ισχύει lim x x0 f(x) < 0 τότε f(x) < 0 κοντά στο x 0 3 ο Βγάζω τα απόλυτα Αρχέτυπο Να υπολογίσετε το όριο: x 3 x 2 7x x lim x 1 x 2 x 29

31 Το x 0 μηδενίζει κάποιο από τα απόλυτα 1 ο Σχηματίζουμε πίνακα προσήμων για τις παραστάσεις που βρίσκονται μέσα στα απόλυτα 2 ο Χρησιμοποιούμε πλευρικά όρια και βγάζουμε τα απόλυτα Αρχέτυπο Να υπολογίσετε το όριο: x 2 x + x 2 2x x 3 1 lim x 1 x x 30

32 Χρησιμοποιούμε: Α2.3 ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1. Σε σύνθεση συναρτήσεων 2. Σε άρτια/περιττή συνάρτηση 3. Σε συναρτησιακή σχέση Σύνθεση lim x x0 f(g(x)) τότε θέτω u = g(x) Αρχέτυπο Να υπολογίσετε το όριο lim x 0 + ((f(x))2 ημ ( 1 ) f(x)), εάν f(x) ισχύει ότι lim f(x) = x

33 Άρτια/Περιττή Συνάρτηση ( θέτω u = x ) Αρχέτυπο Δίνεται περιττή συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ότι lim f(x + 3) = 5. Να υπολογίσετε τα όρια : α) lim f(x) και β) lim f(x) x 1 x 4 x 4 32

34 Συναρτησιακή σχέση Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f(x) x lim x 0 x 2 = 3 + 2x 8 και f(x + y) = f(x) + f(y) + 3x 2 y + 3xy 2 για κάθε x, y R. Να βρείτε τα όρια: f(x) α) lim β) lim f(x) f(2) x 0 x x 2 x 2 33

35 Α2.4 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ, χρησιμοποιώ: 1. ΥΠΟΘΕΣΗ ΑΝΙΣΩΣΗ 2. ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΕΠΙ ΦΡΑΓΜΕΝΗ 3. ΥΠΟΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 4. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΡΙΩΝ Υπόθεση Ανίσωση ( g(x) f(x) h(x) ή f(x) g(x) ή f(x) g(x) ) Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f 2 (x) 2xf(x) ημ 2 x 2x ημx για κάθε x R. Να βρείτε τα όρια: α. lim f(x) x 0 β. lim ( f(x) ) x 0 x γ. lim ( f(5x) ) x 0 x δ. lim ( f(ημx) ) x π π x 34

36 Μηδενική επί φραγμένη: Αρχέτυπο Να υπολογίσετε το όριο: 1 x ημ lim x x 0 (ημ2 ) x 35

37 Συναρτησιακή Σχέση μιας Μεταβλητής Αρχέτυπο Έστω συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει : f 3 (x) + 5f(x) = e x 1. Να βρείτε το lim x 0 f(x) 36

38 Θεωρητικές Ασκήσεις Ορίων ( προσπαθούμε να φράξουμε το όριο από δεξιά παίρνοντας την απόλυτη τιμή του) Αρχέτυπο Έστω h, w: R R. Να αποδείξετε ότι: α. Αν lim w 2 (x) = 0 τότε lim w (x) = 0 x x0 x x0 β. Αν lim (w 2 (x) + h 2 (x)) = 0 τότε lim w (x) = lim h (x) = 0 x x0 x x0 x x0 γ. Αν για τις συναρτήσεις f, g: R R ισχύει ότι: lim (f 2 (x) + g 2 (x) 2f(x) + 4g(x)) = 5 να βρείτε τα όρια lim f(x) x x 0 x x0 και lim g(x) x x0 37

39 Α2.5 ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Δίνεται lim [Π(f(x), )] όταν η f(x) είναι «εγκλωβισμένη» και ζητείται το όριο x x0 lim f(x). Τότε x x 0 1 ο Θέτουμε g(x) τη συνάρτηση του γνωστού ορίου 2 ο Λύνουμε ως τις τη συνάρτηση f(x) 3 ο Βρίσκουμε το lim f(x) μέσω τις προηγούμενης σχέσης x x0 f(x) 2 Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει lim = 3 x 2 x 2 4 Να βρείτε τα όρια: α. lim f(x) x 2 β. lim f(x)+x2 3x x 2 x

40 Α2.6 Μορφή α 0 Μεθοδολογία 1 η Απομονώνουμε τον παράγοντα που μηδενίζει τον παρονομαστή, δηλαδή f(x) lim x x 0 = lim g(x) g 2 (x) Αν g 1 (x) διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο x 0 ( δηλαδή 1 f(x) > 0 ή f(x) < 0 ) τότε lim = + ή αντίστοιχα x x0 g 1 (x) Εάν g 1 (x) ΔΕΝ διατηρεί πρόσημο κοντά στο x 0 τότε παίρνουμε πλευρικά όρια 1 f(x) x x 0 g 1 (x) Αρχέτυπο Να υπολογίσετε τα όρια: x 5 α. lim x 2 x 2 5x+6 x+5 β. lim x 0 x 4 +3x 2 39

41 Μεθοδολογία 2 η : Το Τέχνασμα Του Κοινού Παράγοντα Βγάζουμε κοινό παράγοντα στον αριθμητή και στον παρονομαστή τη μεγαλύτερη 1 δύναμη τις f(x), δημιουργώντας όρια τις μορφής lim x x0 (f(x)) ν = 0 Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f(x) = +. Να βρείτε τα όρια: lim x 3 α. lim f2 (x) 3f(x) x 3 f(x)+2 β. lim 4f3 (x) 3f(x)+1 x 3 2f 3 (x)+5f 2 (x) 6 γ. lim f2 (x) 4f(x)+3 x 3 f 3 (x) 2f 2 (x)+f(x) 3 40

42 2.7 ΌΡΙΑ ΣΤΟ ± A2.7.1 ΟΡΙΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ Το όριο πολυωνυμικής συνάρτησης ισούται με το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου P(x) Το όριο της ρητής συνάρτησης lim, όπου P(x), Q(x) πολυώνυμα. Ισούται με το x x0 Q(x) όριο του πηλίκου των μεγιστοβάθμιων όρων του αριθμητή και του παρονομαστή και είναι i) 0 όταν βαθμός Q(x) > βαθμός P(x) ii) α R όταν βαθμός Q(x) = βαθμός P(x) iii) ή + όταν βαθμός Q(x) < βαθμός P(x) Αρχέτυπο 2.7.1Να βρείτε το όριο: lim ( x3 x + x 2 + x2 x + 3 ) 41

43 ν f(x) κ ± g(x) ΟΡΙΟ ΤΙΣ ΜΟΡΦΗΣ lim λ x ± h(x) ±w(x) 1 ο βήμα, βγάζουμε κοινό παράγοντα μέσα στο υπόριζο τη δύναμη του x που αντιστοιχεί στην τάξη της ρίζας 2 ο ν βήμα, Βγάζουμε το x έξω από τη ρίζα. Είναι x ν = x και x = x όταν x + ή x = x όταν x 3 ο Βγάζουμε κοινό παράγοντα το x σε αριθμητή και παρονομαστή, απλοποιούμε και βρίσκουμε το όριο Αρχέτυπο 2.7.2Να υπολογίσετε το όριο: 4 x 4 + 5x 3 x x 6 lim x x 2 + 2x 3 + 3x 42

44 ν κ Της Μορφής f(x) ± g(x) ± h(x) ( διάσπαση ) Μεθοδολογία: Βγάζουμε κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο ως προς x και καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή, τότε διασπάμε το h(x) σε δύο όρους Αρχέτυπο Να υπολογιστεί το όριο lim x + ( 4x x 2 x 3 5x) 43

45 ν κ λ Της Μορφής f(x) ± g(x) ± h(x) ( προσθαφαίρεση ) Μεθοδολογία: Βγάζουμε κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο ως προς x και καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή, τότε στο αρχικό όριο με κατάλληλη κ προσθαφαίρεση δημιουργούμε όρια της μορφής g(x) ± h(x) Αρχέτυπο 2.7.4Να υπολογιστεί το όριο: lim x + ( x x 2 x 3 9x 2 + x) 44

46 2.7.5 Εκθετική Συνάρτηση Εάν 0 < α < 1 τότε { lim x + ax = 0 lim x ax = + lim x + ax = + Εάν α > 1 τότε { lim x ax = 0 1 ο βήμα, Αναλύουμε τις δυνάμεις 2 ο βήμα, Βγάζουμε κοινό παράγοντα σε αριθμητή και παρονομαστή Τη δύναμη της μεγαλύτερης βάσης όταν x + Τη δύναμη της μικρότερης βάσης όταν x Βρίσκουμε το όριο που προκύπτει. Όταν έχουμε παράμετρο στη βάση διακρίνουμε περιπτώσεις Αρχέτυπο 2.7.5Να βρείτε το όριο 3 x+2 + a x lim x + 3 x + a x+1 για τις διάφορες τιμές του α (0,1) (1, + ) 45

47 2.7.6 Λογαριθμική Συνάρτηση lim lnx = και lim lnx = + x 0 + x + Αν έχουμε όρια τις μορφής lnf(x) lng(x) ή lnf(x) g(x) χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των λογαρίθμων lnf(x) lng(x) = ln f(x) και f(x) = g(x) ln(ef(x) ) Αρχέτυπο Να υπολογίσετε το όριο lim x + (x ln(ex + 5)) 46

48 2.7.7 Τριγωνομετρικά Όρια ημx = 0 και lim lim x ± x ν x ± συνx x ν = 0 ( απόδειξη ) ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ τα όρια lim ημx και lim συνx για αυτό το λόγο τις ασκήσεις που x ± x ± εμφανίζονται μόνα τις συνήθως με κατάλληλο κοινό παράγοντα δημιουργούμενε ένα γινόμενο ή πηλίκο στο οποίο κάποιο από αυτά να είναι παράγοντας Αρχέτυπο Να υπολογίσετε το όριο lim x + (x2 + ημx) 47

49 Α2.8 ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL Απροσδιόριστη Μορφή 0 ή ± 0 ± Αρχέτυπο Να υπολογιστούν τα όρια α. lim ln (1 x) x ln (1+e x ) β. lim ex συνx x 0 ln (x+1) 48

50 Απροσδιόριστη Μορφή 0 Μεθοδολογία lim x x0 f(x)g(x) = lim lim f(x)g(x) = lim x x 0 g(x) 1 x x0 f(x) f(x) 1 x x0 g(x) (α) ή (β) και έχω απροσδιόριστη μορφή 0 0 ή ± Η επιλογή τις (α) ή (β) μορφής γίνεται ανάλογα με τη δυσκολία που εμφανίζει η κάθε μορφή Αρχέτυπο Να υπολογιστούν τα όρια α. lim x 0 + xlnx β. lim x 0 + xe 1 x ± 49

51 Απροσδιόριστη Μορφή Μεθοδολογία lim (f(x) g(x)) = lim f(x) (1 g(x) ) και υπολογίζουμε x x0 x x0 f(x) g(x) το lim ξεχωριστά x x0 f(x) Σχόλιο: Εάν η απροσδιόριστη Μορφή είναι διαφορά δύο κλασμάτων τότε συνήθως τα κάνω πρώτα ομώνυμα Αρχέτυπο Να υπολογίσετε τα όρια: α. lim (x lnx) x + β. lim x 0 + (e1 x + lnx) 50

52 Μορφές 0 0, 0, 0, 1 Μεθοδολογία lim lim g(x)lnf(x) x x 0 [f(x)] g(x) = lim e g(x)lnf(x) και υπολογίζουμε ξεχωριστά το όριο x x0 x x0 Αρχέτυπο Να υπολογίσετε το όριο lim x 0 + (x 1 x) 51

53 Ειδική περίπτωση Αρχέτυπο Αν lim (f(x) + f (x)) = 3 και υπάρχει το lim f(x) x + x + R. Να βρείτε το lim f(x) x + ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Πρέπει πάντα να προσέχουμε εάν υπάρχει το όριο των παραγώγων που προκύπτουν για να εφαρμόσουμε κανόνα De l hospital Αρχέτυπο Να υπολογίσετε το όριο: lim x 0 e 2x + x 1 x 2 52

54 f(x) f (x) lim = (D. L. H. ) = lim x x 0 g(x) x x 0 g (x) = f (x 0) g (x 0 ) Στο τελευταίο βήμα πρέπει να γνωρίζω ότι f, g είναι συνεχής συναρτήσεις, διαφορετικά πρέπει να χρησιμοποιήσω ορισμό παραγώγου ( με όριο ) Αρχέτυπο Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R, να αποδείξετε ότι: f(x + h) 2f(x) + f(x h) lim h 0 h 2 = f (x) 53

55 Προσοχή!!! Για να εφαρμόσω κανόνα D.L.H. πρέπει να γνωρίζω ότι το όριο ορίζετε σε διάστημα τις μορφής (α δ, α) (α, α + δ) Αρχέτυπο Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο α 0 να αποδειχθεί ότι: xf(x) αf(α) f(a) + af (a) lim x α x 2 a 2 = 2a 54

56 f (x) Το όριο lim παίρνει την ίδια μορφή x x0 g (x) Αρχέτυπο Να υπολογίσετε τα όρια x α. lim x 0 1 ex x 2 +1 β. lim x + x Στις μη απροσδιόριστες μορφές 0, δεν εφαρμόζουμε κανόνα D.L.H 0 e Άσκηση 057 Να υπολογίσετε το όριο lim x x + x 55

57 Α2.9 ημx x Μεθοδολογία : Ισχύει ότι ημx x για κάθε x R, με την ισότητα να ισχύει μόνο για x = 0 Επίσης ισχύει ημx < x x > 0 Απόδειξη Αρχέτυπο α. Να λύσετε την εξίσωση ημ(x 2 2 x ) + 2 x = x 2 β. Να λύσετε την ανίσωση ημ( x 2 3) < 3 x 2 γ. Για κάθε x R {±1} να αποδείξετε ότι 1 < x 2 + ημ(x4 1) x 2 < 2x

58 57

59 2.10 Εάν κοντά στο x 0 ισχύει f(x) g(x) και lim f(x) = +, τότε και lim g(x) = + x x { 0 x x0 lim g(x) =, τότε και lim f(x) = x x 0 x x0 ( χωρίς απόδειξη για τα έτη 2016,2017,2018 ) Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει ότι (x 2 4x + 4)f(x) x 5 για κάθε x R {2}. Να βρείτε το όριο lim x 2 f(x) Αρχέτυπο Για μια συνάρτηση f: R R ισχύει ότι: 1 συν2x lim (f(x) x 0 x 3 3x 2 ) = + α) Να βρείτε το όριο lim f(x) x 0 β) Αν g: R R είναι τυχαία συνάρτηση, να βρείτε το όριο lim x 0 (f2 (x) + g 2 (x)) 58

60 2.11 Όρια και Αντίστροφη Συνάρτηση Αρχέτυπο Δίνεται η συνεχής και 1-1 συνάρτηση f: R R η οποία διέρχεται από το σημείο Ν(1,4). Να υπολογίσετε το όριο f(x 3) + 3f 1 (x) lim x 4 x Όρια και Σύνολο Τιμών Αρχέτυπο Έστω η συνάρτηση f(x) = e x + lnx + x 1, x > 0 α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται β. Να βρείτε το πεδίο ορισμού τις f 1 γ. Να υπολογίσετε τα όρια lim x f 1 (x) και lim x + f 1 (x) 59

61 2.13 Όρια και Θεωρήματα ( Θ. Bolzano ) Αρχέτυπο Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: R R με f(x) 0 για κάθε x R. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση xf(x) + 2 = x(x + 1) έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( 2,1) β. Εάν επιπλέον ισχύει ότι xf(x) + 7ημx lim x 0 5x 2ημx = 2, να βρείτε το όριο lim x (f(π)x3 + 5x 2 3) 60

62 Αρχέτυπο Δίνεται συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει xf(x) + ημ3x lim x 0 x = 2 και η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδικές ρίζες τις -1 και 3. Να βρείτε α. Τη τιμή f(0) β. Το όριο lim (f(e)lnx) x 0 + γ. Το όριο lim x ( x2 + 2x 3 + f(1)x) 61

63 (Θεώρημα Μέσης Τιμής) Αρχέτυπο Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f (x) = 3ex +2. Να βρείτε το lim (f(x + 1) f(x)) e x +1 x + 62

64 Α3 ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ ΕΧΟΥΜΕ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΕΙ» 1. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑ x 0» Α) Όταν ζητείται να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 0, έχει μια τουλάχιστον ρίζα, χρησιμοποιούμε (κυρίως): Θεώρημα BOLZANO στην f Θεώρημα ROLLE σε μια συνάρτηση F (αρχική τις f), για την οποία ισχύει F = f Ύπαρξη προφανούς λύσης ( συνήθως 0 ή 1 ή e ) Σύνολο τιμών της f Σχόλια: i. Το σύνολο τιμών το χρησιμοποιούμε κυρίως σε ασκήσεις, που είναι γνωστή η συνάρτηση. Ενδείκνυται δε για τις ασκήσεις, στις οποίες ζητείται να βρεθεί το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης ii. Χρήσιμη είναι η πρόταση «Όταν η f είναι πολυώνυμο περιττού βαθμού η εξίσωση f(x) = 0, έχει πάντα μια τουλάχιστον λύση(απόδειξη με γενίκευση του BOLZANO) Β) Χρησιμοποιούμε το θεώρημα BOLZANO όταν ζητείται: Να δειχθεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 (α, β) τέτοιο, ώστε f(x 0 ) = 0 Να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α, β) Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση τις f τέμνει τον άξονα x x σε ένα τουλάχιστον σημείο Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις f, g έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη στο (α, β). Τα κοινά σημεία δίνονται από τη σχέση f(x) = g(x). Επομένως, θα εφαρμόσουμε BOLZANO στη συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) Γ) Οι ασκήσεις στις οποίες ζητείται να αποδειχθεί ότι η f (x) = 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα αντιμετωπίζονται: Με θεώρημα BOLZANO στην f (κυρίως) Με θεώρημα BOLZANO στην f (όταν μπορεί να βρεθεί η f ) Με σύνολο τιμών της f 63

65 2. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ ΠΟΛΥ ΕΝΑ x 0» ή «ΥΠΑΡΧΕΙ ΤΟ ΠΟΛΥ ΜΙΑ ΡΙΖΑ» Η έκφραση «υπάρχει το πολύ μια ρίζα» σημαίνει ότι υπάρχει μία η καμία. Σε αυτές τις ασκήσεις υποθέτουμε ότι υπάρχουν δύο ρίζες και καταλήγουμε σε άτοπο. Α) (με μονοτονία). Αν η f είναι γνησίως αύξουσα και έχει δύο ρίζες ρ 1, ρ 2 με ρ 1 < ρ 2, τότε έχουμε f(ρ 1 ) < f(ρ 2 ) 0 < 0 άτοπο (όμοια εάν f γνησίως φθίνουσα) Β) (με ROLLE). Έστω f έχει δύο ρίζες ρ 1, ρ 2 με ρ 1 < ρ 2, οπότε f(ρ 1 ) = f(ρ 2 ). Εφαρμόζοντας Θ.Rolle στο [ρ 1, ρ 2 ] η εξίσωση f (x) = 0 θα έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (ρ 1, ρ 2 ). Αυτό θα μας οδηγεί σε άτοπο είτε επειδή η εξίσωση f (x) = 0 δε θα έχει ρίζες, είτε επειδή η f (x) = 0 θα έχει ρίζες, αλλά θα είναι εκτός του (ρ 1, ρ 2 ) 3. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΕΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟ x 0» Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό x 0 (α, β), που να ικανοποιεί κάποια σχέση, αποδεικνύουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 και το πολύ ένα x 0. Συνοψίζοντας υπάρχει ακριβώς ένα x 0 (ή μοναδικό x 0 ) 4. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΔΥΟ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΕΣ» Τις ασκήσεις στις οποίες ζητείται να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες ρ 1, ρ 2 αντιμετωπίζονται συνήθως με θεώρημα BOLAZANO σε δύο κατάλληλα επιλεγμένα διαστήματα 5. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΤΟ ΠΟΛΥ ΔΥΟ ΡΙΖΕΣ» Για την έκφραση «υπάρχουν το πολύ δύο ρίζες» σημαίνει ότι δεν υπάρχουν τρεις ρίζες. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν τρεις ρίζες και καταλήγουμε σε άτοπο με τη βοήθεια του θεωρήματος ROLLE. Συνήθως προκύπτει f (x 0 ) = 0 για κάποιο x 0, ενώ αποδεικνύεται ή ισχύει από υπόθεση ότι f (x) 0 6. ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΦΡΑΣΗ «ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ x 0» Οι ασκήσεις στις οποίες εμφανίζεται η έκφραση «δεν υπάρχει x 0», αντιμετωπίζονται με άτοπο 64

66 ΣΥΝΟΨΙΖΟΝΤΑΣ ΥΠΟΘΕΣΗ f f f f Θ.BOLZANO ή Θ.ROLLE σε αρχική της f Θ.ROLLE Θ.BOLZANO ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ Θ.ROLLE ή ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ f f f f 65

67 Α4 Εξισώσεις Πλήθος ριζών Μεθοδολογία 1 Ύπαρξη ριζών εξασφαλίζουμε: Α) Με το θεώρημα Bolzano στη συνάρτηση διαφοράς ή μιας ισοδύναμης μορφής Β) Με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών ή το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Γ) Με το θεώρημα Rolle σε αρχική της συνάρτησης διαφοράς Δ) Με άτοπο και χρήση της πρότασης που αφορά συνεχή συνάρτηση σε διάστημα χωρίς ρίζες (διατήρηση προσήμου) Ε) Με εύρεση συνόλου τιμών κατάλληλης συνάρτησης Μεθοδολογία 2 Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα και δεν μας δίνουν συγκεκριμένο διάστημα ( στο οποίο θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε θ.bolzano ή θεώρημα Rolle), τότε εργαζόμαστε ως εξής: i) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, το οποίο θεωρούμε ως νέα συνάρτηση f(x). Έτσι η εξίσωση παίρνει τη μορφή f(x) = 0 ii) Βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας iii) Βρίσκουμε το σύνολο τιμών f(δ) iv) Εξετάζουμε εάν το 0 f(δ), τότε η εξίσωση άρα και η αρχική έχει ρίζα (εάν επιπλέον η συνάρτηση διαφοράς f(x) είναι γνησίως μονότονη, έχουμε μοναδική ρίζα) 66

68 Αρχέτυπο Να αποδείξετε ότι η εξίσωση lnx + e x = 1 x έχει μοναδική ρίζα 67

69 Μεθοδολογία 3 Για να βρούμε το πλήθος των ριζών μιας εξίσωσης, εργαζόμαστε ως εξής: i) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, το οποίο θεωρούμε νέα συνάρτηση f(x). Έτσι η εξίσωση παίρνει τη μορφή f(x) = 0 ii) Βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα διαστήματα Δ 1, Δ 2, στα οποία η f διατηρεί μονοτονία iii) Βρίσκουμε το σύνολο τιμών σε καθένα από τα Δ 1, Δ 2,, δηλαδή βρίσκουμε τα f(δ 1 ), f(δ 2 ), iv) Σε όσα από τα διαστήματα f(δ 1 ), f(δ 2 ), ανήκει το 0, τόσες ρίζες έχει η εξίσωση f(x) = 0 ( Προσοχή : Αν κάποιο από τα κλειστά άκρα του f(δ i ) είναι το 0, τότε το αντίστοιχο κλειστό άκρο του Δ i είναι ρίζα της f. Τη ρίζα αυτή προσέχουμε να μην τη μετρήσουμε δύο φορές για δύο συνεχόμενα διαστήματα ) Αρχέτυπο Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 2e lnx + x 2 = 2(e + 1)x 7 68

70 Αρχέτυπο Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x 3 3x 2 9x λ = 0 για τις διάφορες τιμές του λ R 69

71 Μεθοδολογία Εξίσωση της μορφής f(g(x)) + f(h(x)) = 2a, όπου α η ελάχιστη ή η μέγιστη τιμή Αρχέτυπο Δίνονται οι συναρτήσεις f, g: R R με f(x) = x 4 + 4x + 8 και g(x) = συνx + x α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β. Να λύσετε την εξίσωση f ( 2 x ) = 5 γ. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε 4(2a 4 + 2a 3 + 4)(β 4 + 4β + 8) = 25α 4 70

72 Μεθοδολογία f(x) = g(x), όταν f, g έχουν στο x 0 μέγιστο και ελάχιστο αντίστοιχα με την ίδια τιμή f(x 0 ) Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση, x R f(x) = x2 x α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β. Να λύσετε την εξίσωση: x 2 x = e x2 1 71

73 Μεθοδολογία f(x) = ax + β, όταν η f είναι κυρτή ή κοίλη και η ευθεία y = ax + β εφάπτεται της γραφικής παράστασης της f Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x2 (x 3 x), x R α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο καμπής της δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα 72

74 Μεθοδολογία 1 ο βήμα, Βρίσκω προφανή ρίζα f(a(x)) + f(β(x)) = f(γ(x)) + f(δ(x)) 2 ο βήμα, με την κατάλληλη διάταξη και με τη βοήθεια της μονοτονίας αποδεικνύω ότι δεν υπάρχει άλλη ρίζα Αρχέτυπο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R με f(0) = ln2 η οποία ικανοποιεί τη σχέση: e f(x) = 1 + f (x) για κάθε x R α. Να αποδείξετε ότι f(x) = ln (e x + 1), x R β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σημείο της (0, f(0)) γ. Να λύσετε την εξίσωση f(x 2 ) + f(lnx) = f(x) + f(0) στο διάστημα (0, + ) 73

75 Μεθοδολογία f(a(x) + c) f(a(x)) = f(β(x) + c) f(β(x)), c 0 και να γνωρίζω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη Αρχέτυπο Αν είναι γνωστό ότι η συνάρτηση f: R R είναι κυρτή, τότε να λύσετε την εξίσωση: f( ημx + 2) + f(x) = f(x + 2) + f( ημx ) 74

76 Μεθοδολογία f(x) = 0 με προφανείς ρίζες και δεδομένο ότι η f είναι κυρτή ή κοίλη 1 ο βήμα, βρίσκω τις προφανείς ρίζες ( έστω ότι έχει ν 2 ρίζες ) 2 ο βήμα, υποθέτω ότι έχει ν+1 ρίζες και με τη βοήθεια του Θ.Rolle και με δεδομένο ότι η f (x) > 0 ή f (x) < 0 καταλήγω σε άτοπο. Άρα έχει το πολύ ν ρίζες Αρχέτυπο Να λύσετε την εξίσωση: e x + e 1 x = e 2 + e 1 2, x 0 75

77 Α5 Ανισότητες Συνηθισμένες Ανισότητες Μεθοδολογία 5.1 Με χρήση του ορισμού της μονοτονίας. Αν για παράδειγμα είναι α < β και η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε διάστημα που περιέχει τους αριθμούς α, β τότε f(α) > f(β) Επίλυση ανίσωσης με τη βοήθεια της μονοτονίας Αν μια ανίσωση δε λύνεται με απλές αλγεβρικές μεθόδους, τότε: Φέρνω την ανίσωση στη μορφή f(g(x)) < f(h(x)) όπου f μια γνησίως μονότονη συνάρτηση, η οποία συνήθως δίνεται σε προηγούμενο ερώτημα Εάν f γνησίως αύξουσα τότε f(g(x)) < f(h(x)) g(x) < h(x) Εάν f γνησίως φθίνουσα τότε f(g(x)) < f(h(x)) g(x) > h(x) Λύνω την ανίσωση που προκύπτει Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x + συνx Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία Β) Να λύσετε τις ανισώσεις: i) 2συνx < π 2x ii) συν( x 1) συν(3 x 7) < 2 x 6 76

78 Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ( 1 2 )x x Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία Β)Να λύσετε τις ανισώσεις i) ( 1 2 )x x + 6 ii) ( 1 2 )2x2 +3x ( 1 2 )x2 +10 > x 2 + 3x 10 iii) ( 1 2 )συνx ( 1 2 )x+1 < συνx x 1 77

79 Μεθοδολογία 5.2 Ανισότητα της μορφής f(x) g(x) Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και η ανίσωση γίνεται f(x) g(x) 0 Θεωρώ νέα συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) Μελετάω την h ως προς μονοτονία ακρότατα x > a h γν.αύξουσα h(x) > h(a) x > a h γν.φθίνουσα h(x) < h(a) Αρχέτυπο Να αποδείξετε ότι Α) e x 1 x για κάθε x 0 Β) e x x + 1 για κάθε x R Γ) ln(x + 1) < e x 1 για κάθε x > 0 78

80 Αρχέτυπο Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f(1) = e και f (x) 2xf(x) = e x2 για κάθε x R Α) Να δείξετε ότι f(x) = x e x2 Β) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία Γ) Να λύσετε την ανίσωση: e x 1+2lnx ln2x 1 lnx x 79

81 Μεθοδολογία 5.3 Με Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) σε κατάλληλη συνάρτηση σε κατάλληλο διάστημα. Οι ανισότητες ακολουθούν την πορεία της απόδειξης της ανισότητας Jensen Αρχέτυπο Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 ισχύει ότι: 1 x + 1 < ln(x + 1) lnx < 1 x 80

82 Αρχέτυπο Να αποδείξετε ότι: 2 5 < ln 5 3 <

83 Μεθοδολογία 5.4 Με χρήση της κυρτότητας και την ιδιότητα της εφαπτομένης στο τυχαίο σημείο της Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = (x 2 4x + 6)e x 1 Α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α(1, f(1)) Γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x R e x 1 x + 2 x 2 4x

84 Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e 2x + x 4 Α) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα Β) Να βρείτε την εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α(0, f(0)) Γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x R x x 4 e 2x

85 Αρχέτυπο Δίνονται οι συναρτήσεις: f(x) = 2e x 1 lnx g(x) = 2x + ln4 2ln (e x 1 + 1) Α) Να μελετήσετε τις f και g ως προς την κυρτότητα Β) Να αποδείξετε ότι οι C f και C g έχουν κοινή εφαπτομένη στο κοινό τους σημείο με τετμημένη x 0 = 1, της οποίας να βρείτε την εξίσωση Γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε x > 0 ln (ex 1 + 1) 2 4x 2(x e x 1 ) 84

86 Ανισότητες στο Ολοκλήρωμα Μεθοδολογία 6 Προσπαθούμε να βρούμε ένα ακρότατο για τη συνάρτηση f και μετά να ολοκληρώσουμε Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = e x x 1 Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα Β) Να αποδείξετε ότι 2 e x2 1 dx 6 85

87 Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: R R, παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει f(1) = 7 3 και (x2 + 2)f (x) + 2xf(x) = 4x + 2 για κάθε x R Α) Να αποδείξετε ότι με x R f(x) = 2x2 + 2x + 3 x Β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Γ) Να αποδείξετε ότι 6 f(x)dx

88 1 Αρχέτυπο (study4exams) Να αποδείξετε ότι 2 x dx 5 0 Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x 2 + 1) x 2 Α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα 1 B) Να αποδείξετε ότι ln(x 2 + 1) dx <

89 Μεθοδολογία 7 Με τη βοήθεια της μονοτονίας και τα άκρα του ολοκληρώματος, δηλαδή της f γνησίως αύξουσα στο [α, β] τότε α x β f(α) f(x) f(β) Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 + 2x + 6 Α)Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία Β)Να αποδείξετε ότι: x 2 + 2x + 6 dx

90 Μεθοδολογία 8 Προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησης f και μετά να ολοκληρώσουμε Αρχέτυπο Aν f: R R είναι συνεχής συνάρτηση, να αποδείξετε ότι 3 f 2 (x)dx 6f(x)dx

91 Αρχέτυπο (study4exams) Να αποδείξετε ότι: 1 2 ( e2x dx + εφ 2 xdx) e x εφxdx 0 π 4 0 π 4 0 π 4 90

92 Μεθοδολογία 9 Αποδεικνύουμε ότι f(x) g(x) και μετά ολοκληρώνουμε Αρχέτυπο Να αποδείξετε ότι: Α) x 1 x Β) 1 < < lnx < x 1 για κάθε x > 1 2 e+1 1 lnx dx < e 91

93 Μεθοδολογία 10 Για κυρτές συναρτήσεις εφαρμόζουμε τη σχέση f(x) f (a)(x a) + f(a) όπου α πραγματικός αριθμός για τον οποίο έχουμε δεδομένα/πληροφορίες και ολοκληρώνουμε. Επισήμανση η ανισότητα που θα προκύψει είναι γνήσια ( > ή <) Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: (0, + ) R, παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει f(1) = e και f(x) = e x xf (x) για κάθε x > 0 Α) Να αποδείξετε ότι f(x) = ex x, x > 0 Β) Να μελετήσετε την f ως προς την κυρτότητα Γ) Να βρείτε την εφαπτομένη τις C f στο σημείο της Μ(2, f(2)) Δ) Να αποδείξετε ότι f(x)dx 3e

94 Α6 Θ.FERMAT 1 η Κατηγορία: Προσδιορισμός παραμέτρου με δεδομένο ακρότατο Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης f περιέχει παραμέτρους και γνωρίζουμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο x 0, τότε για να βρούμε τις παραμέτρους, εργαζόμαστε ως εξής: 1 ο βήμα ) Διαπιστώνουμε ότι το x 0 είναι εσωτερικό σημείο κάποιου διαστήματος Δ του D f και ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 2 ο βήμα ) Σύμφωνα με το Θ.Fermat ισχύει f (x 0 ) = 0 3 ο βήμα ) Από την παραπάνω σχέση και ενδεχομένως από άλλα δεδομένα βρίσκουμε τις τιμές των παραμέτρων 4 ο βήμα ) Οι τιμές των παραμέτρων που βρήκαμε ικανοποιούν τη συνθήκη f (x 0 ) = 0, η οποία είναι αναγκαία αλλά όχι ικανή, δηλαδή δε μας εξασφαλίζει την ύπαρξη ακροτάτου στο x 0, αφού το αντίστροφο του Θ.Fermat δεν ισχύει. Επομένως πρέπει να κάνουμε επαλήθευση, αντικαθιστώντας τις τιμές των παραμέτρων που βρήκα στο τύπο της f και μελετώντας τη f ως προς τα ακρότατα Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x 3 3x 2 + 6αx + β, x R όπου α, β R. Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο x 0 = 2 και είναι f( 2) = 98 α. Να αποδείξετε ότι α = 6 και β = 54 β. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία γ. Να καθορίσετε το είδος των ακροτάτων της συνάρτησης f δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( 1,2) ( θέμα εξετάσεων ) 93

95 94

96 2 η Κατηγορία: Η f δεν έχει Ακρότατα Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα, συνήθως υποθέτουμε ότι η f παρουσιάζει κάποιο ακρότατο σε κάποιο x 0 ( το οποίο είναι εσωτερικό του διαστήματος Δ του D f ) οπότε σύμφωνα με το Θ.Fermat ισχύει f (x 0 ) = 0 το οποίο με οδηγεί σε άτοπο. Άλλος τρόπος είναι να αποδείξω ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο R Αρχέτυπο Δίνεται η μη σταθερή συνάρτηση g(x) = β2 x 2 + γ 3x 2 + 1, η οποία παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0 α. Να αποδείξετε ότι β 2 < 3γ β. Για μια συνάρτηση f, που είναι παραγωγίσιμη στο R, ισχύει ότι: f 3 (x) + βf 2 (x) + γf(x) = x 3 2x 2 + 6x 1 για κάθε x R. Να αποδείξετε ότι: i. Η συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα ii. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα iii. Υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης f(x) = 0 στο (0,1) 95

97 3 η Κατηγορία: Από Ανισότητα σε Ισότητα Αν έχουμε ως δεδομένο μια ανισότητα της μορφής f(x) g(x) ή f(x) g(x) για κάθε x Δ και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε μια ισότητα, τότε 1 ο βήμα ) Μεταφέρουμε όλους τους όρους της ανισότητας στο 1 ο μέλος και θεωρούμε όλο το 1 ο μέλος ως μια νέα συνάρτηση h(x) με x Δ 2 ο βήμα ) Βρίσκουμε εσωτερικό σημείο x 0 του Δ με h(x 0 ) = 0 3 ο βήμα ) Παρατηρώ ότι για κάθε x Δ ισχύει h(x) 0 h(x) h(x 0 ) ( ολικό μέγιστο ) ή h(x) 0 h(x) h(x 0 ) ( ολικό ελάχιστο ) 4 ο βήμα ) τότε από Θ.Fermat h (x 0 ) = 0 και καταλήγουμε στη ζητούμενη ισότητα Αρχέτυπο Έστω f: (0, + ) R παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει xf (x) 2f(x) = 6x 2 2x 3 6x για κάθε x > 0 α. Να αποδείξετε ότι f(x) = 6x 2 lnx 2x 3 + 6x + cx 2 για κάποιο σταθερό αριθμό c β. Αν επιπλέον ισχύει ότι f(x) f(2) ln (64 4 e5) για κάθε x > 0, τότε: i. Να αποδείξετε ότι c = 3 ii. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα 96

98 4 η Κατηγορία: Θ.Fermat και Θ.Μ.Ε.Τ. Προσπαθούμε να εξασφαλίσουμε ότι τα άκρα [α, β] δεν είναι θέσεις ακροτάτων ώστε να εφαρμόσουμε Θ.Fermat Αρχέτυπο Δίνεται η συνάρτηση f: [0,3] R, δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει f(1) < f(0) < f(3) < f(2). Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (0,3) τέτοιο, ώστε f (ξ) = 0 97

99 5 η Κατηγορία: Απόδειξη f σταθερή με f min = f max Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο [α, β]. Αν f(x) = (x a)(x β)f (x) για κάθε x [α, β], να αποδειχθεί ότι α. Η f έχει ένα τουλάχιστον κρίσιμο σημείο β. Η f είναι σταθερή στο διάστημα Δ 98

100 Β4 ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Με Σύνθεση Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f(x) + 3x x 2 f(x 2) + 7x 10 για κάθε x R. Να βρείτε το τύπο της f 99

101 Από Συναρτησιακή Σχέση Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύουν f(x) x για κάθε x R και f(x + y) f(x) + f(y) για κάθε x, y R α. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων β. Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή γ. Να βρείτε το τύπο της f 100

102 Με Χρήση της Συνέχειας της f Μεθοδολογία : Λύνουμε τη σχέση ως προς f(x) για x x 0 και υπολογίζουμε το f(x 0 ) με τη βοήθεια της συνέχειας, δηλαδή f(x 0 ) = lim x x0 f(x) Αρχέτυπο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει xf(x) ημx = xe x x 2 ημ ( 1 x ), x R. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f 101

103 Προσδιορισμός τύπου f(x) όταν f 2 (x) = g(x), όπου f: A R συνεχής συνάρτηση Μεθοδολογία: 1 ο βήμα ) f 2 (x) = g(x) f(x) = g(x) για κάθε x A (1) 2 ο βήμα ) Λύνουμε την εξίσωση f(x) = 0 f 2 (x) = 0 g(x) = 0 3 ο βήμα ) Σε καθένα από τα διαστήματα που οι ρίζες της f χωρίζουν το Α, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο, το οποίο και προσδιορίζουμε 4 ο βήμα ) Εάν f(x) > 0 για κάθε x A 1 Α τότε η (1) δίνει f(x) = g(x) για κάθε x A 1 Εάν f(x) < 0 για κάθε x A 1 Α τότε η (1) δίνει f(x) = g(x) f(x) = g(x) για κάθε x A 1 Αρχέτυπο Έστω f: [ 1,4] R μια συνεχή συνάρτηση για την οποία ισχύει x 2 + f 2 (x) = 3x + 4 για κάθε x [ 1,4] α. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0 β. Αν επιπλέον η γραφική παράσταση τις συνάρτησης f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο με τεταγμένη 2, να βρείτε το τύπο της f 102

104 Αρχέτυπο Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις f: R R για τις οποίες ισχύει (f(x) + 1) 2 + 2x 2 = (x 2 + 1) 2 + 2f(x) για κάθε x R 103

105 Αρχέτυπο Να βρείτε τις συνεχείς συναρτήσεις f: R R για τις οποίες ισχύει f(x) 0 για κάθε x R και f 2 (x) 6f(x) + 5 = x 4 + 4x 2 για κάθε x R. Να βρείτε α. Τη τιμή f(1) β. Το τύπο της f γ. Το όριο lim ημx x + f(x) Θ.Μ.Ε.Τ και Θ.Fermat Αρχέτυπο Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [1,2] R και ισχύει g(x)f (x) + f(x) = 3 για κάθε x R. Εάν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (1,2) και g(1) = g(2) = 0, να αποδείξετε ότι f(x) = 3 104

106 Με Χρήση Ορισμού Παραγώγου και 2 η Συνέπεια Θ.Μ.Τ. Αρχέτυπο Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία f(h) f(x) ισχύει lim = x + 5 και f(0) = 1 h x h x Με Σταθερή Συνάρτηση Αρχέτυπο Δίνεται συνάρτηση f: (0, + ) R δύο φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύει: xf (x) = 2f (x) για κάθε x (0, + ). Εάν η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Μ(1, f(1)) έχει εξίσωση y = 6x 4 α. Να βρείτε τις τιμές f (1) και f(1) β. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις g(x) = xf (x) 3f(x) και h(x) = f(x) είναι σταθερές x3 γ. Να βρείτε τον τύπο της f(x) και το όριο: lim (f(x) + x 4x6 12x 3 + 1) 105

107 Αρχέτυπο 4.1.9β Δίνονται δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f, g: R R με f(0) = 0 και g(0) = 1. Αν ισχύει: f (x) = g(x) και f(x) = g (x) για κάθε x R να αποδειχθεί ότι: α. Η συνάρτηση φ(χ) = f 2 (x) + g 2 (x) είναι σταθερή στο R β. f 2 (x) + g 2 (x) = 1 για κάθε x R γ. Η συνάρτηση h(x) = (f(x) ημx) 2 + (g(x) συνx) 2 είναι σταθερή δ. f(x) = ημx και g(x) = συνx, x R 106

108 1) Αρχέτυπο 4.1.9γ Έστω συνάρτηση f: R R και η παραγωγίσιμη συνάρτηση g: R R για τις οποίες ισχύουν: f(x) f(y) (x y) 2 για κάθε x, y R g(0) = 1 και g(1) = e Η συνάρτηση F(x) = g(x) e x, x R, είναι μία παράγουσα της f στο R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή β) Να αποδείξετε ότι g(x) = e x, x R γ) Να βρείτε το lim (g x 0 (1) ln x ) x δ) Αν α (0, 4 ), τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση: 9 e x = ax4 4 + x2 2 + x + 1, x R, έχει μοναδική λύση τη x = 0 107

109 Σχόλιο: Σε πολλές περιπτώσεις παίζει ρόλο η μορφή που έχει η συνάρτηση που θεωρούμε για παράδειγμα Αν έπρεπε να δείξουμε ότι xlnx > e για 0 < x < e θα ήταν καλύτερα να θεωρήσουμε την f(x) = lnx e, x (0, e] x Όμοια εάν είχαμε να αποδείξουμε ότι e x > x 2 + 1, x R είναι καλύτερα να θεωρήσουμε τη f(x) = (x 2 + 1)e x 1, x R Όμοια εάν είχαμε να αποδείξουμε ότι για κάθε x > 0 ισχύει 3ημx < x(2 + συνx), αν θεωρούσαμε τη συνάρτηση f(x) = 3ημx x(2 + συνx), x R τα πράγματα θα ήταν πολύ δύσκολα. Οπότε θα προτιμήσουμε τη f(x) = 3ημx 2+συνx x,x 0 108

110 Με 2 η Συνέπεια Θ.Μ.Τ. και Αρχική Συνάρτηση Αρχέτυπο Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f (x) = 2x + 2 x 2 + 2x + 2 για κάθε x R και f( 1) = 1 Αρχέτυπο Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f(0) + f(2) = 6 και f (x) f (α x) = 12x α 10 για κάθε x R α. Να αποδείξετε ότι α = 2 β. Να αποδείξετε ότι f(x) + f(2 x) = 6x 2 12x + 6 για κάθε x R γ. Αν επιπλέον ισχύει ότι f (x) 0 για κάθε x R, να λύσετε την εξίσωση f(x) = 0 109

111 Αρχέτυπο β Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (0, + ) R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f (1) = 1 α, α > 0 και f ( x ax ) = f(x) f(y) + ax ay για κάθε x, y > 0 y y α. Να αποδείξετε ότι f(x) = lnx ax, x > 0 β. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α(e, f(e)) διέρχεται από την αρχή των αξόνων 110

112 Εφαπτομένη και Σ.Θ.Μ.Τ. Αρχέτυπο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R, της οποίας η γραφική παράσταση C f διέρχεται από το σημείο Μ(1,2e). Αν η εφαπτομένη της C f σε κάθε σημείο της (x 0, f(x 0 )) διέρχεται από το σημείο Α(x 0 + 1,2e x 0) α. Να αποδείξετε ότι f(x) = e x + e 2 x β. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία x = 1 111

113 Ειδική περίπτωση με το παράγοντα e G(x) Μεθοδολογία 1 ο βήμα ) Φέρνουμε τη δοσμένη σχέση στη μορφή f (x) + g(x)f(x) = h(x) 2 ο βήμα ) Αφού αναγνωρίσουμε τη g(x) βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της g(x), τη G(x) 3 ο βήμα ) πολλαπλασιάζουμε με e G(x) και εμφανίζεται (e G(x) f(x)) Αρχέτυπο Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f (x) + f(x)συνx = 0 για κάθε x R α. Να αποδείξετε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R β. Αν επιπλέον ισχύει ότι f (0) = 2, να βρείτε: i. Την εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α(0, f(0)) ii. Το τύπο της f 112

114 Ειδική περίπτωση f (x) = f(x) f(x) = ce x, c R Αρχέτυπο Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει: f (x + y) = 1 2 f(x)f(y) για κάθε x, y R. Αν η ευθεία (ε): y = 2x + 2 είναι η εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ(0, f(0)) να βρεθούν α. Το f(0) β. Ο τύπος της f γ. Την εφαπτομένη (ε) της C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 113

115 Σε ένωση διαστημάτων Αρχέτυπο Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f( 1) = e + 1, f(1) = e 4 e και x 2 f (x) = x 2 e x 1 για κάθε x 0 α. Να βρείτε τον τύπο της f β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ < 0 τέτοιο ώστε f(ξ) = 2015 γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 2015 έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (0, + ) 114

116 Αρχέτυπο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: f( 1) = 1 e 2 xf (x) = f(x) + x 2 (2e 2x 1) για κάθε x R α. Να αποδείξετε ότι f(x) = xe 2x x 2 x, x R β. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει ένα μόνο σημείο καμπής. Σχόλιο: Για να υπολογίσω μια πραγματική σταθερά c που προκύπτει από συνέπειες Θ.Μ.Τ. i. Χρησιμοποιώ γνωστές τιμές της f ii. Χρησιμοποιώ τη συνέχεια στο σημείο αλλαγής του τύπου της f iii. Χρησιμοποιώ την παραγωγισιμότητα στο σημείο αλλαγής του τύπου της f iv. Αντικαθιστώ μια επιθυμητή τιμή σε συναρτησιακή σχέση που δίνεται συνήθως στην εκφώνηση της άσκησης 115

117 Με Μοναδική Ρίζα Εξίσωσης Αρχέτυπο Έστω συνάρτηση f: (0, + ) R και ισχύει e f(x) + f(x) = x + lnx.να βρεθεί ο τύπος της f Με Θ.Ε.Τ. Αρχέτυπο Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f: R R με [f(x) 3][f(x) 5] = 0 για κάθε x R 116

118 Πολλαπλασιασμός με f (x) Αρχέτυπο Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f (x) + f(x) = 0 με f (0) = f(0) = 0. Να βρεθεί ο τύπος της f Με Σπάσιμο Όρων Αρχέτυπο Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει 2f (x) + 3f (x) + f(x) = 0 με f (0) = f(0) = 0. Να βρεθεί ο τύπος της f 117

119 Συνδυασμός Αρχέτυπο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: R R με f(0) = 1, για την οποία ισχύει: e x f(y) e y f(x) (x y) 2 για κάθε x, y R. Να δείξετε ότι f(x) = e x, x R 118

120 Με Ολοκληρώματα β Μεθοδολογία 1 : Εάν ισχύει f(x)dx = 0 α [α, β] τότε f(x) = 0 για κάθε x [α, β] και f(x) 0 για κάθε x Αρχέτυπο Έστω συνεχής συνάρτηση f: [0,1] R με f(0) = 2 για την 1 οποία ισχύει (f (x)) 2 1 dx + 4 (f(x)) 2 dx = 2f 2 (1) 8, να βρεθεί ο τύπος 0 0 τις f 119

121 ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΤΗΣ Μεθοδολογία: 1 ο β βήμα) θέτουμε το ολοκλήρωμα f(t)dt α (1), c R ίσο με μία σταθερά c = 2 ο βήμα) αντικαθιστούμε το ολοκλήρωμα με τη σταθερά c στο τύπο της συνάρτησης (2) 3 ο βήμα) Αντικαθιστούμε στην (1),το τύπο της συνάρτησης (2) μέσα στο ολοκλήρωμα. Ύστερα υπολογίζουμε τη σταθερά c Αρχέτυπο Έστω συνεχής συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f(x) = 12x 2 2x f(t)dt 0 για κάθε x R. Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης f 1 β α f(t)dt 120

122 Α8 Προβλήματα Ακροτάτων Μεθοδολογία 1 ( Μέγιστο Ελάχιστο Κόστος ) Αν θέλουμε να βρούμε ποσότητα x τις προϊόντος, που παράγεται ή πωλείται, για την οποία η επιχείρηση που το παράγει έχει μέγιστο κέρδος ή ελάχιστο κόστος, τότε: Εκφράζουμε τις συναρτήσεις Κέρδους Εσόδων Κόστους, συναρτήσει των x μονάδων προϊόντος ή τις τις μονάδας του παραγόμενου προϊόντος. Ισχύει ΚΕΡΔΟΣ=ΕΣΟΔΑ ΚΟΣΤΟΣ Στη συνέχεια, βάζουμε περιορισμούς στη συνάρτηση που θέλουμε να βρούμε το ακρότατα. Τέλος, μελετάμε τη συνάρτηση που τις ενδιαφέρει ως τις μονοτονία ακρότατο Αρχέτυπο Μία βιομηχανία παράγει x ποσότητα από ένα προϊόν, με κόστος που δίνεται από τη συνάρτηση K(x) = αx3 4, x > 0, a [2 9, 9 2 ] Τα έσοδα από την πώληση x ποσότητας του προϊόντος, δίνονται από τη συνάρτηση Ε(x) = x 2, x > 0 Α) Να βρείτε τη ποσότητα x 0, για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος που συμβολίζεται με Μ(α) Β) Να βρείτε τη τιμή α, για την οποία το Μ(α) γίνεται μέγιστο, καθώς και το μέγιστο κέρδος 121

123 Αρχέτυπο Η τιμή P( σε χιλιάδες ευρώ) τις προϊόντος, t μήνες μετά την εισαγωγή του στην αγορά, δίνεται από το τύπο: P(t) = 4 + t 6 t Α) Να βρείτε τη τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά Β) Να βρείτε το χρονικό διάστημα στο οποίο η τιμή του προϊόντος συνεχώς αυξάνεται Γ) Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη Δ) Να αποδείξετε ότι η τιμή του προϊόντος μετά από κάποια χρονική στιγμή συνεχώς μειώνεται, χωρίς να γίνει μικρότερη από τη τιμή του προϊόντος τη στιγμή της εισαγωγής του στην αγορά 122

124 Μεθοδολογία 2 ( Προβλήματα ακροτάτων σε καμπύλες ) Βρίσκουμε τη συνάρτηση του μεγέθους στο οποίο αναφέρεται το ακρότατο. Αν η συνάρτηση περιέχει δύο μεταβλητές, βρίσκουμε μια σχέση που τις συνδέει και υπολογίζουμε τη μία, συναρτήσει της άλλη. Βρίσκουμε τους περιορισμούς που διέπουν τη μεταβλητή της συνάρτησης που θέλουμε να βρούμε το ακρότατό της ( και έτσι προκύπτει το πεδίο ορισμού της συνάρτηση ) Τέλος, μελετάμε τη συνάρτηση που μας ενδιαφέρει ως προς τη μονοτονία ακρότατα Αρχέτυπο Έστω ότι η εφαπτόμενη (ε) τις γραφικής παράστασης τις συνάρτησης f(x) = x, x < 1 x + 1 σε τυχαίο της σημείο, τέμνει τους άξονες x x και y y στα σημεία Α και Β αντίστοιχα. Να βρείτε το σημείο της C f, για το οποίο το άθροισμα των αποστάσεων της αρχής των αξόνων από τα σημεία Α και Β, γίνεται ελάχιστο. 123

125 Αρχέτυπο ( Β προσανατολισμού ) Να βρείτε ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(2,4) και σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο με ελάχιστο εμβαδόν. 124

126 Αρχέτυπο Να βρείτε σημείο της καμπύλης y = x 2 2, του οποίου η απόσταση από το σημείο Ν(5, 3) είναι ελάχιστη. Αρχέτυπο Να βρείτε σημείο τις καμπύλης y = 3x που η απόστασή του από το σημείο Ν(0,3) να είναι ελάχιστη. Αρχέτυπο Να βρείτε το σημείο Ν τις καμπύλης y = x 1 που είναι πλησιέστερο στο σημείο Τ(2,0) 125

127 Μεθοδολογία 3 ( Γεωμετρικά προβλήματα ) Για να βρούμε ένα ακρότατο μεγέθους που περιγράφεται μέσα από γεωμετρικό πρόβλημα, τότε: Κατασκευάζουμε σχήμα Βρίσκουμε τη συνάρτηση f που εκφράζει το μέγεθος, του οποίου ζητάμε το ακρότατο. Αν η συνάρτηση περιέχει δύο αγνώστους, τότε μέσω σχήματος βρίσκουμε μία σχέση που τις συνδέει και αντικαθιστούμε τη μία, συναρτήσει της άλλης Από το σχήμα βρίσκουμε τις περιορισμούς που διέπουν τη μεταβλητή της συνάρτησης που θέλουμε να βρούμε το ακρότατό της ( και έτσι προκύπτει το πεδίο ορισμού της συνάρτηση ) Τέλος, μελετάμε τη συνάρτηση που με ενδιαφέρει ως τη μονοτονία ακρότατα Αρχέτυπο Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, με ΑΒ=ΑΓ=10cm. Να βρείτε τις διαστάσεις του τριγώνου για τις οποίες το εμβαδόν του είναι μέγιστο. 126

128 Αρχέτυπο Θεωρούμε σημείο Ν(x, y) του οποίου οι συντεταγμένες 3t2 καθορίζονται από τις συναρτήσεις x(t) = και y(t) =, t 0. Να 1+t3 1+t3 αποδείξετε ότι για κάθε t 0 το Ν βρίσκεται εντός του τετραγώνου που 3 ορίζεται από τις ημιευθείες Ox, Oy και τις ευθείες x = 4 3t 3 και y = 4 127

129 Α9 Ρυθμός Μεταβολής Μεθοδολογία 1 ( Ρυθμός μεταβολής συγκεκριμένης συνάρτησης) Ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης y = f(t), ως τις t, όταν t = t 0, είναι η παράγωγος τις f στο t 0, δηλαδή το f (t 0 ) Μεθοδολογία 2 ( Προβλήματα Οικονομίας ) Στα προβλήματα οικονομίας, η βασική σχέση είναι : Κέρδος=Έσοδα Κόστος Αν Κ(x) η συνάρτηση κόστους, τότε, το μέσο κόστος παραγωγής x μονάδων προϊόντος είναι: K μ (x) = K(x) K(0) x Αρχέτυπο Μία βιομηχανία κατασκευάζει x χιλιάδες τεμάχια τις προϊόντος το μήνα. Αν το κόστος παραγωγής είναι K(x) = 30x x 100 χιλιάδες ευρώ και η τιμή πώλησης του κάθε τεμαχίου του προϊόντος είναι 2x 2 105x ευρώ, να βρείτε: Α) Πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους είναι αρνητικός Β) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του μέσου κόστους είναι μηδέν, όταν ο ρυθμός μεταβολής του κόστους ισούται με το μέσο κόστος. 128

130 Μεθοδολογία 3 ( Πρόβλημα κίνησης σε καμπύλη) Αν δίνεται σώμα που κινείται σε καμπύλη C, τότε: 1 ο Καταγράφουμε όλα τα δεδομένα τις άσκησης, εκφράζοντας τα x, y συνάρτηση του χρόνου t, (x(t), y(t)). Αν κάποια από τις συντεταγμένες του σημείου ελαττώνεται με ρυθμό α, τότε γράφω x(t) = a ή y(t) = a 2 ο Υπολογίζουμε τις τιμές των x, y τη χρονική στιγμή t 0 που τις ενδιαφέρει 3 ο Παραγωγίζουμε την εξίσωση της καμπύλης ως τη t και αντικαθιστούμε όπου t = t 0 4 ο Κάνουμε αντικατάσταση στην τελευταία σχέση και συνήθως προκύπτει το ζητούμενο Αρχέτυπο 9.3.1Ένα σώμα βρίσκεται σε κυκλική τροχιά, με εξίσωση x 2 + y 2 = 25 Όταν το σώμα διέρχεται από το σημεία Ν(3,4), η τετμημένη του ελαττώνεται με ρυθμό 4 μονάδες μήκους ανά δευτερόλεπτο. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του τη χρονική στιγμή που το σώμα διέρχεται από το σημείο Ν 129

131 Μεθοδολογία 4 (Προβλήματα ευθύγραμμης κίνησης) Αν δίνεται σώμα που κινείται επί ευθείας και η συνάρτηση θέσης του κάθε χρονική στιγμή t είναι S = x(t), τότε: Η στιγμιαία ταχύτητά του τη χρονική στιγμή t 0 είναι υ(t 0 ) = x (t 0 ) Η στιγμιαία επιτάχυνση α(t 0 ) τη χρονική στιγμή t 0 είναι α(t 0 ) = υ (t 0 ) Το σώμα είναι ακίνητο, όταν υ(t) = 0 Το σώμα κινείται κατά τη θετική φορά, όταν υ(t) > 0 και κατά την αρνητική φορά όταν υ(t) < 0 Το συνολικό διάστημα που διανύει το κινητό είναι S ΟΛ = x(t τελικό ) x(t 2 ) + x(t 2 ) x(t 1 ) + x(t 1 ) x(t 0 ) Όπου t 1, t 2 οι ρίζες τις εξίσωσης υ(t) = 0 Η μέση ταχύτητα του σώματος σε όλη τη διάρκεια τις κίνησής του είναι S ΟΛ υ μ = t τελικό H ταχύτητα του σώματος αυξάνεται, όταν α(t) > 0 και ελαττώνεται όταν a(t) < 0 130

132 Μεθοδολογία 5 ( Ρυθμός μεταβολής σε τρίγωνα) Αρχικά κάνουμε σχήμα και εκφράζουμε όλα τα μήκη συνάρτηση του t. 1) εάν τρίγωνο στο σχήμα α) Εάν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο τότε i) Πυθαγόρειο θεώρημα ii) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας β) Τυχαίο τρίγωνο τότε νόμο συνημίτονων a 2 = β 2 + γ 2 2βγσυνΑ 2) Δύο τρίγωνα στο σχήμα α) Συνθήκη ομοιότητας τριγώνων Για επίπεδα ή στερεά σχήματα χρησιμοποιούμε τις τύπους περιμέτρου, εμβαδού ή όγκου. 1) Κάνουμε σχήμα όπου είναι απαραίτητο, και συμβολίζουμε με μεταβλητές τα διάφορα μεγέθη 2) Βρίσκουμε τις γεωμετρικές σχέσεις που συνδέουν τις μεταβλητές και τις κάνουμε συναρτήσεις με μεταβλητή t 3) Υπολογίζουμε τη τιμή των μεταβλητών τη χρονική στιγμή t 0 που τις ενδιαφέρει 4) Παραγωγίζουμε τις σχέσεις και με αντικατάσταση προκύπτει το ζητούμενο. 131

133 Αρχέτυπο 9.5.1Ένα άνθρωπος ύψους 1,8 m απομακρύνεται από έναν φανοστάτη ύψους 7,2 m με ταχύτητα 0,9 m/sec. Να βρείτε τη ταχύτητα με την οποία αυξάνεται ο ίσκιος του ανθρώπου. 132

134 Αρχέτυπο Μία σκάλα μήκους 5m είναι τοποθετημένη σε έναν τοίχο. Το κάτω μέρος της σκάλας γλιστράει και απομακρύνεται από τον τοίχο με ταχύτητα 0,2m/sec. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία η κορυφή τις σκάλας απέχει 4m από το έδαφος, να βρείτε: Α) Το ρυθμός μεταβολής τις γωνίας θ Β) Τη ταχύτητα πτώσης της κορυφής Α της σκάλας 133