- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητες Κριτήριο Παρεμβολής - Τριγωνομετρικά Όρια - Όριο Σύνθετης Συνάρτησης του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. ηµ Να υπολογίσετε το όριο lim. 0 ηµ 3 Επειδή lim ηµ 3 = 0, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου. Παρατηρούμε όμως ότι για = 0 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος, άρα έχουμε απροσδιοριστία 0 της μορφής. Οπότε για τα 0 τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο 0, 0 διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με και έχουμε: ημ ημ = () ημ3 ημ3 : ημ lim = ημ3 Για να υπολογίσουμε το lim, θέτουμε ω = 3. Όταν το 0 και το ω 0, οπότε έχουμε: ημ3 ημω ημω lim = lim = lim ω 0 ω = = ω 0 ω 3 ηµ Άρα lim =, ηµ 3 3 και λόγω της σχέσης () παίρνουμε : ηµ lim =. ηµ 3 3

2 Άσκηση. Έστω συνάρτηση f: τέτοια, ώστε: < f() < + 5 κοντά στο. α. Να βρείτε το lim f (). β. Να βρείτε το lim f ( ). α. 3 4 lim 7 = lim + 5 = 6, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής προκύπτει: lim f () = 6. β. Θέτουμε ω = -. Όταν το και το ω, οπότε έχουμε: lim f = lim f ω = 6. ω

3 Άσκηση 3. Έστω συνάρτηση f: με σύνολο τιμών f (A) = ( 5, ). Να αποδείξετε ότι : π lim ηµ f = 0. Αφού η συνάρτηση έχει σύνολο τιμών το ( 5, ) θα ισχύει 5 < f() <, για κάθε. π Για, π είναι ηµ > 0, οπότε έχουμε : 5 < f() < 5ημ < ημ f() < ημ. π lim 5ηµ = lim ηµ = 0, π άρα από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: lim f 0 ηµ = (). π 3π Για π, είναι ηµ < 0, οπότε έχουμε: 5 < f() < 5ηµ > ηµ f() > ηµ. lim 5ηµ = lim ηµ = 0, + + π π οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: + π lim ηµ f = 0 (). Από τις σχέσεις () και () προκύπτει: lim ηµ f = 0 π. 3

4 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. ηµ εφ Να υπολογίσετε το όριο lim. Επειδή lim 0 =, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου. Παρατηρούμε όμως ότι για = 0 μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος, άρα έχουμε απροσδιοριστία 0 της μορφής. Οπότε για τα 0 τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά στο 0, έχουμε: 0 ημ ημ- ημ-εφ ημσυν-ημ = συν = = συν ημ( συν -) ημ συν - = () : συν συν () ημ-εφ ημ συν- lim = lim = 0 = 0 συν 4

5 Άσκηση. Να υπολογίσετε το όριο συν( ) lim. lim = 0, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του πηλίκου. Παρατηρούμε όμως ότι για = μηδενίζονται και οι δύο όροι του κλάσματος, άρα έχουμε 0 απροσδιοριστία της μορφής. Οπότε για τα τα οποία βρίσκονται αρκούντως κοντά 0 στο, έχουμε: Επειδή ( ) συν( -)- συν( -)- + συν( -)- = = () συν( -)- Για να υπολογίσουμε το lim, θέτουμε ω = -. Όταν το το ω 0, οπότε έχουμε: συν( ) συνω lim = lim = 0. ω 0 ω Έτσι συν( ) lim + = 0 = 0, και λόγω της σχέσης () προκύπτει: συν( ) lim = 0. 5

6 Άσκηση 3. Έστω συνάρτηση f: τέτοια, ώστε: π ηµ < f() < συν για κάθε 0, (). α. Να βρείτε το f() lim. + β. Αν ισχύει lim f () f ( 0) =, να βρείτε το lim f (). α. Τροποποιούμε τη σχέση (), ώστε να δημιουργήσουμε μια νέα ανισοτική σχέση για τη συνάρτηση της οποίας αναζητούμε το όριο: ηµ < f() < συν ηµ < f() < συν. Επειδή είναι > 0 έχουμε: ημ f()- συν - < < f() - συν - ημ < <. συν - lim ( ημ) = lim = 0, + + οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: f() lim = 0. + β. Η σχέση lim f () = f 0 εξασφαλίζει την ύπαρξη του ορίου lim f (), δηλαδή ισχύει: lim f () = lim f (). + 6

7 Επομένως, για να υπολογίσουμε το ζητούμενο όριο αρκεί να βρούμε το lim f (). + Έχουμε: ( ημ ) lim = lim συν =, + + οπότε από τη σχέση () συμπεραίνουμε, λόγω του κριτηρίου παρεμβολής ότι lim f () =, συνεπώς θα είναι και + lim f () =. 7

8 Άσκηση 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f () = ln. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. γ. Αν η συνάρτηση f έχει σύνολο τιμών το διάστημα (,0], να αποδείξετε ότι: 0 f () < για κάθε 0. δ. Να βρείτε το lim f. α. Για να ορίζεται η συνάρτηση f πρέπει να είναι > 0 και 0 δηλαδή 0<. Επομένως το πεδίο ορισμού είναι D = 0,]. f ( β. Για να αποδείξουμε ότι η f αντιστρέφεται πρέπει να αποδείξουμε ότι είναι -, οπότε, αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι γνησίως μονότονη. Για < τα οποία ανήκουν στο D f έχουμε: ln < ln () και > > < () Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων () και () παίρνουμε f( ) < f( ), άρα η f είναι γνησίως αύξουσα. γ. Η f έχει: πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της f,δηλαδή το (,0] σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της f,δηλαδή το ( 0,. ] και Επομένως θα ισχύει 0 < f () για κάθε 0. δ. Για κάθε (,0] έχουμε: 0 0 < f () 0 < f () 0 < f () lim 0 lim 0 = =, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: lim f = 0. 8

9 Άσκηση 5. Έστω συνάρτηση f: τέτοια, ώστε f() lim =. α. Να βρείτε το lim f (). β. Να αποδείξετε ότι ισχύει f() > 0, κοντά στο 0. γ. Αν για τις συναρτήσεις f και g ισχύει το lim g(). f() g() f () κοντά στο 0, να βρείτε α. Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τύπο f() = h() και Επειδή [ ] lim h() =. lim h() = 0 = 0 θα είναι και lim f () = 0. f() h() =, με * οπότε έχουμε: β. Αφού f() lim = > 0, θα είναι f() > 0 κοντά στο 0, άρα f() > 0 κοντά στο 0. γ. Έχουμε : f() g() f () κοντά στο 0, Επομένως: f () f() g() f () f () + f() g() f () + (διαιρούμε με f() > 0 ) - f () + f () + g() f() f() - f () f () + g() + f() f() f() f() 9

10 - f () + g() f () f() + f() - f () + g() f () +. f() f() lim - f () + lim f () 0 0 f() = + f() = + =, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: lim g() =. 0

11 Άσκηση 6. Έστω συνάρτηση f: τέτοια, ώστε: f() + +, για κάθε και f() lim =,. α. Να βρείτε το. β. Αν f() f() f () +,για κάθε,να αποδείξετε ότι lim =. α. Για έχουμε: f() + + f() +. Για > 0 παίρνουμε: f() + (), ενώ για < 0 παίρνουμε : f() + (). Για 0 είναι = = = = οπότε , + lim = lim = 0 =

12 Από τις σχέσεις () και () λαμβάνοντας υπόψη ότι υπάρχει το αντίστοιχα ότι: f() lim συμπεραίνουμε f() + lim lim = 0, οπότε + + f() lim 0 0 (3). f() + lim lim = 0, οπότε f() lim 0 0 (4). Οι σχέσεις (3) και (4) μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι: f() lim = = 0. β. Για είναι: f () + + και οπότε έχουμε: f () f () +, + f () f () +. Διαιρούμε κάθε μέλος της παραπάνω σχέσης με 0, για να προκύψει μια νέα ανισοτική σχέση για τη συνάρτηση της οποίας αναζητούμε το όριο: f() f () f() f () + f() f () + + (5). Για 0 είναι = = = = οπότε ,

13 lim + = lim = + + (6). Επίσης f () lim + 0 = + = (7). Από τις σχέσεις (5), (6) και (7) λόγω του κριτηρίου παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι f() =. lim 3

14 Άσκηση 7. Έστω συνάρτηση f: τέτοια,ώστε : f(), για κάθε. α. Να υπολογίσετε το lim f (). β. Να υπολογίσετε το lim f (+ h). h 0 γ. Αν είναι f() κοντά στο, να υπολογίσετε το lim f () 3 + f() 3 f(). α. Για έχουμε: f (). : lim( ) = lim =, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι lim f () =. β. Θέτουμε +h =. Όταν το h 0 το, οπότε έχουμε: lim f (+ h) = lim f (), επομένως h 0 lim f (+ h) =. h 0 γ. Επειδή = < lim f () 3 0 θα είναι Έτσι έχουμε : f () 3 < 0 κοντά στο. + f () + 3+ f() 3 f () + f() = = = = f (). f() f() f() f() f () 3 f() 3 f() f() Συνεπώς lim f () 3 + f() 3 f() lim f () =. = [ ] 4

15 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Έστω συνάρτηση f: τέτοια, ώστε : f () για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α. β. γ. lim f () 0 =. lim f () = 0. lim f () = 0. α. Ισχύει : 0 f () για κάθε (). lim 0 lim 0 = =, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: lim f () 0 =. β. Από τη σχέση () προκύπτει : 0 f() για κάθε (). lim 0 = lim = 0, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: lim f () = 0. γ. Από τη σχέση () προκύπτει: 5

16 f(), για κάθε, (-) lim = lim = 0, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: lim f () = 0. 6

17 Άσκηση. Έστω γνησίως αύξουσα συνάρτηση f: τέτοια, ώστε : f (), για κάθε και lim f () =. α. Να αποδείξετε ότι: f(), για κάθε. β. Να αποδείξετε ότι : y + y,για κάθε y. γ. Nα βρείτε το lim f (). α. Έχουμε: f () για κάθε και επειδή η f ορίζεται στο και είναι γνησίως αύξουσα συμπεραίνουμε ότι: - f ( f ()) άρα f(), f(), για κάθε. β. Για y έχουμε: y + y y y + 0 y y + 0 y που είναι αληθής πρόταση, άρα ισχύει και το ζητούμενο. γ. Στα προηγούμενα ερωτήματα αποδείξαμε : f () + f(), για κάθε. f () + lim = lim =, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής συμπεραίνουμε ότι: lim f () =. 7

18 Άσκηση 3. Έστω οι συναρτήσεις f,g: τέτοιες,ώστε: f () 3 +, για κάθε, και g() + 3 lim = 5. + Να βρείτε τα όρια: α. β. γ. lim g(). f() 4 lim. + f()g() + lim. + g() + 3 α. Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τύπο h() =, με { } οπότε έχουμε: + g() + 3 = ( + )h() g() = ( + )h() 3, για κάθε και lim h() = 5. lim ( +)h() 3 = = 3 θα είναι και Επειδή [ ] lim g() = 3. β. Τροποποιούμε τη δοθείσα σχέση, ώστε να δημιουργήσουμε μια νέα ανισοτική σχέση για τη συνάρτηση της οποίας αναζητούμε το όριο: f () f () f () () Για <, διαιρώντας και τα δύο μέλη της σχέσης () με + παίρνουμε: f() (), ενώ για >, διαιρώντας και τα δύο μέλη της σχέσης () με + παίρνουμε: f() (3). Επομένως πρέπει να υπολογίσουμε τα παρακάτω όρια: 8

19 ( + ) 4( + )( + ) lim = lim = lim = = lim 4( ) ( ) 3( )( + ) lim = lim = lim = ( )( + )( + ) lim = lim 3( )( + ) = lim = lim =, + + έτσι από τις σχέσεις () και (3) λόγω του κριτηρίου παρεμβολής παίρνουμε αντίστοιχα: f() 4 lim = + δηλαδή και f() 4 lim =, + + f() 4 lim =. + γ. Διαπιστώνουμε την απροσδιοριστία του ορίου που αναζητούμε, (αφού λόγω του κριτηρίου παρεμβολής από τη δοθείσα σχέση προκύπτει lim f () = 4 ) οπότε καταφεύγουμε σε κατάλληλη μετατροπή του τύπου της συνάρτησης. Έτσι, κοντά στο - έχουμε: f()g() + f()g() 4g() + 4g() + = = + + f()g() 4g() 4g() + f() 4 g() = g() + 4 (4) Έτσι, λόγω της σχέσης (4) παίρνουμε : f()g() + f() 4 g() + 3 lim = lim g() + 4 = ( 3) = Ημερομηνία τροποποίησης: 4/8/0 9