Edmond LULJA Neritan BABAMUSTA LIBËR PËR MËSUESIN BOTIME

Edmond LULJA Neritan BABAMUSTA LIBËR PËR MËSUESIN MATEMATIKA 8 BOTIME

BOTIME Të gjitha të drejtat janë të rezervuara Pegi 2012 Të gjitha të drejtat lidhur me këtë botim janë ekskluzivisht të zotëruara nga shtëpia botuese Pegi sh.p.k. Ndalohet çdo riprodhim, fotokopjim, përshtatje, shfrytëzim ose çdo formë tjetër qarkullimi tregtar pjesërisht ose tërësisht pa miratimin paraprak nga botuesi. Shtëpia botuese: Tel: 042 374 947 cel: 069 40 075 02 pegi@icc-al.org Sektori i shpërndarjes: Tel/Fax: 048 810 177 Cel: 069 20 267 73 Shtypshkronja: Tel: 048 810 179 Cel: 069 40 075 01 shtypshkronjapegi@yahoo.com

PËRMBAJTJA I. MBI PLANIFIKIMIN LËNDOR VJETOR NGA MËSUESI 5 I. 1. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve 7 I. 2. Tri nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) 8 I. 3. Ndarja e lëndës në njësi mësimore 9 I. 4. Objektivat sipas krerëve në tre nivele II. UDHËZIME TË PËRGJITHSHME METODOLOGJIKE 31 II.1. Matematika si lëndë shkollore 31 II.2. Qëllimi, synimet dhe objektivat e përgjithshme të kurrikulit aktual të matematikës në arsimin e detyruar 32 II.3. Rubrikat e programeve të matematikës 34 II.4. Programi i matematikës së klasës së tetë 38 II.5. Parimet e përgjithshme të mësimdhënies së matematikës 50 II.6. Metodat e mësimdhënies 59 II. 7. Planifikimi i mësimit 63 II. 8. Mbi vlerësimin formues në matematikë në klasën 8 69 II.9. Mbi organizimin e punës në klasë 73 II.10. Problemat në matematikë 75

II. 11. Testet e arritjeve të nxënësve për kapituj të veçantë në lëndën e matematikës 86 II.12. Qëndrimi ndaj matematikës 94 III. UDHËZIME PËR ZHVILLIMIN E MËSIMEVE 98 IV. HORIZONTI I MËSUESIT 168 II.12. Metodika e trajtimit të koncepteve matematike 168

MATEMATIKA 8 5 I. MBI PLANIFIKIMIN LËNDOR VJETOR NGA MËSUESI Përpara se të planifikojë punën vjetore në lëndën Matematika 8 është e domosdoshme që secili mësues të njohë në thellësi programin përkatës, si dhe programet e klasave paraardhëse. Në këtë planifikim mësuesi duhet të udhëhiqet nga këto parime. Së pari, programet e matematikës duke filluar nga klasa e parë fillore janë tanimë të unifikuara. Ato shtjellohen jo sipas kapitujve, por sipas linjave që janë të njëjta për të gjitha klasat. Nga ana tjetër programet janë të materializuara në tekste alternative. Teksti që ju keni përzgjedhur i autorëve Edmond Lulja, Neritan Babamusta është i ndarë në 15 kapituj. Në të, e njëjta linjë është ndarë në disa kapituj; ka edhe kapituj që përmbajnë pjesë nga disa linja të ndryshme. Kjo shpërndarje si dhe ndërthurja e tyre është realizuar me synimin e konceptimit tërësor të lëndës duke zbatuar në këtë mënyrë një nga kërkesat themelore të programeve të matematikës. Së dyti, theksimi hap pas hapi i karakterit deduktiv, pa synuar vërtetimin e plotë të të gjitha teoremave apo pohimeve. Gjatë gjithë shtjellimit të lëndës, janë vërtetuar vetëm disa teorema apo fjali, ndërsa disa të tjera pranohen pa vërtetim. Në varësi të nivelit të klasës vetë mësuesi duhet të vendosë se cilat teorema të vërtetojë, e cilat të pranohen pa vërtetim. Por kjo nuk do të thotë në asnjë mënyrë që asnjë teoremë të mos vërtetohet! Së treti, përparësia e kuptimit të koncepteve në raport me aspektet algoritmike. Në këtë kuptim mësuesi nuk duhet të kënaqet (e madje të mos e stimulojë) mbajtjen mend apo përsëritjen e formulave, apo riprodhimin mekanik të vërtetimit të një teoreme, duke e shkëputur atë nga zbatimet e shumta e të larmishme. Ai duhet të ngulë këmbë në përvetësimin e konceptit, fillimisht nëpërmjet të kuptuarit e tij, e më pas nëpërmjet zbatimeve të shumta e të larmishme. Mjaft ushtrime të përfshira në tekst kanë të bëjnë pikërisht me këtë aspekt. Së katërti, lënda e matematikës, për nga vetë specifika e saj ka një avantazh në krahasim me lëndët e tjera. Ky avantazh konsiston në zgjidhjen e ushtrimeve e problemeve, ku nxënësi zbulon në mënyrë të pavarur varësi ndërmjet madhësive të ndryshme të panjohura për të më parë. Në këtë mënyrë ai zhvillon veprimtari krijuese e zbuluese, që pa gabuar mund ta konsiderojmë si një punë shkencore në miniaturë. Matematika ka privilegjin që në mësimdhënie realizohet zgjidhja e problemeve, fillimisht si zbatime (për të kuptuar konceptin) dhe më pas si modele të punës së pavarur. Në mënyrë të veçantë vetë zgjidhja e problemeve duhet të stimulojë debatin dhe pjesëmarrjen e të gjithë nxënësve në mësim. Është e njohur tendenca e mjaft mësuesve që në klasë të zgjidhin sa më shumë ushtrime.

6 LIBËR PËR MËSUESIN Kjo tendencë, në parim nuk ka pse të qortohet, sidomos në rastet kur kërkohet përvetësimi i saktë i një procedure. Por në mjaft raste, përvojat më të mira rekomandojnë që më e rëndësishme nuk është numri i problemeve të zgjidhur, por mënyrat e ndryshme të zgjidhjes së tyre. Parimi i njohur më mirë të zgjidhet një problem në tri mënyra se sa të zgjidhen tri probleme të ndryshëm tashmë e ka fituar të drejtën e qytetarisë në shkolla. Së pesti, teksti i matematikës është një mjet për të realizuar synimet dhe objektivat e programit. Këto objektiva janë për të gjithë nxënësit, por ato realizohen në nivele të ndryshme nga nxënës të ndryshëm. Ky fakt i ngarkon mësuesit që të programojnë objektiva të niveleve të ndryshme dhe njëkohësisht të planifikojnë detyra të niveleve të ndryshme. Teksti ka material të bollshëm në këtë drejtim. Së gjashti, për të lehtësuar planifikimin vjetor të mësuesit, materiali i ri në tekst është i ndarë pikërisht në 120 njësi mësimore (aq sa janë edhe orët sipas linjave). Por mësuesi, duke gjykuar nga niveli i arritjeve të nxënësve dhe në mbështetje të Udhëzimit Nr. 35, datë 09.10.2007 të Ministrisë së Arsimit dhe Shkencës për Lirinë e mësuesit për orët mësimore të parashikuara në programin lëndor, ka të drejtë ta zhvillojë një kapitull ose linjë lëndore deri në 10% më shumë ose deri 10% më pak orë mësimore, kundrejt numrit të orëve të parashikuara në programin përkatës lëndor, por pa ndryshuar totalin e orëve mësimore që programi për cakton për lëndën. Së shtati, në tekst janë përfshirë disa modele testesh. Edhe në këtë drejtim, mësuesi është i lirë të planifikojë apo realizojë vetëm disa prej tyre apo edhe të tjerë. Testet janë dhënë për vlerësim me pikë, duke realizuar në këtë mënyrë një përqasje me provimet e pjekurisë. Koha e planifikuar për një testim në varësi të mundësive konkrete edhe mund edhe të zgjatet. Së teti, objektivat e linjave i përmban programi. Për të lehtësuar planifikimin vjetor të punës së mësuesit, po japim objektivat sipas krerëve në tri nivele. Kjo ndarje presupozon që niveli më i lartë përfshin nivelin më të ulët. Niveli bazë, merr në konsideratë synimin që ai mundësisht të arrihet nga të gjithë nxënësit. Nxënësit e arrijnë këtë nivel kur janë në gjendje të zbatojnë procedurat rutinë që ndeshen shpesh në orën e mësimit. Këta nxënës përkufizojnë konceptet, rregullat dhe teoremat kryesore; zgjidhin ushtrime të thjeshta, duke imituar modele të ndryshme; riprodhojnë pjesë nga materiali mësimor teorik; përdorin metoda tradicionale arsyetimi dhe të zgjidhjes së problemeve; realizojnë detyra pa synuar zgjerim e thellim të mëtejshëm; komunikojnë e bashkëveprojnë me shokët dhe mësuesin. Niveli mesatar, merr në konsideratë synime tej procedurave rutinë apo imituese. Nxënësit e këtij niveli marrin përsipër zgjidhjen e detyrave më komplekse, duke kombinuar njohuritë që ata disponojnë. Këta nxënës jo vetëm riprodhojnë tërësisht materialin e mësuar, por edhe shqyrtojnë ligjësitë, identifikojnë problemet, duke bërë

MATEMATIKA 8 7 dallimin ndërmjet njohurive esenciale nga ato të dorës së dytë. Këta nxënës përdorin njohuritë teorike, duke zgjidhur detyra jo vetëm sipas modeleve, por edhe më komplekse. E rëndësishme është që me këta nxënës të synohet që ata të mund të nxjerrin vetë konkluzione. Këta nxënës njëkohësisht demonstrojnë aftësi të komunikimit afektiv dhe të bashkëveprimit. Niveli i lartë, ka për objektiv jo vetëm të kuptuarit apo riprodhimin e materialit mësimor, por përpunimin e tij, zbatimin në mënyrë të pavarur e krijues, në situata të reja, të panjohura më parë për to. Këta nxënës duhet të jenë në gjendje të sintetizojnë njohuritë, shkathtësitë, të përcaktojnë rrugët e mënyrat e veprimit, të parashikojnë pasojat, të vlerësojnë qëndrimet nga këndvështrime të ndryshme. I.1. Përshkrimi i niveleve të arritjeve sipas komponentëve Komponenti Përshkrimi i komponentit Niveli I-rë i arritjeve Niveli i II-të i arritjeve Niveli i III-të i arritjeve Njohuritë matematike Terminologjia dhe simbolika. Përkufizimet e koncepteve. Faktet matematike (aksioma, teorema, formula, rregulla). Metodat matematike (të zgjidhjes, njehsimit, ndërtimit, vërtetimit). Zotërim i njohurive bazë në shkallën minimale; zotërim i pjesshëm i njohurive, ilustrim me 1-2 shembuj Zotërim solid i njohurive, ilustruar me shembuj të shumtë. Zotërim njohurish të gjëra, të plota, ilustruar me shembuj të larmishëm nga kontekste të ndryshme. Aftësitë matematike Për identifikim, përshkrim, shpjegim, zbatim, analizë, sintezë, vlerësim, formulim hipoteze, vërtetim. Shfaqje e kufizuar e aftësive. Shfaqje aftësish të zhvilluara në situata të njohura. Shfaqje të aftësive të zhvilluara në situata të reja, në mënyrë të pavarur. Zotësitë, shkathtësitë, shprehitë matematike Për të kryer: Njehsime, matje, ndërtime, skicime, zgjidhje, përdorim të burimeve të informacionit, përdorim të teknologjisë, lexim të modeleve numerike e hapësinore, krijim të modeleve numerikë dhe hapësinorë. Shfaqje të kufizuara. Shfaqje solide. Shfaqje të avancuara.

8 LIBËR PËR MËSUESIN Qëndrimet dhe vlerat Pjesëmarrje në diskutim, bashkëpunim, kërkim e dhënie ndihme, verifikim, respektim i mendimit të të tjerëve, marrje e përgjegjësive personale, vëmendje, demonstrim vullneti, respektim i rregullave, përmbushje e detyrave. Tentativa për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim minimal i vlerave. Arritje për të mbajtur qëndrime të caktuara; zotërim i vlerave kryesore. Mbajtje qëndrimesh të pavarura; marrja e përgjegjësive mbi vete; zotërim i tërësisë së vlerave. I. 2. Tre nivelet e arritjeve të nxënësve në matematikë, sipas tre kategorive kryesore (arsyetim matematik, zgjidhja problemore, komunikimi matematik) Niveli I Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit; - me anën e një numri të kufizuar metodash; - me gabime ose me mangësi të shumta. Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me ndihmën e mësuesit - që janë nga më të thjeshtat - me gabime ose mangësi Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - me ndihmën e mësuesit; - me një mënyrë të paqartë dhe të pasaktë; - duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshme matematike. Niveli II Nxënësi zgjidh probleme: - me ndihmë të kufizuar të mësuesit; - me anën e një numri jo të madh strategjish bazale; - me gabime ose me mangësi të pjesshme. Nxënësi përdor arsyetime matematike: - me një ndihmë të kufizuar të mësuesit; - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve; - me disa gabime ose mangësi të vogla. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur; - me një farë qartësie e saktësie në terminologji; - duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme matematike.

MATEMATIKA 8 9 Niveli III Nxënësi zgjidh probleme: - në mënyrë të pavarur; - duke zgjedhur strategji e duke krijuar strategji që janë të reja për të; - zakonisht me saktësi. Nxënësi përdor arsyetime matematike: - në mënyrë të pavarur; - të përshtatshme për zgjidhjen e problemeve madje duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë. Nxënësi i komunikon njohuritë matematike: - në mënyrë të pavarur; - qartë dhe saktë; - duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme matematike. I.3 Ndarja e lëndës në njësi mësimore Kreu I. Thyesat dhe numrat dhjetorë 1.1. Thyesat dhe numrat dhjetorë. 1.2. Numra dhjetorë periodikë. 1.3. Përqindja. 1.4. Ushtrime. 1.5. Interesi bankar. Kreu II. Bashkësitë 2.1. Kuptimi i bashkësisë. 2.2. Bashkësia dhe ndryshorja. 2.3. Prerja e bashkësive. 2.4. Bashkimi i bashkësive. 2.5. Bashkësitë numerike. 2.6. Boshti numerik. 2.7. Ushtrime. Test për krerët I dhe II. Kreu III. Hyrje në gjeometri 3.1. Pika, drejtëza, segmenti. 3.2. Gjysmëdrejtëza, gjysmëplani, këndi. 3.3. Kongruenca e segmenteve dhe e këndeve. 3.4. Matja e segmenteve. (Gjatësia e segmentit). 3.5. Matja e këndeve. Këndet shtuese.

10 LIBËR PËR MËSUESIN 3.6. Përkufizimi. Aksioma. Teorema. 3.7. Kënde të kundërt në kulm. Drejtëza pingule. Kreu IV. Fuqitë 4.1. Fuqia e numrit. 4.2. Fuqia me eksponent zero. Fuqia me eksponent të plotë negativ. 4.3. Veprime me fuqitë. 4.4. Shkrimi shkencor i numrit. 4.5. Ushtrime. 4.6. Rrënja katrore. 4.7. Makina llogaritëse. 4.8. Makina llogaritëse(vazhdim). Test për kreun IV Kreu V. Kongruenca e trekëndëshave 5.1. Rasti I i kongruencës së trekëndëshave. 5.2. Veti të trekëndëshit dybrinjënjëshëm. 5.3. Rasti II i kongruencës së trekëndëshave. 5.4. Teorema e anasjellë. 5.5. Rasti III i kongruencës së trekëndëshave. 5.6. Ushtrime. Test për kreun V Kreu VI. Shprehje me ndryshore 6.1. Shprehjet numerike. 6.2. Shprehja me ndryshore. Programi i saj. 6.3. Shprehje identike. Shndërrime identike të shprehjeve. 6.4. Shndërrime të thjeshta identike të shprehjeve. 6.5. Monomi. Reduktimi i monomeve të ngjashëm. 6.6. Polinomi. Shuma dhe ndryshesa e polinomeve. 6.7. Shumëzimi i monomit me një polinom. Nxjerrja në dukje e faktorit të përbashkët. 6.8. Shumëzimi i dy polinomeve. 6.9. Faktorizimi me grupim. 6.10. Ushtrime. Test për kreun VI Kreu VII. Njohuri të tjera gjeometrike 7.1. Kriteret e paralelizmit të dy drejtëzave. 7.2. Veti të drejtëzave paralele. 7.3. Shuma e këndeve të trekëndëshit. 7.4. Krahasimi i brinjëve dhe këndeve të trekëndëshit. 7.5. Veti të trekëndëshit kënddrejtë. 7.6. Kongruenca e trekëndëshave kënddrejtë.

MATEMATIKA 8 11 7.7. Rrethi. 7.8. Tangjentja ndaj rrethit. Veti të saj. 7.9. Ushtrime. Test për kreun VII Kreu VIII. Formula të rëndësishme 8.1. Katrori i binomit. 8.2. Faktorizime me anë të formulës së katrorit të binomit. 8.3. Diferenca e katrorëve. Faktorizime. 8.4. Shndërrime identike duke përdorur vetitë e thyesave. 8.5. Ushtrime për përdorimin e mënyrave të ndryshme të faktorizimit. 8.6. Ushtrime. Test për kreun VIII Kreu IX. Ekuacione dhe inekuacione me një ndryshore 9.1. Ekuacione të njëvlershëm me një ndryshore. 9.2. Ekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. 9.3. Ekuacione me ndryshore në emërues. 9.4. Problema. 9.5. Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore. 9.6. Ushtrime. 9.7. Veçimi i një shkronje në një formulë. 9.8. Inekuacione me një ndryshore. Inekuacione të njëvlershëm. 9.9. Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore. Test për kreun IX Kreu X. Matjet 10.1. Gabimet në matjet. 10.2. Kuptimi për sipërfaqen. Sipërfaqja e drejtkëndëshit. 10.3. Sipërfaqja e trekëndëshit. 10.4. Teorema e Pitagorës. 10.5. Zbatime. 10.6. Gjatësia e harkut të rrethit. 10.7. Sipërfaqja e sektorit qarkor. 10.8. Ushtrime. Test për kreun X Kreu XI. Funksioni 11.1. Kuptimi i funksionit. 11.2. Grafiku i funksionit. 11.3. Funksioni linear. 11.4. Raste të veçanta të funksionit linear. 11.5. Studimi i funksionit linear. 11.6. Ushtrime.

12 LIBËR PËR MËSUESIN a 11.7. Funksioni përpjesëtimor i zhdrejtë y= ( a 0). 11.8. Funksioni y=x 2. x 11.9. Funksioni y=ax 2. Kreu XII. Shndërrimet gjeometrike 12.1. Koordinatat e pikës në plan. 12.2. Ushtrime. 12.3. Vektori dhe zhvendosja paralele. 12.4. Shuma e vektorëve. 12.5. Simetria qendrore. 12.6. Simetria boshtore. 12.7. Zbatime. 12.8. Rrotullimi. 12.9. Zgjerimi i figurave. 12.10. Ushtrime. Kreu XIII. Ekuacione dhe sisteme me dy ndryshore 13.1. Ekuacioni i fuqisë së parë me dy ndryshore. 13.2. Sistemi i dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore. Zgjidhja grafike e tij. 13.3. Zgjidhja e sistemeve me mënyrën e zëvendësimit. 13.4. Zgjidhja e sistemeve me mënyrën e mbledhjes. 13.5. Ushtrime. 13.6. Problema. Test për kreun XIII Kreu XIV. Gjeometria në hapësirë 14.1. Trupat gjeometrikë. 14.2. Sipërfaqet e figurave gjeometrike. 14.3. Vëllimi i prizmit. 14.4. Vëllimi i piramidës. 14.5. Vëllimi i cilindrit. 14.6. Ushtrime. 14.7. Plani dhe drejtëza. 14.8. Gjendja e ndërsjellët e dy drejtëzave dhe dy planeve në hapësirë. 14.9. Drejtëza pingule me planin. 14.10. Ushtrime. Test për kreun XIV Kreu XV. Statistikë dhe probabilitet 15.1. Statistika. 15.2. Paraqitja grafike 1. 15.3. Paraqitja grafike 2.

MATEMATIKA 8 13 15.4. Mesataret. 15.5. Ushtrime. 15.6. Ushtrime. 15.7. Probabiliteti. 15.8. Ushtrime. 15.9. Probabiliteti statistikor. 15.10. Ushtrime. I.4 Objektivat sipas krerëve në tre nivele Kreu I: Thyesat dhe numrat dhjetorë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të shprehin sasi me anë të numrave dhjetorë e thyesave të zakonshme. Të krahasojnë dy thyesa të thjeshta, duke i kthyer në emërues të përbashkët. Të krahasojnë një thyesë të thjeshtë me një numër dhjetor. Nëse është e mundur, të kthejnë thyesat e zakonshme në numra dhjetorë. Kur thyesa e zakonshme kthehet në numër dhjetor periodik, të tregojnë periodën dhe paraperiodën. Të shkruajnë një thyesë të zakonshme, të thjeshtë apo numër dhjetor, si përqindje e anasjellas. Të zbatojnë algoritmet e veprimeve me thyesa të zakonshme, të thjeshta e numra dhjetorë. Të gjejnë përqindjen e një numri të dhënë; të gjejnë numrin, kur njihet përqindja e tij. Të gjejnë vlerën e një shprehje të thjeshtë me një kllapë, me thyesa apo me numra dhjetorë. Të njehsojnë me makinë llogaritëse vlerën e një shprehje numerike pa kllapa, me numra dhjetorë. Të zbatojnë njohuritë për thyesat e zakonshme, numrat dhjetorë e përqindjet, për zgjidhjen e problemave të thjeshta me 1-2 veprime, përfshirë edhe problema mbi interesin bankar. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të kthejnë një numër dhjetor periodik në thyesë të zakonshme. Të njehsojnë, me makinë llogaritëse vlerën e një shprehje numerike me disa veprime, me 1-2 kllapa me numra dhjetorë. Të zbatojnë përqindjen në situata praktike. Të bëjnë parashikimin e rezultatit të veprimit, në situata të thjeshta. Të përdorin mënyra të thjeshta për:

14 LIBËR PËR MËSUESIN a) parashikimin e rrumbullakosur të përfundimit; b) kontrollin e përfundimit. Të zbatojnë njohuritë për thyesat, numrat dhjetorë e përqindjet, për zgjidhjen e problemave të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të kryejnë saktë e me lehtësi algoritmet e veprimeve me thyesa e me numra dhjetorë, me disa mënyra, duke dhënë shpjegime të plota. Të zgjidhin situata të reja me thyesa të zakonshme, numra dhjetorë e përqindje, me të dhëna të plota, të tepërta apo të mangëta. Të përdorin trajtat e njëvlershme për kthimin e numrit në situata problemore. Të bëjnë parashikimin e rezultatit të veprimit në situata praktike. Kreu II: Bashkësitë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të dallojnë nëse, një grumbull objektesh formon bashkësi. Të tregojnë përkatësinë e elementeve, për një bashkësi të dhënë, duke përdorur simbolet ;. Të japin nënbashkësi të një bashkësie të fundme, të dhënë. Të paraqesin me diagram të Venit, një bashkësi të fundme. Të japin me emërtim një bashkësi të fundme, dhënë me veti karakteristike. Të dallojnë nëse dy bashkësi të fundme, dhënë me emërtim janë apo jo të barabarta. Të gjejnë prerjen dhe bashkimin e dy bashkësive të fundme, dhënë me emërtim. Të përdorin saktë simbolet N, Z, Q. Të paraqesin përfshirjet për to me diagram të Venit. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të gjejnë, në raste të thjeshta, vetinë karakteristike të bashkësive të fundme, dhënë me emërtim. Të përshkruajnë kuptimin e ndryshores. A. Të dallojnë nëse janë të barabarta dy bashkësi të fundme, dhënë me veti karakteristike. Të gjejnë prerjen dhe bashkimin e dy bashkësive të fundme, të dhëna me veti karakteristike. Të tregojnë nënbashkësi për një bashkësi të pafundme. Të zgjidhin në Q ekuacione të trajtës (x-a)(x-b)=0, duke shkruar bashkësinë e rrënjëve. Të përdorin njohuritë, për prerjen dhe bashkimin e dy bashkësive, në situata të thjeshta të simuluara. Të lexojnë shënime të trajtës = { x N / x < 5}

MATEMATIKA 8 15 Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të shkruajnë në trajtën A = { x E / x gëzon vetinë p(x)}, bashkësi të dhëna me mënyra të tjera. Të përdorin kuptimin e marrëdhënieve ndërmjet bashkësive (barazimi, përfshirja, prerja, bashkimi), në situata problemore, praktike apo të simuluara. Kreu III: Hyrje në gjeometri Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përfytyrojnë figurat si bashkësi pikash. Të shprehin me fjalë vetitë themelore të drejtëzës. Të dallojnë radhitjen e tri pikave në drejtëz. Të përdorin saktë shënimin [AB] për segmentin. Të dallojnë gjysmëdrejtëza plotësuese në një drejtëz. Të lexojnë e të shënojnë në mënyra të ndryshme një kënd. Të dallojnë, në një situatë të dhënë, llojet e këndeve (afërndenjës, të bashkëmbështetur, të shtrirë, të drejtë, të kundërt në kulm). Të dallojnë në një bashkësi të dhënë figurash të thjeshta, figura kongruente (në veçanti, segmente dhe kënde). Të ndërtojnë segment kongruent me një segment të dhënë. Të ndërtojnë kënd kongruent me një kënd të dhënë. Të matin me përafërsi të dhënë, gjatësinë e një segmenti. Të përdorin saktë shënimin AOB ose AOB, për masën e këndit. Të gjejnë masën e këndit me raportor. Të dallojnë që pika, drejtëza, plani janë kuptime që nuk përkufizohen. Të dallojnë që aksiomat nuk vërtetohen. Të formulojnë disa aksioma të thjeshta; të formulojnë disa teorema të thjeshta. Në teoremat e formuluara në trajtën standarde në qoftë se p, atëherë q, të dallojnë kushtin dhe përfundimin. Të përdorin teoremën për masat e këndeve të kundërt në kulm, në raste shumë të thjeshta. Të ndërtojnë me mjete dy drejtëza pingule. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të formulojnë vetitë themelore të figurave më të thjeshta gjeometrike dhe t i përdorin ato në situata problemore të thjeshta. Të vizatojnë me vegla, figurat më të thjeshta gjeometrike, kur janë dhënë elemente

16 LIBËR PËR MËSUESIN përcaktuese të tyre. Të japin kuptimin e masës së segmentit dhe të tregojnë vetitë themelore të saj. Të japin kuptimin e masës së këndit dhe të tregojnë vetitë themelore të saj. Të përshkruajnë kuptimin e aksiomës dhe atë të teoremës. Të riprodhojnë vërtetimin për disa teorema të thjeshta. (si ajo për këndet e kundërt në kulm). Të japin disa përkufizime kuptimesh të thjeshta. Ndër fjalitë e shqyrtuara matematike, të dallojnë aksiomat nga teoremat. Të formulojnë veti të thjeshta të drejtëzave pingule dhe t i përdorin në raste të thjeshta. Të zbulojnë fjali matematike me anë matjesh direkte dhe t i vërtetojnë ato. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të zbulojnë veti për figurat më të thjeshta gjeometrike dhe t i vërtetojnë ato, në bazë të vetive të njohura. Të përdorin vetitë e njohura të figurave të thjeshta gjeometrike për zgjidhjen e problemave, me njehsim apo me vërtetim. Të sjellin teoremat me formulime të ndryshme në trajtën standard në qoftë se p, atëherë q. Kreu IV: Fuqitë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin saktë termat fuqi, bazë, eksponent në shkrimin dhe leximin e një fuqie. Të gjejnë fuqinë me eksponent natyror e të plotë të një numri racional të thjeshtë, të dhënë. Të përcaktojnë shenjën e fuqive me eksponent natyrorë të numrave negativë. 0 n Të përdorin lirisht marrëveshjet për a dhe a në njehsime. Të zbatojnë pesë vetitë e fuqive me eksponent të plotë, në njehsime konkrete të drejtpërdrejta. Të shkruajnë numrat dhjetorë në trajtën standarde dhe anasjellas. Të njehsojnë vlerën e shprehjeve numerike të thjeshta, me dy-tre veprime, që përmbajnë fuqi, duke respektuar radhën e veprimeve. Të gjejnë me afërsi rrënjën katrore të numrave natyrorë apo dhjetorë, me anë të makinës llogaritëse. Të përdorin lirisht makinën llogaritëse për njehsimin e vlerës së shprehjes numerike të thjeshtë, me deri në një kllapë, me katër veprimet aritmetike dhe me fuqi. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të shprehin me fjalë e shkronja vetitë e fuqive me eksponentë të plotë.

MATEMATIKA 8 17 T i përdorin këto veti për shndërrime të thjeshta të shprehjeve dhe për njehsime. Të njehsojnë vlerën e shprehjeve numerike me 1-2 kllapa dhe me fuqi, duke respektuar radhën e veprimeve. Të kryejnë veprime aritmetike me numra, të dhënë në trajtën standard. Të përdorin makinën llogaritëse për llogaritjen e vlerës së shprehjeve numerike të thjeshta, me një deri dy kllapa, me veprime aritmetike dhe të ngritjes në fuqi. Të shkruajnë masa të madhësive fizike konkrete, në trajtën standard. Të përdorin kuptimin e fuqisë dhe të rrënjës katrore për zgjidhjen e problemave të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të vërtetojnë disa nga vetitë e fuqive me eksponentë negativë. Të kryejnë veprime me fuqitë në situata problemore, duke zbatuar vetitë. Të përdorin vetitë e fuqive me eksponent të plotë, për vërtetime identitetesh shkronjorë. Kreu V: Kongruenca e trekëndëshave Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të formulojnë me fjalë tre rastet e kongruencës së trekëndëshave. Në dy trekëndësha, që janë kongruentë (sipas ndonjë rasti), të shkruajnë barazimin e elementeve kongruente. Të zbulojnë kongruencën e dy trekëndëshave, me anë të matjeve të drejtpërdrejta. Të përdorin në raste të drejtpërdrejta faktin që, në trekëndësha kongruentë përballë brinjëve kongruente ndodhen kënde kongruentë e anasjellas. Të ndërtojnë trekëndëshin në rastin BKB, KBK, BBB. Të bëjnë zbatime të drejtpërdrejta të teoremave të shqyrtuara, në raste shumë të thjeshtë, kur plotësohen kushtet e tyre. Të formulojnë, për trekëndëshin dybrinjënjëshëm, vetinë për këndet e bazës dhe vetinë për mesoren e bazës. T i përdorin këto dy veti në raste të drejtpërdrejta. Të formulojnë fjalinë e anasjellë të fjalisë së dhënë, në trajtën standard në qoftë se p, atëherë q. Të japin shembuj fjalish të anasjella, që nuk janë teorema. Të tregojnë, me anë të një kundërshembulli, fjali që nuk janë teorema. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të riprodhojnë vërtetimet e teoremave, për tre rastet e kongruencës së trekëndëshave. Të vërtetojnë dy vetitë për trekëndëshin dybrinjënjëshëm.

18 LIBËR PËR MËSUESIN Për teoremat e shqyrtuara, të shqyrtojnë vërtetësinë e fjalive të anasjella. T i përdorin tre rastet e kongruencës së trekëndëshave në problema të thjeshta njehsimi e vërtetimi. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të zbatojnë teoremat për tre rastet e kongruencës së trekëndëshave, në situata të reja, praktike apo të simuluara. Të zbulojnë veti për brinjët e këndet në figura, që përbëhen nga trekëndësha. T i vërtetojnë këto veti, në bazë të rasteve të kongruencës së trekëndëshave. Të shqyrtojnë kongruencën e trekëndëshave, që kanë nga dy brinjë e një kënd përkatësisht kongruentë. Të nxjerrin raste të kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë. Kreu VI: Shprehje me ndryshore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të gjejnë vlerën e një shprehje numerike të thjeshtë, me 1-2 kllapa, me numra racionalë të thjeshtë, duke respektuar radhën e veprimeve. Të gjejnë vlerën e një shprehje të thjeshtë (raport monomesh apo polinomesh të rregullt), me një ndryshore, për vlera të thjeshta të ndryshores. Të kontrollojnë nëse një vlerë e caktuar e ndryshores është e palejuar, në një shprehje të tillë. Të japin shembuj shprehjesh identike dhe shprehjesh jo identike në Q. Të përdorin vetinë e përdasimit, për të shndërruar shprehje të trajtës. Të faktorizojnë shprehje të trajtës. Të përdorin vetitë e fuqive për të sjellë monomin në trajtë të rregullt. Të dallojnë nëse dy monome janë të ngjashëm. Të bëjnë reduktimet në një shumë algjebrike, me 1-2 lloje monomesh të ngjashëm. Të gjejnë shumën dhe ndryshesën e dy trinomeve, me 1-2 ndryshore të trajtës së rregullt. Të kryejnë shumëzimin e monomit me një polinom të trajtës së rregullt. Të faktorizojnë, me nxjerrje në dukje, shumën dhe ndryshesën e dy monomeve të thjeshtë. Të kryejnë shumëzimin e dy binomeve apo të një binomi me një trinom të trajtës së rregullt, me një apo dy ndryshore. Të bëjnë faktorizim me grupim, në raste shumë të thjeshta, si p.sh. 3x+3y+ax+ay. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin ndryshoren dhe shprehjen me ndryshore, për të modeluar marrëdhënie numerike, në situata të thjeshta.

MATEMATIKA 8 19 Të gjejnë vlerën e palejuar të ndryshores në shprehje të trajtës, ku P(x) është polinom i rregullt. Të formulojnë përkufizimin e dy shprehjeve identike në E. Të japin me shkronja vetitë e veprimeve dhe të argumentojnë, në bazë të tyre, shndërrime të thjeshta identike në Q. Të reduktojnë një shumë algjebrike, me dy deri tri lloje monomesh të ngjashëm të trajtës së rregullt. Të bëjnë reduktimin e polinomit me një apo dy ndryshore, duke e kthyer atë më parë në trajtë të rregullt. Të gjejnë shumën apo ndryshesën e dy polinomeve me dy ndryshore. Të formulojnë rregullën për gjetjen e faktorit të përbashkët që nxirret në dukje. Ta përdorin atë për të faktorizuar, me nxjerrje në dukje, një polinom të rregullt, me një deri dy ndryshore. Të kryejnë shumëzimin e një binomi me një trinom (me një deri dy ndryshore), duke bërë edhe reduktimin e kufizave të ngjashme. Të bëjnë faktorizim me grupim në raste të thjeshta, kur ka edhe fuqi. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të bëjnë shumëzimin e dy polinomeve çfarëdo, me një deri dy ndryshore, duke bërë edhe reduktimin e kufizave të ngjashme. Të përdorin faktorizimin me grupim, në raste komplekse, duke bërë shndërrime të përshtatshme të polinomit fillestar. Të vërtetojnë identitete të thjeshta polinomesh me një deri dy ndryshore. Kreu VII: Njohuri të tjera gjeometrike Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin në raste të drejtpërdrejta, teoremën mbi barazimin e dy këndeve përgjegjës (apo ndërrues të brendshëm), të formuar nga prerja e dy drejtëzave paralele me një të tretë. Kur dy drejtëza paralele priten me një të tretë, të gjejnë masat e këndeve, duke njohur njërin prej tyre. Të dallojnë paralelizmin (ose jo) të dy drejtëzave paralele, duke krahasuar dy kënde, të formuar nga prerja e tyre me një drejtëz të tretë. Të formulojnë aksiomën e paraleleve. Të ndërtojnë drejtëza paralele, duke përdorur vizoren dhe trekëndëshin e vizatimit. Të përdorin në raste shumë të thjeshta, teoremën mbi shumën e masave të këndeve të trekëndëshit.

20 LIBËR PËR MËSUESIN Të krahasojnë dy brinjë (dy kënde) të trekëndëshit, kur njihen masat e dy këndeve (dy brinjëve) përballë tyre. Të dallojnë llojet e trekëndëshave sipas brinjëve (sipas këndeve) dhe të listojnë veti të thjeshta të tyre. Të listojnë e të përdorin, në raste të thjeshta veti të trekëndëshit kënddrejtë. Të kontrollojnë nëse, tri segmente me masa të dhëna mund të formojnë trekëndësh. Të zbatojnë në raste të drejtpërdrejta kongruencën e trekëndëshave kënddrejtë. Të tregojnë në një rreth korda, diametra, tangjente. Të ndërtojnë, me mjete, tangjenten ndaj rrethit në një pikë të tij. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin në raste të thjeshta, kushtet e mjaftueshme për paralelizmin e dy drejtëzave, prerë nga një e tretë. Të ndërtojnë, nga një pikë jashtë drejtëzës, paralelen me të. Të riprodhojnë vërtetimin mbi barazimin e dy këndeve përgjegjës (apo ndërrues të brendshëm), të dy drejtëzave paralele, prerë nga një e tretë. T i përdorin këto teorema në problema të thjeshta njehsimi. Të vërtetojnë teoremën mbi shumën e masave të këndeve të trekëndëshit dhe ta përdorin në problema të thjeshta. Të bëjnë krahasimin e këndeve (apo brinjëve) të trekëndëshit, në raste të thjeshta, por jo të drejtpërdrejta. Të përdorin në raste të thjeshta veti të trekëndëshit kënddrejtë. Të riprodhojnë teoremën për katetin përballë këndit 30 0 dhe ta përdorin në problema të thjeshta. Të formulojnë, me fjalë e shkronja, mosbarazimin e trekëndëshit dhe ta përdorin atë në raste të thjeshta. Të zbatojnë në problema të thjeshta kongruencën e trekëndëshave kënddrejtë. Të vërtetojnë vetinë e drejtëzës që kalon nga qendra e rrethit, pingule me një kordë, e ta përdorin në problema të thjeshta. Të vërtetojnë teoremën mbi segmentet e tangjenteve, të hequra ndaj rrethit nga një pikë jashtë tij dhe ta përdorin në problema të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të vërtetojnë teorema të anasjella të disa teoremave të shqyrtuara (p.sh. për rastin kur kateti është sa gjysma e hipotenuzës). Të vërtetojnë teoremat, për rastet e kongruencës së trekëndëshave kënddrejtë. Të zbulojnë veti të reja për brinjët dhe këndet, në trekëndësha dhe në figura, që ndahen në trekëndësha dhe t i vërtetojnë ato në bazë të vetive të njohura. Të përdorin vetitë e njohura të figurave gjeometrike, për zgjidhjen e problemave me njehsim apo vërtetim, në situata të reja.

MATEMATIKA 8 21 Kreu VIII: Formula të rëndësishme Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: a ± b ; (a-b)(a+b). T i zbatojnë ato në raste të thjeshta si: Të shkruajnë formulat për ( ) 2 ; ; (ax+by)(ax-by). Të thjeshtojnë dy thyesa, kur gjymtyrët janë monome të rregullt, me një deri dy ndryshore. Të faktorizojnë shprehje të trajtës: ; a 2 -b 2. Të faktorizojnë shprehje të trajtës: ax 2 -ay 2 ; ax 2 +2ax+a. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: a ± b ; (a-b)(a+b). T i përdorin këto formula për rastin e shumës (ndryshesës) së dy monomeve të rregullt, me një deri dy ndryshore. Të vërtetojnë identitete të thjeshta, duke përdorur formulat. Të thjeshtojnë thyesa racionale të thjeshta, duke bërë më parë faktorizime sipas këtyre formulave, në numërues dhe në emërues. Të faktorizojnë polinome me një deri dy ndryshore, duke bërë nxjerrje në dukje të faktorit të përbashkët e pastaj përdorim të këtyre formulave. Të kryejnë faktorizime të thjeshta me grupim, në raste si: ax 3 +ax 2 +ax+a. Të vërtetojnë formulat për ( ) 2 Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të kryejnë faktorizime me grupim në raste jo standarde, pas shndërrimesh të përshtatshme. Të kryejnë faktorizime, ku kombinohen: nxjerrja në dukje, formulat e rëndësishme, faktorizimi me grupim. Të zbërthejnë, kur është e mundur, trinomin e fuqisë së dytë me një ndryshore në faktorë linearë. Të vërtetojnë identitete në situata jo standarde. Kreu IX: Ekuacione dhe inekuacione me një ndryshore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

22 LIBËR PËR MËSUESIN Të dallojnë nëse, një vlerë e thjeshtë e ndryshores është rrënjë për ekuacionin ax+b=cx+d; ax 2 +bx+c=0. Të formulojnë tri teoremat për njëvlershmërinë e ekuacioneve me një ndryshore në Q. T i përdorin këto teorema në raste shumë të thjeshta. Të zgjidhin ekuacione të trajtave ax+b=cx+d;, me numra racionalë të thjeshtë. Të zgjidhin ekuacione të trajtave ax 2 =b; (x-a)(x-b)=0; ax 2 +bx=0, pa përdorur formulën. Të zgjidhin ekuacione me ndryshore në emërues të trajtave, me koeficient të plotë, duke përjashtuar vlerat e ndryshores që janë të palejuara. Të njehsojnë dallorin për ekuacionin ax 2 +bx+c=0. Të zgjidhin ekuacionin e fuqisë së dytë të trajtës standard ax 2 +bx+c=0, me koeficient të plotë dhe a>0. Të veçojnë njërën nga shkronjat në formulat ax+by=c; y=ax 2 (a>0). Të përdorin, në raste të drejtpërdrejta, teoremat për shndërrimet e njëvlershme të inekuacioneve me një ndryshore në Q. Në veçanti, të ndërrojnë kahun në këta inekuacione, kur ndërrojnë shenjat e të dyja anëve. Të zgjidhin inekuacione të trajtave ax+b>cx+d, me koeficientë të plotë. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të japin përkufizimin e ekuacioneve të njëvlershëm në E. Të përdorin teoremat mbi njëvlershmërinë, për të sjellë ekuacionet e thjeshtë, me një ndryshore, në trajtat ax=b, ax 2 +bx+c=0, duke argumentuar shndërrimet. Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën (ax+b)(cx+d)=0, me shndërrime të thjeshta. Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë që sillen në trajtat ;, kur emëruesi i përbashkët gjendet drejtpërdrejtë. Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën ax 2 +bx+c=0, me shndërrime të njëvlershme të thjeshta. Të shkruajnë dhe të bëjnë interpretime të thjeshta të formulës, për rrënjët e ekuacionit ax 2 +bx+c=0. Të zgjidhin ekuacione të thjeshtë të fuqisë së dytë, me koeficientë shkronjorë (p.sh. 3x 2-7ax+2a 2 =0). Të zgjidhin problema të thjeshta, që çojnë në ekuacione të fuqisë së parë apo të dytë, me një ndryshore. Të japin përkufizimin e zgjidhjes së inekuacioneve me një ndryshore. Të japin përkufizimin e dy inekuacioneve (me një ndryshore) të njëvlershëm në E.

MATEMATIKA 8 23 Të formulojnë teoremat për njëvlershmërinë e inekuacioneve, me një ndryshore në Q. T i përdorin këto teorema për të bërë shndërrime të thjeshta të njëvlershme në inekuacione, duke argumentuar. Të zgjidhin inekuacione të thjeshta, që sillen në trajtën ax+b>cx+d, me shndërrime të njëvlershme. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të tregojnë shndërrime, që nuk çojnë në ekuacione të njëvlershëm. Të tregojnë shndërrime, që nuk çojnë në inekuacione të njëvlershëm. Të zgjidhin ekuacione që sillen në trajtën f(x) g(x)=0, ku f(x), g(x) janë binome të fuqisë së parë apo trinome të fuqisë së dytë, me një ndryshore. Të zgjidhin ekuacione me ndryshore në emërues, që sillen në ekuacione të fuqisë së parë apo të dytë, kur për gjetjen e emëruesit të përbashkët duhen bërë faktorizime. Të zgjidhin problema nga situata të reja apo komplekse, me anë të ekuacioneve të fuqisë së parë apo të dytë, me një ndryshore. Të zgjidhin problema të thjeshta që çojnë në inekuacione të trajtës ax+b>cx+d. Kreu X: Matjet Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin skemën, për kalimin nga një njësi matëse e gjatësisë (apo sipërfaqes) në një tjetër. Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrin dhe sipërfaqen e disa figurave të thjeshta, duke përdorur të dhëna të drejtpërdrejta apo duke i matur ato. Të përdorin mesataren aritmetike të vlerave të matura, si përafrim për vlerën e saktë të madhësisë. Të shprehin me fjalë e shkronja formulën për sipërfaqen e trekëndëshit dhe ta përdorin atë në problema të thjeshta njehsimi. Të formulojnë teoremën e Pitagorës; të gjejnë në trekëndëshin kënddrejtë njërën brinjë, kur njihen dy të tjerat. Të kontrollojnë, me anë të teoremës së anasjellë të Pitagorës, nëse një trekëndësh me tri brinjët e dhëna është kënddrejtë. Të gjejnë diagonalen e katrorit, me brinjë të dhënë e anasjellas. Të gjejnë lartësinë e trekëndëshit barabrinjës, me brinjë të dhënë e anasjellas. π R n Të shkruajnë e të përdorin, në raste direkte, formulën për gjatësinë e harkut = 180 dhe atë për sipërfaqen e sektorit qarkor S= π R 2 n. 360 Të gjejnë në këto formula vlerën e njërës ndryshore, kur njihen vlerat e dy të tjerave.

24 LIBËR PËR MËSUESIN Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të njehsojnë, duke përdorur formulat, perimetrat dhe sipërfaqet e disa figurave, duke i ndarë në figura të thjeshta. Të njehsojnë perimetrat dhe sipërfaqet e këtyre figurave, kur të dhënat nuk jepen të gjitha drejtpërdrejtë. Të përdorin formulat për perimetrat dhe sipërfaqet e këtyre figurave, për zgjidhjen e problemave të thjeshta me njehsim. Të nxjerrin me arsyetim disa nga formulat. Të japin kuptimin për masën e sipërfaqes. Të vërtetojnë formulën S=a b, për sipërfaqen e drejtkëndëshit, në rastin kur a, b janë numra të plotë dhe ta përdorin atë në problema të thjeshta. b h Të nxjerrin formulën S=, për sipërfaqen e trekëndëshit dhe ta përdorin atë në 2 problema të thjeshta. Të shprehin sipërfaqen e trekëndëshit në dy mënyra, për të gjetur lartësitë e tij. Të riprodhojnë vërtetimin e teoremës së Pitagorës; ta përdorin këtë teoremë për zgjidhjen e problemave të thjeshta. Të zgjidhin trekëndëshin kënddrejtë me një kënd 30 0. Të vërtetojnë formulat për diagonalen e katrorit dhe për lartësinë e trekëndëshit barabrinjës. Të nxjerrin me argumentim, formulat për gjatësinë e harkut dhe për sipërfaqen e sektorit qarkor. T i përdorin këto formula për zgjidhjen e problemave të thjeshta me njehsim. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të përdorin përafrimin gjatë matjeve, në situata të reja problemore. Të përdorin formulat për perimetrat dhe për sipërfaqet e figurave të thjeshta, në situata të reja problemore. Të nxjerrin me vërtetim formula të reja nga ato të njohurat. Kreu XI: Funksioni Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të dallojnë nëse çiftimi i dy bashkësive të fundme, dhënë me diagram shigjetor, tabelë apo grafik është funksion. Për një funksion të dhënë me diagram shigjetor, tabelë apo grafik, të shkruajnë të gjithë

MATEMATIKA 8 25 çiftet e renditur (fytyrë; shëmbëllim). Për një funksion me grafik të dhënë, të gjejnë për çdo vlerë të x, vlerën përgjegjëse të y dhe anasjellas. Për funksione linearë apo të fuqisë së dytë, të gjejnë vlerën e tij për një vlerë të thjeshtë të ndryshores dhe të ndërtojnë pikën përgjegjëse të grafikut. Të dallojnë, nëse pika me koordinata të dhëna ndodhet në grafikun e funksionit linear apo të fuqisë së dytë. Të tregojnë trajtën që ka grafiku i funksionit linear dhe ta ndërtojnë atë, duke marrë dy pika. Të gjejnë pikat, ku grafiku i funksionit y=ax+b pret boshtin Ox (boshtin Oy). Të skicojnë me pika grafikun e funksionit y= x k. Të skicojnë me pika grafikun e funksionit y=ax 2. Të ndërtojnë grafikun e funksionit linear y=ax+b, në rastet e veçanta (kur a=0 ose b=0). Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Për një funksion të dhënë grafikisht, të gjejnë bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave. Të japin përkufizimin e grafikut të funksionit. Për funksionet y=kx, y=x+k, y= x k, të gjejnë vlerën e k, kur është dhënë tabela ose grafiku. Të paraqesin me mënyra të tjera një funksion linear, të dhënë me fjalë. Të gjykojnë, sipas shenjës së parametrave, për pozicionin që zë grafiku i funksionit y=ax+b, y= x k, y=ax2. Të listojnë veti të grafikut të funksionit y=x 2, duke i argumentuar ato. Të zgjidhin problema të thjeshta që modelohen matematikisht, me anë të funksioneve y=ax+b, y=ax 2, y = x k. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të japin me formulë funksione lineare apo të trajtës y=ax 2, të dhënë me mënyra të reja. Të ndërtojnë grafikët e funksioneve y=ax+b, y = x k, y=ax2, kur bashkësia e përcaktimit është nënbashkësi e Q. Të listojnë veti të grafikut të funksionit y=ax 2, duke i argumentuar ato. Të zgjidhin situata të reja problemore, që modelohen matematikisht me anë të

26 LIBËR PËR MËSUESIN funksioneve y=ax+b, y=ax 2, y= x k. Kreu XII: Shndërrimet gjeometrike Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të gjejnë koordinatat e një pike në planin xoy; të ndërtojnë pikën në planin xoy, kur njihen koordinatat e saj (numra të thjeshtë). Të lexojnë e të shkruajnë drejt koordinatat e vektorit. Të gjejnë koordinatat e shumës së dy vektorëve. Të japin koordinatat e shëmbëllimit të një pike; të gjejnë koordinatat e fytyrës, kur njihen ato të shëmbëllimit: a) në një zhvendosje paralele me vektor të dhënë a ; b) në një zgjerim (O, k) të dhënë; c) në simetrinë ndaj origjinës O. d) në simetrinë me bosht Ox (Oy). 0. Të gjejnë shëmbëllimin e një segmenti në shndërrimet e sipërpërmendura. Të dallojnë qendra simetrie (bosht simetrie) në figura shumë të thjeshta. Të vizatojnë figura që kanë (apo nuk kanë) qendër simetrie (bosht simetrie). Të japin përkufizimin e vijës së mesme të trekëndëshit dhe të përdorin vetinë e saj në raste direkte. e) në rrotullimin (,α ) Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të japin kuptimin e vektorit dhe të koordinatave të tij. Të ndërtojnë shëmbëllimin e një shumëkëndëshi: a) në zhvendosjen paralele të dhënë me vektor a ; b) në zgjerimin e dhënë (0, k). c) në simetrinë ndaj origjinës O; d) në simetrinë me bosht Ox (Oy); e) në rrotullimin e dhënë (,α ) 0. Kur njohin fytyrën dhe shëmbëllimin e saj, sipas llojit të shndërrimit të kryer, të gjejnë: a) vektorin a të zhvendosjes paralele; b) qendrën e simetrisë; c) boshtin e simetrisë. Të plotësojnë figurën që ka bosht simetrie (qendër simetrie), kur njohin gjysmën e saj.

MATEMATIKA 8 27 Të vërtetojnë që pika e prerjes së diagonaleve është qendër simetrie për paralelogramin. Të vërtetojnë që lartësia e trekëndëshit dybrinjënjishëm është bosht simetrie për të. Të vërtetojnë teoremat mbi shëmbëllimet e një segmenti: a) në zhvendosjen paralele me një vektor a ; b) në simetrinë me qendër O; c) në zgjerimin (O, k) (k>0); Të vërtetojnë teoremën mbi vijën e mesme të trekëndëshit. Ta përdorin këtë teoremë për zgjidhjen e problemave të thjeshta, me njehsim. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të tregojnë veti të figurave të thjeshta gjeometrike, që ruhen gjatë zhvendosjes paralele, simetrisë qendrore, simetrisë boshtore, rrotullimit (O, k). Të vërtetojnë teoremën mbi shëmbëllimin e një segmenti: a) në simetrinë me bosht d; b) në rrotullimin (O, k). Të shqyrtojnë zgjerime me koeficientë negativë; të vërtetojnë e të zbatojnë veti të tyre. Të përdorin vetitë e shndërrimeve gjeometrike të studiuara, në situata problemore. Të përdorin vetinë e vijës së mesme të trekëndëshit në problema me vërtetim apo në situata të reja. Kreu XIII: Ekuacione dhe sisteme me dy ndryshore Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të gjejnë vlerën e binomit ax+by, për vlera të thjeshta të ndryshores. Të dallojnë nëse, një çift i radhitur numrash të thjeshtë është zgjidhje për ekuacionin ax+by=c. Të dallojnë nëse, një çift i radhitur numrash të thjeshtë është zgjidhje për një sistem dy ekuacionesh, të fuqisë së parë, me dy ndryshore. Të japin disa zgjidhje për ekuacionin ax+by=c. Të përdorin faktin që grafiku i ekuacionit ax+by=c është drejtëz dhe ta ndërtojnë atë me dy pika. Të ndërtojnë drejtëzat me ekuacione të trajtës x=a (y=b). Të zgjidhin një sistem dy ekuacionesh të fuqisë së parë, me dy ndryshore, në qoftë se; a) Njëri nga ekuacionet ka trajtën y=ax+b (x=cy+d). b) Koeficientët pranë x (pranë y), në ekuacionet e sistemit janë numra të kundërt. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje:

28 LIBËR PËR MËSUESIN Të japin përkufizimin e zgjidhjes së një ekuacioni me dy ndryshore. Të japin përkufizimin e zgjidhjes së një sistemi dy ekuacionesh të tillë. Të zgjidhin sistemin e dy ekuacioneve të thjeshtë, të dy ekuacioneve të fuqisë së parë me dy ndryshore, me mënyrën grafike. Të zgjidhin një sistem të tillë me mënyrën e zëvendësimit. Të zgjidhin një sistem të tillë me mënyrën e mbledhjes. Të përdorin barazimet me dy ndryshore, për të modeluar marrëdhënie numerike, në situata të thjeshta. Të zgjidhin problema të thjeshta, me anë të sistemeve të dy ekuacioneve të fuqisë së parë, me dy ndryshore. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të zgjidhin sisteme, që kthehen në sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë, me zëvendësim të ndryshoreve. Të zgjidhin grafikisht inekuacione të trajtës x>a (y<b). Të zgjidhin probleme me sisteme dy ekuacionesh të fuqisë së parë, me dy ndryshore, në situata të reja apo komplekse. Kreu XIV: Gjeometria në hapësirë Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të dallojnë në një grup trupash të dhënë apo të vizatuar kuboidin, prizmin, piramidën, cilindrin. Të listojnë veti të thjeshta të këtyre trupave. Të vizatojnë hapjet e këtyre trupave. Të dallojnë në një hapje të dhënë trupash të tillë, llojin e trupit dhe të tregojnë elemente të tij. Të skicojnë kuboidin, prizmin, piramidën. Të përshkruajnë e të matin drejtpërdrejtë lartësinë e prizmit, piramidës, cilindrit. Të njehsojnë, në raste të drejtpërdrejta, sipërfaqen anësore të kubit, kuboidit, prizmit të drejtë. Të njehsojnë vëllimin e prizmit, piramidës, cilindrit, duke përdorur të dhëna të drejtpërdrejta për sipërfaqen e bazës dhe të lartësisë. Sipas të dhënave, të dallojnë: a) gjendjen reciproke të një drejtëze e një plani në hapësirë; b) gjendjen reciproke të dy drejtëzave në hapësirë; c) gjendjen reciproke të dy planeve në hapësirë. Të dallojnë në mjedisin rrethues:

MATEMATIKA 8 29 a) plane paralelë; b) dy drejtëza të kithëta; c) drejtëza pingule me një plan. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të japin përkufizimin e planeve paralelë. Të japin përkufizimin e drejtëzës pingule me planin. Të përdorin, në raste të thjeshta, faktin që drejtëza pingule me dy drejtëza prerëse të planit është pingule me planin. Të përdorin vetitë e njohura të kuboidit, prizmit, piramidës, cilindrit, konit në raste të thjeshta njehsimesh e krahasimesh. Të japin kuptimin e vëllimit të një trupi, duke treguar vetitë e tij. Të njehsojnë vëllimin e prizmit, piramidës, cilindrit në raste të thjeshta, kur të dhënat nuk jepen direkt. Të njehsojnë vëllimin e trupave të thjeshtë, duke i ndarë ata në trupa të tillë. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të zbulojnë dhe të vërtetojnë veti të reja, nga vetitë e njohura të trupave të thjeshtë të shqyrtuar. Të përdorin formulat për vëllimin e prizmit, piramidës, cilindrit në situata të reja problemore. Të gjejnë sipërfaqen e anshme të piramidës, në situata problemore. Kreu XV: Statistikë dhe probabilitet Niveli I Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të mbledhin të dhëna sipas një qëllimi të përcaktuar dhe t i paraqesin ato në tabela të efektivave e diagrame me shtylla. Të dallojnë, për një popullim të thjeshtë, tipare diskrete dhe tipare të vazhdueshme. Nga tabela e efektivave të gjejnë dendurinë për çdo vlerë të tiparit dhe të ndërtojnë tabelën e dendurive dhe atë të dendurive relative. Të bëjnë paraqitjen grafike të efektivave dhe të ndërtojnë shumëkëndëshin statistikor përkatës. Të gjejnë, për një varg të fundmë vlerash tipari sasior diskret, mesataren aritmetike, mesoren, modën. Të lexojnë dhe të interpretojnë informacionin e dhënë me tabela, të dendurive relative dhe me grafikë. Të dallojnë nëse, rezultatet e mundshme të një prove (eksperimenti) të thjeshtë janë

30 LIBËR PËR MËSUESIN njëlloj të mundshëm. n( A) Të përdorin përcaktimin klasik të probabilitetit P ( A) =, në raste shumë të thjeshta. n( H ) Të gjejnë probabilitetin statistikor, nëpërmjet dendurisë relative në eksperimente shumë të thjeshtë, me të dhëna të plota. Niveli II Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të gjejnë, prej tabelës së efektivave, efektivat e grumbulluar dhe denduritë e grumbulluara. Të bëjnë paraqitjen grafike të efektivave të grumbulluar dhe të ndërtojnë shumëkëndëshin statistikor përkatës. Të klasifikojnë, duke paraqitur me diagram rrethor, një bashkësi sipas një kriteri që lidhet me një cilësi të elementeve të saj. Të ndërtojnë diagramin me shtylla për efektivat, dhe efektivat e grumbulluar për një tipar të vazhdueshëm dhe një ndarje të dhënë me klasa. Të japin përcaktimin klasik të probabilitetit dhe ta përdorin atë për ngjarje të thjeshta, në prova (eksperimente) të thjeshta me rezultate njëlloj të mundshëm. Të përdorin përcaktimin statistikor të probabilitetit nëpërmjet dendurisë relative dhe ta përdorin atë në raste të thjeshta, me eksperimente që i organizojnë vetë. Të dallojnë ngjarjen e kundërt të një ngjarje të dhënë dhe të gjejnë probabilitetin e saj, në raste të thjeshta. Niveli III Në mbarim të kreut, nxënësit të jenë në gjendje: Të grumbullojnë, përpunojnë dhe interpretojnë të dhëna statistikore në situata të reja, të simuluara apo reale. Për tiparin e vazhdueshëm, të realizojnë një ndarje të përshtatshme në klasa dhe të punojnë me diagrame rrethore. Të përdorin përcaktimin klasik të probabilitetit, për të gjetur probabilitetin e një ngjarje, apo të ngjarjes së kundërt të saj në situata të reja, të simuluara apo reale.