Θεωρία Θεωρία και ασκήσεις στα κλάσματα. Πως λέγονται οι όροι ενός κλάσματος. Ο αριθμός που βρίσκεται πάνω από την γραμμή του κλάσματος λέγεται αριθμητής ενώ ο αριθμός που βρίσκεται κάτω από αυτήν λέγεται παρονομαστής.. Τι δηλώνουν οι όροι ενός κλάσματος. Ο παρονομαστής ενός κλάσματος δείχνει σε πόσα ίσα μέρη χωρίστηκε η ακέραια μονάδα ενώ ο αριθμητής δείχνει πόσες κλασματικές μονάδες πήραμε.. Ποια κλάσματα λέγονται ομώνυμα και ποια ετερώνυμα. Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν ίσους παρονομαστές ενώ ετερώνυμα αυτά που δεν έχουν ίσους.. Ποια πράξη δηλώνει το κλάσμα β α Δηλώνει τη διαίρεση α:β. 4. Να μάθεις τα παρακάτω α 0 α λα α 0 λ α α α. Ποια κλάσματα λέγονται ισοδύναμα ή ίσα; Ισοδύναμα ή ίσα λέγονται τα κλάσματα που εκφράζουν το ίδιο μέρος ενός μεγέθους.. Πως από ένα κλάσμα προκύπτει ισοδύναμό του κλάσμα ; Προκύπτει με δύο τρόπους: α)αν πολλαπλασιάσουμε και τους δύο όρους του με τον ίδιο φυσικό αριθμό β) αν διαιρέσουμε και τους δύο όρους του με τον ίδιο φυσικό αριθμό.. Πως συγκρίνουμε ομώνυμα κλάσματα ; Στα ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει μεγαλύτερο αριθμητή.. Πως συγκρίνουμε ετερώνυμα κλάσματα ; Τρέπουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα και τα συγκρίνουμε όπως παραπάνω. 9. Πως συγκρίνουμε κλάσματα που έχουν τον ίδιο αριθμητή ; Από κλάσματα που έχουν τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει μικρότερο παρονομαστή. - -
0. Πως προσθέτουμε κλάσματα ; Αν τα κλάσματα είναι ομώνυμα τότε προσθέτουμε τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήνουμε παρονομαστή τον ίδιο. Αν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα τότε τα τρέπουμε σε ομώνυμα και τα προσθέτουμε με όπως προηγουμένως.. Πως πολλαπλασιάζουμε κλάσματα ; Για να πολλαπλασιάσουμε κλάσματα δεν χρειάζεται να τα μετατρέψουμε σε ομώνυμα απλώς πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή του ενός με τον αριθμητή α γ α γ του άλλου και τους παρονομαστές μεταξύ τους δηλ. β δ β δ. Πως βρίσκουμε τα ν λ ενός αριθμού α ; Πολλαπλασιάζουμε το κλάσμα ν λ με τον αριθμό α.. Ποιοι αριθμοί λέγονται αντίστροφοι ; Δύο αριθμοί λέγονται αντίστροφοι όταν το γινόμενό τους ισούται με την μονάδα 4. Πως διαιρούμε κλάσματα ; Για να διαιρέσουμε κλάσματα αντιστρέφουμε τον διαιρέτη και πολλαπλασιάζουμε τα δύο κλάσματα δηλ.. Ποιο κλάσμα λέγεται σύνθετο ; α γ α δ β δ β γ Σύνθετο κλάσμα λέγεται το κλάσμα που ο αριθμητής του ή ο παρονομαστής του ή και οι δύο είναι κλάσματα π.χ.: 4 9. Για να τρέψουμε ένα σύνθετο κλάσμα σε απλό πολλαπλασιάζουμε τους άκρους όρους και το γινόμενό τους το βάζουμε αριθμητή και το γινόμενο α β α δ των μέσων όρων το βάζουμε παρονομαστή δηλ. γ β δ δ - -
ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να γραφούν σαν κλάσματα τα πηλίκα των διαιρέσεων: α) : β) 9:0 γ) :4 δ) 4:. Να βρεθεί ποια διαίρεση παριστάνουν το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα: α) β) γ) δ) 44. Το κλάσμα να τραπεί σε ισοδύναμο κλάσμα που να έχει παρονομαστή τον αριθμό: α) β) 0 γ) δ) 0 ε) 4 στ) 4 4. Το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα να τραπεί σε ισοδύναμο με παρονομαστή το 0: 4 0 40. Το καθένα από τα παρακάτω κλάσματα να τραπεί σε ισοδύναμο με 4 9 παρονομαστή το 0 0 4 0 40 0 4 4. Να απλοποιηθούν τα κλάσματα: α) β) γ) δ) ε) στ) 4 4. Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω κλάσματα είναι ισοδύναμα: 4 4 0 4 4 4. Αφού γίνουν οι πράξεις στους όρους των κλασμάτων να τα απλοποιήσετε: + + + + A B (+ ) : ( ) (+ ) 4 4 0 4 4 0 + + + + Ε Ζ (+ ) : ( ) (+ ) + 0 Ε (9 ) ( ) 4 + Η ( + 4) 9. Να συγκριθούν τα κλάσματα στις παρακάτω ομάδες: α) 4 9 4 4 9 0 β) γ) 4 9 4 - -
0. Να συγκρίνεται με το τα κλάσματα: 9. 4 9 4. Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το /9 και μικρότερο από το /9.. Να βρεθεί ένα κλάσμα μεγαλύτερο από το /4 και μικρότερο από το 4/.. Να γράψετε τα παρακάτω κλάσματα από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο : 4 4 4 4 4 4 9 4. α) Να γράψετε τα παρακάτω κλάσματα από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο: 9 4 β) Να βρείτε κλάσμα μεγαλύτερο από και μικρότερο από. Να γράψετε σαν μεικτούς αριθμούς τα αθροίσματα: + 9 + +. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: x k x 9 α) 0 β) 0 γ) 0 4 + k στ) x + δ) + x ε) 9. Να λυθούν οι εξισώσεις α 4 x 4 9 γ α 4 4 x β. Να υπολογιστούν τα αθροίσματα: α) + + β) + + + 9 9 9. Να βρείτε τα αθροίσματα i) + + ii) + + iii) + + + iv) + + +. 4 4 4 4 4 0. Nα βρείτε τις διαφορές α) β)- γ). 4 δ) + ε) 4 ( ) 4 4. Να βρείτε σε ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε το αριθμό για να βρούμε άθροισμα 4. - 4 -
. Να βρείτε από ποιον αριθμό πρέπει να αφαιρέσουμε τον για να βρούμε διαφορά.. Το άθροισμα δυο αριθμών είναι. Ο ένας προσθετέος είναι ο. Να βρείτε ποιος είναι ο άλλος προσθετέος. 4. Ο Γιώργος αγόρασε σοκολάτα.έδωσε το αυτής στον αδερφό του και τα στην αδερφή του. Ποιο μέρος της σοκολάτας του έμεινε;. Η Κατερίνα παίρνει από την μητέρα της κάθε μέρα το ίδιο χαρτζιλίκι. Το 4 το ξοδεύει σε φαγητό. Τα σε ψιλικά και τα υπόλοιπα τα βάζει στον κουμπαρά της. Ποιο μέρος από το χαρτζιλίκι βάζει καθημερινά στον κουμπαρά της;. Να βρείτε τα του Α όταν Α 4 : +( ) +.. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: α) ( + ) 4 + β) ( 4 4 4 4 γ) ( 4 + ) + 4 + ) + ( ). Αν τα 4 των μαθητών ενός σχολείου είναι 0 μαθητές να βρεθεί πόσους μαθητές έχει το σχολείο. 9. Ένας βοσκός έχει γίδια και πρόβατα. Από αυτά τα είναι γίδια και τα υπόλοιπα είναι πρόβατα. Πόσα είναι τα γίδια και πόσα τα πρόβατα. 0. Ένας οινοπώλης έχει 4 κιλά κρασί και πούλησε τα.πόσα κιλά κρασί πούλησε και πόσα του έμειναν.. Ο πατέρας του Νίκου πληρώνει ενοίκιο 0 και τα χρήματα αυτά αποτελούν τα του μισθού του. Πόσος είναι ο μισθός του. - -
. Να βρεθούν οι αντίστροφοι των παρακάτω αριθμών: 9. 9. Να λυθούν οι εξισώσεις: x x x x. 4 4. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις: 4 ( ) 4 9 9 ( ).. Να κάνετε τις πράξεις 4 ( ): ( ) 4 + + 4 ( + ) : + ( : ) 4 4. Να γίνουν τα σύνθετα κλάσματα απλά:. Μια δεξαμενή περιέχει 0 λίτρα πετρέλαιο και είναι γεμάτη κατά τα. Ποσά λίτρα πετρέλαιο χωράει η δεξαμενή όταν είναι γεμάτη; 4. Ένα Γυμνάσιο έχει 0 μαθητές. Απ αυτούς δήλωσαν συμμετοχή σε μια εκδρομή οι. Αν είναι γνωστό ότι για να πραγματοποιηθεί η εκδρομή πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή τουλάχιστον τα 4 να πραγματοποιηθεί η εκδρομή. 9. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i) Κ + + ii) 4 Λ iii) Μ Κ Λ 9 των μαθητών να βρείτε αν μπορεί 40. Να υπολογιστεί η τιμή των παραστάσεων Α ( + ): +0 Β4: 4 + (--)+ (--) - -
ΘΕΜΑΤΑ ΠΟΥ ΞΕΧΩΡΙΖΟΥΝ!!! 4. Αν Α i + (+) και Β : (/) i (/) α) Να βρείτε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων Α και Β προσέχοντας την προτεραιότητα των πράξεων β) Υπολογίστε το σύνθετο κλάσμα Α/Β. και απλοποιήστε το γ) είναι το κλάσμα Α/Β μεγαλύτερο του ;. 4 4. Αν είναι Α + : Β 4 υπολογίσετε: i) τα Α Β Γ ii) την παράσταση Δ Α:Β+Γ+ B A iii) Τον αντίστροφο του Δ. και Γ : + τότε να 4: + 4. Να γίνουν οι πράξεις α) A ( ) ( ) β) B + : γ) 04 4 + + :4 44. Να υπολογισθούν οι τιμές των παραστάσεων Α (4 ) : + 4 0 0 Β :. 4 4 και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α + Β + Α + Β + 4. Αν σε ένα δοχείο που είναι γεμάτο κατά το με πετρέλαιο προσθέσουμε άλλα λίτρα πετρέλαιο τότε το δοχείο θα είναι μισογεμάτο. Να βρεθεί πόσα λίτρα πετρέλαιο χωράει το δοχείο; 4. Αν Α : 4 και Β 4 + 4 να βρεθεί η τιμή της παράστασης Μ Α + Β. - -
4. Αν 4 A + + + + + + και 4 4 9 B + + + + + + 4 να βρεθεί το άθροισμα τους Α + Β και η διαφορά τους Α Β χωρίς να κάνετε ομώνυμα τα κλάσματα. 4. α) Να συγκρίνετε τα κλάσματα : 0 0 και 04 04 β) ποιο κλάσμα πρέπει να προσθέσουμε στο πρώτο κλάσμα για να βρούμε την μονάδα γ) ποιο κλάσμα πρέπει να αφαιρέσουμε από το δεύτερο κλάσμα για να βρούμε τη μονάδα ; 49. Αν α β είναι αντίστροφοι αριθμοί τότε να βρείτε την τιμή των παραστάσεων: Α (αβ) 04 +04 και Β α(β + α ) 0. Αν για τους αριθμούς α β ισχύει ότι παράστασης : A α+β β α β β α τότε να υπολογίσετε την τιμή της β Θέματα για λίγους!!!. Nα βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός ο οποίος όταν διαιρεθεί με καθένα από τα κλάσματα 9 και να δίνει ακέραιο πηλίκο.. Να δείξετε ότι: 00 0 0 0 0 0 0 0 ( + )( + )( + )...( + ) ( + )( + )( + )...( + ) 0 0 - -