Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Condtonal robablty) Συχνά μας ενδιαφέρει η συσχέτισή 2 ενδεχομένων Α και Β, δηλ. να δούμε το κατά πόσο η γνώση του ενός από τα δύο (π.χ. Β) επηρεάζει τη πιθανότητα εμφάνισης του άλλου (π.χ. Α). ( ) : δεσμευμένη ή υπο-συνθήκη πιθανότητα (condtonal probablty) να συμβεί το Α υπό την γνώση (δοθέντος) του Β. Ερμηνεία Η γνώση του Β σημαίνει ότι όλα τα αποτελέσματα του πειράματος περιορίζονται στο Β. Το Α συμβαίνει μόνο όταν το αποτέλεσμα βρίσκεται στη τομή τους. ( ) 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 1 )
Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Condtonal robablty) Συχνά μας ενδιαφέρει η συσχέτισή 2 ενδεχομένων Α και Β, δηλ. να δούμε το κατά πόσο η γνώση του ενός από τα δύο (π.χ. Β) επηρεάζει τη πιθανότητα εμφάνισης του άλλου (π.χ. Α). ( ) : δεσμευμένη ή υπο-συνθήκη πιθανότητα (condtonal probablty) να συμβεί το Α υπό την γνώση (δοθέντος) του Β. Ερμηνεία Η γνώση του Β σημαίνει ότι όλα τα αποτελέσματα του πειράματος περιορίζονται στο Β. Το Α συμβαίνει μόνο όταν το αποτέλεσμα βρίσκεται στη τομή τους. ( ) 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 2 )
Δεσμευμένη Πιθανότητα (συν.) Παρατηρήσεις: 1. Αν Α=Β τότε 2. Αν 1, 2 ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ( δηλ. 1 2 = ): 3. Ισχύει ότι ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 ' Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 3 )
Πολλαπλασιαστικός τύπος () = (,) : από-κοινού πιθανότητα (jont probablty) να συμβαίνουν ταυτόχρονα 2 ενδεχόμενα. Ερμηνεία: Για να ισχύουν ταυτόχρονα τα Α και Β θα πρέπει να ισχύει ένα από τα 2 (π.χ. το Β) και, εφόσον ισχύει αυτό, να ισχύει και το άλλο (π.χ. Α). ή Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 4 )
Παραδείγματα 1) Από δοχείο με 4 Μαύρες {1,2,3,4} και 6 Λευκές {5,6,7,8,9,10} σφαίρες επιλέγουμε μία σφαίρα και σημειώνουμε χρώμα και αριθμό. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α= σφαίρα Μαύρη, = αριθμός ζυγός, Γ= αριθμός > 5. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ( ) και ( Γ). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 5 )
Παραδείγματα 2) Η πιθανότητα να ζήσει ένας άντρας τουλάχιστον 70 έτη είναι 0.85, ενώ τουλάχιστον 75 έτη είναι 0.80. Αν επιλέξουμε έναν άντρα 70 ετών, ποια ή πιθανότητα να ζήσει τουλάχιστον επιπλέον 5 έτη? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 6 )
Παραδείγματα 3) Πολυκατάστημα μελέτησε τις αγοραστικές συνήθειες των πελατών του για 3 προϊόντα και πήρε τον διπλανό πίνακα. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες: ) Να αγοράσει τα β και γ δεδομένου ότι αγόρασε το α ) Να αγοράσει το β ή το γ δεδομένου ότι αγόρασε το α ) Να αγοράσει το α δεδομένου ότι αγόρασε τουλάχιστον ένα από τα β και γ Προϊόν Ποσοστό α 15 % β 25 % γ 38 % α & β 7 % α & γ 10 % β & γ 8 % α & β & γ 3 % Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 7 )
Παραδείγματα 4) Έστω 2 ενδεχόμενα, για τα οποία γνωρίζουμε ότι ()=0.2, ()=0.4 και ( )=0.1. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες να συμβεί: (α) τουλάχιστον ένα από τα Α, Β (β) ακριβώς ένα από τα Α, Β, (γ) κανένα από τα Α, Β. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 8 )
Παραδείγματα 5) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 9 )
Παράδειγμα Έστω δοχείο με 10 σφαίρες 4Μ και 6Λ. Επιλέγουμε διαδοχικά 2 σφαίρες. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: α) «1 η σφαίρα Μ και 2 η σφαίρα Λ» β) «1 η >> Λ και 2 η >> Μ» γ) «1 η >> Λ και 2 η >> Λ» δ) «1 η >> Μ και 2 η >> Μ» Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 10 )
Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 2. n )=( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 11 )
Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 2. n )=( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται το ενδεχόμενο Α. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 12 )
Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 2. n )=( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται το ενδεχόμενο Α. Τότε η () ονομάζεται ολική πιθανότητα (total probablty) και υπολογίζεται ως εξής: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 13 )
Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Β 1 Β n-1 Β 2 Β n Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 2. n )=( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται το ενδεχόμενο Α. Τότε η () ονομάζεται ολική πιθανότητα (total probablty) και υπολογίζεται ως εξής: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 14 )
Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας Β 1 Β n-1 Β 2 Β n Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, δηλ: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 2. n )=( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται το ενδεχόμενο Α. Τότε η () ονομάζεται ολική πιθανότητα (total probablty) και υπολογίζεται ως εξής: n n 1 2 n 1 1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 15 )
Παρατηρήσεις (1). Η έννοια της ολικής πιθανότητας σε αλληλουχία πειραμάτων και πειραμάτων με χρονική εξάρτηση Διαδικασία πειράματος: Επιλέγουμε διαδοχικά 2 σφαίρες από κουτί με Λευκές και Μαύρες σφαίρες. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η 2 η σφαίρα να είναι Λ (ολική πιθανότητα). Τότε χρονική εξάρτηση: δηλ. της μορφής (Λ 2 ) = a 1 * (Λ 1 ) + a 2 * (M 1 ) «σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων των ενδεχομένων (ή καταστάσεων ) του 1 ου πειράματος» Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 16 )
Παρατηρήσεις (1). Η έννοια της ολικής πιθανότητας σε αλληλουχία πειραμάτων και πειραμάτων με χρονική εξάρτηση Διαδικασία πειράματος: Επιλέγουμε διαδοχικά 2 σφαίρες από κουτί με Λευκές και Μαύρες σφαίρες. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η 2 η σφαίρα να είναι Λ (ολική πιθανότητα). Τότε χρονική εξάρτηση: M M 2 2 1 1 1 2 1 2 2 ο πείραμα αποτέλεσμα 1 ου πειράματος δηλ. της μορφής (Λ 2 ) = a 1 * (Λ 1 ) + a 2 * (M 1 ) «σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων των ενδεχομένων (ή καταστάσεων ) του 1 ου πειράματος» Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 17 )
Παρατηρήσεις (1). Η έννοια της ολικής πιθανότητας σε αλληλουχία πειραμάτων και πειραμάτων με χρονική εξάρτηση Διαδικασία πειράματος: Επιλέγουμε διαδοχικά 2 σφαίρες από κουτί με Λευκές και Μαύρες σφαίρες. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η 2 η σφαίρα να είναι Λ (ολική πιθανότητα). Τότε χρονική εξάρτηση: 2 2 1 M1 1 2 M1 2 M M M 1 2 1 2 δηλ. της μορφής (Λ 2 ) = a 1 * (Λ 1 ) + a 2 * (M 1 ) «σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων των ενδεχομένων (ή καταστάσεων ) του 1 ου πειράματος» 2 1 1 2 1 1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 18 )
Παρατηρήσεις (1). Η έννοια της ολικής πιθανότητας σε αλληλουχία πειραμάτων και πειραμάτων με χρονική εξάρτηση Διαδικασία πειράματος: Επιλέγουμε διαδοχικά 2 σφαίρες από κουτί με Λευκές και Μαύρες σφαίρες. Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα η 2 η σφαίρα να είναι Λ (ολική πιθανότητα). Τότε χρονική εξάρτηση: 2 2 1 M1 1 2 M1 2 M M M 1 2 1 2 δηλ. της μορφής (Λ 2 ) = a 1 * (Λ 1 ) + a 2 * (M 1 ) «σταθμισμένος μέσος όρος των πιθανοτήτων των ενδεχομένων (ή καταστάσεων ) του 1 ου πειράματος» 2 1 1 2 1 1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 19 )
(2). Δέντρο καταστάσεων του πειράματος Τα βάρη των ακμών είναι οι δεσμευμένες πιθανότητες (αδέσμευτες μόνο για το 1 ο πείραμα) (Λ 1 ) (M 1 ) 1o πείραμα Λ 1 Μ 1 (Λ 2 Λ 1 ) (Λ 2 M 1 ) (M 2 Λ 1 ) (M 2 M 1 ) 2o πείραμα Λ 2 Μ 2 Λ 2 Μ 2 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 20 )
(2). Δέντρο καταστάσεων του πειράματος (M1) (Λ1) 1o πείραμα Λ1 Μ1 (Λ2 Λ1) (Λ2 M1) 2o πείραμα (M2 Λ1) Λ2 (M2 M1) Μ2 Λ2 Μ2 Ένα μονοπάτι από την ρίζα έως τα φύλλα του δέντρου προσδιορίζει μία ολοκληρωμένη πειραματική διαδικασία ως μια αλληλουχία πειραμάτων. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 21 )
(2). Δέντρο καταστάσεων του πειράματος (M1) (Λ1) 1o πείραμα Λ1 Μ1 (Λ2 Λ1) (Λ2 M1) 2o πείραμα (M2 Λ1) Λ2 (M2 M1) Μ2 Λ2 Μ2 Ένα μονοπάτι από την ρίζα έως τα φύλλα του δέντρου προσδιορίζει την από-κοινού πιθανότητα η οποία υπολογίζεται ως το γινόμενο πιθανοτήτων των ακμών της διαδρομής. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 22 )
(2). Δέντρο καταστάσεων του πειράματος (Λ 1 ) (M 1 ) 1o πείραμα Λ 1 Μ 1 (Λ 2 Λ 1 ) (Λ 2 M 1 ) (M 2 Λ 1 ) (M 2 M 1 ) 2o πείραμα Λ 2 Μ 2 Λ 2 Μ 2 κατάσταση (state) Λ 1 και Μ 2 (Λ1 M2) = (Λ1, M2) = (Λ1) * (M2 Λ1) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 23 )
(2). Δέντρο καταστάσεων του πειράματος (Λ 1 ) (M 1 ) 1o πείραμα Λ 1 Μ 1 (Λ 2 Λ 1 ) (Λ 2 M 1 ) (M 2 Λ 1 ) (M 2 M 1 ) 2o πείραμα Λ 2 Μ 2 Λ 2 Μ 2 κατάσταση (state) Μ 1 και Λ 2 (Μ1, Λ2) = (Μ1) * (Λ2 Μ1) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 24 )
(3) Δέντρο καταστάσεων του πειράματος: επιλογή σφαίρας από κουτιά 2 κουτιά Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 25 )
(3) Δέντρο καταστάσεων του πειράματος: επιλογή σφαίρας από κουτιά 1. Επιλογή κουτιού 2. Επιλογή σφαίρας πιθανότητα Διαδικασία επιλογής Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 26 )
(3) Δέντρο καταστάσεων του πειράματος: επιλογή σφαίρας από κουτιά 1. Επιλογή κουτιού 2. Επιλογή σφαίρας πιθανότητα Πιθανότητα να επιλέξουμε τη σφαίρα 5 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 27 )
(3) Δέντρο καταστάσεων του πειράματος: επιλογή κουτιού και σφαίρας 1. Επιλογή κουτιού 2. Επιλογή σφαίρας πιθανότητα Πιθανότητα να επιλέξουμε τη σφαίρα 4 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 28 )
Παράδειγμα 1) Το 40% των μαθητών μιας τάξης είναι αγόρια (ενώ το 60% κορίτσια). Είναι γνωστό ότι τα αγόρια γνωρίζουν σκάκι σε ποσοστό 50%, ενώ το αντίστοιχο ποσοστό για τα κορίτσια είναι 60%. Να βρεθεί η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγόμενος μαθητής της τάξης να γνωρίζει σκάκι. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 29 )
Παραδείγματα 1) Για τα ενδεχόμενα Α και Β είναι γνωστό ότι ()=0.6, ()=0.7 και ( )=0.3. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες ( ) και ( ). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 30 )
2) Σε μία ιατρική μελέτη εξετάστηκαν 15,000 άτομα και βρέθηκε ότι 6,000 πάσχουν από την ασθένεια Α1, 4,500 πάσχουν από την ασθένεια Α2, ενώ 3,000 παρουσιάζουν και τις δύο ασθένειες. Να υπολογιστεί η πιθανότητα: α) Να έχει ένα άτομο την ασθένεια Α2 με δεδομένο ότι έχει την ασθένεια Α1, β) Να έχει την ασθένεια Α2 με δεδομένο ότι δεν έχει την ασθένεια Α1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 31 )
3) Το 14% των Αντρών και το 2% των Γυναικών ενός πληθυσμού έχουν ένα χαρακτηριστικό (Β). Ποια είναι η πιθανότητα ένα άτομο του πληθυσμού που επιλέγεται τυχαία να έχει το χαρακτηριστικό Β, εάν ο πληθυσμός έχει (α) 40 Άντρες και 70 Γυναίκες, (β) ίσο πλήθος Αντρών και Γυναικών, (γ) 2πλάσιο αριθμό Αντρών Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 32 )
Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes 1702-61) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 33 )
Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes 1702-61) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 34 )
Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes 1702-61) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 35 )
Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes 1702-61) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). n j1 j j Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 36 )
Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes 1702-61) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). Ολική Πιθανότητα n j1 j j Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 37 )
Ο Κανόνας (ή Νόμος) του ayes (Thomas ayes 1702-61) Έστω δ.χ. Ω με n ασυμβίβαστα ενδεχόμενα: 1 2. n = Ω, Β Β j =,j. ( 1 )+( 2 )+ +( n )=(Ω)=1 Έστω ότι εμφανίζεται τo ενδεχόμενο. Ψάχνουμε να βρούμε κατά πόσο μεταβλήθηκε η πιθανότητα του μετά την εμφάνιση του (εκ των υστέρων). Ολική Πιθανότητα n j1 j j Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 38 )
Ερμηνεία του Κανόνα του ayes n j1 j j ( ) : εκ των προτέρων (pror) πιθανότητα (πριν την εμφάνιση του Α) ( ): εκ των υστέρων (a-posteror) πιθανότητα (μετά την εμφάνιση του Α) (): είναι η ολική πιθανότητα (όρος κανονικοποίησης) Ισχύει ότι Αρχή της Μπεϋζιανής Στατιστικής (ayesan Statstcs) Συστήματα Αποφάσεων βασισμένα στην Μπεϋζιανή ανάλυση (απόφαση με βάση την εκ των υστέρων πιθανότητα) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 39 )
Ερμηνεία του Κανόνα του ayes ( ) : εκ των προτέρων (pror) πιθανότητα (πριν την εμφάνιση του Α) δηλ. η αδέσμευτη πιθανότητα n j j j 1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 40 )
Ερμηνεία του Κανόνα του ayes n j1 j j ( ) : εκ των προτέρων (pror) πιθανότητα (πριν την εμφάνιση του Α) ( ): εκ των υστέρων (a-posteror) πιθανότητα (μετά την εμφάνιση του Α) (): είναι η ολική πιθανότητα (όρος κανονικοποίησης) Ισχύει ότι Αρχή της Μπεϋζιανής Στατιστικής (ayesan Statstcs) Συστήματα Αποφάσεων βασισμένα στην Μπεϋζιανή ανάλυση (απόφαση με βάση την εκ των υστέρων πιθανότητα) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 41 )
Ερμηνεία του Κανόνα του ayes n j1 j j ( ) : εκ των προτέρων (pror) πιθανότητα (πριν την εμφάνιση του Α) ( ): εκ των υστέρων (a-posteror) πιθανότητα (μετά την εμφάνιση του Α) (): είναι η ολική (total) πιθανότητα (όρος κανονικοποίησης) Ισχύει ότι n 1 1 Αρχή της Μπεϋζιανής Στατιστικής (ayesan Statstcs) Συστήματα Αποφάσεων βασισμένα στην Μπεϋζιανή ανάλυση (απόφαση με βάση την εκ των υστέρων πιθανότητα) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 42 )
Ερμηνεία του Κανόνα του ayes n j1 j j ( ) : εκ των προτέρων (pror) πιθανότητα (πριν την εμφάνιση του Α) ( ): εκ των υστέρων (a-posteror) πιθανότητα (μετά την εμφάνιση του Α) Αρχή της Μπεϋζιανής Στατιστικής (ayesan Statstcs) Συστήματα Αποφάσεων βασισμένα στην Μπεϋζιανή ανάλυση (απόφαση με βάση την εκ των υστέρων πιθανότητα) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 43 )
Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Α Β Επιλέγουμε μία σφαίρα και την παρατηρούμε. (έστω Μαύρη) ΔΕΝ γνωρίζουμε από ποιο κουτί προέρχεται. Κάθε κουτί έχει μία βαρύτητα που δίνεται από τις εκ των προτέρων πιθανότητες, () και (). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 44 )
Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Α Β Επιλέγουμε μία σφαίρα και την παρατηρούμε. (έστω Μαύρη) ΔΕΝ γνωρίζουμε από ποιο κουτί προέρχεται. Α ή Β Κάθε κουτί έχει μία βαρύτητα που δίνεται από τις εκ των προτέρων πιθανότητες, () και (). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 45 )
Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Α Β Επιλέγουμε μία σφαίρα και την παρατηρούμε. (έστω Μαύρη) ΔΕΝ γνωρίζουμε από ποιο κουτί προέρχεται. Α ή Β Κάθε κουτί έχει διαφορετική αρχική βαρύτητα κατά την επιλογή που δίνεται από τις εκ των προτέρων πιθανότητες, () και (). Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 46 )
Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Α Β Μετά την παρατήρηση της σφαίρας ερχόμαστε εκ των υστέρων να αποφασίσουμε, με βάση τον κανόνα του ayes. Υπολογισμός των εκ των υστέρων πιθανοτήτων και απόφαση με βάση την μεγαλύτερη πιθανότητα. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 47 )
Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Α Β Μετά την παρατήρηση της σφαίρας ερχόμαστε εκ των υστέρων να αποφασίσουμε, με βάση τον κανόνα του ayes. Υπολογισμός των εκ των υστέρων πιθανοτήτων και απόφαση με βάση την μεγαλύτερη πιθανότητα. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 48 )
Έστω 2 κουτιά με λευκές με μαύρες σφαίρες (με διαφορετικές αναλογίες) Μετά την παρατήρηση της σφαίρας ερχόμαστε εκ των υστέρων να αποφασίσουμε, με βάση τον κανόνα του ayes. Υπολογισμός των εκ των υστέρων πιθανοτήτων και απόφαση με βάση την μεγαλύτερη πιθανότητα. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 49 ) Α Β M M M M M M M M M M Παράδειγμα ενός Μπεϋζιανού συστήματος αποφάσεων
Παραδείγματα (1). Φοιτητής απαντά σε ερωτήματα πολλαπλών επιλογών (multple choce). Κάθε ερώτηση έχει 4 απαντήσεις. Η πιθανότητα να γνωρίζει την σωστή απάντηση είναι 70%. Σε περίπτωση όπου δεν γνωρίζει την σωστή απάντηση, τότε απαντά τυχαία. α) Ποια η πιθανότητα να απαντήσει σωστά σε μια ερώτηση? β) Εάν είναι γνωστό ότι ο φοιτητής απαντά σωστά σε μια ερώτηση, ποια η πιθανότητα να γνώριζε την απάντηση? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 50 )
(2). Το 10% του πληθυσμού μιας πόλης έχει προσβληθεί από μια ασθένεια Β. Για την διάγνωσή της απαιτείται η διεξαγωγή ενός ιατρικού ελέγχου, ο οποίος παρουσιάζει κάποιο σφάλμα διάγνωσης. Συγκεκριμένα, αν το άτομο έχει την ασθένεια Β τότε υπάρχει 1% σφάλμα, ενώ αν δεν έχει την ασθένεια Β (υγιής) το σφάλμα ορθής διάγνωσης είναι 2%. (α) Ποια η πιθανότητα διάγνωσης της ασθένειας Β? (β) Εάν ο έλεγχος που διεξήχθη σε κάποιο άτομο είναι θετικός, ποια η πιθανότητα να έχει πράγματι προσβληθεί από την ασθένεια Β? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 51 )
(3). Μια ασφαλιστική εταιρεία έχει χαρακτηρίσει το 60% των ασφαλισμένων ως ασφαλισμένους χαμηλού κινδύνου (Χ) και τους υπόλοιπους 40% ως υψηλού (Υ). Όπως προκύπτει από τους ασφαλισμένους Χ δεν κάνουν καμία δήλωση το 80%, κάνουν μία δήλωση το 17%, ενώ σε ποσοστό 3% κάνουν πάνω από δύο δηλώσεις. Για τους ασφαλισμένους της ομάδας Υ τα αντίστοιχα ποσοστά είναι 50%,38%,12%. (α) Αν κάποιος δεν κάνει δήλωση, ποια η πιθανότητα να είναι της ομάδας Χ; (β) Αν κάποιος κάνει τουλάχιστον 2 δηλώσεις, ποια η πιθανότητα να ανήκει στο Υ; (γ) Αν κάποιος κάνει τουλάχιστον 1 δήλωση, ποια η πιθανότητα να ανήκει στο Υ; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( 52 )