ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ-ΜΑΡΙΟΣ ΓΚΟΡΤΣΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σκέδαση εδίου αό κοιλότητα αρουσία αγώγιµης σφήνας ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ-ΜΑΡΙΟΣ ΓΚΟΡΤΣΑΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΣΑΛΑΜΕΓΚΑΣ Αθήνα, Ιούλιος 6

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΟΠΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Σκέδαση εδίου αό κοιλότητα αρουσία αγώγιµης σφήνας ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ-ΜΑΡΙΟΣ ΓΚΟΡΤΣΑΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΣΑΛΑΜΕΓΚΑΣ Εγκρίθηκε αό την τριµελή εξεταστική ειτροή την 7 η Ιουλίου 6......... Ιωάννης Τσαλαµέγκας Ιωάννης Ρουµελιώτης Γεώργιος Φικιώρης Καθηγητής Ε.Μ.Π. Καθηγητής Ε.Μ.Π. Λέκτορας Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούλιος 6

Copyright Βασίλειος-Μάριος Γκορτσάς, 6 Με ειφύλαξη αντός δικαιώµατος. All rights reserved. Ααγορεύεται η αντιγραφή, αοθήκευση και διανοµή της αρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για εµορικό σκοό. Ειτρέεται η ανατύωση, αοθήκευση και διανοµή για σκοό µη κερδοσκοικό, εκαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υό την ροϋόθεση να αναφέρεται η ηγή ροέλευσης και να διατηρείται το αρόν µήνυµα. Ερωτήµατα ου αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοικό σκοό ρέει να αευθύνονται ρος τον συγγραφέα. Οι αόψεις και τα συµεράσµατα ου εριέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν ρέει να ερµηνευθεί ότι αντιροσωεύουν τις είσηµες θέσεις του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου. 3

Η αρούσα εργασία αφιερώνεται στη µητέρα µου, τον ατέρα µου και τον αδερφό µου. 4

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η σκέδαση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων αό διατάξεις ου εριλαµβάνουν κοιλότητες αοτελούν ένα ενδιαφέρον ρόβληµα λόγω των ολλών εφαρµογών ου έχουν τέτοιες διατάξεις. ιατάξεις µε κοιλότητες έχουν χρησιµοοιηθεί για ερισσότερα αό χρόνια σε συστήµατα ακτινοβολίας στις τηλεικοινωνίες και τη ραδιοαστρονοµία. Παραδείγµατα ρακτικών εφαρµογών αοτελούν η σχεδίαση µη ευαίσθητων ως ρος την όλωση κλωβών, ανακλαστικών φύλλων, διατάξεων ελέγχου της ενεργού διατοµής σκεδάσεως (RCS) και υραµιδοειδών κεραιών. Λόγω της ρακτικής τους σηµασίας διατάξεις µε κοιλότητες έχουν ευρέως µελετηθεί χρησιµοοιώντας αναλυτικές και αριθµητικές µεθόδους. Στην αρούσα εργασία µελετάται η σκέδαση αό κοιλότητα αρουσία αγώγιµης σφήνας. Η διέγερση είναι ένα κύµα Η-ολωµένο ή µια γραµµική µαγνητική ηγή. Η µελέτη ακολουθεί τα ιο κάτω στάδια : Στο κεφάλαιο γίνεται η εριγραφή της διάταξης και η κατάστρωση της ολοκληρωτικής εξίσωσης αό την οοία θα βρεθεί το άγνωστο ισοδύναµο ειφανειακό µαγνητικό ρεύµα κατά µήκος της σχισµής. Με κατάλληλους µαθηµατικούς χειρισµούς, ο υρήνας της ολοκληρωτικής εξίσωσης διασάται σε έναν ιδιόµορφο όρο κλειστής µορφής και σε έναν οµαλό όρο σε µορφή σειράς ιδιοσυναρτήσεων. Η νέα αυτή σειρά συγκλίνει οµοιόµορφα και αρκετά ταχέως. Με χρήση κατάλληλων τεχνικών ου ανατύχθηκαν στις [5], [6] η ολοκληρωτική εξίσωση διακριτοοιείται και δίνει ένα άειρο αλγεβρικό σύστηµα γραµµικών εξισώσεων ως ρος αγνώστους τους συντελεστές ανάτυξης των ρευµάτων ου δηµιουργούν το εδίο. Στο ίδιο κεφάλαιο δίνονται είσης οι εκφράσεις του µακρινού εδίου. Με βάση τα αοτελέσµατα του κεφαλαίου, στο κεφάλαιο 3 αρατίθεται λήθος αριθµητικών αοτελεσµάτων υό µορφή ινάκων και διαγραµµάτων ου αφορούν το µαγνητικό ρεύµα στη σχισµή και το διάγραµµα ακτινοβολίας για διάφορες τιµές των γεωµετρικών και ηλεκτροµαγνητικών χαρακτηριστικών της διάταξης. Λέξεις Κλειδιά Αγώγιµη σφήνα, κοιλότητες, ολοκληρωτικές εξισώσεις, συναρτήσεις Green, µέθοδος Nyströ 5

ABSTRACT Electroagnetic wave scattering fro corrugated structures constitutes an interesting proble because of the any applications of these structures. Corrugated structures have been used for ore than years in radiating systes, in telecounications, and in radio astronoy. For instance, they are eployed to realize polarization-insensitive shields, reflector panels, stealth structures in RCS-related probles, and for horn antennas. Due to their practical iportance, corrugated surfaces have been widely analyzed using analytical and nuerical ethods. The scope of this thesis is the study of the diffraction of EM waves by a cavity-backed slot that resides on the face of a conducting wedge. The excitation is either an H-polarized wave or a agnetic line-source. The study includes the following steps: The description of the configuration and the forulation of the SIE, fro which the unknown equivalent surface agnetic current across the slot will be calculated, are carried out in chapter. With the help of proper atheatical handling the kernel of the SIE is being separated in one ter that has a singular closed for and in another ter that has a noral series for. This new series is converging uniforly and very fast. With the use of proper techniques which have been developed in [5], [6] a discretization of the SIE gives an infinite linear syste with unknowns the developent coefficients of the agnetic currents that produce the field. The expression of the far field is also given in the sae chapter. Based upon chapter, there is given a great nuber of results in chapter 3 in the for of figures and tables that show the agnetic current across the slot and the radiation diagra for various values of the geoetrical and electroagnetic characteristics of the configuration. Key words Conducting wedge, cavity, singular integral equations, Green functions, Nyströ s ethod 6

. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ...8. Εισαγωγή... 8. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ.... Κατάστρωση του ροβλήµατος.... Κατάστρωση της ολοκληρωτικής εξίσωσης....3 Ολοκληρωτική ανααράσταση του εδίου... 6.4 Μετασχηµατισµός της συνάρτησης Green στην εριοχή ()... 8.5 Ειτάχυνση των ειµέρους σειρών της συνάρτησης Green στην εριοχή ()....6 ιακριτοοίηση της ολοκληρωτικής εξίσωσης... 4.7 Υολογισµός του µακρινού εδίου... 8 3. ΕΛΕΓΧΟΙ ΟΡΘΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ...3 3. Έλεγχοι ορθότητας... 3 3. Αριθµητικά αοτελέσµατα... 4 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A : Αόδειξη της σχέσης (.6.9) [5]... 83 Βιβλιογραφικές αραοµές... 85 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Εισαγωγή Η σκέδαση ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων αό διατάξεις ου εριλαµβάνουν κοιλότητες αοτελούν ένα ενδιαφέρον ρόβληµα λόγω των ολλών εφαρµογών ου έχουν τέτοιες διατάξεις. ιατάξεις µε κοιλότητες έχουν χρησιµοοιηθεί για ερισσότερα αό χρόνια σε συστήµατα ακτινοβολίας στις τηλεικοινωνίες και τη ραδιοαστρονοµία. Παραδείγµατα ρακτικών εφαρµογών αοτελούν η σχεδίαση µη ευαίσθητων ως ρος την όλωση κλωβών, ανακλαστικών φύλλων, διατάξεων ελέγχου της ενεργού διατοµής σκεδάσεως (RCS) και υραµιδοειδών κεραιών. Λόγω της ρακτικής τους σηµασίας διατάξεις µε κοιλότητες έχουν ευρέως µελετηθεί χρησιµοοιώντας αναλυτικές και αριθµητικές µεθόδους. Στην αρούσα εργασία µελετάται η σκέδαση αό κοιλότητα αρουσία αγώγιµης σφήνας. Η διέγερση είναι ένα κύµα Η-ολωµένο ή µια γραµµική µαγνητική ηγή. 8

Η µελέτη ακολουθεί τα ιο κάτω στάδια : Στο κεφάλαιο γίνεται η εριγραφή της διάταξης και η κατάστρωση της ολοκληρωτικής εξίσωσης αό την οοία θα βρεθεί το άγνωστο ισοδύναµο ειφανειακό µαγνητικό ρεύµα κατά µήκος της σχισµής. Με κατάλληλους µαθηµατικούς χειρισµούς, ο υρήνας της ολοκληρωτικής εξίσωσης διασάται σε έναν ιδιόµορφο όρο κλειστής µορφής και σε έναν οµαλό όρο σε µορφή σειράς ιδιοσυναρτήσεων. Η νέα αυτή σειρά συγκλίνει οµοιόµορφα και αρκετά ταχέως. Με χρήση κατάλληλων τεχνικών ου ανατύχθηκαν στις [5], [6] η ολοκληρωτική εξίσωση διακριτοοιείται και δίνει ένα άειρο αλγεβρικό σύστηµα γραµµικών εξισώσεων ως ρος αγνώστους τους συντελεστές ανάτυξης των ρευµάτων ου δηµιουργούν το εδίο. Στο ίδιο κεφάλαιο δίνονται είσης οι εκφράσεις του µακρινού εδίου. Με βάση τα αοτελέσµατα του κεφαλαίου, στο κεφάλαιο 3 αρατίθεται λήθος αριθµητικών αοτελεσµάτων υό µορφή ινάκων και διαγραµµάτων ου αφορούν το µαγνητικό ρεύµα στη σχισµή και το διάγραµµα ακτινοβολίας για διάφορες τιµές των γεωµετρικών και ηλεκτροµαγνητικών χαρακτηριστικών της διάταξης. Για τον έλεγχο της ορθότητας των αοτελεσµάτων χρησιµοοιήθηκαν : Η ειβεβαίωση της αρχής διατήρησης της ισχύος, P rad =P scat, όου P rad, P scat είναι η ακτινοβολούµενη και η σκεδαζόµενη ισχύς αντίστοιχα. Άµεσες συγκρίσεις µε αοτελέσµατα ροηγούµενων εργασιών σε λήθος ειδικών εριτώσεων. 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΤΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ. Κατάστρωση του ροβλήµατος Tο σχήµα δείχνει σε τοµή µία τέλεια αγώγιµη σφήνα ανοίγµατος φ, η οοία στην όψη φ= φέρει µία ηµικυκλική κοιλότητα. Η κοιλότητα, ακτίνας α, φέρει σχισµή λάτους w (α w) και ληρούται µε οµογενές ισοτροικό διηλεκτρικό (ε, µ ). Ο υόλοιος χώρος (εριοχή ()) είναι αέρας (ε, µ ). Ο άξονας της κοιλότητας βρίσκεται σε αόσταση d αό την ακµή της σφήνας. Η διάταξη εκτείνεται οµοιόµορφα και αεριόριστα κατά µήκος του άξονα των z. Η ρωτεύουσα διέγερση είναι ένα είεδο κύµα Η-όλωσης H inc = zh ) e jk ( x cosψ y sinψ ) (..) ) inc ζ H (..) inc inc E = k ροερχόµενο αό την εριοχή και ροσίτον κατά την κατεύθυνση inc k r

k inc ) ) = x cosψ y sinψ (..3) (ψ είναι η γωνία ρόστωσης). Στις (), () ζ = (..4) µ / ε k (..5) = ω ε µ Σχήµα : Γεωµετρία αγώγιµης σφήνας

. Κατάστρωση της ολοκληρωτικής εξίσωσης Σε ολικές συντεταγµένες (ρ,ψ) το εδίο ( E () () exc, exc H ) ου διεγείρεται στα σηµεία της εριοχής µε τη σχισµή βραχυκυκλωµένη δίνεται αό τις σχέσεις []: () jkd cosψ = φ H exc H e ε j J (..) = φ ( k ) ρ cos ψ φ E ) ) = x y H jωε y x ( ) exc() exc (..) µε ε = για = και ε = για. Στη συνέχεια µε ( E tot, H tot ) θα συµβολίζουµε τo ολικό εδίο στα σηµεία της εριοχής () αρουσία της σχισµής, και µε ( E, H ) το ολικό εδίο στο εσωτερικό της κοιλότητας. Η διαφορά () () () () () () ( E, H ) ( E tot E exc, H tot H exc ) = (..3) () () () () είναι το σκεδαζόµενο εδίο. Εικαλούµενοι την αρχή της ισοδυναµίας των εδίων [], η κατάστρωση του ροβλήµατος οριακών τιµών µορεί να γίνει µε βάση το σχήµα, όου µε βραχυκυκλωµένη τη σχισµή ειβάλλουµε στις δυο όψεις ( y = ± ) της ειφάνειας ( d w < x < d w, y = ) τα ισοδύναµα ειφανειακά µαγνητικά ρεύµατα ± M (x), αντίστοιχα, όου () ) () ) M ( x) = E ( x,) y = E ( x,) y (..4)

Σχήµα.: Ισοδύναµο ρόβληµα Με τη βοήθεια των συναρτήσεων Green ου αρατίθενται στον ίνακα, η κατάστρωση και η είλυση της ολοκληρωτικής εξίσωσης µορεί να γίνει όως φαίνεται στην ανάλυση ου ακολουθεί. 3

ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ GREEN (Α) Γραµµική µαγνητική ηγή στη γειτονιά τέλεια αγώγιµης σφήνας [],[6] Συµβολισµός: ρ ' = ρ'( x ', y') = ρ'( ρ', φ') =θέση της ηγής ρ = ρ( x, y) = ρ'( ρ, φ) =σηµείο αρατήρησης στο σύστηµα Ο(x,y) µε κέντρο άνω στην ακµή της σφήνας. G ( A) ωε ( ρ, ρ ') = ωε M M ε a = J H φ φ φ ε a = J H φ φ φ () ( k ρ) ( k ρ' ) cos( sφ ) cos( sφ' ) () ( k ρ' ) ( k ρ) cos( sφ ) cos( sφ' ), ρ ρ', ρ ρ' όου s = και ε = δ φ 4

(Β) Γραµµική µαγνητική ηγή στο εσωτερικό ηµικυλινδρικής κοιλότητας [6] ± [( x x' ) ( y y' ) ] / R = ± M < ) = zδ ( x x') δ ( y y') (y <). Συµβολισµός: Είσης, στο σύστηµα Ο (x,y) µε κέντρο άνω στον άξονα της σχισµής, ρ ' = ρ'( x ', y') = ρ'( ρ', φ') είναι θέση της ηγής και ρ = ρ( x, y) = ρ'( ρ, φ) είναι το σηµείο αρατήρησης G ( B) [ ] ωεμ a A J ( kρ) J ( k ρ')cos( φ)cos( φ' ) () () ( ρ ρ' ) = ωε Μ ( k R ) ( k R ) H H =, a 4 A ' = H k a) ; ε = δ ε ( 5

.3 Ολοκληρωτική ανααράσταση του εδίου Το εδίο αντού στο χώρο έχει τις συνιστώσες (Η z,e x, E y ). Οι συνιστώσες του ηλεκτρικού εδίου συνδέονται µε το Η z µε βάση τις αρακάτω σχέσεις: H = jωε Ε E E x y = = H jωε y z H jωε x z (.3.) Το ειφανειακό µαγνητικό ρεύµα M δίνεται αό τη σχέση (..4) Με αναφορά στο ισοδύναµο ρόβληµα του σχήµατος, εφαρµόζοντας το θεώρηµα της αντιστοιχίας δύο φορές, > a > = M M a M, M,, < a < a M, M = M, M (.3.) αίρνουµε w ) () ( B) M a z H ( x', y') = M z ( x) G ( x,; x', y' ) dx και w (.3.3) w ) () ( A) M a z H ( x', y') = M z ( x) G ( x,; x', y' ) dx w (.3.4) > < ) όου M a = zm δ ( x x') δ ( y y' ) (y > και y < αντίστοιχα) είναι µια βοηθητική a γραµµική µαγνητική ηγή και τα σύµβολα > και < χρησιµοοιούνται για να καθορίσουν τη θέση της γραµµικής ηγής είτε µέσα στην εριοχή (), είτε µέσα στην εριοχή (). 6

Η οριακή συνθήκη στη διαχωριστική ειφάνεια δίνει: H () () () ( x',) = H exc ( x',) H scat ( x',) ( x' w), (.3.5) ( ) G A Για y = η συνάρτηση Green ( x,; x', y' ) γίνεται G ( A) ωε ( x, x') = ωε M M ε a = J H φ φ φ () [ k ( d x) ] [ k ( d x' )], ε a = J H φ φ φ () [ k ( d x' )] [ k ( d x) ], x x' x x' (.3.6) ax in και αν θέσουµε x = ax( x, x' ), x = in( x, x' ) µορούµε να τη γράψουµε σε ενιαία µορφή ως εξής: G ( A) ωε ( x, x') = M a = ε φ J φ in () ax [ k ( d x )] H [ k ( d x )] φ (.3.7) Για τη συνάρτηση Green της εριοχής () είναι : G ( B) ωε ( x, x') = M α H () ax in ωε ax in ( x x ) ( kx ) ( kx ) M α = A J J (.3.8) Στη συνέχεια, χωρίς βλάβη της γενικότητας, για διευκόλυνση της ανάλυσής µας θα θέσουµε M =. Έτσι ροκύτει η αρακάτω ολοκληρωτική εξίσωση : a 7

w M w z ωε ( x' ) H () ax in ( k x x ) ωε A = J ( k x ax ) J ( k x in ) ωε ε = φ J φ in () ax [ k ( d x )] [ k ( d x )] dx' H φ = H exc z () ( x',) (.3.9).4 Μετασχηµατισµός της συνάρτησης Green στην εριοχή () Υό τη µορφή της σειράς (.3.6), η συνάρτηση Green αοκλίνει για x x'. Εοµένως η (.3.6) είναι ακατάλληλη αν ρόκειται να αοτελέσει τον υρήνα της ολοκληρωτικής µας εξίσωσης. Θα ροσαθήσουµε λοιόν να τη φέρουµε σε ρόσφορη µορφή αοµονώνοντας την ιδιοµορφία ου υάρχει ως εξής. Το εδίο, το οοίο ακτινοβολεί µία γραµµική µαγνητική ηγή τοοθετηµένη στη θέση ρ ' µόνη της υεράνω τελείου, αεράντου, αγωγίµου ειέδου, σε κλειστή µορφή δίνεται αό τον τύο i k Ι () H ( ρ, ρ ') = ( ρ ρ ' ) z ωµ Η k, (.4.) ενώ σε µορφή σειράς δίνεται αό τον τύο H i z Ι in () ax ε J ( kρ ) ( H k ρ ) = k ( ρ, ρ ') =, (.4.) ωµ ax in όου ρ = ax( ρ, ρ' ), ρ = in( ρ, ρ' ) 8

H i z Έτσι, ροσθέτοντας στην (.3.7) τον όρο ( ρ, ρ ') συγχρόνως αφαιρώντας τον σε µορφή σειράς, αίρνουµε σε κλειστή µορφή και G ( A) ωε ωε ( x, x') = M () ax in ( x ) a = ε φ J φ in () ax [ k ( d x )] H [ k ( d x )] ωε H x ( ) in () ε k d x J H = φ ax [ ] [ k ( d x )] (.4.3) Συνεώς η ολοκληρωτική εξίσωση γίνεται : w M w z = { ( x' ) ε ε r φ H J ax in () ax in ( k x x ) ( k x x ) () ax in ( ) ( H ε k x k r A J J x = in () ax [ k ( d x )] H [ k ( d x )] φ φ ) J in () ax [ k ( d x )] H [ k ( d x )] dx' exc() Η z ε = ( x',), όου = ωε ε = r ε ε (.4.4) 9

.5 Ειτάχυνση των ειµέρους σειρών της συνάρτησης Green στην εριοχή () Στη συνέχεια θα ειδιώξουµε να ετύχουµε ταχύτερη σύγκλιση για τις σειρές = ε φ J in () ax [ k ( d x )] H [ k ( d x )] φ φ και = J in () ax [ k( d x )] H [ k( d x )] ε της σχέσης (.4.4) Αρχικά γράφουµε κάθε σειρά έτσι ώστε ο όρος για = να είναι ξεχωριστός αό την υόλοιη σειρά, στους όρους της οοίας θα εφαρµόσουµε κάοιες αλλαγές για αύξηση της ταχύτητας σύγκλισης. = ε φ J φ in () ax [ k ( d x )] k ( d x ) H φ [ ]= = φ in () ax [ k ( d x )] H [ k ( d x )] J = ε φ J in () ax [ k ( d x )] H [ k ( d x )] φ φ (.5.)

= ε φ Αό τον γενικό όρο της σειράς J φ in () ax [ k ( d x )] [ k ( d x )] H φ θα αφαιρέσουµε την ασυµτωτική του έκφραση για, οότε θα ροκύψει µία καινούρια σειρά και στη συνέχεια θα ροσθέσουµε την κλειστή µορφή της νέας (ασυµτωτικής) σειράς. Η ασυµτωτική έκφραση του γενικού όρου της σειράς ροκύτει ως εξής: Για τις συναρτήσεις Bessel και Neuann ισχύουν οι σχέσεις [ k ( d )] in J x v ek v v in ( d x ) v (.5.) και [ k ( d )] in Y v x in ( d x ) ek v v v. (.5.3) για v. Έτσι [ ( d )] in in J k x [ k ( )] v d x Y v d v d x x in ax v (.5.4)

Συνεώς = ε φ = φ = J J φ φ in () ax [ k ( d x )] k ( d x ) H φ in () ax [ k ( d x )] H k ( d x ) J φ [ ]= [ ] in () ax [ k ( d x )] H [ k ( d x )] φ d x j d x in ax φ in d x j ln φ (.5.5) ax d x Για να φτάσουµε στην τελευταία σχέση χρησιµοοιήσαµε το αοτέλεσµα in in d x φ d x = ln φ ax ax. (.5.6) = d x d x Ακολουθώντας ακριβώς την ίδια µεθοδολογία και για τη σειρά = = J in () ax [ k( d x )] H [ k( d x )] ε έχουµε : in () ax in () ax ε J [ k( d x )] [ k( d x )] H [ ( )] [ ( )] J k d x H k d x = = J in () ax [ k ( d x )] [ k ( d x )] d x j d x j ln in H ax d x d x in ax (.5.7)

Συνεώς η ολοκληρωτική εξίσωση του ροβλήµατος είναι η εξής: w M w z () in { ε r H ax in () ax ( k x x ) ( k x ) H ( x' ) x () ax [ ] H k ( d x ) ax in r ε A J ( kx ) J ( kx ) ( in k ) d x = φ J in () ax d [ ( )] [ ( )] = J k d x H k d x j φ φ d φ d x ln d x J in () J k d x k H d x in j φ ( ) ax = in () ax [ k ( d x )] [ k ( d x )] H [ ] x x ax [ ] [ ( )] d x j d x in ax in ax φ in d x j ln exc() dx' ax = ( x',) d x ωε Η z (.5.8) 3

.6 ιακριτοοίηση της ολοκληρωτικής εξίσωσης Λαµβάνοντας υ όψιν τη συνθήκη των άκρων, το ρεύµα M (x) θα γραφεί στη z µορφή Μ( t) x M (x) =,t = z t w (.6.) µορφή Θέτουµε x=wt και x =wτ ( t, τ ) και η ολοκληρωτική εξίσωση αίρνει τη () [ ah ( kw t τ ) br( t, τ )] Μ( t) I ( t) = dτ (.6.) t όου a,b σταθερές και R ( t, τ ) οµαλή συνάρτηση των ορισµάτων της. Κάνοντας χρήση του ολοκληρωτικού τύου του Lobatto [5] ροκύτει ότι Μ( t) t L R( t, τ ) dτ = Μ( tn) R( t, t n ), (.6.3) L n= (n ) t n = cos (.6.4) L Ο ακέραιος L ειλέγεται τόσο µεγάλος όσο χρειάζεται ώστε να εξασφαλιστεί η ααιτούµενη ακρίβεια των υολογισµών. Ο L τελικά καθορίζει και το µέγεθος ( L L) του ίνακα του τελικού συστήµατος των γραµµικών αλγεβρικών εξισώσεων. 4

Το ιδιόµορφο ολοκλήρωµα Μ( t) t H () ( kw t τ ) dτ υολογίζεται µε τις τεχνικές ου εριγράφονται στην αραοµή [6]. Τέλος, θέτοντας t =, j=,,...,l, ροκύτει το αρακάτω ( ) ( L) t j L γραµµικό αλγεβρικό σύστηµα µε άγνωστο το Μ t ). ( n L L L exc() Η ( t z j w w Μ( tn) A ( k w) ε rw ( tn) ( kw) ( tn) P( t j, tn) jn Μ A jn Μ = n= n= L n= ωε j=,,,l (.6.5) ) όου ( j ) t j = cos L Η οσότητα ( k w), ροερχοµένη αό το ιδιόµορφο µέρος του υρήνα, δίδεται στην Ajn [6]. Η οσότητα P t, ), ροερχοµένη αό το οµαλό µέρος του υρήνα, έχει την αρακάτω έκφραση: ( j tn 5

Για n j P t, ) = ε ax in ( kwt ) ( k wt ) ( j tn r = A J in () ax [ k ( d wt )] [ k ( d wt )] J H J φ in () ax d wt [ ( )] [ ( )] = J k d wt H k d wt j φ φ d wt φ in d wt in () ax j ln φ [ k ( d wt )] [ k ( d wt )] ax J H d wt in in () ax [ ( )] [ ( )] d wt ε J k d wt H k d wt j ax = d wt in ax φ d wt j ln d wt in ax (.6.6) Για n=j: P t, ) = ε ax in ( kwt ) ( kwt ) ( j tn = ε φ = J r = A J J in () ax [ k ( d wt )] H [ k ( d wt )] φ φ in () ax [ k ( d wt )] H [ k ( d wt )] φ ε J j ln όου t ax =ax(t n,t j ) και t in =in(t n,t j ) (.6.7) 6

7 Για να φτάσουµε στη (.6.7) χρησιµοοιήσαµε το αοτέλεσµα = φ φ ax in ax in ln ln ln li ax in wt d wt d wt d wt d t t Το µαγνητικό ρεύµα στις διάφορες θέσεις άνω στην ειφάνεια της σχισµής ροσδιορίζεται αό τον τύο : = Μ ) ( ) ( L N N N t T a t (.6.8) όου ) ( ) ( n L n n N N t t T L a = Ν Μ = ε) (.6.9) Η αόδειξη της σχέσης (.6.9) δίνεται στο αράρτηµα A.

.7 Υολογισµός του µακρινού εδίου Γνωρίζοντας του συντελεστές ανάτυξης του µαγνητικού ρεύµατος M (x) z µορούµε να υολογίσουµε οοιοδήοτε µέγεθος ρακτικού ενδιαφέροντος αφορά τη διάταξη. Στην αράγραφο αυτή θα βρούµε την έκφραση του εδίου Η z όταν η αόσταση x, y r του σηµείου αρατήρησης P αό την αρχή Ο είναι ολύ µεγαλύτερη αό το ρ,φ µήκος κύµατος, δηλαδή για k ρ>> (Σχ. 3) Σχήµα 3 8

() Η ασυµτωτική µορφή της H ( kρ) για kρ είναι : v H v () ( kρ) j j v e kρ jkρ (.7.) Άρα για kρ G( ρ in,; ρ ax, φ) ax jkρ j e ωε = ε φ in ( kρ ) k ax = φ φ ρ j J cos φ φ και το µαγνητικό εδίο [στο σύστηµα αναφοράς Ο(ρ,φ)] δίνεται αό τον τύο : (.7.) L w H ( ρ, φ) = M ( tn ) G( d wt n,; ρ, φ), (.7.3) L n= όου {Μ(t n ), n=,,...,l} είναι η λύση της (.6.5) 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΛΕΓΧΟΙ ΟΡΘΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 3. Έλεγχοι ορθότητας Πρώτα θα ελέγξουµε την ορθότητα της συνάρτησης Green της εριοχής () για την ειδική ερίτωση όου το άνοιγµα της σφήνας είναι 7 o. Η σύγκριση θα γίνει µε το εδίο το οοίο ροκαλεί µια γραµµική µαγνητική ηγή τοοθετηµένη στη θέση (x s,y s ). Η συνάρτηση Green της εριοχής () στη θέση (x,) δίνεται αό τον τύο G ( A) ωε ( x, x') = M a = ε φ J φ in () ax [ k ( d x )] H [ k ( d x )] φ (3..) Ακολουθώντας τη µεθοδολογία ου ανατύχθηκε σε ροηγούµενη ενότητα καταλήγουµε στην εξής µορφή για τη συνάρτηση Green 3

3 ( ) [ ] ( ) [ ] ax () in '), ( x d k x d k x x H J G A = φ ( ) [ ] ( ) [ ] = ax in ax () in x d x d j x d k x d k H J φ φ φ φ ax in ln φ x d x d j ( ) [ ] ( ) [ ] ax () in x d k x d k H J ( ) [ ] ( ) [ ] = ax in ax () in x d x d j x d k x d k H J ax in ln x d x d j (3..) Το εδίο ου ροκαλεί στο χώρο µια γραµµική µαγνητική ηγή τοοθετηµένη στη θέση (x s,y s ) της διάταξης δίνεται αό τον τύο : ( ) ( ) ( ) ( ) Μ = () () 4 ), ( s s s s s y y x x k y y x x k z y x H H H ωε ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () s s s s y y x x k y y x x k H H (3..3) όου M s =. Σηµειώνουµε ότι, αό τους όρους στην αγκύλη, ο ρώτος δείχνει το εδίο ου ροκαλεί η γραµµική µαγνητική ηγή όταν δρα στον αεριόριστο κενό χώρο, ενώ οι άλλοι 3 όροι αντιροσωεύουν την συµβολή των τριών ειδώλων. Για σηµεία αρατήρησης άνω στη σχισµή (οότε y=y s =) ροκύτει ότι: ( ) ( ) [ ] () () ), ( x x k x x k z y x H H H = ωε ) (3..4)

όου x =dx ax και x =dx in ax in, µε x = ax( x, ) και x = in( x, ). x s x s ) () O όρος z ωε H ( k x x ) είναι ο όρος ου αφαιρέσαµε αό τη συνάρτηση Green. Εοµένως για την ειδική αυτή ερίτωση ρέει η (3..) να ισούται µε () ωε H H (3..5) () ax in ( k x x ) = ωε ( k d x x ) Αυτό ράγµατι συµβαίνει, όως δείχνουµε στον Πίνακα για διάφορους συνδυασµούς των ax x και in x (ή, ου είναι το ίδιο, των δεικτών n και j). 3

Πίνακας w=.5*λ, d=λ, άνοιγµα σφήνας=7 ο n j Σχέση (3..) Σχέση (3..5).985644675374 i.36974453663.98564467537547 i.37993445944.956344773389 i.7787556.956344773668 i.77344767 3 -.3588454859 i.4388888589 -.35884548583 i.438888347388 4 -.793777338374 i.48377557549 -.7937773383793 -i.483775575494 5 -.343837649637 - i.3477483579 -.343837649667 -i.34774835747.956344773389 i.7787556.956344773668 i.77344767 -.86853349956753 i.578363946 -.8685334995673 i.53595598854 3 -.7974856967 i.3545869775 -.797485689 i.3545988769735 4 -.3438376496973 - i.34774835796 -.343837649667 -i.34774835747 5 -.39377337374 -i.88594779864 -.39377337588 -i.8859477986335 3 -.3588454859 i.4388888589 -.35884548583 i.438888347388 3 -.7974856967 i.3545869775 -.797485689 i.3545988769735 3 3 -.343837649689 -i.34956759776 -.343837649667 -i.34774835747 3 4.8874497656786 i.98937885344.8874497656797 i.9893774343 3 5.383786768988 i.53896877879.3837867689877 i.538968778646 4 -.793777338374 -i.48377557549 -.7937773383793 -i.483775575494 4 -.3438376496973 -i.34774835796 -.343837649667 -i.34774835747 4 3.8874497656786 i.98937885344.8874497656797 i.9893774343 4 4.785644399394 i.9756476347.78564439934 i.978778853775` 4 5.8343495655 i.59457847.83434956495 i.594353495 5 -.343837649637 -i.3477483579 -.343837649667 -i.34774835747 5 -.39377337374 -i.88594779864 -.39377337588 -i.8859477986335 5 3.383786768988 i.53896877879.3837867689877 i.538968778646 5 4.8343495655 i.59457847.83434956495 i.594353495 5 5.7848777575 i.9795367699.78487775753 i.98695465333 33

Για τον έλεγχο της ορθότητας του αλγορίθµου χρησιµοοιήθηκαν δύο ανεξάρτητες µέθοδοι..η Αρχή διατήρησης της ισχύος Η ανά µονάδα µήκους του άξονα των z ακτινοβολούµενη και σκεδαζόµενη ισχύς (P rad, P scat ) υολογίζονται αό τις αρακάτω σχέσεις : P rad = li ρ φ ζ Η( ρ, φ) ρd φ (3..6) w P scat = * w Re H ( x,) M ( x) dx = Re exc L w L n= M ( t ) n H * exc ( t ) n (3..7) όου Η( ρ, φ) είναι το σκεδαζόµενο εδίο για ρ και δίνεται αό τη σχέση (.7.3) και {Μ(t n )} είναι η λύση της (.6.5). Θα ρέει να ισχύει P rad = P scat. Αξίζει όµως να τονιστεί ότι η ισότητα αυτή αοτελεί αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για την ορθότητα της µεθόδου. Ένας ρώτος έλεγχος γίνεται στον Πίνακα 3 για την ειδική ερίτωση όου το άνοιγµα της σφήνας είναι 8 ο. Συγκεκριµένα συγκρίνουµε το P scat της (3..7) µε το P scat της (3a) του [6] για διάφορες τιµές της γωνίας ροστώσεως. Όως βλέουµε, η συµφωνία µεταξύ των δυο µεθόδων είναι εξαιρετική. Στη συνέχεια, στους Πίνακες 4 και 5 ελέγχουµε την ισότητα των P scat και P rad για διάφορες τιµές του ανοίγµατος της σφήνας και για διάφορες τιµές της γωνίας ροστώσεως του είεδου κύµατος. 34

Πίνακας 3 P scat για w=.5*λ, α=3*λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο ψ( ο ) Παρούσα εργασία Παραοµή [6].4494979339.4494979338 5.577386496.577386496 3.94978664949.94978664948 45.35888458.35888458 6.533598485.533598485 75.46974354.46974353 9.466944447.466944447 5.46974354.46974353.533598485.533598485 35.35888458.35888458 5.94978664949.94978664948 65.577386496.577386496 8.4494979339.4494979339 35

Πίνακας 4 w=.5*λ, d=8λ, α=3*λ, άνοιγµα σφήνας=3 ο ψ( ο ) P scat P rad 3.47353496347 3.473564399 5 3.636493388954 3.63649898883 3 5.557595796 5.5575955556 45.778638846.7788589 6.7463599358.746339694888 75.356437983358.35643535399 9.5387647399.53878935579 5.477383396.477475784.935536649.9337338757 35.3485656385.3443845959 5 4.33474848 4.3356645696 65 49.893433674 49.89449975579 8 6.97666378 6.9768646 36

Πίνακας 5 w=.75λ, d=5λ, α=3λ, άνοιγµα σφήνας=7 ο ψ( ο ) P scat P rad 4.75798587 4.75795353 5.58774985947.5877443646359 3 5.55659495 5.549955836553 45.883774388.8836783687 6 4.46666773 4.4633654 75 3.666668938986 3.66666883734 9 34.53959949898 34.539599544455 37

. Συγκρίσεις µε άλλες εργασίες Πραγµατοοιήθηκαν συγκρίσεις µε αοτελέσµατα ροηγούµενων εργασιών σε ορισµένες ειδικές εριτώσεις. είγµατα των συγκρίσεων αυτών αρουσιάζονται αρακάτω. Ο ίνακας αρουσιάζει τη µεταβολή του µαγνητικού ρεύµατος σε διάφορες θέσεις κατά µήκος της σχισµής για την ειδική ερίτωση όου το άνοιγµα της σφήνας είναι 8 ο (είεδη γη) και η γωνία ρόστωσης του είεδου κύµατος είναι 9 ο. Σύγκρισή των αοτελεσµάτων µε τα αντίστοιχα ου ροκύτουν εφαρµόζοντας τη µέθοδο της [6] (µέθοδο Galerkin) δείχνουν σχεδόν αόλυτη συµφωνία. x/w This work Fro [6] agnetic current agnetic current -.9.748775947679 i 6.5967579.748775947679 - i 6.59675793 -.8.56489 i 4.889564874.56489 i 4.889564874 -.7.687685347 - i 3.368436759554.687685347 i 3.36843675955 -.6.946384466539 i.8936783494.946384466539 i.8936783494 -.5.9896345785874 i.5866873434369.9896345785873 i.5866873434369 -.4.8937864445 i.37884746574.8937864445 i.37884746575 -.3.885453837335 i.3756493653.885453837336 i.37564936534 -..883493335 i.456366659473.883493335 i.456366659473 -..883993665 i.9363873478.883993665 i.93638734779.8833874333 i.7679595337.8833874333 i.7679595337..883993664 i.93638734777.883993665 i.93638734779..883493335 i.456366659473.883493335 i.456366659473.3.885453837336 i.37564936534.885453837336 - i.3756493653.4.8937864445 i.37884746575.8937864445 i.37884746575.5.9896345785874 i.586687343437.9896345785873 - i.5866873434369.6.946384466539 i.8936783494.946384466539 - i.8936783494.7.687685347 i 3.368436759549.687685347 - i 3.36843675955.8.56489 i 4.8895648746.56489 - i 4.889564874.9.748775947679 i 6.5967579.748775947679 - i 6.59675793 38

Το σχήµα ου ακολουθεί αεικονίζει το µέτρο του µαγνητικού ρεύµατος σε διάφορες θέσεις εάνω στη σχισµή κανονικοοιηµένο ως ρος το µέγεθος ) ζ ( x =, y ) () z H exc =. Η διέγερση είναι γραµµική µαγνητική ηγή. Το σχήµα αναφέρεται στην ειδική ερίτωση όου το άνοιγµα της σφήνας είναι φ =, δηλαδή η σφήνα έχει γίνει άειρο είεδο. Είναι φανερό ως η συµφωνία µε το σχήµα 9α της [6] είναι αόλυτη. Αφού έχουµε γραµµική µαγνητική ηγή µορούµε να ακολουθήσουµε ακριβώς τη µεθοδολογία ου ροηγήθηκε σε ροηγούµενη ενότητα. Το εδίο διέγερσης στην ειδική αυτή ερίτωση δίνεται αό τη σχέση : H ) x, y) = z ωε Μ s 4 H k ( ) ( ) () x x y y k ( x x ) ( y y ) () () exc( s s s s H (3..8) Σχήµα 4: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής ου διεγείρεται αό γραµµική µαγνητική ηγή (ε r =, x s =,y s =5λ, α=3λ, f=3ghz) 39

3. Αριθµητικά αοτελέσµατα Στα σχήµατα 5 έως αεικονίζουµε το M z ( t) / ζ ( ζ = µ / ε είναι η κυµατική αντίσταση του κενού), για διάφορες τιµές του d και για διάφορες τιµές της γωνίας ρόστωσης του ειέδου κύµατος ή της θέσης της γραµµικής µαγνητικής ηγής. Θεωρήσαµε ότι η ακτίνα της ηµικυκλικής κοιλότητας είναι 3λ. Παρακάτω εξετάζουµε και την ερίτωση ου το d είναι ίσο µε το α για άνοιγµα σφήνας 9 ο και 7 ο. (Σηµείωση: Όως αναµέναµε αό τις συνθήκες των άκρων το µέτρο του µαγνητικού ρεύµατος τείνει στο άειρο στα άκρα της σχισµής). Πιο συγκεκριµένα: Στα σχήµατα 5α, 5β και 5γ δείχνουµε την είδραση της µεταβολής του d (για d=8λ, λ και λ), όταν ε r =, άνοιγµα σφήνας=3 ο, γωνία ρόστωσης είεδου κύµατος=3 ο, α=3λ, f=3ghz. 4

Σχήµα 5α: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=3 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=3 ο, d=8λ, α=3λ, f=3ghz) 4

Σχήµα 5β: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=3 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=3 ο, d=λ, α=3λ, f=3ghz) 4

Σχήµα 5γ: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=3 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=3 ο, d=λ, α=3λ, f=3ghz) 43

Στα σχήµατα 6α και 6β δείχνουµε την είδραση της µεταβολής του d (για d=5λ, και λ), όταν ε r =,άνοιγµα σφήνας=3 ο, γωνία ρόστωσης είεδου κύµατος=6 ο, α=3λ, f=3ghz. Σχήµα 6α: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=3 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=6 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 44

Στα σχήµατα 7α και 7β δείχνουµε την είδραση της µεταβολής του d (για d=5λ, και λ), όταν ε r =, άνοιγµα σφήνας=6 ο, γωνία ρόστωσης είεδου κύµατος=3 ο, α=3λ, f=3ghz. Σχήµα 7α: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=6 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=3 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 46

Στα σχήµατα 8α, 8β, 8γ, 8δ, και 8ε δείχνουµε την είδραση της µεταβολής της γωνίας ρόστωσης του είεδου κύµατος (για γωνία ρόστωσης 6 ο,9 ο, ο,5 ο και 8 ο ), όταν ε r =, άνοιγµα σφήνας=6 o, d=5λ, α=3λ, f=3ghz. Σχήµα 8α: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=6 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=6 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 48

Σχήµα 8β: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=6 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=9 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 49

Σχήµα 8γ: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=6 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος= ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 5

Σχήµα 8δ: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=6 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=5 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 5

Σχήµα 8ε: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=6 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=8 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 5

Στο σχήµα 9 εξετάζουµε την ειδική ερίτωση ου το d είναι ίσο µε το α για άνοιγµα σφήνας 9 ο. Σχήµα 9:Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=9 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=6 ο, d=3λ, α=3λ, f=3ghz) 53

Στα σχήµατα α και β δείχνουµε την είδραση της µεταβολής της γωνίας ρόστωσης του είεδου κύµατος (για γωνία ρόστωσης 6 ο και ο ), όταν ε r =,άνοιγµα σφήνας=9 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz. Σχήµα α: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=9 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=6 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 54

Σχήµα β: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=9 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος= ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 55

Στα σχήµατα α και β δείχνουµε την είδραση της µεταβολής της γωνίας ρόστωσης του είεδου κύµατος (για γωνία ρόστωσης 6 ο και ο ), όταν ε r =,άνοιγµα σφήνας=45 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz. Σχήµα α: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=45 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=6 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 56

Στα σχήµατα α και β δείχνουµε την είδραση της µεταβολής της γωνίας ρόστωσης του είεδου κύµατος (για γωνία ρόστωσης 6 ο και ο ), όταν ε r =,άνοιγµα σφήνας=8 ο,d=5λ, α=3λ, f=3ghz. Σχήµα α: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=6 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 58

Στα σχήµατα 3α, 3β, 3γ και 3δ δείχνουµε την είδραση της µεταβολής της θέσης της γραµµικής µαγνητικής ηγής όταν ε r =, d=5λ, α=3λ f=3ghz. Σχήµα 3α: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=8 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =, y s =3λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 6

Σχήµα 3β: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=8 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =, y s =6λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 6

Σχήµα 3γ: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=8 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =λ, y s =5λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 6

Σχήµα 3δ: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=8 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =4λ, y s =5λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 63

Στα σχήµατα 4α και 4β δείχνουµε την είδραση της µεταβολής του d (για d=3λ και 5λ), όταν ε r =,άνοιγµα σφήνας=7 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=6 ο, α=3λ, f=3ghz. Σχήµα 4α: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=7 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=6 ο, d=3λ, α=3λ, f=3ghz) 64

Σχήµα 4β: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=7 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος=6 ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 65

Σχήµα 5: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=7 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος= ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 66

Στα σχήµατα 6 και 7 δείχνουµε την είδραση ου ροκαλεί η µεταβολή του διηλεκτρικού της κοιλότητας (για ε r = και ε r =4) όταν άνοιγµα σφήνας=7 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος= ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz. Σχήµα 6: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =, άνοιγµα σφήνας=7 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος= ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 67

6 Σχήµα 7: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =4, άνοιγµα σφήνας=7 ο, γωνία ρόστωσης ειέδου κύµατος= ο, d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 68

Στα σχήµατα 8α, 8β, 8γ και 8δ δείχνουµε την είδραση της µεταβολής της θέσης της γραµµικής µαγνητικής ηγής όταν ε r =, d=5λ, α=3λ f=3ghz. Σχήµα 8α: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=7 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =, y s =3λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 69

Σχήµα 8β: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=7 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =, y s =6λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 7

Σχήµα 8γ: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=7 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =λ, y s =5λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 7

Σχήµα 8δ: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =,άνοιγµα σφήνας=7 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =4λ, y s =5λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 7

Στα σχήµατα 9 και δείχνουµε την είδραση ου ροκαλεί η µεταβολή του διηλεκτρικού της κοιλότητας. (για ε r = και ε r =4), όταν άνοιγµα σφήνας=7 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =4λ, y s =5λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz Σχήµα 9: Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =, άνοιγµα σφήνας=7 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =4λ, y s =5λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 73

Σχήµα : Κατανοµή κανονικοοιηµένου µέτρου µαγνητικού ρεύµατος κατά µήκος της σχισµής (ε r =4, άνοιγµα σφήνας=7 ο, θέση γραµµικής µαγνητικής ηγής στο χώρο ( x s =4λ, y s =5λ), d=5λ, α=3λ, f=3ghz) 74

Στα σχήµατα έως 3 αριστάνεται το διάγραµµα ακτινοβολίας. Για το L w διάγραµµα ακτινοβολίας ήραµε την αόλυτη τιµή του µεγέθους M ( t n ) G( φ), L j ωε = n k J (3..) όου G( φ) ε j [ k( d wt )] cos( φ) = Θα µεταβάλλουµε τα w, d και τη γωνία ρόστωσης του ειέδου κύµατος. Με την αλλαγή των χαρακτηριστικών αυτών µορούµε να εεµβαίνουµε στη µορφή και τα χαρακτηριστικά του διαγράµµατος ακτινοβολίας. Στα αρακάτω σχήµατα θα δούµε να µεταβάλλεται ο αριθµός των λοβών ακτινοβολίας και το εύρος των λοβών ακτινοβολίας. n= Στα σχήµατα α, β, γ, δ, ε και στ δείχνουµε την είδραση της µεταβολής της γωνίας ρόστωσης του είεδου κύµατος (για γωνία ρόστωσης ο, 3 ο, 6 ο, 9 ο, ο και 5 ο ), όταν ε r = w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, d=5λ, α=3λ Σχήµα (α): w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης= ο, d=5λ, α=3λ 75

Σχήµα (β) w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης=3 ο, d=5λ, α=3λ Σχήµα (γ) w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης=6 ο, d=5λ, α=3λ 76

Σχήµα (δ) w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης=9 ο, d=5λ, α=3λ Σχήµα (ε) w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης= ο, d=5λ, α=3λ 77

Σχήµα (στ) w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης=5 ο, d=5λ, α=3λ 78

Στα σχήµατα α και β δείχνουµε την είδραση της µεταβολής του w (για w=.5λ και w=λ ) όταν άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης= 3 ο, d=5λ, α=3λ. Σχήµα (α) w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης=3 ο, d=5λ, α=3λ 79

Σχήµα (β) w=λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης=3 ο, d=5λ, α=3λ 8

Στα σχήµατα 3α και 3β δείχνουµε την είδραση της µεταβολής του d (για d=3λ και 9λ), όταν w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης= 3 ο, α=3λ Σχήµα 3(α) w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης=3 ο, d=3λ, α=3λ 8

Σχήµα 3(β) w=.5λ, άνοιγµα σφήνας=8 ο, γωνία ρόστωσης=3 ο, d=9λ, α=3λ 8

83 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A : Αόδειξη της σχέσης (.6.9) [5] Θα αοδείξουµε τη σχέση (.6.9). Είναι = Μ ) ( ) ( L N N N t T a t. (A.) Πολλαλασιάζουµε και τα δύο µέλη της (Β.) µε ) ( t t T M και ολοκληρώνουµε αό t=- έως t=. dt t t t a dt t t t M L N M N N M T T T = = ) ( ) ( ) ( ) ( (A.) Το αριστερό µέλος θα ροκύψει αό τον τύο του Lobatto, ενώ το δεξί µέλος αό τη συνθήκη ορθογωνιότητας των ολυωνύµων Chebychev. Ο τύος του Lobatto δίνει: = = ) ( ) ( ) ( ) ( L n n n N N t M t L dt t t t M T T (A.3) H συνθήκη ορθογωνιότητας των ολυωνύµων Chebychev είναι η εξής : Ν = Μ Ν = Ν =,,,, ) ( ) ( M N dt t t t T T M N (A.4) Συνεώς = ) ( ) ( L n n n N t M t L T = = Ν L N N a ε ), όου Ν Ν = δ ε ) (A.5)

Άρα a N ) ε Ν = L L n= T N ( t n ) M ( t n ) (A.6) 84

Βιβλιογραφικές αραοµές [] C.A. Balanis, Advanced Engineering Electroagnetics Wiley, 989 [] A. Ishiaru, Electroagnetic Wave Propagation, Radiation, and Scattering Prentice Hall, 99 [3] M. Abraowitz and I.A. Stegun, Handbook of Matheatical Functions, New York: Dover, 97 [4] Felsen and Marcuvitz, Radiation and Scattering of Waves, IEEE Press [5] J.L. Tsalaengas, Exponentially Converging Nyströ s Methods for Systes of Singular Integral Equations With Applications to Open/Closed Strip- or Slot-Loaded -D Structures, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 54, pp.549-558, May 6 [6] J.L. Tsalaengas, TE/TM electroagnetic scattering by a slot on a ground plane and in the presence of a sei-cylindrical load, Journal of Electroagnetic Waves and Applications, vol. 8, pp 63-646, 994 [7] A. Borgioli, R. Coccioli, G. Pelosi, J.L. Volakis, Electroagnetic Scattering fro a Corrugated Wedge, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol.45, pp 65-69, August 997 [8] G. Pelosi, R. Coccioli, G. Manara, A. Monorchio, Scattering fro a wedge with cavity backed apertures in its faces and related configurations: TE case, Proc. Inst. Elect. Eng., vol. 4, pp 83-88, April 995 85

[9] R.G. Kouyoujian and P.H. Pathak, A Unifor Geoetrical Theory of Diffraction for an Edge in a Perfectly Conducting Surface, Proc IEEE, vol. 6, pp. 448-46, Noveber 974 86