Άσκηση 0 Η εταιρία ηλεκτρισμού ELECTRON έχει τρείς μονάδες ηλεκτροπαραγωγής Α, Β, C και θέλει να καλύψει τη ζήτηση σε τέσσερις πόλεις W, Χ, Υ, Ζ. Η μέγιστη παραγωγή, η απαιτούμενη ζήτηση και το κόστος μεταφοράς της ηλεκτρικής ενέργειας ( /GWh) φαίνεται στον ακόλουθο πίνακα. Πόλη Μονάδες W X Y Z Δυναμικότητα (GWh) A 800 600 000 900 35 B 900 00 300 700 50 C 400 900 600 500 40 Ζήτηση (GWh) 45 0 30 30 Ποιο είναι το βέλτιστο πρόγραμμα διανομής ηλεκτρικής ενέργειας από τις μονάδες παραγωγής της εταιρίας στις τέσσερις πόλεις;
Άσκηση 0 Μεταβλητές Απόφασης: x ij : η ποσότητα ηλεκτρισμού από την μονάδα i=a,b,c στην πόλη j= W, X, Y, Z (σύνολο ). Κριτήριο Απόφασης: z : Ελαχιστοποίηση κόστους διανομής [min]z = 800 x AW + 600 x AX + 000 x AY + 900 x AZ + 900 x BW + 00 x BX + 300 x BY + 700 x BZ + 400 x CW + 900 x CX + 600 x CY + 500 x CZ Περιορισμοί: I. Κάλυψη ζήτησης II. Περιορισμοί δυναμικότητας x AW + x BW + x CW 45 x AX + x BX + x CX 0 x AY + x BY + x CY 30 x AW + x AX + x AY + x AZ 35 x ΒW + x ΒX + x ΒY + x ΒZ 50 x CW + x CX + x CY + x CZ 40 x AZ + x BZ + x CZ 30
Άσκηση Ένας επιχειρηματίας διαθέτει μια αποθήκη που εκμεταλλεύεται ως εξής: αγοράζει ποσότητες εποχιακού προϊόντος, που η τιμή του μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια του έτους, όταν η τιμή του βρίσκεται σε χαμηλά επίπεδα, τις αποθηκεύει και μετά τις μεταπωλεί σε εποχή ανόδου της τιμής. Η χωρητικότητα της αποθήκης ανέρχεται σε 000 μονάδες του προϊόντος. Η τιμή που μπορεί να διατεθεί το προϊόν κατά τη διάρκεια του έτους είναι: ο Τρίμηνο: ο Τρίμηνο: 3ο Τρίμηνο: 4ο Τρίμηνο: 5 ευρώ / μονάδα 9 ευρώ / μονάδα ευρώ / μονάδα 3 ευρώ / μονάδα Σε κάθε τρίμηνο ο επιχειρηματίας αγοράζει και πωλεί το προϊόν στην ίδια τιμή. Το κόστος αποθήκευσης ανέρχεται σε ευρώ / μονάδα προϊόντος σε κάθε τρίμηνο και στην αρχή του έτους υπάρχει απόθεμα 500 μονάδων. Ζητείται η κατάρτιση γραμμικού υποδείγματος για την βελτιστοποίηση του προβλήματος.
Άσκηση Μεταβλητή Απόφασης: Χ ιj : Οι μονάδες προϊόντος που αγοράζει στο i τρίμηνο και πουλάει στο j τρίμηνο. Συμβολίζουμε Χ 0j τα αρχικά αποθέματα που πουλάμε στο j τρίμηνο Κριτήριο Απόφασης: Μεγιστοποίηση κέρδους maxz = (5-5) Χ + (9-5-) Χ + (-5--) Χ 3 + (3-5---) Χ 4 + (9-9) Χ + (-9-) Χ 3 + (3-9--) Χ 4 + (-) Χ 33 + (3--) Χ 34 + (3-3) Χ 44 + 5 Χ 0 + (9-) Χ 0 + (-4) Χ 03 + (3-6)Χ 04
Άσκηση Περιορισμοί: Χ 0 + Χ 0 + Χ 03 + Χ 04 500 Χ + Χ 3 + Χ 4 + Χ 0 + Χ 03 + Χ 04 000 Χ 3 + Χ 4 + Χ 3 + Χ 4 + Χ 03 + Χ 04 000 Χ 4 + Χ 4 + Χ 34 + Χ 04 000
Άσκηση Η διεύθυνση μικρής μηχανουργικής βιομηχανίας ειδικευμένης στην παραγωγή 3 τύπων οδοντωτών τροχών, τους,, 3 επιθυμεί να καταρτίσει το πρόγραμμα παραγωγής του επόμενου μήνα. Η επιχείρηση διαθέτει δύο τμήματα κατεργασίας οδοντωτών τροχών: το τμήμα Α όπου περιλαμβάνονται οι γραναζοκόπτες και το τμήμα Β όπου περιλαμβάνονται τα λειαντικά μηχανήματα. Την πρώτη ύλη (κυλίνδρους από χάλυβα έτοιμους να υποστούν κατεργασία από γραναζοκόπτη) η επιχείρηση προμηθεύεται από το εμπόριο. Στο τμήμα κατεργασίας Α (γραναζοκόπτες) υπάρχουν δύο τύποι μηχανών: μηχανές τύπου Α και μηχανές τύπου Α. Στο τμήμα κατεργασίας Β υπάρχουν επίσης δύο τύποι μηχανών: μηχανές τύπου Β και μηχανές τύπου Β.: Για να κατασκευασθεί ένας τροχός οποιουδήποτε τύπου, απαιτείται κατεργασία σε δύο μόνο μηχανές: ένα γραναζοκόπτη και ένα λειαντικό μηχάνημα. Ειδικότερα: Ο τροχός τύπου απαιτεί κατεργασία σε οποιονδήποτε τύπο γραναζοκόπτη και σε οποιονδήποτε τύπο λειαντικού μηχανήματος. Ο τροχός τύπου απαιτεί κατεργασία στον γραναζοκόπτη τύπου Α και το λειαντικό μηχάνημα τύπου Β. Ο τροχός τύπου 3 απαιτεί κατεργασία στον γραναζοκόπτη τύπου Α και το λειαντικό μηχάνημα τύπου Β. Προκειμένου να προσδιορισθεί το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής για την περίοδο του μήνα, ζητούνται:. Η ανάλυση της δράσης της επιχείρησης σε παραγωγικές δραστηριότητες.. Τα διανύσματα των δραστηριοτήτων. 3.. Οι περιορισμοί που πρέπει να ικανοποιούνται από κάθε πρόγραμμα δραστηριοτήτων. 4. Η οικονομική συνάρτηση που πρέπει να μεγιστοποιηθεί
Άσκηση
Άσκηση Δραστηριότητες: Παραγωγή τροχού τύπου Μηχ Α Μηχ Β Μηχ Α Μηχ Β Μηχ Α Μηχ Β Μηχ Α Μηχ Β Παραγωγή τροχού τύπου Παραγωγή τροχού τύπου 3 Μεταβλητές απόφασης: Χ (ΑΒ), Χ (ΑΒ), Χ (ΑΒ), Χ (ΑΒ), Χ, Χ 3, όπου Χ (ΑΒ) η ποσότητα τεμαχίων τροχού τύπου που παράγεται με γραναζοκόπτη τύπου Α και λειαντικό μηχάνημα τύπου Β. Κριτήριο Απόφασης: Μεγιστοποίηση κέρδους
Άσκηση Περιορισμοί: x x +.5x 400 (ΑΒ) (ΑΒ) 0.5x + 0.5x.x.x + x 4000 (ΑΒ) (ΑΒ) 3 (ΑΒ) ( ΑΒ) + x 300 0.3 x + 0.3x +.5x 400 (ΑΒ) (ΑΒ) 3 Οικονομική συνάρτηση: Ζ= (έσοδα από πωλήσεις) - (έξοδα πρώτης ύλης) (κόστος λειτουργίας μηχ.) =3*(x x +x x ) + 5.5* x + 6.5* x - (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) 3 -(0.6*(x x +x x ) + 0.7* x + 0.95* x - -((+0.5*0.6)*x (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) 3 (+0.3*0.7)*x +(.*.+0.5*0.6)*x (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) (.*.+0.)*x + (.5+ 0.6)* x + (*.+.5*0.7)* x ) (ΑΒ) 3 Τελικά: maxz=.x.9x +0.66x 0.75x +.7x +.x (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) (ΑΒ) 3
Άσκηση 3 Δίνεται το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: maxz = 3x + x με τους περιορισμούς: 3x + 5x 8 7x + 4x 8 x 3,5 x,5 x, x 0 Να λυθεί γραφικά το πρόβλημα. Να διερευνηθεί πόσο ευαίσθητη είναι η βέλτιστη λύση στις μεταβολές των διαφόρων παραμέτρων.
Άσκηση 3 x maxz = 3x + x 3x + 5x 8 ( I ) 7 ( II ) ( III ) 7x + 4x 8 ( II ) 8/5 x 3,5 x,5 x, x 0 α) ( III ) A B,5 Γ ( IV ) Δ 0 3,5 4 Σημείο Β: ( I ) ( IV ) x =,5 x =,5 3x + 5x,5 = 8 x =,83 Ζ(x,x ) = 35,49 ( I ) ( IV ) 6 x Σημείο Γ: ( II ) ( I ) 3x + 5x = 8 x = 6 x x =,95 7x + 4x = 8 4 8 - x + 4 x = 0 x =,86 Άρα το Β είναι βέλτιστο. 5 3 75 3 Ζ(x,x ) = 30,76
Άσκηση 3 β) λ ΙΙΙ λ ΙΙ λ Ι λ AΣ λ ΙV 7 4 3 5 3 0 3 c I IV 5 c Ανάλυση ευαισθησίας ως προς c 0 3 5 c 0 c 0 3 c 5 c c 0 3 5 c c 0 36 5 Ανάλυση ευαισθησίας ως προς c 3 5 3 c 3 0 c 0 3 3 5 c 3 c 3 c 0 3 5 c c 0 5
Άσκηση 4 Δίνεται το πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: minz = x + 3x με τους περιορισμούς: x 0 x + x x 5 x 5 x, x 0 Να λυθεί γραφικά το πρόβλημα. Να διερευνηθεί πόσο ευαίσθητη είναι η βέλτιστη λύση στις μεταβολές των διαφόρων παραμέτρων.
Άσκηση 4 minz = x + 3x x 0 x + x x 5 x 5 x, x 0 α) ( I ) ( II ) ( III ) ( IV ) x Σημείο Β: ( II ) ( I ) x =0 x =0 7 ( III ) A 5 0 B ( I ) 0 0 5 Δ Γ ( II ) x + x = x = Ζ(x,x ) = 76 ( IV ) x Σημείο Γ: (II) (III) x = 5 x =5 x + x = x =7 Ζ(x,x ) = 7 Άρα το Γ είναι βέλτιστο.
Άσκηση 4 β) λ ΙΙΙ, λ ΙΙ λ Ι λ AΣ λ ΙV - 0 3 c II IV c 0 Ανάλυση ευαισθησίας ως προς c 0 0 c 3 3 0 3 c c c c 3 3 c c 0 3 Ανάλυση ευαισθησίας ως προς c 0 0 c c 0 c c c c c 0
Άσκηση 5 Μια νοικοκυρά επιθυμεί να καταρτίσει για κάθε μέλος της οικογένειάς της το βέλτιστο ημερήσιο διαιτολόγιο, έτσι ώστε να τηρούνται ορισμένες προδιαγραφές για την ημερήσια λαμβανόμενη ποσότητα των βιταμινών Α και Β, που την ενδιαφέρουν περισσότερο. Για το λόγο αυτό εξετάζει συνδυασμούς από 5 βασικές τροφές Τ, Τ, Τ3, Τ4 και Τ5. Η περιεκτικότητα κάθε τροφής σε βιταμίνες, το κόστος των τροφών καθώς και η ποσότητα κάθε βιταμίνης που πρέπει να λαμβάνεται, φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: Τροφή Αναγκαία Τ Τ Τ3 Τ4 Τ5 Βιταμίνη Ποσότητα Α 0 0 Β 0 0 Τιμή 3,5 3, Ακόμα είναι γνωστό ότι η νοικοκυρά μπορεί να βρει τις παραπάνω βιταμίνες στο φαρμακείο της γειτονιάς της με τη μορφή δισκίων των 00 mg (00 mg βιταμίνης ανά δισκίο). Ζητείται:.Να διατυπωθεί το μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού για τη λύση του παραπάνω προβλήματος..να διατυπωθεί και να λυθεί το δυαδικό του παραπάνω προβλήματος. 3.Να βρεθεί σε ποια τιμή είναι η νοικοκυρά διατεθειμένη να αγοράσει δισκία βιταμινών Α και Β από το φαρμακείο. 4.Να βρεθούν οι βέλτιστες ποσότητες τροφών του διαιτολογίου της νοικοκυράς.
Άσκηση 5 Διατύπωση προβλήματος Μεταβλητή απόφασης: x i, η ποσότητα τροφής T i σε gr. Κριτήριο Απόφασης: Ελαχιστοποίηση κόστους απόκτησης των απαραίτητων βιταμινών. Εφόσον η μεταβλητή απόφασης είναι σε gr, θα κάνουμε αναγωγή στα δεδομένα μας. Βιταμίνη Τροφή Τ Τ Τ3 Τ4 Τ5 Α 0 0 Β 0 0 Τιμή *0-3 *0-3 3*0-3,5*0-3 3,*0-3 Αναγκαία Ποσότητα
Άσκηση 5 Αντικειμενική συνάρτηση: min Z(x i ) * 0 3 *x * 0 3 *x 3* 0 3 *x 3, 5* 0 3 *x 4 3, * 0 3 *x 5 Με περιορισμούς: *x 0*x 0*x *x *x *x 3 3 *x *x 4 4 *x *x 5 5 0 0 Το παραπάνω πρόβλημα δεν λύνεται γραφαναλυτικά εφόσον έχει 5 μεταβλητές και περιορισμούς. Η ύπαρξη περιορισμών μας οδηγεί να αναζητήσουμε λύση μέσω του δυαδικού προβλήματος.
Άσκηση 5 Δυαδικό πρόβλημα Πρωτεύον πρόβλημα: MIN Δυαδικό πρόβλημα: MAX Διατύπωση δυαδικού προβλήματος Μεταβλητή απόφασης: π i,η τιμή (Euro/mg) της αντίστοιχης βιταμίνης (Α,Β) Κριτήριο Απόφασης: Εύρεση του μέγιστου τιμήματος που είναι διατεθειμένη η νοικοκυρά να πληρώσει για την διατροφή της. Αντικειμενική Συνάρτηση: maxu( i ) 0* 0* Με περιορισμούς: ( I ) ( II ) ( III ) ( IV ) ( V ) *π *π *π 0*π *π 0*π *π *π *π *π * 0 * 0 3* 0 3 3 3,5* 0 3,* 0 3 3
Άσκηση 5 Γραφαναλυτική επίλυση δυαδικού προβλήματος x 3,*0-3,5*0-3 ( V ) ( I ) *0-3 ( II ),5*0-3 A ( IV ) B 0 Γ ( III ),5*0-3 *0-3 3*0-3 x Βέλτιστο σημείο το Β ( III ) ( V ) *π *π *π *π 3* 0 3 3,* 0 3,33*0 9,3*0 4 4 /mg /mg
Άσκηση 5 Δυαδικό πρόβλημα: Περιορισμοί I, II και IV είναι μη κορεσμένοι Πρωτεύον πρόβλημα: Μεταβλητές απόφασης X, X και Χ 4 είναι 0 Άρα Πρωτεύον πρόβλημα μεταβλητές & περιορισμοί Λύση x 3 *x 3 *x x 5 5 0 0 x x 0 0 x 3 0 x 4 0 x 5 00
Άσκηση 6 Η δραστηριότητα ενός κτηνοτροφικού συνεταιρισμού μιας πόλης, περιλαμβάνει τη σφαγή ζωντανών. Η σφαγή πραγματοποιείται σε δύο σφαγεία εγκατεστημένα, το ένα παραλιακά στην πόλη και το άλλο στο κέντρο της. Η ελάχιστη εβδομαδιαία ζήτηση κρέατος στην πόλη ανέρχεται στους 60 τόνους. Σαν σύμβουλος του συνεταιρισμού καλείστε να καθορίσετε τα βέλτιστα επίπεδα δραστηριότητας των δύο σφαγείων του. Τα τεχνοοικονομικά δεδομένα του προβλήματος συνοψίζονται στα ακόλουθα: 00 κιλά ζωντανού αντιστοιχούν σε 60 κιλά κρέατος. Το κόστος σφαγής συμπεριλαμβάνει την απασχόληση του εργατικού δυναμικού. Περιορισμοί που οφείλονται στα μεταφορικά μέσα, δεν επιτρέπουν την παραλαβή περισσοτέρων από 550 τόνους ζωντανών από τα δύο σφαγεία εβδομαδιαίως. Σε εβδομαδιαία βάση διατίθενται 60 ώρες εργασίας που κατανέμονται ελεύθερα στα δύο σφαγεία. Σφαγείο Κόστος μεταφοράς ανά τόνο ζωντανών Κόστος σφαγής ανά τόνο ζωντανών Απαιτούμενη εργασία ανά τόνο ζωντανών Εβδομαδιαία μέγιστη δυνατότητα σφαγής Παραλιακό 5 45 0,0 ώρες 300 τόνοι Κεντρικό 0 30 0,5 ώρες 480 τόνοι
Άσκηση 6 Να διατυπωθούν και επιλυθούν τα μοντέλα γραμμικού προγραμματισμού που εντοπίζουν: a) την εβδομαδιαία παραγωγή κρέατος που ελαχιστοποιεί το κόστος του συνεταιρισμού. b) τη μέγιστη δυνατή εβδομαδιαία παραγωγή των σφαγείων. Να διατυπωθεί το δυαδικό πρόβλημα της ελαχιστοποίησης του κόστους, (α), να δοθεί η ερμηνεία κάθε μιας δυαδικής μεταβλητής και να προσδιορισθεί η βέλτιστη λύση του. Προσδιορίστε για ποια τιμή κόστους σφαγής στο κεντρικό σφαγείο, θα έχουμε απειρία λύσεων στο πρωτεύον πρόβλημα (α) αν όλες οι υπόλοιπες μεταβλητές παραμείνουν σταθερές. Κατασκευάστε τον πρώτο πίνακα Simplex του προβλήματος (b). Ποια είναι η εισερχόμενη και ποια η εξερχόμενη μεταβλητή;
Άσκηση 7 Εταιρία παράγει σκυρόδεμα με το οποίο προμηθεύει σε καθημερινή βάση διάφορες οικοδομικές επιχειρήσεις. Το σκυρόδεμα παράγεται σε δύο εργοτάξια της εταιρίας, το Α και το Β. Με τα σημερινά δεδομένα, υπάρχει μια ελάχιστη ημερήσια ζήτηση.000 τόνων σκυροδέματος. Ο υπεύθυνος παραγωγής προσπαθεί να καθορίσει την αντίστοιχη παραγωγική δραστηριότητα των δύο εργοταξίων, με τρόπο ώστε το συνολικό κόστος εκμετάλλευσης να είναι το ελάχιστο δυνατό. Τα τεχνοοικονομικά δεδομένα της παραγωγής συνοψίζονται στα εξής σημεία. Ένας τόνος σκυροδέματος παράγεται από την ανάμειξη 400 λίτρων νερού και 600 κιλών στερεών υλικών (άμμος, χαλίκι, τσιμέντο). Περιορισμοί που οφείλονται στη δυνατότητα αποθήκευσης και στις μεταφορές δεν επιτρέπουν την παραλαβή περισσοτέρων από 800 τόνους στερεών υλικών συνολικά και στα δύο εργοτάξια ημερησίως. Διατίθενται καθημερινά 0 εργατοώρες που μπορούν να κατανεμηθούν και στα δύο εργοτάξια με την παραγωγικότητα του εργοταξίου Α να είναι 0,3 εργατοώρες/τόνο, ενώ του Β 0,08 εργατοώρες/τόνo. Το συνολικό κόστος εκμετάλλευσης που επιβαρύνει την εταιρία αποτελείται από το κόστος ανεφοδιασμού των στερεών υλικών (00 /τόνο για το εργοτάξιο Α και 00 /τόνο για το εργοτάξιο Β) και το κόστος παραγωγής του σκυροδέματος (650 /τόνο για το εργοτάξιο Α και 300 /τόνο για το εργοτάξιο Β). Η μέγιστη δυνατότητα παραγωγής των εργοταξίων Α και Β είναι 700 και 900 τόνοι/ημέρα αντίστοιχα ενώ παράλληλα το εργοτάξιο Β δεν μπορεί να παράγει λιγότερο από 400 τόνους/ημέρα.
Άσκηση 7 Διατυπώστε το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που επιλύει το παραπάνω πρόβλημα και προσδιορίστε το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής Να επιλυθεί το ίδιο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού με τη μέθοδο Simplex. Να διατυπωθεί το δυαδικό πρόβλημα, να προσδιοριστεί η βέλτιστη λύση του και να δοθεί η οικονομική ερμηνεία των μεταβλητών του. Για ποια τιμή του κόστους παραγωγής σκυροδέματος στο εργοτάξιο Α θα έχουμε άπειρες λύσεις στο πρωτεύον πρόβλημα αν όλα τα υπόλοιπα κόστη παραμείνουν σταθερά;
Άσκηση 7 Μεταβλητές Απόφασης: Χ i : Η ημερήσια ποσότητα σκυροδέματος που παράγεται από το εργοτάξιο i (tn/day). Χ είναι οι τόνοι που παράγονται από το εργοτάξιο Α και Χ από το εργοτάξιο Β. Παραμετρική εξίσωση: X i (tn) = 0,4 Η Ο (tn) + 0,6 στερεά υλικά (tn) Περιορισμοί: Ελάχιστης ζήτησης: Χ + Χ.000 (I) Μέγιστης παραγωγής: Χ 700 (ΙΙ) Χ 900 (ΙΙΙ) Ελάχιστης παραγωγής: Χ 400 (ΙV) Αποθήκευσης και μεταφοράς: 0,6Χ + 0,6Χ 800 (V) Εργατικού δυναμικού: 0,3Χ + 0,08Χ 0 (VI) Φυσικοί περιορισμοί: Χ, Χ 0
Άσκηση 7 Κριτήριο Απόφασης: Ελαχιστοποίηση ημερήσιου κόστους εκμετάλλευσης Κόστος εκμετάλλευσης (z) [χιλ. ] = [Κόστος ανεφοδιασμού στερεών υλικών] [χιλ. ]+ [Κόστος παραγωγής] [χιλ. ] [min] z = [0,6(0,X + 0,X )] + [0,65X + 0,3X ] = 0,7 X + 0,4 X [χιλ. ] Θα πραγματοποιήσουμε γραφική επίλυση για την εύρεση της βέλτιστης λύσης του προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού που μόλις μοντελοποιήσαμε.
Άσκηση 7 Αποτυπώνουμε τους περιορισμούς του προβλήματος γραφικά: x 500 333 ( II ) 000 A B ( III ) 900 ( VI ) 500 400 Γ ( IV ) ( I ) ( V ) 0 846 333 700 500 000 500 x
Άσκηση 7 Ελέγχουμε την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης σε κάθε κορυφή του τριγώνου ΑΒΓ. Σημείο Α: ( I ) (IΙΙ) X = 900 Χ = 900 Χ + Χ = 000 Χ = 00 z(χ,χ ) = 449 χιλ. Σημείο Β: ( III) ( VI ) X = 900 X = 900 0.3Χ + 0.08Χ = 0 X = 9 z(x,x ) = 585 χιλ. Σημείο Γ: ( I) (ΙV) ( VI ) X = 400 X = 600 Χ + Χ = 000 X = 400 z(x,x ) = 594 χιλ. Από τα παραπάνω αποδεικνύεται ότι το σημείο Α (00, 900) είναι το βέλτιστο του προβλήματος μας.
Άσκηση 7 Θα πραγματοποιήσουμε επίλυση του προβλήματος Γραμμικού Προγραμματισμού με χρήση του αλγορίθμου Simplex. Μετατροπή στην πρότυπη μορφή με την εισαγωγή των μεταβλητών απόκλισης και μετατροπή της αντικειμενικής σε συνάρτηση μεγιστοποίησης min z = 0,7X + 0,4X + 0S + 0S + 0S 3 + 0S 4 + 0S 5 + 0S 6 + MA + MA => max z = - 0,7X - 0,4X + 0S + 0S + 0S 3 + 0S 4 + 0S 5 + 0S 6 - MA - MA Χ + X - S + A =.000 Χ + S = 700 Χ + S 3 = 900 X - S 4 + A = 400 0,6X + 0,6Χ + S 5 = 800 0,3Χ + 0,08Χ + S 6 = 0 Χ, Χ, S, S, S 3, S 4, S 5, S 6, A, A, M 0
Άσκηση 7 Κατασκευή του πρώτου πίνακα Simplex Βήμα 0 Οδηγό στοιχείο Βάση X X S S S 3 S 4 S 5 S 6 Α Α Δεξί μέρος A - 0 0 0 0 0 0 000 S 0 0 0 0 0 0 0 0 700 S 3 0 0 0 0 0 0 0 0 900 A 0 0 0 0-0 0 0 400 S 5 0,6 0,6 0 0 0 0 0 0 0 800 S 6 0,3 0,08 0 0 0 0 0 0 0 0 C j -0,7-0,4 0 0 0 0 0 0 -Μ -Μ C j -0,7 +M -0,4 +M -Μ 0 0 -Μ 0 0 0 0 Ζ = -400M Η μεταβλητή με το μεγαλύτερο θετικό Ο.Κ.Ε. θα εισέλθει στη βάση, δηλαδή η X Ο μικρότερος θετικός λόγος Χ Βi /y i καθορίζει ποια μεταβλητή θα εξέλθει από τη βάση. Εδώ είναι: 400/ = 400. Επομένως η μεταβλητή Α βγαίνει από τη βάση.
Άσκηση 7 Βήμα Βάση X X S S S 3 S 4 S 5 S 6 Α Α Δεξί μέρος A 0-0 0 0 0-600 S 0 0 0 0 0 0 0 0 700 S 3 0 0 0 0 0 0 0-500 X 0 0 0 0-0 0 0 400 S 5 0,6 0 0 0 0 0.6 0 0-0.6 560 S 6 0.3 0 0 0 0 0.08 0 0-0.08 78 C j -0,7-0,4 0 0 0 0 0 0 -Μ -Μ C j -0,7 +M 0 -M 0 0 M -0,4 0 0 0 -M +0,4 Ζ = 68-600M Η μεταβλητή με το μεγαλύτερο θετικό Ο.Κ.Ε. θα εισέλθει στη βάση, δηλαδή η S 4 Ο μικρότερος θετικός λόγος Χ Βi /y i καθορίζει ποια μεταβλητή θα εξέλθει από τη βάση. Εδώ είναι: 500/ = 500. Επομένως η μεταβλητή S 3 βγαίνει από τη βάση.
Άσκηση 7 Βήμα Βάση X X S S S 3 S 4 S 5 S 6 Α Α Δεξί μέρος A 0-0 - 0 0 0 0 00 S 0 0 0 0 0 0 0 0 700 S 4 0 0 0 0 0 0 0-500 X 0 0 0 0 0 0 0 0 900 S 5 0.6 0 0 0-0.6 0 0 0 0 60 S 6 0.3 0 0 0-0.08 0 0 0 0 38 C j -0,7-0,4 0 0 0 0 0 0 -Μ -Μ C j -0,7 +M 0 -M 0 -M+ 0,4 0 0 0 0 -M Ζ = 378-00M
Άσκηση 7 Βήμα 3 Βάση X X S S S 3 S 4 S 5 S 6 Α Α Δεξί μέρος X 0-0 - 0 0 0 0 00 S 0 0 0 0 0-0 600 S 4 0 0 0 0 0 0 0-500 X 0 0 0 0 0 0 0 0 900 S 5 0 0 0.6 0 0 0 0-0.6 0 00 S 6 0 0 0.3 0 0.05 0 0-0.3 0 5 C j -0,7-0,4 0 0 0 0 0 0 -Μ -Μ C j 0 0-0,7 0-0,9 0 0 0 -M+ 0,7 -M Ζ = -449 Δεν υπάρχει άλλο θετικό Ο.Κ.Ε επομένως δεν υπάρχουν περιθώρια περαιτέρω βελτίωση της λύσης. Η λύση είναι βέλτιστη και ο αλγόριθμος σταματά. (Χ = 00, Χ = 900 και z = 449 χιλ. )
Άσκηση 7 Διατύπωση του δυαδικού προβλήματος. Φέρνουμε το πρωτεύον πρόβλημα στην πρότυπη μορφή [min] z = 0,7 Χ + 0,4 Χ Χ + Χ 000 (I) - Χ - 700 (ΙΙ) -Χ - 900 (ΙΙΙ) Χ 400 (ΙV) - 0,6Χ - 0,6Χ - 800 (V) -0,3Χ - 0,08Χ -0 (VI) Χ, Χ 0
Άσκηση 7. Μοντελοποιούμε το δυαδικό πρόβλημα [max] z = 000Π - 700Π - 900Π 3 + 400Π 4-800Π 5-0Π 6 Π - Π +0Π 3 + 0Π 4-0,6Π 5-0,3Π 6 0,7 () Π + 0Π - Π 3 + Π 4-0,6Π 5-0,08Π 6 0,4 () 3. Επιλύουμε το δυαδικό πρόβλημα Εκμεταλλευόμαστε τη γνώση μας, από την επίλυση του πρωτεύοντος, ότι κορεσμένοι περιορισμοί είναι οι Ι και ΙΙΙ, και ακόρεστοι οι υπόλοιποι. Οπότε θέτουμε Π, Π 4, Π 5 και Π 6 = 0 και επιλύουμε το σύστημα των () και (). Π = 0,7 Π = 0,7 Π Π 3 = 0,4 Π 3 = 0,9 Έτσι, z = 000 Π - 900 Π3 = 449 χιλ.
Άσκηση 7 Εύρεση απειρίας λύσεων στο πρωτεύον πρόβλημα Για να έχουμε απειρία βέλτιστων λύσεων σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού, πρέπει η αντικειμενική συνάρτηση να έχει ίδια κλίση με έναν από τους δύο περιορισμού που ορίζουν τη βέλτιστη λύση. Με αυτό τον τρόπο η αντικειμενική συνάρτηση θα ταυτιστεί με τον περιορισμό, και έτσι όλα τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που ορίζεται από τον περιορισμό θα αποτελούν βέλτιστες λύσεις της. Έτσι, στο συγκεκριμένο πρόβλημα, αρκεί να ισχύει λ z = λ III. X + X = 000 λ ΙΙΙ = - (VI) (0,06 + C)X + 0,4X (z) Πρέπει λ z = - => -(0,06 + C)/0,4 = - => C = 0,36 χιλ. /tn. Άρα για να έχουμε απειρία βέλτιστων λύσεων, πρέπει το κόστος παραγωγής στο εργοτάξιο Α να είναι 360 /tn.