Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 0-4 (εκδοχή 5--04)

Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόµενα σελίδα Ασκήσεις ιαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιµίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρηµα του Euler 7 Ασκήσεις ακτύλιοι: ορισµοί, παραδείγµατα, βασικές ιδιότητες 4 Ασκήσεις4 Πολυώνυµα 5 Ασκήσεις5 Οµοµορφισµοί και ιδεώδη 6 Ασκήσεις6 Οµάδες συµµετρίας, συµµετρικές οµάδες, βασικές ιδιότητες οµάδων 5 Ασκήσεις7 Υποοµάδες, Θεώρηµα του Lgrge 6 Ασκήσεις8 Οµοµορφισµοί οµάδων, περισσότερα για κυκλικές οµάδες 76 Ασκήσεις9 Κανονικές υποοµάδες, οµάδα πηλίκο 89 Εκδοχή 5//04

Ασκήσεις Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Δείξτε τις εξής προτάσεις Αν, b Z και d = μκδ(, b), τότε μκδ( d, b d ) = b Αν ο N δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε Q Έστω, b, c Z με µκδ (, b) = Δείξτε τις εξής προτάσεις Αν bc, τότε c b Αν c και b c, τότε b c c µκδ (, bc) = µκδ (, c) Έστω, b, c Z, c> 0 Δείξτε τις εξής προτάσεις µκδ (, b) εκπ (, b) = b b µκδ ( c, bc) = c µκδ (, b) 4 Έστω, b, Z όπου πρώτος Δείξτε ότι αν 4 και + b, τότε b 5 Δείξτε ότι αν, b, Z, τότε µκδ (, b) = µκδ ( + b, b) και b µκδ (, b) = µκδ ( + b, b) = 6 Για κάθε Z ισχύει µκδ (+,0+ ) = b Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι που διαιρούν το μκδ( + + 5, + 6) για κάποιο Z 7 Να υπολογιστεί ο µκδ (65, 48) και ακέραιοι x, y τέτοιοι ώστε µκδ (65, 48) = 65x+ 48y 8 Να βρεθούν όλες οι τριάδες (, +, + 4), όπου οι, +, + 4 είναι πρώτοι αριθμοί 9 Ποιο είναι το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου { 4 6b 0, b } { 4+ 6b+ 4c< 0, b, c Z } ; 0 Αν, b Z είναι τέτοια ώστε 7 b, τότε b + > Z και ποιο είναι το μέγιστο στοιχείο του b d Έστω, b, Z με > Δείξτε ότι µκδ (, ) =, όπου d = µκδ (, b) Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι, q με 49 + 7q= q Δείξτε ότι + + 4 + 5 για κάθε N, + b 0 + 4 4 od 9 για κάθε N 4 Έστω, περιττοί θετικοί ακέραιοι Τότε + + + ( ) 0 od 5 Αν, b Z, Z και bod, τότε b od και b µκδ (, ) = µκδ ( b, ) για κάθε θετικό ακέραιο 000 6 Αληθεύει ότι ο ακέραιος + 5 είναι πρώτος; 7 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν, x, y N τέτοιοι ώστε 8 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι x, y τέτοιοι ώστε 9 Δείξτε ότι δεν υπάρχουν x, y Q τέτοιοι ώστε x x y + = 4 + x 5y = + y = 0 * Δείξτε ότι δεν υπάρχουν,, x N τέτοιοι ώστε + + = x Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Έστω, b, c, Z Όταν γράφουμε μκδ(,b) ή εκπ(,b) υποθέτουμε ότι τουλάχιστον ένας από τους,b είναι μη μηδενικός (χωρίς να το αναφέρουμε ρητώς) Με * σημειώνονται οι ασκήσεις που ίσως είναι οι πιο απαιτητικές της ομάδας

Ασκήσεις Αν c και, b c τότε b c b Αν b, τότε b c Αν c bc od cκαι c 0, τότε bod d Αν c bc od και μκδ(, c ) =, τότε bod e μκδ(, b) μκδ(, c) = μκδ(, bc) f Αν μκδ( b, c ) =, τότε μκδ(, b) μκδ(, c) = μκδ(, bc)

Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Έστω = d, b = b d, οπότε, b Z και = d, b= db Αν c Z είναι κοινός διαιρέτης των,, τότε ο dc είναι κοινός διαιρέτης των, b Άρα dc d καθώς d = μκδ(, b) Επειδή d 0, παίρνουμε c=, οπότε μκδ(, b ) = b Έστω Q, δηλαδή = για κάποια, b Z, b 0 Μπορούμε να υποθέσουμε ότι μκδ(, b ) =, γιατί b διαφορετικά απλοποιούμε το κλάσμα ( = d, όπου d = μκδ(, b), και μκδ( d, b d ) = )) Έχουμε = b b b d Από την υπόθεση, b ±, οπότε υπάρχει πρώτος με b Τότε Λήμμα 5 ), Δηλαδή έχουμε και b πράγμα άτοπο αφού μκδ(, b ) = και από το λήμμα του Ευκλείδη (βλ Σύμφωνα με το Θεώρημα 4 υπάρχουν x, y Z με = x+ by Άρα c= cx+ bcy () Αν bc, τότε cx+ bcy και από τη σχέση () έπεται ότι c b Αν c και b c, τότε b bc και b c Συνεπώς b cx+ bcy δηλαδή b cλόγω της () c Επειδή μκδ(, bc) και μκδ(, bc) bc, από την () έπεται ότι μκδ(, bc) c [Σημείωση: Θα μπορούσαμε να φτάσουμε στο ίδιο συμπέρασμα εφαρμόζοντας το ] Επειδή μκδ(, bc) και μκδ(, bc) c, παίρνουμε μκδ(, bc) μκδ(, c ) Έχουμε μκδ(, c) c, οπότε μκδ(, c) bc Από μκδ(, c) και μκδ(, c) bcέπεται ότι μκδ(, c) μκδ(, bc ) Τελικά έχουμε μκδ(, bc) μκδ(, c ) και μκδ(, c) μκδ(, bc ) Επειδή οι ακέραιοι μκδ(, bc) και μκδ(, c ) είναι θετικοί παίρνουμε μκδ(, bc) = μκδ(, c) Χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι, b> (γιατί;) Έστω b b b =, =, όπου,, c c d b = και μκδ(, ) {, b } + x{, b } = + b έπεται ότι είναι πρώτοι διάφοροι ανά δύο και, b N Ξέρουμε ότι d εκπ(, b) =, όπου c = {, b }, d = x{, b } Από τη σχέση d μκδ(, b) εκπ(, b) = = c c d c d c+ d b + b = + = + = b b Μπορεί να δοθεί μια απόδειξη όπως η προηγούμενη που να βασίζεται στη σχέση { + c, b + c} = c + { + b } (άσκηση) Μια άλλη απόδειξη είναι: Από το Θεώρημα 4 υπάρχουν ακέραιοι x, y με x+ by= d, όπου d = μκδ(, b) Άρα cx+ bcy= cd Επειδή μκδ( c, bc) c και μκδ( c, bc) bc, από την προηγούμενη ισότητα παίρνουμε μκδ( c, bc) cd Επειδή d έχουμε cd c Όμοια cd bc Άρα cd μκδ( c, bc ) Οι παραπομπές σε Θεωρήματα, Προτάσεις και Παραδείγματα αναφέρονται στο βιβλίο Μια Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Δ Βάρσος, Δ Δεριζιώτης, Ι Εμμανουήλ, Μ Μαλιάκας, Ο Ταλέλλη, Γ έκδοση, εκδόσεις Σοφία, 0, ISBN 978-960-6706-7-0 Οι παραπομπές σε ασκήσεις αναφέρονται στις παρούσες σημειώσεις (πχ άσκηση σημαίνει την άσκηση από την ομάδα Ασκήσεις)

Ασκήσεις 4 Τελικά έχουμε μκδ( c, bc) cd και cd μκδ( c, bc ) Επειδή οι ακέραιοι μκδ( c, bc ) και cd είναι θετικοί παίρνουμε μκδ( c, bc) = cd 4 Υπόδειξη: Από 4 έπεται ότι γιατί ο είναι πρώτος (Λήμμα 5) 5 b Έστω ότι µκδ (, b) = Έστω ότι υπάρχει πρώτος με µκδ ( + b, b) Τότε + b και b Από την τελευταία σχέση έπεται ότι ή b, γιατί ο είναι πρώτος (Λήμμα 5) Αν, τότε από + b παίρνουμε b Όμοια, αν b, τότε Σε κάθε περίπτωση έχουμε και b, οπότε µκδ (, b), δηλαδή, άτοπο Άρα µκδ ( + b, b) = Έστω ότι µκδ ( + b, b) = Έχουμε µκδ (, b) και µκδ (, b) b Άρα µκδ (, b) + b και µκδ (, b) b Συνεπώς µκδ (, b) µκδ ( + b, b), δηλαδή µκδ (, b) Άρα µκδ (, b) = 6 Έχουμε (μιμούμενοι τον Ευκλείδειο αλγόριθμο) 0+ = (+ ) + + = + = + 0 Ξέρουμε ότι αν b= q+ r, όπου, b, q, r Z, τότε µκδ (, b) = µκδ ( r, ), βλ άσκηση 5 Άρα παίρνουμε διαδοχικά µκδ (0+,+ ) = µκδ (+, ) = µκδ (,) = b Απάντηση: = 5,7 7 Υπόδειξη: Βλ Παράδειγμα σελίδα 8 Υπόδειξη: Αν πρώτος και >, τότε = + ή = +, όπου Z Στην πρώτη περίπτωση ο + δεν είναι πρώτος και στη δεύτερη ο + 4 δεν είναι πρώτος Υπάρχει μοναδική τριάδα, η (,5,7) 9 Υπόδειξη: Βλ απόδειξη του Θεωρήματος 4 Απάντηση: = μκδ(4,6) και 6= μκδ(4,6,4) αντίστοιχα 0 Είναι σαφές ότι το ζητούμενο αληθεύει αν = 0 ή b= 0 Έστω ότι, b 0 και έστω b b b =±, =±, όπου,, 7b 7b υπόθεση έχουμε και άρα (σχέση σελίδα 4) 7 7b b b για κάθε Από b για κάθε έπεται ότι b πρώτοι, j για κάθε j και, b N για κάθε Από την η λύση (βασίζεται στον Ευκλείδειο αλγόριθμο) Παρατήρηση: Έστω q, r N με b= q+ r Τότε υπάρχει Q Z b r τέτοιος ώστε = Q( ) + Πράγματι, θέτοντας q r r ( q ) ( q ) Q= = ( + + + ) Z,

Ασκήσεις 5 b r εύκολα επαληθεύεται ότι = Q( ) + q, q,, q, r, r,, r Εφαρμόζοντας τον Ευκλείδειο αλγόριθμο στα, b υπάρχουν ακέραιοι + τέτοιοι ώστε b= q+ r, 0 r< = q r+ r, 0 r < r r = q r + r 0 r < r, r = q r + 0 + Εφαρμόζοντας την παρατήρηση σε κάθε μία από τις παραπάνω ισότητες, υπάρχουν ακέραιοι Q, Q,, Q + τέτοιοι ώστε b r = Q( ) + r r = Q ( ) + = Q ( ) + r r r r r Q+ = ( ) + 0 Από τις ισότητες αυτές έπεται ότι b r µκδ (, ) = µκδ (, ) = r r r r = (, ) = (, ) = µκδ µκδ r r = µκδ (, 0) = Από τον Ευκλείδειο αλγόριθμο ξέρουμε ότι r = µκδ (, b) η d λύση: Αρχικά παρατηρούμε ότι αφού d έχουμε λόγω της ταυτότητας dt d d ( t ) d ( t ) d d b = ( )( + + + + ) Όμοια και συνεπώς d μκδ(, b ) Έστω μκδ( b b c=, ) Τότε od c και od c Από το Θεώρημα 4 υπάρχουν ακέραιοι x, y με d = x+ by Χωρίς περιορισμό της γενικότητας υποθέτουμε ότι x και y 0 Έχουμε b( y) d d d b( y) d+ b( y) x d od c Άρα od c Δηλαδή c d d d Επειδή c, c και c, έχουμε c= x od c και Απάντηση: = q= Έχουμε + + 4 + 5 = 6 4 + 5 5 και 5 4od Άρα 4 + + 5 + 6 4 + 5 4 od + + + + + = και 4 0 od Άρα 4 + 5 0 od, δηλαδή 4 + 5 Αλλά 6 4 5 4 4 (Σημείωση Φυσικά μπορεί να αποδειχτεί το ζητούμενο με επαγωγή στο ) + b Επειδή 0 od 9 έχουμε 0 od 9 και άρα αρκεί να αποδειχτεί ότι + 4 4 od 9 + + + Παρατηρούμε ότι + 4 4= (4 ) και 4 od Άρα 9 (4 + ) 4 Έχουμε od για κάθε,, περιττός, ( ) = ( ) = και άρα + ( ) 0od Αθροίζοντας την τελευταία ισοτιμία για = και άρα + ( ) + ( ) od Επειδή ο είναι =,,,, προκύπτει το ζητούμενο

Ασκήσεις 5 6 Έχουμε b = ( b)( + b+ + b + b ) Από την υπόθεση, b Επίσης, b od για κάθε θετικό ακέραιο (Πόρισμα 5) Συνεπώς + b+ + b + b b + b b+ + bb + b b 0od, δηλαδή + b+ + b + b Άρα b Από την υπόθεση, b od Συνεπώς ( b)( + b+ + b + b ) b q μκδ(, ) = μκδ( + q, ) (άσκηση 5) και έχουμε το ζητούμενο 6 Όχι αφού 000 000 + 5 ( ) + 5 6 0 od και 7 Βλ Εφαρμογή 8 8 Αν υπάρχουν ακέραιοι x, y τέτοιοι ώστε x 0,,,, 4 od 5 έχουμε x x = +, q Z Εύκολα αποδεικνύεται ότι 000 + 5> 5y =, τότε x 0,,,, 4 od5 Επειδή 0,,4od5 Δηλαδή σε κάθε περίπτωση, x x od 5, άτοπο od 5, δηλαδή 4 od 5 και x 4 od 5 od 5 Επειδή, παίρνουμε 9 Υπόδειξη: Έστω x= c, y= b c με, b, c Z, c 0 Μπορούμε να υποθέσουμε ότι δεν υπάρχει ακέραιος d > τέτοιος ώστε d, d b, d c (γιατί αλλιώς απλοποιούμε τα κλάσματα) Αν Εργαζόμενοι odulo, δείξτε ότι η τελευταία σχέση οδηγεί σε άτοπο 0 Υπόδειξη: Αποδείξτε τα εξής: Για κάθε x Z, x 0,,4od8 Τώρα αν b Για κάθε N,,od8 Απαντήσεις Λ b Λ c Σ d Σ e Λ f Σ + + = x, όπου,, x N, τα και b οδηγούν σε άτοπο x + y =, τότε + b = c

Ασκήσεις 7 Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler Εξετάστε αν το [48] είναι αντιστρέψιμο στο Z 0 και υπολογίστε το αντίστροφό του αν υπάρχει Να βρεθεί ένα στοιχείο [ ] U ( Z 5), έτσι ώστε κάθε στοιχείο του UZ ( 5) να είναι της μορφής [ ], N Αληθεύει ότι υπάρχει [ ] U ( Z 8), έτσι ώστε κάθε στοιχείο του UZ ( 8) να είναι της μορφής [ ] όπου N ; Δείξτε ότι σε κάθε ημερολογιακό έτος (δίσεκτο ή μη) υπάρχει τουλάχιστον μία Τρίτη και 4 Υπολογίστε το άθροισμα A των στοιχείων του Z, για =,4,5,6 Δείξτε ότι A = [0] αν περιττός Ποιο είναι το A αν άρτιος και μη μηδενικός; 5 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Υπάρχει [ ] Z 0, [ ] [0], τέτοιο ώστε [ ] = [0] b Υπάρχει [ ] Z 60, [ ] [0], τέτοιο ώστε [ ] = [0] 6 Ένα στοιχείο [ ] Z λέγεται μηδενοδύναμο αν υπάρχει θετικός ακέραιος με [ ] = [0] Βρείτε τα μηδενοδύναμα στοιχεία του Z b Έστω s = s, όπου διάφοροι ανά δύο πρώτοι Δείξτε ότι το [ ] Z είναι μηδενοδύναμο αν και μόνο αν s c Δείξτε ότι αν το [ ] Z είναι μηδενοδύναμο, τότε το [ ] είναι αντιστρέψιμο d Έστω > ακέραιος με την εξής ιδιότητα Κάθε μη αντιστρέψιμο στοιχείο του Z είναι μηδενοδύναμο Δείξτε ότι είναι δύναμη πρώτου 7 Έστω, b,, Z με Έστω ότι το [ b] Z είναι αντιστρέψιμο Δείξτε ότι το [ ] Z είναι αντιστρέψιμο 8 Βρείτε 555 το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 7, 00 b τα τελευταία δύο ψηφία του 7 στο δεκαδικό σύστημα 4 9 Δείξτε ότι αν ο ακέραιος > δεν είναι πολλαπλάσιο του 5, τότε ο + 4 δεν είναι πρώτος 0 Έστω ο αριθμός μητρώου σας Βρείτε το τελευταίο ψηφίο του + 7 στο δεκαδικό σύστημα Δείξτε ότι για κάθε N, 7 4 49 b od547 Σημείωση: 547= 7 7 9 5 Δείξτε ότι για κάθε N, ( + ) + 4 od 5 Έστω N Δείξτε ότι + 5 od od ή 9 od 4 Έστω N Δείξτε ότι 7 od 0 0od 4 b Να βρεθούν όλοι οι N τέτοιοι ώστε 9 od4 5 Έστω πρώτος με od 4 Δείξτε ότι δεν υπάρχει Z με od 6 Έστω Z με µκδ (,7) = Δείξτε ότι od 7 7 Δείξτε τα εξής Αν το Z είναι πολλαπλάσιο του 0, τότε το ϕ ( ) είναι πολλαπλάσιο του 8 b Έστω Z> 0περιττός Το φ( ) είναι δύναμη του αν και μόνο αν το είναι γινόμενο διάφορων ανά δύο πρώτων της μορφής + 8 Έστω,, Z Δείξτε τα εξής

Ασκήσεις 8 d φ( ) = φ( )φ( ), όπου d = μκδ(, ) φ( d) b Αν, τότε φ( ) = φ( ) c φ( ) φ( ) = 9 Αν, είναι σχετικά πρώτοι θετικοί ακέραιοι, τότε + od( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( 0 * Έστω Z με > Τότε ) od για κάθε Z 04 0 Ο 0 + 04 δεν είναι τετράγωνο ακεραίου Έστω,5 πρώτος Δείξτε ότι ο διαιρεί άπειρο το πλήθος από τους,,, (συνήθης δεκαδική γραφή) Έστω Z Αν d Ad = {,,, } µκδ (, ) = d Δείξτε τα εξής Z με d, θέτουμε { } Το σύνολο A d περιέχει ακριβώς ϕ ( d) στοιχεία = b Έχουμε την ξένη ένωση {,,, } Ad = c ϕ( d) d 4 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Για κάθε N, το [ + ] Z + είναι αντιστρέψιμο b Αν, b Z και b U ( Z ), τότε, b U ( Z ) c Αν, Z με, τότε od 9 d Το αντίστροφο του [7] Z είναι το [7 ] d

Ασκήσεις 9 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Εφαρμόζοντας τον Ευκλείδειο αλγόριθμο έχουμε 0= 48+ 7 48= 7+ 7= 7 + 0 Άρα μκδ(48,0)= και το [48] Z 0 είναι αντιστρέψιμο σύμφωνα με την Πρόταση 45 Για τον υπολογισμό του αντίστροφου του [48] έχουμε 7= 0 48 οπότε = 48 7 = 48 7= = 48 (0 48) = = 4 48 + ( ) 0 Δηλαδή = 4 48 + ( ) 0 Άρα το αντίστροφο του [48] Z 0 είναι το [4] Z 0 Απάντηση: Το στοιχείο [] Z 5 έχει τη ζητούμενη ιδιότητα αφού [] = [], [] = [4], = = [] [8] [], = = 4 [] [6] [] Δηλαδή U ( { 4 5) = [],[],[],[] } Z Για το Z 8 δεν αληθεύει, καθώς έχουμε U ( Z 8) = {[],[],[5],[7]} και με πράξεις επαληθεύεται ότι για [ ] U ( Z 8) {[]}, αν [ ] = [] ισχύει {[ ] =,, } = {[],[ ]},αν [ ] [] Υπόδειξη: Ας θεωρήσουμε μια - και επί αντιστοιχία μεταξύ των ημερών της εβδομάδας και των στοιχείων του Z 7, πχ την ακόλουθη: Κυριακή [], Δευτέρα [] κλπ Αν [ ] Z 7 αντιστοιχεί στην ημέρα της εβδομάδας με ημερομηνία του μήνα ( =,,, ), αρκεί να δείξουμε ότι {[ ] =,,,} =Z 7 Για να υπολογίσουμε τα [ ], =,,, συναρτήσει του [ ] παρατηρούμε ότι, επειδή ο Ιανουάριος έχει ημέρες και od 7, έχουμε [ ] = [ + ] = [ + ] Αν ο Φεβρουάριος έχει 8 ημέρες, τότε [ ] = [ + 8] = [ ] = [ + ] Όμοια [ 4] = [ + ] = [ + ] = [ + 6] κοκ Βρίσκουμε τελικά {[ ] =,,,} = {[ ],[ + ],[ + ],,[ + 6]} =Z Ο υπολογισμός για δίσεκτα έτη είναι παρόμοιος 7 4 Απάντηση: Αν άρτιος και μη μηδενικός, τότε A = [ ] 5 Λάθος Έχουμε

Ασκήσεις 0 [ ] = [0] [ ] = [0] 0 και και 5 και και 5 0 [ ] = [0] Χρησιμοποιήσαμε ότι οι,,5 είναι πρώτοι (βλ Λήμμα 5) Χρησιμοποιήσαμε ότι οι,,5 είναι ανά δύο σχετικά πρώτοι (βλ Παράδειγμα 8 ή άσκηση b) Φυσικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι το εκπ των,,5 διαιρεί το b Απάντηση: Σωστό Το [ ] = [0] έχει τις ζητούμενες ιδιότητες (Πως το βρήκαμε; Υπάρχει άλλο τέτοιο στοιχείο;) 6 b Έστω ότι [ ] = [0] για κάποιο θετικό ακέραιο Τότε [ ] = [0] για κάθε, οπότε από το Λήμμα 5 έχουμε για κάθε Από την άσκηση b έπεται ότι s Αντίστροφα, έστω s Για = x{,, s } ισχύει s Επειδή, s παίρνουμε, δηλαδή [ ] = [0] c ος τρόπος Αν[ ] = [0], τότε ( )( [] [ ] [] [ ] [ ] [ ] ) + + + + = = [] + [ ] + [ ] + + [ ] [ ] [ ] [ ] = = [] [ ] = [], και συνεπώς το [ ] = [] [ ] είναι αντιστρέψιμο ος τρόπος Έστω ότι το [ ] είναι μηδενοδύναμο Από το ερώτημα έχουμε για κάθε Από αυτό έπεται ότι μκδ(, ) =, γιατί διαφορετικά θα υπήρχε πρώτος με και, δηλαδή για κάποιο j=,, s θα είχαμε j, οπότε Συνεπώς το [ ] είναι αντιστρέψιμο j 7 Επειδή το [ b] Z είναι αντιστρέψιμο, έχουμε µκδ ( b, ) = Έστω d Z με d και d Τότε d b και d (αφού ) Συνεπώς d µκδ ( b, ), οπότε d = Άρα µκδ (, ) = και επομενως το [ ] Z είναι αντιστρέψιμο ος τρόπος Αν υπάρχει c Z με [ b] [ c ] = [], τότε [ bc ] = [], δηλαδή bc Επειδή, έχουμε bc από το οποίο έπεται ότι [ b] [ c ] = [] και άρα το [ b] Z είναι αντιστρέψιμο 8 Βλ Παράδειγμα 49 00 b Λύση: Ζητάμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 7 με το 00 Σύμφωνα με την Πρόταση 6 έχουμε ϕ(00) = ϕ( 5 ) = ϕ( ) ϕ(5 ) = ( )(5 5) = 40 Επίσης µκδ (7,00) = αφού το 7 είναι πρώτος που δεν διαιρεί το 00 Άρα από το Θεώρημα του Euler, 40 7 od00 00 40 0 Επειδή 00= 40+ 0, παίρνουμε 7 = (7 ) 7 και άρα 00 0 7 7 od00 0 4 5 5 5 Έχουμε 7 = (7 ) = (40) od00 Άρα με το 00 είναι και επομένως τα δύο τελευταία ψηφία του 00 7 od00 9 Υπόδειξη: Για περιττό εφαρμόστε το μικρό θεώρημα του Fert για = 5, δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης του 00 7 στο δεκαδικό σύστημα είναι 0 00 7

Ασκήσεις 0 Υπόδειξη: Ζητάμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του + 7 με το 0 ος τρόπος Έχουμε ϕ (0) = 4 Εφαρμόστε το Θεώρημα του Euler ος τρόπος Παρατηρούμε ότι + 7 + ( ) od0 Αν ο είναι περιττός, τότε + ( ) 0 od0 και το ζητούμενο υπόλοιπο είναι 0 Αν ο είναι άρτιος, =, τότε + ( ) 9 + 9 od0, οπότε + ( ) ( ) + ( ) od0 και επομένως το ζητούμενο υπόλοιπο είναι 8 ή αν ο είναι περιττός ή άρτιος αντίστοιχα Βλ Παράδειγμα 49 b Υπόδειξη: Όπως το προηγούμενο υποερώτημα Από το μικρό θεώρημα του Fert για = 5 έχουμε 5 od5, 5 ( + ) + od 5 για κάθε N Παρατηρούμε ότι 9 5 4 4 ( ) ( ) ( ) ( )( ) od5 9 5 ( ) 4 4 5 od 5 + = + + + + + και άρα + + + + + Επειδή od έχουμε od για κάθε N Επίσης, από το μικρό θεώρημα του Fert, od για κάθε N και άρα = od Άρα + 5od + 5od 4 0 od 4 ( )( + ) ή + od ή od od ή 9 od Εναλλακτικά (πχ σε περίπτωση που δεν είχαμε τη βολική παραγοντοποίηση του 4 ), θα μπορούσαμε στο σημείο αυτό να δοκιμάσουμε ποιες από τις περιπτώσεις 0,,,0 od ικανοποιούν τη 4 0 od 4 Από την Ευκλείδεια διαίρεση υπάρχουν, r N με = 4 + r, 0 r< 4 Τότε 4 r 7 (7 ) 7 = Έχουμε 4 4 r 7 = 40 και άρα 7 od 0 Τότε 7 7 od 0 Συνεπώς r 7 od 0 7 od 0 Για r = 0, η τελευταία ισοτιμία αληθεύει, ενώ εύκολα επαληθεύεται ότι για r=,, δεν αληθεύει Συνεπώς 7 od 0 r= 0 0 od 4 8 4 Σημείωση: Από το Θεώρημα του Euler έχουμε 7 od 0 ενώ είδαμε πριν ότι 7 od 0 Έστω, Z, > 0, με µκδ (, ) = Η άσκηση αυτή δίνει ένα παράδειγμα όπου ο εκθέτης ϕ ( ) στο Θεώρημα ϕ ( ) του Euler, od, δεν είναι γενικά ο μικρότερος θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε od Μπορεί να αποδειχθεί ότι ο μικρότερος τέτοιος θετικός ακέραιος είναι διαιρέτης του ϕ ( ), βλ Παράδειγμα 6 Μάλιστα το επιχείρημα του παραδείγματος δείχνει ότι κάθε άλλος θετικός ακέραιος που ικανοποιεί od είναι πολλαπλάσιο του Το θέμα αυτό θα το εξετάσουμε αργότερα στο εξάμηνο όταν μελετήσουμε τις ομάδες b Απάντηση: od 6

Ασκήσεις 5 Υπόδειξη: Έστω ισοτιμίας σε άτοπο od Αν, τότε, άτοπο Άρα το δεν διαιρεί το Υψώστε τα μέλη της od σε κατάλληλη δύναμη και εφαρμόστε το μικρό θεώρημα του Fert για να καταλήξετε 6 Βλ Παράδειγμα 6 7 Αφού 0, έχουμε = 5, όπου Z και ο Z είναι σχετικά πρώτος με καθέναν από τους,,5 Άρα ( ) ( 5 ) ( ) ( )( )(5 5 ϕ = ϕ ϕ = ) ϕ( ) (Πρόταση 6) Έχουμε = ( ) που είναι πολλαπλάσιο του και 5 5 = 5 (5 ) που είναι πολλαπλάσιο του 4 Άρα το ϕ ( ) είναι πολλαπλάσιο του 8 t b Έστω = t όπου διακεκριμένοι περιττοί πρώτοι Τότε ϕ( ) = ϕ( ) ϕ( ) = ( ) ( ) t t t t t Το δεξί μέλος είναι δύναμη του αν και μόνο αν για κάθε = και = + Όμως αν ο = + είναι πρώτος, τότε το είναι δύναμη του, γιατί αν = qr με q> περιττό, τότε ( r ) q ( r )(( r ) q ( r ) q r = + = + = + + + ), πράγμα που αντιφάσκει ότι ο είναι πρώτος 8 Από την Πρόταση 6, το ζητούμενο ισοδυναμεί με την ισότητα ( ) = ( ) ( ) ( ) d όπου σε κάθε γινόμενο το διατρέχει τους πρώτους που έχουν την αναγραφόμενη ιδιότητα Επειδή d το ζητούμενο ισοδυναμεί με την ισότητα ( ) = ( ) ( ) d,, () όπου d σημαίνει δεν διαιρεί το d Έστω P το σύνολο των πρώτων διαιρετών ενός ακεραίου Με το Λήμμα του Ευκλείδη παίρνουμε P = P P και από d = μκδ(, ) έπεται Pd = P P Συνεπώς έχουμε την ξένη ένωση P = ( P Pd ) P Από αυτό έπεται η () b Έπεται άμεσα από το c Έπεται άμεσα με επαγωγή στο 9 Έχουμε µκδ (, ) = Εφαρμόζοντας δυο φορές το Θεώρημα του Euler παίρνουμε Από την πρώτη σχέση έχουμε + και από τη δεύτερη ϕ ( ) ϕ ( ) σχέσεις και µκδ (, ) = έπεται ότι +, δηλαδή ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) και ϕ ( ) ϕ ( ) + Από τις δύο τελευταίες ϕ ( ) ϕ ( ) + od( ) 0 Υπόδειξη: Μπορούμε να υποθέσουμε ότι > Έστω r = r η ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων ϕ ( ) ϕ ( ) Δείξτε ότι για κάθε, ( ) ως εξής:

Ασκήσεις αν ο δεν διαιρεί το, δείξτε ότι αν, δείξτε ότι Από την άσκηση b έπεται το ζητούμενο Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( ) ϕ ( ) ϕ και 04 0 0 + 04 od0 και παρατηρήστε ότι το δεν είναι τετράγωνο odulo0 Υπόδειξη: Έστω = Καθένας από τους,,, = διαιρείται με το (γιατί;) Έστω Παρατηρήστε ότι 0 = 9 και χρησιμοποιήστε το μικρό θεώρημα του Fert για να δείξετε ότι αν Υπόδειξη: Έστω d Z με d και έστω {,,, } Δείξτε ότι Ad αν και μόνο αν d και µκδ ( d, d) = Από αυτό έπεται ότι το πλήθος των στοιχείων του A d είναι ίσο με ϕ ( d) c Έχουμε ϕ( d) = ϕ( d), γιατί όταν το d διατρέχει τους θετικούς διαιρέτες του, το ίδιο συμβαίνει με το d d d Το ζητούμενο έπεται από την προηγούμενη παρατήρηση και τα υποερωτήματα και b Απαντήσεις: Σ b Σ c Λ d Σ

Ασκήσεις 4 Ασκήσεις Δακτύλιοι: ορισμοί, παραδείγματα, βασικές ιδιότητες Δείξτε τα εξής Η αντιστοιχία που ορίζεται από Z Z Z, ([ ],[ b ]) [ c ], όπου c = x{, b }, δεν είναι απεικόνιση b Το σύνολο Z είναι ένας μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο ως προς τις πράξεις : Z Z Z και : Z Z Z που ορίζονται από b= + b και b= b ( + b) + Το μηδενικό στοιχείο είναι το και το μοναδιαίο στοιχείο είναι το c Το σύνολο Z δεν είναι δακτύλιος ως προς τις πράξεις + : Z Z Z και : Z Z Z όπου η + είναι η συνήθης πρόσθεση και η ορίζεται από b= b R=, b, c, d ένα σύνολο με 4 στοιχεία Εξετάστε αν το R είναι δακτύλιος ως προς δύο πράξεις Έστω { } τέτοιες ώστε ο πίνακας της πρόσθεσης είναι ο ακόλουθος + b c d b c d b c d b c d b c d c b d Εξετάστε αν ο S είναι υποδακτύλιος του R Στις περιπτώσεις που ο S είναι υποδακτύλιος του R, εξετάστε αν είναι μεταθετικός, αν έχει μοναδιαίο στοιχείο, αν είναι περιοχή, και αν είναι σώμα S = Z, R=Z b S = Z[ ] = { + b R, b } c S = { + b R, b Z }, R=R d S = { + b, b, 0od} Z, R=R R Z, R=Z [ ] e S = {[0],[4],[8]}, R=Z 0 0 f S = M ( ) 0 R, R= M ( R ) 0 g S = M ( ) 0 R, R= M ( R ) b h S =, b, c, + b+ c= 0 0 c R, R= M ( R ) 4 Δείξτε ότι το σύνολο των αντιστρέψιμων στοιχείων του δακτυλίου Z[ ] = + b C, b Z είναι το {,,, }, { } b [ ] = { + b, b } Q R Q είναι το Q [ ] {0} 5 Δείξτε ότι ο πίνακας A M ( Z ) είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου M ( Z ) αν και μόνο αν det A=± 6 Έστω R δακτύλιος Δείξτε ότι αν ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο και u, v U ( R), τότε uv U ( R) b Έστω ότι υπάρχει μοναδικό στοιχείο e R με er = r για κάθε r R Δείξτε ότι re= r για κάθε r R 7 Δείξτε ότι το σύνολο UZ ( [ ]) είναι άπειρο [ ] [ b] 8 Έστω Z και T ( Z ) = A M ( Z ) A= [0] [ c]

Ασκήσεις 5 Δείξτε ότι το T ( ) Z είναι υποδακτύλιος του M ( ) Z b Αληθεύει ότι ο T ( ) Z είναι μεταθετικός; c Δείξτε ότι το σύνολο U ( T ( Z )) των αντιστρέψιμων στοιχείων του ( ) T Z έχει ϕ ( ) στοιχεία b 9 Δείξτε ότι το R= M ( ) b R είναι υποδακτύλιος του M ( ) R Επίσης, το R είναι σώμα 0 Πόσα στοιχεία του δακτυλίου M ( Z ) είναι αντιστρέψιμα; Αν είναι ένας πρώτος αριθμός, πόσα στοιχεία του δακτυλίου M ( ) Z είναι αντιστρέψιμα; Έστω R= Q Z,, b N b Δείξτε ότι ο R είναι υποδακτύλιος του Q b Δείξτε ότι ο R περιέχεται σε κάθε υποδακτύλιο του Q που περιέχει τα, c Αληθεύει ότι το Rείναι σώμα; Έστω R υποδακτύλιος του C με Q R Δείξτε ότι το R είναι Q διανυσματικός χώρος με πρόσθεση R R R τη πρόσθεση στο R, και εξωτερικό πολλαπλασιασμό Q R R τον περιορισμό του πολλαπλασιασμού του R b Δείξτε ότι αν d Q R<, τότε το R είναι σώμα Έστω C με = 0 Θέτουμε R= { c0 + c+ c c Q } Δείξτε ότι το Rείναι υποδακτύλιος του C b Δείξτε ότι το Rείναι σώμα c Δείξτε ότι + 0 και υπολογίστε c Q με ( + ) = c0 + c + c 4 Έστω R, S δύο δακτύλιοι Δείξτε ότι ο R S είναι μεταθετικός αν και μόνο αν οι R, S είναι μεταθετικοί b Δείξτε ότι ο R S έχει μοναδιαίο στοιχείο αν και μόνο αν οι R, Sέχουν μοναδιαία στοιχεία c Έστω ότι οι R, S έχουν μοναδιαία στοιχεία Δείξτε ότι U ( R S) = U ( R) U ( S) d Αληθεύει ότι αν οι R, S είναι περιοχές, τότε και ο R S είναι περιοχή; 5 Δείξτε ότι κάθε υποδακτύλιος του Z είναι της μορφής Z, όπου N 6 Αν R, I, είναι υποδακτύλιοι του δακτυλίου R, τότε η τομή R είναι υποδακτύλιος του R b Να βρεθεί ένα N τέτοιοι ώστε Z= 4Z 6Z c Δείξτε ότι το σύνολο Z Z δεν είναι υποδακτύλιος του Z 7 (Διωνυμικό ανάπτυγμα) Έστω R δακτύλιος και, b R Δείξτε ότι αν b= b, τότε για κάθε! N,, έχουμε ( + b) = + b + b, όπου =,! = ( Z ) =!( )! 8 Έστω πρώτος αριθμός και R μεταθετικός δακτύλιος τέτοιος ώστε r = 0 για κάθε r R Δείξτε τα εξής ( + b) = + b 9 b ( ) + b = + b για κάθε N Δείξτε ότι κάθε υπόσωμα του C περιέχει το Q b Δείξτε ότι τα σύνολα Q[ ] = { + b R, b Q } και Q[ ] = { + b, b } υποσώματα του C c Ποια είναι η τομή Q[ ] Q [ ] ; 0 Να βρεθούν οι υποδακτύλιοι του M ( R ) που περιέχουν τους συμμετρικούς πίνακες I R Q είναι

Ασκήσεις 6 Δείξτε ότι ο δακτύλιος R είναι μεταθετικός αν και μόνο αν Ένα στοιχείο r ενός δακτυλίου R λέγεται ταυτοδύναμο αν περιπτώσεις βρείτε όλα των ταυτοδύναμα στοιχεία του R R=Z 0 b R=Z, όπου πρώτος και Z c R= σώμα d R= M ( R ) ( b) b b r + = + + για κάθε, b R = r Σε καθεμιά από τις ακόλουθες Ένα στοιχείο r ενός δακτυλίου R λέγεται μηδενοδύναμο αν r = 0 για κάποιο θετικό ακέραιο Βρείτε όλα τα μηδενοδύναμα στοιχεία του Z 0 και του Z 60 b Συμπληρώστε την πρόταση: Έστω > Ο Z δεν έχει μη μηδενικό μηδενοδύναμο στοιχείο αν και μόνο αν ο 4 Έστω R δακτύλιος Δείξτε ότι αν το r R είναι μηδενοδύναμο (βλ προηγούμενη άσκηση) και ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο, τότε r U ( R) b Δείξτε ότι αν τα r, s R είναι μηδενοδύναμα και ο R μεταθετικός, τότε το rs είναι μηδενοδύναμο c Δείξτε ότι αν τα r, s R είναι μηδενοδύναμα και ο R μεταθετικός, τότε το r+ s είναι μηδενοδύναμο Συνεπώς το σύνολο των μηδενοδύναμων στοιχείων ενός μεταθετικού δακτυλίου R είναι υποδακτύλιος του R 5 Έστω R υποδακτύλιος ενός σώματος και, b R Αν υπάρχουν σχετικά πρώτοι θετικοί ακέραιοι, τέτοιοι ώστε = b και = b, τότε = b 6 Έστω R δακτύλιος Αν X R A( X ) = r R rx= 0 x X, θέτουμε { } Δείξτε ότι το A( X ) είναι υποδακτύλιος του R b Για R= M ( R ) και X = 0 0 βρείτε τον A( X ) και εξετάστε αν είναι μεταθετκός και αν έχει μοναδιαίο στοιχείο 7 Έστω A M ( ) Z με det A= 0 Θέτουμε R= { A Z } Δείξτε ότι ο R είναι μεταθετικός υποδακτύλιος του M ( Z ) b Δείξτε ότι ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο αν και μόνο αν A= 0 ή Tr( A ) =± Στις περιπτώσεις αυτές βρείτε τα αντιστρέψιμα στοιχεία του R C( R) = R r = r r R Το C( R ) ονομάζεται το κέντρο του 8 Αν R είναι δακτύλιος, έστω { } δακτυλίου R Δείξετε ότι C( R) = R R μεταθετικός b Δείξτε ότι το C( R ) είναι ένας υποδακτύλιος του R 0 c Δείξτε ότι C( M ( R) ) = 0 R d Δείξτε ότι C( M ( R) ) = { I R }, όπου I είναι ο ταυτοτικός πίνακας e Έστω R, S δυο δακτύλιοι Εξετάστε αν C( R S) = C( R) C( S) 9 * Έστω R δακτύλιος τέτοιος ώστε r + r C( R) για κάθε r (βλ προηγούμενη άσκηση για τον ορισμό του C( R ) ) Δείξτε ότι ο R είναι μεταθετικός 0 Έστω R πεπερασμένος δακτύλιος και R που δεν είναι μηδενοδιαιρέτης Δείτε ότι ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο και το είναι αντιστρέψιμο Έστω R δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο και, b R Δείξτε ότι αν το b U ( R), τότε b U ( R) Έστω R ένας δακτύλιος τέτοιος ώστε r = r για κάθε r R Δείξτε ότι ο R είναι μεταθετικός * Έστω R ένας δακτύλιος τέτοιος ώστε r = r για κάθε r R Δείξτε ότι ο R είναι μεταθετικός

Ασκήσεις 7 4 Έστω R δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο R και S υποδακτύλιος του R με μοναδιαίο στοιχείο S Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν U ( S) U ( R) b Αν R = S, τότε U ( S) U ( R) c Αν ο R είναι περιοχή και ο S μη τετριμμένος, τότε ο S είναι περιοχή d Αν ο R είναι σώμα και ο S πεπερασμένο σύνολο με τουλάχιστον δύο στοιχεία, τότε ο S είναι σώμα

Ασκήσεις 8 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις Έχουμε ([0],[]) = ([],[]), ([0],[]) [], ([],[]) [] και [] [] b Με πράξεις επαληθεύονται όλες οι ιδιότητες του ορισμού c Δεν ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα της καθώς ( b) c= ( b) c= ( b) c= b c και ( b c) = ( b c) = ( b c) = b+ c Για παράδειγμα, () =, ενώ ( ) = Απάντηση: Η πράξη της άσκησης αυτής δεν μπορεί να είναι η πρόσθεση δακτυλίου, για παράδειγμα δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο (δεν υπάρχει γραμμή της μορφής b c d ) (Επίσης, από τον πίνακα βλέπουμε ότι b+ d d+ b ) Απαντήσεις: Είναι μεταθετικός υποδακτύλιος και δεν έχει μοναδιαίο στοιχείο Συνεπώς δεν είναι περιοχή ούτε σώμα b Είναι περιοχή Δεν είναι σώμα, αφού, για παράδειγμα, το δεν είναι αντιστρέψιμο στο Z [ ] (αποδείξτε το) c Δεν είναι υποδακτύλιος Δεν είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό, ειδικά ( ) = 4 S (γιατί;) d Δεν είναι υποδακτύλιος Δεν είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό Για παράδειγμα, ενώ + S, έχουμε (+ ) = + 6 S αφού 0od e Σώμα (με μοναδιαίο στοιχείο το [4]) 0 0 f Σώμα (με μοναδιαίο στοιχείο το ) 0 g Δεν είναι υποδακτύλιος (δεν περιέχει το μηδενικό πίνακα) 0 h Δεν είναι υποδακτύλιος Δεν είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό Για παράδειγμα ενώ S, 0 0 0 έχουμε = S ) 0 0 4 Είναι σαφές ότι {,,, } U ( Z [ ]) (Για παράδειγμα, το αντίστροφο του είναι το, αφού ( ) = ( ) = ) Έστω + b C,, b Z, με + b U ( Z [ ]) Τότε υπάρχουν d, c Z με ( + b)( c+ d) = Λαμβάνοντας μέτρα μιγαδικών έχουμε ( + b)( c+ d) =, οπότε ( + b) ( c+ d) = και ( + b) ( c+ d) = Άρα ( + b )( c + d ) = Επειδή οι + b και c + d είναι θετικοί ακέραιοι, έχουμε + b = Επειδή, b Z παίρνουμε ) =± και b= 0 ή ) = 0 και b=± Συνεπώς ο + b είναι ένας από τους,,,, πράγμα που σημαίνει ότι U ( Z [ ]) {,,, } Άρα U ( Z [ ]) = {,,, } b Βλ σελίδα 8 5 Έστω ότι ο A M ( Z ) είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου M ( Z ) Τότε υπάρχει B M ( Z ) με AB= BA= I Λαμβάνοντας ορίζουσες έχουμε det( AB) = det I, οπότε (det A)(det B ) = Επειδή A, B M ( Z ), έχουμε det A,det B Z και άρα det A=±

Ασκήσεις 9 Αντίστροφα, έστω A M ( Z ) με det A=± Από τη γραμμική άλγεβρα, ξέρουμε ότι ο A είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του M ( R ) και A = dja, det A + j όπου στη θέση (, j ) του πίνακα dja υπάρχει το στοιχείο ( ) det A j, όπου A j είναι ο ( ) ( ) πίνακας που προκύπτει από τον A κατόπιν διαγραφής της j στήλης και γραμμής του A Επειδή τα στοιχεία του A είναι ακέραιοι, το ίδιο συμβαίνει με τον dja Επειδή det A=±, βλέπουμε ότι τα στοιχεία του ακέραιοι, δηλαδή A M ( ) Z Άρα υπάρχει A M ( ) Z τέτοιος ώστε AA = A A= I = M ( Z ) A είναι Δηλαδή το στοιχείο A M ( Z ) είναι αντιστρέψιμο Σημείωση: Ο πίνακας A= M ( Z ) είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου M ( R ) (αφού det A= 0 ) αλλά όχι του M ( ) Z (αφού det A= ± ) Στο M ( R ), A = 6 Έστω u, v U ( R) Τότε υπάρχουν u, v R τέτοια ώστε uu = u u= R και vv = v v= R Θέτοντας w= v u παρατηρούμε ότι ( uv) w= ( uv)( v u ) = (( uv) v ) u = ( u( vv )) u = ( u R ) u = uu = R Όμοια w( uv ) = Άρα uv U ( R) b Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( re r+ e) s= s για κάθε r, s R και χρησιμοποιήστε τη μοναδικότητα της υπόθεσης 7 Υπόδειξη: Δείξτε ότι το 8 είναι αντιστρέψιμα + είναι αντιστρέψιμο Άρα (βλ προηγούμενη άσκηση) τα ( ) b Δεν είναι γενικά μεταθετικός [ ] [ b] c Υπόδειξη: Δείξτε ότι U ( T ( Z)) [ ],[ c] U ( Z ) [0] [ c] 9 Βλ Παράδειγμα 5 5 +, N, 0 Έστω A M ( ) Z, οπότε κάθε στοιχείο του πίνακα A είναι στοιχείο του συνόλου Z Έχουμε Z = Ξέρουμε ότι ο A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν οι γραμμές του είναι γραμμικά ανεξάρτητες (ως στοιχεία του Z -διανυσματικού χώρου Z Z ) Έστω ότι ο A είναι αντιστρέψιμος Τότε για την πρώτη γραμμή του A υπάρχουν δυνατές περιπτώσεις (όλες εκτός από τη μηδενική γραμμή) Για τη δεύτερη γραμμή υπάρχουν περιπτώσεις (όλες οι περιπτώσεις εκτός από αυτές που η δεύτερη γραμμή είναι πολλαπλάσιο της πρώτης) Άρα το πλήθος των αντιστρέψιμων στοιχείων του A M ( ) Z είναι ( )( ) Υπόδειξη: Άμεσο από την Πρόταση 0 b Έστω S ένας υποδακτύλιος του Q με, S Έχουμε = + S λόγω της κλειστότητας της πρόσθεσης Επειδή ο S είναι δακτύλιος, S και άρα κάθε άθροισμα της μορφής + +, όπου =±, ανήκει στο S Άρα Z S

Ασκήσεις 0 Επίσης, = S για κάθε Z λόγω της κλειστότητας του πολλαπλασιασμού Όμοια, S b για κάθε b Z Άρα = S, δηλαδή R S b b c To R δεν είναι σώμα Για παράδειγμα, το 7 R δεν είναι αντιστρέψιμο Πράγματι, αν το 7 ήταν αντιστρέψιμο στο R, τότε θα υπήρχαν Z,, b N με = 7, οπότε 7= b που σημαίνει ότι 7 ή b 7 b, άτοπο b Έστω R {0} Αρκεί να δείξουμε ότι ο μιγαδικός αριθμός ανήκει στο R Θεωρούμε την απεικόνιση f : R R, r r Εύκολα επαληθεύεται ότι η f είναι Q-γραμμική και - Επειδή d Q R<, είναι επί Συνεπώς υπάρχει s R με s= Τότε s=, οπότε R Είναι σαφές ότι R Έστω c0 + c + c, d0+ d+ d R όπου c, d Q Τότε c + c + c ( d + d + d ) = c d + ( c d ) + ( c d ) R Από 0 0 0 0 4 = + έχουμε = + και επομένως ( c + c + c )( d + d + d ) = 0 0 = c d + ( c d + c d ) + ( c d + c d + c d ) + ( c d + c d ) + ( c d ) = 4 0 0 0 0 0 0 = c d + ( c d+ c d ) + ( c d + c d+ c d ) + ( c d + c d )( + ) + ( c d )( + ) = 0 0 0 0 0 0 = c0d0 + cd + cd+ ( c0d+ cd 0+ cd+ cd + cd) + ( c0d + cd + cd0 + cd) R Άρα το R είναι υποδακτύλιος του C b Έπεται από το ερώτημα b της προηγούμενης άσκησης c Αν + = 0, τότε + = 0 δηλαδή + ( + ) = 0, οπότε = που όμως δεν ικανοποιεί τη σχέση = 0 Άρα + 0 Από το έχουμε ( + )( c0 + c + c ) = c0 + c + ( c + c) + ( c0 + c) Εύκολα επαληθεύεται ότι το σύστημα c0 + c = c + c = 0 c0 + c = 0 έχει τη λύση c0 = 9 9, c = 9, c = 9 Συνεπώς για τις τιμές αυτές έχουμε ( + )( c0 + c + c ) =, δηλαδή ( + ) = c + c + c 0 4 b Υπόδειξη: Αν τα R, S έχουν μοναδιαία στοιχεία R,S αντίστοιχα, δείξτε ότι το ( R, S ) είναι μοναδιαίο στοιχείο του R S Αντίστροφα, αν το R S έχει μοναδιαίο στοιχείο R S, τότε υπάρχουν r 0 R, s 0 S με R S = ( r0, s0) Δείξτε ότι τα r 0, s 0 είναι μοναδιαία στοιχεία των R, S αντίστοιχα d Δεν αληθεύει Από την υπόθεση έχουμε 0 και 0, οπότε (,0 ) (0,0 ) = 0 και (0, ) (0,0 ) = 0 Αλλά (,0 )(0, ) = ( 0,0 ) = (0,0 ) = 0 5 R S R S R S R R R S R S R R S S R s R S S S R s R s R S

Ασκήσεις Έστω R ένας υποδακτύλιος του Z Τότε R και αν R, τότε R Μπορούμε να υποθέσουμε ότι R {0} Τότε R Z Έστω ο ελάχιστος θετικός ακέραιος με R Έχουμε Z R γιατί ο R είναι δακτύλιος Αν R, τότε από την Ευκλείδεια διαίρεση υπάρχουν q, r Z με = q+ r, 0 r< Έχουμε r = q R γιατί, R και R δακτύλιος Λόγω του ελαχίστου του παίρνουμε r = 0 Τότε = q R Άρα R Z Συνεπώς R= Z 6 b Απάντηση: = εκπ (4,6) = 7 Βλ Παράδειγμα 8 Βλ Παράδειγμα 9 c Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν + b = c+ d, όπου, b, c, d Q, τότε b= d = 0 Άρα Q[ ] Q[ ] = Q 0 Υπόδειξη: Αν A= ( j ), τότε Ess AEtt = stest Απάντηση: Υπάρχει μόνο ένας, ο M ( R ) Έχουμε ( + b) = ( + b)( + b) = ( + b) + b( + b) = + b+ b+ b Άρα ( + b) = + b+ b + b+ b+ b = + b+ b b= b Απάντηση: [0],[],[5],[6] b [0],[] c 0 R,R d Βλ παρακάτω Για το b παρατηρούμε ότι αν [ ] Z ικανοποιεί [ ] = [ ], τότε ( ) Από αυτό έπεται ότι (δικαιολογήστε το) Άρα [ ] = [0],[] ή Για το d χρησιμοποιούμε λίγη γραμμική άλγεβρα: Ο πίνακας A M ( R ) ικανοποιεί A = A, αν και μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμο του A είναι ένα από τα x, x, x( x ) Αντίστοιχα έχουμε 0 0 0 0 A=, A=, Aόμοιος με τον (άσκηση) 0 0 0 0 0 b 0 bc b Στην τελευταία περίπτωση, υπάρχει αντιστρέψιμος P= με A= P P = c d 0 0 d bc dc d Απάντηση: To Z 0 έχει μοναδικό μηδενοδύναμο στοιχείο, το [0] To Z 60 έχει δύο μηδενοδύναμα στοιχεία, τα [0],[0] b Ο Z δεν έχει μη μηδενικό μηδενοδύναμο στοιχείο αν και μόνο αν ο δεν διαιρείται με το τετράγωνο πρώτου (ή ισοδύναμα =, όπου,, διακεκριμένοι πρώτοι) Απόδειξη: Έστω =, όπου,, διακεκριμένοι πρώτοι και έστω [ ] Z με [ ] = [0], Z Τότε [ ] = [0] και άρα, οπότε για κάθε Επειδή πρώτος, Επειδή οι,, είναι ανά δύο σχετικά πρώτοι,, δηλαδή Άρα [ ] = [0] Αντίστροφα, έστω ότι ο δακτύλιος Z δεν έχει μη μηδενικό μηδενοδύναμο στοιχείο και έστω = η ανάλυση του σε γινόμενο πρώτων Έστω =, οπότε, όπου = x{,, } Δηλαδή [ ] = [0] Από την υπόθεση παίρνουμε [ ] = [0], δηλαδή, πράγμα που σημαίνει ότι = για κάθε 4

Ασκήσεις Αν r = 0, τότε r + r+ + r = + r+ + r r = r = ( )( ) ( )( ) N c Υπόδειξη: Αν r = s = 0, βρείτε ένα N τέτοιο ώστε ( r+ s) = 0 με τη βοήθεια του διωνυμικού αναπτύγματος (άσκηση 7) 5 Παρατήρηση: Από την υπόθεση υπάρχει σώμα F τέτοιο ώστε ο R είναι υποδακτύλιος του F Άρα αν r R {0}, τότε στο F υπάρχει το αντίστροφο r x του r Συνεπώς, αν x Z, τότε το (ορίζεται και για αρνητικούς ακέραιους x ) είναι ένα στοιχείο του F Με τους συμβολισμούς της άσκησης, αν = 0, τότε b = 0 και άρα b= 0 (γιατί το F είναι σώμα) Υποθέτουμε ότι, b 0 Επειδή οι, είναι σχετικά πρώτοι, υπάρχουν x, y Z τέτοιοι ώστε = x+ y Εργαζόμενοι στο x+ y x y x y x+ y F έχουμε = = ( ) ( ) = ( b ) ( b ) = b = b 6 0 b b Απάντηση: A( X ) = b, d 0 d R Δεν είναι μεταθετικός και δεν έχει μοναδαίο στοιχείο 7 Υπόδειξη: Για να δείξουμε ότι το R είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό πινάκων παρατηρούμε ότι από το Θεώρημα των Cyley-Hlto της Γραμμικής Άλγεβρας, A = Tr( A) A R b Απάντηση: Αν Tr( A ) =, τότε R = A και U ( R) = { A, A} Αν Tr( A ) =, τότε R = A και U ( R) = { A, A} 8 c Έστω A C( M ( R )) Τότε AB= BA για κάθε B M ( R ) Έστω b 0 A= Επιλέγοντας B= c d 0 0 έχουμε b 0 0 b 0 b = = b= c= 0 c d 0 0 0 0 c d c 0 0 0 0 0 Επιλέγοντας B= έχουμε 0 b 0 0 0 0 b b 0 0 0 = = = d c d 0 0 c d d 0 b 0 0 0 Άρα A= και C( M ( R) ) 0 0 R Είναι σαφές ότι C( M ( )) 0 R R και άρα έχουμε ισότητα d Ας αναπτύξουμε την ιδέα της προηγούμενης λύσης πιο συστηματικά Έστω E M ( R ) ο πίνακας του οποίου όλα τα στοιχεία είναι 0 εκτός από το στοιχείο στη θέση (, j ) που είναι ίσιο με Υπενθυμίζουμε ότι Et, αν j= s Ej Est = 0, αν j s Έστω A C( M ( R )) Τότε E j A= AE j Γράφοντας A= stest παίρνουμε t t jt sj s s s, t j E E = E E και άρα st j st st st j s, t s, t E = E ()

Ασκήσεις Πολλαπλασιάζοντας την () από δεξιά με το = Αν j E j παίρνουμε j E jj stese j s, το δεξί μέλος της τελευταίος ισότητας είναι 0 και άρα έχουμε j = 0 Τότε η σχέση () γίνεται E j = jje j και άρα = jj Συνεπώς A= = R R I και C( M ( )) { I } Η σχέση { I R} C( M R ) είναι σαφής και άρα { I } = C( M ) ( ) e Απάντηση: Αληθεύει 9 Από τη υπόθεση έπεται ότι Επειδή ( ) ( ) R ( ) R r+ s + r+ s C R για κάθε r, s R Άρα r s rs sr r s C R r r s s C R + + + + + ( ) +, + ( ) και ο C( R ) είναι δακτύλιος (βλ προηγούμενη άσκηση) παίρνουμε rs+ rs C( R) Άρα r( rs+ sr) = ( rs+ sr) r δηλαδή κάθε s R, έχουμε r C( R) Επειδή r R Άρα ο R είναι μεταθετικός r s+ rsr = rsr+ sr, οπότε r r C R r s= sr Επειδή η τελευταία σχέση ισχύει για + ( ) και ο C( R ) είναι δακτύλιος, έχουμε r C( R) για κάθε 0 Λύση: Επειδή το δεν είναι μηδενοδιαιρέτης, η απεικόνιση R R, r r είναι - Επειδή το σύνολο R είναι πεπερασμένο, αυτή είναι επί Συνεπώς υπάρχει e R με e= Από ( e ) = ( e) = ( e) = = 0, έπεται ότι e = 0, γιατί το δεν είναι μηδενοδιαιρέτης Συνεπώς έχουμε e= e= Θα δείξουμε τώρα ότι er = re= r για κάθε r R Πράγματι, από ( er r) = ( er) r = ( e) r r = r r = 0 έπεται ότι er r= 0 γιατί το δεν είναι μηδενοδιαιρέτης Όμοια, έχουμε ( re r) = 0 και επομένως re r = 0 Άρα er = re= r Υπόδειξη: Δείξτε ότι αν c είναι το αντίστροφο του b, τότε το + bc είναι το αντίστροφο του b Από ( x+ x) = x+ x έχουμε 4x = x και άρα 4x= x, δηλαδή x= x για κάθε x R Από ( x+ y) = x+ y παίρνουμε x + y + xy+ yx= x+ y και αφού δηλαδή xy = yx Άρα xy= yx Δύσκολη άσκηση Υπόδειξη: Έστω x, y R ) Αναπτύσσοντας το αριστερό μέλος της x = x και y ( ) ( ) ( ) ( ) = y παίρνουμε xy+ yx= 0, x+ y x y = x+ y x y = y δείξτε ότι x y+ xyx+ yx = 0 Έστω A το αριστερό μέλος της τελευταίας σχέσης Χρησιμοποιώντας xa Ax= 0 δείξτε ότι xy= yx ) Από ( x+ x) = x+ x έπεται ότι 6x= 0 ) Αναπτύσσοντας το ( x+ y) ( x + y ) = 0, θέτοντας y = x και χρησιμοποιώντας το ) δείξτε ότι x = x 4) Από το ) έχουμε ( x+ y) ( x+ y) = 0 Αναπτύσσοντας το αριστερό μέλος και χρησιμοποιώντας το ) δείξτε ότι xy= yx

Ασκήσεις 4 Το ζητούμενο έπεται από την προηγούμενη σχέση και το ) 4 Λ b Σ c Σ d Σ

Ασκήσεις4 5 Ασκήσεις4 Πολυώνυμα Συμβολισμός: Στις παρακάτω ασκήσεις, θα ακολουθούμε συχνά συμβολισμό σύμφωνα με το παράδειγμα: το πολυώνυμο [] x + [5] x+ [4] Z [ x] θα συμβολίζεται x + 5x+ 4 Z [ x] 7 Ποιοι από τους δακτυλίους Z [ x], Z [ x] είναι περιοχές; Ποιο είναι το 4 5 U ( Z 5[ x]) ; Δείξτε ότι U ( Z [ x]) U ( Z ) 4 4 Δώστε ένα παράδειγμα f ( x) Z 6[ x] που έχει βαθμό και δεν είναι ανάγωγο 0 40 0 Έστω R μια περιοχή Δείξτε ότι δεν υπάρχει f ( x) R[ x] με ( x+ ) + ( x + ) = f ( x) b Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα f ( x) Q [ x] με f ( x+ ) f ( x+ ) = f ( x) 4 Έστω R ένας μεταθετικός δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο Δείξτε ότι το x+ b R[ x] είναι αντιστρέψιμο αν και μόνο αν το b είναι αντιστρέψιμο στο R και υπάρχει Z με = 0 5 Έστω F, K δύο σώματα τέτοια ώστε το F είναι υποδακτύλιος του K (για παράδειγμα F =Q και K =C ) Έστω f ( x), g( x) F[ x] Αν στο K[ x ] ισχύει f ( x) g( x ), τότε στο F[ x ] ισχύει f ( x) g( x ) b Ο μκδ των f ( x), g( x ) όταν αυτά θεωρηθούν ως στοιχεία του F[ x ] είναι ίσος με το μκδ των f ( x), g( x ) όταν αυτά θεωρηθούν ως στοιχεία του K[ x ] 6 Έστω F ένα σώμα, ( x), b( x), f ( x) F[ x] και µκδ ( ( x), b( x)) = Αν ( x) b( x) f ( x ), τότε ( x) f ( x ) b Αν ( x) f ( x ) και b( x) f ( x ), τότε ( x) b( x) f ( x ) c µκδ ( ( x), b( x) f ( x)) = µκδ ( ( x), f ( x)) d µκδ ( ( x) b( x), f ( x)) = µκδ ( ( x), f ( x)) µκδ ( b( x), f ( x)) 7 Να βρεθούν όλα τα μονικά f ( x) R [ x] βαθμού τέτοια ώστε µκδ ( f ( x), x + ) και deg ( f ( x), x x ) µκδ + =, b όλα τα μονικά ανάγωγα ( x), q( x) Q [ x] με ( x ) ( x) + ( x+ ) q( x) = ( x) q( x) 8 Να βρεθεί ένα f ( x) Q [ x] με ρίζα το + + 9 Να βρεθούν όλα τα f ( x) Z [ x] τέτοια ώστε xf ( x ) = ( x 04) f ( x) 0 Δεν υπάρχει πολυώνυμο f ( x) Z [ x] θετικού βαθμού τέτοιο ώστε για κάθε N, το f ( ) να είναι πρώτος Έστω F ένα σώμα Αποδείξτε ότι υπάρχουν άπειρα στο πλήθος ανάγωγα πολυώνυμα στο F[ x ] b Έστω ότι το F είναι πεπερασμένο σώμα Αποδείξτε ότι για κάθε N υπάρχει ανάγωγο πολυώνυμο του F[ x ] βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του d Έστω F ένα σώμα και, Z Τότε στο F[ x ] έχουμε µκδ ( x, x ) = x, όπου d = µκδ (, ) Έστω πρώτος Δείξτε ότι στο Z [ x ], x x= x( x )( x )( x ( )) b Δείξτε ότι ( )! od c Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 98! με το 0 d Αν >, δείξτε ότι j 0 od 0< < j< 7

Ασκήσεις4 6 π π 4 Έστω Z και ζ = cos + s C Δείξτε ότι στο C [ x], x = ( x )( x ζ )( x ζ )( x ζ ) ( + j)π b Δείξτε ότι αν, τότε cos = 0 0 < j 5 Έστω πρώτος Δείξτε ότι για κάθε f ( x) Z [ x], ( f ( x)) = f ( x ) 6 Βρείτε την ανάλυση σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων των ακόλουθων πολυωνύμων: x + x + Z [ x], b 4 x x x + + Z [ ], c x + Z [ x], όπου πρώτος, d x + Z [ x], όπου πρώτος με od 4 7 Έστω πρώτος Βρείτε την ανάλυση του Z [ x ] 4 8 Εξετάστε αν το x + Z 5[ x] είναι ανάγωγο 9 Δείξτε ότι το ( x )( x )( x 0) Z [ x] είναι ανάγωγο x x Z [ x] σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων στο 0 Έστω πρώτος και N Ποια απεικόνιση Z Z επάγει το πολυώνυμο x x Z [ x] ; Έστω πρώτος και f ( x) = x x+ Z [ x] Δείξτε ότι το f ( x ) δεν έχει ρίζα στο Z b Έστω F ένα σώμα που περιέχει ως υποδακτύλιο το Z Δείξτε ότι = F και 0 Z r = για κάθε r F *Δείξτε ότι αν το F περιέχει μια ρίζα του f ( x ), τότε περιέχει διακεκριμένες ρίζες του f ( x ) Έστω πρώτος και Δείξτε ότι x x f ( x) ( ) ( ) ( ) [ ] f x = x + x+ x + x+ Z x b Βρείτε την ανάλυση του f ( x ) σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων στο Z [ x ] για = και = Έστω πρώτος και f ( x) = x + x x Βρείτε την ανάλυση του f ( x ) σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων στο Z [ x ] 4 Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του και ποιος ο µκδ ( f ( x), g( x)) ; 5 Έστω 4 ( ) 4 6 4 5 7[ ] f x = x + x + x+ Z x με το g x x x 4 ( ) 4 5[ ] f x = x + x + x + x+ Z x και g x = x + x + x Z x Βρείτε το ( ) 5 6 7[ ] ( ) = + Z 5[ ] µκδ ( f ( x), g( x)) και πολυώνυμα ( x), b( x) Z 7[ x] τέτοια ώστε µκδ ( f ( x), g( x)) = ( x) f ( x) + b( x) g( x) 6 Έστω f ( x), g( x) Z [ x], όπου πρώτος και 4 f ( x) = x + x + 4x + 8x+ 9, g( x) = x + x+ Για ποιους ισχύει ότι deg µκδ ( f ( x), g( x)) = ; 7 Βρείτε όλα τα f ( x) Z [ x] βαθμού 7 τέτοια ώστε µκδ ( f ( x), x + x+ ) και µκδ ( f ( x), x + ) 4 9 8 Έστω f ( x), g( x) C [ x], f ( x) = x( x ), g( x) = x Βρείτε το µκδ ( f ( x), g( x)) b Βρείτε ( x), b( x) C [ x] τέτοια ώστε 0 x x f x b x g x = ( ) ( ) + ( ) ( )

Ασκήσεις4 7 9 Έστω πρώτος Δείξτε ότι το πλήθος των μονικών αναγώγων πολυωνύμων βαθμού στο Z [ x ] 0 είναι ίσο με ( ) Βρείτε όλα τα ανάγωγα πολυώνυμα στο Z [ x] βαθμού 4 b Έστω f ( x) Z [ x] βαθμού 5 Δείξτε ότι το f ( x ) είναι ανάγωγο αν και μόνο αν το f ( x ) δεν έχει ρίζα στο Z [ x] και δεν διαιρείται με το x c Εξετάστε αν το 5 4 x x x + x+ + + Z [ ] είναι ανάγωγο Έστω Z Βρείτε στο R [ x] το µκδ των x x x x + ( + ) +, + Έστω Z Δείξτε ότι το x + x+ διαιρεί το ( x+ ) + x + στο R [ x] αν και μόνο αν, 4 od 6 *Να βρεθούν όλα τα f ( x), g( x) R [ x] τέτοια ώστε f ( x) g( x+ ) f ( x+ ) g( x) = 4 Να λυθεί στο C το σύστημα + b+ c= 6, b+ c+ bc=, bc= 6 5 Αν ένα πολυώνυμο f ( x) Z [ x] λαμβάνει την τιμή 7 για τέσσερις διαφορετικές ακέραιες τιμές του x, τότε το f ( x ) δεν λαμβάνει την τιμή 4 για καμιά ακέραια τιμή του x 6 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Δικαιολογήστε την απάντησή σας To x Q [ x] είναι ανάγωγο b Το x R [ x] είναι ανάγωγο c Αν, είναι περιττοί ακέραιοι, το d Το x x 5 x + + Z [ ] είναι ανάγωγο x x x + + Z [ ] είναι ανάγωγο e Το x + x+ Z 5[ x] είναι ανάγωγο f Έστω F ένα σώμα Ένα f ( x) F[ x] βαθμού 4 είναι ανάγωγο αν και μόνο αν δεν έχει ρίζα στο F 00 g Έστω πρώτος Το x x + 5x x + Z [ x] διαιρείται με το x+ Z [ x] αν και μόνο αν =, h Έστω πρώτος Το + 5 + Z [ ] διαιρείται με το x 00 x x x x x Z [ x] αν και μόνο αν = Υπάρχει μοναδικό μονικό ανάγωγο πολυώνυμο στο R [ x] που έχει στο C ρίζα το j Κάθε μη μηδενικό f ( x) R[ x], όπου R δακτύλιος με μονάδα, έχει το πολύ deg f ( x ) ρίζες στο R Αν είναι περιττός πρώτος, τότε το x + x+ Z [ x] έχει ακριβώς μια ρίζα στο Z l Αν είναι περιττός πρώτος και Z, τότε το x + Z [ x] δεν είναι ανάγωγο

Ασκήσεις4 8 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις4 Ο Z [ x] είναι περιοχή αφού ο 5 Z 5 είναι περιοχή (βλ Πρόταση 4 και Πρόταση 4) Ο Z [ x] 4 δεν είναι περιοχή αφού = 0 και 0 Στο Z [ x] 4 έχουμε ( x+ )( x+ ) = Άρα x+ U ( Z 4[ x]) και επομένως U ( Z4[ x]) U ( Z 4) Στο Z [ x] 6 έχουμε ( x + )( x + ) = 5 x + Άρα το 5 x+ δεν είναι ανάγωγο στο Z [ x] 6 Παρατηρούμε ότι 04 40 04 40 deg( x+ ) = 04, deg( x + ) = 40, deg( x+ ) deg( x + ) Άρα 04 40 deg(( x ) ( x ) ) 04 + + + = Αν ( x ) ( x ) f ( x) 04 40 0 + + + =, τότε 0 04= deg( f ( x) ) = 0deg f ( x) σύμφωνα με την Πρόταση 4 Αυτό είναι άτοπο αφού το 0 δεν διαιρεί το 0 b Απάντηση: Συγκρίνοντας μεγιστοβάθμιους όρους προκύπτει f ( x ) = 0 4 Έστω ότι το b R είναι αντιστρέψιμο και υπάρχει Z με = 0 Τότε θέτοντας r r = ( b x) = ( b ) x = 0 γιατί ο R είναι μεταθετικός Παρατηρούμε ότι ( r+ ) (( r) + ( r) + + ( r) + ) = (( ) r ( ) r ( ) r r) (( ) r ( ) r ( r) ) + + + + + + + + + = ( ) r + = = b x έχουμε Άρα το r + είναι αντιστρέψιμο στο R[ x ] Συνεπώς το b( r+ ) = x+ b είναι αντιστρέψιμο σύμφωνα με την άσκηση 6 Αντίστροφα, έστω ότι το x+ b είναι αντιστρέψιμο Τότε υπάρχουν c R με ( x+ b)( c x + + c x+ c ) = Άρα 0 c = 0 c + bc = 0 c + bc = 0 c0 + bc = 0 bc0 = Από την τελευταία σχέση έπεται ότι το b και το c 0 είναι αντιστρέψιμα στο R Με διαδοχικές αντικαταστάσεις εργαζόμενοι από την τελευταία σχέση προς τα πάνω μέχρι τη δεύτερη, παίρνουμε ( ) + c c + = + + Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση έχουμε ( ) c = 0 Άρα + = 0 γιατί το ( ) + c 0 0 είναι αντιστρέψιμο στο R 5 Αν f ( x ) = 0, τότε g( x ) = 0 και είναι σαφές ότι ισχύει το αποτέλεσμα Έστω ότι f ( x) 0 Από την υπόθεση υπάρχει h( x) K[ x] με g( x) = h( x) f ( x) Από την Ευκλείδεια διαίρεση στο F[ x ] υπάρχουν q( x), r( x) F[ x] με 0

Ασκήσεις4 9 g( x) = q( x) f ( x) + r( x) και deg r( x) < deg f ( x) Από τη μοναδικότητα στην Ευκλείδειας διαίρεσης στο K[ x ] έπεται ότι r( x ) = 0 b Υπόδειξη: Και στις δυο περιπτώσεις οι αντίστοιχοι Ευκλείδειοι αλγόριθμοι ταυτίζονται 6 και b Υπάρχουν g( x), h( x) F[ x] με = g( x) ( x) + h( x) b( x) σύμφωνα με το Θεώρημα 7 Άρα f ( x) = f ( x) g( x) ( x) + f ( x) h( x) b( x) () Από την υπόθεση έχουμε ( x) f ( x) h( x) b( x ) Είναι σαφές ότι ( x) f ( x) g( x) ( x ) Άρα ( x) f ( x) g( x) ( x) + f ( x) h( x) b( x), δηλαδή ( x) f ( x ) b Επειδή b( x) f ( x ) έχουμε ( x) b( x) f ( x) g( x) ( x ) Επειδή ( x) f ( x ) έχουμε ( x) b( x) f ( x) h( x) b( x ) Άρα ( x) b( x) f ( x) g( x) ( x) + f ( x) h( x) b( x), δηλαδή ( x) b( x) f ( x ) c Επειδή μκδ( ( x), b( x) f ( x)) ( x ) και μκδ( ( x), b( x) f ( x)) b( x) f ( x ), από την () έπεται ότι μκδ( ( x), b( x) f ( x)) f ( x ) [Σημείωση: Θα μπορούσαμε να φτάσουμε στο ίδιο συμπέρασμα εφαρμόζοντας το ] Επειδή μκδ( ( x), b( x) f ( x) ( x ) και μκδ( ( x), b( x) f ( x)) f ( x ), παίρνουμεμκδ( ( x), b( x) f ( x)) μκδ( ( x), f ( x )) Έχουμε μκδ( ( x), f ( x)) f ( x ), οπότε μκδ( ( x), f ( x)) b( x) f ( x ) Από μκδ( ( x), f ( x)) ( x ) και μκδ( ( x), f ( x)) b( x) f ( x) έπεται ότι μκδ( ( x), f ( x) μκδ( ( x), b( x) f ( x )) Τελικά έχουμε μκδ( ( x), b( x) f ( x)) μκδ( ( x), f ( x )) και μκδ( ( x), f ( x)) μκδ( ( x), b( x) f ( x )) Επειδή τα πολυώνυμα μκδ( ( x), b( x) f ( x)) και μκδ( ( x), f ( x )) είναι μονικά και το F είναι περιοχή παίρνουμε μκδ( ( x), b( x) f ( x)) = μκδ( ( x), f ( x)) [Σημείωση Καλό είναι να συγκριθούν τα παραπάνω με την άσκηση ] d Έστω d( x) = µκδ ( ( x) b( x), f ( x)), d( x) = µκδ ( ( x), f ( x)), d( x) = µκδ ( b( x), f ( x)) Έχουμε d ( x) ( x ) και d ( x) f ( x ), άρα d ( x) ( x) b( x ) και d ( x) f ( x ) Συνεπώς d ( x) d( x ) Όμοια αποδεικνύεται ότι d ( x) d( x ) Επειδή d ( x) ( x ), d ( ) ( ) x b x και µκδ ( ( x ), b ( x )) =, έχουμε µκδ ( d( x), d( x)) = Από το υποερώτημα b έπεται ότι d( x) d( x) d( x ) Επειδή d( x) ( x) b( x ), έχουμε d( x) = d ( x) d ( x), όπου d ( x) ( x ) και d ( x) b( x ) Επειδή d( x) f ( x ) b έχουμε d( x) f ( x ) Άρα d ( ) ( ) x d x Όμοια d ( ) ( ) b x d x Συνεπώς d( x) db( x) d( x) d( x ), δηλαδή d( x) d( x) d( x ) Από d( x) d( x) d( x ), d( x) d( x) d( x ) και το γεγονός ότι τα d( x), d( x) d( x ) είναι μονικά παίρνουμε d( x) = d ( x) d ( x) αφού το F είναι περιοχή 7 Ο µκδ ( f ( x), x + ) διαιρεί το µκδ ( f ( x), x ) x + Επειδή το x b + R [ x] είναι ανάγωγο και μονικό, από + έπεται ότι µκδ ( f ( x), x + ) = x + Άρα x + f ( x) Έχουμε x x+ = ( x )( x ) Από τη σχέση deg µκδ ( f ( x), x x+ ) = έπεται ότι ισχύει ακριβώς μία από τις εξής σχέσεις µκδ ( f ( x), x x+ ) = x ή µκδ ( f ( x), x x+ ) = x, οπότε x f ( x) ή x f ( x) Επειδή το παίρνουμε τελικά b Απάντηση: ( x )( x ) f ( x) + ή f ( x) = ( x + )( x ) ή x q x x x ( ) = ( ) = + + x + είναι σχετικά πρώτο με καθένα από τα x, x ( x )( x ) f ( x) + Επειδή το f ( x ) είναι βαθμού και μονικό έχουμε f ( x) = ( x + )( x )

Ασκήσεις4 0 8 Αν ρ = + + Το ρ είναι ρίζα του, τότε 4 4 ( ρ ) = + ρ ρ = ρ 4ρ + 4ρ = ρ 4ρ + 4ρ = 0 4 x x x x 4 + 4 Q [ ] 9 Υπόδειξη: Δείξτε ότι x f ( x) για κάθε = 0,,,0 Απάντηση: f ( x) = cx( x )( x 0), c Z 0 Έστω f ( x) Z [ x] τέτοιο ώστε για κάθε Z το f ( ) είναι πρώτος αριθμός Έστω Z και f ( ) = πρώτος Για κάθε Z έχουμε + od και άρα f ( + ) f ( ) 0 od (Πρόταση 4) Αλλά ο ακέραιος f ( + ) είναι πρώτος Συνεπώς από f ( + ) 0 od έπεται ότι f ( + ) = Δηλαδή το πολυώνυμο f ( x) Z [ x] έχει άπειρες ρίζες Άρα f ( x) = Υπόδειξη: Η απόδειξη είναι όμοια με την απόδειξη του Ευκλείδη ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι b Έστω ότι υπάρχει N τέτοιο ώστε κάθε ανάγωγο πολυώνυμο του F[ x ] έχει βαθμό μικρότερο του Επειδή το F είναι πεπερασμένο, το σύνολο { f ( x) F[ x] deg f ( x) < } είναι πεπερασμένο Άρα το σύνολο των αναγώγων πολυωνύμων του F[ x ] είναι πεπερασμένο Επίσης είναι μη κενό (πχ περιέχει το πολυώνυμο x ) Έστω ότι το σύνολο των αναγώγων πολυωνύμων του F[ x ] είναι το { ( x),, ( x )} Το P( x) = ( x) ( x) ( x) + είναι θετικού βαθμού και άρα διαιρείται με κάποιο ανάγωγο πολυώνυμο σύμφωνα με το Θεώρημα 0, δηλαδή για κάποιο j έχουμε ( x) P( x ) Επειδή ( x) ( x) ( x) ( x ) παίρνουμε ( x ), άτοπο j j Υπόδειξη: Τροποποιήστε κατάλληλα την πρώτη λύση της άσκησης και b Βλ Εφαρμογές 46 και c Ο 0 είναι πρώτος και από το προηγούμενο υποερώτημα έχουμε 00! od0, δηλαδή [ 98 99 00] = [ ] στο Z 0 Με τη βοήθεια του Ευκλείδειου αλγορίθμου βρίσκουμε ότι το αντίστροφο του [99 00] Z 0 είναι το [ 50] Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη παίρνουμε [ 98 99 00][ 50] = [ ][ 50], δηλαδή [ 98] = [50] Άρα το ζητούμενο υπόλοιπο είναι 50 d Υπόδειξη: Συγκρίνετε τους συντελεστές του j x στην ισότητα του υποερωτήματος 4 Από το Παράδειγμα 4 4 έχουμε ζ = cos( π ) + s( π ) = Άρα για κάθε j = 0,,,, το j ικανοποιεί ( ζ ) ( ζ ) j j 0 = = Δηλαδή κάθε ζ είναι ρίζα του x Τα ζ, ζ,, ζ είναι διακεκριμένα (γιατί;) Επειδή το πλήθος τους είναι = deg( x ) και το C είναι σώμα, έχουμε 0 = ( ζ )( ζ )( ζ ) για κάποιο u C Συγκρίνοντας μεγιστοβάθμιους όρους στα δύο μέλη x u x x x παίρνουμε u= b Συγκρίνοντας τους συντελεστές του j 0 = ζ + 0 < j x στην ισότητα του υποερωτήματος παίρνουμε j ζ