2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ο ΧΩΡΟΣ JAMES TREE - Η ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΝΟΣ ΚΑΘΟΛΙΚΑ ΑΔΙΑΣΠΑΣΤΟΥ ΧΩΡΟΥ BANACH Κουζούμη Φωτεινή Μεταπτυχιακή Διατριβή ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 206

2

3

Η παρούσα Μεταπτυχιακή Διατριβή εκπονήθηκε στο πλαίσιο των σπουδών για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ που απονέμει το Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων. Εγκρίθηκε την 8η Δεκεμβρίου 206 από την εξεταστική επιτροπή: Εξεταστική επιτροπή: Ονοματεπώνυμο Βαθμίδα. Ανδρέας Τόλιας (Επιβλέπων Επίκουρος Καθηγητής 2. Γεώργιος Καρακώστας Καθηγητής 3. Ιωάννης Γιαννούλης Επίκουρος Καθηγητής ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΔΗΛΩΣΗ Δηλώνω υπεύθυνα ότι η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε κάτω από τους διεθνείς ηθικούς και ακαδημαϊκούς κανόνες δεοντολογίας και προστασίας της πνευματικής ιδιοκτησίας. Σύμφωνα με τους κανόνες αυτούς, δεν έχω προβεί σε ιδιοποίηση ξένου επιστημονικού έργου και έχω πλήρως αναφέρει τις πηγές που χρησιμοποίησα στην εργασία αυτή. Κουζούμη Φωτεινή 4

5

6

7 Αφιερώνεται στην κόρη μου, Αλεξάνδρα

8

Περίληψη Στην παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή παρουσιάζουμε την κατασκευή του χώρου James Tree J T, ο οποίος αποτέλεσε ιστορικά το πρώτο παράδειγμα διαχωρίσιμου χώρου Banach που δεν περιέχει ισομορφικά τον l και έχει μη διαχωρίσιμο δυϊκό. Μελετάμε τις διασπάσεις χώρων Banach και τους καθολικά αδιάσπαστους (H.I. χώρους και παραθέτουμε την απόδειξη ότι κάθε H.I. χώρος περιέχεται ισομορφικά στον l. Τέλος, παρουσιάζουμε την κατασκευή ενός ανακλαστικού (αυτοπαθούς H.I. χώρου Banach. Abstract In this master thesis we present the construction of the James Tree space J T, which was, historically, the first example of a separable space which does not contain l and whose dual is nonseparable. We study decompositions of Banach spaces and the class of hereditarily indecomposable (H.I. spaces and we present the proof that every H.I. Banach space embeds into l. Furthermore, we present the construction of a reflexive H.I. Banach space. 9

0

Ευχαριστίες Σ αυτό το σημείο θα ήθελα να εκφράσω την ευγνωμοσύνη μου απέναντι σε όσους συνέβαλαν με άμεσο και έμμεσο τρόπο στην περάτωση των μεταπτυχιακών σπουδών μου. Υπεραριθμήσιμα ευχαριστώ οφείλω στον επιβλέποντα καθηγητή μου Ανδρέα Τόλια για την επιστημονική καθοδήγησή του, τις συμβουλές του, την ενθάρρυνσή του και τον πολύτιμο χρόνο που αφιέρωσε σε όλη τη διάρκεια της συγγραφής αυτής της διατριβής. Επίσης ευχαριστώ ιδιαίτερα τους καθηγητές μου Ιωάννη Γιαννούλη και Γεώργιο Καρακώστα για την συμμετοχή τους στην Τριμελή Επιτροπή Κρίσης της διατριβής αυτής, αλλά και κάθε καθηγητή μου στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, που ως διδάσκων μου προσέφερε σημαντικές γνώσεις. Δεν ξεχνώ τους συμφοιτητές μου και τους υποψήφιους διδάκτορες, την ειλικρινή συνεργασία μας, τις συμβουλές τους και τις ατελείωτες ώρες μελέτης που περάσαμε μαζί. Ακόμη, ευχαριστώ θερμά τη βιβλιοθηκάριο του Μαθηματικού Τμήματος, κυρία Βασιλική Ανδρούτσου για τη σπουδαία βοήθειά της και τη φιλία της. Τέλος, ένα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω στους γονείς μου, χωρίς τη βοήθεια των οποίων οι σπουδές μου θα ήταν αδύνατο να διεκπεραιωθούν και στην κόρη μου Αλεξάνδρα για την ενθάρρυνσή της και την υπομονή της κατά τις ώρες που αφιέρωνα στη μελέτη μου.

2

Περιεχόμενα Στοιχεία θεωρίας βάσεων Schauder 9 2 Διασπάσεις χώρων Banach και καθολικά αδιάσπαστοι χώροι 27 3 Κατασκευή νέων χώρων Banach 39 4 Ο χώρος James Tree 45 5 Η κατασκευή ενός καθολικά αδιάσπαστου χώρου Banach 6 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4

Εισαγωγή Στη θεωρία χώρων Banach, θεμελιώδη ρόλο παίζουν οι βάσεις Schauder, οι οποίες επιτρέπουν αναπαραστάσεις στοιχείων ενός χώρου Banach μέσω σειρών. Περιγράφησαν το 927 από τον J. Schauder [36], αν και γινόταν χρήση κάποιων ειδών βάσεων και νωρίτερα. Συγκεκριμένα, μια ακολουθία (e n n N στοιχείων σ έναν χώρο Banach X ονομάζεται βάση Schauder του X αν για κάθε x X υπάρχει μοναδική ακολουθία πραγματικών αριθμών (α n n N τέτοια ώστε x = α n e n. n= Ενώ όμως σε κάθε γραμμικό χώρο υπάρχει πάντα μια βάση Hamel, δεν ισχύει ότι κάθε χώρος Banach έχει βάση Schauder. Για παράδειγμα, κάθε χώρος Banach με βάση Schauder είναι διαχωρίσιμος και άρα οι μη διαχωρίσιμοι χώροι δεν διαθέτουν βάση Schauder. Επιπλέον έχει κατακευαστεί [7] διαχωρίσιμος χώρος Banach χωρίς βάση Schauder. Μια ισχυρότερη έννοια είναι, όπως θα δούμε, οι λεγόμενες unconditional βάσεις Schauder. Μια βάση Schauder (e n n N ενός χώρου X λέγεται unconditional αν υπάρχει σταθερά C τέτοια ώστε για κάθε ακολουθία συντελεστών (α n n N και κάθε ακολουθία προσήμων (ε n n N, δηλαδή ε n {, } και κάθε n N, ισχύει: n n. ε i α i e i C α i e i Το 958, οι C. Bessaga - A. Pelczynski [6] διατύπωσαν το εξής πρόβλημα: (P Εχει κάθε χώρος Banach έναν απειροδιάστατο υπόχωρο με unconditional βάση; Η απάντηση στο πρόβλημα αυτό δόθηκε το 99 από τους W. T. Gowers - B. Maurey [22] και ήταν αρνητική. Οι Gowers και Maurey, εργαζόμενοι ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, κατασκεύασαν έναν χώρο Banach X GM, κανένας υπόχωρος του οποίου δεν περιείχε unconditional βάση. Ο χώρος X GM, όμως, δεν αποτέλεσε απλώς ένα αντιπαράδειγμα για το (P, αλλά είχε μια πολύ ισχυρότερη ιδιότητα. Ο J. Lindenstrauss [27] στα μέσα της δεκαετίας του 970 είχε θέσει το ερώτημα αν κάθε απειροδιάστατος χώρος Banach είναι διασπάσιμος, δηλαδή αν μπορεί να γραφεί ως τοπολογικό ευθύ άθροισμα δύο απειροδιάστατων κλειστών υποχώρων του. Ο W. B. Johnson, μελετώντας μια πρώιμη μορφή της εργασίας των Gowers και Maurey, παρατήρησε ότι ο X GM όχι μόνο δεν ήταν διασπάσιμος, αλλά ούτε περιείχε κανέναν διασπάσιμο υπόχωρο. Δηλαδή ο X GM ήταν κληρονομικά αδιάσπαστος (ή καθολικά αδιάσπαστος (Hereditarily Indecomposable ή, χάριν συντομίας, H.I. Από τότε, οι κλάσεις των αδιάσπαστων και των καθολικά αδιάσπαστων χώρων Banach έχουν μελετηθεί εκτενώς, οδηγώντας σε πολλά αξιόλογα αποτελέσματα, που φανερώνουν ότι οι H.I. χώροι δεν είναι απλά κάποια εξωτικά παραδείγματα χώρων Banach, αλλά αποτελούν δομικό στοιχείο της θεωρίας. Ενδεικτικά, αναφέρουμε ορισμένα από αυτά τα αποτελέσματα. 5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Οι Gowers και Maurey [22] έδειξαν ότι κάθε φραγμένος γραμμικός τελεστής από έναν μιγαδικό H.I. χώρο X στον εαυτό του, είναι της μορφής λi + S, όπου I είναι ο ταυτοτικός τελεστής και S είναι ένας strictly singular τελεστής. Ενας τελεστής καλείται strictly singular όταν ο περιορισμός του σε οποιονδήποτε απειροδιάστατο υπόχωρο δεν είναι ισομορφισμός. Ως συνέπεια αυτού του θεωρήματος, ένας H.I. χώρος, μιγαδικός ή πραγματικός, δεν είναι ισομορφικός με κανέναν γνήσιο υπόχωρό του. Ειδικότερα, κανένας H.I. χώρος δεν είναι ισομορφικός με τα υπερεπίπεδά του. Σημειώνουμε ότι αυτό ήταν για χρόνια ένα ανοιχτό πρόβλημα, που είχε διατυπωθεί αρχικά από τον S. Banach. Για πολλά χρόνια περέμενε ανοιχτό το επονομαζόμενο scalar-plus-compact πρόβλημα : Υπάρχει χώρος Banach X τέτοιος, ώστε κάθε φραγμένος γραμμικός τελεστής T : X X να είναι της μορφής T = λi + K, όπου I είναι ο ταυτοτικός τελεστής και K είναι ένας συμπαγής τελεστής; Οι Σ. Αργυρός και R. Haydon [9] κατασκεύασαν έναν H.I. L χώρο που απάντησε θετικά στο παραπάνω ερώτημα. Ειδικότερα, ο δυϊκός του χώρου αυτού είναι ισομορφικός με τον l. Το 996 ο W. T. Gowers [2] απέδειξε την εξής διχοτομία για τους χώρους Banach: Κάθε χώρος Banach είτε περιέχει μια unconditional βασική ακολουθία, ή έχει έναν υπόχωρο ο οποίος είναι H.I. χώρος. Πρόσφατα αποτελέσματα δείχνουν ότι η κλάση των H.I. χώρων είναι ευρεία. Οι Σ. Αργυρός και Β. Φελουζής [8] έδειξαν ότι κάθε χώρος Banach είτε περιέχει ισομορφικά τον l, ή έχει έναν υπόχωρο ο οποίος είναι πηλίκο ενός H.I. χώρου. Αυτό το θεώρημα συνεπάγεται ότι ο δυϊκός ενός H.I. χώρου θα μπορούσε να περιέχει ισομορφικά κλασικούς χώρους όπως οι l p, p <. Οι Σ. Αργυρός και Α. Τόλιας [4] παρουσίασαν την κατασκευή ενός μη διαχωρίσιμου H.I. χώρου και απέδειξαν μια νέα διχοτομία για πηλίκα H.I. χώρων. Συγκεκριμένα, έδειξαν ότι κάθε διαχωρίσιμος χώρος Banach Z που δεν περιέχει ισομορφικά τον l είναι πηλίκο ενός H.I. χώρου X και επιπλέον ο Z είναι ισομετρικός με έναν συμπληρωματικό υπόχωρο του X. Ακόμη, έδειξαν ότι κάθε H.I. χώρος Banach X περιέχεται ισομορφικά στον l. Οι Σ. Αργυρός και Θ. Ραϊκόφτσαλης [2] απέδειξαν ότι κάθε διαχωρίσιμος ανακλαστικός χώρος Banach περιέχεται σε έναν ανακλαστικό αδιάσπαστο χώρο Banach. Παραμένει ανοιχτό το ερώτημα αν κάθε διαχωρίσιμος χώρος Banach, ο οποίος δεν περιέχει κανέναν υπόχωρο ισομορφικό με τον c 0, περιέχεται αναγκαστικά σε κάποιον αδιάσπαστο χώρο. Ενα άλλο πρόβλημα που ανέκυψε στη θεωρία χώρων Banach είναι το ακόλουθο. Ηταν γνωστό πως αν ένας χώρος Banach X είναι μη διαχωρίσιμος τότε και ο X είναι μη διαχωρίσιμος. Ακόμη, προκύπτει εύκολα ότι αν ένας χώρος Banach X περιέχει ισομορφικά τον l, τότε ο X είναι μη διαχωρίσιμος. Επομένως τέθηκε φυσιολογικά το εξής ερώτημα: (Q Είναι αληθές ότι κάθε διαχωρίσιμος χώρος Banach με μη διαχωρίσιμο δυϊκό περιέχει ισομορφικά τον l ; Το πρόβλημα παρέμενε άλυτο μέχρι το 974, όταν ο R. C. James [25] έδωσε ένα αντιπαράδειγμα για το (Q με την κατασκευή του λεγόμενου χώρου James Tree J T. Ο R. C. James απέδειξε ότι ο J T είναι διαχωρίσιμος, ο J T είναι μη διαχωρίσιμος ενώ ο J T δεν περιέχει ισομορφικά τον l. Επιπλέον έδειξε ότι ο J T είναι hereditarily l 2, δηλαδή κάθε απειροδιάστατος υπόχωρος του J T περιέχει τον l 2. Μόλις ένα χρόνο αργότερα, το 975, οι J. Lindenstrauss - C. Stegall [28] κατασκεύασαν διαφορετικά αντιπαραδείγματα για το (Q. Σκοπός της διατριβής αυτής είναι η μελέτη των διασπάσεων χώρων Banach και η παρουσιάση ορισμένων ιδιοτήτων των καθολικά αδιάσπαστων (H.I. χώρων, όπως ότι κάθε H.I. χώρος περιέχεται ισομορφικά στον l. Παρουσιάζεται η κατασκευή ενός H.I. χώρου, που ουσιαστικά αποτελεί μια παραλλαγή αυτού που είχαν κατασκευάσει αρχικά οι Gowers και Maurey, καθώς και η κατασκευή του χώρου James Tree J T. Η διατριβή έχει οργανωθεί σε πέντε κεφάλαια. 6

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τη στοιχειώδη θεωρία των βάσεων Schauder, η οποία προέρχεται από τα βιβλία [], [23], [24], [29], [30], [32], καθώς και από τις ερευνητικές εργασίες [7], [3] και [36]. Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στη μελέτη των διασπάσεων χώρων Banach. Εξετάζουμε επιπλέον τι συμβαίνει όταν ένας χώρος Banach δεν είναι διασπάσιμος και αναπτύσσουμε την έννοια των καθολικά αδιάσπαστων (H.I. χώρων Banach. Η θεωρία στο κεφάλαιο αυτό είναι βασισμένη στα βιβλία [3], [23], [24], [29], [30], καθώς και στην ερευνητική εργασία [4]. Στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφουμε τη μέθοδο κατασκευής νέων χώρων Banach μέσω των λεγόμενων norming συνόλων. Θεωρούμε το γραμμικό χώρο των τελικά μηδενικών ακολουθιών πραγματικών αριθμών c 00 (N = {x = (x n n N R N : n 0 N τέτοιο ώστε: n n 0 x n = 0}. Ενα K c 00 (N, υπό κάποιες προϋποθέσεις, ορίζει μία νόρμα στον c 00 (N από τον τύπο x K = sup{f(x : f K} για κάθε x c 00 (N, όπου αν f = (α, α 2,... c 00 (N και x = (x, x 2,... c 00 (N είναι f(x = α i x i. Η πλήρωση του χώρου (c 00 (N, K είναι ένας χώρος Banach και θα συμβολίζεται με X K. Οι χώροι Banach που μελετάμε στην παρούσα εργασία κατασκευάζονται με τον συγκεκριμένο τρόπο. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την κατασκευή του χώρου James Tree J T μέσω ενός norming συνόλου K, το οποίο ορίζεται με χρήση του δυαδικού δέντρου. Το δυαδικό δέντρο είναι ένα δέντρο με μοναδική ρίζα, κάθε στοιχείο του οποίου έχει ακριβώς δύο άμεσα επομένους. Αποδεικνύουμε ότι ο J T είναι διαχωρίσιμος, ο J T είναι μη διαχωρίσιμος ενώ ο l δεν περιέχεται ισομορφικά στον J T. Ακόμη, αποδεικνύουμε ότι J T = J T l 2 (B, όπου B είναι ένα σύνολο που έχει τον πληθάριθμο του συνεχούς. Η βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε για το κεφάλαιο αυτό βασίζεται στο βιβλίο [] και στις ερευνητικές εργασίες [25], [26], [3], [33] και [34]. Στο πέμπτο και τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζουμε την κατασκευή ενός H.I. χώρου Banach X, μέσω ενός norming συνόλου D, ακολουθώντας τη μέθοδο των Gowers και Maurey. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στο κεφάλαιο αυτό βασίζονται στο βιβλίο [3] καθώς και στις ερευνητικές εργασίες [4], [5], [6], [7], [8], [9], [0], [], [4], [5], [20], [2] και [22]. Αποδεικνύουμε ότι ο X είναι ένας ανακλαστικός (αυτοπαθής H.I. χώρος Banach. 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 8

Κεφάλαιο Στοιχεία θεωρίας βάσεων Schauder Μια σημαντική κλάση χώρων Banach είναι οι χώροι Banach με βάση Schauder. Αντίστοιχα με τη βάση Hamel στους γραμμικούς χώρους (που υπάρχει πάντα, η συναρτησιακή έννοια της βάσης Schauder (όταν υπάρχει παίζει θεμελιώδη ρόλο. Οι βάσεις Schauder περιγράφησαν από τον J. Schauder [36] το 927 και στην ουσία επιτρέπουν αναπαραστάσεις στοιχείων ενός χώρου Banach ως σειρές. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε τη στοιχειώδη θεωρία των βάσεων Schauder, που είναι απαραίτητη για τον σκοπό της διατριβής αυτής. Συμβολισμός.. Εστω X χώρος με νόρμα και (x n n N ακολουθία στον X. Θέτουμε: span{x n : n N} = {x X : n N, α,..., α n R τέτοια ώστε: x = n α i x i }. Δηλαδή το σύνολο span{x n : n N} είναι ο μικρότερος γραμμικός υπόχωρος του X που περιέχει την ακολουθία (x n n N. span{x n : n N} να είναι ο μικρότερος κλειστός γραμμικός υπόχωρος του X που περιέχει την ακολουθία (x n n N. Ορισμός.2. Εστω X χώρος Banach. Μια ακολουθία (e n n N στοιχείων του X για n N ονομάζεται βάση Schauder του X αν για κάθε x X υπάρχει μοναδική ακολουθία πραγματικών αριθμών (α n n N τέτοια ώστε x = α n e n. n= Μια ακολουθία (e n n N που είναι βάση Schauder για το span{e n : n N} λέγεται Schauder βασική ακολουθία. Μια Schauder βασική ακολουθία (e n n N λέγεται μοναδιαία ή κανονικοποιημένη αν ισχύει e n = για κάθε n N. Πρόταση.3. Αν ένας χώρος Banach X έχει βάση Schauder (e n n N, τότε είναι διαχωρίσιμος. Απόδειξη. Εστω A = αριθμήσιμο. Ισχυρισμός. Το A είναι πυκνό στον X. { m } q n e n : m N, q n Q. Τότε είναι φανερό ότι το σύνολο A είναι n= 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ Β ΑΣΕΩΝ SCHAUDER Πράγματι, έστω x X και ε > 0. Υπάρχουν α n R, n N έτσι, ώστε Άρα υπάρχει m N τέτοιο, ώστε x x = m n= α n e n. n= Για κάθε n =,..., m βρίσκουμε q n Q τέτοια, ώστε Τότε m q n e n A και έχουμε από τις σχέσεις (. και (.2: n= x α n e n < ε 2. (. q n α n e n < ε 2m. (.2 m x m m q n e n α n e n + (α n q n e n n= n= n= ε m 2 + α n q n e n n= < ε 2 + m ε 2m = ε. Άρα A = X και τελικά προκύπτει ότι ο X είναι διαχωρίσιμος. Παρατήρηση.4. Το αντίστροφο της Πρότασης.3 γενικά δεν ισχύει. Ο P. Enflo [7] ήταν ο πρώτος που έδωσε ένα αντιπαράδειγμα, κατασκευάζοντας έναν διαχωρίσιμο χώρο Banach χωρίς την Approximation Property. Λέμε ότι ένας χώρος Banach X έχει την Approximation Property αν για κάθε συμπαγές K X και κάθε ε > 0 υπάρχει ένας γραμμικός, φραγμένος, πεπερασμένης βαθμίδας τελεστής T : X X τέτοιος, ώστε x T x < ε, για κάθε x K. Ενας χώρος Banach με βάση Schauder έχει την Approximation Property, επομένως ο χώρος του P. Enflo είναι διαχωρίσιμος χώρος Banach χωρίς βάση Schauder. Το ακόλουθο θεώρημα δίνει ένα κριτήριο για να ελέγχουμε αν μια ακολουθία σε έναν χώρο Banach αποτελεί βάση Schauder αυτού. Θεώρημα.5 (Κριτήριο Schauder. Εστω X χώρος Banach και (e n n N ακολουθία στον X. Τότε η (e n n N είναι βάση Schauder του X αν και μόνο αν ισχύουν τα εξής: (i e n 0, για κάθε n N. (ii υπάρχει σταθερά C 0 τέτοια ώστε για κάθε ακολουθία συντελεστών (λ i i N και κάθε m, n με n < m να ισχύει n m. λ i e i C λ i e i (iii X = span{e n : n N} 20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ Β ΑΣΕΩΝ SCHAUDER Ορισμός.6. Εστω (X, χώρος Banach με βάση Schauder (e n n N. Για κάθε x = λ i e i X ορίζουμε: x = sup n n λ i e i < Η είναι καλά ορισμένη, γιατί η n λ i e i συγκλίνει και επομένως είναι φραγμένη, ενώ προφανώς ισχύει x x, για κάθε x X. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι η είναι νόρμα στον X και ο (X, είναι χώρος Banach. Αυτό έχει ως συνέπεια ότι οι νόρμες, είναι ισοδύναμες. Επομένως υπάρχει M > 0 τέτοιο, ώστε x M x, για κάθε x X. Στα παρακάτω με M θα συμβολίζουμε τον ελάχιστο πραγματικό αριθμό που ικανοποιεί την προηγούμενη σχέση. Ορισμός.7. Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder (e n n N. Για κάθε n N ορίζουμε τις κανονικές προβολές P n σχετιζόμενες με την (e n n N στον X ως εξής: P n : X X με τύπο: P n ( λ i e i = n λ i e i Ορισμός.8. Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder (e n n N. Για κάθε n N ορίζουμε το γραμμικό συναρτησοειδές e n στον X ως εξής: e n : X R με τύπο: ( λ i e i = λ n e n Τα συναρτησοειδή e n, n N, ονομάζονται τα διορθογώνια συναρτησοειδή της (e n n N. Η ακολουθία των συναρτησοειδών (e n n N ονομάζεται η δυϊκή ακολουθία της (e n n N. Πρόταση.9. Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder (e n n N. Τότε: (i Οι προβολές P n είναι φραγμένοι γραμμικοί τελεστές και C = sup P n < n (ii e n X, e n 2C e n και η (e n n N είναι Schauder βασική ακολουθία στον X. Απόδειξη. (i Προφανώς οι P n είναι γραμμικοί τελεστές. Ακόμη, είναι: ( n P n λ k e k = λ k e k λ k e k. M λ k e k Άρα οι P n είναι φραγμένοι γραμμικοί τελεστές για κάθε n N. Επιπλέον, είναι C = sup P n M <. n 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ Β ΑΣΕΩΝ SCHAUDER (ii Προφανώς οι e n είναι γραμμικοί τελεστές. Επίσης ισχύει: ( e n λ k e k = λn = n λ k e k n λ k e k e n ( ( Pn P n λ k e k + λ k e k e n 2C e n. λ k e k Άρα e n X και e n 2C, n N. e n Τέλος, για κάθε n, m N με n m και (λ i m ακολουθία πραγματικών αριθμών ισχύει P n ( m λ k e k = n λ k e k και άρα, εφόσον Pn = P n προκύπτει ότι n λ k e m k C λ k e k. Συνεπώς, η ακολουθία (e n n N είναι Schauder βασική στον X. Παρατήρηση.0. Ισχύει x C x, για κάθε x X. Πράγματι, αν x = έχουμε: λ k e k X, x = sup n = sup n = n λ k e k ( P n (x ( sup P n x n ( sup P n x n = C x. Επομένως, αφού δείξαμε ότι C M, προκύπτει τελικά ότι C = M. Ορισμός.. Εστω X χώρος Banach και (e n n N βάση Schauder στον X. Ο πραγματικός αριθμός C = sup P n ονομάζεται η σταθερά της βάσης (e n n N. n 22

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ Β ΑΣΕΩΝ SCHAUDER Αν C =, η βάση (e n n N λέγεται μονότονη. Με άλλα λόγια, η (e n n N είναι μονότονη βάση αν και μόνο αν για κάθε επιλογή πραγματικών αριθμών (λ n n N, η ακολουθία πραγματικών αριθμών ( n λ k e k είναι αύξουσα. n N Η βάση (e n n N ονομάζεται διμονότονη, όταν ισχύει: m n α k e k α k e k k=l για κάθε ακολουθία συντελεστών (α k k N και κάθε l, m, n με l m n. Τέλος, αν η (e n n N είναι βάση Schauder με σταθερά C, τότε και η Schauder βασική ακολουθία (e n n N των διορθογώνιων συναρτησοειδών, έχει σταθερά C. Παρατήρηση.2. Κάθε βάση Schauder είναι μονότονη ως προς τη νόρμα x = sup P n x. Πράγματι, P n x = sup P m P n x = sup P m x x m m n Ορισμός.3. Εστω X χώρος Banach και (e n n N βάση Schauder στον X. (i Αν span{e n : n N} = X, δηλαδή αν η ακολουθία (e n n N είναι βάση Schauder στον X, η (e n n N ονομάζεται shrinking βάση. (ii Αν για κάθε ακολουθία (λ n n N πραγματικών αριθμών με sup n λ i e i < + υπάρχει x X n ώστε x = λ n e n, η (e n n N ονομάζεται boundedly complete βάση. n= Στη συνέχεια διατυπώνουμε κάποια σημαντικά θεωρήματα σχετικά με τις shrinking και boundedly complete βάσεις. Το επόμενο θεώρημα παρέχει έναν τρόπο απόδειξης ότι ένας χώρος Banach είναι ανακλαστικός. Θεώρημα.4 (R. C. James, 95. Εστω χώρος Banach X με βάση Schauder (e n n N. Τότε ο X είναι ανακλαστικός αν και μόνο αν η (e n n N είναι shrinking και boundedly complete βάση. Η ύπαρξη βάσης Schauder σε έναν χώρο Banach X δεν συνεπάγεται υποχρεωτικά την ύπαρξη βάσης και για τον X. Ωστόσο, σύμφωνα με το επόμενο θεώρημα, η ύπαρξη βάσης Schauder στον X συνεπάγεται ότι ο X επίσης διαθέτει βάση Schauder. Θεώρημα.5 (W.B. Johnson, H.P. Rosenthal, M. Zippin. Εστω χώρος Banach X τέτοιος, ώστε ο X να έχει βάση Schauder. Τότε ο X έχει shrinking βάση και συνεπώς ο X έχει boundedly complete βάση. Παραδείγματα.6. Για κάθε n =, 2,... θέτουμε e n = (0,..., 0,, 0,... όπου το εμφανίζεται στην n οστή θέση. Είναι σαφές ότι e n l p, p <, καθώς και e n c 0, για κάθε n =, 2,.... ( Στον (l,, η βάση Schauder (e n n N είναι boundedly complete. Πράγματι, αν (λ i i N είναι ακολουθία πραγματικών αριθμών ώστε sup n n λ i e i < +, τότε sup λ i < + n n και άρα η σειρά λ i συγκλίνει, δηλαδή το x = (λ i i N ανήκει στον l. Τότε έχουμε ότι x n λ i e i = i=n+ λ i n 0, άρα η σειρά 23 λ i e i είναι συγκλίνουσα. n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ Β ΑΣΕΩΝ SCHAUDER Η βάση Schauder (e n n N δεν είναι όμως shrinking, διότι ο (l = l δεν είναι διαχωρίσιμος, επομένως δεν μπορεί να έχει βάση Schauder. (2 Η βάση Schauder (e n n N του (l p, p, < p < είναι και shrinking και boundedly complete. Αρχικά, επειδή υπάρχει ισομετρία T : l q (l p, με p + = και μάλιστα οι εικόνες, μέσω q της T, της βάσης (e n n N του l q είναι τα διορθογώνια συναρτησοειδή (e n n N της βάσης του l p, προκύπτει ότι η βάση Schauder (e n n N του l p είναι shrinking βάση. Τέλος, όμοια με το (, αποδεικνύεται ότι η (e n n N είναι boundedly complete. (3 Στον (c 0,, η βάση Schauder (e n n N είναι shrinking, γεγονός που αποδεικνύεται ανάλογα με το (2. Δεν είναι όμως boundedly complete. Για να το δούμε αυτό, αρκεί να θεωρήσουμε τη n σταθερή ακολουθία (λ n n N με λ n =, για κάθε n N. Τότε sup e i <, αλλά η σειρά n e i δεν είναι συγκλίνουσα. Η ακολουθία (e n n N είναι η συνήθης βάση του c 0 και είναι το πρότυπο βάσης Schauder η οποία είναι shrinking βάση. (4 Ο χώρος (C[0, ], έχει βάση Schauder, η οποία ορίζεται ως εξής: Εστω (x n n N η ακολουθία των δυαδικών σημείων του [0, ], δηλαδή η ακολουθία n 0,, 2, 4, 3 4, 8, 3 8, 5 8, 7 8,... Θέτουμε f (x = και f 2 (x = x για κάθε x [0, ]. Για κάθε n 3 είναι σαφές ότι υπάρχουν μοναδικά m, k N, ώστε m, k < n, x n (x k, x m και x i (x k, x m για κάθε i < n. Θέτουμε f n C[0, ], ώστε f n (x = 0 για κάθε x (x k, x m, f(x n = και η f n είναι γραμμική στα διαστήματα (x k, x n και (x n, x m. Η ακολουθία (f n n N είναι βάση Schauder του C[0, ]. Το σύστημα των συναρτήσεων {f n } n N καλείται σύστημα Faber-Schauder και αποτέλεσε το πρώτο παράδειγμα βάσης Schauder στον χώρο των συνεχών συναρτήσεων. Οπως έχουμε αναφέρει, υπάρχουν περιπτώσεις χώρων Banach που δεν έχουν βάση Schauder. Ωστόσο, ισχύει το εξής ενδιαφέρον αποτέλεσμα, που οφείλεται στον S. Mazur: Θεώρημα.7. Κάθε απειροδιάστατος χώρος Banach περιέχει μια Schauder βασική ακολουθία. Ορισμός.8. Εστω X χώρος Banach και (e n n N βάση Schauder του X. Μία ακολουθία (x n n N στον X με x n 0 για n =, 2,... ονομάζεται block βάση της (e n n N αν υπάρχει ακολουθία πραγματικών αριθμών (λ n n N και (m n n N γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών ώστε : x n = m n k=m n + λ k e k για κάθε n =, 2,..., όπου m 0 = 0. Ενας χώρος Y = span{x n υπόχωρος του X. : n N}, όπου η (x n n N είναι block βάση, θα ονομάζεται block Από την Πρόταση.5 προκύπτει ότι μια block βάση μιας βάσης Schauder αποτελεί Schauder βασική ακολουθία. 24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ Β ΑΣΕΩΝ SCHAUDER Ορισμός/Συμβολισμός.9. Θα ονομάζουμε διάστημα του N κάθε σύνολο της μορφής E = {i N : n i m} για m, n N, ενώ ονομάζουμε άπειρο διάστημα του N κάθε σύνολο της μορφής E = {i N : i n} για n N. Επιπλέον, αν x = α n e n X και E πεπερασμένο υποσύνολο του N, συμβολίζουμε με Ex το n= διάνυσμα Ex = α n e n. n E Ορισμός.20. Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder (e n n N και x = n= α n e n X. Ονομάζουμε φορέα του x και συμβολίζουμε με supp(x το σύνολο supp(x = {n N : α n 0}. Ονομάζουμε range του x και συμβολίζουμε με ran(x το μικρότερο διάστημα του N που περιέχει τον φορέα του x. Συμβολισμός.2. Για A, B πεπερασμένα και μη κενά υποσύνολα του N, γράφουμε A < B αν max A < min B, ενώ αν n N και A μη κενό υποσύνολο του N, τότε γράφουμε n A όταν n min A. Αν x = α i e i X και y = β i e i X, γράφουμε x < y όταν supp(x < supp(y. Σ αυτή την περίπτωση, τα x, y καλούνται διαδοχικά διανύσματα. Στη συνέχεια θα εισάγουμε μια ισχυρότερη κλάση βάσεων Schauder, τις λεγόμενες unconditional βάσεις. Ορισμός.22. Εστω X χώρος Banach και (e n n N βάση Schauder του X. Η (e n n N λέγεται unconditional βάση αν υπάρχει σταθερά C τέτοια ώστε για κάθε ακολουθία συντελεστών (α n n N και κάθε ακολουθία προσήμων (ε n n N, δηλαδή ε n {, } και κάθε n N, ισχύει: n n. ε i α i e i C α i e i (.3 Ο μικρότερος αριθμός C ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση (.3 ονομάζεται unconditional σταθερά της βάσης (e n n N. Λέμε ότι η unconditional βάση (e n n N είναι C-unconditional αν η unconditional σταθερά της (e n n N είναι μικρότερη ή ίση του C. Το επόμενο θεώρημα είναι ανάλογο του Θεωρήματος.5 και δίνει ένα κριτήριο για να ελέγχουμε αν μια βάση Schauder είναι unconditional. Θεώρημα.23. Εστω X χώρος Banach και (e n n N βάση Schauder του X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i Η (e n n N είναι unconditional βάση. (ii Υπάρχει C > 0 ώστε για κάθε n N, για κάθε σ {,..., n} και κάθε λ,..., λ n πραγματικούς αριθμούς να ισχύει: n. λ k e k C λ k e k k σ 25

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΟΙΧΕ ΙΑ ΘΕΩΡ ΙΑΣ Β ΑΣΕΩΝ SCHAUDER (3 Υπάρχει M > 0 ώστε για κάθε n N, για κάθε ε k = ±, k N και κάθε λ,..., λ n πραγματικούς αριθμούς να ισχύει: n n. ε k λ k e k M λ k e k Παραδείγματα.24. ( Για καθέναν από τους χώρους (c 0,, (l p, p, p <, η βάση Schauder (e n n N είναι unconditional. (2 Στον χώρο (C[0, ],, η βάση Schauder (f n n N, όπως ορίστηκε προηγουμένως, δεν είναι unconditional και μάλιστα δεν υπάρχει unconditional βάση για τον (C[0, ], Τέλος, μια ακόμη πιο ισχυρή ιδιότητα που μπορεί να διαθέτει μια βάση Schauder, είναι να είναι -subsymmetric. Ορισμός.25. Εστω X χώρος Banach και (e n n N βάση Schauder στον X. Η (e n n N λέγεται -subsymmetric αν είναι -unconditional και επιπλέον για κάθε x = α i e i και κάθε γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών (n i i N ισχύει:. α i e i = α i e ni Παρατήρηση.26. Κατά τη μελέτη της θεωρίας χώρων Banach, γεννήθηκε το εξής ερώτημα: Σε έναν χώρο Banach υπάρχει πάντα unconditional βασική ακολουθία; Ισοδύναμα, έχει κάθε χώρος Banach έναν απειροδιάστατο υπόχωρο με unconditional βάση; Η παλαιότερη αναφορά που γνωρίζουμε για το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι από τους C. Bessaga - A. Pelczynski [6] το 958. Η απάντηση στο πρόβλημα αυτό δόθηκε το 99 από τους W. T. Gowers - B. Maurey [22] και ήταν αρνητική. Οι Gowers και Maurey, εργαζόμενοι ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον, κατασκεύασαν έναν χώρο Banach ο οποίος δεν περιείχε καμία unconditional βασική ακολουθία. Ο χώρος αυτός ιστορικά ήταν ο πρώτος καθολικά αδιάσπαστος (H.I. χώρος που κατασκευάστηκε. Η παρουσίαση της κατασκευής ενός χώρου Banach, που ουσιαστικά αποτελεί μια παραλλαγή αυτού που είχαν κατασκευάσει αρχικά οι Gowers και Maurey, γίνεται στο τελευταίο κεφάλαιο της παρούσης διατριβής. 26

Κεφάλαιο 2 Διασπάσεις χώρων Banach και καθολικά αδιάσπαστοι χώροι Το κεφάλαιο αυτό είναι αφιερωμένο στη μελέτη των διασπάσεων χώρων Banach, εφόσον αυτή είναι εφικτή. Θα δούμε επιπλέον τι συμβαίνει όταν ένας χώρος Banach δεν είναι διασπάσιμος. Σημειώνουμε πως στα επόμενα θα χρησιμοποιούμε τον παρακάτω συμβολισμό. Συμβολισμός 2.. Γράφουμε: X Y όταν ο X είναι ισομετρικά ισόμορφος με τον Y. X Y όταν ο X είναι απειροδιάστατος υπόχωρος του Y. Χρησιμοποιούμε επίσης τον ίδιο συμβολισμό για να δηλώσουμε ότι ο X εμφυτεύεται ισομορφικά στον Y. Αρχικά θα εισάγουμε την έννοια του ευθέος αθροίσματος σε γραμμικούς χώρους. Ορισμός 2.2. Εστω X γραμμικός χώρος και Y, Z δύο υπόχωροί του. Λέμε ότι ο X είναι το ευθύ άθροισμα των Y και Z και θα συμβολίζουμε X = Y Z αν κάθε x X γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή x = y + z, y Y, z Z. Παρατηρούμε ότι X = Y Z X = Y + Z και Y Z = {0}. Σ αυτήν την περίπτωση, ο Z καλείται αλγεβρικό συμπλήρωμα του Y. Ορισμός 2.3. Αν X = Y Z, τότε ορίζονται οι προβολές του X επί του Y και Z αντίστοιχα ως εξής: P, Q : X X με P (y + z = y, Q(y + z = z, για κάθε y Y και z Z. Παρατήρηση 2.4. Για κάθε προβολή P ισχύουν οι εξής ιδιότητες: Η P είναι ταυτοδύναμος γραμμικός τελεστής, δηλαδή P 2 = P. P (x = x x Y. P (x = 0 x Z. Αντίστροφα, αν P : X X γραμμικός τελεστής τέτοιος, ώστε P 2 = P, τότε X = Y Z, όπου Y = P [X] και Z = Ker(P. 27

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ Στην περίπτωση που ο X είναι χώρος με νόρμα, μας ενδιαφέρουν οι προβολές που είναι φραγμένοι γραμμικοί τελεστές. Πρόταση 2.5. Αν P B(X τέτοιος, ώστε P 2 = P, τότε ο Y = P [X] είναι κλειστός υπόχωρος του X. Απόδειξη. Εστω (y n n N ακολουθία στον Y = P [X] και x X τέτοιο, ώστε y n x. Για κάθε n, επιλέγοντας x n X έτσι, ώστε P (x n = y n έχουμε: P (y n = P ( P (x n = P 2 (x n = P (x n = y n Άρα P (y n x. Αλλά ο P είναι φραγμένος, επομένως αφού y n x, θα είναι P (y n P (x. Ετσι x = P (x P [X] και συνεπώς ο Y = P [X] είναι κλειστός υπόχωρος του X. Ορισμός 2.6. Ενας κλειστός υπόχωρος Y του X λέγεται συμπληρωματικός υπόχωρος αν υπάρχει φραγμένη προβολή του X επί του Y. Πρόταση 2.7. Εστω X χώρος Banach και Y κλειστός υπόχωρος του X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i Ο Y είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του X. (ii Υπάρχει κλειστός υπόχωρος Z του X τέτοιος, ώστε X = Y Z. Σ αυτήν την περίπτωση, ο Z καλείται τοπολογικό συμπλήρωμα του Y και ο X καλείται το τοπολογικό ευθύ άθροισμα των Y και Z. Απόδειξη. (i (ii Αν Y είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του X, τότε υπάρχει P : X X φραγμένος γραμμικός τελεστής τέτοιος ώστε P 2 = P και P [X] = Y. Σύμφωνα με τα προηγούμενα, θέτοντας Z = Ker(P, παίρνουμε ότι X = Y Z. Επιπλέον, αφού ο P είναι φραγμένος, έχουμε ότι ο Z = Ker(P = P ( {0} είναι κλειστός υπόχωρος του X. (ii (i Εστω Y, Z δύο κλειστοί υπόχωροι του X τέτοιοι, ώστε X = Y Z. Θεωρούμε τον γραμμικό τελεστή P : X X με τύπο P (y + z = y. Προφανώς είναι P [X] = Y και Ker(P = Z. Θα αποδείξουμε ότι ο P είναι φραγμένος. Αφού ο X είναι χώρος Banach, αρκεί να δείξουμε ότι το γράφημα G P του P είναι κλειστό υποσύνολο του X X και από το Θεώρημα Κλειστού Γραφήματος θα προκύψει το ζητούμενο. Εστω (x n, y n n N ακολουθία στο G P και (x, y X X έτσι ώστε (x n, y n (x, y, δηλαδή είναι x n x, y n y και y n = P (x n για κάθε n. Θα δείξουμε ότι P (x = y, οπότε θα έχουμε (x, y G P. Αφού ο Y είναι κλειστός και από τις υποθέσεις για την ακολουθία (y n n N, παίρνουμε ότι y Y και άρα P (y = y. Για κάθε n N, αφού P (x n = y n και y n Y, έχουμε: P (x n y n = P (x n P (y n = P (x n y n = 0. Επομένως x n y n Ker(P = Z, για κάθε n. Αλλά ο Z είναι κλειστός και αφού x n y n x y, προκύπτει ότι x y Z = Ker(P P (x y = 0 P (x = P (y P (x = y. Άρα ο P είναι φραγμένος και συνεπώς ο Y είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του X. 28

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ Πόρισμα 2.8. Εστω X χώρος Banach και Y κλειστός υπόχωρος του X με πεπερασμένη συνδιάσταση. Τότε κάθε αλγεβρικό συμπλήρωμα του Y είναι και τοπολογικό. Ειδικότερα, ο Y είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του X. Απόδειξη. Εστω Z ένα αλγεβρικό συμπλήρωμα του Y. Ο Y είναι πεπερασμένης συνδιάστασης, έτσι ο Z είναι πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του X, επομένως κλειστός. Σύμφωνα με την προηγούμενη πρόταση, ο Z είναι τοπολογικό συμπλήρωμα του Y. Πρόταση 2.9. Εστω X χώρος Banach και Y ένας πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του X. Τότε ο Y είναι συμπληρωματικός υπόχωρος. Απόδειξη. Καταρχήν, αφού ο Y είναι πεπερασμένης διάστασης, θα είναι κλειστός. Ας είναι τώρα dim Y = n και {y,..., y n } μια Hamel βάση του. Για κάθε i =,..., n θεωρούμε τη γραμμική απεικόνιση f i : Y R ( n με τύπο f i λ j y j = λ i j= Κάθε f i i =,..., n είναι γραμμικό συναρτησοειδές του Y, άρα από το θεώρημα Hahn - Banach υπάρχει F i X τέτοιο, ώστε F i Y = f i. Θέτουμε Z = n Ker(F i. Ο Z είναι κλειστός υπόχωρος του X. Θα δείξουμε ότι X = Y Z. Καταρχήν, είναι Y Z = {0}. Πράγματι, έστω w Y Z. Τότε, αφού w Y είναι w = n λ i y i. Ακόμα, αφού w Z = 0 = F k (w = f k (w = λ k και επομένως w = 0. Εστω τώρα x X. Θέτουμε n y = F i (xy i Y. n Ker(F i, για κάθε k =,..., n έχουμε Είναι x = y + (x y και αρκεί να δείξουμε ότι x y Z, ή ισοδύναμα ότι F k (x y = 0, για κάθε k =,..., n. Για κάθε k =,..., n έχουμε ότι: F k (x y = F k (x F k (y n = F k (x F i (xf k (y i = F k (x n F i (xf k (y i = F k (x F k (x = 0. Άρα x y n Ker(F i = Z. Τελικά προκύπτει X = Y Z, όπου Y, Z κλειστοί και συνεπώς ο Y είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του X. Πρόταση 2.0. Εστω X χώρος Banach. Αν ο Y είναι κλειστός υπόχωρος του X, τότε ο χώρος πηλίκο X/Y είναι χώρος Banach. Λήμμα 2.. Εστω X χώρος Banach και Y κλειστός υπόχωρος του X. Τότε ( X/Y Y X, οπου Y = {f X : f(y = 0, y Y }. 29

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ Απόδειξη. Θεωρούμε την απεικόνιση φ : Y ( X/Y που ορίζεται ως εξής: φ(f ( [x] = f(x, όπου [x] = x + Y. Η φ είναι καλά ορισμένη, αφού αν [x ] = [x 2 ] τότε x x 2 Y και άρα f ( ( x = f x2, καθώς f Y. Για να δούμε ότι η φ είναι επί του ( X/Y (,, για δοθέν h X/Y ορίζουμε το f X ως εξής: f(x = h ( [x]. Τότε f Y, διότι αν y Y, είναι f(y = h ( [y] = 0 και επιπλέον ισχύει: φ(f ( [x] = f(x = h ( [x]. Τέλος, προκύπτει ότι η φ είναι ισομετρία, καθώς φ(f = sup [x] < ( φ(f [x] = sup x < f(x = f, όπου η μεσαία ισότητα προκύπτει αφού αν x <, τότε [x] <, ενώ αν [x] <, τότε υπάρχει z [x] τέτοιο, ώστε z <. Ετσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε. Πρόταση 2.2. Για έναν χώρο Banach X ισχύει: X = X ( X /X. Απόδειξη. Καταρχήν ισχύει ότι X X και ο X είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του X, διότι η P : X X με τύπο P (F = F X είναι συνεχής προβολή. Είναι Ker P = {F X : P (F = 0} = {F X : F X = 0}. Άρα ο X θα γράφεται: X = X Ker P. Επιπλέον, επειδή η P : X X είναι επί του X, προκύπτει από θεώρημα ισομορφισμών ότι X / Ker P X. Άρα, αφού ο X είναι κλειστός υπόχωρος του X, από το προηγούμενο λήμμα παίρνουμε ότι ( X /X X X, όπου X = {F X : F (x = 0 x X} = {F X : F X = 0} = Ker P. Επομένως Ker P ( X /X και τελικά X = X ( X /X. Πρόταση 2.3. Εστω X χώρος Banach και Y, Z δύο κλειστοί υπόχωροι του X με Y Z = {0}. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i Ο Y + Z είναι κλειστός υπόχωρος του X. (ii Η προβολή P : Y + Z Y, με P (y + z = y είναι συνεχής. (iii dist ( S Y, S Z > 0. Απόδειξη. (i (ii Οι Y, Z είναι κλειστοί υπόχωροι του X, άρα οι ( ( Y, Y, Z, Z είναι χώροι Banach. Επομένως και ο Y Z, εφοδιασμένος με τη νόρμα = Y + Z είναι χώρος Banach. Επιπλέον, αφού ο Y + Z είναι κλειστός υπόχωρος του X, παίρνουμε ότι ο Y + Z είναι χώρος Banach. Θεωρούμε την απεικόνιση T : Y Z Y + Z με τύπο T (y, z = y + z. Προφανώς η Τ είναι και επί και επιπλέον είναι συνεχής, διότι: T (y, z = y + z y Y + z Z = (y, z. Άρα από το θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης, προκύπτει ότι η T είναι ανοιχτή απεικόνιση, δηλαδή η απεικόνιση T : Y + Z Y Z με τύπο T (y + z = (y, z είναι συνεχής. 30

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ Ακόμα, η προβολή P : Y Z Y με τύπο P (y, z = y είναι συνεχής, γιατί: P (y, z Y = y Y y Y + z Z = (y, z. Επομένως η σύνθεση P = P T : Y + Z Y είναι επίσης συνεχής, ως σύνθεση συνεχών. (ii (i Θα αποδείξουμε ότι ο Y + Z είναι κλειστός υπόχωρος του X. Θεωρούμε ακολουθία (x n n N στον Y + Z και x X τέτοιο, ώστε x n x. Εχουμε ότι n N y n Y, z n Z έτσι, ώστε x n = y n + z n, δηλαδή y n + z n x. Αλλά η P : Y + Z Y είναι συνεχής, άρα: P (y n + z n P (x y n P (x και αφού ο Y είναι κλειστός υπόχωρος του X, θα έχουμε P (x Y. Είναι τώρα: x = P (x + ( x P (x X με P (x Y. Αρκεί να δείξουμε ότι x P (x Z. Αλλά z n = (y n + z n y n x P (x και ο Z είναι κλειστός υπόχωρος του X, άρα x P (x Z. (ii (iii Η P : Y + Z Y με τύπο P (y + z = y είναι συνεχής, επομένως υπάρχει α > 0 τέτοιο, ώστε P (y + z = y α y + z, y Y, z Z. Τώρα έχουμε για κάθε y S Y, z S Z ότι: y z α y = α inf{ y z : y S Y, z S Z } α > 0 dist ( S Y, S Z > 0. (iii (ii Ας υποθέσουμε ότι η P δεν είναι συνεχής. Τότε n N y n Y, z n Z ώστε: P (y n + z n > n y n + z n y n > n y n + z n y n y n + z n < n y n y n + z n y n < n. τέτοια, Θέτοντας y n = y n y n S Y και z n = z n y n Z, παίρνουμε: y n z n y n + z n < n. (2. και επομένως είναι: z n < n. (2.2 Θέτουμε v n = z n z n S Z και έχουμε: z n v n = = = = z n z n z n ( z n z n z n z n z n z n z n < n, 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ λόγω της σχέσης (2.2 και από τις ιδιότητες της νόρμας. Τότε από τις σχέσεις (2., (2.2 και επειδή v n S Z v n S Z, θα είναι: Άρα dist ( S Y, S Z = 0. dist ( S Y, S Z y n + v n y n + z n + v n z n < n + n = 2 n, n N. Παρατήρηση 2.4. Στους κλασικούς χώρους Banach όπως οι l p, p, C[0, ], οι συμπληρωματικοί υπόχωροι αυτών έχουν δομή παρόμοια με τη δομή ολόκληρου του χώρου. Συγκεκριμένα, αν p, κάθε απειροδιάστατος συμπληρωματικός υπόχωρος του l p είναι ισομορφικός με τον l p. Ειδικότερα, στον l δεν υπάρχει κανένας διαχωρίσιμος συμπληρωματικός υπόχωρος. Επιπλέον, κάθε απειροδιάστατος κλειστός υπόχωρος του l p, < p <, έχει έναν περαιτέρω υπόχωρο ο οποίος είναι συμπληρωματικός υπόχωρος του l p. Ακόμα, στον C[0, ], κάθε συμπληρωματικός υπόχωρός του που έχει μη διαχωρίσιμο δυϊκό είναι ισομορφικός με τον C[0, ]. Παραμένει ανοικτό πρόβλημα αν κάθε απειροδιάστατος συμπληρωματικός υπόχωρος του C[0, ] που έχει διαχωρίσιμο δυϊκό είναι ισομορφικός με τον C(K, για κάποιο αριθμήσιμο συμπαγές σύνολο K. (Ασφαλώς ένας τέτοιος χώρος δεν μπορεί να είναι ισομορφικός με τον C[0, ], αφού ο C[0, ] είναι μη διαχωρίσιμος. Τα αποτελέσματα αυτά έχουν δειχθεί από τους A. Pelczynski και H. P. Rosenthal τη δεκαετία του 960, μεταγενέστερα δηλαδή από τη θεμελίωση και τα αρχικά βασικά αποτελέσματα της θεωρίας χώρων Banach στις αρχές του εικοστού αιώνα και αποτελούν κομβικό σημείο της θεωρίας. Οι κλασικοί χώροι l p, p και C[0, ] είναι πλούσιοι σε συμπληρωματικούς υποχώρους και έτσι καθένας από αυτούς μπορεί να γραφεί με πολλούς τρόπους ως τοπολογικό ευθύ άθροισμα δύο απειροδιάστατων κλειστών υποχώρων του. Οι χώροι αυτοί είναι, όπως λέμε, διασπάσιμοι. Παρόλα αυτά, υπάρχουν χώροι Banach που δεν έχουν αυτή την ιδιότητα. Ορισμός 2.5. Εστω X χώρος Banach. Ο X λέγεται αδιάσπαστος αν δεν υπάρχουν απειροδιάστατοι υπόχωροί του Y, Z τέτοιοι, ώστε ο X να γράφεται ως τοπολογικό ευθύ άθροισμα X = Y Z. Ο X λέγεται Καθολικά Αδιάσπαστος (Κληρονομικά Αδιάσπαστος, Hereditarily Indecomposable, H.I., αν κάθε απειροδιάστατος κλειστός υπόχωρός του είναι αδιάσπαστος. Το επόμενο θεώρημα δίνει έναν χαρακτηρισμό των H.I. χώρων. Θεώρημα 2.6. Εστω X χώρος Banach. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: (i Ο X είναι H.I.. (ii Για κάθε ζεύγος Y, Z απειροδιάστατων κλειστών υποχώρων του X, ισχύει: dist ( S Y, S Z = 0. (iii Για κάθε ζεύγος Y, Z απειροδιάστατων κλειστών υποχώρων του X, ισχύει ότι: ε > 0 y Y, z Z έτσι, ώστε y z < ε y + z. (iv (V.D. Milman Για κάθε απειροδιάστατο κλειστό υπόχωρο Y του X, ε > 0 και W B X τέτοιο, ώστε το W ε- νορμάρει τον Y, δηλαδή: y Y, sup{g(y : g W } ε y, ο χώρος W = {x X : f(x = 0 f W } είναι πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του X. 32

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ Απόδειξη. (i (ii Προκύπτει άμεσα από τον ορισμό του H.I. χώρου και την Πρόταση 2.3. δ (ii (iii Εστω ε > 0. Επιλέγουμε δ <, ώστε < ε. Από την υπόθεση έχουμε ότι 2 δ υπάρχουν y S Y και z S Z με y z < δ. Επίσης είναι: Τότε προκύπτει ότι y + z = 2y (y z y z y + z 2y y z > 2 δ. δ 2 δ < ε, επομένως παίρνουμε το ζητούμενο. (iii (ii Εστω ε > 0 και Y, Z απειροδιάστατοι κλειστοί υπόχωροι του X. Θα αποδείξουμε ότι dist ( 4δ S Y, S Z ε. Επιλέγουμε δ < με ε. Τότε, από την υπόθεση, υπάρχουν y Y, z Z δ τέτοια, ώστε y z δ y + z. Άρα Θέτουμε y = Επιπλέον, παρατηρούμε ότι y y z δ y y y + z. y y y S Y και z = z y Z, επομένως z z S Z και έχουμε: y z < δ y + z. (2.3 z z = z = z z z z z z, z επομένως: z z = z. (2.4 z Ακόμη, είναι z y + z y + δ y + z + δ + δ z, άρα παίρνουμε ότι z + δ δ. (2.5 33

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ Τότε θα είναι, λόγω των (2.3, (2.4 και (2.5 : dist ( y S Y, S Z z z y z + z z z δ y + z + z δ + δ + δ δ + + δ δ 4δ = δ ε. (i (iv Εστω Y απειροδιάστατος κλειστός υπόχωρος του X, ε > 0 και W B X τέτοιο, ώστε το W ε - νορμάρει τον Y. Τότε Y W = {0} και ο Y + W είναι κλειστός υπόχωρος του X. Επειδή ο X είναι H.I., έπεται ότι ο W αναγκαστικά είναι πεπερασμένης διάστασης. (iv (i: Ας υποθέσουμε ότι ο X δεν είναι H.I.. Τότε ο X έχει δύο απειροδιάστατους κλειστούς υποχώρους Y, Z τέτοιους, ώστε Y Z = {0} και ο Y +Z να είναι κλειστός υπόχωρος του X. Από την Πρόταση 2.3 τότε προκύπτει ότι η πρόβολή P : Y + Z Y είναι συνεχής. Θέτουμε ε = P. Για κάθε g εb Y μπορούμε, από το θεώρημα Hahn-Banach, να επιλέξουμε ένα συναρτησοειδές g B X τέτοιο, ώστε το g P να επεκτείνεται στο g και g X = g P Y +Z. Θέτουμε W = { g B X : g εb Y }. Τότε το W ε - νορμάρει τον Y. Άρα, από την υπόθεση, ο W είναι πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του X. Αλλά ο W περιέχει τον απειροδιάστατο χώρο Z. Άτοπο. Παρατήρηση 2.7. Από το Θεώρημα 2.6, σε συνδυασμό με τη Πρόταση 2.3, προκύπτει ότι ένας χώρος Banach X είναι H.I. αν και μόνο αν για κάθε Y απειροδιάστατο κλειστό υπόχωρο του X και κάθε προβολή P : Y Y, είτε ο υπόχωρος P [Y ] ή ο Ker(P είναι πεπερασμένης διάστασης. Λήμμα 2.8. Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder, Y απειροδιάστατος υπόχωρος του X, ε > 0. Τότε υπάρχει W block υπόχωρος του X, ο οποίος ε-περιέχεται στον Y, δηλαδή: w S W y S Y με y w < ε. Απόδειξη. Ας είναι (e n n N η βάση Schauder του X, με σταθερά C. Εστω Y απειροδιάστατος υπόχωρος του X και ε > 0. Θα κατασκευάσουμε έναν block υπόχωρο W με μια επαγωγική διαδικασία. Επιλέγουμε (ε n n N ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών τέτοια, ώστε ε i < ε. Εστω τυχόν 8C y S Y, το οποίο θα γράφεται στη μορφή y = αk e k. Επιλέγουμε l N τέτοιο, ώστε για το w = l αk e k να ισχύει y w < ε. Τώρα επιλέγουμε y 2 S Y, το οποίο θα γράφεται στη μορφή y 2 = k=l + α 2 k e k. Σημειώνουμε ότι ο χώρος span{e i : i > l } είναι πεπερασμένης συνδιάστασης υπόχωρος του X. Άρα η τομή αυτού του υποχώρου με τον Y είναι απειροδιάστατος υπόχωρος και επομένως υπάρχει τέτοιο y 2. Επιλέγουμε l 2 N τέτοιο, ώστε για το w 2 = l 2 αk 2e k να ισχύει w 2 y 2 < ε 2. 34 k=l +

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο, κατασκευάζουμε επαγωγικά μια ακολουθία (y n n N στην S Y μια γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών (l n n N με και ώστε για τα διανύσματα y n = w n = k=l n + l n k=l n + α n k e k, α n k e k, να ισχύει y n w n < ε n. Η (w n n N είναι block βάση της (e n n N, άρα θα είναι Schauder βασική με σταθερά βάσης C C. Θέτουμε W = span{w n : n N}. Θα αποδείξουμε ότι ο block υπόχωρος W που κατασκευάσαμε ε-περιέχεται στον Y. Εστω w S W. Τότε θα είναι w = β n w n. Επειδή για κάθε n N είναι w n y n < ε n, προκύπτει από την αντίστροφη τριγωνική ανισότητα πως w n > ε n > 2 Επομένως προκύπτει: n= β n = wn(w 2 C 4C, για κάθε n N. w n β n y n w n n= n= 4Cε n < 4C ε 8C = ε 2. και άρα είναι Άρα η σειρά β n (y n w n συγκλίνει και β n (y n w n < ε n= n= 2. Θέτουμε x = β n y n. Τότε x w = β n y n β n w n = β n (y n w n < ε 2. Άρα Θέτουμε y = n= και η απόδειξη είναι πλήρης. n= w w x x x w + w ε 2 x + ε 2 x < ε 2. x x και έχουμε y S Y. Επιπλέον n= y w y x + x w < x + ε 2 < ε 2 + ε 2 = ε Στην περίπτωση που ένας χώρος Banach έχει βάση Schauder, το επόμενο θεώρημα μας επιτρέπει να ελέγχουμε αν ένας χώρος είναι H.I., εξετάζοντας αποκλειστικά τους block υποχώρους του. Θεώρημα 2.9. Εστω X χώρος Banach με βάση Schauder. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: 35 n=

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ (i Ο X είναι H.I.. (ii Για κάθε Y, Z block υποχώρους του X, ισχύει: dist ( S Y, S Z = 0. (iii Για κάθε Y, Z block υποχώρους του X, ισχύει ότι: ε > 0 y Y, z Z έτσι, ώστε y z < ε y + z. Απόδειξη. Από το Θεώρημα 2.6 είναι προφανές ότι (i (ii και (i (iii. Επίσης, η ισοδυναμία (ii (iii αποδεικνύεται όμοια με την ισοδυναμία (ii (iii του Θεωρήματος 2.6. Επομένως μένει να αποδείξουμε ότι (ii (i, ή ισοδύναμα, λόγω του Θεωρήματος 2.6, ότι (ii (ii. Ας είναι λοιπόν Y και Z δύο τυχαίοι απειροδιάστατοι υπόχωροι του χώρου X. Θα αποδείξουμε ότι dist ( S Y, S Z = 0. Εστω ε > 0. Από το προηγούμενο λήμμα, υπάρχει W block υπόχωρος του X, ώστε ο W να ε-περιέχεται στον Y. Δηλαδή w S W y S Y έτσι, ώστε y w < ε 3 (2.6 Επίσης από το προηγούμενο λήμμα, υπάρχει U block υπόχωρος του X, ώστε ο U να ε-περιέχεται στον Z. Δηλαδή u S U z S Z έτσι, ώστε u z < ε 3 Αλλά από την υπόθεση, για τους W, U block υποχώρους του X, ισχύει ότι dist ( S W, S U = 0. Δηλαδή (2.7 w S W, u S U έτσι, ώστε w u < ε 3 (2.8 Άρα έχουμε από τις (2.6, (2.7, (2.8 : Άρα dist ( S Y, S Z = 0. y z y w + w u + u z ε 3 + ε 3 + ε 3 = ε. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι κάθε H.I. χώρος περιέχεται ισομορφικά στον l. Για το σκοπό αυτό, παραθέτουμε κάποια στοιχεία από τη θεωρία των strictly singular τελεστών. Ορισμός 2.20. Εστω X, Y, χώροι Banach και T : X Y φραγμένος γραμμικός τελεστής. Ο T καλείται strictly singular αν ο περιορισμός του σε οποιονδήποτε υπόχωρο του X δεν είναι ισομορφισμός. Λήμμα 2.2. (T. Kato Εστω X και Y απειροδιάστατοι χώροι Banach. Εστω επίσης ένας τελεστής T : X Y τέτοιος, ώστε ο περιορισμός του T σε οποιονδήποτε, πεπερασμένης συνδιάστασης, υπόχωρο του X δεν είναι ισομορφισμός. Τότε, για κάθε ε > 0 υπάρχει ένας απειροδιάστατος υπόχωρος Z του X τέτοιος, ώστε ο T Z να είναι συμπαγής και T Z ε. Πρόταση 2.22. Εστω X H.I. χώρος Banach και και T : X Y φραγμένος γραμμικός τελεστής, όπου ο Y είναι τυχαίος χώρος Banach. Τότε ισχύει ακριβώς ένα από τα ακόλουθα: (i Ο T είναι strictly singular. (ii Ο Ker(T είναι πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του X και X = Ker(T Z, όπου ο Z είναι υπόχωρος του X τέτοιος, ώστε ο T Z να είναι ισομορφισμός. 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ Απόδειξη. Εστω ότι T = και ότι δεν ισχύει το (i. Τότε υπάρχει ένας απειροδιάστατος κλειστός υπόχωρος W του X και ε > 0 έτσι ώστε να ισχύει T w ε για κάθε w S W. Ας υποθέσουμε ότι δεν ισχύει το (ii. Τότε ο περιορισμός του T σε οποιονδήποτε πεπερασμένης διάστασης υπόχωρο του X δεν είναι ισομορφισμός. Από το Λήμμα 2.2, προκύπτει ότι υπάρχει απειροδιάστατος υπόχωρος Z του X τέτοιος, ώστε T Z ε 2. Επομένως για κάθε z S Z και w S W έχουμε ότι z w T z T w T w T z ε ε 2 = ε 2. Άρα dist ( ε S Z, S W, που έρχεται σε αντίφαση με το γεγονός ότι ο X είναι H.I. Συνεπώς ο Ker(T 2 είναι πεπερασμένης διάστασης και έχει ένα συμπήρωμα Z τέτοιο, ώστε ο T Z να είναι ισομορφισμός. Θεώρημα 2.23 (Σ. Αργυρός - Α. Τόλιας. Κάθε H.I. χώρος Banach X περιέχεται ισομορφικά στον l. Απόδειξη. Θεωρούμε Y τυχόντα διαχωρίσιμο απειροδιάστατο κλειστό υπόχωρο του X. Επιλέγουμε ένα αριθμήσιμο D B X έτσι ώστε το D ε-νορμάρει τον Y. Τότε, αφού ο X είναι H.I., από την Πρόταση 2.6 παίρνουμε ότι ο D είναι πεπερασμένης διάστασης υπόχωρος του X. Επεκτείνουμε το D με ένα πεπερασμένο σύνολο F έτσι, ώστε (D F = {0}. Αφού το D F είναι αριθμήσιμο, ας είναι D F = {f n : n N} X. Ορίζουμε τον τελεστή T : X l με τύπο T (x = ( f n (x. Παρατηρούμε ότι ο T είναι n N, άρα Ker(T = {0} και ο T Y είναι ισομορφισμός. Επομένως ο T δεν είναι strictly singular. Από την Πρόταση 2.22, παίρνουμε ότι ο T : X l είναι ισομορφική εμφύτευση. Παρατήρηση 2.24. Αξίζει να σημειώσουμε πως αν ένας χώρος Banach είναι H.I., τότε αυτή η ιδιότητα δεν μεταφέρεται αναγκαστικά και στον δυϊκό του. Παραδείγματα H.I. χώρων με τον δυϊκό τους να μην είναι H.I. έχουν δοθεί στα [8], [5] και [8]. Ενα ακραίο παράδειγμα δίνεται στο [9], όπου παρουσιάζεται ένας H.I. χώρος, ο δυϊκός του οποίου είναι ισομορφικός με τον l. Παρατήρηση 2.25. Ενας χώρος Banach X με unconditional βάση Schauder είναι διασπάσιμος. Πράγματι, έστω (e n n N η unconditional βάση του X. Θέτουμε Y = span{e 2n : n N} και Z = span{e 2n : n N}. Τότε είναι φανερό ότι X = Y Z. Από αυτό συμπεραίνουμε ότι αν ένας χώρος Banach X είναι αδιάσπαστος, τότε δεν περιέχει unconditional βάση. Επιπλέον, αν ο X είναι H.I., τότε δεν περιέχει καμιά unconditional βασική ακολουθία. 37

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΔΙΑΣΠ ΑΣΕΙΣ Χ ΩΡΩΝ BANACH ΚΑΙ ΚΑΘΟΛΙΚ Α ΑΔΙ ΑΣΠΑΣΤΟΙ 38

Κεφάλαιο 3 Κατασκευή νέων χώρων Banach Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε την κατασκευή χώρων Banach μέσω των λεγόμενων norming συνόλων. Θεωρούμε τον χώρο των τελικά μηδενικών ακολουθιών c 00 (N = {x = (x n n N : n 0 N τέτοιο ώστε: n n 0 x n = 0}. Είναι γνωστό ότι ο c 00 (N, με όποια νόρμα και αν εφοδιαστεί, δεν είναι πλήρης. Αν K c 00 (N μη κενό, τότε για κάθε x c 00 (N, ορίζουμε: x K = sup{f(x : f K} όπου f(x =< f, x >= f i x i με f = (f, f 2,... και x = (x, x 2,.... Το άθροισμα αυτό είναι ουσιαστικά πεπερασμένο, γιατί x c 00 (N και επομένως πεπερασμένοι όροι του θα είναι μη μηδενικοί. Πρόταση 3.. Εστω K c 00 (N με τις ακόλουθες ιδιότητες: (i e n K για κάθε n N. (ii Το K είναι συμμετρικό, δηλαδή αν f K τότε και f K. (iii Για κάθε f K ισχύει f. Τότε η K είναι νόρμα στον c 00 (N και e n K =, n N. Απόδειξη. Καταρχήν, η K είναι καλά ορισμένη, αφού η ιδιότητα (iii του K μας εξασφαλίζει ότι για κάθε x c 00 (N, η ποσότητα x K είναι πραγματικός αριθμός και μάλιστα x K x, όπου x είναι η l -νόρμα του x. Άρα K : c 00 (N R. Τώρα θα αποδείξουμε ότι η K είναι νόρμα, δηλαδή ικανοποιεί τις ιδιότητες: (i x K 0 (ii x K = 0 x = 0 (iii λx K = λ x K, λ R, x c 00 (N 39

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΑΣΚΕΥ Η Ν ΕΩΝ Χ ΩΡΩΝ BANACH (iv x + y K x K + y K, x, y c 00 (N (i Εστω x c 00 (N. Επιλέγοντας τυχαίο f K, επειδή το K είναι συμμετρικό, έχουμε ότι f K και άρα x K = sup{g(x : g K} max{f(x, ( f(x} 0. (ii Εστω x = (x i i N c 00 (N. Αν x = 0 τότε προφανώς x K = 0. Από την άλλη, αν x 0 τότε υπάρχει n N τέτοιο ώστε x n 0. Επειδή e n K και το K είναι συμμετρικό, έχουμε ότι e n K. Ετσι, προκύπτει ότι x K = sup{f(x : f K} max{e n (x, e n (x} > 0. (iii Για τυχόν λ R και επειδή το σύνολο K είναι συμμετρικό, έχουμε ότι: λx K = sup{f(λx : f K} = sup{ f(λx : f K} = sup{ λ f(x : f K} = λ sup{ f(x : f K} = λ x K. (iv Για την τριγωνική ανισότητα, θεωρούμε τυχόντα x = (x i i N c 00 (N, y = (y i i N c 00 (N. Για κάθε f = α i e i K έχουμε: f(x + y = = α i (x i + y i α i x i + α i y i = f(x + f(y x K + y K. Άρα sup{f(x + y : f K} x K + y K και επομένως x + y K x K + y K. Άρα τελικά η K είναι πράγματι νόρμα. Μένει να δείξουμε ότι e n K =, για κάθε n N. Εχουμε ότι e n K = sup{f(e n : f K}, αφού f f K. Από την άλλη, e n K e n (e n =. Επομένως παίρνουμε το ζητούμενο. Παρατήρηση 3.2. Το σύνολο K ορίζει, όπως είδαμε, μια νόρμα στον c 00 (N και για το λόγο αυτό θα θα καλείται norming σύνολο. Η πλήρωση του χώρου (c 00 (N, K είναι ένας χώρος Banach. Συμβολίζουμε με (X K, K τον χώρο αυτό. Η ακόλουθη πρόταση εξασφαλίζει την ύπαρξη βάσης Schauder για τον χώρο X. Πρόταση 3.3. Εστω K c 00 (N, το οποίο ικανοποιεί τις ιδιότητες (i, (ii, (iii της Πρότασης 3. και επιπλέον την εξής ιδιότητα : (iv Αν f K και E διάστημα τότε Ef K Τότε η (e n n N είναι διμονότονη βάση Schauder του X. 40

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΑΣΚΕΥ Η Ν ΕΩΝ Χ ΩΡΩΝ BANACH Απόδειξη. Από το Κριτήριο Schauder και τον ορισμό της διμονότονης βάσης Schauder, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε n N, κάθε ακολουθία συντελεστών (α k n και κάθε l m n ισχύει m n. α k e k α k e k k=l Ισοδύναμα, αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε f K ισχύει : ( m f α k e k k=l n. α k e k Εστω τυχόν f K. Τότε για το διάστημα E = {l,..., m}, λόγω της ιδιότητας (iv, θα ισχύει ότι Ef K. Επομένως: ( m f α k e k k=l ( m = Ef α k e k k=l ( n = Ef α k e k n, α k e k το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη. Οι επόμενες δύο προτάσεις εξασφαλίζουν επιπλέον ιδιότητες για τη βάση Schauder του X, όταν το norming σύνολο K ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες. Πρόταση 3.4. Εστω K c 00 (N, το οποίο ικανοποιεί τις ιδιότητες (i, (ii, (iii, (iv των Προτάσεων 3., 3.3 και επιπλέον την ακόλουθη ιδιότητα: (v Αν f = α i e i K τότε για κάθε επιλογή προσήμων ε i {, } το g = ε i α i e i K. Τότε η (e n n N είναι -unconditional βάση Schauder του X. Απόδειξη. Για να αποδείξουμε ότι η (e n n N είναι -unconditional βάση του X, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε n N, για κάθε ακολουθία συντελεστών (α i n και για κάθε ακολουθία προσήμων (ε i n ισχύει: n n. ε i α i e i α i e i Ισοδύναμα, αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε f K ισχύει: ( n f ε i α i e i n. α i e i Εστω f = d β i e i K. Τότε, από την ιδιότητα (v για το g = 4 d ε i β i e i, παίρνουμε ότι g K.