ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β) Αν g = e,, ν ρεθεί το εμδόν του επιπέδου χωρίου που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι g κι τις ευθείες = κι =. Α) i) Η f είνι συνεχής στο. Άρ ορίζετι η συνάρτηση f () d κι είνι =. πργωγίσιμη στο με f () d f Έχουμε () f f d = e e e f = f d e e e είνι πργωγίσιμη στο * ως πηλίκο πργωγισίμων συνρτήσεων κι επειδή η f είνι πργωγίσιμη στο, είνι πργωγίσιμη σε όλο το. Από () έχω ( f ) f() d ( e ) ( e ) ( ) ( e ) = f () f f () = e e e f = e. Γι (,) (, ) η () Άρ γι κάθε, f = e. Α) ii) Έχω ότι f = e. Γι (,) (, ) είνι f = e Άρ f e c,, =. e c,, Η f είνι συνεχής στο, άρ είνι συνεχής κι στο, επομένως: lim f = lim f = f. f = e Αλλά lim f ( ) = lim ( e c ) = c κι ( ) Άρ c = c = f c = c = f. lim f = lim e c = c. 7

Επομένως Γι =, f () e f Αλλά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 f = e f γι κάθε. = (). f f d = e e e. Γι = έχω: f () f() d= e e e f () = e (). Από (), (): Επομένως: f e e = e f f = =. γι κάθε. Β) Αν Ε το ζητούμενο εμδόν E= f g d = e e d E= e d = e d [,] E= e d = e d = Άρ = e e d = e e d = e = e e = e Άρ E = e τ. μ. ΘΕΜΑ 4 Έστω μί πργωγίσιμη συνάρτηση g:[,] R τέτοι ώστε γι κάθε (, ) ν ισχύει: g( ) = g( ). Ν ποδείξετε ότι: i. g() = g() ii. Η γρφική πράστση της g έχει μί τουλάχιστον εφπτομένη που είνι πράλληλη στον άξον χ χ. iii. g()d = g()d 8

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Είνι i. ii. iii. im g( ) = im g(w) = g() φού η g είνι συνεχής στο w img( ) = img(u) = g() φού η g είνι συνεχής στο u =, όπου w=. =, όπου u=-. Επομένως g() = g(). Ισχύουν οι προϋποθέσεις του θ. Rolle γι τη συνάρτηση g στο [,]. Επομένως υπάρχει ξ (,):g(ξ) =. Θέτουμε u = στην ρχική σχέση η οποί γίνετι: g( u) = g(u), γι κάθε u (,) Επιπλέον πό το (i) ποδείξμε ότι g() = g(). Επομένως: g( ) = g(), γι κάθε [,]. Άρ: Ι = g()d = g( )d κι θέτοντς y =, έχουμε ότι dy = d κι γι = είνι y = ενώ γι = είνι y =. Τότε:. I = g(y)dy = g()d ΘΕΜΑ 5 Δίνετι η συνάρτηση f() = n λ, >, λ >. i. Ν μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ. ii. Έστω Μ το σημείο που ντιστοιχεί στο μέγιστο της C f. Ν ρείτε, γι τις διάφορες τιμές του λ, τη κμπύλη στην οποί κινείτι το Μ. iii. Ν ρείτε τη μικρότερη τιμή του λ, ώστε ν ισχύει n λ. i. Έχουμε ότι: f() = λ, > f() = = λ 9

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Επομένως: λ f - f ii. H C f προυσιάζει θέση μεγίστου στο σημείο M,f = Μ, nλ. Γι λ λ λ ν ρούμε την κμπύλη στην οποί κινείτι το Μ, κάνουμε πλοιφή της πρμέτρου λ: y= nλ Άρ y= n = λ iii. Θ πρέπει ν ισχύει ότι: n λ, > n ή λ,> n Αν η συνάρτηση h() = έχει ολικό μέγιστο τότε υτό θ ισούτι με την ελάχιστη τιμή του λ γι την οποί ισχύει η προηγούμενη νισότητ. Έχουμε: ( n ) n h() = = h - h Επομένως λ = h() = ΘΕΜΑ 6 Έστω η συνεχής συνάρτηση f:r R γι την οποί ισχύει: f() f() = e d, γι κάθε R. i. Αποδείξτε ότι η f είνι πργωγίσιμη. ii. Αποδείξτε ότι ο τύπος της f είνι f() = n( ), R. iii. Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί, τ κρόττ κι ν ρείτε το σύνολο τιμών της. f() iv. Αποδείξτε ότι: im =. 6

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 i. Αφού η f είνι συνεχής τότε κι η συνάρτηση ii. iii. κάθε R, επομένως η F() e d h() = e f() είνι συνεχής γι f() = είνι πργωγίσιμη. Επομένως κι η f() = είνι πργωγίσιμη. f() e d Πργωγίζοντς, προκύπτει ότι: f() = e f() ή f() e f () = ή ( e f() ) ( ) f() e = c ή f() = n( c) () Γι = έχουμε πό την ρχική σχέση: f() f() = e d= Θέτοντς στην προηγούμενη σχέση () = έχουμε: f () = nc ή c = Άρ: f() = n( ), R Έχουμε ότι f() =, οπότε = πό όπου f~ f 8 o 8 iv. H f προυσιάζει ελάχιστο στο (,f ()) = (,). Από το θ. Ενδιμέσων Τιμών ρίσκουμε: f (,] = [f(), im f()) = [, ) f [, ) = [f(), im f()) = [, ) Επομένως το σύνολο τιμών της f είνι το [, ). Εφρμόζοντς τον Κνόν του L Hospial έχουμε: f() n( ) im = im = 6 6 im = im = 5 4 6

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 7 Έστω μί συνεχής συνάρτηση f:(, ) R γι την οποί ισχύει f( ) f() = d, γι κάθε >. Ν ποδείξετε ότι: i. Η f είνι πργωγίσιμη. ii. Ο τύπος της f είνι : f() = ln iii. Η γρφική πράστση της f στρέφει τ κοίλ κάτω. iv. Γι κάθε τριάδ ριθμών,, γ με < < < γ ισχύει: f() f() f(γ) f() > γ i. Θέτουμε = u άρ d = du γι = έχουμε u = κι γι = έχουμε f(u) u =, επομένως f() = du ή f() = f(u)du Η συνάρτηση f(u)du είνι μί πράγουσ της συνεχούς συνάρτησης f άρ πργωγίσιμη. Επομένως η συνάρτηση f() = f(u)du είνι πργωγίσιμη στο (, ). f () f (u)du = άρ ii. Ισχύει: ( ) f() f () = f() ή f() = επομένως f() = n c κι επειδή f() = προκύπτει c =. Άρ ο τύπος της f είνι f() = n, >. iii. f() =,f() = < άρ η γρφική πράστση της f στρέφει τ κοίλ κάτω. iv. Εφρμόζουμε το Θ.Μ.Τ. γι την f στ διστήμτ [,], [,γ] άρ θ f() f() f(γ) f() υπάρχουν ξ (,), ξ (,γ) ώστε f(ξ ) = κι f(ξ ) =. γ Eπειδή ξ < ξ κι f f() f() f(γ) f() ισχύει f(ξ ) > f(ξ ) επομένως >. γ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ 8 Έστω συνάρτηση f:(, ) τέτοι ώστε: Γι κάθε >, y> ισχύει f(y) = f(y) y f() Η f είνι πργωγίσιμη στο κι f () =. i. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε > ισχύει: f(h) f() f() im = h h ii. Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη κι ότι γι κάθε > ισχύει: f() = f() iii. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε > ισχύει: f() = ln iv. Ν ρείτε το όριο f() im v. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου που ορίζετι πό την γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = e. i. f(h) f() f(h) h f() f() f()(h ) f(h) im = im = im h h h (h ) h (h ) (h ) () f()(h ) f(h) f() f() = im f () h = = h f() f() f() () (διότι f() = im = im = ) Η ισότητ f() = προκύπτει πό τη δοθείσ σχέση γι = y =. ii. Σε κάθε > είνι f( h) f f = = f() f = (κι ν θέσουμε = h) f im im (πό το ο ερώτημ) h h f άρ f( ) = γι κάθε > επομένως η f είνι πργωγίσιμη με f () f() f() f() = = ή f() = f(), γι κάθε >. iii. f () = f() f () f() = f () f() f() = άρ (n) f() 4 =, > επομένως = n c κι επειδή f() = ρίσκουμε c =. Άρ f() = n, >.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 f() n n ( n) iv. im = im = im( n) = im = im = im = im( ) = v. Αν Ω το χωρίο που ορίζετι πό την γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = e τότε το εμδόν του είνι: e e E(Ω) = f() d = n d όμως n γι κάθε [,e] άρ κι n γι κάθε [,e] επομένως έχουμε e e E(Ω) = nd = nd e e n e = ( n) d e = ne n d = e e = d = e e = e e = = e e e = = μονάδες εμδού. 9 9 9 9 ΘΕΜΑ 9 Δίνετι συνάρτηση f με συνεχή πράγωγο στο [,] γι την οποί ισχύει f ()d f () d = f () f () i. N ποδείξετε ότι f() f() = γι κάθε [,] ii. Ν ποδείξετε ότι f () d = f ()d = ( f () f ()) iii. Αν f = e ν ρείτε τον τύπο της συνάρτησης f. 4

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 i. Είνι ( ) I = f ()d f () d = = f ()d f () d f()f ()d f()f ()d = = f () ( f ()) f()f () d f () d = f() f () d =. ( ) ( ) = f() f () d f () = f() f () d f () f () Από υπόθεση είνι Ι f () f () =, οπότε Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει [,] τέτοιο, ώστε f f κι επειδή ( f() f ()) γι κάθε [,], τότε θ είνι ( f() f ()) d >, άτοπο. Άρ f() f () = γι κάθε [,]. ii. Γι κάθε [,] είνι f () = f(), οπότε έχουμε f() d= f()f()d = f()f()d = f () = ( f () f () ) () Από τη δοθείσ σχέση έχουμε ( ) f ()d f () f () = f () f () ( f ()d = f () f ()) () Από () κι () έχουμε ότι f () d = f ()d = ( f () f ()) iii. Γι κάθε [, ] είνι e f () f() = f () e f() e = e f() = e f() = c f() = ce, [,] Όμως f = e,άρ c e = e c = e Άρ f() = e e f() = e, [,]. ΘΕΜΑ Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ [,] με f()d=, γι την οποί υπάρχει [,] με f. i. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (,). ii. Αν επιπλέον η f είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο [,] κι ισχύει f() = f() =, ν ποδείξετε ότι υπάρχουν ξ,ξ (,) ώστε f(ξ ) f (ξ ). 5

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 i. Έστω ότι η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο [,]. Αν ήτν f > θ είχμε f() > γι κάθε [,], οπότε άτοπο. f()d> Αν ήτν f < θ είχμε f() < γι κάθε [,], oπότε f()d< άτοπο. Άρ η f δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο [,], οπότε υπάρχουν, [,] ώστε ff <. Χωρίς λάη της γενικότητς υποθέτουμε ότι <. Επειδή f συνεχής στο [, ] υπάρχει ρ (, ) (,) ώστε f(ρ) =. ii. Έστω ότι η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο (,) π.χ. f () > γι κάθε (,). Επειδή f συνεχής στο [,] ως πργωγίσιμη τότε f ^ στο [,] κι επομένως f - στο [,]. Επειδή f() = f(ρ) = f() = εφρμόζετι το θεώρημ Rolle στ διστήμτ [,ρ] κι [ρ,], οπότε υπάρχει ρ (,ρ) ώστε f(ρ ) = κι υπάρχει ρ (ρ,) ώστε f(ρ ) =. ' f Έχουμε f(ρ ) = f(ρ ) ρ = ρ, άτοπο. Αφού ρ, ρ νήκουν σε διφορετικά διστήμτ Άρ η f δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο (,), συνεπώς υπάρχουν ξ,ξ (,) ώστε f (ξ )f (ξ ). ΘΕΜΑ Θεωρούμε τη συνάρτηση f: [,] πργωγίσιμη, με συνεχή πρώτη πράγωγο,, f = κι f < γι κάθε [,]. Α) Ν ποδείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη κι ν ρεθεί το πεδίο ορισμού της - f Β) Αν η f - - f είνι συνεχής κι ισχύει () f () f d f d = i) Ν ρεθεί το f ( ) ii) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει (,) σημείο A(,f ( ) ) ν είνι κάθετη στην ευθεί Γ) Ν ποδείξετε ότι i) υπάρχει μονδικό ξ (,) ii) Υπάρχουν ξ,ξ (,) τέτοι ώστε τέτοιο ώστε η εφπτομένη της C f στο ε : y 6 =, τέτοιο ώστε f ( ξ) f ξ f ξ =. = ξ. 6

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 Α) Α) Επειδή f < γι κάθε [,] η f είνι γνησίως φθίνουσ στο [ ], άρ κι -, άρ η f είνι ντιστρέψιμη. Το σύνολο τιμών της f είνι το πεδίο ορισμού - της,, το f. Αφού η f είνι συνεχής στο [, ] κι γνησίως φθίνουσ στο [ ] σύνολο τιμών της είνι f ([,] ) = [ f(),f ()] = [ f(),]. Επομένως A [ f(),] f Β) i) Έστω I f () d =. Θέτουμε u=f ( ) f ( u) = δηλδή f f =. f u du = d. Γι = f έχουμε u=f ( f() ) = κι γι = f έχουμε f u=f f() =. - Άρ f () d = uf ( u) du = uf ( u) u f ( u) du = f f f( u) du f f - Άρ f () d = f f d f - (Ι). Αλλά f () d f () d = άρ πό (Ι) έχουμε. Άρ f. Δηλδή f f d f d = =. Β) ιι) Αρκεί ν δείξουμε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον (,) f f f =, τέτοιο ώστε f ( ) = ή ότι η εξίσωση f = f = έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (,). Θεωρούμε συνάρτηση g = f στο [,]. Η g συνεχής στο [,] κι η g πργωγίσιμη στο (,) με g = f. Επίσης g = f = Άρ g ( ) = g ( ). g = f = Οπότε πό θεώρημ Rolle υπάρχει έν τουλάχιστον (,) ώστε ( ) g = f = f =. Γ) ι) Θεωρούμε τη συνάρτηση h = f στο [,]. Η h συνεχής στο [,] ως διφορά συνεχών. h = f = h = f = = ( ). Οπότε h h = ( ) <. Άρ πό θεώρημ Bolzano η εξίσωση h = f = έχει μι τουλάχιστον ρίζ στο (,), δηλδή υπάρχει ξ (,) τέτοιο ώστε f ( ξ) ξ = f ( ξ) = ξ. Όμως h = f κι επειδή f < τότε h <. Άρ h γνησίως φθίνουσ στο [,]. Συνεπώς το ξ (,) είνι μονδικό. 7

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ιι) Γι την f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στ διστήμτ [,ξ] κι [ξ,]. Άρ ξ,ξ ξ ξ, τέτοι ώστε: υπάρχουν κι Λόγω i) f ( ξ) f ξ f ( ξ ) = () κι f ( ξ ) Λόγω i) f f ξ ξ ξ ξ = = = κι δεδομένων ξ ξ = () Β i) ξ ξ ξ ξ f ξ f ξ = =. ξ ξ Από (), () έχουμε ΘΕΜΑ Δίνετι η συνάρτηση f =,. συν Α) Ν ρεθούν τ όρι: i) lim κι ii) f ( ) lim ημ f ( ) B) ) Ν μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ. ν ) Αν Iν = d, ν =,,,,... f i) Ν ρεθούν τ Ι,Ι ii) Ν ποδειχθεί ότι ( ν ) Ι ν = ν Ι ν, ν =,,... κι μετά ν ρεθεί το Ι. Α) i) Κοντά στο συν Έχουμε. Άρ συν. Επειδή συν lim = τότε lim =. f ii) Κοντά στο ημ ημ( ) ημ( ) = = = ( )( ) ημ ( ) ( ) =. Επειδή lim = κι lim Έχουμε g g έχουμε lim g ( ) lim ημ = = κι ημ lim g = lim = άρ δεν υπάρχει το Β) ) Έχουμε f ( ) = = =. lim άρ ημ. = 8

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 f = = =. Αν Έχουμε f γνησίως φθίνουσ στο (,] κι f γνησίως ύξουσ στο [ ) ελάχιστο της f είνι f =. ) i) I = d = =. Άρ Ι = Ι d d = = = = d = d ( ) = ( ) ( ) d = 4 = = =. Άρ I = Β ii) ν ν Iν = d = d,. Άρ το ν ν ν ν- Iν = d = d = ν d = ν ν ν ν ν- = ν d = ν d = ν d ν d Άρ Iν = νiν νiν ή Iν νiν = νiν ή ( ν I ) ν = νi ν, ν =,,... Γι ν = έχω 7I = 6I () Γι ν = έχω 5I = 4Ι. Αλλά Ι = 4 = ή 5I = 4 4 ή 5I = 4. Άρ I = () 5 Άρ 5I 4( ) ( ) 6 4 Από (), () έχουμε 7Ι = ή 5Ι = 5 4 8 ή 5 4 5Ι = 4. Άρ Ι =. 5 9

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α) i) Αν οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [,] κι ισχύει f g [,] Ν ποδειχθεί ότι: f d ii) Ν ποδειχθεί ότι: g d d e e Β) Αν η συνάρτηση f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο [, ) με στο f = f = κι γι κάθε ισχύει: ( f ) f f = f f i) Ν ποδειχθεί ότι ( ) f = e,. ii) Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση: (,). d έχει κριώς μί ρίζ στο f = ( ()) Α) i) Οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [,]. Άρ η g f κι g f στο [,]. είνι συνεχής στο [,] Άρ ( ) g f d g d f d f d g d ii) Θεωρούμε την συνάρτηση f() =,. H f είνι συνεχής κι e e πργωγίσιμη στο με f () = < γι κάθε διότι e >. ( e ) Επομένως η f είνι γνησίως φθίνουσ στο άρ κι στο [,]. Επομένως τότε f f( ) f ή f () άρ e e e. e Από ερώτημ Α) i) έχουμε d d d e e ή d d d e d e ή [] [] e d ή e e. e Β) i) Γι κάθε f f f = f f ή έχουμε ( ) ( f ) f f ( f ) = f f ή ( f f ) = f f. Θεωρούμε τη συνάρτηση h = f f,. Ισχύει h h. Επομένως h = c e, c ή f f = ce. Γι f f = ce ή = c c=. = έχω = γι κάθε 4

Άρ f f e ( f ) Γι =, ( ) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 = γι κάθε. Επομένως = e c, c. ( ) ( f ) = f = e c = c c =. Άρ f = e,. Β) ii) Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ()) d f = e. Επομένως κ =. e Έχουμε η κ συνεχής στο [,] ως πράξεις συνεχών, d κ = άρ κ = < e d d κ () = άρ κ () =. e e ( e ). Άρ ( ) f = e ή d κ =, [,]. Αλλά f ( ()) d Αλλά ισχύει e, οπότε κ > κι συνεπώς κ κ <. Άρ e πό Θ. Bolzano η εξίσωση d d κ = = = ( f () ) ( f () ) στο (,). d Αλλά κ = ή κ = e e, άρ 4e κ = > γι e κάθε. Συνεπώς η κ γνησίως ύξουσ στο, άρ κι στο [,]. κ = έχει κριώς μί ρίζ στο (,). Δηλδή η εξίσωση Επομένως η εξίσωση ( ()) έχει μί τουλάχιστον ρίζ d έχει κριώς μί ρίζ στο (,). f = 4